9 6 X f t t»$ r« l»s d o k l f f i y t r i p l e s , <S» l i s t a y á t l a p f i r f i c f e l « r » « r é e A c w M t o .
j f íf(x,y, z) dzdydx = f f J f(x, rCos®, zSenB) zdxdzcB " A
Nata: Estas coordenadas se llaman cilindricas porque de alguna mane el sólido (A) está limitado por un cilindro. 2.6.6 DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS Y CARTES1M
(Figura 120) 1 H
dv=dzdydx (cartesianas) y dv=rd@drdz (ci1indricas). Ejemplo 1
Calcular f f j (x2+yz) dzdydx. es el sólido limitado por laf »(A)
superficies z=\¡X7' íy 2 Z=2 (FÍQ u r a 121) Solución
I n t t f r i U i tfollti y t r i p l e * , d» I l u t a y t a a a f e r f i c i * 97
F i g . 1 2 1
c. OL
x
orna la proyección en el plano xy de ^ ( A ) es C(x , y ) |x = + y 2<4}, se tiene ue 0<r<2, O<012n, y r<z<2; es decir z varia desde
z=y/x2+y2=Jr2Cos2e+r2Sen2e=y/rs = r ha5ta z==2' lue(3° Q{r,e,z) =(rCosQ,rSenef z) 0<r<2, 0<e<2ir, r<z<2, luego:
r r r , v^1 2 J I ] (x?+y2) dzdydx = J2 J J (x7+y2) dzdy dx
f2' f" f 2 r 2 . rdzdrdd Jo Jo jr r,
_ r f z f . Jo Jo Ir
[ ? K f 2 ( 2 - r ) r 3 d r d B (Ejercicio). Jo «Jo
r 3 d r d 6 (
Ejemplo 2
Calcular I J J xydzdy dx, <p (A) es el sólido limitado por las superficies V Í A )
*=y2+z2, x = 4. (Fiqura 122) -J 'O fin 1 ur i rtn Eomo la proyección de «p (A) en el plano yz es { ( x , y ) j y ~ + z 4 > entonces k(x,r,Q) - (x, zCasS, rSenB) = { x , y , z ) , 0<r<2, 0<e<2n, y x entre x=y=+z==r= y x=4, luego:
98 Int»or«J»« <«»!>• r Irlfl»«, 11«!»« r *«frtief larmtrém *< • x ir .
e * j i Jxydzdydx = j2 j f xydxdzdy
J 7 -y/rp y*+*2
= J'jj'x(rCose) rdxdrdd A
- f2K f2 f4x(rCose)rdxdrd& Jo Jo Jr2
_ f3n f 2 2£Íj4 (r2CosQ) drdd Ja Jo 2 112
J 2 s£ 2(8--^)r 2Cos0drde . (Ejercicio Jo Jo \ 2 f
Ejemplo 3
Calcular f f Jdzdydx, ^ el sólido limitado por las superfici V (A)
y=l, y=4 (Figura 123)
es
Fig.123
fe"
Solución Como la proyección de ^ (A) en el plano xz es {(x , z) |x^+z3<9} entonces x=rCos6, y=y y z=rSen6, 0<r<3, 0<#<2tc, l<y<4 entonces:
/ f fdzáydx = f" f ' j y d x t e
= f K f f rdydrdS Jo Jo j1
= f2% f3 3rdZdB- (Ejercicio) Jo Jo
Ejemplo 4
Calcular f f í'Jx2+y2 dxdy dz , (p es el sólido limitado por z=0, *U)
z = x2+y=, z = 4 (Figura 124) Solución
v C T xJ+ya j I jy/x2+yz dxdydz = £ f f fic^dzdydx
1-2
= f f f z.rdzdrdd Jo Jo Jo
= f3* f¿ r2 ,r2dzdB (Ejercicio) Jo Jo
Ejemplo 5
Calcular J f j (x2+y2+z) dzdydx, ^ es el sólido limitado por tfW
z = x2+y=, y z =4 (Figura 125) Solución
loo l a t e r a l » « a k l a a f t r l f l n , ta l i a » y «o a a p c r f i e l a • v r a a r t f a ftcovj«)«.
z-4
XZ+yí
v C T Í 4
j f j {x2+yz+z) dzdydx = J*2 j J (x3+y2+z) dzdydx
= f2% f2 f4 (r2 + z) rdzdzdd (Ejercicio) Jo Jo Jr2
Ejemplo 6
Calcular / j / (x 2+y 2) 20dxdydz% Q el sólido limitado por las »U)
superfices x 3 + y 2 + z:z=6 y z^x^+y2 (interior a éste último) (Figura 126)
Fig.117
z - ^ + y 2
x2 + y2+z2-6
Solución El punto de intersección de las superficies x 2+y 2+z 2=6 y z = x3+y:2 es z = 2 pues x^ + y^+z^z + z ^ ó - z=+z-6-0 - (z-2)(z + 3)=0 - z=2, luego la proyección en el plano xy es { ( x , y ) | x 2 + y 2 < 2} y así:
y/1 s/2-x2 y/ 6 -x* -y1
{x2+y2) 20 dxdydz =
^LJ f f / ( x 2 + y 2 ) 2 0 dzdydx -VS -y/TP x2+y*
v w 7
Ejemplo 7 Hal 1 ar el volumen del sólido limitado superiormente por la superfice z=y e inferiormente por z = x z + y=: (Figura 127)
C
F i g . 1 2 7
Z
Solución
v (s) = / / ¡ d z d y d x <P (A)
= i" f S e a e [ r S e T*zdzdrd6 (Ejercicio) Jo Jo J r 2
Pues: z = y - z = rSen0 y x^+y==z - r = =z y x=+y==y « r = Sen0, luego 0<6<n, OiriSen®, r^izlrSen©. Ejemplo B Hallar el volumen del sólido limitado por x E+y a=2az; x 2+y 2=2a 2; z=0 (Figura 128) Solución
Fig.128
z
V ( s ) = J jj jdzdydx * ( A ) , , x3^
BsP. a/2 a 5 — ü f -
f f f dzdydx -aV7 -V2az-jf2 0
Ka' 2
Ejemplo 9 Hallar el volumen del sólido limitado por las su[ 2x2 + 2y:2=z= (Figura 129) Sol ución
z 2-x 2-y 2=l y
Flg.129 z
El punto de
Z=±<j2 y a s i proyección del sólido en el plano xy es ((x, y) |x2 + y 2<1}, (Se calculará el volumen de la parte superior del sólido y se multiplicará por 2) luego:
V(s) = / / / » ( A )
dzdydx
s/T^X* y/l+x2+y2
2 f j dzdydx
h2x2+2y2
104
/T7F = 2j2Vj1 f rdzdrdO
(Ejercicio)
Ejemplo ÍO Hallar el volumen del sólido limitad.o por
z=0, x2+y2=R2 y z=e x2 y3-Solución
V(s) / / / t (A)
dzdydx
£ / / dzdydx - V ^ F 0
>2« f R r - f2n[*f°-'rdzdrdO,
Jo Jo Jo u ( _ <5 ) (Ejercicio).
