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ROBTICAModelacin Dinmica y Simulacin de Robots
Miguel Torres TorritiPONTIFICIAUNIVERSIDADCATLICADECHILEESCUELADEINGENIERADepartamento de Ingeniera Elctrica
V ESCUELA DE VERANO LATINO AMERICANA EN ROBTICAUniversidad de Chile
14 diciembre 2011
EVLAR 2 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Contenidos
Cinemtica Directa y el Procedimiento de Denavit-Hartenberg
Dinmica Inversa y el Algoritmo Recursivo deNewton-Euler
ABB IRB2400
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EVLAR 3 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Por qu simular?
EVLAR 4 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Por qu simular?
Disear/verificar antes de construir Experimentar sin destruir equipo costos Entrenar/Experimentar en un ambiente controlado y
sin peligro
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EVLAR 5 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Cuidado!
Of the thousands of ways computers have been misused,simulation tops the list. The reasons for this widespread abuseare not hard to find:
1. Every simulation simulates something, but theres no particularreason it should simulate what the simulator had in mind.
2. Computer outputs are readily mistaken for gospel, especially bypeople who are working in the dark and seeking any sort ofbeacon.
3. Simulation languages have succeeded in making it easier toachieve impressive simulations, without making it easier toachieve valid simulations.
4. There are no established curricula based on extensive practicalexperience. Thus, everyone is an "expert" after writing onesimulation, of anything, in any language, with any sort of result.
5. The promise of simulation is so great that its easy to confusehope with achievement.
- Simulation: Principles and Methods, Graybeal and Pooch, 1980.
EVLAR 6 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Criterios de Implementacin
Tipos de Coordenadas: Representaciones Maximales (aka, absolutas, Lagrangianas)
Usadas en Grfica Computacional, Physics Engines (Baraff,Mirtich)
Requieren la solucin de un Linear Complementarity Problem(LCP) para manejar las restricciones y colisiones(Anitescu+Potra, Trinkle).
No hay que preocuparse de rotaciones relativas entre cuerpos,todo es con respecto a un sistema inercial absoluto.
Reducidas (aka, generalizadas, recursivas): Usadas en Multibody-Rigid Systems, Robtica Soluciones computacionalmente rpidas para la dinmica
directa: Composite-Rigid Body Algorithm (Walker+Orin, 1982). Articulated-Rigid Body Algorithm (Featherstone, 1987).
Resulta difcil incorporar restricciones y colisiones.
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EVLAR 7 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Arquitectura de un Simulador
SimulationParameters
File
TimeStepper
MotionSolver
ConstraintSolver
Collision
Detector
CollisionHandler
1 2
5
6
User
3
4
7 (NO)
7 (YES)
8
x(t0), T
Adjust T
x(t0)
x(t0+t)
c(t0)
Fc(t0+t) Ic=Fc(t0+t)t
Contact regions
x(t0+T)
EVLAR 8 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Cinemtica del Brazo Robtico
Estudio analtico de la geometra del movimiento deun brazo robtico con respecto a un sistema decoordenadas fijo en funcin del tiempo sinconsiderar las fuerzas/torques que originan dichomovimiento.
Los dos problemas fundamentales concernientes aldesplazamiento espacial del brazo robtico son:1. Cinemtica Directa: Dadas las coordenadas generalizadasde las articulaciones y los
parmetros geomtricos del robot, donde n es el nmero degrados de libertad, determinar cul es la posicin del efectorfinal con respecto a sistema de coordendas de referencia.
2. Cinemtica Inversa: Dadas una posicin y orientacin delefector final, cules son los distintos posibles valores quecada articulacin debe tener.
)()()()( 21 tqtqtqtq n
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EVLAR 9 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar Links and Joints
link 0
link 1
link 2
Se requiere conocer el ngulo de cada articulacin (coordenadasgeneralizadas)para toda posicin deseada de la herramienta enespacio de trabajo (coordenadas del mundo).
Dibujado en pizarrn.
