7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
1/47
INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR
DE ACAYUCAN
MANUAL DE PRCTICAS DEMETODOS NUMERICOS
CLAVE: ICC 1027
Nombre del alumno: ______________________________________________________________
Grupo: _____408A________
DOCENTE: MTI. ULISES GIRON JIMENEZ
ACAYUCAN, VER. A FEBRERO 2016
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
2/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 2
MANUAL DE PRCTICAS DEMETODOS NUMERICOS
CLAVE: ICC 1027
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
3/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 3
Contenido
Objetivo .......................................................................................................................................................................... 4
Introduccin ................................................................................................................................................................. 4
Competencia a desarrollar ...................................................................................................................................... 7
Prctica 1: Tipos de errores .................................................................................................................................... 8
Prctica 2: Software de cmputo numrico .................................................................................................. 10
Prctica 3: Mtodo de biseccin y regla falsa ............................................................................................... 12
Prctica 4: Mtodo de Newton Raphson y secante ..................................................................................... 15
Prctica 5: Aplicacin de la solucin de ecuaciones no lineales ............................................................ 17
Prctica 6: Interpolacin lineal .......................................................................................................................... 19
Prctica 7: Interpolacin de Lagrange ............................................................................................................. 22
Prctica 8: Aplicaciones de interpolacin ...................................................................................................... 25
Prctica 9: Integracin numrica ...................................................................................................................... 27
Prctica 10: Aplicacin de la integracin numrica ................................................................................... 30
Prctica 11: Mtodo de Gauss Jordn .............................................................................................................. 33
Prctica 12: Mtodo de Gauss Seidel ................................................................................................................ 36
Prctica 13: Mtodos de Jacobi........................................................................................................................... 38
Prctica 14: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales ........................................................ 40
Prctica 15: Mtodo de Newton Raphson para sistemas de ecuaciones no lineales ........... .......... 42
Prctica 16: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales .................................................. 45
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
4/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 4
Objetivo
Seleccionar y aplicar mtodos (algoritmos) numricos para resolver
problemas matemticos referentes a diferentes reas de a ingeniera,
probabilidad, anlisis estadstico, entre otras, de acuerdo al tipo de
problema en particular.
Evaluar los temas vistos en cursos tradicionales de clculo, lgebra
lineal, ecuaciones diferenciales, etc. desde el punto de vista numrico,
concretando en el anlisis de una serie de mtodos o algoritmos, y su
aplicacin mediante el uso de computadoras y el software apropiado.
Introduccin
Caracterizacinde laasignatura
Esta asignatura aporta al perfil del Ingeniero en nuevas
estrategias para resolver problemas de aplicacin matemtica a la
ingeniera civil adecuadamente.
Para integrarla se ha hecho un anlisis referente a las
matemticas aplicadas, identificando los temas ms importantes de
mayor aplicacin en el quehacer profesional del ingeniero.
Puesto que esta materia dar soporte a otras, ms directamente
vinculadas con desempeos profesionales; se inserta al inicio escolar;
antes de cursar aqullas a las que da soporte. De manera particular, lo
trabajado en esta asignatura se aplica en el estudio de los temas.
Deber aplicar los conocimientos de las ciencias bsicas y ciencias de
la Ingeniera, para planear, proyectar, disear, construir y conservar
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
5/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 5
obras hidrulicas y sanitarias, sistemas estructurales, vas terrestres,
edificacin y obras de infraestructura urbana e industrial. De igual
forma esta herramienta es muy importante en el mbito laboral para
ser competitivo, y saber manejar software de dibujo asistido por
computadora.
Intencindidctica
Comprender y aplicar los algoritmos numricos en la solucin de
problemas de Ingeniera civil, mediante el uso de computadoras y el
software apropiado.
Se organiza el temario con 6 unidades y la primera con un software de
aplicacin.
La idea es abordar reiteradamente los conceptos fundamentales hasta
conseguir su comprensin. Se propone abordar los procesos de un
software desde un punto de vista conceptual, partiendo de la
identificacin de cada uno de dichos procesos en el entorno cotidiano
o el de desempeo profesional.
El enfoque sugerido para la materia requiere que las actividades
prcticas promuevan el desarrollo de habilidades y estrategias para su
entorno laboral, tales como: identificacin del software en la resolucin
de los problemas y saber utilizar las aplicaciones adecuado con lo que
se requiere, en las actividades prcticas sugeridas, es conveniente queel profesor guie a sus alumnos para que ellos realicen las actividades y
aprendan a identificar cada uno de los elementos.