Ejemplo 11 Hallar el volumen del sólido limitado por las 2=1. (Figura 130) Solución
Fig.130
Z .
z - 1
X2 + / • 4
las superficies
kr
x =+y ==4, z=0,
I l 105
V ( s ) = V (A)
J J Jdzdydx
f-1 / - v C T
'2% ri r2 _ j'ercicio) f * f f rdrdzdd (Ej. JO Jo Jo Ejemplo 12 Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x^+y^+z 2^ y
x2+y==3z (parte externa respeto a éste último) (Figura 131) Solución
F i g . 1 3 1
z
El punto de intersección de la esfera x:2 + y 2 + z 2 = 4 y x 2 + y 2=3z es z = l, pues x 2 + y 2+z 2=3z + z2:=4 z2+3z-4^0 ** (z+4)(z-l)=0 «* z = l , luego
V(s) = volumen de la esfera - V t
y/l-x*-y2 s/1 v/Fjc1 s/4.-X*-~P = £ f f dzdydx- / / f dzdydx
-x2 -V*-x3-y3 V5" V3-x1 »'«r3
« /02702 7 rdzdzdB-f2* f * Jrdzdrd* -y/TT7 0 0 J±
(Ej,
Ejemplo 13 Hallar el volumen del sólido limitado por x=+y:2 = 2*x, x^+y^-(Fiqura 132) Solucíón
•az y z=u|
Fig.132
<p(A)
V ( s ) = f f f dzdydx »(A)
V 2ax-xi i»
r / / d z d y d x -\j7.ax-x 7 0
7nCoB& i» f l f j rdzdrdQ (Ejercicio) i UZ CJÍX tro T o 0
2 . 6 . 7 CAMBIO DE VARI BLE A COORDENADAS ESFERICAS (Figura 1 3 2 - 1 )
I 10/
Flg132.1
Del triángulo rectángulo OCP se tiene que C O S i ' SeiltP = ~
z=rCosip y a =rSentp . • Del triángulo rectángulo QAQ se tiene:
Sen6=^, y Cos6=— - y=aSentp =SenQrSenq =zSenQSen<p y a a
x=CosQa=rCos6Sen<p y así <p (r, 6, <p) = ( r C o s Q S e n y , rSer&Senqt, rCosy)
IiO, 0£<p£7I, 0íí8i27t 5 e llama cambia de variable a coordenadas
esféricas y a
dx dx dx dz 66 Cos6f?e/j<p -rSenQSentp rCosQCosy JL dr
& de iü a» = SenQSerup rCosQSeny rSenQCosip = -r 2 Sernp dz dz dz Cos<p 0, -rSentp dr ae d»
su Jacobiano 2.6.8 ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CARTESIANAS Y
ESFERICAS (Figura 133)
108 i latlfralu #ofcltt r trlflts, lint* y 4m l«p«rftclB
Flg.133
(W = AEJWJkD = . rtr.rstivim»
dv=dxdydz (cartesianas) dv = AE.AB. AD=di. rcftp . rSempdd = r2Sen<pdr.d0.d(p (esféricas).
