8/3/2019 Probleme de sinteza
1/16
E:5760 G.M. 1/1977
Pe cercul de diametru [ ]BC se ia punctul A astfel nct dac AB este latur a unui poligon
regulat nscris n acest cerc, atunci i AC este latur a unui poligon regulat nscris n acelai
cerc. S se afle toate poziiile pe care le poate lua punctul A pe cerc.V.ifui, Piatra Neam
Soluie.
Limitm deocamdat locul punctului A la unul din semicercurile determinate de diametrul [ ]BC .
Ducem OM AB ; n triunghiul isoscel [ ],OAB OM este median, nlime i bisectoarea
unghiuluinAOB .
Dac [ ]AB este latura unui poligon regulat cu n laturi, atuncin
( ) 360m AOB n
=
n( ) n( )1 180
2m AOM m AOB
n
= =
n triunghiul dreptunghic AMO , n180 180
sin sin 2 sin2
AM AB AOM AB R
n OA R n
= = = =
Analog, dac[ ]AC este latur a unui poligon regulat cu m laturi, avem180
2 sin AC Rm
=
Teorema lui Pitagora n triunghiul dreptunghic BAC se scrie ( )22 2 2
2 AB AC BC R+ = =
( )
2 2
2 2 2 2180 180 180 180 1802 sin 2 sin 2 sin sin 1 sin R R Rn m n m n
+ = + = =
2 2180 1801 sin cos
m m
= =
Dar , 3n m , deci unghiurile de msuri180
n
i
180
m
sunt ascuite; rezult
180 180 180 180 180 1 1 180sin cos sin 90 90 180
2n m m n m n m
= = = + =
8/3/2019 Probleme de sinteza
2/16
Rezult c ,m n verific ecuaia ( )1 1 1 1
2 02 2
m nmn m n mn
n m mn
++ = = + =
( ) ( ) ( )2 4 4 2 2 4m n m n + + = = Cum m i n sunt numere ntregi, avem posibilitile :
i) n( )2 1 3 360
1202 4 6
n nm AOB
m m n
= =- - = =
= =
ii) n( )2 2 4 360
902 2 4
n nm AOB
m m n
= =- - = =
= =
iii) n( )2 4 6 360
602 1 3 6
n nm AOB
m m
= =- - = =
= =
Deci, dac limitm locul lui A la unul din semicercuri, obinem trei poziii convenabile pentru A ;pe ntreg cercul sunt ase poziii, anume :
- cele patru vrfuri ale hexagonului regulat nscris n cerc, n care B i Csunt vrfuri opuse,excluznd B i C ;
- capetele diametrului perpendicular pe [ ]BC .
8/3/2019 Probleme de sinteza
3/16
8901 - G.M.B. 5/1968 + 22442 G.M. 8/1991
n punctele A i B ale unui cerc, care nu sunt diametral opuse, se duc dou tangente lacerc, care se ntlnesc n C . Prin A se duce o paralel la BC , care taie cercul n D . Dreapta
CD taie cercul n E , iar dreapta AE intersecteaza pe BC n F . S se demonstreze c:a) n n n ADE CAE BCE b) Triunghiurile ACF i CEF sunt asemenea;
c) EFFAFC =2
d) [ ] [ ]FCFB
e) S se determine msura unghiului lCastfel nct EFAE 2= .
Eliza Rizescu, Bucureti
f) S se arate c 2 2 24 2 AF AC AB= + Adrian Blel, profesor, Rm. Vlcea
Soluie.
a) n n ADE BCE , ca alterne interne formate de dreptele AD i BC cu secanta DC . Dar
n( ) p( ) n( )1
2m ADE m AE m CAE = = n n n ADE CAE BCE .
b) Conform punctului a), cele dou triunghiuri au n nCAF ECF . n plus, mai avem n n AFC CFE (unghi comun). Rezult c ele sunt asemenea(cazul II).c) Scriem asemnarea triunghiurilor de la punctul b):
EFAFFCFC
AF
EF
FC==
2
d) Puterea lui F fa de cerc se scrie ( ) 22 OBFOAFEFF == ( O este centrulcercului). Dar triunghiul OBF este dreptunghic n B , deci:
222FBOBFO = .