La lista de actividades de aprendizaje no es exhaustiva, se sugieren
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
6/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 6
sobre todo las Necesarias para hacer ms significativo y efectivo el
aprendizaje. Algunas de las actividades sugeridas pueden hacerse como
actividad extra clase y comenzar el tratamiento en clase a partir de la
discusin de los resultados de las observaciones. Se busca partir
de experiencias concretas, cotidianas, para que el estudiante se
acostumbre al mbito ingenieril. Es importante ofrecer escenarios
distintos, ya sean construidos, artificiales, virtuales o naturales.
En las actividades de aprendizaje sugeridas, generalmente se propone
la formalizacin de los conceptos a partir de experiencias concretas; se
busca que el alumno tenga el primer contacto con el concepto en forma
concreta. Pero se sugiere que se diseen nuevas estrategias para que el
alumno sepa tomar decisiones en el momento de resolver un problema
real.
En el transcurso de las actividades programadas es muy importante
que el estudiante aprenda a valorar las actividades que lleva a cabo y
entienda que est construyendo su futuro y en consecuencia acte de
una manera profesional; de igual manera, valore la importancia del
conocimiento y los hbitos de trabajo; desarrolle la precisin, la
puntualidad, el entusiasmo, el inters, la tenacidad, la flexibilidad y el
trabajo colectivo. Es necesario que el profesor preste atencin y
cuidado en el desarrollo de las actividades de aprendizaje de esta
asignatura.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
7/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 7
Competencia a desarrollar
Competencias especficas:
Resolver problemas relacionados con la ingeniera de procesos mediante
la aplicacin de algoritmos numricos y el uso de computadoras digitales.
Competencias genricas
Competencias
instrumentales
Capacidad de anlisis y sntesis
Capacidad de organizar y planificar
Conocimientos bsicos de la carrera
Comunicacin oral y escrita
Habilidades bsicas de manejo de la Computadora
Habilidad para buscar y analizar informacin proveniente de fuentes
diversas
Solucin de problemas
Toma de decisiones.
Competencias
interpersonales
Capacidad crtica y autocrtica
Trabajo en equipo
Habilidades interpersonales
Competencias
sistmicas
Capacidad de aplicar los conocimientos en la prctica
Habilidades de investigacin
Capacidad de aprender
Capacidad de generar nuevas ideas (creatividad)
Habilidad para trabajar en forma autnoma
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
8/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 8
Prctica 1: Tipos de errores
Objetivo Realizar clculos de errores numricos, usando el error por redondeo o truncamiento.
Unidad 1 Introduccin a los mtodos numricos
Subtemas 1.4 Errores inherentes de redondeo y por truncamiento.
Introduccin Error. Es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida.
Si *p es una aproximacin a p , el error se define como
*ppE
Error por redondeo. Este error es el resultado de representar aproximadamente
nmeros exactos. Es decir, se debe a la omisin de algunas de las cifras significativas de
algn valor especfico. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo
guardan un nmero finito de cifras significativas durante un clculo. Las computadoras
realizan esta funcin de maneras diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras
significativas, la computadora puede almacenar y usar como = 3.141592, omitiendo
los trminos restantes y generando un error de redondeo.
Errores de truncamiento. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar
una sucesin finita o infinita de pasos en el cual se realizan clculos para producir un
resultado exacto, se trunca prematuramente despus de un cierto nmero de pasos.
Truncar la siguiente cifra hasta centsimos, o hasta que sean dos las cifras significativas:
645751311.27 2.647
Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de
una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el
nmero, por lo que tambin cae en un error.
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar
de un procedimiento matemtico exacto. Estos errores se regresan a la formulacinmatemtica usada ampliamente en los mtodos numricos para expresar funciones en
forma polinomial.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, hojas blancas, calculadora.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
9/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 9
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios usando las reglas de redondeo.
Problema 1 Aplique el mtodo de redondeo para las siguientes cantidades segn se indique el nmero
de cifras significativas y a la vez escriba el nmero de digito que tenga el nmero inicial.
Numero Cifras significativas Redondeo Dgitos significativos
5.6723 3
10.406 4
7.3500 2
88.21650 5
1.25001 2
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. . Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico: Mc Graw
Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
10/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 10
Prctica 2: Software de cmputo numrico
Objetivo Realizar una lista del software de cmputo numrico tanto comercial como libres.