La siguiente fórmula da el cambio de variable a coordenadas esféricas:
I I f ff(x,y,z)dxdydz=ffff(rCos6S9nv,rSenOSen<ptrCos<p)r2S&nydrddd<(> *(A) A
Ejemplo 1 Hallar el volumen encerrado por la superficie x 2+y 2+z^-a^ (Figura 134)
Flfl.134
Solución
V(s) / / / »(A) dzdydx
yfS^x1 v/a x'-y»
L! / / ^^^ •2« /• « r* - o * / "
En coordenadas cilindricas el volumen biene dado por:
v (s) = f f / d z d y d x 9 (A)
= ¡i¡rdzdrd&
[3n f rdzdrdd Jo Jo J
-V^P
Ejemplo 2 Hablar el volumen del sólido encerrado por (Figura 135) Solución
z^\/x2+y2, Z=4
l i o
Jf=-i2Senq> •
<p ( r , 6 , <p) = (rCosQSemp, rSerfiSeny, rCosy) Como
z = 4 rC08*p= 4 - r = _ — y asi Oír^-rr^ L a proyección en el plañe Cosq> Cos<p
xy es { ( x ,y ) | x3-t-y = < 16} , luego 0í6s:27l y si x=0 z = y -» <P = -J> lue9c
, así: 4
V(s) = f f /dzdydx vU)
J J J r35erj<p d r d<p d6
/* 215 /* _ /* • f í i í c°~r
2Sen<p dr dq> d& Jo Jo Jo
y/16-X2 4 £ / / d z d y d *
-x/Te x7 >/*2 *y2
:n coor denadas cilindricas). Ejercicio. = f f f rdzdrdd <E, Jo Jo J T
Ejemplo 3
Calcular f f f d x d y d z , <p (A) = {(x,y,z ) | = z<0, y<0} <tU)
(Figura 136) Solución
Nraarla Actvt««. 111
0 0
/ / f d x d y d z = f ' f f dzdydx
= f J j r7SenydrdtydQ A
í 2 n Í c f * r 2 S e n < f > ^ ^1 ^
o = j | J rdzdrdQ (En coordenadas cilindricas). Ejercicio
-•y/TT*
Ejemplo 4
Calcular J j Jdzdydxn cp es el sétlid® limitado por las superfices
x2 +y= + 23 = 8 y z = ^ x 2 + y 2 (Interior a éste último) (Figura 137) Solución El punto de intersección de las superficies x2+y2+Z2= 8 y e 5
Z=±2» pues x 2 + y 2 + Z 2 = Z 2 + 2T2=8 -* Z=±2 » asi x2+y2-4* luego la proyección en el plano xy de (A) es { ( v , y ) | x 2 + y 214 > , y
/ / [dzdydx = f2 f C d z d y d x <p{A) J-2 J J -yl -X2 y/x2*y2
= f^f^f^ziSenvdrdydQ
= J* y rdzdrdd* ( E n coordenadas ci 1 indri cas) . (Ejercicio) o o r
Ejemplo 5 Hallar el volumen del sólido q> (A) que se observa en la (Figura 138)
)
11? I * t » f r * l « s « » » ! • • y t r i p l e » , *• ! ! • » • • y c¡© » « » t r f í c i »
Fig.138
Como x ^ + y 2 ^ entonces, aplicando coordenadas esfericas se tiene que (rCoBQSeny)2+ (rSenQSeny)2 = r2Cos2QSen2<p+r2Sen2ñSen2y=r2Sen2q>^
3 • 3 n _ _ ti -» r= a s i g u e v 0s6s2k l u e 9 o
V^-x3 \Jx2*y'>
í / j -dzdydx v ( f
3 -N/^T 0
* _JL_ ' 2fr
j* J r2¿>en<i) dr dq> d6 «. 0
;oc)f denadas r i l indr i cas ) . (Ejercicio) f2r'f fTrdzdrdd <e. Jo JO Jo Ejemplo 6
r rí i' 111 a r f f f(x2+y2) dzdydx, ^ (A) ( x ,y , z ) ¡ x<o. «pU>
So 1ucirtn
r v/9-x2 o ] J J (x2+y2) dzdydx = j j (x
7+y2) dzdydx * A> -v'i"^-V9-xJ -y2
• * r n « r t f e Acevfftf». 11 3 1 i
= f * f 3 f * T l (rCosqtSeny)2 + (zSenQSentp ) 2}r2Senq> dBdz d®
i— JT o
I I í 1 • r ¿ dz dr d® T ° V ^ P
Ejemplo 7 • T
Hallar el volumen del sólido limitado por (x 2+y 2+z 2) 2=2z(x : : :+y 2) . Solución
Como Z£0, O * © * — 2
(x 2+y 2+z 2) 2 = [ (r2Cos2QSen2tp+r2Sen2&Sen2(p+r2Cos2q>) ]2
= 2zCos<p (r2Cos2QSen2(j> +r2Sen2BSen2ty) *» r 4-2r 3 C o s í ? S e n ? < # **
z^2CosySen2y • luego o^r¿:2Cos<p5'en2(p • |Como 0 no aparece, toma el máximo valor es decir, Oí012ti, luego:
v ( 5 ) f f j d z d y d x <9 (A)
^ 2Cast^Sen39 - J2KJ t
f r2Senq> drdq> dd (Ejercicio). 0 0 o
Ejemplo 8
Hallar el volumen del sólido que se observa en la f i g u r a ( F i g u r a 1 3 9 ) Solución
x 2 + y 2 + z 2 = 2 z " Z2=2ZC0SÍP ** Z=2COSip (en esféricas), luego 0£Z£2COS<p - L a intersección de las superfices X2 +y2 +Z2=2 Z V
z=Jx2+y2 e 5 z = l' oues x2+y2 + z2=z2 + z2=2z ~ 2z2-2z=0 « 2z(z-l) =0 ~
Z=1- Luego la proyección en el plano xy del sólido es { ( •: ,y)|x 2+y 2íl) entonces
O<;052m:, y 0 *<p < , luego: 4
Vis) / / / »(A)
dzdydx
v'i-xa i V i -*3 -yJ
f j J dzdydx '-i t
114 i latlfralu #ofcltt r trlflts, lint* y 4m l « p « r f t c l B
- í K f < f CírfraSen<pdrdq>dd-Jo Jo Jo
(x2+y2+z2=2z ~ x 2+y 2+(z-1) 2=1 - z-l=±\/l-x2-y2)
Ejemplo 9 Hallar el volumen del sólido que se observa en la figura (Figura 140) Solución
x'+Z+z*- 2 12 z
x*+ y'+z*~ 4
Pasando las ecuaciones cartesianas a coordenadas esfericas se tiene Qje x 2 +y2 + z2-Zlm\
- r=2; x2 +y2 + z2=r2=2i/2rCosy ~ r=2j2Cosy E 1 P u n t o d e interseccióf
de las superfices es pues x 2+y 2+Z 2=4 ~2\[^.Z ** z~—~r = ~~r ~ " ^ 2 y 2 y 2 ¿
" 2y/J asi la proyección en el plano xy es x 3 + V23í2- C o m o COSIJ> 2y2 ¿
<p = — , así y OjJ0<2lt - Luego: 4 4
V(s) = jf f f dzdydx f(A)
= r/oif*r2Senvdrdtf>d&+f*TfjfJ'/*Ccspr2Sen<pdrd<í>dQ. (Ejercicio)
115
Ejemplo 1 0
(Figura 1 4 1 )
Solución
<p(r,e,<p)
Sea | = u , f - V , -» x=2u, y-3v, z=4w y así
A(u,v, w) = (2u,3v,4w) = (x,y, z) .
