i
HALAMAN JUDUL
TUGAS AKHIR β SM141501
PENDEKATAN METODE BAYESIAN UNTUK KAJIAN
ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOG-NORMAL
UNTUK NON-INFORMATIF PRIOR
EVI NOOR DIANA
NRP 1212 100 054
Dosen Pembimbing
Drs. Soehardjoepri, M.Si
JURUSAN MATEMATIKA
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2016
2
FINAL PROJECT β SM141501
A BAYESIAN APPROACH TO LOG-NORMAL
PARAMETER ESTIMATION FOR NON-INFORMATIVE
PRIOR
EVI NOOR DIANA
NRP 1212 100 054
Supervisors
Drs. Soehardjoepri, M.Si
DEPARTMEN OF MATHEMATICS
Faculty of Mathematics and Naturan Science
Sepuluh Nopember Institute of Technology
Surabaya 2016
vii
PENDEKATAN METODE BAYESIAN UNTUK KAJIAN ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI
LOG-NORMAL UNTUK NON-INFORMATIF PRIOR
Nama : Evi Noor Diana NRP : 1212 100 054 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : Drs. Soehardjoepri, M.Si ABSTRAK
Distribusi Log-Normal merupakan salah satu dari beberapa distribusi kontinu. Distribusi Log-Normal tersebut memiliki parameter mean ΞΈ dan varians Ο2 yang bisa diestimasi. Penelitian dilakukan dengan metode Bayesian yaitu penggabungan fungsi likelihood dan distribusi prior, sehingga diperoleh distribusi posterior. Distribusi prior yang digunakan adalah non-informatif prior. Teknik penentuan dari non-informatif prior menggunakan metode Jeffreyβs dari distribusi Log-Normal. Setelah didapatkan distribusi posterior, diperoleh distribusi marginal dari mean ΞΈ dan varians Ο2 dan langkah selanjutnya adalah mencari ekspektasi dari distribusi marginal. Hasil akhirnya mendapatkan estimasi titik untuk mean ΞΈ dan varians Ο2.
Kata Kunci : Distribusi Log-Normal, Metode Bayesian,
Non-Informatif Prior, Metode Jeffreyβs, Distribusi Posterior.
viii
βHalaman ini sengaja dikosongkanβ
ix
A BAYESIAN APPROACH TO LOG-NORMAL PARAMETER ESTIMATION FOR NON-
INFORMATIVE PRIOR Name of Student : Evi Noor Diana NRP : 1212 100 054 Department : Mathematics Supervisor : Drs. Soehardjoepri, M.Si ABSTRACT Log-Normal distribution is one of the few continuous distributions. Log-Normal distribution has parameters that must be estimated that the mean parameter ΞΈ and variance π2. The study was conducted by using a Bayesian approach, namely the incorporation of likelihood function and the prior distribution, in order to obtain the posterior distribution. Prior distribution used is non-informative prior. Mechanical determination of non-informative prior is used Jeffrey's method of distribution univariate Log-Normal. Having obtained the posterior distribution, marginal distribution obtained from the mean ΞΈ and variance π2 and the next step is to look for expectations of marginal distribution. The end result is getting the point estimate for the mean ΞΈ and variance π2.
Keyword : Log-Normal distribution, Bayesian method,
Non-Informative Prior, Jeffreyβs method, Posterior distribution.
x
βHalaman ini sengaja dikosongkanβ
xiii
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................ i LEMBAR PENGESAHAN .................................................. v ABSTRAK ........................................................................... vii ABSTRACT ........................................................................... ix KATA PENGANTAR .......................................................... xi DAFTAR ISI ........................................................................ xiii DAFTAR GAMBAR ........................................................... xv DAFTAR SIMBOL .............................................................. xvii BAB I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang .................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................... 3 1.3 Batasan Masalah ................................................. 3 1.4 Tujuan ................................................................. 3 1.5 Manfaat ............................................................... 3 1.6 Sistematika Penulisan Tugas Akhir .................... 4
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Penelitian Terdahulu .......................................... 5 2.2 Perameter dan Statistik ....................................... 5 2.3 Distribusi Normal ............................................... 6 2.4 Distribusi Log-Normal ........................................ 7 2.5 Fungsi Likelihood ............................................... 11 2.6 Pendekatan Bayesian .......................................... 12 2.7 Distribusi Prior .................................................... 12
2.7.1 Non-Informatif Prior .................................. 12 2.7.2 Fungsi Gamma ........................................... 13 2.7.3 Fungsi Beta ................................................ 18
2.8 Distribusi Posterior ............................................. 20 BAB III. METODOLOGI
3.1 Tahapan Penelitian ............................................. 21 3.2 Diagram Alir Metode Penelitian ......................... 22
BAB IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN 4.1 Fungsi Likelihood ............................................... 23
xiv
4.2 Non-Informatif Prior .......................................... 23 4.3 Distribusi Posterior ............................................. 25 4.3.1 Distribusi Posterior Marginal .................... 28
4.3.2 Estimasi Posterior ...................................... 33 BAB V. PENUTUP
5.1 Kesimpulan ......................................................... 41 5.2 Saran ................................................................... 41
DAFTAR PUSTAKA ............................................................. 43 BIODATA PENULIS ............................................................. 45
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian ................................... 22
xvii
DAFTAR SIMBOL
π Mean π Standart deviasi
π2 Varians π(π₯) Fungsi kepadatan peluang dari variabel acak x π Phi
πΈ(π₯) Nilai ekspektasi variabel acak x πΏ(π) Likelihood
n Parameter Beta π(π) Non-informatif prior πΌ Informasi Fisher Ξ Fungsi Gamma π½ Jacobian π Parameter Beta π Konstanta normal πβ1 Invers konstanta normal
π(π, π2|π₯) Distribusi posterior π(π|π₯) Distribusi marginal untuk π π(π2|π₯) Distribusi marginal untuk π2
πβ Estimasi posterior dari π π2β Estimasi posterior dari π2 π1β Nilai estimasi mean π
π21β Nilai estimasi varians π2
46
β Halaman ini sengaja dikosongkanβ
1
