MAURICE KARNAUGH
3
Ingeniero de telecomunicaciones estadounidense. Graduado en la universidad de Yale en el 1952, es actualmente gobernador emérito del ICCC (International Council for Computer Communication). Ha trabajado como investigador en los Laboratorios Bell desde 1952 a 1966 y en el centro de investigación de IBM de 1966 a 1993. Así mismo, ha impartido de informática en el Politécnico de Nueva York de 1980 a 1999, y desde 1975 es miembro del IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) por sus aportaciones sobre la utilización de métodos numéricos en las telecomunicaciones.Es el creador del método tabular o mapa de Karnaugh.
Tabla o mapa de Karnaugh, Kmap
Procedimiento gráfico para la simplificación de
funciones algebraicas de un número de
variables relativamente pequeño
(en la práctica se puede utilizar para funciones de hasta seis variables).
4
Tabla o mapa de Karnaugh
5
Un diagrama o
mapa de
Karnaugh es una
tabla de verdad
dispuesta de
manera adecuada
para determinar
por inspección la
expresión mínima
de suma de
productos de una
función lógica.
Construcción con 3 variables
7
A B C Z
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Mapa K
1
0
10 11 01 00 BC A
1 1 0 0
1 1 1 0
Construcción con 4 variables 8
A B C D F
0 0 0 0 1
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 0
1 0 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
Mapa K
00 01 11 10
00
01
11
10
1 1 0 1
1 1 0 0
0 1 1 1
0 0 1 0
CD AB
Reglas de simplificación 1. Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto implica que ningún grupo puede contener ningún cero.
9
1
0
1 0 B A
0
1
INCORRECTO
1
0
1 0 B A
1 1
CORRECTO
Reglas de simplificación 2. Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical. Esto implica que las diagonales están prohibidas.
10
INCORRECTO
1
0
1 0 B A
0 1
1 0
CORRECTO
1
0
1 0 B A
0 1
1 1
Reglas de simplificación 3. Los grupos han de contener 2n elementos. Es decir que cada grupo tendrá 1,2,4,8... número de unos.
11
CORRECTO
1
0
1 0 B A
1 1
0 0
CORRECTO
1
0
1 0 B A
1 1
1 1
Grupo
de 02 Grupo
de 04
Reglas de simplificación
4. Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible. Tal y como lo ilustramos en el ejemplo.
12
1
0
10 11 01 00 BC A
1 1 1 1
0 0 1 1
CORRECTO
1
0
10 11 01 00 BC A
1 1 1 1
0 0 1 1
INCORRECTO
No se a cumplido ninguna
regla pero el resultado no
esta optimizado
Reglas de simplificación
5. Todos los unos tienen que pertenecer como mínimo a un grupo. Aunque pueden pertenecer a más de uno.
13
1
0
10 11 01 00 BC A
0 0 1 1
0 1 0 0
CORRECTO
El 1 se encuentra en al
menos un grupo
Grupo 1
Grupo 2
Reglas de simplificación
6. Pueden existir solapamiento de grupos.
14
1
0
10 11 01 00 BC A
1 1 1 1
0 0 1 1
CORRECTO
1
0
10 11 01 00 BC A
1 1 1 1
0 0 1 1
INCORRECTO
Los grupos se solopan
Los grupos no se
solopan
Reglas de simplificación 7. La formación de grupos también se puede producir con las celdas extremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podría agrupar con la superior y la izquierda con la derecha tal y como se explica en el ejemplo.
15
1
0
10 11 01 00 BC A
1 0 1 0
1 0 1 0
CORRECTO
Celda Superior
Celda derecha Celda izquierda
Celda inferior
Reglas de simplificación
8. Tiene que resultar el menor número de grupos posibles siempre y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores. Esto es el número de grupos ha de ser minimal.
•
16
1
0
10 11 01 00 BC A
1 1 1 1
1 1 1 1
CORRECTO
1
0
10 11 01 00 BC A
1 1 1 1
1 1 1 1
INCORRECTO
No se a cumplido ninguna
regla pero el resultado no
esta optimizado
A
11
10
01
00
10 11 01 00 BA DC
10
11
01
00
10 11 01 00 BA DC
10
11
01
00
10 11 01 00 BA DC
10
11
01
00
10 11 01 00 BA DC
A A
B B
A
A
A
A
A
¿Cómo podemos
agrupar dos unos? 1
1
1
0
1 0 A B
1 1
1 1
1
0
10 11 01 00 BA
C
1
1
1 1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
2 variables
3 variables 4 variables
¿Cómo podemos
agrupar cuatro unos?
1 1
1 1
1
0
1 0 A B
1 1 1 1
1
0
10 11 01 00 BA
C
1 1
1 1
1
0
10 11 01 00 BA
C
1 1
1 1
1
0
10 11 01 00 BA
C
1 1
1 1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
1 1
1 1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
1
1
1
1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
1 1
1 1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
2
v
a
r
i
a
b
l
e
s
3 variables
4 variables
¿Cómo podemos
agrupar ocho unos? 1 1 1 1
1
0
10 11 01 00 BA
C
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
1 1
1 1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
3 variables
4 variables
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
1
1
1
Dado el mapa K de una determinada función los pasos a seguir son:
1. Enlazar la mayor cantidad de unos de la tabla con la menor cantidad posible de lazos.
2. Indicar en punteado los lazos que tienen todos sus unos compartidos con otros lazos, o sea los implicantes
primos no esenciales.