Unidad 1 Introduccin a los mtodos numricos
Subtemas 1.6 Uso de herramientas computacionales
Introduccin Para que un computador (hardware) funcione es necesario utilizar programas (software),
los cuales le indican cul es la tarea que se tiene que hacer. Un lenguaje de programacin
es el que se utiliza para escribir dichos programas. Posteriormente estos se introducirn
en la memoria del computador y ste ltimo ejecutar todas las operaciones que se
incluyen.
Como ya sabemos, las computadoras fueron diseadas o ideadas como una herramienta
mediante la cual podemos realizar operaciones de clculo complicadas en un lapso de
mnimo tiempo. Pero la mayora de las aplicaciones de este fantstico invento del hombre,
son las de almacenamiento y acceso de grandes cantidades de informacin.
La informacin que se procesa en la computadora es un conjunto de datos, que pueden ser
simples o estructurados. Los datos simples son aquellos que ocupan slo una localidad de
memoria, mientras que los estructurados son un conjunto de casillas de memoria a las
cuales hacemos referencia mediante un identificador nico.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, hojas blancas
Desarrollo de la practica
Instruccin I Investigue acerca de los software de computo numrico
Problema 1 Realice una lista de los software de computo numrico comercial y libres
Respuesta:
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
11/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 11
Instruccin II Elabore una lnea de Tiempo
Actividad 1 Realice una investigacin acerca de los lenguajes de programacin y con esa informacin
elabore una lnea de tiempo.
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
12/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 12
Prctica 3: Mtodo de biseccin y regla falsa
Objetivo Realizar clculos de races de ecuaciones usando el mtodo de Biseccin, Regla falsa,
Secante y Newton Raphson
Unidad 2 Solucin de ecuaciones no lineales de una variable
Subtemas 2.2 Mtodos cerrados y sus interpretaciones geomtricas (biseccin y regla falsa)
Introduccin El mtodo de biseccin
El mtodo de biseccin conocido tambin como de corte binario, de particin en dos
intervalos iguales o mtodo Bolzano, es un mtodo de bsqueda incremental en el que el
intervalo se divide siempre en dos. La posicin de la raz se determina situndola en el
punto medio del subintervalos dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se
repite hasta obtener una mejor aproximacin.
2
1 ur
xxx
Mtodo de falsa posicin
Aunque el mtodo de biseccin es una tcnica perfectamente vlida para determinar
races, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la de del
mtodo de la regla falsa (falsa posicin) est basada en una idea para aproximarse en
forma ms eficiente a la raz. Un defecto del mtodo de biseccin es que al dividir el
intervalo x1 a xuen mitades iguales, no se toma en consideracin la magnitud de)( 1xf y
de)( uxf .
u
uuur
xfxf
xxxfxx
1
1
Herramienta de
apoyo
Apuntes, hojas blancas, calculadora
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver el siguiente ejercicio utilizando el mtodo indicado, apyese con Excel
para encontrar la solucin.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
13/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 13
Problema 1 La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real es:
RTbVVa
P
2
Dnde:
P Presin en atm; T temperatura en K; R constante universal de los gases en
atm L / (gmol K) = 0.08205; V volumen molar del gas en L / gmol; ba, constantes
particulares para cada gas
Calcule V a 80 C (353.2 K) para una presin de 10 atm
Gas A b
He 0.03412 0.02370
Realice los clculos necesarios para resolver esta ecuacin usando los mtodos indicados:
a) Mtodo de biseccin con vV 8.01 , vVu 2.1 ,
b)
Mtodo de falsa posicin con vV 8.01 , vVu 2.1
Respuesta (a)
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
14/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 14
Respuesta (b)
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
15/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 15
Prctica 4: Mtodo de Newton Raphson y secante
Objetivo Realizar clculos de races de ecuaciones usando los mtodos abiertos
Unidad 2 Solucin de ecuaciones no lineales de una variable
Subtemas 2.3 Mtodos abiertos y sus interpretaciones geomtricas asi como criterios de
convergencia (Newton Raphson y Mtodo de la Secante)
Introduccin Mtodo de Newton Raphson
Es una de las frmulas ms ampliamente usadas para localizar races, si el valor inicial de
la raz es Xi, entonces se puede extender una tangente desde el punto [Xi, f (Xi) ]. El punto
donde esta tangente cruza el eje X, representa una aproximacin mejorada de la raz. El
mtodo de Newton-Raphson se puede obtener sobre la base de una interpretacin
geomtrica, la primera derivada en X es equivalente a la pendiente
i
iii
xf
xfxx
1
La cual es conocida como frmula de Newton - Raphson.