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini membahas latar belakang yang mendasari penulisan Tugas Akhir. Didalamnya mencakup indentifikasi permasalahan yang kemudian dirumuskan menjadi permasalahan dan diberikan batasan-batasan untuk membatasi pembahasan pada Tugas Akhir ini. 1.1 Latar Belakang Data populasi dalam suatu penelitian berguna untuk mengetahui karakteristik objek yang akan menghasilkan gambaran akurat mengenai karakteristik objek tersebut. Statistika inferensial digunakan untuk mengambil keputusan atau kesimpulan pada suatu populasi dengan berbagai keterbatasan dan kendala, suatu penelitian mengalami kesulitan untuk mengamati keseluruhan individu atau elemen yang menyusun populasi. Langkah alternatif yang dapat dilakukan yaitu penaksiran parameter populasi dengan menggunakan sampel yang diambil secara acak dari sebuah populasi atau yang biasa disebut estimasi[1]. Estimasi adalah suatu proses dengan menggunakan statistik sampel untuk menaksir parameter populasi. Pada statistika inferensial, estimasi yakni sebuah prosedur untuk mencari parameter dari sebuah model yang paling cocok pada suatu data pengamatan yang ada. Terdapat beberapa metode yang biasanya digunakan dalam estimasi parameter yakni Ordinary Least Square (OLS), Generalize Least Square (GLS), Maximum Likelihood Estimator (MLE), dan metode Bayesian[2]. Metode Bayesian merupakan suatu metode yang diperlukan untuk menaksir parameter yang akan diestimasi dengan memanfaatkan informasi awal (prior) dari suatu populasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel yang digunakan dalam mengestimasi
2
parameter populasi. Pada metode Bayesian, peneliti harus menentukan distribusi prior dari parameter yang ditaksir. Distribusi ini dapat berasal dari data penelitian sebelumnya atau berdasarkan intuisi seorang peneliti. Setelah informasi dari data yang didapat dari pengambilan sampel digabungkan dengan informasi prior dari parameter, akan didapat distribusi posterior dari parameter[3]. Metode Bayesian adalah sebuah metode yang menggabungkan informasi dari data sampel dan informasi dari data sebelumnya (prior). Prior menurut sifatnya terbagi menjadi dua yaitu informatif prior dan non-informatif prior. Informatif prior adalah prior yang diketahui pola/frekuensi distribusi dari data sedangkan non informatif prior belum diketahui pola/frekuensi distribusi dari data. Menurut Bayes, parameter populasi berasal dari suatu distribusi, sehingga nilainya tidaklah tunggal dan merupakan variabel acak, sedangkan menurut metode lain parameter populasi diasumsikan tetap (konstan) walaupun nilainya tidak diketahui[4]. Informasi dari data sampel mempunyai sebaran data diskrit dan kontinu. Untuk sebaran data kontinu meliputi distribusi Normal, distribusi Gamma, distribusi Log-Normal, distribusi Eksponensial dan lain-lain. Distribusi Log-Normal merupakan distribusi dari suatu variabel acak yang logaritmanya berdistribusi Normal[5]. Distribusi Log-Normal merupakan distribusi miring. Distribusi yang miring dapat terjadi saat nilai mean rendah, variansi tinggi dan nilainya tidak ada yang negatif, dalam hal ini, sebagai contoh, distribusi sumber mineral dalam bumi, atau lamanya infeksi suatu penyakit berbahaya[6]. Salah satu contoh penelitian yang membahas masalah estimasi parameter distribusi diskrit dengan pendekatan metode Bayesian adalah penelitian yang dilakukan Indriyani. Penelitiannya menjelaskan tentang cara mengestimasi parameter distribusi Binomial Negatif untuk prior yang
3
bersifat informatif. Prior dari distribusi Binomial Negatif adalah distribusi Beta. Selanjutnya, menggabungkan informasi dari data sampel dengan informasi prior dan diperoleh distribusi posterior[7]. Berdasarkan penelitian tersebut, Tugas Akhir ini membahas tentang estimasi parameter distribusi Log-Normal untuk non-informatif prior dengan menggunakan pendekatan metode Bayesian. Adapun judul Tugas Akhir ini adalah βPendekatan Metode Bayesian Untuk Kajian Estimasi Parameter Distribusi Log-Normal Untuk Non-Informatif Priorβ. Pada tugas akhir ini, Metode Bayesian digunakan untuk mengestimasi parameter dari distribusi Log-Normal.
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang maka permasalahan yang akan dibahas bagaimana mendapatkan estimasi parameter ΞΈ dan π2 dari distribusi Log-Normal? 1.3 Batasan Masalah Berdasarkan rumusan masalah di atas, batasan masalah dari Tugas Akhir ini adalah : 1. Pendekatan dari non-informatif prior adalah dengan
menggunakan metode Jeffreyβs. 2. Tidak membahas sifat-sifat estimasi yang baik, yakni tidak
bias, konsisten, varian minimum, dan statistik cukup.
1.4 Tujuan Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah mengkaji estimasi parameter π dan π2 distribusi Log-Normal menggunakan metode Bayesian untuk non-informatif prior. 1.5 Manfaat Adapun manfaat Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Sebagai suatu bentuk kontribusi dalam pengembangan
ilmu matematika terapan.
4
2. Memahami kajian estimasi parameter menggunakan metode Bayesian.
3. Sebagai literatur penunjang bagi mahasiswa yang menempuh jenjang sarjana.
1.6 Sistematika Penulisan Tugas Akhir Sistimatika penulisan dalam laporan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut : 1. BAB I : PENDAHULUAN
Bab ini menjelaskan latar belakang penyusunan Tugas Akhir, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat dan sistimatika penulisan laporan Tugas Akhir.
2. BAB II : DASAR TEORI Bab ini menjelaskan tentang parameter, distribusi Normal, distribusi Log-Normal, metode Jeffreyβs, informasi Fisher, non-informatif prior, distribusi posterior, dan estimasi posterior.
3. BAB III : METODOLOGI Bab ini menjelaskan tentang tahap-tahap yang dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini.
4. BAB IV : ANALISIS DAN PEMBAHASAN Bab ini menjelaskan tentang pembahasan secara keseleruhan dalam mengestimasi parameter yaitu dari penentuan non-informatif prior dan penentuan distribusi posterior.
5. BAB V : PENUTUP Bab ini menjelaskan tentang penarikan kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan masalah pada bab sebelumnya serta saran yang diberikan untuk pengembangan penelitian selanjutnya.
5
BAB II DASAR TEORI
Bab ini dibahas mengenai estimator Bayes untuk parameter means dan varians dari distribusi Log-Normal. Tetapi sebelumnya bab ini diuraikan mengenai distribusi Normal, distribusi Log-Normal, fungsi Likelihood, estimasi parameter, metode Bayesian, metode Jeffreyβs, informasi Fisher, non-informatif prior, dan distribusi Posterior.
2.1 Penelitian Terdahulu Pada penelitian yang dilakukan Eva Natalia (2008) telah diperoleh nilai integral mean dan varian distribusi Log-Normal menggunakan Teorema Raoback Well dengan metode Unbiased Maximum Varian Uniform Estimator (UMVUE)[6]. Sedangkan pada penilitian yang dilakukan oleh Indriyani Fifin (2008) telah diperoleh estimasi p pada distribusi Binomial Negatif menggunakan metode pendekatan Bayesian[7]. Pada penelitian yang dilakukan oleh Sultan dan Ahmad (2013) telah diperoleh nilai varian terkecil dari metode Maximum Likelihood Estimator (MLE)[8].
2.2 Perameter dan Statistik Terminologi dan notasi yang digunakan statistikawan dalam mengolah data statistik sepenuhnya bergantung pada apakah data tersebut merupakan populasi. Populasi adalah kumpulan dari keseluruhan pengukuran atau objek. Sedangkan sampel adalah sebagian atau subset (himpunan bagian) dari suatu populasi. Adapun definisi dari parameter sebagai berikut: Definisi 2.1 Parameter adalah bilangan yang menggambarkan karakteristik suatu populasi[1].
