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Matemticas Especiales

TRABAJO COLABORATIVO 1

JOHN FREDY CALLEJAS PIEROS (CV) 1110448165JOS ANDRS USECHE RUIZ (CV) 1.110.512.545

MIGUEL MONTES MONTAO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CEAD ZONA SURESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLGICAS E INGENIERAS PERIODO ACOLOMBIA 2013INTRODUCCION

La transformada de Laplace es un procedimiento desarrollado por el matemtico y astrnomo francs Pierre Simn Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una funcin de la variable compleja s. La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de ecuaciones diferenciales, con condiciones inciales. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales en los problemas simples del lgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fcilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.Con este trabajo se pondr en prctica la parte terica vista en la primera unidad del Mdulo de Matemticas Especiales, donde encontraremos los conceptos de la transformada de Laplace y profundizaremos en sus aplicaciones e importancia para nuestra vida laboral ya que es parte fundamental en la ingeniera. Despus de trabajar la primera fase de conceptualizacin podremos desarrollar algunos ejercicios vistos en la unidad 1 como parte de un Trabajo Colaborativo donde todos aremos aportes y socializaremos para concordar en un solo trabajo final.

OBJETIVOS

Reconocer la importancia del curso de Matemticas Especiales para nuestra vida profesional.

Estudiar y entender los temas de la unidad l.

Desarrollar ejercicios de la transformada de Laplace y tener el claro la importancia para nuestra vida profesional.

LA IMPORTANCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN LA INGENIERA

La transformada de laplace es una tcnica matemtica que forma parte de ciertastransformadas integralescomo la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia ycambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. La metodologa consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una funcin en la variable independiente tenga una cierta expresin como transformada. Sea f una funcin definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como: Cuando tal integral converge a cambiar una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable, dentro de la transformada tenemos los atributos o caractersticas matemticas los cuales aplicamos libremente a nuestras ingenieras: Es un mtodo operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales, las funciones senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S, sirve para reemplazar operaciones como derivacin e integracin, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. Este mtodo permite usar tcnicas grficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente, convierte una funcin en ten una funcin en la variable s, las funciones sinodales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S, tambin sirve para reemplazar operaciones como derivacin e integracin, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. Este mtodo permite usar tcnicas grficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente, adems tiene aplicacin y principios matemticos en las ciencias.La transformada de Laplace es fundamental en las ingenieras de telecomunicaciones y electrnica ya que tiene ventajas a la hora de resolver ecuaciones diferenciales aplicadas para cualquier anlisis de sistemas dinmicos que podemos encontrar en los circuitos electrnicos, en el procesamiento de seales de seales y respecto a la frecuencia generalmente en los sistemas de control donde consideramos modelos dinmicos o modelos de comportamiento variable respecto al tiempo y como consecuentemente se hace necesario el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemticamente el comportamiento de un proceso. De esta necesidad surge la transformada de laplace que facilita los clculos y por medio de fundamentos matemticos permite que la integracin y derivacin se conviertan en multiplicacin y divisin, logrando que los modelamientos matemticos requeridos en cualquier sistema electrnico se resuelvan de una forma sencilla. Esta se aplica en cualquier rama de la ingeniera ya que la encontramos en cualquier clase de control de procesos, por ejemplo en las lneas de ensamble automtico, control de maquinas herramientas, tecnologa espacial, sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transportes, sistemas de potencia, robtica y muchos ms. La idea es trasladar el problema desde el espacio original de las funciones y (t) soluciones de la ecuacin diferencial, el dominio del tiempo, al espacio de sus transformadas Y (s) el dominio de la frecuencia, donde el problema se expresa en trminos de resolver una ecuacin algebraica lineal, cuya solucin deber ser antitransformada para obtener la solucin de la ecuacin diferencial original. El mtodo de la transformacin de laplace, en razn de su capacidad para algebrizar los problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es ampliamente utilizado en la teora de circuitos y en la teora de sistemas lineales de control. Es bastante importante la transformada de laplace en el desarrollo de lastecnologas ya que desde aos recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez ms importante en el desarrollo y avance de la civilizacin moderna y la tecnologa, junto con ella la transformada de laplace ha sido fundamental ya que en el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinmicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo que son necesarios para resolver ecuaciones diferenciales, lineales mediante la transformacin en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. Actualmente la transformada de laplace la encontramos en la mayora de elementos electrnicos principalmente los sistemas de control presentes en los medios de comunicacin, en la industria, medios de transporte, entretenimiento ya que es all donde este mtodo funciona por el fcil manejo de los modelamientos matemticos. Al aplicar laplace en estos sistemas encontramos la ecuacin diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes fsicas, qumicas y elctricas, logrando un modelo del proceso que es adaptado al controlador que ejerce la funcin de automatizar y regular los procesos donde la seal de entrada se modifica para obtener la seal de salida ideal para que funcionen los componentes electrnicos.