EVLAR 10 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar Coordinate Systems
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
y0
y1
Dibujado en pizarrn.
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EVLAR 11 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar End Effector
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
y0
y1
z2=ay2=s
x2=n
x2=n
z2
y2=s
Dibujado en pizarrn.
EVLAR 12 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar DH Parameters
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
y0
y1
z2=ay2=s
x2=n
x2=n
z2
y2=s
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RR-Planar
d1
a1
d2
a2
Art icu laci n i i d i ai i
1 q1 d1=0 a1 0
2 q2 d2=0 a2 0
Dibujado en pizarrn.
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EVLAR 13 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-Hartenberg
linki
joint i
joint i+1
joint i-1
yi-1
zi-1zi
xiyi
di
i
ai
ilink i-1
xi-1
Dibujado en pizarrn.
EVLAR 14 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-HartenbergDibujado en pizarrn.
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EVLAR 15 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-HartenbergDibujado en pizarrn.
EVLAR 16 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-HartenbergDibujado en pizarrn.
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EVLAR 17 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-HartenbergDibujado en pizarrn.
EVLAR 18 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-Hartenberg
link twist link length
Dibujado en pizarrn.
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EVLAR 19 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-Hartenberg
link offset link angle
Dibujado en pizarrn.
EVLAR 20 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Parmetros de Denavit-Hartenberg
link twist link length link offset link angle
parmetros del eslabn parmetros de la articulacin
Dibujado en pizarrn.
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EVLAR 21 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (1/9)
Permite referir las coordenadas del efector final (herramienta omano) del robot con respecto a un sistema de coordenadasinercial fijo en la base del robot.
Reglas para la definicin de los sistemas de coordenadas enbase a los cuales se construirn las matrices de transformacinhomogneas (rotacin y traslacin de coordenadashomogneas: La numeracin es tal que cuando se actua la articulacin i,
(i=1,2,,n), se mueve el eslabn i. El sistema de coordenadas {Si}, (i=1,2,,n), es solidario con el
eslabn i(el sistema de coordenadas de la base {S0} est fijo). El ejezi-1 yace a lo largo de la articulacin i. El ejexies normal azi-1, intersecta azi-1, y apunta hacia afuera
dezi-1. El eje y
i
se define tal que {Si
} sea un sistema dextrosum, i.e.
ii
iii
xz
xzy
EVLAR 22 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (2/9)
La representacin de D-H emplea cuatro parmetrosque describen completamente la geometra de cadaeslabn. Estos parmetros son:i: ngulo en torno azi-1 dexi-1 axiusando la regla de la mano
derecha (ngulo de la articulacin link angle).di: distancia a lo largo dezi-1 desde el origen del sistema de
coordenadas {Si-1} hasta la interseccin dezi-1 conxi(offsetdel eslabn link offset).
ai: distancia a lo largo dexi desde la interseccin dezi-1 conxihasta el origen del sistema {Si}, o la distancia ms cortaentre zi-1 y zi(largo del eslabn link length).
i: ngulo entorno axidezi-1 aziusando la regla de la manoderecha (ngulo de torsin del eslabn link twist).
Nota: aiy idefinen parmetros del eslabn, mientras que iydidefinen parmetros de la articulacin. Para cadaarticulacin i=1, 2, , n, la coordenada generalizada sedefine como:
prismticanarticulaciunapara
revolucindenarticulaciunapara
i
ii
dq
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EVLAR 23 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (3/9)
Sistemas de Coordenadas segn la convencin D-Hestndar:
linki
joint i
joint i+1
joint i-1
yi-1
zi-1zi
xiyi
di
i
ai
ilink i-1
xi-1
EVLAR 24 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (4/9)
Sistemas de Coordenadas segn la convencin D-Hmodificada (Craigs modified D-H):
linki
joint i
joint i+1
joint i-1
yi-1
zi-1zi
xiyi
di
i
ai
ilink i-1
xi-1
linki
joint i
joint i+1
joint i-1
yi
zi
Zi-1
xi
yi-1
di
i
ai
ilink i-1
xixi-1
D-H Modificado (Craig):En esta convencin se fijael origen Si-1 en laarticulacin i-1, y airepresenta la distancia dellink i(entre Siy Si+1).
