VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
Seventh Edition
Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.
Ders Notu:Hayri ACARİstanbul Teknik Üniveristesi
Tel: 285 31 46 / 116E-mail: [email protected]: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3. Rijit Cisimler:Eşdeğer KuvvetSistemleri
• Bir cisimi maddesel nokta olarak kabul etmek her zaman uygun değildir. Genelde, cisimin boyutları ve kuvvetlerin uygulama noktası önemlidir.
• Mekanikte bir çok cisim rijit olarak kabul edilebilir: kuvvet etkisi altında şekil değişimi çok küçüktür ve denge koşullarını ve cisimin hareketinin etkilemez.
• Bu bölümde, rijit cisime uygulanan kuvvetlerin etkisi ve verilen kuvvet sisteminin daha basit olan eşdeğer kuvvet sistemine dönüştürülmesi incelenecektir
• kuvvetin bir noktaya göre momenti• kuvvetin bir eksene göre momenti• kuvvet çiftinin momenti
• Bir rijit cisime etki eden herhangi bir kuvvet sistemi, bir noktaya etki eden bir kuvvet ve kuvvet çiftinden oluşan eşdeğer bir sisteme dönüştürülebilir.
• Rijit cisimlere etki eden kuvvetler iki gruba ayrılır:
- Dış kuvvetler- İç kuvvetler
• Dış kuvvetler serbest cisim diyagramında gösterilir
• Her kuvvet cisime öteleme hareketi, dönme hareketi veya her ikisini birlikte yaptırabilir.
Dış ve İç Kuvvetler
• Bir kuvvetin tesir çizgisi boyunca kaydırıldığında, cisimin denge veya hareket şartlarında değişiklik olmaz.
• F kuvvetinin uygulama noktasını ön tampondan arka tampona kaydırılması kamyonun hareketini değiştirmez.
• Kaydırılabilme ilkesi iç kuvvetler için ve şekil değiştiren cisimler için kullanılamaz.
Kaydırılabilme İlkesi: Eşdeğer Kuvvetler
İki Vektörün Vektörel Çarpımı• Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, vektörel
çarpım uygulamaları ile daha iyi anlaşılabilir.
• Vektörel çarpım özellikleri:
( )QPPQ ×−=×
( ) 2121 QPQPQQP ×+×=+×
( ) ( )SQPSQP ××≠××
• P ve Q vektörlerinin vektörel çarpımı şu şekilde tanımlanır: 1. Sonuç vektörü V, P ve Q vektörlerinin
oluşturduğu düzleme diktir.2. V vektörünün şiddeti:
3. V vektörünün yönü sağ el kuralı ile belirlenir.
θsinQPV =
Sağ el kuralı
Vektörel Çarpım: Dik Bileşenler• Kartezyen birim vektörlerin vektörel çarpımı:
00
0
=×=×−=×−=×=×=×
=×−=×=×
kkikjjkiijkjjkji
jikkijii
rrrrvrrr
rrrrrrrr
rrrrrrrr
zyx
zyxQQQPPPkjirrr
=
• P ve Q vektörlerinin vektörel çarpımı:
( ) ( )kQjQiQkPjPiPV zyxzyxrrrrrrr
++×++=
( ) ( )( )kQPQP
jQPQPiQPQP
xyyx
zxxzyzzyr
rr
−+
−+−=
Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti
• Bir kuvvet vektörü şiddeti ve yönü ile tanımlanır. Bu kuvvetin cisim üzerindeki etkisi uygulama noktasına bağlıdır.
• F kuvvetinin O noktasına göre momenti:
FrMO ×=
• Moment vektörü MO O noktası ve F kuvvetinin oluşturduğu düzleme diktir.
• Aynı şiddetli ve yönlü moment oluşturan her hangi bir kuvvet F’ , F kuvvetinin eşdeğeridir.
• MO momentinin şiddeti cisimin kuvvet etkisi altında dönme eğiliminin ölçüsüdür. Yönü sağ el kuralı ile belirlenir.
FdrFMO == θsin
yer vektörü
• İki-boyutlu yapılarda uzunluk ve genişlik vardır. Derinlik ihmal edilir. Kuvvetler bir düzlem içindedir.
• Yapı düzlemini O noktası ve F kuvveti oluşturur.MO: kuvvetin O noktasına göre momentidir ve düzleme diktir.
• Kuvvet, yapıyı saat ibrelerinin ters yönünde çevirmeye çalışırsa moment yönü düzlemden dışarıya doğrudur. Bu yön pozitif yön olarak seçilir.