6
Adapun definisi dari statistik sebagai berikut: Definisi 2.2 Statistik adalah bilangan yang menggambarkan karakteristik suatu sampel[1]. 2.3 Distribusi Normal Distribusi Normal sering disebut juga dengan Distribusi Gauss. Distribusi Normal merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penerapan. Distribusi Normal merupakan salah satu distribusi kontinu. Distribusi Normal memiliki karakteristik yang penting, yaitu distribusi probabilitas datanya terpusat disekitar mean. Grafik fungsi kepadatannya berbentuk lonceng (bell-shaped). Distribusi Normal adalah distribusi yang simetris[1]. Adapun definisi dari distribusi Normal sebagai berikut:
Definisi 2.3 Jika Y adalah suatu peubah acak berdistribusi normal dengan mean π dan varians π2, dinotasikan π~π(π, π2) maka fungsi kepadatan probabilitas (pdf) sebagai berikut [1]:
π(π¦) =1
πβ2πππ₯π [β
1
2(
π¦ β π
π)
2
] , β β β€ π¦ β€ β
dimana
π : mean π : standart deviasi
sehingga terdapat definisi lain dari distribusi normal yakni distribusi Normal baku,
7
Definisi 2.4 Disrtibusi Normal baku adalah distribusi peubah acak normal dengan mean 0 dan simpangan baku 1 yang dinotasikan π~π(0,1)[1]. π(π¦; 0, 1) =
1
β2πππ₯π [β
1
2π¦2] , β β β€ π¦ β€ β
2.4 Distribusi Log-Normal Distribusi Log-Normal dalam bentuk sederhana adalah fungsi densitas dari sebuah peubah acak yang logaritmanya mengikuti hukum distribusi Normal. Distribusi Log-Normal merupakan distribusi tidak simetri/ miring yang mana probabilitas data-data lainnya tersebar tidak secara merata. Grafik fungsi kepadatannya tidak berbentuk lonceng (bell-shaped) tidak seperti distribusi Normal. Distribusi Log-Normal termasuk distribusi jenis logaritmik. Adapun definisi dari distribusi Log-Normal sebagai berikut: Definisi 2.5 Jika π~π(π, π2) maka π = ππ~πΏπ(π, π2). Karena X dan Y dihubungkan oleh relasi π = ln π₯, pdfnya adalah sebagai berikut [1] :
1
π₯ πβ2π ππ₯π [β
1
2(
ln x βπ
π)
2
] , π₯ > 0
π(π₯) = (2.1) 0 , π₯ yang lain Distribusi Log-Normal mempunyai mean dan varians, teorema berikut akan memberikan mean dan varians sebagai berikut:
8
Teorema 2.1 Variabel acak positif X yang berdistribusi Normal mempunyai mean exp (π +
π2
2) dan varians exp[2π + π2](ππ₯π[π2] β
1)[1]. Bukti :
πΈ(π) = β« π₯
β
ββ
π(π₯)ππ₯
πΈ(π) = β« π₯
0
ββ
π(π₯)ππ₯ + β« π₯
β
0
π(π₯)ππ₯
dari definisi 2.5, jika π₯ < 0 maka β« π₯0
ββπ(π₯)ππ₯ = 0
πΈ(π) = 0 + β« π₯1
π₯ πβ2π
β
0
ππ₯π [β1
2(
ln x βπ
π)
2
] ππ₯
πΈ(π) = β« π₯1
π₯ πβ2π
β
0
ππ₯π [β1
2(
ln x βπ
π)
2
] ππ₯
misalkan:
π§ =ln x βπ
π β ln π₯ = ππ§ + π
π₯ = exp[ππ§ + π]
ππ§ =1
π₯πππ₯ β ππ₯ = π exp[ππ§ + π] ππ§
dengan perubahan batas dalam z: π₯ = 0 β π§ = ββ π₯ = β β π§ = β
πΈ(π) = β«1
πβ2π
β
ββ
ππ₯π [β π§2
2] π ππ₯π[ππ§ + π]ππ§
9
πΈ(π) = β«1
β2π
β
ββ
ππ₯π [β π§2
2+ ππ§ + π)] ππ§
πΈ(π) = β«1
β2π
β
ββ
ππ₯π [β π§2
2+ ππ§ + π +
π2
2β
π2
2)] ππ§
πΈ(π) = β«1
β2π
β
ββ
ππ₯π [β1
2(π§ β π)2 + (π +
π2
2)] ππ§
πΈ(π) = ππ₯π [π + π2
2] β«
1
β2π
β
ββ
ππ₯π [β1
2(π§ β π)2] ππ§ (2.2)
karena β«1
β2π
β
ββ ππ₯π [β
1
2(π§ β π)2] ππ§ merupakan definisi 2.4
sehingga
β«1
β2π
β
ββ
ππ₯π [β1
2(π§)2] ππ§ = 1 (2.3)
selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaaan (2.3) pada persamaan (2.2), maka diperoleh
πΈ(π) = ππ₯π [π +π2
2] . 1 (2.4)
jadi terbukti mean = πΈ(π) = ππ₯π [π +π2
2]
Sehingga untuk varians dari distribusi Log-Normal π2 = πΈ([π β π]2) = πΈ(π2) β [πΈ(π)2] (2.5)
πΈ(π2) = β«(π₯)2.
β
ββ
π(π₯)ππ₯
10
πΈ(π2) = β«(π₯)π 1
π₯ πβ2π ππ₯π [β
(ln x βπ)2
2π2] ππ₯
β
ββ
πΈ(π2) = 0 + β« π₯ 1
πβ2π ππ₯π [β
(ln x βπ)2
2π2] ππ₯
β
0
misalkan:
π§ =ln x βπ
πβ ln π₯ = ππ§ + π
π₯ = exp[ππ§ + π]
ππ§ =1
π₯πππ₯ β ππ₯ = π exp[ππ§ + π] ππ§
dengan perubahan batas dalam z: π₯ = 0 β π§ = ββ π₯ = β β π§ = β
πΈ(π2) = β« exp[ππ§ + π] 1
πβ2π ππ₯π [β
π§2
2] π exp[ππ§ + π] ππ§
β
ββ
πΈ(π2) = β« exp[ππ§ + π] 1
β2π ππ₯π [β
π§2
2] exp[ππ§ + π] ππ§
β
ββ
πΈ(π2) = β« 1
β2π ππ₯π [β
π§2
2+ 2ππ§ + 2π] ππ§
β
ββ
πΈ(π2) = β« 1
β2π ππ₯π [β
π§2
2+ 2ππ§ + 2π+ 2π2 β 2π2] ππ§
β
ββ
πΈ(π2) = β« 1
β2π ππ₯π [β
1
2(π§ β 2π2)2 + 2π+ 2π2] ππ§
β
ββ
11
πΈ(π2) = ππ₯π[2π+ 2π2] β« 1
β2π ππ₯π [β
1
2(π§ β 2π2)2] ππ§
β
ββ
πΈ(π2) = ππ₯π[2π+ 2π2] (2.6)
Selanjtnya dengan mensubtitusikan persamaan (2.4) dan (2.6) pada persamaan (2.5), maka diperoleh
π2 = πΈ([π β π]2) = πΈ(π2) β [πΈ(π)2]
π2 = ππ₯π[2π+ 2π2] β (ππ₯π [π +π2
2])
2
π2 = ππ₯π[2π+ 2π2] β ππ₯π[2π + π2]
π2 = ππ₯π[2π + π2](ππ₯π[π2] β 1) (2.7)
jadi terbukti varians = ππ₯π[2π + π2](ππ₯π[π2] β 1)
2.5 Fungsi Likelihood Secara umum, untuk suatu variabel acak kontinu, fungsi likelihood bukan suatu peluang melainkan mencerminkan likelihood (kemungkinan) himpunan yang diamati dari data π₯1, π₯2, β¦ . , π₯π yang akan terjadi. Adapun definisi fungsi likelihood sebagai berikut: Definisi 2.6 Fungsi densitas bersama dari n variabel acak π1, π2, β¦ . , ππ , dievaluasi pada π₯1, π₯2, β¦ . , π₯π , bisa dikatakan π(π₯1, π₯2, β¦ . , π₯π ; π) disebut sebagai fungsi likelihood. Untuk π₯1, π₯2, β¦ . , π₯π konstan, fungsi likelihood adalah sebuah fungsi dari π dan dinotasikan dengan πΏ(π). Jika π1, π2, β¦ . , ππ menyatakan suatu sampel acak dari π(π₯|π) maka [7]
πΏ(π) = π(π₯1; π)π(π₯2; π) β¦ . π(π₯π ; π)
12
2.6 Pendekatan Metode Bayesian Metode Bayesian adalah suatu pendekatan statistik yang berlandaskan pada ide-ide sebagai berikut: 1. Jika orang tak yakin akan nilai sebenarnya dari parameter
π, maka parameter π dianggap sebagai variabel acak. 2. Aturan probabilitas digunakan secara langsung untuk
melakukan inferensial tentang parameter π. 3. Pernyataan probabilitas tentang parameter
diinterpretasikan sebagai derajat kepercayaan. Distribusi prior bersifat subyektif. Setiap orang bisa memilih priornya sendiri, yang mengukur sejauh mana bisa diterima/dipercaya setiap parameter tersebut sebelum percobaan.