EJERCICIOS TRABAJO COLABORATIVO

Fase 1

Grfica 1.

1.1 Calcular la transformada de Laplace en los intervalos:

0t4

R/:

La ecuacin que cumple con la grafica es:

Por lo tanto:

Desarrollando la transformada de Laplace de la primera funcin:

Integrando por partes:

Desarrollando la transformada de Laplace de la segunda funcin:


Se unen las dos transformadas de Laplace:

Comprobacin por medio del Software MATLAB


4t7

R/:


Desarrollando la transformada de Laplace de la funcin:


Comprobacin por medio de la pagina en lnea de transformada de Laplace WOLFRAM ALPHA


7t9

R/:


Por lo tanto:







Grfica 2.


0t1

R/:


Por lo tanto:



Aplicando nuevamente integracin por partes

Retomando el ejercicio






1t3

R/:


Por lo tanto:







Fase 2

Encuentre la solucin de las siguientes ecuaciones diferenciales aplicando la transformada e inversa de Laplace:C) Y'-Y = cuando y(o) = 2R/:[Y' - Y] = [][Y'] - [Y] = []S [Y] - [0] - [Y] =Veamos a que es igual [][] = . dt = dtdt= -dt= - - (-Evaluamos los dos limites a cero y a infinito nos da a la igualdad de 1dt= Entonces;S [Y] - [Y] = (S 1)[Y] = + [Y] = + = 2( + [Y] - [2] + [Seno h t] Reemplazando en la tabla tenemosY = 2 + Seno h tD) Y' + Y = Coseno t cuando y(0) = R/:[Y'] + [Y] = [Cost]S [Y] [0] + [Y] = (S + 1 )[Y] - 0 = + [Y] = [Y] = ( . ([Y] = []. [Cost][Y] = [ . Cos t ]Y = . Cos tE) Y "+ Y '- Y = 0 cuando y(o) =1, Y '(o) = 0R/:[ Y " + Y '- Y ] = [0 ][ Y "] + [ Y ']- [Y ] = [0 ][ Y ] - [ 0]- Y '[0 ] +[ Y ] + Y [0 ]- [ Y ] = 0( +S - 1 ) [Y ] S (1) - 0 - 1 = 0( + S - 1 ) [Y ] S - 1= 0 [Y ]= Y = []Completando al cuadrado con el denominador - 1 - Hacemos la siguiente operacin( 1 - ) = = Entonces; - (el dos es al cuadrado)Entonces;[ ] = [ ] ;= [ + ;= [ ] + [ ] ;= [ s+]+ ([ s+= [ s+] + ([]) Coseno h ( + . ([])Operando tenemos Coseno h ( + ([ s+Tenemos Coseno h ( + seno h ( . F) Y "-Y '- Y = 0 cuando y(o) =0 , Y '= -3R/:[ Y "-Y '- Y ] = [0 ][ Y "] - [ Y ]'- [Y ] = [0 ][ Y ] - [ 0]- Y '[0 ] - [ Y ] + Y [0 ]- [ Y ] = 0(- S -1 ) [Y ] S (0) + 3 + 0 = 0( - S - 1 ) [Y ] + 3 = 0 [Y ]= Y = [- ]Completando al cuadrado - 1 - hacemos la siguiente operacin:( 1 - ) = = Entonces;[ ] = - 3 [ ] Esto es igual a := . -3[ ]= - [ ] = - [ s-]= seno h (

CONCLUSIONES

Se comprob que la transformada de Laplace es para el diseo de sistemas de control retroalimentados, pues para obtener una funcin de trasferencia es necesario aplicar Laplace y despus esto permite analizar el desempeo y estabilidad del sistema.

Estas transformadas estn definidas por medio de una integral impropia ycambian una funcin en una variable de entrada en otra funcin en otra variable. La transformada de Laplace convierte una funcin enten una funcin en la variables.

Al analizar las aplicaciones es sencillo darse cuenta que la transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la solucin de problemas con funciones de excitacin en escaln unitario, las cuales son un poco complicadas si se analizan por los mtodos convencionales. Tambin es importante hacer notar que con el uso de la transformada de Laplace se tiene un mtodo.

BIBLIOGRAFIAS

Vanegas, Orlando; Montes Montao, Miguel A. Modulo de Matemticas Especiales. (2012). Cartagena.

Pinkus, A., Zafrany, S., Fourier Series and Integral Transforms, Cambridge University Press, 1997.

Pargada, Manuel. Transformada de Laplace. Documento pdf, recuperado de la pagina web: http://www.tecnun.es/asignaturas/metmat/Texto/En_web/Transformada_de_Laplace/Transformada_de_Laplace_1.pdf

Garcia, J, et al (2002). Aprenda Matlab. Escuela superior para ingenieros. Madrid

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