• Kuvvet, yapıyı saat ibrelerinin yönünde çevirmeye çalışırsa moment yönü düzlemden içeriye doğrudur. Bu yön negatif yön olarak seçilir.
Varignon Teoremi
• Bir noktaya etkiyen bir çok kuvvetin bileşkesinin bir O noktasına göre momenti, bu kuvvetlerin O noktasına göre momentlerinin toplamına eşittir:
( ) Lrrrr
Lrrr +×+×=++× 2121 FrFrFFr
Momentin Dik Bileşenleri
kMjMiMM zyxO
rrrr++=
F kuvvetinin O noktasına göre momenti:
kFjFiFFkzjyixrFrM
zyx
O rrrr
rrrrrrr
++=++=×= ,
( ) ( ) ( )kyFxFjxFzFizFyF
FFFzyxkji
M
xyzxyz
zyx
O
rrr
rrr
r
−+−+−=
=
F kuvvetinin B noktasına göre momenti:
FrM BAB
rrr×= /
( ) ( ) ( )zyx
BABABAB
FFFzzyyxx
kjiM −−−=
rrr
r
( ) ( ) ( )kFjFiFF
kzzjyyixx
rrr
zyx
BABABA
BABA
rrrr
rrr
rrr
++=
−+−+−=
−=/
İki-boyutlu yapılar için:
( )
xy
ZO
xyO
yFxFMM
kyFxFM
−==
−=rr
( ) ( )[ ]
( ) ( ) xBAyBA
ZO
xBAyBAO
FyyFxxMM
kFyyFxxM
−−−==
−−−=rr
Örnek Problem 3.1
100 N’luk dik kuvvet O noktasından bağlanmış şafta A noktasından etkimektedir.
a) O noktasına göre momenti,
b) aynı momenti oluşturacak, A noktasına uygulanacak yatay kuvveti,
c) aynı momenti oluşturacak, A noktasına uygulanacak en küçük şiddetli kuvveti ,
d) aynı momenti oluşturacak 240 N’luk düşey kuvvetin yerini,
e) b, c, ve d şıkkında elde ettiğiniz kuvvetlerin orjinal kuvvete eşdeğer olup olmadığını,
belirleyiniz.
N24 cm
a) Kuvvetin O noktasına göre oluşturduğu momentin şiddeti, kuvvetin tesir çizgisiyle moment alma noktası arasındaki dik mesafeyle çarpımı ile bulunur. Moment saat ibreleri yönünde olduğuna göre, yönü sayfa düzleminin içine doğrudur.
( )( )( )cm 12N 100
cm. 1260cos24=
=°==
O
O
Mcmd
FdM
cm N 1200 ⋅=OM
N24 cm
b) Aynı momenti oluşturan A noktasına uygulanacak yatay kuvvet:
( )
( )
cm 8.20cm. N 1200
cm. 8.20cm. N 1200
cm 8.2060sincm 24
⋅=
=⋅=
=°=
F
FFdM
d
O
N 7.57=F
24 cm
c) Aynı momenti oluşturan A noktasına uygulanacak en küçük kuvvet: Bunun için tesir çizgisi ile moment alma noktası arasındaki dik mesafenin en büyük değere sahip olması gerekir. F kuvvetinin şaft eksenine dik olduğu durumda gerçekleşir.
( )
cm42cm N 1200
cm 42cm N 1200⋅
=
=⋅=
F
FFdMO
N 50=F
24 cm
d) aynı momenti oluşturacak 240 N’luk dik kuvvetin uygulama noktası:
( )
cm 5cos60
cm 5N 402
cm N 1200N 240cm N 1200
=°
=⋅
=
=⋅=
OB
d
dFdMO
cm 10=OB
N
e) b, c ve d şıklarında elde edilen kuvvetler orjinal kuvvet ile O noktasına göre eşit şiddetli ve yönlü moment oluşturmaktadırlar. Fakat bu kevvetlerin şiddeti, yönü ve tesir çizgileri farklı olduğu için eşdeğer kuvvet değildirler.