D-H Estndar:En esta convencin se fijael origen Si-1 en laarticulacin i, y airepresenta la distancia dellink i(entre Si-1 y Si).
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EVLAR 25 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (5/9)
DH1. Numerar los eslabones i=0,1,,n. (0 para la basefija, 1 para el primer eslabn mvil, etc.)
DH2. Numerar las articulaciones i=1,2,,n. (1 para el
primer grado de libertad, n para el ltimo).DH3. Para i=0,1,,n-1 fijar el ejezisobre la articulacin
i+1.DH4. Sistema de Coordenadas de la Base {S0}: Situar el
origen de {S0} cualquier punto del ejez0 de modoquex0 y y0 formen un sistema dextrorsum conz0.
DH5. Para i=1,2,,n-1 fijar el origen del Sistema deCoordenadas del eslabn i, {Si}, en la interseccindel ejezicon la lnea perpendicular comn azi-1 yzi.Si ambos ejes se cortan, fijar el origen en el puntode interseccin. Si ambos ejes son paralelos, fijar elorigen en la articulacin i+1.
EVLAR 26 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (6/9)
DH6. Fijarxien la lnea perpendicular comn azi-1 yzi.DH7. Fijar yide modo que forme un sistema dextrorsum conxi yzi.DH8. Fijar el Sistema de Coordenadas del Extremo Efector {Sn} de
modo que zn coincida con la direccin de zn-1 y xn seaperpendicular azn-1 yzn. Establecer {Sn} preferentemente enel centro de la pinza (gripper) o en la punta de la herramientaque tenga el robot.
DH9. Definir icomo el ngulo que habra que girar en torno azi-1
para quexi-1 yxiqueden paralelos.DH10. Definir dicomo la distancia medida a lo largo dezi-1 quehabra desplazar {Si-1} para quexi-1 yxiqueden alineados.
DH11. Definir aicomo la distancia medida a lo largo dexi(queahora coincidira con xi-1) que habra desplazar el nuevo {Si-1}para que su origen coincidiese totalmente con el de {Si}.
DH12. Definir icomo el ngulo que habra que girar entorno axi(que ahora coincidira con xi-1) para que el nuevo {Si-1}coincidiese totalmente con {Si}.
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EVLAR 27 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (7/9)
DH13. Construir las matrices de transformacin:
donde i, ai, di, ison los parmetros D-H del eslabn i.
1000
0
1000
0000
0001
1000
01000010
001
1000
1000010
0001
1000
010000
00
),(),(),(),( 111
iii
iiiiiii
iiiiiii
ii
ii
i
i
ii
ii
iiiiiiiii
i
dcs
sacsccs
cassscc
cssc
a
dcs
sc
xRaxDdzDzRA
EVLAR 28 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (8/9)DH14. Calcular la matriz de transformacin que relaciona el sistema de la
base {S0} con el del extremo del robot {Sn} como:
La matrix Tdefine la posicin y orientacin del extremo referido a labase en funcin de las n coordenadas de las articulaciones.
Nota 1: Es posible demostrar que las reglas anteriores (especficamente
aquellas en la transparencia 1/7) garantizan la existencia de unamatriz de transformacin de coordenadas, T, nica. Sin embargo,el Procedimiento D-H permite que las definiciones de los marcos decoordenadas no sean nicas. Por esta razn, las matricesintermedias de transformacin pueden ser diversas, pero la matriz Tresultante ser siempre igual para una geometra dada del robot.