cbc dx dx du dv dw 2 0 0
II ÍL du ÉL dv ÉL dw = 0 3 0
5* dz dz 0 0 4 du dv dv
= 2*3*4=24 y 2 2 2 +-¿— =u 2+V 2 + W 2 entonces
16
I [(*i+J±+¿L}dzdydx = / / f(u2+v2+w*)24dudvdwy para caicuiar
f(A) u1*vi+w2i.l
esta integral se hace: u=rCosbSeny, v^rSen&Seny; w=rCos<p y asi
f3(r, 0, <p) = (rCosOSe««?, r5ej20S'en<p, rCosíp) ~(u,v,w) y Oírsl; O*0s2n; 0*<f>:£Tt y JB=-i7Seny, luego:
f / f [u2+v2+ w2) 24 dudvdw = 24 f1 f2% [* r2. zSen* d<f>dSdz J o J o J o
= 2 4 * 4 * — (Ejercicio).
1 1 6 i latlfralu #ofcltt r trlflts, lint* y 4m l«p«rftclB
A/ota
La integra 1 / / (^+¿-+-£)dzdycbc, c o n { A ) í ^ y > g ) , + + sj » ( A ) l 4 9 1 6 J
puede calcular directamente si se hace
=rCosQSemp; =rSej}6.S«r¡<p, —-=rCosr<p, es decir 2 3 4 <p (r, 6, <p> = (2rCo&QSen<?r *rSendSentp, -lxCowp) - Osrsl, 0.<6<2n, Oíqxn
y J"9=-24r2.Se/np y así:
fJJ-T+JT+-&)d*dydx = 24¡o1fo
2%foKr*.i*Senvd<pde<lr = 2 4 * 4 * | -
(Ejercicio). En coordenadas cilindricas quedaría:
vT^ f f ( - T + J T + Í l ) d z d y d x = 2 4 / ; * / ; / r(r3+w3) dwdrdd * -Vl-r7
= 2 4 * 4 * — 5
Ejemplo 11 Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies:
2 2 2 2 2 2 =2 V — , Z * ( (Interior a ésta) (Figura 142)
a 2 ¿>2 c 2 a2 b2 c2
Flg.142
I 10/
Solución
las superfices es Z~±C pues
=2. *• z-±C Y I a proyección en el plano xy
La de X2 Z2
+ Z 2 2z2
a2 í>2 c2 c2 c2 c2
del sólida es a 2 ¿>2
asi que
V ( S ) = f f f dzdydx »(A)
/_; / / a -JVa'-x5 I xi
y/l-U1 yj2-U2-V3
= ¿2¿>cJ J J dwdvdu Vi"«2 >/u2+v2
- abcf" i* f ^ z d r d r * Jo Jo J r
= ai>cf2n fv^fJ*r2Sen<pd<pdrdd (Ej< Jo io Jo lambios de variables análogos al ejemplo anterior. Ejemplo 12 Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x2+y2+z2=4 y x2+y2+z2=9 tFiqura 143) Solución
Fig.117
v(s) = / / fdzdydx » ( A )
= jJjr2Sen<p drdQdy A
f2K f* f*r2Semp drdycfá JO Jo J2
= 1 9 * 4 y ( E j )
2.6.9 EJERCICIOS
1. Pasar las integrales siguientes a coordenadas polares y calcularlas o
i. £ / dydx
-VTe^x7
\Z25-X*
2. f f dydx -y/25-X
• í s f d x d y
In 119
/ ; / dyäx
V» ax-x' 5. | 3 a J (x2+y2) dydx
-y/2lX-X2
f f f i — ^ d y d x <p(A)={u,y> »(A) 1
7 • f [~e ~x2 y2dydx J o Jo
8. v'CT
•3 J J s/x7 +y2 dydx
yf^X1 9' / S e n U ^ y 2 ) «fr0*
- 0
10. J 1 J (l-x 2-y 2) dxdy
v^I 7 v T X 7 f 1 Í -T^ctydx* f2 f ——jdydx J 0 J x'+y2 J x*+y*
v/TÍ7 0
12. f ^ - y í - d x d y Jo J y \/x2*yÍ t
y V* +y
13. f 2 f x - J — d y d x Jl JO y/x
2<y
2
II. Hallar el área en coordenadas polares de las regiones: 1. { ( x , y ) j ( x - l ) « + ( y - 4 ) ® < 2 5 ) 2. r =2+CosO 3. r=SenO 4. Area común a r=2SenO y r=l 5. { ( x,y ) I 4<x = + y~<3¿>) 6. La región limitada por y = x y y = x:2
1 2 0
7. Común a r=a y r=2aSenO 8. r2=Cos20 9. Común a r=1 y r=1-CosO
III. Calcular las integrales siguientes por cilindricas o esféricas VT^F»
>•/; f j0'd*<tydx (x>/«i)
2' í ' / / * d z d y d x («=/2-r) ° 0 °
v'/ü'-x2 y/R'-x'-y2
f f f dzdydx ( R : / * f ) - y / l t t 0
4 ' / I / f_l(xa+y2) dzdydx
^9-x2 3 5 • / ' / / dzdydx
0 v / P ^
/ ; / / d z d y d x -v/Ii^P 0
v/J v^-x* Jxa+y3
f f f dzdydx -y/1 V^-x1
6 .
