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149
BINÔMIO DE
NEWTON
NÚMEROS BINOMIAIS
Dados os números naturais, n e p , chamamos númerobinomial ao número.
!
( )! !
n n
p n p P
com n p
Dizemos que n é o numerador e p é o denominador.
Obs.
,n p
n
C p
Consequências:
10
n
n
1
n
n n
1n
n
n
Propriedade
n n
p n p
Chamamosn
p
en
n p
de números binomiais
complementares.
RELAÇÃO DE STIFEL
1 1
1
n n n
p p p
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) (UEL-PR) A solução da equação
1
4 7
1 2
2
n
n
é um número
múltiplo de:
a)
11
b)
9
c)
7
d)
5
e)
6
02) (MACK-SP) Os números binomiais2
3
k
e2
5
k
são
completares, k e 3k . Então k vale:
a)
6
b)
15
c)
8
d) 5
e)
10
03)
(FUVEST-SP) Lembrando que
!
! !
n n
p p n p
,
a)
Calcule6
4
b)
Simplifique a fração
12
4
12
5
c)
Determine os inteiros n e p de modo que
1 2
1 2 3
n n n
p p p
.
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TRIÂNGULO DE PASCAL
01
0
1 11 1
0 1
2 2 2 1 2 10 1 2
3 3 3 31 3 3 1
0 1 2 3
4 4 4 4 41 4 6 4 1
0 1 2 3 4
PropriedadesI)
Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes dos
extremos são complementares.
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
5 51 10 10 1
II)
A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma
linha é igual ao binomial situado imediatamente do
binomial da direita.
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
III)
A soma de todos os binomiais da linha n é 2n
0
1
2
3
4
01 2 1
0
1 11 1 2 2
0 1
2 2 21 2 1 2 4
0 1 2
3 3 3 31 3 3 1 2 8
0 1 2 3
4 4 4 4 41 3 6 4 1 2 16
0 1 2 3 4
Genericamente, temos:
... 20 1 2
nn n n n
n
ou 2
n
n
p o
n
p
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
04)
(UNIFOR-CE) Por uma das propriedades do triângulo de
Pascal, a soma50 50 51 52
20 21 22 23
é igual a:
a)
53
23
b)
52
21
c)
52
22
d)
51
21
e)
51
22
05)
(UEMS) O somatório10 11
k o k
é igual a:
a)
34.572b)
34.571
c) 2.048
d)
2.047
e)
2.045
06)
(MACK-SP) A partir de um grupo de 10 pessoas, devemos
formar k comissões de pelo menos dois membros, sendo
que em todas deve aparecer uma determinada pessoa A
do grupo. Então k vale:
a)
1024
b)
512
c)
216
d)
511e)
1023
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151
BINÔMIO DE NEWTON
0 1 1 0... ...
0 1
n n n n p p nn n n n
x a x a x a x a x a p n
ou
n
n n p p
p o
n x a x a
p
Obs.
(I)
Possui 1n termos.
(II) A soma dos expoentes de um termo é o grau do binômio.
(III)
O expoente do primeiro termos decresce e do segundo
cresce.
(IV)
Os coeficientes do desenvolvimento de n
x a são os
elementos da linha n do triângulo de Pascal.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
07)
(PUC-PR) O valor da expressão4 3 2 2 3 4
103 4.103 .3 6.103 .3 4.103.3 3 é igual a:
a)
1410
b)
1210
c)
1010
d)
810
e)
610
08)
(UNB) A expressão 17
17
17
0
1712 2 2
2
k k
k k
é
equivalente a :
a)
17
17
1 2 22
b)
17
17
12
2
c)
1
d)
17
17
2
2
09)
(ITA-SP) O valor de10 8 2 6 4 4 6 2 8 10
5 sec 10 sec 10 sec 5 sec sectg x tg x x tg x x tg x x tg x
, para todo 0,2
x
, é:
a) 1
b)
2
2
sec
(1 )
x
sen x
c)
2sec tgx
d) 1
e)
Zero
TERMO GERAL.Essa fórmula nos permite encontrar o termos do
desenvolvimento de certa ordem conhecida.