Nota 2: Es comn emplear la notacin n, s, a, para referirse a los vectores
unitariosxn, yn,zn, respectivamente, del sistema de coordenadas dela herramienta o extremo efector. Esta notacin proviene del hechoque normalmente a (approach) es la direccin en que el gripperaproxima el objeto, s (sliding) es la direccin en que el gripperabre/cierra el gripper, y n (normal) es la direccin perpendicular a sy a.
nn AAAT 12
1
1
0
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EVLAR 29 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Procedimiento de Denavit-Hartenberg (9/9) Nota 3:
En la construccin del Procedimiento D-H se consideran tres situacionesposibles:a) zi-1 yzino son coplanares: En este caso la direccin dexiest dada
por:
Notar que esta direccin corresponde a la del segmento ms cortoentrezi-1 yzi(el cual corresponde a la normal comn dezi-1 yzi).
b) zi-1 yzise intersectan: En este caso la direccin dexise define comoen el caso a). Pero adems se tiene que ai=0. En este caso resultanatural colocar el origen de {Si} en la interseccin dezi-1 yzi.
c) zi-1 yzison paralelos: En este caso existen un nmero infinito derectas perpendiculares a ambos ejes y se tiene que ai=0, puesto queson paralelos. Adems resulta conveniente colocar xide modo queintersecte el origen de {Si-1}, as el offset entre eslabones diser cero(di=0).
Notar adems que los tres casos se expresan en los pasos DH5-DH6.
ii
iii zz
zz
x
1
1
EVLAR 30 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH1)
link 0
link 1
link 2
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EVLAR 31 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH2)
eje 1
eje 2
EVLAR 32 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH3)
eje 1
eje 2
z0
z1
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EVLAR 33 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH4-DH6)
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
EVLAR 34 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH7)
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
y0
y1
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EVLAR 35 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH8)
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
y0
y1
z2=ay2=s
x2=n
x2=n
z2
y2=s
EVLAR 36 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH9-DH12)
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
y0
y1
z2=ay2=s
x2=n
x2=n
z2
y2=s
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RR-Planar
d1
a1
d2
a2
Art icu laci n i i d i ai i
1 q1 d1=0 a1 0
2 q2 d2=0 a2 0
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EVLAR 37 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
1000
0100
0
0
),(),(),(),( 2222
2222
2222212121
sacs
casc
xRaxDdzDzRA
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH13)
1000
0),(),(),(),( 11
1
iii
iiiiiii
iiiiiii
iiiiiiiii
i
dcs
sacsccs
cassscc
xRaxDdzDzRA
Art iculac in i i d i ai i
1 q1 d1=0 a1 0
2 q2 d2=0 a2 0
1000
0100
00
),(),(),(),( 1111
1111
1111101010
sacs
casc
xRaxDdzDzRA
EVLAR 38 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
1000
0100
000
22
222
12
cs
asc
A
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH13b)
1000
0
),(),(),(),( 111
iiiiiii
iiiiiii
iii
iiiiiiiii
i
cdccsss
sdsccsc
asc
zRdzDaxDxRA
Art iculac in i i d i ai i
1 q1 d1=0 a1 0
2 q2 d2=0 a2 0
1000
0100
000
11
111
01
cs
asc
A
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EVLAR 39 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH1)
link 0
link 1
link 2
EVLAR 40 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH2)
eje 1
eje 2
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EVLAR 41 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH3)
eje 1
eje 2
z0
z1
EVLAR 42 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH4-DH6)
x0
eje 1
eje 2
z0
z1x1
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EVLAR 43 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH7)
x0
eje 1
eje 2
z0
z1x1
y1
y0
EVLAR 44 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH8)
x0
eje 1
eje 2
z0
z1x1
y1
y0
z2x2
x2=n
y2=s z2=a
y2
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EVLAR 45 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH9-DH12)
x0
eje 1
eje 2
z0
z1x1
y1
y0
z2x2
x2=n
y2=s z2=a
y2
d1
d2
Art iculac in i i d i ai i
1 q1 d1 0 -/2
2 0 q2 0 0
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RP-Planar
EVLAR 46 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
1000
100
0010
0001
),(),(),(),(2
2222212121
qxRaxDdzDzRA
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH13)
1000
0),(),(),(),( 11
1
iii
iiiiiii
iiiiiii
iiiiiiiii
i
dcs
sacsccs
cassscc
xRaxDdzDzRA
1000
010
00
00
),(),(),(),(1
11
11
1111101010
d
cs
sc
xRaxDdzDzRA
Art iculac in i i d i ai i
1 q1 d1 0 -/2
2 0 q2 0 0
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EVLAR 47 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
1000
100
0010
0001
21
2
qA
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH13b)
1000
0
),(),(),(),( 111
iiiiiii
iiiiiii
iii
iiiiiiiii
i
cdccsss
sdsccsc
asc
zRdzDaxDxRA
1000
00
100
00
11
1
11
01
cs
d
sc
A
Art iculac in i i d i ai i
1 q1 d1 0 -/2
2 0 q2 0 0
EVLAR 48 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejercicios
Obtenga los parmetros DH para un robot:1. Cartesiano XY.2. SCARA (articulaciones RRP)3. Articulado con 6DOF R, como el Kuka KR16.