Rezult c 22 FCFBAFEF == (conform punctului c)), deci [ ] [ ]FCFB .e) Fie { } { } ACBEGABCDH == , . Conform teoremei lui Ceva n triunghiul ABC pentrucevienele concurente , AF BGi CH , avem:
( )1 1 AG FC BH AG AH
GC FB AH GC BH = =
Scriem relaia lui Van Aubel:
8/3/2019 Probleme de sinteza
4/16
CG
AG
BH
AH
EF
AE+=
inem acum cont de ipoteza EFAE 2= i de relaia ( )1 i obinem:
1==BH
AH
CG
AG [ ]CH este median n ABC .
Triunghiul ABC este isoscel ( [ ] [ ]CBCA , ca tangente duse din C la cerc), deci
mediana[ ]CH este i nlime CH AB . Pe de alt parte, ABOH (diametrul este
perpendicular pe mijlocul coardei) punctele , ,O C H sunt coliniare [ ]ED diametru al
cercului n( ) 90m EAD = (unghiul nEAD fiind nscris n semicercul qEBD ) EA AD .Dar AD BC EA BC & [ ]AF este median i nlime n triunghiul ABC
[ ] [ ] [ ]BCACAB , adic triunghiul ABC este echilateral. Rezultl
( ) 60m C = .f) Teorema medianei n ABC se scrie 2 2 2 24 2 2 AF AB AC BC = + . Cum AC BC = ,
rezult imediat c 2 2 24 2 AF AB AC = + , q.e.d.
8/3/2019 Probleme de sinteza
5/16
16968 G.M. 12/1977 + 20482* - G.M. 7/1985Cercurile de centre
1O i
2O se taie n punctele A i B . Tangenta n A la cercul ( )1O taie
cercul ( )2O n D , iar tangenta n A la cercul ( )2O taie cercul ( )1O n C . Se noteaz
N intersecia lui BCcu cercul ( )2O i M intersecia lui BD cu cercul ( )1O . S se arate c :
a) [ ] [ ] DM CN (16968, G.M. 12/1977, Refica Mustafa)
b) Triunghiurile AMC i AND sunt isoscele i asemenea (20482*, G.M. 7/1985, DanielLesnic)
c) Fie { } H MC DN = . S se calculeze raportul2
2
DH BD
CH BC
(V. Brnznescu, concursul
G.M., cl. VII-VIII, august 1990, G.M. 10-11-12/1990)
Soluie.
Am pstrat pentru uniformitate notaiile problemei 16968. ncepem cu punctul b).
Patrulaterul ABDN este nscris n cercul ( )2O , decin( ) n( )m ADN m ABN = . Unghiul
nABN este exterior patrulaterului ABCM , deci n( )n
( )p
( )12m ABN m AMC m AC = = (n cercul
( )1O )n( ) p( )
1
2m CAD m AD= = (n cercul ( )2O )
n( )m AND= . Aadar, triunghiul AND esteisoscel. n mod analog, se arat c i triunghiul AMC este isoscel. Asemnarea celor dou
triunghiuri este asigurat de congruenan n AMC ADN .
a) Asemnarea dovedit ne asigur c n( ) n( )m MAC m DAN = . Adunm la cele dou msura
unghiului nCAD i obinem n( ) n( )m MAD m CAN = . Cum [ ] [ ] AD AN i [ ] [ ] AM AC ,
8/3/2019 Probleme de sinteza
6/16
rezult congruena ( )L.U.L. DAM NAC . De aici, obinem c [ ] [ ] DM CN , ceeace rezolvi problema 16968.
c) n rezolvarea punctului b), am dovedit cn n nCAD AMC ACM (triunghiul AMC isoscel),
ceea ce arat c AD CM & , deoarece formeaz unghiuri alterne interne congruente cu secanta
AC . Analog, AC DN & . Patrulaterul ADHCeste paralelogram, deci CH AD= i
DH AC = .