24 cm
24 cm
24 cm
N
N
Örnek Problem 3.4
Dikdörtgen plaka A ve B noktalarından duvara sabitlenmiştir ve CD teli ile desteklenmektedir. Teldeki kuvvetin 200 N olduğu biliniyorsa, telin C noktasından plakaya uyguladığı kuvvetin A noktasına göre momentini hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
F kuvvetinin A noktasına göre momenti MA vektörel çarpım ile bulunur:
FrM ACA
rrr×=
1289612008.003.0
−−=
kjiM A
rrr
r
( ) ( ) ( )kjiM A
rrrvmN 8.82mN 8.82mN 68.7 ⋅+⋅+⋅−=
( ) ( ) jirrr ACAC
rrrrr m 08.0m 3.0 +=−=
FrM ACA
rrr×=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )kji
kji
rr
FFDC
DC
rrr
rrr
rrr
N 128N 69N 120m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200
N 200
−+−=
−+−=
== λ
İki Vektörün Skaler Çarpımı
• İki vektör P ve Q nun skaler çarpım tanımı:
θcosPQQP =•rr
• Scaler çarpım özellikleri:
PQQPrrrr
•=•( ) 2121 QPQPQQP
rrrrrrr•+•=+•
( ) tanimsiz=•• SQPrrr
000111 =•=•=•=•=•=• ikkjjikkjjiirrrvrrrrrrrr
( ) ( )kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx
rrrrrrrr++•++=•
2222 PPPPPP
QPQPQPQP
zyx
zzyyxx
=++=•
++=•rr
rr
• Kartezyen birim vektörlerin skaler çarpımı:
zzyyxx
OL
PPPPP
θθθλ
coscoscos ++=•=rr
• Birim vektör ile tanımlanmış bir eksen için:
İki Vektörün Skaler Çarpımı: Uygulamalar
• İki vektör arasındaki açı:
PQQPQPQP
QPQPQPPQQP
zzyyxx
zzyyxx
++=
++==•
θ
θ
cos
cosrr
• Vektörün verilen eksendeki izdüşümü:
OL
OL
PPQ
QP
PQQP
PP
==•
=•
=
θ
θ
θ
cos
cos
cos
rr
rrP’nin OL boyunca izdüşümü
Vektörlerin Üçlü Karişık Çarpımı
( ) sonucskaler =ו QPSrrr
• S, P ve Q vektörlerinin 6 değişik çarpımı eşit şiddetlidir fakat işaretleri aynı değildir.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )SPQQSPPQS
PSQSQPQPSrrrrrrrr
rrrrrrrrr
ו−=ו−=ו−=
ו=ו=ו
( ) ( ) ( )( )
zyx
zyx
zyx
xyzxyz
zxxzyyzzyx
QQQPPPSSS
QPQPSQPQPSQPQPSQPS
=
−+
−+−=וrrr
Bir Kuvvetin Verilen Bir Eksene Göre Momenti• A noktasına uygalanan F kuvvetinin O noktasına
göre momenti MO :
FrM O
rrr×=
• OL eksenine göre moment MOL, MO momentinin OL ekseni üzerindeki izdüşümüdür:
( )FrMMCosMCosMM OOL
rrrrrrו=•=•=== λλλθθ 000 1
• Momentin bileşenleri:
xyz
zxy
yzx
yFxFMxFzFMzFyFM
−=
−=
−=
zyx
zyx
OL
FFFzyxMλλλ
=
• Bir kuvvetin keyfi bir eksene göre momenti:
( )BABA
BA
BBL
rrrFr
MM
rrr
rrr
rr
−=
ו=
•=
λ
λ
• Sonuç verilen eksendeki B noktasından bağımsızdır.
a) A noktasına göre,b) AB kenarına göre,c) AG köşegenine göre momentlerini
bulunuz.d) AG ile FC.doğruları arasındaki dik
uzunluğu bulunuz.
P kuvveti A küpüne F köşesinde etkimektedir. P kuvvetinin
Örnek Problem 3.5
• P kuvvetinin A noktasına göre momenti:
( )( ) ( )( ) ( )kjPjiaM
kjPjiPP
jiajaiar
PrM
A
AF
AFA
rrrrr
rrrrr
rrrrr
rrr
−×−=
−=+=
−=−=
×=
)2/(
)2/()2/1()2/1(
( )( )kjiaPM A
rrrr++= 2/
• P kuvvetinin AB eksenine göre momenti:
( )( )kjiaPi
MiM AABrrrr
rr
++•=
•=
2/
2/aPM AB =
• P kuvvetinin AG köşegenine göre momenti:
( )
( )
( ) ( )
( )1116
2312
31
3
−−=
++•−−=
++=
−−=−−
==
•=
aP
kjiaPkjiM
kjiaPM
kjia
kajaiarr
MM
AG
A
GA
GA
AAG
rrrrrr
rrrr
rrrrrrr
r
rr
λ
λ
6aPM AG −=
• AG ile FC doğruları arsındaki dik mesafe:
( ) ( ) ( )
0
11063
12
=
+−=−−•−=•PkjikjPP
rrrrrrrλ
Bu nedenle, P vektörü AG.köşegenine diktir.