2.7 Distribusi Prior Distribusi prior adalah distribusi awal yang harus ditentukan terlebih dahulu sebelum merumuskan distribusi posteriornya. Distribusi prior bersifat informatif dan non-informatif. Non-informatif prior mengindikasikan adanya kekurangan informasi[9]. Ada dua interpretasi dasar yang diberikan pada distribusi prior, yakni[9] 1. Dalam interpretasi populasi, disebut prior dapat
mewakili nilai parameter yang mungkin dari populasi yang mana nilai sudah diketahui.
2. Dalam interpretasi ketentuan umum yang subjektif, prinsip yang mengarahkan harus menyatakan pengetahuan kita tentang parameter jika nilai parameter adalah variabel acak dari distribusi prior.
2.7.1 Non-Informatif Prior Distribusi prior dikatakan non-informatif jika prior relatif datar terhadap fungsi likelihood. Dengan demikian memiliki dampak minimal pada distribusi posteror. Salah satu
13
bentuk pendekatan dari prior non-informatif adalah dengan menggunakan metode Jeffreyβs. Adapun definisi dari metode Jeffreyβs sebagai berikut: Definisi 2.7 Metode Jeffreyβs adalah distribusi prior untuk satu parameter π berada disekitar non-informatif jika diambil proposional maka akar kuadrat dari informasi Fisher [9].
π(π) = [πΌ(π)]12
dimana πΌ(π) merupakan nilai harapan informasi Fisher
πΌ(π) = βπΈπ [π2 log π(π₯; π)
ππ2]
2.7.2 Fungsi Gamma Fungsi Gamma mempunyai peranan penting dibanyak cabang matematika terapan. Adapun definisi fungsi Gamma sebagai berikut: Definisi 2.8 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut [6]:
Ξ(π) = β« π₯πβ1πβπ₯ππ₯, π’ππ‘π’π π > 0
β
0
adapun teorema dari fungsi Gamma sebagai berikut: Teorema 2.2 Sifat-sifat penting dari fungsi Gamma adalah[6] 1. Untuk setiap π > 1 berlaku Ξ(π) = (π β 1)Ξ(π β 1) 2. Untuk sebuah bilangan bulat positif n, Ξ(π) = Ξ(π β 1)! 3. Nilai dari Ξ (
1
2) = βπ
14
Bukti : 1. Dari definisi 2.8 yang menyatakan suatu fungsi Gamma
dengan
Ξ(π) = β« π₯πβ1πβπ₯ππ₯
β
0
misalkan: π’ = π₯πβ1 β ππ’ = (π β 1) π₯πβ2 ππ₯ ππ£ = πβπ₯ ππ₯ β π£ = βπβπ₯ Integral parsial untuk Ξ(π) dinyatakan dengan
β« π’ ππ£ = π’π£ β β« π£ ππ’
Ξ(π) = limπββ
(π₯πβ1(βπβπ₯) β β«(βπβπ₯)(π β 1) π₯πβ2
π
0
ππ₯)
Ξ(π) = limπββ
((βπ₯πβ1πβπ₯|π=0π
) + (π β 1) β« π₯πβ2πβπ₯
π
0
ππ₯)
Ξ(π) = 0 + (π β 1)Ξ(π β 1)
Jadi terbukti bahwa berlaku Ξ(π) = (π β 1)Ξ(π β 1), untuk setiap π > 1.
2. Dari hasil permbuktian (1) bahwa Ξ(π) = (π β 1)Ξ(π β 1), untuk n = (π + 1) diperoleh persamaan Ξ(π + 1) = π Ξ(π) dari definisi 2.8 menyatakan bahwa
Ξ(π) = β« π₯πβ1πβπ₯ππ₯
β
0
Jika π = 1 maka diperoleh nilai Ξ(1) sebagai berikut:
15
Ξ(1) = β« π₯πβ1πβπ₯ππ₯
β
0
Ξ(1) = limπ’ββ
β« πβπ₯ ππ₯
π’
0
Ξ(1) = limπ’ββ
[βπβπ₯]0π’
Ξ(1) = limπ’ββ
(βπβπ₯ + π0)
Ξ(1) = (β1
πβ+ π0)
Ξ(1) = 1
Jika diketahui bahwa Ξ(1) = 1 maka subtitusi nilai π =1,2,3 β¦ pada persamaan Ξ(π + 1) = πΞ(π) diperoleh Ξ(2) = Ξ(1 + 1) = 1Ξ(1) = 1. 1 = 1 Ξ(3) = Ξ(2 + 1) = 2Ξ(2) = 2. 1 = 2! Ξ(4) = Ξ(3 + 1) = 3Ξ(3) = 3. 2! = 3! . . . Ξ(π) = (π β 1)!
3. Menurut definisi 2.8 bahwa bentuk lain dari
Ξ(π) = β« π₯πβ1πβπ₯ππ₯
β
0
Misalkan: π₯ = π¦2 β ππ₯ = 2y dy Batas: π₯ = 0 β y = 0 π₯ = β β y = β
16
Ξ(π) = β« π¦2(πβ1)πβπ¦22π¦ ππ¦
β
0
atau
Ξ(π) = 2 β« π¦2πβ1πβπ¦2 ππ¦
β
0
Persamaan berikut disusun dengan memasukkan nilai π =1
2 pada bentuk lain dari fungsi Gamma untuk membuktikan
bahwa nilai dari Ξ (1
2) = βπ
Ξ (1
2) = 2 β« π¦0πβπ¦2
ππ¦
β
0
{Ξ (1
2)}
2
= 2 β« πβπ¦2 ππ¦
β
0
. 2 β« πβπ§2 ππ§
β
0
{Ξ (1
2)}
2
= 4 β« β« πβ(π¦2+π§2) ππ¦ππ§
β
0
β
0
Variabel y dan z pada persamaan diatas diubah kedalam bentuk koordinat polar dengan hubungan sebagai berikut:
π¦ = π cos π dan π§ = π sin π
Dengan π = βπ¦2 + π§2 dan π = ππππ‘π π¦
π§
Transformasi Jacobian dari koordinat (y,z) menjadi koordinat polar (r, π) dinyatakan dengan
π½ = |
ππ¦
ππ
ππ¦
ππππ§
ππ
ππ§
ππ
|
17
π½ = |cos π βr sin πsin π r cos π
|
π½ = π(πππ 2π + π ππ2π) π½ = π
Batas: π¦ = 0 β r = 0 π¦ = β β r = β π§ = 0 β π = 0
π§ = β β π =π
2
Elemen luas ππ¦ππ§ = π ππ ππ, sehingga persamaan
{Ξ (1
2)}
2
= 4 β« β« πβ(π¦2+π§2) ππ¦ππ§
β
0
β
0
menjadi,
{Ξ (1
2)}
2
= 4 β« β« πβπ2 π ππ ππ
β
0
π2β
0
{Ξ (1
2)}
2
= (2 β« ππ
π2β
0
) . (2 β« πβπ2 π ππ
β
0
)
{Ξ (1
2)}
2
= 2 [π|π
2β
0] . 2 (β« πβπ2
π ππ
β
0
)
{Ξ (1
2)}
2
= π. 2 ( limπ’ββ
β« πβπ2 π ππ
π’
0
)
{Ξ (1
2)}
2= π. 2 (1
2)
18
{Ξ (1
2)}
2
= π
{Ξ (1
2)} = β π
2.7.3 Fungsi Beta Fungsi Beta diidentifikasi oleh dua parameter yaitu m dan n dan didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.9 Untuk π >0, π >0, fungsi Beta π΅(π, π) didefinisikan sebagai berikut [6]:
π΅(π, π) = β« π₯πβ1 (1 β π₯)πβ1 ππ₯
1
0
Selanjutnya akan diberikan teorema tentang hubungan fungsi Gamma dan fungsi Beta. Teorema 2.3 Hubungan fungsi Gamma dan fungsi Beta adalah sebagai berikut:
π΅(π, π) = Ξ(π)Ξ(π)
Ξ(π + π)
Bukti : dengan menggunakan bentuk fungsi Gamma yang lain
Ξ(π) = 2 β« π¦2πβ1 πβπ¦2ππ¦
β
0
Ξ(π) = 2 β« π§2πβ1 πβπ§2ππ§
β
0
19
sehingga,
Ξ(π)Ξ(π) = 2 β« π¦2πβ1 πβπ¦2ππ¦
β
0
2 β« π§2πβ1 πβπ§2ππ§
β
0
Ξ(π)Ξ(π) = 4 β« β« π¦2πβ1π§2πβ1 πβ(π¦2+π§2)ππ¦
β
0
β
0
ππ§
Ξ(π)Ξ(π) = 4 β« β« ((π cos π)2πβ1 (π sin π)2πβ1).