Avem n( ) p( )1
2m ACB m AB= (n cercul ( )1O )
n( )m DAB= (unghi format de tangenta AD cu
coarda AB ). Analog, n( ) n( )m CAB m ADB= , ceea ce demonstreaz asemnarea triunghiurilor
ABCi DBA . Aadar, AB BC AC
BD AB AD= = . Deci,
2
BC AB BC AC
BD BD AB AD
= =
.
Raportul de calculat se scrie
22 2
2 21
DH BD AC AD
CH BC AD AC
= =
.
8/3/2019 Probleme de sinteza
7/16
16043 G.M. 9/1976
Considerm triunghiul dreptunghic isoscel l( )( )90 ABC m A = i linia mijlocie [ ]DE ,
( ) ( )( ), D BC E AB . Fie F mijlocul lui [ ]DE . Notm { } { },G AF BC H CF AB= = .Paralelele duse prin G i H la CF , respectiv la AF taie laturile AB i BCn K , respectiv I .
Fie { } L GK HI = . S se arate c :
a) , BH BA IH HB CI LG
KH KA LH KB GI KG= = .
b) Punctele , , B L F sunt coliniare.
c) IK AB .Doru P. Firu, Cireu, Mehedini
Soluie.
a) Se scrie teorema lui Menelaus :- n DEB pentru transversala AFG :
1 DF AE GB
FE AB GD = ns F este mijlocul lui ( )DE i E al lui ( )AB , deci 1
DF
FE= i
1
2
AE
AB= ; rezult
2 1 12
3 2 3
GB GB GB GB GB GC
GD GD GB BD BC BD BC = = = = = =
+
2 31
3 2
GB BC
BC GC = = =
- n AGB pentru transversala CFH :
1 AH BC FG
BH GC FA =
[ ]DE este linie mijlocie n ABC , deciFG DF
DE AC GDF GCAGA CA
=&
dar1 1 1 1
2 4 4 3
DF DE FG FG FG
CA CA GA GA FG FA= = = = =
Rezult3 1 1 1
1 22 3 2 3
AH AH BH BH BH
BH BH AH AH BH AB = = = = =
+
8/3/2019 Probleme de sinteza
8/16
- n CHB pentru transversala AFG :
1FC AH GB
FH AB GC = ; tim ns c
1 1
3 2
GB GB GB
BC BC GB GC = = =
i c 2
AH
BH=
2
3
AH AH
BH AH AB = =
+; nlocuind, obinem 2 1 1 3
3 2
FC FC
FH FH = =
4
3
FH FC CH
FC FC
+ = =
Deoarece GK CH & , rezult (teorema lui Thales n BHC ) c3
2
BH BC
KH GC = =
2 1 1 1 81 ;
3 3 3 9 9
KH BK KH BK BH AB AK AB BK AB
BH BH BH = = = = = = =
98 8
9
BA AB
KAAB
= =
Patrulaterul FGLH este paralelogram, deci IH IH
LH FG LH FG
= = . Cum ns
FG IH & , avem4
3
IH CH CI IH CFG CHI
FG CF CG LH = = =
Se verific acum prima egalitate,3 9 4
2 8 3
BH BA IH
KH KA LH
= = =
Asemnarea CFG CHI ne-a furnizat valoarea raportului4
3
CI
CG= ; calculm
4CI CI
GI CI CG= =
Cum LG FH = , avem LG FH
KG KG= ; valoarea acestui raport rezult din asemnarea
2
2 9 33
8 3 8 49
ABFH AH
AFH AGK
KG AK AB
= = = =
Mai sus am obinut1
33
BK HB
BH KB= = ; putem acum verifica i a doua egalitate :
33 4
4
HB CI LG
KB GI KG= = =
b) Se noteaz { } M BL GH = . n BHG , cevienele , BK HIi GM sunt concurente;
teorema lui Ceva se scrie 1GM HK BI
HM BK IG =
8/3/2019 Probleme de sinteza
9/16
ntruct IH AG& , avem1
2
BI BH
IG AH = = ; cum 3 2
HB HK HB BK
KB BK BK
= = = ;
rezult
1
2 12
GMGM HM M
HM = =
este mijlocul lui [ ]GH
Fiindc FGLH este paralelogram, diagonala FL trece prin mijlocul M al lui [ ]GH ,
deci punctele , ,F L M sunt coliniare; cum i , , B L M sunt coliniare, rezult c
, , B L F sunt coliniare, q.e.d.