Mtodo de la Secante
Un problema fuerte en la implementacin del mtodo de newton Raphson es la evaluacin
de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para muchas
otras funciones, existen algunas cuyas derivadas pueden ser extremadamente difciles deevaluar.
Por lo tanto el mtodo de la secante
1
11
ii
iiiii
xfxf
xfxxxx ii xx 1
Herramienta de
apoyo
Apuntes, hojas blancas, software (Excel)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios de acuerdo al mtodo indicado.
Problema 1 Aplicando el Mtodo de Newton Raphson, encontrar una raz prxima a 0 0x para
la ecuacin ( ) 3 ( ) 0xf x x sen x e . Redondear los clculos de las aproximaciones
a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla 1 0.001i ix x
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
16/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 16
Respuesta
Problema 2Use el mtodo de la secante para aproximar la raz de
2( ) 1 tan( )f x x x .
Comenzando en el intervalo [0.5,1] y hasta que 1%EA
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
17/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 17
Prctica 5: Aplicacin de la solucin de ecuaciones no lineales
Objetivo Calcular races de ecuaciones para problemas reales
Unidad 2 Solucin de ecuaciones no lineales
Subtemas 2.4 aplicaciones de la solucin de ecuaciones no lineales
Introduccin Para hacer uso del clculo de races de ecuaciones no lineales se puede hacer uso de los
mtodos de biseccin, falsa posicin o regla falsa, Newton Raphson y mtodo de la
Secante.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, calculadora, software, hojas blancas.
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver el siguiente ejercicio utilizando el mtodo de biseccin, falsa posicin, y
secante para comparar la solucin.
Problema 1 Para obtener la temperatura de burbuja de una mezcla de CCl4y CF4en equilibrio con su
vapor, se lleg a la ecuacin:
1221.8 376.716.898 6.195
227.4 241.2( ) 0.75 10 0.25 10 760T Tf T
Encuentre la temperatura de burbuja con una aproximacin de 10-2 aplicado a f(T).
105, 100
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
18/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 18
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. . Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico: Mc Graw
Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
19/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 19
Prctica 6: Interpolacin lineal
Objetivo Encontrar el polinomio de interpolacin por diferencias divididas de Newton
Unidad 3 Interpolacin
Subtemas 3.1 Interpolacin lineal
Introduccin Diferencias divididas de Newton
El polinomio de interpolacin con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma
ms popular adems de las ms til. Antes de presentar la ecuacin general, se examinan
las versiones de primero y segundo orden debido a su fcil interpretacin visual.
Interpolacin lineal.La forma ms simple de interpolar es la de conectar dos puntos con
una lnea recta. Este mtodo, llamado interpolacin lineal, se muestra en la figura
Usando tringulos semejantes, se tiene:
01
01
0
0 )()()()(1
xx
xfxf
xx
xfxf
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
20/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 20
que se puede reordenar como :
)(
)()(
)()(1 001
01
0 xxxx
xfxf
xfxf
)(,)()(1 0100 xxxxfxfxf
La cual es una frmula de interpolacin lineal. La notacin f 1(x) indica que se trata de un
polinomio de interpolacin de primer orden. Ntese que adems de representar la
pendiente de la linera que conecta los dos puntos, el termino
01
01 )()(
xx
xfxf
Es una aproximacin de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general,
entre ms pequeo sea el intervalo entre dos puntos, ms exacta ser la aproximacin.
Interpolacin cuadrtica.Una estrategia que mejora la aproximacin es la introducir
cierta curvatura en la lnea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior
se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado tambin polinomio
cuadrtico o parbola). Una manera conveniente para este caso es:
))((,,)(,)()(2 102100100 xxxxxxxfxxxxfxfxf
Herramienta de
apoyo
Apuntes, Computadora, proyector, software (Excel)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios con el mtodo indicado.