π2β
0
β
0
πβπ2πππ ππ
Ξ(π)Ξ(π) = 4 β« β« (π 2πβ1 cos2πβ1 π π2πβ1 sin2πβ1 π)
π2β
0
β
0
.
πβπ2πππ ππ
Ξ(π)Ξ(π) = 4 β« β« (π 2π+2πβ2 πβπ2r cos2πβ1 π π2πβ1 sin2πβ1 π).
π2β
0
β
0
πβπ2ππ ππ
Ξ(π)Ξ(π) = 2 β« βπ 2(π+πβ1) πβπ2d(βπ2)
β
0
.
2 β« cos2πβ1 π sin2πβ1 π
π2β
0
ππ
20
Ξ(π)Ξ(π) = Ξ(π + π)π΅(π, π)
π΅(π, π) = Ξ(π)Ξ(π)
Ξ(π + π)
jadi terbukti bahwa hubungan antara fungsi Gamma dan Beta adalah
π΅(π, π) = Ξ(π)Ξ(π)
Ξ(π + π)
2.8 Distribusi Posterior Distribusi Posterior berkaitan dengan penentuan masing-masing parameter pada pola distribusi prior tersebut. Distribusi non-informatif prior didapat dengan menggunakan metode Jeffreyβs. Pemberian nilai parameter pada distribusi prior ini akan sangat mempengaruhi bentuk distribusi posterior[6]. Adapun definisi distribusi posterior sebagai berikut: Definisi 2.10 Distribusi posterior merupakan perkalian antara fungsi likelihood dengan distribusi prior[9].
πππ π‘πππππ β ππππππβπππ . πππππ
23
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Disamping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir.
3.1 Tahapan Pelitian Objek guna mencapai tujuan dari penulisan ini, akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Mengkaji Estimasi Parameter
Pada tahap ini mengkaji estimasi parameter π dan π2 dari distribusi Log-Normal.
2. Distribusi Posterior Pada tahap ini mencari distribusi posterior yaitu mengkalikan distribusi prior dengan fungsi likelihood. Distribusi prior untuk non-informatif prior didapat dengan metode Jeffreyβs yaitu akar kuadrat dari informasi Fisher. Kemudian menghitung fungsi likelihood dari distribusi Log-Normal. Langkah selanjutnya mengalikan fungsi likelihood dengan distribusi prior. Jika didapat distribusi posterior improper maka tidak bisa dilakukan tahap estimasi.
3. Estimasi Distribusi Posterior Pada tahap ini akan dilakukan estimasi distribusi posterior dengan menghitung marginal parameter π dan π2 . Kemudian ekspetasi dari hasil marginal parameter π dan π2. Hasil dari ekspetasi dimasukkan ke parameter π dan π2 berdistribusi Log-Normal. Sehingga didapat estimasi titik parameter distribusi Log-Normal.
24
3.2 Diagram Alir Metode Penelitian Secara umum tahapan-tahapan yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini ditampilkan dalam diagram alir penelitian pada Gambar 3.1:
No
Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Penelitian
Mengkaji estimasi parameter π dan π2 dari distribusi Log-Normal
Distribusi posterior β distribusi prior x fungsi likelihood. Pendekatan non-informatif prior dengan metode Jeffreyβs. Jika didapat distribusi posterior tidak tepat /improper maka tidak bisa dilakukan estimasi
Tepat
Estimasi distribusi posterior dengan menghitung marginal parameter π dan π2 . Kemudian ekspetasi dari hasil marginal parameter π dan π2 . Hasil dari ekspetasi dimasukkan ke parameter π dan π2 berdistribusi Log-Normal. Sehingga didapat estimasi titik parameter distribusi Log-Normal
Yes
Start
Finish
23
BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dijelaskan secara detail mengenai analisis estimasi parameter mean π dan varians π2 distibusi Log-Normal menggunakan metode Bayesian. Fungsi likelihood dan distribusi prior dibutuhkan untuk mendapatkan distribusi posterior. Setelah didapat distribusi posterior lalu marginal dari parameter mean π dan varians π2 dibutuhkan untuk mendapatkan estimasi posterior berupa estimasi titik. 4.1 Fungsi Likelihood dari Distribusi Log-Normal Jika π1, π2, β¦ . , ππ adalah sampel acak berdistribusi Log-Normal dengan densitas π(π₯1; π, π2) maka fungsi likelihoodnya didefinisikan dengan[2]:
πΏ(π, π2) = βπ(π₯π; ΞΈ, π2)
π
π=1
πΏ(π, π2) = β1
π₯ππβ2π ππ₯π [
β (ln π₯π β π)2
2π2]
π
π=1
= (2π π2)β12(π₯1)
β1 ππ₯π [β1
2π2(ln π₯1 β π)2]β¦
(2π π2)β12 (π₯π)βπ ππ₯π [β
1
2π2(ln π₯π β π)2]
πΏ(π, π2) = (2π π2π₯π2)β
π2 ππ₯π [β
1
2π2β(ln π₯π β π)2
π
π=1
] (4.1)
4.2 Non-Informatif Prior dari Distribusi Log-Normal Distribusi non-informatif prior π(π) dimana π terdiri dari π dan π2 dinotasikan π(π) = π(π, π2), kemudian variabel acak π dan π2 dikatakan bebas jika dan hanya jika π(π, π2) = π(π). β(π2). Menentukan distribusi non-informatif prior untuk β(π2) adalah sebagai berikut[3]:
24
π(π₯; ΞΈ, π2) =1
π₯πβ2π ππ₯π [
β (ln π₯ β π)2
2π2]
log π(π₯; ΞΈ, π2) = β1
2log 2π β
1
2logπ2 β
1
2log π₯2 β (
(ln π₯ β π)2
2π2 )
Jika π’ = π2 maka
log π(π₯; ΞΈ, π’) = β1
2log 2π β
1
2log π’ β
1
2log π₯2 β (
(ln π₯ β π)2
2π’)
π log π(π₯; ΞΈ, π’)
ππ’= β
1
2π’+
(ln π₯ β π)2
2π’2
π2 log π(π₯; ΞΈ, π’)
ππ’2=
1
2π’2β
(ln π₯ β π)2
π’3
π2 log π(π₯; ΞΈ, π’)
ππ’2=
1
2π4β
(ln π₯ β π)2
π6
πΌ(π2) = βπΈ [π2 log π(π₯; ΞΈ, π’)
ππ’2]
πΌ(π2) = 1
2π4
β(π2) = βπΌ(π2) = β1
2π4β
1
π2
Sedangkan nilai non-informatif prior untuk π(π) = konstan[9] sehingga diperoleh nilai non-informatif prior
π(π) = π(π, π2) = π(π). β(π2) = π .1
π2 β
1
π2
Jadi nilai non-informatif prior
π(π) =1
π2 (4.2)
25
4.3 Distribusi Posterior Setelah mencari fungsi likelihood dan menentukan distribusi prior dari distribusi Log-Normal dapat dicari distribusi posteriornya. Kepadatan posterior bersama dari π dan π2 adalah diberikan πππ π‘πππππ β πππππ. ππ’πππ π ππππππβπππ π(π, π2|π₯) β π(π). πΏ(π, π2)
dari persamaan (4.1) dan (4.2) Kepadatan posterior bersama dari π dan π2 adalah diberikan
π(π, π2|π₯) β (1
β2ππ₯π
)
π
(1
π2)
(π2+1)
exp [β1
2π2β(ln π₯π β π)2
π
π=1
]
π(π, π2|π₯) β π
(π2)(π2+1)
ππ₯π [βπ½
2π2 ] .