1
n p p
p
nT x a
p
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
10)
(UFPA) No desenvolvimento do binômio
5
2
3
1 x
x
, qual
o termo independente de x ?
a) 2º
b)
3º
c)
4º
d)
5º
e)
6º
11)
(MACK-SP) No desenvolvimento 2 3
t
x x
, t os
coeficientes de binomiais do quarto e do décimo terceiro
termo são iguais. Então, o termo independente de x é o :
a) Décimo
b)
Décimo primeiro
c) Nono
d)
Décimo segundo
e)
Oitavo
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152
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
1)
(FMABC-SP) O número de raízes da equação2
12 12
2 x x
é:
a)
0
b)
1
c)
2
d)
3
e) Maior que 3.
2) (PUC-RS) Sendo18 18
4k k
, então !k vale:
a)
120
b) 720
c)
840
d)
5040
e)
40320
3)
(UNIRIO-RJ) Calcule o valor de
...0 1 2 3 1
n n n n n n
n n
, sendo n ímpar;
justifique sua resposta.
4)
(UFSM-RS) Se6 6 6
...0 2 6
x
e
... 2551 2
y y y y
y
, então x
y
vale:
a)
5
b) 6
c)
8
d)
7
e)
9
5)
(ITA-SP) Dadas as afirmações:
.
... 20 1 2 1
nn n n n n
n n
, para n .
I.
, , 0,1, 2,...,n n
n k nk n k
.
II.
Existem mais possibilidades de escolher 44 números
diferentes entre os números inteiros de 1 a 50 do que
escolher 6 números diferentes entre os inteiros de 1 a 50.
Conclui-se que:
a)
Todas são verdadeiras.
b)
Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas (I) é verdadeira.
d)
Apenas (II) é verdadeira.
e)
Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
6) (UFSE) A soma5 5 6 7
2 3 4 5
é:
a) 6
5
b) 7
6
c) 8
6
d)
8
4
e)
8
5
7) (UCSAL-BA) Se um número natural n é tal que
2
10 10 11 12
5 6 7 2n
, então n é:
a) Igual a 6 ou -6.
b)
Um número par.
c)
Um número quadrado perfeito.
d)
Um número maior que 10.
e)
Divisor de 15.
8)
(UNIFOR-CE) A soma30 30 30
2.8 9 10
é igual a:
a) 30
11
b) 31
9
c) 31
10
d)
32
9
e)
32
10
9)
(UFPR) Sejam n e p números inteiros positivos, tais que
1n p . Então,1 1
1 1
n n n
p p p
é igual a:
a)
1
1
n
p
b)
n
p
c)
1n
p
d)
1
1
n
p
e)
1
1
n
p
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10) (PUC-SP) Se1
101
m
p
e 55m
m p
, então1m
p
é
igual a:
a) 40
b)
45
c)
50
d)
55
e)
60
11)
(UNIFOR-CE) Se o desenvolvimento do binômio 4( )ax b ,
com a e b reais, é 4 3 216 96 216 216 81 x x x x ,
então os números a e b são tais que:
a)
b é um número inteiro.
b)
3b é um número par.
c) a b
d) 29a
e)
. 6a b
12)
(PUC-MG) No desenvolvimento de10( 1) x , o termo de
grau três tem coeficiente:
a)
80
b)
95
c) 100
d)
120
e)
135
13)
(UFSE) No desenvolvimento do binômio 6( ) x a ,
segundo as potências decrescentes de x , o termo central
é 3540 x . Nessas condições o valor de a é:
a)
-3
b) -2
c)
2
d) 3
e)
4
14) (UCSAL-BA) Dos coeficientes dos termos do
desenvolvimento do binômio
8
12 x
x
, o maior é:
a)
512
b)
1024
c) 1120
d)
1792
e)
3548
15)
(UEPI) O coeficiente de 3 x no desenvolvimento de
5
13
3
x
é:
a)
15
b)
18
c)
27
d)
30
16)
(UFMT) O coeficiente do 4º termo do desenvolvimento de6(2 3 ) x y , segundo as potências decrescentes de x , é:
a)
-4230
b) 4230
c)
4320
d)
-4300
e)
-4320
17) (FMJ-SP) No desenvolvimento do binômio
150
3
2
12 x
x
segundo potências decrescentes de x, o termo
independente de x é o:
a) 71º
b)
85º
c) 91º
d)
100º
e)
121º
18)
(UFOP-MG) Para que se tenha um dos termos do
desenvolvimento de 11( ) x a igual a 51386 x , o valor de
a deve ser:
a)
63
b)
32 6
c)
10
d) 3
e) 310
19)
(FURG-RS) O termo independente de x no
desenvolvimento de
6
2
2 x
x
é:
a)
4
b)
15
c)
30
d)
60
e)
Inexistente
20)
(UFOP-MG) No desenvolvimento de
6
3
1 x
x
, qual o
coeficiente do termo em 2 x ?