Problema 1 Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5, ln 11.0 por interpolacin cuadrtica de Lagrange
y determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192 (4D)
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
21/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 21
El calor especfico )/( kgmolcalCp del 43OMn vara con la temperatura de acuerdo a
la siguiente tabla:
Punto 1 2 3 4 5 6
T (K) 280 650 1000 1200 1500 1
Cp 32.7 45.4 52.15 53.7 52.9 5
Aproxime esta informacin usando la interpolacin cuadrtica de diferencias divididas de
Newton, con una estimacin de la Temperatura de 700K
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico:
Mc Graw Hill
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
22/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 22
Prctica 7: Interpolacin de Lagrange
Objetivo Encontrar el polinomio de interpolacin de Lagrange.
Unidad 3 Interpolacin
Subtemas 3.2 Frmula de interpolacin de Lagrange
Introduccin Polinomio de interpolacin de Lagrange.
El polinomio de interpolacin de Lagrange, simplemente es una reformulacin del mtodo
de interpolacin de diferencias divididas de Newton que evita los clculos de las
diferencias divididas. Este se puede representar como:
Polinomio lineal
101
10
10
11 )( xf
xx
xxxf
xx
xxxf
Polinomio de segundo orden es :
21202
10
1
2101
20
0
2010
212 xf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxf
Herramienta de
apoyo
Apuntes, Computadora, proyector, software (Excel)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios con el mtodo indicado.
Problema 1 Calcular ln 9.2 a partir de ln 9.0, ln 9.5, ln 11.0 por interpolacin cuadrtica de Lagrange
y determinar el error a partir de ln 9.2 = 2.2192
Respuesta
Problema 2 Use la interpolacin de Lagrange, para las densidades de las soluciones acuosas del cido
sulfrico varan con la temperatura y la concentracin de acuerdo con la tabla :
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
23/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 23
C (%)
T ( C)
10 30 60 100
5
20
40
70
1.0344
1.1453
1.3103
1.6923
1.0281
1.1335
1.2953
1.6014
1.0140
1.1153
1.2732
1.5753
0.9888
1.0885
1.2446
1.5417
a) Calcule la densidad a una concentracin de 40% y una temperatura de 15 C.
b) Calcule la densidad a 30 C y concentracin de 50%
c) Calcule la densidad a 50 C y 60% de concentracin
Respuesta (a)
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
24/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 24
Respuesta (b)
Respuesta (c)
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico:
Mc Graw Hill
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
25/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 25
Prctica 8: Aplicaciones de interpolacin
Objetivo Calcular la interpolacin de Newton para casos reales
Unidad 3 Interpolacin
Subtemas 3.4 Aplicaciones de la interpolacin
Introduccin Se denomina interpolacina la obtencin de nuevos puntos partiendo del conocimiento
de un conjunto discreto de puntos la interpolacin es laaproximacin de una funcin
complicada por una ms simple. Si tenemos una funcin cuyo clculo resulta costoso,
podemos partir de un cierto nmero de sus valores e interpolar dichos datos
construyendo una funcin ms simple. En general, por supuesto, no obtendremos los
mismos valores evaluando la funcin obtenida que si evaluamos la funcin original, si bien
dependiendo de las caractersticas del problema y del mtodo de interpolacin usado la
ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, computadora, proyector, software (Excel)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Determine la interpolacin polinomial de Newton.
Problema 1
Respuesta
https://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
26/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 26
Problema 2
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros(Tercera ed.). Mxico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
27/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 27
Prctica 9: Integracin numrica
Objetivo Calcular la integracin numrica usando el mtodo del trapecio para los problemas reales
Unidad 4 Integracin numrica
Subtemas 4.2 Regla trapecial
Introduccin Mtodo del Trapecio.
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las frmulas de integracin
cerrada de Newton-Cotes.
b
a
b
adxxfdxxf )()(/ 1
El resultado de la integracin es :
2
)()( bfafabI
La cual se denomina regla trapezoidal simple
La regla del trapecio utilizando segmentos mltiples
Una mejor manera de mejorar la actitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo
de integracin de a a b en un conjunto de segmentos y aplicar el mtodo a cada uno de
los segmentos.
Figura: ilustracin de la regla trapezoidal mltiple a) dos segmentos, b) tres segmentos;
c) cuatro segmentos; d) cinco segmentos
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
28/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 28
o mediante agrupacin de trminos :
1
10 22
n
ini xfxfxf
h
I
en formato general es:
n
xfxfxf
abIn
n
i
i
2
)()(2)(
)(
1
1
0
Herramienta de
apoyo
Apuntes, Computadora, proyector, software (Excel)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver los siguientes ejercicios usando el mtodo del trapecio. Utilice Excel para
resolverlos.
