Linear Algebra Methods in Combinatorics
with applications to Geometry and Computer Science
Lezione II
dal libro di Babai & Frankl:
“Cut&Paste”
esercizio
Basta fare più
tagli
La domanda del giorno
?
angoliangoli
arccos 1/3 /2
NO!
in/dipendenza lineare
Funzioni lineariFatto:Sia V uno spazio lineare su Q e siano x,yV linearmente
indipendenti. Allora esiste una f: V Q tale che 1. f(a+b) = f(a) + f(b) (f è lineare)2. f(x)=1 e f(y)=0 (f “distingue” tra x e y)
Prova: esercizioFatto: arccos 1/3 e sono linearmente indipendenti in V=Q
1. D(P) = D(P1) + D(P2)2. D(“tetraedro”) > 0 D(“cubo”) = 0
Per ogni taglio di P in P1 e P2
Invariante di Dehn (1902):
Invariante di Dehn
D(P) :=
Ll
lfl )(||
L = {spigoli di P}
D(P) D(P1) + D(P2)
Divido lo spigolo l in l1 e l2
|l| f(l) |l1| f(l) + |l2| f(l)
|l| f(l) |l| f(l’) + |l| f(l
’’)
Divido l’angolo l in l’ e l
’’
Cosa succede quando taglio P
in P1 e P2?
Ho imbrogliato!!
Fatto: arccos 1/3 e sono linearmente indipendenti in V=Q
arccos 1/3 Q , Q
Soluzione corretta: per assurdo, supponi che
considera gli angoli 1, …, m dei vari “pezzetti”
definisci V := span(1, …, m) e osserva: arccos 1/3 V e V
Perché?
Ricetta del giorno
Posso “ridurre” un oggetto X ad un oggetto Y?
Passo 2
f tale che1. f(a+b)=f(a) +f(b)2. f(x)=0 e f(y)=1
X=X1 X2 … Xk=Y
Passo 3
F tale che 1. F(Xi) = F(Xi+1)2. F(X) F(Y)
X Y
x y
Passo 1
linear.indip. connessi
X Y
Curiositàarea trialgolo = (base altezza)/2
volume piramide = (area base altezza)/3
…simile a
dim: “infiniti pezzetti”…
Gauss: C’è una dimostrazione “cut&paste”?
dim: “cut&paste”
Hilbert (terzo problema): Dimostriamo che non c’è perché esistono due piramidi con stessa base e stessa altezza che non sono riducibili (“cut&paste”) tra loro.
Dehn: da cui posso ottenere le duepiramidi di Hilbert
Curiositàarea trialgolo = (base altezza)/2
volume piramide = (area base altezza)/3
dim: “infiniti pezzetti”…
…simile a
Gauss: C’è una dimostrazione “cut&paste”?
Hilbert (terzo problema): Dimostriamo che non c’è perché esistono due piramidi con stessa base e stessa altezza che non sono riducibili (“cut&paste”) tra loro.
Esercizio 1
Suggerimenti:
triangoloqualsiasi
rettangolo“oblungo”
(2base < altezza)
rettangolo“non-oblungo”
(2base altezza)
Ad esempio
Dimostra l’uguaglianza (puoi fare un numero finito qualsiasi di tagli)
Esercizio 2
Sugg.: Considera il caso particolare in cui V = span(a1,..,ak) con
a1 = x e a2 = y.
Fatto:Sia V uno spazio lineare su Q e siano x,yV linearmente
indipendenti. Allora esiste una f: V Q tale che 1. f(a+b) = f(a) + f(b) (f è lineare)2. f(x)=1 e f(y)=0 (f “distingue” tra x e y)