Robot Cartesiano2-DOF PP-Planar
Robot SCARA3-DOF RRP
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EVLAR 49 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16
EVLAR 50 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH1)
link 0
link 1
link 2link 3
link 4
link 5
link 6
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EVLAR 51 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH2)
eje 2
eje 1
eje 4eje 5
eje 6
eje 3
EVLAR 52 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH3)
eje 2
eje 1
eje 4 eje 5
eje 6
z1
eje 3
z0
z3
z4
z5
z2
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27/43
EVLAR 53 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH4-DH6)
eje 2
eje 1
eje 4eje 5
eje 6
z1
x0
x1
eje 3
z0
z3
x4
z4
x5
z5
z2x3
x2
EVLAR 54 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH7)
eje 2
eje 1
eje 4 eje 5
eje 6
z1
x0
x1
y0
y5
y2
y1
y3
eje 3
z0
z3
y4x4
z4
x5
z5
z2x3
x2
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28/43
EVLAR 55 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH8)
eje 2
eje 1
eje 4eje 5
eje 6
z1
x0
x1
y0
y5
y2
x6=n
y6=s
y1
y3
eje 3
z6=a
z0
z3
y4x4
z4
x5
z5
z2x3
x2
EVLAR 56 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH9-DH12)
eje 2
eje 1
eje 4 eje 5
eje 6
z1
x0
x1
y0
y5
y2
d1
a1
a2
d4
x6=n
y6=sd6
a3
y1
y3
eje 3
z6=a
z0
z3
Como sera la tabla de parmetros D-H siarticulacin 4 fuese prismtica en vez de rotatoria?
Articulacin i i di ai i
1 q1 d1 a1 +/2
2 q2 0 a2 0
3 q3 0 a3 -/2
4 q4 d4 0 -/2
5 q5 0 0 +/2
6 q6 d6 0 0
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot Kuka KR16
y4x4
z4
x5
z5
z2x3
x2
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EVLAR 57 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
[ ] c1 c2 c3 c4 c5 c6 c1 c2 c3 s4 s6 c1 s2 s3 c4 c5 c6 c1 s2 s3 s4 s6 s1 s4 c5 c6 s1 c4 s6 s5 c6 c1 c2 s3 s5 c6 c1 s2 c3
[ ] c1 c2 c3 c4 c5 s6 c1 c2 c3 s4 c6 c1 s2 s3 c4 c5 s6 c1 s2 s3 s4 c6 s1 s4 c5 s6 s1 c4 c6 s5 s6 c1 c2 s3 s5 s6 c1 s2 c3