c) Observm c1
2
BI BK IK GH
IG KH = = & (reciproca teoremei lui Thales n BGH )
ns i1
2
BG BH GH AC
GC AH = = & (reciproca teoremei lui Thales n BAC ), deci
IK AC & ; cum
AC AB
, rezult IK AB
, q.e.d.
8/3/2019 Probleme de sinteza
10/16
22609 G.M. 2-3/1992
Fie triunghiul , ABC Icentrul cercului nscris, iar B i C punctele de intersecie ale lui BI i
CI cu AC , respectiv AB . S se demonstreze c l
( )60m A = daci numai dac exist un
punct A BC astfel nct I s fie centrul de greutate al triunghiului A B C .Marius Crainic, student, Cluj
Soluie.
Presupunem c exist A BC cu proprietatea din enun. Se noteaz { }1 B BB C A = i
{ }1C CC B A = . Conform teoremei bisectoarei n triunghiurile BC A i CB A , avem :
1
1
C B BC
A B BA
=
, respectiv 1
1
B C CB
A C CA
=
Deoarece I este centrul de greutate al triunghiului A B C , [ ]1B B i [ ]1C C sunt mediane ale
triunghiului, iar1
B i1
C sunt mijloacele laturilor [ ]A C , respectiv [ ]A B . Din relaiile de mai
sus, rezult c BC BA = i CB CA = .
Este ns evident c ( ) A BC (altfel, Int I A B C , deci nu poate fi centrul de greutate
al triunghiului). Rezult c putem scrie ( )1 BC BA CA BC CB = + = + .Se calculeaz cu ajutorul teoremei bisectoarei i al proporiilor derivate lungimile segmentelor
BC i CB : BC BC a BC a BC a ac
BC AC AC b AC BC a b c a b a b
= = = = =
+ + + +
n mod similar, avemab
CBa c
=+
. Relaia ( )1 devine 1ac ab c b
aa b a c a b a c
= + + =+ + + +
( ) ( ) ( ) ( )c a c b a b a b a c + + + = + +2 2 2
ac c ab b a ab ac bc + + + = + + + 2 2 2
b c a bc + =
Din teorema cosinusului, avem 2 2 2 2 cosb c a bc A+ = , deci1
2 cos cos2
bc A bc A= =
l( ) 60m A = .Reciproc, raionamentul decurge n sens invers.
8/3/2019 Probleme de sinteza
11/16
20179* - G.M. 8/1984
Fie ABC un triunghi oarecare i1 1 1
, , AA BB CC bisectoarele sale, cu ( )1 A BC , ( )1 B CA ,
( )1C AB . Ducem ( )1 2 2, A A AC A AC , ( )1 2 2, B B CA B AB i 1 2C C BC ,
( )2C BC . S se arate c 1 2 1 2 1 29
2A A B B C C r + + , unde reste raza cercului nscris n
triunghiul ABC.Ramazan Birant, student, Bucureti
Soluie.