7 . 0
0 0 V^S-x'-y2 s. y j" | dzdydx
"5 -v/i?^7 0
O 9- f l f f ^ ^
IV. Calcular las integrales con alqún cambio de variable,
1 2 1
/ / j y ( A ) el sólido limitado por las superficies »(A)
Z2 = j£(x2+y2) y por 0; \Ri
f j j\jx7+y2dzdydxt e l 5 Ó i i d o limitado por z=-yJx2+y2 y
dzdydxt e l s ó l i d o limitado por
z=-l
b / / / < f(A)
a2 b2 a2 b2 a \ 2 /
4. I I I (** +y2) dzdydx^ la parte de la semiesfera x 2 + y 2 + Z 2 = 4 < ZJtO »(A)
[ intersectada con x2+y2=1-
5. (*2 +y7) dzdydxn <P (A) el sólido limitado por
•PÍA) V
4 - V ^ F , y z - l
[.Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies iguientes, indicando los límites de la integral sin cambio de variable luego con cambio de variable si es posible.
1. x2+y2=z y
2. z=4 -x2; z
3. z=x, z= --X2
4. z=Q-x2- y \ 5. x2+y2 + z 2 =6
( R : / l )
(R:/6nyf5) 6. x=4, y-4, Z=x2+y2 +1 y l o s planos coordenados (¿?:/367t) 7. X+y+Z-1, Y los planos coordenados
122
8. — +y¿=l, z=l, z=12-3x-4y 4
— + + (i?-:/32ic) 16
10. /
11 .
12.
1 3 .
y2=4a2-3ax; y2=ax, z=±h
x+y+z=a, 3x+y=a, -|x+y=a, y=o, z=0 /JLÍ +A ¿ V ^ 6
x2 +y2=b2 ; y+z=a, z=0 ( R : / a b 2 n )
z=0; z=x2+y2, x2+y2=a2 \R:/n
14. z2=x2+y2; z=x2+y2 I/?: 15 • x2+y2 = 2x, z2=x2+y2
x2+4y2=4z; x2+4y2=48-4z I '? . x2+y2 + Z2=4<32 y <32=X2+y2 lFuera de éste último) 18 • z=8 -X2-y2 y z~x2+y2
lv. z=4-x2-9y2 ; z=l 2' >.
7 1
z=4 -y/x2+y2, z= 1
Z=JÜ_+y2; Z=1 ; z=3 4
VI. Indicar los límites de la integral
variable, en cilindricas y en
/ / / <r(A)
dzdydxt s i n cambio
para : tp (A) ={(x,y, z) | x2+y2+z2*9, z*0} <p (A) ={ (x,y, z) | x2+y2+z2^9, x*0} (p (A) = { ( x , y , z) | x2+y2+z2¡;16, y*0, xíO) <p (A) ={(x,y, z) ! x3+y2+z2:¡;25, zsO} <p (A) ={(x,y, z) | x2+y2+z2<;36, z^O ysO} <|> (A) el sólido limitado por x2+y2=10' Z = 0 > Z = 5 • <p (A) el sólido limitado por x2+y2=4 ' Z=0 •> Z-X2 +y2
<p (A) ={(x,y, z) ¡ 4^x2+y2 + z2á9)
IZS
3. APLICACIONES FISICAS DE LA INTEGRAL
3.1 DEFINICION
Si una lámina tiene la forma de una reqíón encerrada y acotada en el plano xy (Figura 144) y tiene una densidad constante p, entonces la nasa de la lámina viene dada por:
x=a
Fifl.144 y
y=f|xj
=0M
masa = pA = p f b [ f ( x ) - c r ( x ) ) d x = p / / d A = / / p ^ • Ja 0 0
El empleo de una integral doble sugiere una extensión natural de la fórmula, para hallar la masa de una lámina de densidad variable, donde
;sta viene dada por p(x,y) . lueqo:
. tíasa:
M(Q) / fp(x,y) dxdy = f Jp{x,y) dA . o o
2. Mamen tas:
Los momentos de la masa con respecto a los ejes x e y son:
Mx = f f y p ( x , y ) dA y My = j J x p ( x , y ) dA . o o
|3. Centro de masa: Si M es la masa de la lámina entonces el centro de masa es:
124 -- * r J? taiarfldl Vartirio Acivtrio.
4. Momentos de Inercia:
El momento de inercia de la lámina respecto a una recta L es:
IL = j fd2{x,y) . p(x,y) dA . o
Donde d(x,y) es la distancia del punto (x,y) de la lámina a la recta L. Si la recta L es el eje x o L es el eje y, estos momentos de inercia se notarán por l,, e Iv y vienen dados por:
Ix ' f f y 2 p ( x , y ) d A y Iy = f f x 2 p ( x . y ) d A
Q 0
5 . Cen t roi de :
S l p(x,y) ^constante el centro de masa de la lámina se 11 ama|
Centroide.
6. Momento polar de Inercia:
El momento polar de inercia de una lámina respecto al origen se nota| por I 0 y viene dado por:
I0 = f fr2p(x,y)dA = f f(x2+y2)p(x,y)dA = J y + I x , o o
Ejemplo 1 Hallar la masa, momentos de una lámina triangular de vértices (0,0), (0,3) y (2,3); (Figura 145) supuesta la densidad en cada punto (x,y)|
está dada por p(x,y) =X •
Solución
1 2 5
Fig.145
Como se observa en la figura L45, la reqión Q tiene las fronteras x=0 y= 3, luego:
Masa=M - f f p ( x , y ) d A 0
- S!x d A
M »
j j xdxdy (Eji ) .