[ ] c 4 s 5 c 1 c 2 c 3 c 4 s 5 c 1 s 2 s 3 s 1 s 4 s 5 c 5 c 1 c 2 s 3 c 5 c 1 s 2 c 3
c 4 s 5 d 6 c 1 c 2 c 3 c 4 s 5 d 6 c 1 s 2 s 3 s 1 s 4 s 5 d 6 c 1 c 2 s 3 c 5 d 6 c 1 c 2 s 3 d 4 c 1 s 2 c 3 c 5 d 6 c 1 s 2 c 3 d 4 c 1 c 2 c 3 a 3 [
c 1 s 2 s 3 a 3 c 1 c 2 a 2 c 1 a 1 ]
[ ] s1 c2 c3 c4 c5 c6 s1 c2 c3 s4 s6 s1 s2 s3 c4 c5 c6 s1 s2 s3 s4 s6 c1 s4 c5 c6 c1 c4 s6 s5 c6 s1 c2 s3 s5 c6 s1 s2 c3
[ ] s1 c2 c3 c4 c5 s6 s1 c2 c3 s4 c6 s1 s2 s3 c4 c5 s6 s1 s2 s3 s4 c6 c1 s4 c5 s6 c1 c4 c6 s5 s6 s1 c2 s3 s5 s6 s1 s2 c3
[ ] c 4 s 5 s 1 c 2 c 3 c 4 s 5 s 1 s 2 s 3 c 1 s 4 s 5 c 5 s 1 c 2 s 3 c 5 s 1 s 2 c 3
c4 s5 d6 s1 c2 c3 c4 s5 d6 s1 s2 s3 c1 s4 s5 d6 s1 c2 s3 c5 d6 s1 c2 s3 d4 s1 s2 c3 c5 d6 s1 s2 c3 d4 s1 c2 c3 a3 [
s 1 s 2 s 3 a 3 s 1 c 2 a 2 s 1 a 1 ]
[ ] s 2 c 3 c 4 c 5 c 6 s 2 c 3 s 4 s 6 c 2 s 3 c 4 c 5 c 6 c 2 s 3 s 4 s 6 s 5 c 6 s 2 s 3 s 5 c 6 c 2 c 3
[ ] s 2 c 3 c 4 c 5 s 6 s 2 c 3 s 4 c 6 c 2 s 3 c 4 c 5 s 6 c 2 s 3 s 4 c 6 s 5 s 6 s 2 s 3 s 5 s 6 c 2 c 3
[ ] c 4 s 5 s 2 c 3 c 4 s 5 c 2 s 3 c 5 s 2 s 3 c 5 c 2 c 3
[ ] c 4 s 5 d 6 s 2 c 3 c 4 s 5 d 6 c 2 s 3 s 2 s 3 c 5 d 6 s 2 s 3 d 4 c 2 c 3 c 5 d 6 c 2 c 3 d 4 s 2 c 3 a 3 c 2 s 3 a 3 s 2 a 2 d 1
[ ]0
[ ]0
[ ]0[ ]1
6
5
5
4
2
1
1
0 AAAAT
]4,4[
]3,4[
]2,4[
]1,2[
]4,1[
]3,1[
]2,1[
]1,1[
T
T
T
T
T
TT
T
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (DH13-DH14)
6
3
3
0 AAT
c 4 c 5 c 6 s 4 s 6 c 4 c 5 s6 s 4 c 6 c 4 s 5 c4 s5 d6
s 4 c 5 c 6 c 4 s 6 s 4 c 5 s6 c4 c 6 s 4 s 5 s4 s5 d 6
s5 c6 s5 s6 c5 c5 d6 d 4
0 0 0 1
63A
c1 c2 c3 c1 s2 s3 s1 c1 c2 s3 c1 s2 c3 c 1 c 2 c 3 a 3 c 1 s 2 s 3 a 3 c 1 c 2 a 2 c 1 a 1
s 1 c 2 c 3 s 1 s 2 s3 c 1 s1 c2 s3 s1 s2 c3 s 1 c 2 c 3 a 3 s 1 s 2 s 3 a 3 s 1 c 2 a 2 s 1 a 1
s 2 c 3 c 2 s 3 0 s 2 s 3 c 2 c 3 s2 c 3 a 3 c 2 s3 a 3 s 2 a 2 d 1
0 0 0 1
30A
EVLAR 58 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (Simplificado)
eje 2
eje 1
eje 4 eje 5
z1
x0
x1
y0
y5
y2
d1
a2
d4
x6=n
y6=s
a3
y1
y3
eje 3
z6=a
z0
z3
Como sera la tabla de parmetros D-H siarticulacin 4 fuese prismtica en vez de rotatoria?
