Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti
Finite Element Method, FEM
Finite Element Analysis, FEA
Finite Element, FE
Applicazione all’analisi strutturale
Prof. Ciro Santus
Dip. di Ingegneria Civile e Industriale (DICI), Università di Pisa
Tel.: 050-2218007
email: [email protected]
http://people.unipi.it/static/ciro.santus/
Metodo agli Elementi Finiti
È un metodo per risolvere numericamente equazioni alle derivate
parziali, su un dominio complesso.
È particolarmente adatto all’implementazione su calcolatore.
Esistono altri metodi alternativi (numerici):
- Metodo alle Differenze Finite,
- Metodo degli elementi al contorno BEM,
tuttavia hanno delle limitazioni rispetto al FEM.
Quindi il FEM è diventato il metodo standard per risolvere problemi
strutturali, ma anche termici, fluidodinamici, elettromagnetici ecc.
Evoluzione del metodo a partire dagli anni ’50.
Attualmente esistono importanti SW commerciali,
es.: ANSYS, ABAQUS
http://www.ansys.com/academic/free-student-products
Iniziativa di ANSYS per la divulgazione verso gli studenti universitari
Dove posso trovare ANSYS, oltre al centro di calcolo???
x
y
ih1h 2h
Si impongonoequazioni di bilancio,
si arriva ad un sistema di equazioni (lineare)
lecui incognitesono lealtezze ih
Soluzione approssima "piecewise solution"
x
y
ih
1h
2h
Si ottiene la miglioreapprossimazionedella funzione,
con una certa discretizzazione
Soluzione approssima "piecewise solution"
x
yMigliore rappresentazione
all'aumentare della discretizzazione
Soluzione approssima "piecewise solution"
Elemento,
i-esimo
Nodo, j-esimo
Gradi di libertà del singolo nodo:
Spostamenti nelle direzioni x,y,z
Geometria
“discretizzata”
Possibilità di gestire
modelli da poche
migliaia di elementi,
fino a 106 elementi
Calcolo deformazioni
e tensioni, in ogni
punto a partire dagli
spost. nodali
(Funzioni di Forma)
Nodi & Elementi
Spostamenti
nodali
Funzioni di spostamento
sul dominio dell’elemento
Funzioni di forma (Shape Functions)
Vincoli
Forze esterne
applicate, su
alcuni nodi
Soluzione:
Calcolo degli
spostamenti nodali:
(deformata, prima
incognita)
Vincoli e carichi
K u f=
Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali,
si “riduce” ad un sistema (lineare),
in cui le incognite sono gli spostamenti nodali.
Numero molto elevato di incognite,
comunque finito, ok per calcolatore
La soluzione del modello consiste nella risoluzione di questo sistema.
Tensioni e deformazioni vengono trovate, successivamente,
mediante le funzioni di forma.
Soluzione del modello agli Elementi Finiti
Problema reale
Tipo di Elemento
Analisi statica / dinamica: transitoria, armonica
Modalità di applicazione vincoli/carichi
Comportamento unilaterale/bilaterale del contatto
Comportamento del materiale (modelli costitutivi)
etc.
Modello FEM
Elementi Trave (Beam)
Il nodo rappresenta una sezione
Elementi Guscio (Shell)
Il nodo rappresenta uno spessore
Elementi Solidi (Brick)
Il nodo rappresenta un punto solido
Scelta del tipo di elemento
Geometria 2D 3D
Linee Elemento Elemento
Trave 2D Trave 3D
Aree Elemento solido piano Elemento
(plane strain/stress) Guscio (shell)
Volume --- Elem. solido
(brick)
ANSYS Wb
Scelta del tipo di elemento
PREP7
• definizione ELEMENT TYPE
• definizione REAL CONSTANTS
• definizione MATERIAL PROPERTIES
• definizione GEOMETRIA MODELLO
• definizione MESH del modello
• applicazione VINCOLI E CARICHI
SOLUTION Soluzione FEM
POST1• PLOT visualizzazione grafica dei risultati
• LIST risultati in forma numerica
ANSYS Classic
Generazione diretta
Specificare direttamente la posizione dei nodi
Definire gli elementi tramite le connessioni fra i nodi
Modellazione solida
Uso di primitive geometriche (rettangoli, cerchi, poligoni, prismi, cilindri, sfere)
Operazioni booleane sulle geometrie (somma, sottrazione, intersezione, ecc.)
Ansys genera automaticamente i nodi e gli elementi
CREAZIONE DEL MODELLO
ANSYS Classic
25mmD =
4mmb =
2mms =
F
Rigidezza = ?
Stato di tensione = ?
Esempio: Modellazione solida con ANSYS Classic
Anello elastico (plane stress)
Materiale:
Elastico Lineare Isotropo Omogeneo
Moduli di Young e Poisson
Definizione proprietà di materiale
“Mesh”: nodi ed elementi
‘Infittimento della Mesh’
1
X
Y
Z
OCT 11 2011
15:12:25
ELEMENTS1
X
Y
Z
OCT 11 2011
15:15:41
ELEMENTS
Alternativamente si può dare come input la forza F
Condizioni di carico: pressione sulla linea uniforme
2 22MPa, 4mm
8 N/mm
p b
P pb
= =
= =
Condizione di vincolo: incastro
Condizioni di carico: pressione
1
X
Y
Z
OCT 11 2011
15:37:54
ELEMENTS
U
PRES-NORM
2
1
X
Y
Z
OCT 11 2011
15:37:54
ELEMENTS
U
PRES-NORM
2
Postprocessing
Rappresentazione deformata
Listato numerico dei risultati
Plot grafico dei risultati
(tensioni eqv., tensioni principali, ecc.)