PdaPM AG ==6
6ad =
Bir Kuvvet Çiftinin Momenti
• İki kuvvet F ve -F aynı şiddete, paralel tesir çizgisine fakat zıt yönlere sahip ise kuvvet çifti oluştururlar
• Kuvvet çiftinin momenti:
( )( )
FdrFMFr
FrrFrFrM
BA
BA
==×=
×−=
−×+×=
θsin
rr
rrr
rrrrr
• Kuvvet çiftinin moment vektörü seçilen koordinat merkezinin yerinden bağımsızdır: Serbest vektördür ve herhangi bir noktaya uygulandığında aynı etkiyi oluşturu.
İki kuvvet çiftinin momentini aynı olması için:
2211 dFdF =
• Paralel düzlemlere sahip olması gerekir
• Her iki kuvvet çiftinin oluşturduğu momentlerin yönleri aynı olmalıdır.
• Ayrıca
Kuvvet Çiftlerinin Toplanması• Kuvvet çiftleri içeren P1 ve P2 kesişen
düzlemleri için:
222
111
düzlem
düzlem
PFrM
PFrMrrr
rrr
×=
×=
• Vektörlerin bileşkesi de kuvvet çifti oluşturur:
( )21 FFrRrMrrrrrr
+×=×=
• Varignon theoremi kullanılırsa:
21
21
MMFrFrM
rr
rrrrr
+=
×+×=
Kuvvet Çiftleri Vektörlerle Gösterilebilir
• Bir kuvvet çifti, kuvvet çiftinin oluşturduğu momentle aynı şiddete ve yöne sahip vektörle gösterilebilir.
• Kuvvet çifti vektörleri vektörel toplama kurallarına uyarlar.
• Kuvvet çifti vektörleri serbest vektördürler. Uygulama noktası yerinin önemi yoktur.
• Kuvvet çifti nektörleri bileşenlerine ayrılabilir.
Bir Kuvvetin O Noktasında Bir Kuvvet ve Kuvvet Çiftine Çözümlenmesi
• Kuvvet vektörü F, O noktasına kaydırılırken sadece basit taşıma işlemi yapılmaz.
• O noktasında F kuvvetiyle aynı şiddete sahip zıt vektörler yerleştirilirse sistemde değişikliğe neden olmaz.
• Bu üç kuvvet eşdeğer bir kuvvet ve kuvvet çifti ile yer değiştirebilir: Kuvvet-Kuvvet çifti sistemi.
• F kuvvetinin A noktasından O’ noktasına kaydırılması farklı bir kuvvet çiftinin toplamını gerektirir, MO’ :
FrM O
rrr×′='
• F kuvvetinin O’ noktalarına göre momentleri:
( )FsM
FsFrFsrFrM
O
Orrr
rrrrrrrrrr
×+=
×+×=×+=×= ''
• Kuvvet-Kuvvet çifti sisteminin O noktasından O’ noktasına taşınması, Onoktasındaki kuvvetin O’ noktasına göre momentinin toplamını gerektirir.
Şekildeki iki kuvvet çiftinin tek bir kuvvet çifti için bileşenlerini bulunuz.
Çözüm
• Verilen kuvvet çiftlerinin hesabını kolaylaştırmak için A noktasına +x doğrultularında 20 N’luk iki kuvvet ilave edilebilir. Böylece toplamı kolay olan 3 kuvvet çifti oluşur.
• Alternatif olarak, iki kuvvetin uygulama noktası olduğu için (bu kuvvetlerin momenti sıfır olacaktır), D noktasına göre momentler hesaplanabilir.
Örnek Problem 3.612 cm
12 cm
9 cm
9 cm
20 N
20 N
30 N
30 N
• A noktasına 20 N şiddetli +x yönlerinde iki kuvvet ilave edilirse:
• Üç kuvvet çifti:
( )( )( )( )( )( ) cmM
cmNMcmM
z
y
x
⋅+=+=
⋅+=+=⋅−=−=
N 180cm 9N 20
240cm 12N 20N 540cm 18N 30
( ) ( )( )kcm
jcmNicmMr
rrr
⋅+
⋅+⋅−=
N 180
240N 540
12 cm
12 cm
9 cm
9 cm
20 N
20 N
30 N
30 N
20 N
20 N
• Alternatif olarak, kuvvetlerin Dnoktasına göre momenti hesaplanabilir:
• D noktasına göre sadece C ve Enoktalarındaki kuvvetlerin momentleri vardır.