exp [βπ
2π2(π β
β ln π₯πππ=1
π)
2
] (4.3)
dimana
π½ = (π β 1)β (ln π₯π)
2ππ=1
π
dan c adalah konstanta normal. Box & Tiao (1973) menjelaskan jika π(π) menjadi prior dan πΏ(π, π2) menjadi fungsi likelihood, fungsi padat peluang (pdf) posterior π(π, π2|π₯) diberikan π(π, π2|π₯) = π π(π)πΏ(π, π2), dimana c adalah konstanta normal. Lalu nilai dari c diperoleh dari
π = [β«π(π)πΏ(π, π2)ππ ππ2]β1
dimana c dapat menjadi
πβ1 = β« β« π(π, π2|π₯) ππ ππ2
β
ββ
β
0
26
πβ1 = β« β« (π2)β(π2+1)
ππ₯π [βπ½
2π2 ] .
β
ββ
β
0
exp [βπ
2π2 (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
]ππ ππ2
dimana:
β« exp [βπ
2π2 (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
] ππ = β2ππ2
π
β
ββ
sehingga,
πβ1 = β2ππ2
πβ«
ππ₯π [βπ½
2π2 ]
(π2)(π2+1)
ππ2
β
0
πβ1 = β2π
πβ«
ππ₯π [βπ½
2π2 ]
(π2)(π+12
) ππ2
β
0
πβ1 = β2π
πβ« (π2)
β(π+12
) ππ₯π [β
π½
2π2 ] ππ2
β
0
misal: π΄ = π2
πβ1 = β2π
πβ« (π΄)
β(π+12
) ππ₯π [β
π½
2π΄ ] ππ΄
β
0
misal :
π΅ =π½
2π΄β π΄ =
π½
2π΅β ππ΄ = β
π½
2π΅2ππ΅
27
batas berubah:
limπ΄β0
π΅ = β
π΅ = β β π΄ = 0
πβ1 = β2π
πβ« (
π½
2π΅)β(
π+12
)
(βπ½
2π΅2) ππ₯π[βπ΅ ]
0
π΅=β
ππ΅
πβ1 = β2π
π β« (
π½
2π΅)β(
π+12
)
[π½
2π΅] [β
1
π΅] ππ₯π[βπ΅ ] ππ΅
0
π΅=β
πβ1 = β2π
π β« (
π½
2π΅)β(
πβ12
)
[β1
π΅] ππ₯π[βπ΅ ]ππ΅
0
π΅=β
πβ1 = β2π
π (
π½
2)β(
πβ12
)
β« (1
π΅)β(
πβ12
)
[β1
π΅]
0
π΅=β
ππ₯π [βπ΅] ππ΅
πβ1 = β2π
π(π½
2)β(
πβ12
)
β« (1
π΅)β(
πβ12
)
[1
π΅]
β
π΅=0
ππ₯π[βπ΅ ] ππ΅
πβ1 = β2π
π (
π½
2)β(
πβ12
)
β«(π΅)(πβ12
)β1 ππ₯π[βπ΅ ]ππ΅
β
π΅=0
(4.4)
karena β« (π΅)(πβ1
2)β1
ππ₯π[βπ΅ ]ππ΅β
π΅=0 pada persamaan (4.4)
merupakan fungsi Gamma dengan πβ1
2> 0 sehingga
β«(π΅)(πβ12
)β1 ππ₯π[βπ΅ ]ππ΅
β
π΅=0
= Ξ (π β 1
2) (4.5)
28
Selanjutnya dengan mensubtitusikan persamaan (4.5) pada persamaan (4.4), diperoleh
πβ1 = β2π
π(π½
2 )
β(πβ12
)
Ξ (π β 1
2)
π = βπ
2π(π½
2 )
(πβ12
)
1
Ξ (π β 1
2 ) (4.6)
setelah ditemukan c lalu subtitusikan ke persamaan (4.3) menjadi
π(π, π2|π₯) = (βπ
2π
(π½)(πβ12
)
Ξ (π β 1
2 ) (π2)(π2+1)
ππ₯π [βπ½
2π2 ]) .
(exp [βπ
2π2 (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
]) (4.7)
4.3.1 Distribusi Posterior Marginal dari π½ dan ππ Distribusi posterior marginal dari π adalah integral terhadap π2 dari persamaan (4.5) menjadi
π(π|π₯) = β« π(π, π2|π₯) ππ2
β
π2=0
π(π|π₯) = π β«1
(π2)(π2+1)
ππ₯π [βπ½
2π2 ]
β
π2=0
.
exp [βπ
2π2 (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
] ππ2
29
π(π|π₯) = π β«1
(π2)(π2+1)
β
π2=0
.
exp [β1
2π2 {π½ + π (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
}] ππ2
misal : π΄ = π2
π΅ = [π½ + π (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
]
π(π|π₯) = π β« (π΄)β(
π2+1)
ππ₯π [β1
2π΄ π΅] ππ΄
β
π΄=0
misal :
π‘ =π΅
2π΄ β π΄ =
π΅
2π‘ β π΄2 = (
π΅
2π‘)2
ππ‘ = βπ΅
2π΄2 ππ΄ β ππ΄ = β
2π΄2
π΅ππ‘ β ππ΄ = β
2(π΅2π‘)
2
π΅ππ‘
ππ΄ = βπ΅
2π‘2 ππ‘
batas berubah: π΄ = 0 β π‘ = β π΄ = β β π‘ = 0
π(π|π₯) = π β« (π΅
2π‘)β(
π2+1)
ππ₯π[βπ‘] (βπ΅
2π‘2)ππ‘
0
π΄=β
30
π(π|π₯) = π β« (π΅
2π‘)β(
π2+1)
(π΅
2π‘) (β
1
π‘) ππ₯π[βπ‘] ππ‘
0
π΄=β
= π β« (π΅
2π‘)β(
π2+1)+1
(β1
π‘) ππ₯π[βπ‘] ππ‘
0
π΄=β
= π (π΅
2)β(
π2+1)+1
β« (1
π‘)β(
π2+1)+1
(β1
π‘) ππ₯π[βπ‘] ππ‘
0
π΄=β
= π (π΅
2)β(
π2+1β1)
β« (1
π‘)β(
π2+1)+1
(1
π‘) ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0
= π (π΅
2)β(
π2)
β« (1
π‘)β(
π2+1)+1+1
ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0
= π(π΅)β(π2)(2)
(π2)
β« (1
π‘)β(
π2+1)+2
ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0
= π(π΅)β(π2)(2)
(π2)
β« (1
π‘)β(
π+2β42
)
ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0
= π(π΅)β(π2)(2)
(π2)
β« (π‘)(πβ22
) ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0
= π(π΅)β(π2)(2)
(π2)
β« (π‘)(π2β1)
ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0
(4.8)
karena β« (π‘)(π
2β1) ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0 pada persamaan (4.8)
merupakan fungsi Gamma dengan π
2> 0 sehingga
β« (π‘)(π2β1)
ππ₯π[βπ‘] ππ‘
β
π΄=0
= Ξ (π
2) (4.9)
31
selanjutnya subtitusikan persamaan (4.9) dan persamaan (4.6) pada persamaan (4.8), diperoleh
π(π|π₯) = βπ
2π (
π½
2 )
(πβ12
)
1
Ξ (π β 1
2 )(
π½
2π2)β(
π2)
(2)(π2) Ξ (
π
2)
π(π|π₯) = βπ
2π(π½)(
πβ12
)
1
Ξ (π β 1
2)(π΅)β(
π2)(2)(
βπ+12
+π2) Ξ (
π
2)
π(π|π₯) = (βπ
2π(π½)(
πβ12
)
1
Ξ (π β 1
2)) .
