MATH 786: Mathematical Biology
Population Genetics
������������
������������
����������������
����������������
������������
������������
������������
������������
����������������
����������������
Stephane Guindon
Department of Statistics, UoA.Room 211.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Outline
Introduction
Molecular essentials
The Hardy-Weinberg law
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Why bother ?
• Population genetics is the bridge between Darwin’s naturalselection and Mendel’s laws of heredity.
• Population genetics explains the genetic basis of evolution
(origin of the “Modern Evolutionary Synthesis”).
• Population geneticists study the genetic constitution ofpopulations and how this constitution changes fromgeneration to generation.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Why bother ?
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
A theoretical approach to biology
• The genetic constitution of a population can be estimated,
• but it is more difficult to assess the variations of itsconstitution during the course of evolution (time-scaleproblem).
• Progress is made in population genetics by constructingmathematical models of evolution.
• An example : genetic drift.
��������������������������������
��������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
���������������������������������������������
���������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
���������������������������������������������
���������������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
��������������������������������
��������������������������������
��������������������������������
��������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
��������������������������������
��������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
����������������������������������������
��������������������
��������������������
�������������������������
�������������������������
�������������������������
�������������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
����������������
����������������
����������������
����������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������
��������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������
Time
DECREASE
INCREASE
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Darwin’s theory of evolution
• Variations are observed among individuals in a givenpopulation or, at a higher level, across populations belongingto the same species.
• Some individuals are fitter thanothers (“Survival of thefittest”).
• Natural selection gets rid ofthe less fit individuals.
• According to Darwin, evolution is a continuous
phenomenon.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Mendel’s theory of heredity
• Mendel’s work seems to conflict with Darwin’s continuousevolution...
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Founders
R.A. Fisher S. Wright J.B.S. Haldane
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Outline
Introduction
Molecular essentials
The Hardy-Weinberg law
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Genetic and molecular essentials
• Gene: the physical entity transmitted from parent to offspringduring reproduction.
• Genes exist in different forms or states which are called alleles.
• Genotype: the allelic makeup of an individual (with referenceto a specific character)
• Phenotype: physical expression of the genotype (e.g., eye’scolour, sickle cell anemia)
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
DNA double-strand
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Transcription (DNA → mRNA)
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Transcription (DNA → mRNA)
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
The genetic code
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
The central dogma in molecular biology
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Genomes and chromosomes
• Genomes: the whole hereditary information encoded in DNA.
• Chromosomes: discrete physical sections of the genome.
23 chromosome pairs (humans are diploids)20,000-25,000 genes – 3 billion base pairs
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Alleles in dipoid organisms
• The position of a gene along a chromosome is called thelocus of the gene.
• If the two alleles at a locus are indistinguishable in theireffects on the organism, then the individual is said to behomozygote.
• If the two alleles at a locus are distinguishable because of theirdiffering effects on the organism, then the individual is said tobe heterozygote at the locus.
• Let’s consider a gene with two alleles A and a:• Genotypes AA and aa are found among homozygotes.• Genotypes Aa (or Aa) are found among heterozygotes.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
From individuals to populations
• Population genetics focuses on allele and genotypes
frequencies in evolving populations.
• e.g., frequency of alleles a and A, or genotype aA in apopulation monitored over a certain period of time.
• Note: with n alleles, if the n(1+n)2 − 1 genotype frequencies are
known, the n allele frequencies can easily be worked out. Howabout the opposite...
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Outline
Introduction
Molecular essentials
The Hardy-Weinberg law
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
The Hardy-Weinberg law
• Relationship between the allele and genotype frequencies.
• Applies to diploid organisms with sexual reproduction.