Problema 1 Calculo de una longitud de arco.
Un crculo de radio 1 rueda alrededor de otro mayor, de radio 4. La epicicloide descrita
por un punto de la circunferencia del crculo ms pequeo viene dada por:
2 2
5 ( ) (5 )
5 ( ) (5 )
:b
a
x Cos t Cos t
y Sen t Sen t
dy dxusando s dt
dt dt
Hallar la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor de crculo
mayor. Use el mtodo de trapecio de segmento mltiple con n = 10
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
29/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 29
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico:
Mc Graw Hill.
Larson , R., & Hostetler, R. (2000). Calculo(Sexta ed., Vol. 2). Madrid: Mc Graw Hill.
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros(Tercera ed.). Mxico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
30/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 30
Prctica 10: Aplicacin de la integracin numrica
Objetivo Calcular la integracin numrica para problemas de aplicacin usando los mtodos vistos
Unidad 4 Integracin numrica
Subtemas 4.3 aplicacin de la integracin numrica
Introduccin Cualquiera de las tcnicas de integracin vistas en esta unidad es modificable, de modo
que se puede aplicar en la aproximacin de integrales simples, dobles o triples. Para
cualquier problema de aplicacin o casos prcticos.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, computadora, proyector, software (Excel)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resuelva el siguiente ejercicio usando el mtodo de trapecio mltiple, use Excel
para solucionarlo.
Problema 1 En ingeniera qumica y en bioingeniera se emplean clculos de la cantidad de calor en
forma rutinaria, as como en muchos otros campos de la ingeniera.
La determinacin de la cantidad requerido para elevar la temperatura de un material es
un problema con que a menudo nos enfrentamos. La caracterstica necesaria para llevar a
cabo este clculo es la capacidad calorfica c. Este parmetro representa la cantidad
requerido para elevar una unidad de temperatura en una unidad de masa. Si c es una
constante en el intervalo de temperaturas que se examinan, el calor requerido H (en
caloras) se calcula mediante
H mc T
Donde c esta en cal/gC, masa (g) y T es pequeo. La capacidad calorfica de un material
podra aumentar podra aumentar con la temperatura de acuerdos con una relacin tal y
como:
4 7 2( ) 0.132 1.56 10 2.64 10c T x T x T
En este caso se pide por ejemplo el calcular el calor necesario para elevar la temperatura
de 1000 gramos de este material desde -100 hasta 200 C
2
1
2 1
( )( )
T
Tc T dT
c TT T
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
31/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 31
Que se sustituye en la ecuacin:
2
21
12 1
( )( )
T
TT
T
c T dTH mc T m T m c T dT
T T
Utilice el mtodo con n = 10 intervalos.
Respuesta
Encuentre el centro de masa de una lmina cuya forma se encuentra en la figura adjunta,
suponiendo que la densidad en un punto p(x,y) de la lmina est dada por:
( , ) ( )p x y xsen y
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
32/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 32
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros(Tercera ed.). Mxico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
33/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 33
Prctica 11: Mtodo de Gauss Jordn
Objetivo Calcular la solucin de los sistemas de ecuaciones lineales usando el mtodo de Gauss
Jordn
Unidad 5 Solucin de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas 5.2 Mtodo de Gauss Jordn
Introduccin El Mtodo de Gauss Jordn o tambin llamado eliminacin de Gauss Jordn, es un
mtodo por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n nmeros
de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la
primera aplicacin mencionada.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, hojas blancas, calculadora, Mathcad
Desarrollo de la practica
Instruccin I Use el mtodo de Gauss Jordn para encontrar la solucin de los siguientes
problemas.
Problema 1 Determine las concentraciones molares de una mezcla de cinco componentes en solucina partir de los siguientes datos espectrofotomtricos
Asmase que la longitud de la trayectoria ptica es unitaria y que el solvente no absorbe
a estas longitudes de onda.
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
34/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 34
Problema 2 En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente
de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considrese que el benceno
transferido no altera sustancialmente el nmero de moles de V y L, fluyendo a
contracorriente, que la relacin de equilibrio est dada por la ley de henry (y = mx) y que
la columna opera a rgimen permanente. Calcule la composicin del benceno en cada
plato, usando el mtodo de Gauss Jordn
Datos:
V = 100 moles / min; L = 500 moles / min. 09.00 y Fraccin molar de benceno en V.