(π½ + π (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
)
β(π2)
β2 Ξ (π
2)
π(π|π₯) = (βπ
2π β2
Ξ (π2)
Ξ (π β 1
2 )) .
(π½)(πβ12
)(π½ {1 +
π
π½(π β
β ln π₯πππ=1
π)
2
})
β(π2)
π(π|π₯) = βπ
π
Ξ (π2)
Ξ (π β 1
2 ) .
(π½)(πβ12
)β(π2){1 +
π
π½(π β
β ln π₯πππ=1
π)
2
}
β(π2)
32
π(π|π₯) = βπ
π
Ξ (π2)
Ξ (π β 1
2 ) .
(π½)(β12){1 +
π
π½(π β
β ln π₯πππ=1
π)
2
}
β(π2)
π(π|π₯) = βπ
π½
Ξ (π2)
βπ Ξ (π β 1
2 )
1
{1 +ππ½
(π ββ ln π₯π
ππ=1
π )2
}
(π2)
dimana
π΅ (1
2,π β 1
2) =
Ξ (12) Ξ (
π β 12 )
Ξ (12
+π β 1
2 )=
βπ Ξ (π β 1
2 )
Ξ (π2 )
sehingga
π(π|π₯) = βπ
π½
1
π΅ (12
,π β 1
2) [1 +
ππ½
(π ββ ln π₯π
ππ=1
π)2
]
π2
(4.10)
Distrribusi posterior marginal dari π2adalah integral terhadap π dari persamaan (4.7) menjadi
π(π2|π₯) = β« π(π, π2|π₯) ππ
β
π=ββ
= π β« (1
(π2)(π2+1)
ππ₯π [βπ½
2π2 ])
β
π=ββ
.
33
exp [βπ
2π2 (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
] ππ
π(π2|π₯) =π
(π2)(π2+1)
ππ₯π [βπ½
2π2 ]
β« (exp [βπ
2π2 (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
]) ππ
β
π=ββ
dimana :
β« (exp [βπ
2π2 (π ββ ln π₯π
ππ=1
π)
2
]) ππ
β
π=ββ
= β2ππ2
π
sehingga,
π(π2|π₯) =π
(π2)(π2+1)
ππ₯π [βπ½
2π2 ] β
2ππ2
π
π(π2|π₯) =(π½)(
πβ12
)ππ₯π [
βπ½2π2]
(π2)(π+12
)(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12 )
(4.11)
4.3.2 Estimasi Posterior dari π½ dan ππ Hasil dari distribusi posterior marginal dari π adalah diberikan pada persamaan (4.6). Sehingga estimasi posterior dari π adalah sebagai berikut: πβ = πΈ(π|π₯)
= βπ
π½
1
π΅ (12
,π β 1
2)
β«π ππ
[1 +ππ½
(π ββ ln π₯π
ππ=1
π)2
]
π2
β
ββ
34
Menggunakan transformasi
π‘ = βπ
π½(π β
β ln π₯πππ=1
π) βπ β 1
π‘
βπ β 1= β
π
π½π β β
π
π½
β ln π₯πππ=1
π
βπ
π½π =
π‘
βπ β 1+ β
π
π½
β ln π₯πππ=1
π
βπ
π½ dπ =
ππ‘
βπ β 1β dπ = β
π½
π
ππ‘
βπ β 1
batas berubah menjadi π = ββ β π‘ = ββ π = β β π‘ = β
πΈ(π|π₯) = 1
π΅ (12 ,
π β 12 )
β«
(π‘
βπ β 1+ β
ππ½
β ln π₯πππ=1
π)βπ½
πππ‘
βπ β 1
[1 +π‘2
π β 1]
π2
β
ββ
πΈ(π|π₯) =1
π΅ (12 ,
π β 12 )
β«
(βπ½π
(π‘
π β 1) +
β ln π₯πππ=1
πβπ β 1)ππ‘
[1 +π‘2
π β 1]
π2
β
ββ
πΈ(π|π₯) =1
π΅ (12 ,
π β 12
) [
β«βπ½
π(
π‘π β 1)ππ‘
[1 +π‘2
π β 1]
π2
+ β«
(β ln π₯π
ππ=1
πβπ β 1)ππ‘
[1 +π‘2
π β 1]
π2
β
ββ
β
ββ]
35
Karena yang dicari adalah nilai harapan π dengan syarat x maka yang tidak mengandung unsur x di abaikan.
πΈ(π|π₯) =β ln π₯π
ππ=1
πβπ β 1 π΅ (12 ,
π β 12 )
β«ππ‘
[1 +π‘2
π β 1]
π2
β
ββ
πΈ(π|π₯) =β ln π₯π
ππ=1
πβπ β 1 π΅ (12 ,
π β 12 )
[
2β«ππ‘
[1 +π‘2
π β 1]
π2
β
0]
misal :
π¦ =π‘2
π β 1β π‘ = βπ¦(π β 1) β ππ‘ = (
βπ β 1
2 π¦β
12) ππ¦
batas menjadi π‘ = 0 β π¦ = 0 π‘ = β β π¦ = β sehingga
πΈ(π|π₯) =β ln π₯π
ππ=1
πβπ β 1 π΅ (12
,π β 1
2)
[
2β«
(βπ β 1
2 π¦β
12) ππ¦
[1 + π¦]π2
β
0]
πΈ(π|π₯) =β ln π₯π
ππ=1
πβπ β 1 π΅ (12 ,
π β 12 )
[2 (βπ β 1
2)β«
( π¦β12) ππ¦
[1 + π¦]π2
β
0
]
πΈ(π|π₯) =β ln π₯π
ππ=1
πβπ β 1 π΅ (12 ,
π β 12 )
[βπ β 1β«( π¦β
12) ππ¦
[1 + π¦]π2
β
0
]
36
dimana
π΅(π, π) = β«π¦πβ1 ππ¦
[1 + π¦](π+π)
β
0
π β 1 = β1
2β π =
1
2
π + π =π
2β
1
2+ π =
π
2 β π =
π β 1
2
β«( π¦β
12) ππ¦
[1 + π¦]π2
β
0
= π΅ (1
2,π β 1
2)
sehingga
πΈ(π|π₯) =β ln π₯π
ππ=1
πβπ β 1 π΅ (12 ,
π β 12 )
[βπ β 1 π΅ (1
2,π β 1
2)]
πΈ(π|π₯) =β ln π₯π
ππ=1
π
πβ = β ln π₯π
ππ=1
π (4.12)
Sehingga distribusi posterior marginal dari π2 adalah diberikan pada persamaan (4.7). Sehingga estimasi posterior dari π2 adalah sebagai berikut :
π2β = β«(π½)(
πβ12
)ππ₯π [
βπ½2π2] π
2
(π2)(π+12
)(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12 )
β
0
ππ2
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12
)
β«ππ₯π [
βπ½2π2]
(π2)(πβ12
)
β
0
ππ2
37
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12 )
β«1
(π2)(πβ12
)ππ₯π [
βπ½
2π2]
β
0
ππ2
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12 )
β«(π2)β(
πβ12
)ππ₯π [
βπ½
2π2]
β
0
ππ2
misal: π΄ = π2
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12 )
β«(π΄)β(
πβ12
)ππ₯π [
βπ½
2π΄]
β
0
ππ΄
misal : π΅ =π½
2π΄β π΄ =
π½
2π΅β ππ΄ = β
π½
2π΅2 ππ΅
batas berubah :
limπ΄β0
π΅ = β
π΅ = β β π΄ = 0
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12
)
.