a)
20
b)
35
c)
56
d) 70
e)
15
21)
(USJT-SP) Qual é o termo independente de x no
desenvolvimento do binômio de Newton
6
1 x
x
?
a)
16b)
20
c)
24
d)
28
e) 32
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22)
(UFAL) O 4º termo do desenvolvimento do binômio2 8(2 ) x kx , segundo as potências decrescentes de x , é
igual a 1328 x . Nessas condições, k é um número:
a)
Negativo.
b) Divisível por 3.
c)
Irracional.
d)
Racional e não inteiro.
e)
Múltiplo de 6.
23) (MACK) O sistema
3 2 2 3
2 2
3 3 3 38
0 1 2 3
6
x x y xy y
x y
tem por solução
um par ordenado ( ; ) x y cuja representação gráfica é um
ponto do:a)
Primeiro quadrante
b)
Segundo quadrantec)
Terceiro quadranted)
Quarto Quadrantee)
Eixo das abscissas
24)
(MAUÁ) Calcular a e b, sabendo-se que 3( ) 64a b e
que
5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5
321 2 3 4
a a b a b a b ab b
25)
(UEL-PR) No desenvolvimento do binômio
10
4 1
x x
,
segundo potências decrescentes de x, o sétimo termo é:
a)
4210. x
b)
11
4120. x
c)
2210. x
d)
11
4120. x
e)
4210. x
26)
(UEL-PR) No desenvolvimento do binômio
8
ykx
k
,
segundo as potências decrescentes de x, o quarto termo é5 3
224 x y . Nessas condições, 4k é um número
compreendido entrea)
1 e 5b) 6 e 11c)
12 e 17d)
18 e 23e)
24 e 29
27)
(UECE-CE) O coeficiente de x na expansão de
7
1 x
x
é:
a)
0b) 7c)
28d)
35e)
49
28)
(UNESP-SP) No desenvolvimento de 6
3 x , segundo as
potências crescentes de x , o termo central é:
a) 210 x
b)
324 x
c)
330 3 x
d)
360 x
e)
360 3 x
29)
(PUC-RS) Se o terceiro termo do desenvolvimento de
n
a b é 5 221. .a b , então o sexto termo é:
a)
4 335. .a b
b)
3 421. .a b
c)
2 521. .a b
d)
67. .a b
e)
2 57. .a b
30)
(UFPI) Se a e b são números reais tais que
10
1024a b e se o 6º termo do desenvolvimento
binomial é igual a 252, então:
a)
1
2a e
3
2b
b) 3a e 1b
c)
2
3a e
4
3b
d)
1
3a e
5
3b
e) 1a e 1b
31)
(UNIFOR-CE) No desenvolvimento do binômio
8
4 2 x
x
,
segundo as potências decrescentes de x , o quarto termoé:
a)
17448 x
b) 1756 x
c)
20448 x
d)
2056 x
e)
23448 x
GABARITO
01) C 02) D 03) 0 04) C 05) B
06) E 07) E 08) E 09) 0 10) B
11) E 12) D 13) D 14) D 15) D
16) E 17) C 18) A 19) D 20) A
21) B 22) D 23) D 24) * 25) C
26) C 27) C 28) E 29) C 30) E
32)
A
* a)1a
e3b