0.00 x Fraccin molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno).
m= 0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con
E = 0.0001
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
35/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 35
Problema 3 Un ingeniero industrial supervisa la produccin de cuatro tipos de computadoras. Se
requiere cuatro clases de recursos horas-hombre, metales, plsticos y componentes
electrnicos en la produccin. En el cuadro siguiente se resumen las cantidades
necesarias para cada uno de estos recursos en la produccin de cada tipo de computadora.
Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg. de metal, 970 Kg. de plstico y
601 componentes electrnicos, Cuntas computadoras de cada tipo se puede construir
por da?. Use el mtodo de Gauss Jordn
computadoras Horas
hombre, kg /
computadora
Metales kg /
computadora
Plsticos kg /
computadora
Componentes,
unidades /
computadora
12
34
3
4
720
20
25
4050
10
15
2022
10
8
1015
Totales 504 1970 970 601
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros(Tercera ed.). Mxico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
36/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 36
Prctica 12: Mtodo de Gauss Seidel
Objetivo Resolver problemas donde se encuentren sistemas de ecuaciones lineales.
Unidad 5 Solucin de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas 5.3 Mtodo de Gauss Seidel
Introduccin Mtodo de Gauss Seidel
Los mtodos iterativos o aproximados proveen una alternativa en los mtodos de
eliminacin. El mtodo de Gauss-Seidel es el mtodo iterativo ms comnmente usado.
Suponga que se da un conjunto de n ecuaciones:
A x B
sk
i
k
i
k
iia
x
xx
100*1
,
Para toda la i, donde j y j-1 son las iteraciones actuales y previas.
Como cada nuevo valor de x se calcula con el mtodo de Gauss-Seidel, este se usa
inmediatamente en la siguiente ecuacin para determinar otro valor de x. De esta manera,
si la solucin es convergente, se empleara la mejor estimacin posible.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, hojas blancas, calculadora, Excel
Desarrollo de la practica
Instruccin I Use el mtodo de Gauss Seidel para encontrar las soluciones al sistema de
ecuaciones lineales, apyese de Excel para resolver.
Problema 1 En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente
de gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considrese que el benceno
transferido no altera sustancialmente el nmero de moles de V y L, fluyendo a
contracorriente, que la relacin de equilibrio est dada por la ley de henry (y = mx) y que
la columna opera a rgimen permanente. Calcule la composicin del benceno en cada
plato.
Datos:
V = 100 moles / min; L = 500 moles / min. 09.00 y Fraccin molar de benceno en V.
0.00 x Fraccin molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno). m
= 0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con E = 0.0001
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
37/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 37
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
38/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 38
Prctica 13: Mtodos de Jacobi
Objetivo Resolver problemas donde se encuentren sistemas de ecuaciones lineales.
Unidad 5 Solucin de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas Mtodo de Jacobi
Introduccin Mtodo de Jacobi
El mtodo de Jacobi es un proceso simple de iteraciones de punto fijo en la solucin de
races de una ecuacin. La iteracin de punto fijo tiene dos problemas fundamentales:
Algunas veces no converge
Cuando lo hace, es a menudo, muy lento.
El mtodo Jacobi tambin puede tener esas fallas.
Esquema grafico que muestra el mtodo de iteracin de Jacobi, en la solucin de
ecuaciones algebraicas lineales simultaneas.
sk
i
k
i
k
iia
x
xx
100*1
,
Herramienta de
apoyo
Apuntes, hojas blancas, calculadora, Excel
Desarrollo de la practica
Instruccin I Use el mtodo de Jacobi para encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones lineales,
apyese de Excel para resolver.
Actividad 1 En una columna de cinco platos, se requiere absorber benceno contenido en una corriente de
gas V, con un aceite L que circula a contracorriente del gas. Considrese que el benceno
transferido no altera sustancialmente el nmero de moles de V y L, fluyendo a contracorriente,
que la relacin de equilibrio est dada por la ley de henry (y = mx) y que la columna opera a
rgimen permanente. Calcule la composicin del benceno en cada plato.
Datos:
V = 100 moles / min; L = 500 moles / min. 09.00 y Fraccin molar de benceno en V.