• Life cycle:
Aa
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������
��������������������������������������������������
�������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������
��������������������������������
��������������������������������
����������������������������
����������������������������
Aa
AA
Aa
A a A a
aa
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
The Hardy-Weinberg law
Mating Freq. of mating Genotype freq. (AA, Aa, aa)
AA x AA P2AA
1, 0, 0AA x Aa PAAPAa 1/2, 1/2, 0AA x aa PAAPaa 0, 1, 0Aa x AA PAAPAa 1/2, 1/2, 0Aa x Aa P2
Aa1/4, 1/2, 1/4
Aa x aa PAaPaa 0, 1/2, 1/2aa x AA PAAPaa 0, 1, 0aa x Aa PaaPAa 0, 1/2, 1/2aa x aa P2
aa 0, 0, 1
• P ′
AA= P2
AA+ PAAPAa + 1
4P2Aa
= (PAA + 12PAa)
2 = p2.
• P ′
aa = P2aa +PAaPaa + 1
4P2Aa
= (Paa + 12PAa)
2 = (1−p)2 = q2.
• P ′
Aa= 1 − p2
− q2 = 2pq.
• p′ = P ′
AA+ 1
2P ′
Aa= p2 + pq = p, and q′ = q.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
The Hardy-Weinberg law
• p and q are assumed to be the same among males andfemales.
p q
p P ′
AA= p2 P
′
Aa
2 = pq
qP′
Aa
2 = pq P ′
aa = q2
• p′ = P ′
AA+ 1
2P ′
Aa= p and q′ = q.
• PAA = p2, PAa = 2pq, Paa = q2.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
The Hardy-Weinberg law
• Assumptions:
1 Randomly mating population.2 No mutation.3 No migration.4 No natural selection.5 Infinite population size.6 Discrete generations.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Overlapping generations
• Assuming non-overlapping generations is reasonable only fororganisms which breed synchronously and only once in theirlifetime.
• During an amount δt of time, a fraction δt of the populationdies and is replaced.
PAA(t + δt) = PAA(t)(1 − δt) + pA(t)2δt (1)
PAa(t + δt) = PAa(t)(1 − δt) + 2pA(t)pa(t)δt (2)
• Show that pA is constant...
• Solving (1) gives: PAA(t) = PAA(0)(e−t) + p2A(1 − e−t).
• A fraction e−t of the population consists of survivors of theoriginal population.
• Individuals born later are in Hardy-Weinberg proportions.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Overlapping generations
PAA(0) = 0.3, pA = 0.6 (p2A
= 0.36).
0 1 2 3 4 5 6
0.3
00
.31
0.3
20
.33
0.3
40
.35
0.3
6
t
PA
A(t
)
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Different gene frequencies in the two sexes
• Let pf = p + δ and pm = p − δ
• We have:
P ′
AA= (p + δ)(p − δ) = p2
− δ2
P ′
Aa = (p + δ)(1 − p + δ) + (p − δ)(1 − p − δ) = 2pq + 2δ2
P ′
aa= (1 − p − δ)(1 − p + δ) = q2
− δ2
• We also have p′
m = p′
f= 1
2 (pf + pm).
• We reach Hardy-Weinberg at the ??? generation...
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Sex linked locus
• Locus linked to the X chromosome (female are XX, males areYX)
• pf , pm: frequencies of A among females and malesrespectively.
• For female offspring :
P ′
AA = pf pm
P ′
Aa= pf (1 − pm) + pm(1 − pf )
P ′
aa = (1 − pf )(1 − pm)
• For male offspring :
P ′
AY = pf
P ′
aY = (1 − pf )
• Hence, p′
f= 1
2(pf + pm) and p′
m = pf .
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Sex linked locus
5 10 15 20
0.1
00
.12
0.1
40
.16
0.1
80
.20
Generation
Alle
le f
req
ue
ncy
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law
Sex linked locus
• Analytical solution ?
• Let pf = p and pm = q.
• pn = 12(pn−1 + pn−2)
• Solution is of the form pn = rn. Find r .
• rn = 12(rn−1 + rn−2) → r2
−12 r − 1
2 = 0.
• Solutions: r1 = −12 and r2 = 1.
• Hence, pn = −12
nC + 1nD .
• p0 = C + D. Hence, D = 23(p0 + 1
2q0) and C = p0 − D.
Introduction Molecular essentials The Hardy-Weinberg law