Pornim de la inegalitatea lui Nesbitt : ( )3
, , , 02
a b ca b c
b c c a a b+ + >
+ + +La aceasta se
adun 3 :9 9
1 1 1
2 2
a b c a b c b c a c a b
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + ++ + + + + + +
+ + + + + +
n cazul n care , ,a b c sunt laturile unui triunghi, putem nota 2a b c p+ + = :
1 1 1 92
2p
b c c a a b
+ +
+ + +
Aceasta se nmulete cu raza cercului nscris r, innd seama de formula S pr= :
( )1 1 1 9
2 12
S rb c c a a b
+ +
+ + +
n ABC se duce nlimea AD BC . Avem ABCS S AD BC = = i 1 11
2AACS CA AD= .
Calculm raportul de arii 1 1AACS CAS BC
= . Conform teoremei bisectoarei, 1
1
CA AC b BA AB c
= =
1CA b
BC b c =
+; rezult
1AAC
bS S
b c=
+.
Pe de alt parte,1 1 2 1 2 1 2
1 1 2
2 2AA C
b SS A A AC S b A A A A
b c b c= = =
+ +. Analog, se
arat c1 2 1 2
2 2,
S S B B C C
c a a b= =
+ +. Inegalitatea ( )1 se rescrie sub forma :
1 2 1 2 1 2
9
2A A B B C C r + + , q.e.d.
8/3/2019 Probleme de sinteza
12/16
O:677 G.M. 2-3/1992
ntr-un triunghi oarecare ABC ducem bisectoarea ( ), AD D BC . Notm cu Emijlocul
lui ( )BC , cu M al doilea punct n care dreapta AD taie cercul circumscris triunghiului i cu
P proiecia lui Epe AD . S se demonstreze c
2
2
BC AP DM
=
.
Nicolae Oprea, lector univ., Baia Mare
Soluie.
Se scrie n dou moduri puterea punctului D fa de cerc : BD DC AD DM = i se nlocuiesc lungimile , , BD DC AD cu expresiile binecunoscute n funcie de laturile , ,a b c aletriunghiului :
( ) ( ) ( )
2
2 2
ac ab BD DC a bcb c b cDM
AD bc b c p p ap p a
b c
+ +
= = =
+
+
Fie ,B C interseciile lui EP cu AB , respectiv cu AC. Se scrie teorema lui Menelaus n
triunghiul ABC pentru transversala B EC :
1 AB BE CC
BB CE AC
=
Dar triunghiul AB C este isoscel, deoarece [ ]AP este bisectoare i nlime; din relaia de
mai sus, rezult2 2
AB AC b c BB CC AB AB AC AC AB AC + + = = = = =
Din triunghiul dreptunghic APB , avem cos cos2 2
A AP A AP AB
AB= =
( )
2
p p ab cAP
bc
+ = .
Se calculeaz direct( )
( ) ( )
22 2
2 4 22
p p ab c a bc a BC AP DM
bc b c p p a
+ = = =
+ ,
q.e.d.
8/3/2019 Probleme de sinteza
13/16
8/3/2019 Probleme de sinteza
14/16
O:684 G.M. 5/1992
Considerm triunghiul oarecare ABCi ( ) M BC un punct mobil ale crui proiecii pe ( )AB
i ( )AC sunt punctele N i P . S se demonstreze c :
2 AM AN AP AN AP
k NP MP MN MN MP
+ + + =
Doru P. Firu, profesor, Orova
Soluie.