0.00 x Fraccin molar del benceno en L (el aceite entra por el domo sin benceno). m=
0.12. Realice un balance de materia para el benceno en cada plato son con E = 0.0001
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
39/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 39
Respuesta
Conclusin
Bibliografa Chapra , S., & Canale, R. (2007). Mtodos Nmericos para ingenieros(Quinta ed.). Mexico: Mc
Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
40/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 40
Prctica 14: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales
Objetivo Calcular la solucin a los sistemas de ecuaciones lineales a problemas reales.
Unidad 5 Solucin de sistemas de ecuaciones lineales
Subtemas 5.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales
Introduccin Para resolver los sistemas de ecuaciones lineales se pueden lograr usando el mtodo de
Gauss Jordn, o usar el mtodo de Gauss Seidel.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, computadora, proyector, software Mathcad
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resuelva el siguiente ejercicio usando el mtodo de Gauss Jordn puede utilizar el
software de mathcad.
Problema Un empresario tiene tres mquinas que son empleadas en la fabricacin de cuatro
productos diferentes. Para utilizar plenamente las maquinas estas estarn en operacin 8
horas diarias. El nmero de horas que cada mquina es usada en la produccin de cada
uno de los cuatros productos est dado por:
Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4
Maquina 1 1 2 1 2
Maquina 2 2 0 1 1
Maquina 3 1 2 3 0
Por ejemplo, en la produccin de una unidad del producto la mquina 1 se usa 1 hora, la
maquina 2 se usa 2 horas y la maquina 3 se usa 1 hora. Encuentre el nmero de unidades
que se deben producir de cada uno de los 4 productos un da de 8 horas completas.
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
41/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 41
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Metodos Numericos para ingenieros(Tercera ed.). Mxico:
Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
42/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 42
Prctica 15: Mtodo de Newton Raphson para sistemas de ecuaciones no
linealesObjetivo Resolver ejercicios donde use sistemas de ecuaciones no lineales.
Unidad 6 Solucin de sistemas de ecuaciones no lineales
Subtemas 6.3 Mtodo de Newton Raphson
Introduccin Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias incgnitas, se destacarn
algunas de las dificultades que se presentan al aplicar mtodos.
Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las
ecuaciones de los sistemas para n > 2
No es fcil encontrar buenos valores iniciales.
Interpretacin geomtrica del mtodo de Newton Raphson.
Desarrollemos en etapas esta interpretacin para un sistema de dos ecuaciones. Sea el
sistema
1),(
1),(
22
2
22
1
yxyxf
yxyxf
La grafica de 1),( 221 yxyxf se muestra en la figura
Herramienta de
apoyo
Apuntes, computadora, proyector, software (matemticas de Microsoft)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Encontrar una solucin del sistema de ecuacin no lineal , use matemticas de
Microsoft para graficar
Problema 1 2 2
2
( , ) 4
( , )
f x y x y
f x y y x
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
43/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 43
Respuesta
Problema 2 2( , ) 10( )
( , ) 1
f x y y x
f x y x
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
44/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 44
Problema 3 ( , ) sin( )
( , ) cos( )
f x y y
f x y x
Respuesta
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Mtodos Numricos para ingenieros (Tercera ed.).
Mxico: Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
45/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 45
Prctica 16: Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales
Objetivo Resolver ejercicios donde use sistemas de ecuaciones no lineales.
Unidad 6 Solucin de sistemas de ecuaciones no lineales
Subtemas 6.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones no lineales.
Introduccin Para resolver sistemas de ecuaciones no lineales con varias incgnitas, se destaran
algunas dificultades que se presentan al aplicar estos mtodos.
Es imposible graficar las superficies multidimensionales definidas por las
ecuaciones de los sistemas para n > 2.
No es fcil encontrar buenosvalores iniciales.
Herramienta de
apoyo
Apuntes, computadora, proyector, software (Excel)
Desarrollo de la practica
Instruccin I Resolver el siguiente ejercicio usando el mtodo de Newton Raphson.
Problema 1
Respuesta
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
46/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 46
Conclusin
Referencia
bibliogrfica
Nieves, A., & Federico, C. (2010). Mtodos Numricos para ingenieros (Tercera ed.).
Mxico: Mc Graw Hill.
7/25/2019 Metodos Numericos ICC-1027
47/47
INGENIERA
CIVIL
MANUAL DE PRACTICAS DE:MTODOS NUMRICOS
ICC - 1027
Cdigo:Revisin: 0Pgina 47
Recommended