3. Probar que los implicantes primos cubren todos los “unos” del diagrama con la menor cantidad posible de
lazos
4. Realizar un diagrama para cada solución mínima .
5. Hallar las coordenadas de cada mintérmino y formar el producto correspondiente, desechando las variables
que no intervendrán en el mismo. Tener presente que en general un lazo de dos permitirá eliminar “n”
variables.
¿Cómo simplificar los mintérminos?
1º Se simplifican los mintérminos que son adyacentes y se toman o agrupan de 2, 4, 8,
16...2n . Dos mintérminos son adyacentes cuando difieren en una letra.La suma de dos
mintérminos adyacentes es igual al producto de las variables que tienen en común.
1
1
1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA DC
ABCD
+
=1
DCBA
DCBA
CBA(D+D)=CBA
De sumar 2 mintérminos queda CBA
2º Los mintérminos que no son adyacentes no se pueden simplificar (A, B, C, D) 3º Si tomo dos mintérminos se elimina una variable, si tomo cuatro se eliminan dos variables
1 1
1 1
1
0
10 11 01 00 BA
C ABC + + + ABC ABC ABC =
= (A+A)BC + BC(A+A) = B(C+C) = B
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
Una misma función puede tener dos o
más soluciones
Lazos redundantes Algunas veces aunque se tenga
en cuenta todos los lazos
mayores posibles, un
subconjunto de ellos puede
cubrir todos los “unos” de esa
función, en estos casos existe un
lazo redundante que viola el
principio de que los “unos”
queden enlazados con el menor
número de lazos posibles.
1 1
1 1
1 1
1 1
CBAABDCBADBADCZ
10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
Esta suma de productos no es mínima,
dado que si bien se han tenido en cuenta
los mayores lazos posibles, en este caso
con un subconjunto. El lazo dibujado en
línea punteada que corresponde al
producto CD es redundante, pues agrega
un sumando innecesario 10
11
01
00
10 11 01 00 BA
DC
1 1
1 1
1 1
1 1
CBAABDCBADBAZ
Cuando una variable de salida no se puede definir
con un cero o con un uno en la tabla de verdad se
coloca una “x” que significa redundancia o “no
preocuparse”
Esto sucede cuando no nos interesa la función de
salida o cuando se trata de estados prohibidos que
no forman parte de algún código.
La redundancia se puede usar como un comodín, se
puede tomar como uno o cero individualmente
Ejemplo: realizar un circuito que (a la salida) encienda una
lámpara cuando en su entrada viene el código del 3 y el
código es el BCD natural
X 1 1 1 1
X 0 1 1 1
X 1 0 1 1
X 0 0 1 1
X 1 1 0 1
X 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 0 0 0 1
0 1 1 1 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 0 1 0
1 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 0 0 0 0 0
N° Z A B C D
Estados prohibidos
del BCD Natural
BCD
Natural
(0-15)
3
2- Fijar los 1 de las expresiones
z= A’B’C + A’BC
z=A’B’C’D’ + A’B’C’D+A’B’CD+A’B’CD’
+AB’C’D’+AB’CD+AB’CD’
3- Simplificación(2)
• Para tres Variables.
Z= A’B’C’ + AB’C’ + ABC + ABC’
Z= (A’+A)B’C ‘+ AB(C+C’)
Z=B’C’ + AB
Cuando una variable aparece en forma complementada (X’) y no complementada (X) dentro de un agrupamiento, esa variable se
elimina de la expresión. Las variables que son iguales en todos agrupamientos deben aparecer
al final de la expresión.
Conclusión
Condición No Importa
C' C
A'B' 0 0
A'B 0 X
AB 1 1
AB' X 1
C' C
A'B' 0 0
A'B 0 0
AB 1 1
AB' 1 1
A B C Z
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 X
1 0 0 X
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Z=A
Resumen
1.- Dibujar la cuadrícula correspondiente al número de variables de la función
2.- Sombrear la zona correspondiente a la función (1) 3.- Recubrir dicha zona con bloques que sean lo mayores
posible 4.- Si se puede quitar algún bloque de forma que la zona
cubierta siga siendo la misma 5.- La expresión simplificada de f se corresponde a la suma
de los monomios correspondientes a los bloques que queden
Ejemplo 1
Diseñar un circuito lógico combinatorio que detecte, mediante UNOS, los números pares para una combinación de 3 variables de entrada.
DEC A B C Z
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
Función canónica
Ejemplo 2- Circuito Velocímetro
• Se tienen 3 Códigos del ABC • Las lámparas deben incrementarse de dos niveles en
dos. • L1 ON 001 • L1 & L2 001 y 010 etc
• Los codigo 110 y 111 no responde.
Solución: Tabla de Verdad
ABC L1 L2 L3 L4 L5
000 0 0 0 0 0
001 1 0 0 0 0
010 1 1 0 0 0
011 1 1 1 0 0
100 1 1 1 1 0
101 1 1 1 1 1
110 X X X X X
111 X X X X X
45