Articulacin i i di ai i
1 q1 d1 a1 +/2
2 q2 0 a2 0
3 q3 0 a3 -/2
4 q4 d4 0 -/2
5 q5 0 0 +/2
6 q6 d6 0 0
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot Kuka KR16
eje 6
y4x4
z4
x5
z2x3
x2
a1
d6
z5
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30/43
EVLAR 59 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo: Robot Industrial Kuka KR16 - (Repaso)
eje 2
eje 1
eje 4eje 5
eje 6
z1
x0
x1
y0
y5
y2
d1
a1
a2
d4
x6=n
y6=sd6
a3
y1
y3
eje 3
z6=a
z0
z3
Como sera la tabla de parmetros D-H siarticulacin 4 fuese prismtica en vez de rotatoria?
Articulacin i i di ai i
1 q1 d1 a1 +/2
2 q2 0 a2 0
3 q3 0 a3 -/2
4 q4 d4 0 -/2
5 q5 0 0 +/2
6 q6 d6 0 0
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot Kuka KR16
y4x4
z4
x5
z5
z2x3
x2
EVLAR 60 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
31/43
EVLAR 61 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Supuestos para cada eslabn
EVLAR 62 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Supuestos para cada eslabn
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
32/43
EVLAR 63 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Supuestos para cada eslabn
EVLAR 64 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Supuestos para cada eslabn
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
33/43
EVLAR 65 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Supuestos para cada eslabn
EVLAR 66 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Alg. 1
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
34/43
EVLAR 67 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Forward Equations: For i = 1 to n
EVLAR 68 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Backward Equations: For i = n to 1
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
35/43
EVLAR 69 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Alg. 1
EVLAR 70 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Alg. 1
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
36/43
EVLAR 71 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Alg. 1
EVLAR 72 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Alg. 2
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
37/43
EVLAR 73 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Forward Equations: For i = 1 to n
EVLAR 74 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Backward Equations: For i = n to 1
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
38/43
EVLAR 75 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Alg. 3 (= Alg. 2 notacin compacta)
EVLAR 76 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
RNE Alg. 3
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
39/43
EVLAR 77 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Alg. 3
EVLAR 78 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Alg. 3 Inicializacin
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EVLAR 79 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Alg. 3 Inicializacin
EVLAR 80 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Forward Equations: For i = 1 to n
7/26/2019 Pres Robotics Summer School 111214
41/43
EVLAR 81 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Backward Equations: For i = n to 1
EVLAR 82 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplos en Maple y en Matlab
2-DOF RR-Planar 2-DOF RP-Planar
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EVLAR 83 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 1: 2-DOF RR-Planar - (DH9-DH12)
eje 1
eje 2
z0
z1
x0
x1
y0
y1
z2=ay2=s
x2=n
x2=n
z2
y2=s
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RR-Planar
d1
a1
d2
a2
Art icu laci n i i d i ai i
1 q1 d1=0 a1 0
2 q2 d2=0 a2 0
EVLAR 84 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Ejemplo 2: 2-DOF RP-Planar - (DH9-DH12)
x0
eje 1
eje 2
z0
z1x1
y1
y0
z2x2
x2=n
y2=s z2=a
y2
d1
d2
Art iculac in i i d i ai i
1 q1 d1 0 -/2
2 0 q2 0 0
Tabla de Parmetros D-Hdel Robot 2-DOF RP-Planar
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EVLAR 85 Modelacin Dinmica y Simulacin de Robots M. Torres-Torriti Diciembre 2011
Gracias!