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )ikj
kjMM Drrr
rrrr
N 20cm 12cm 9
N 30cm 18
−×−+
−×==
( ) ( )( )kcm
jcmNicmMr
rrr
⋅+
⋅+⋅−=
N 180
240N 540
12 cm
12 cm
9 cm
9 cm
20 N
20 N
30 N
30 N
Kuvvet Sistemlerinin Kuvvet ve Kuvvet Çiftine Çözümlenmesi
• Kuvvetler sistemi O noktasına göre bir kuvvet ve kuvvet çiftine çözümlenebilir.
• Bilşeke kuvvet ve kuvvet çifti vektörleri:
( )∑∑ ×== FrMFR RO
rrrrr
• O noktasındaki kuvvet ve moment çifti O’ noktasına kaydırılırsa:
RsMM RO
RO
rrrr×+='
• İki kuvvetler sistemi aynı kuvvet-kuvvet çiftine çözümlenebiliyorsa eşdeğerdir.
Şekildeki kiriş için, kuvvetler sistemini
(a) A noktasındaki eşdeğer kuvvet-kuvvet çiftine
(b) B noktasındaki eşdeğer kuvvet-kuvvet çiftine ve
(c) tek bir kuvvete indirgeyiniz
Not: Mesnet tepkileri katılmayacağı için verilen kuvvet sistemi etkisi altında kiriş dengede değildir.
Örnek Problem 3.8
a) Kuvvetleri A noktasına taşırsak:
( ) ( ) ( ) ( ) jjjjFR
rrrr
rr
N 250N 100N 600N 150 −+−=
= ∑
( ) jRrr
N600−=
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )jijiji
FrM RA
rr
rrrr
rrr
2508.41008.26006.1
−×+
×+−×=
×= ∑
( )kM RA
rrmN 1880 ⋅−=
b) B noktasındaki eşdeğer kuvvet-kuvvet çiftini bulmak için A noktasındaki kuvvet-kuvvet çiftini kullanabiliriz.
( ) jRrr
N 600−=
( ) ( ) ( )( ) ( )kk
jik
RrMM ABRA
RB
rr
rrr
rrrr
mN 2880mN 1880
N 600m 8.4mN 1880
⋅+⋅−=
−×−+⋅−=
×+=
( )kM RB
rrmN 1000 ⋅+=
Şekildeki dirseğe etki eden 3 kuvvet yerine A noktasına etkiyen eşdeğer bir kuvvet-kuvvet çifti bulunuz.
Örnek Problem 3.10
Kuvvet vektörlerinin A noktasına göre yer vektörleri:
( )( )( )m 100.0100.0
m 050.0075.0
m 050.0075.0
jir
kir
kir
AD
AC
AB
rrr
rrr
rrr
−=
−=
+=
• Kuvvetlerin bileşenleri:
( )
( )N 200600300
289.0857.0429.0
1755015075
N 700
kjiFkji
kjirr
F
B
BE
BE
B
rrrr
rrr
rrrrr
rr
+−=
+−=
+−==
=
λ
λ
( )( )( )N 1039600
30cos60cosN 1200ji
jiFDrr
rrr
+=
+=
( )( )( )N 707707
45cos45cosN 1000ji
jiFCrr
rrr
−=
−=
• Eşdeğer Kuvvet:
( )( )( )k
ji
FR
r
r
r
rr
707200
1039600600707300
−+
+−+
++=
= ∑
( )N 5074391607 kjiRrrrr
−+=
• Kuvvet Çifti:
( )
kkji
Fr
jkji
Fr
kikji
Fr
FrM
DAD
cAC
BAB
RA
r
rrr
rr
r
rrr
rr
rr
rrr
rr
rrv
9.163010396000100.0100.0
68.177070707050.00075.0
4530200600300050.00075.0
=−=×
=−−=×
−=−
=×
×= ∑
kjiM RA
rrrr9.11868.1730 ++=
F
d
M=Fd
dF
Kapı
Menteşe
Duvar Duvar
M=Fd
Civata sıkılması
Kapı açılması