M,„ f j y p ( x , y ) dA ' o
I f y x d A
£ J x y d x d y (eji
M. J ¡ x p ( x , y ) dA o
= / fy*dA
126
1Z
(Eji j J xydxdy o
= ffy2p(x,y)dA o
= J Iy2xdA
iz
U =
J3 j y3xdxdy 0 o
f fx2p(x, y) dA o"
f íx2ydA o ?JL
j"3 j x3 dxdy
Ejemplo 2 Hallar la masa, momentos, centro ele masas de la lámina correspondiente a la porción del círculo x 2+y 2=9, siendo su densidad en el punto (x,yl proporcional a la distancia entre el punto y el centro como se observa en la f igura 146. Solución
Fig.146
y
1 2 7
En un punto cualquiera (x,y) la densidad de la lámina es
p(x,y) = k\J (x-0) 2+ (y-0)2 = kjx2+y2- y como ~ 3 m 3 y -finpsyzfó'1*? la
masa viene dada por:
11, m = f Jp(x,y) dA 0
= j fky/x7+y2dA o
= J j ky/x7+y2 dydx
- f f kr2 di de J o Jo
= 2 re fkr2dr Jo
2» k r 3l 3 = 187CÍC o
|2. IV = f fyp(x,y) dA 0
- J J'yky/x2 +y2 dA A
= f J kyjx2+ v7 dydx
= f2n f3krSenQrrdrdO J o J o
= f2n f^kr3Senddrde Jo Jo
= kr^.]3 sene de Jo 3 Jo
r 2n 27 k Spndde Jo "2 TC j o 27 k ( -Coíto) ¡27t = 0
133
v = / /xp(xt y) dA o
= f jkxjx2 +y2 dA
- f3 j* kx<Jx2+y2 dydx
/"* f kzCosQzzdzdd Jo Jo
- Í2K f3kz3cosedzdd = o Jo Jo
.... j | ¡y2p{x,y) dA o
J y y2 ky/x2 + v2 dA
J 3 J ky2Jx2+y2dydx 3 - v ^ P
= f2" [3kz2S#n2ezzdzdd Jo Jo
= í2n í'kz4Sen20dzde <Ej Jo Jo
e r c i n o ) .
Ejemplo 3 Hallar el centra de masa de la lámina correspondiente a la reqión limitada por y=4-x= y el eje x (Figura 147), si la densidad en él punta ( x , y ) de la lámina es proporcional a la distancia entre (x,y) y el eje X . S o l u r i ó n
Fig.147
y A
y - 4 - x ?
p(x,y)=ky y asi:
i. m = f f p(x,y) dA o
- / / * " < « a
J-2J0
. f ' ^ f - ^ d x J - 2 2 J 0
/-'jçji^nidx -2 2
= -^f2 (16-8x 2+x 4) dx 2 J -2
|. m* = / fyp<x,y) cîa 0
= J fvkydA
= f fky2dA 0 •2 T4-X2
256 15
f f*~x ky2dydx = J-2J0
4096 105
m v = / fxp(x,y) dA o
= j xkydA A
_ f 2 X fcyxtfyrfx _ Q J-2J0
ó. f K y , ^ { M M
4. i = / fy2p(x,y) dA o
= f I ky3 dA A
= i* f'-^ky'dydx (Ejercicio). J-2J0
t = f fx3p(x,y) dA ' o
= J f Jcyx* c¿A o
=• / / kyx2dydx (Ejercicio) J-2J0
E j e m p L o 4 Una lámina tiene la forma de la región que esta fuera de la gráfica di r - a y dentro de la gráfica de r = 2aSenft (Fiqura 140). Halle la masa el suponiendo que la densidad en el punto p=(r,8) es inversamentl proporcional a la distancia de p al polo. So 1u ci ón
4096 k _o "105 256 k' 256ic 1 R 1 ^
Fig.147 y
s curvas r = a y r =2aSenB se cortan en 0 = _ y Q= D7t (Ejercicio) 6 6
- f fp(r,e) dA o
•iS f 2aSsn0
f f ( f ) ^ r d e i a 6
5T k J (2aSenQ-a) dd
ka -2 CosB-e] 5 —
^ 2 / 3 - 2
S-5 c 2 a.9«nfl
= J J (r2Cos26) ~rdr dQ
132
3 . 2 APLICACIONES FISICAS DE LA INTEGRAL TRIPLE
Si p ( x , y , z ) es la densidad en un punto (x,y,z) de un sólido S cerrado y acotado del espacio entonces: 1 . Masa del sólido:
i a masa del sólido viene dada por:
M^fffp(x, y, z) dv s
t"~im<?n tos < íir> r evfjurt'} ."» íus pl a>n cuor den^doa xy. y¿ , xz:
Los momentos con respecto a los planos z = 0, x=0, y 0 vierten dados por :
Mxy = f f f zp(x,y, z) dv, Myg = f f f xp(x,y, z) dv. Mxz = f f f y p ( x , y , z) dv S 3 3
3. Coordenadas del centro de masa (x,y#z) ""
Las coordenadas del centro de masa vienen dadas por:
X=MY*-; y- ^ ; M M M
4 . Centrai de:
si p(x, y , z)=constan te entonces el centro de masa se llama centroide del sólido.
Mamen tos de Inercia respecto a una recta L:
t- 1 momento de inercia del sólido respecto a una recta L viene
I7 = f f f d2{x,y, z) p ( x , y , z) dv
donde d(x,y,z) es la distancia del punto (x,y,z) del sólido a la recta L.