Se noteaz n( ) n( ), BAM CAM A = = + = . n patrulaterul inscriptibil APMN sescrie a doua teorem a lui Ptolemeu (datorat de fapt matematicianului indian Brahmagupta) :
AM AN AP MN MP
NP NA NM PA PM
+ =
+
nlocuind raportulAM
NPn relaia care trebuie demonstrat, obinem :
2 AN AP MN MP AN MN AP MP AN APk NA NM PA PM MP MN MN MP
+ + + + = +
( )1 2 1 AN AP AN AP
k MN MP MN MP
+ + + =
n triunghiurile dreptunghice ANM i APM avem :
ctg , ctg AN AP
MN MP = =
Relaia ( )1 se rescrie sub forma :
( ) ( )1 ctg ctg
1 ctg ctg ctg + ctg 2 ctg +ctg + ctg
k k
+ + = = =
ctgk A =
Deci, relaia din enun se verific dac alegem pentru kvaloarea ( )ctg A
8/3/2019 Probleme de sinteza
15/16
E:10276* G.M. 7/1991Patrulaterul convex ABCD are diagonalele AC i BD perpendiculare i AB BC . Fie
( )P DE , unde { } E AC BD= . Dac aria triunghiului ABCeste medie proporional ntre
ariile triunghiurilor APCi ADC , atunci cercul circumscris triunghiului ABCconine punctul deintersecie al dreptelor AP i DC .
Laureniu N. Gaiu, Bucureti
Soluie.
Fie { }F AP DC = . Se noteaz , , , AB c BC a CA b DE d = = = = . Teorema lui Pitagora n
ABC stabilete ntre , ,a b c relaia 2 2 2b a c= + .
Conform teoremelor catetei i nlimii, avem2 2
, ,a c ac
CE AE BE
b b b
= = = . Se calculeaz
ariile1
2ABC
S ac= ,1 1
2 2APC
S PE AC PE b= = i1
2ADC
S bd= .
Condiia ( )2
ABC ADC APC S S S= se scrie
2 2
2 2 2
2
1 1
4 4
a ca c b d PE PE
b d= =
Rezult2 2 2 2 2 2
2 2
a c b d a c DP d PE d
b d b d
= = =
Calculm n4 2 2 4
2 2 2
2
a b d a DEC DC DE CE d
b b
+ = + = + = i n AED
4 2 2 42 2 2
2
c b d c AD AE DE d
b b
+= + = + =
Teorema lui Menelaus n DEC pentru transversala APF se scrie :2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 21
DP AE FC DF DP AE b d a c b d c b d a c
PE AC DF FC PE AC b d a c b a b
= = = = , deci
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2
DF b d a c b d a c b d a c
DC b d a c a b b d ab d a b c
= = =
+ ++
8/3/2019 Probleme de sinteza
16/16
Se calculeaz2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 4 2 2 4
b d a c b d a b d a c b d a c DF DC
b d a b b d a b b d a
+ = = =
+ + +
i
2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2 4 2 2 4
b d a b d a c b d a b d a c a bFC DC DF b b b d a b b d a b d a
+ + += = = =
+ + +
2 2 2
2 2 42 2 4 2 2 4
FC a b b a b
DC b d ab d a b d a
= =++ +
Se scrie relaia lui Stewart n ADC pentru ceviana [ ]AF :
2 2 2 2 2 2FC DF AD CF AC DF AF DC DF FC DC AD AC AF
DC DC + = + + = +
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4
b d c a b b d a c b d a c a b DF FC b AF
b b d a b d a b b d a b d a
+ + + = +
+ + + +
( )4 2 2 2 2 2 22 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 22
2 2 4 2 2 4
b d a c c a ba b d a c b d a b c a b d a cAF
b d a b d a
+ + + + + = =
+ +
4 2
2
2 2 4
b dAF
b d a =
+
n triunghiul AFCse verific relaia :
( )2 2 2 44 2 4 22 2 2 2
2 2 4 2 2 4 2 2 4
b b d ab d a b AF CF b AC
b d a b d a b d a
++ = + = = =
+ + +
Rezult c AF FC , conform reciprocei teoremei lui Pitagora. Patrulaterul ABCF este
inscriptibil, avndn
( )n
( ) 180m ABC m AFC + =
, deciF
este situat pe cercul circumscristriunghiului ABC , q.e.d.
Recommended