β« (π½
2π΅)β(
πβ12
)
(βπ½
2π΅2) ππ₯π[βπ΅ ]
0
π΅=β
ππ΅
38
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12 )
.
β« (π½
2π΅)β(
πβ12
)
[π½
2π΅] [β
1
π΅] ππ₯π[βπ΅ ] ππ΅
0
π΅=β
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12 )
β« (π½
2π΅)β(
πβ32
)
[β1
π΅] ππ₯π[βπ΅ ]ππ΅
0
π΅=β
π2β =(π½)(
πβ12
)
(2)(πβ12
)Ξ (
π β 12
)
(π½
2)β(
πβ32
)
.
β« (1
π΅)β(
πβ32
)
[β1
π΅]
0
π΅=β
ππ₯π [βπ΅] ππ΅
π2β =π½
2 Ξ (π β 1
2)
β« (1
π΅)β(
πβ32
)
[1
π΅]
β
π΅=0
ππ₯π[βπ΅ ] ππ΅
π2β =π½
2 Ξ (π β 1
2 )β«(π΅)(
πβ32
)β1 ππ₯π[βπ΅ ]ππ΅
β
π΅=0
π2β =π½
2 Ξ (π β 1
2)Ξ (
π β 3
2)
π2β =π½
2
Ξ (π β 3
2 )
Ξ (π β 1
2)
39
π2β =π½
2
(π β 3
2) !
(π β 1
2 ) . (π β 3
2 ) !
π2β =π½
2
1
(π β 1
2 )
π2β =π½
π β 1 (4.13)
selanjutnya persamaan (4.12) dan (4.13) disubtitusi ke persamaan (2.4) dan (2.7) menjadi
π1β = exp [
β ln π₯πππ=1
π +
π½
2(π β 1)]
dan
π12β = exp [2
β ln π₯πππ=1
π +
π½
π β 1] (exp [
π½
π β 1] β 1)
40
βHalaman ini sengaja dikosongkanβ
41
BAB V PENUTUP
Bab ini berisi tentang kesimpulan yang dihasilkan berdasarkan penelitian yang telah dilaksanakan serta saran yang diberikan jika penelitian ini ingin dikembangkan.
5.1 Kesimpulan Dari hasil pembahasan yang telah disajikan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa mengestimasi parameter ΞΈ dan π2 distribusi Log-Normal dengan menggunakan metode Bayes untuk non informatif prior didapat nilai estimasi titik. Nilai estimasi titik sebagai berikut, 1. Parameter mean ΞΈ
π1β = exp [(
β ln π₯πππ=1
π ) + (
π½
2(π β 1))]
2. Parameter varians π2
π12β = exp [2 (
β ln π₯πππ=1
π ) + (
π½
π β 1)] (exp [
π½
π β 1] β 1)
5.2 Saran Saran yang dapat diberikan untuk Tugas Akhir ini adalah menambahkan sifat-sifat estimasi yang baik meliputi tidak bias, konsisten, variansi minimum, dan statistika cukup.
42
β Halaman ini sengaja dikosongkan β
43
DAFTAR PUSTAKA
[1] Harinaldi, 2005, βPrinsip-Prinsip Statistika Untuk Teknik dan Sainsβ. Jakarta: Erlangga.
[2] Supranto, J., 2001, βStatistika Teori dan Aplikasi Edisi ke-6β. Jakarta: Erlangga.
[3] Prahutama, A. Sugito dan Rusgiyono, A., 2012, βInferensi Statistik Dari Distribusi Normal Dengan Metode Bayes Untuk Non-Informatif Priorβ. Media Statistik, (2012, Desember), 95-104.
[4] Hazhiah, T. I., Sugito dan Rahmawati, R. 2012. βEstimasi Parameter Distribusi Weibull Dua Parameter Menggunakan Metode Bayesβ. Media Statistik, (2012, Juni), 95-104.
[5] Afnaria, 2011, βStudy tentang Distribusi Log-Normalβ . Seminar Nasional Matematika Terapan, (2011).
[6] Natalia, E., 2008, βEstimasi Mean Dan Varians Distribusi Lognormal Dalam Bentuk Integralβ. Tugas Akhir Jurusan Matematika. Surabaya, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[7] Bain, Lee J. dan Engelhardt, Max. 1992. βIntroduction to Probability and Mathematical Statisticsβ. Duxbury Press, California.
[8] Indriyani, F., 2008, βPendekatan Metode Bayesian Untuk Kajian Estimasi Parameter Distribusi Binomial Negatif β. Tugas Akhir Jurusan Matematika. Surabaya, Fakultas
44
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[9] George E. P. Box dan George C. Tiao. 1973. βBayesian Inference in Statistical Analysisβ. Boston: Addison-Wesley Publishing Company, 1973.
[10] Sultan, R. dan Ahmad, S. P., 2013, βComparison of Parameters of Lognormal Distribution Based On the Classical and Posterior Estimatesβ. Journal of Modern Applied Statistical Methods. <http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/>. Diakses pada tanggal 04 Maret 2016 pada pukul 08.10
45
BIODATA PENULIS
Penulis memiliki nama lengkap Evi Noor Diana. Dilahirkan di Surabaya pada tanggal 10 Juni 1994 dan merupakan anak ketiga dari 4 bersaudara. Pendidikan formal yang telah ditempuh yaitu SDN Dr. Sutomo IV No. 326, SMPN 42 Surabaya. Setelah menyelesaikan pendidikannya di SMAN 9 Surabaya, penulis melanjutkan pendidikan S1 di Jurusan Matematika ITS melalui jalur
SNMPTN Tulis pada tahun 2012. Pada masa perkuliahan penulis memilih Matematika Terapan sebagai bidang keahliannya.
Selama menjadi mahasiswa ITS, penulis aktif berwirausaha dalam berbagai event/ acara yang diselenggarakan ITS maupun universitas lainnya. Penulis juga pernah mengikuti acara PAMMITS (Pasar Malam Minggu ITS) di depan pintu masuk ITS. Penulis berjualan aneka variasi mulai dari es krim pot, takoyaki, onigiri, susu sari dele, pok-pok, dan lain-lain.
Selama penulisan Tugas Akhir ini, penulis tidak lepas dari kekurangan. Untuk kritik, saran, dan pertanyaan mengenai Tugas Akhir ini dapat dikirimkan melalui e-mail ke [email protected] atau 0896-3056-0042.