*
6. Momentos de inercia con respecta a los planos y-O, x~0:
Los momentos de inercia con respecto a los planos z=0, y=0 y x=0 vienen dados por:
Ixy - f f f z2p(x,y, z) dv. Iyt = f f f x 2 p ( x , y , z ) dV. IXB = f f f y2p(x, y, z) dV 3 S 3
7 . Momentos de Inercia con respecta a las ejes coordenados:
Los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados se cal cu 1an por:
= f f f (y7+z2)p(xfy,z) dv= s
Iy = f f f (X2 + Z2)p(X,yrZ) dV = Iyy+Iys ,
133
xy = / / / ( * 2 + y 2 ) P<x'y, d v = 3
jemplo 1 aliar la masa, momentos y centro de masa del sólido limitado por las
X2 suDerf irps Z-2-—— y los planos z = 0, y = x, y=0. (Figura 149) suponiendo
que la densidad es proporcional a la distancia de la base del plano xy . Solución
z
|Por hipótesis p ( x , y , z ) =•<z donde k es una constante, por lo tanto:
|n = f f jp(x,y,z) dV 3
í i* / kzdzdydx o
• « a ;
• * / / / / ( — f K -- kCl2x-xy*\x*)dx = -f-Jc.
JJJp(x,y,z)z<íV
fffkz'dV 3
2
/ 2 / X / kz2dzdydx 0 0 o
T M " * ) ' « " *
f j f { * x , y , z ) y d v s
fffkyzdV 3
2
j j"X j kyz7 dzdydx 0 0 o
kí0,L"M2-JT?dydx
JJJ p(x,y,z)xdv s
[ f f x k z d V s
k f f J xzdzdvdx
2 4
f ? f* f kxzdzdvdx - ^-k 0 0 o
Iit>|rtlH <•>!•• y i'lfltm, d» li*« y li i«Mrfici» 140
128 k X = ^yz _ 105 32
M 4 Je 35
64ie
y - = 105 _ JL6 w 35
4 * li m "~t" i V = 3
= i M 4k
||v = f f f z ? p ( x , y , z ) d V s
, f f f k z ' d v 3
/ ; / ; / kz3 dzdydx 0
f f f y 2 p ( x f y , z ) d v s
[ f f k y ' z d v S
2
i T / * f ky*zdzdydx ( E j l 0 0
I = f f f x ? 9 ( x r y r z ) dV s
»= f f f ^ z c / v
« r * (Ejercicio) £ £ j" kx7 zdzdydx o
• IPfnn 1 11
1 3 6
Calcular el momento de inercia con respecto al eje y, del sólidc limitado por la superfices 4x 2-y=+z 2=0 y y=3 (Figura 150) si si densidad en cada punto (x,y,z) es constante. Solución
F i g . 1 5 0
k'
\ y = 3
^ 4 x 2 + z 2 - 9
l, - I v + I >-• = / / / (z 2+y 2) p(x,y, z ) dV s
JjJ c{z2+y2) dV
s/9-4.jp J j J c{z2+y2) dydzdx
-y/3l-iX2 l/4X2 + Z2
i VP^P J3 J J c(z2+y2) dzdxdy ° -f -VP^tP
(Ejercicio)
Ejemplo 3 Hallar la masa, centro de masa del sólido limitado por las superfices
Z=y¡9 -X2~y2> (Figura 151) Si p(x,y, z)
Solución
I l
tarmiré» «c«y»<u.
Flg.151
z -V9 -X 2 -y2
I N / / / dv
/ 3 / / cdzdydx - v ^ P 0
v / ^
: V I 2 SU c T 2 s e n < * d i d < ? < *
2TÏ9C = 18cti
Mi.y = f f f p { x , y , z ) z d v
/// czdv c f 0
2 * f 0 1 £3 (-rCos<p) r25e/3<p drd<p d8
81c«
Lr = /// p (x,y,x)yciv
138 Itriari» «cmdo.
/// cydv
2 * T 3
cf J JrSenQSenq>r2Senq> drdy dd • O 0 0 0
M, J ¡ f p(x,yfz)xdV s
2a "a 3 f I j rCos®Sen<pr2Sen<p drdtp dd - O 0 0 0
M 18C1C
Y = — - = O M
= O
81ctc 4 2 = =
Af 18 C7i 8 Ejemplo 4 Hallar el momento de inercia con respecto al eje z, la masa y centroide del sólido limitado por z=-4 y z = 4 (Figura 152) p(x,y, z) =i. Solución
= f f f i x ' + y * ) l.oV 5
y'9-X1 4 [' f f (x7+ya) dzdydx
• r r r ^ . r d z d i d e '0 j 0 J-4
I f2K f3&r3 drdfì Jo Jo
Jo * Jo de
2**8*81 = 3 2 4 1 C
jffç>(x,y, z) dV a
f f f d v 3
• cn>dzdrdR
= r i 8 zdrde Jo Jo
r ai3 8 — = 2**4*9 = 72K L 2 Jo
f f f z d v S
f " i" f 'rzdzdidQ = 0 Jo Jo J-4
h - i f f S
I f / r2Co.<*edzdrdB = 0 Jo Jo j - 4
I. - / / /y<*
x d v
140 Btrttrl» AcmO».
= f f f z2Senddzdrdd = O Jo Jo j-i
V a s i (J.y.5) . ( ^ - . - I J , ^ ) . (0.0.0).
Ejemplo 5 Un sólido en el primer octante está limitado por las superficies Z=y¡X2 +y2' 2 = 1 ' x = 0 ' y=0 (Figura 153). Hallar el centro de masa si la densidad p(x,y, z)=r. Solución
Fig.153
Z
M
h
= f f f p ( x , y r z ) dv s
• f f f ^ 3
= [ i f1 C^rirdzdrdQ) = Jo Jo J r 24
_ = f f f z p ( x r y r z ) d v 3
= f^f1flzr2dzdrdd = Jo Jo Jr 30
- = f f f y p ( x , y , z ) dv
1 4 1
= f " fX f1 (rSenO) rrdzdrdO = ~ Jo Jo Jr 20
f,vx = f f f x p ( x , y , z ) d V
= [ ' T í 1 (rCosQ) rrdzdrdd = Jo Jo Jr 20
Por tanto:
Myz _ 1 20
M ' n 24
1 20
M n 24
n O*.. 30
71 24
5n
6 571
_5 5
5.3 EJERCICIOS
I. Hallar el centroide de la lámina limitada por:
i- *=y 2, **=-8y H i < " ^ ) ) )
2- y = 4 X - X 2 . y=x (R: /(-§, -
3. y=2Sen3x, x=0, x = , -Jjj
4- X a-8y+4=0, X 2 = 4 y primer cuadrante , jj
2 «r2 5. X
a2 b2
6- ^ í r 1
7. triángulo de vértices (0,0), (b,a), (b,0). 8- y=V3x. y=0, x=3> p(r,8)=r3
II. Tomar p(x,y)=X+y en I y calcule el centro de masa y sus momentos respecto a los ejes coordenados.
142 Iattfral»! y trlflti, 4« llaaa y ém avftrfldt ltraar<* Acmla.
III. Hallar el centroide de la región limitada pors
1. r=5eií26, primer cuadrante |¿: r
2. r- — r , primer cuadrante / R:/(—,—\\ 1+COS0 \ •• \ 5 4//
3. r-2Cosd 4. r=l-CosQ 5- r=2Sen6
IV. Tomar p(r,6)=Jtr y hallar centro de masa y momentos para los ejercicios del numeral a n t e r i o r ( I I I ) .
V. Hallar el centroide del sólido limitado por: 1 . x2+z=4, x+z=2, y-0, y=3 2* z=x, z=x2+y2
3. z=4-x2, z=3x2+y2
4- x2+y2+z2= 9, x2+y2+z2= 16 5. x2+y2+Z2=9, X2+y2=1 (Exterior a ésta)
x2+y2=a2, z=0, z=h VI. Hallar el centro de masa, momentos en el numeral anterior (V) si
p (x,y,z) = x-, VII. Hallar el centroide del sólido limitado por:
í- r=2CosQr z=zz, z=0 2. z=0, z=a-r, r=aCosd 3. z=1, z-2, r=4
VIII. Hallar el centro de masa del sólido limitado por: 1 • x 2 + y 2 + z 2 = 9 y x 2 + y 2 + z 2 = 1 6 p(r,8,<p)=r 2 . x
2 + y 2 + z 2 = 9 p ( r , 0 , <p) =Send 3. z=v/9 —x2 —y2r z = 2 , p ( r , 6 , z ) = 2 z
4. INTEGRALES DE LINEA a noción de integración de una función definida en un intervalo, en ina región cerrada y acotada del plano o en un sólido cerrado y acotado el espacio se puede generalizar a la integración de una función eUnida a lo larqo de una curva y es por ello que primero conoceremos lgunos aspectos de las curvas y luego daremos la definición de la ntegra 1 de 1 íriea . .1 DEFINICIÓN
eaa:[a,b] 'Rn, tal que a ( t ) = <( xA (t ), xa( t),..., x„ (t)) . | Al conjunto { (<t , a ( t) | t e [ a , b ] } se llamará La gráfica de a.
Ejemplo < a: [0,4] >R I
t > a < t ) = ( t, t ) •Si a es continua en [a,b], la imagen de a la llamaremos Curva y a !|) = ( x i ( t), x a ( t),..., x„ ( t) ) es una ecuación paramétrica de la curva . ¡gráfica (el de la imagen) la representamos por C. (Figura 154)
Fig.154
Ejemplo Sea y = x 2 entonces sí x = t se tiene que y^t^ y así a(t) = (t,t::') es
na ecuación paramétrica y a la imagen de a se llamara curva, pues a [continua (Figura 155)
1 4 4
A
(-1,1)
<?.4)
-1 2 3. La curva se llama regular si existe <*'( ù) para todo te(a,b) y/ a
es continua en [a,b]. 4. La curva se llama regular (suave o lisa) a trazos, si se puede
expresar como unión de un número finito de curvas regulares 'suaves o lizas),
b. a continua, la curva a es cerrada si a(a)=a(b). 6. a:[a,b] > R" continua, la curva es cerrada simple si a(a)=a(b) y| si para todo t±,t= e[a,b], tx^t^ se tiene a ( t i ) ( t 3 ) . 7. Si c no es una curva cerrada el sentido positivo de c es la sentido correspondiente a los valores crecientes de t. hjemplos
Nn«rla Acmtf«. JL t )
Fig.156
Vr
C)
-ZS7 w
d) e) De la Figura 156 se puede concluir que a) Es una curva cerrada, regular, regular a trozos, es cerrada simple. b). Es una curva, no es regular, es regular a trozos, no es cerrada, f). Es una curva, es regular a trozos, es cerrada, es cerrada simple. I d). Es una curva, es regular a trozos, no es cerrada. e). Es una curva, es regular, es regular a trozos, es cerrada, no es
cerrada -¡fí/tfi/C . pie.. f|. Es una curva, es regular a trozos, es cerrada, es cerrada simple. 1.2 PARAMETRIZACION DE ALGUNAS CURVAS
I. Un segmento de ^ecta con punto inicial AeR" y con punto final BeR1" se puede parametrizar así: a(t)— A+1(B-A) 0<t<l, es decir, a: [0,1] > R n
t > a(t)=A+1(B-A) . Ejemplo 1 Hallar una ecuación paramétrica para el segmento de recta que tiene como punto inicial A=(1,2,1) y como punto final B(2,4,6). (Figura 157)