Grafici dell’andamento dei risultati su path definiti sul modello
Postprocessing: Spostamento secondo Y1
MNMX
X
Y
Z
-.045165
-.014785.015595
.045975.076356
.106736.137116
.167496.197876
.228256
OCT 11 2011
15:57:55
NODAL SOLUTION
SUB =1
TIME=1
UY (AVG)
RSYS=0
DMX =.228291
SMN =-.045165
SMX =.228256
1
MNMX
X
Y
Z
-.045165
-.014785.015595
.045975.076356
.106736.137116
.167496.197876
.228256
OCT 11 2011
15:57:55
NODAL SOLUTION
SUB =1
TIME=1
UY (AVG)
RSYS=0
DMX =.228291
SMN =-.045165
SMX =.228256
Calcolo di rigidezza:
Es.: 1.5mm
12 N
0.228 mm
52.6 N/mm
s
F Ps
FK
=
= =
=
→
= =
1
MN
MX X
Y
Z
.385453
10.993821.6022
32.210642.819
53.427464.0358
74.644185.2525
95.8609
OCT 11 2011
15:41:12
NODAL SOLUTION
STEP=1
SUB =1
TIME=1
SEQV (AVG)
DMX =.228291
SMN =.385453
SMX =95.8609
Postprocessing: Tensione eq. von Mises1
MN
MX X
Y
Z
.385453
10.993821.6022
32.210642.819
53.427464.0358
74.644185.2525
95.8609
OCT 11 2011
15:41:12
NODAL SOLUTION
STEP=1
SUB =1
TIME=1
SEQV (AVG)
DMX =.228291
SMN =.385453
SMX =95.8609
Postprocessing: sigma_Y1
MN MX X
Y
Z
-77.3366
-57.7594-38.1822
-18.605.972269
20.549540.1267
59.70479.2812
98.8584
OCT 14 2011
08:53:09
NODAL SOLUTION
STEP=1
SUB =1
TIME=1
SY (AVG)
RSYS=0
DMX =.228291
SMN =-77.3366
SMX =98.8584
1
MN MX X
Y
Z
-77.3366
-57.7594-38.1822
-18.605.972269
20.549540.1267
59.70479.2812
98.8584
OCT 14 2011
08:53:09
NODAL SOLUTION
STEP=1
SUB =1
TIME=1
SY (AVG)
RSYS=0
DMX =.228291
SMN =-77.3366
SMX =98.8584
I
Th.travi curve:
77.6 MPa = −
E
Th.travi curve:
97.8MPa =
Calcolo flessione, trave a forte curvatura (anello seeger)
D_I, mm D_E, mm Spessore radiale, mm
25 33 4
D_m, mm p, MPa Spessore assiale
29 2 2
F, N
M_f, Nmm 16
464
A, mm^2 r_I, mm r_E, mm
W, mm^3 8 12.5 16.5
5.33 r_G, mm r_N, mm e, mm
14.5 14.41 0.092
sigma_0, MPa c_I, mm c_E, mm
87 1.91 2.09
sigma_I,B, MPa
95.77
sigma_E,B, MPa sigma_t, MPa
-79.58 2
sigma_I, MPa sigma_E, MPa
-77.6 97.8
Postprocessing: sigma_Y, utilizzo del ‘path’1
-77.337
-59.717
-42.097
-24.477
-6.857
10.763
28.383
46.003
63.623
81.243
98.858
0
.4
.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
DIST
OCT 18 2011
12:04:59
POST1
STEP=1
SUB =1
TIME=1
PATH PLOT
NOD1=77
NOD2=235
SY
I
Th.travi curve:
77.6 MPa = − E
Th.travi curve:
97.8MPa =
1
OCT 18 2011
12:04:11
ELEMENTS
BaricentroG
Asse neutro N
Analisi di convergenza
Tensione Max
5.35
5.4
5.45
5.5
5.55
5.6
5.65
0 10 20 30 40 50 60
N° Nodi
FEM
Valore teorico
MP
a
Determinazione delle caratteristiche della sollecitazione mediante il comando ETABLE
ETABLE, MZ1, SMISC, 6 ! Memorizza il momento nel nodo I dell’elemento
ETABLE, MZ2, SMISC, 12 ! Memorizza il momento nel nodo J dell’elemento
PLLS,MZ1,MZ2 ! Visualizza l’andamento del momento flettente
Trave a doppio T - Modello con elementi Trave
ANSYS Workbench - Versione attuale: 19.2
Workbench, soluzione integrata CAD - FEM:
- Possibilità di importare modelli 3D da tutti i CAD:
Pro/E, OneSpace, SolidWorks, CATIA, Unigraphics
- Applicazioni vincoli/carichi semplificata (alcune limitazioni)
- Integrazione con altri moduli di calcolo (AUTODYN, CFX) …
Atomatica identificazione delle interfacce di contatto
Modellazione semplice/veloce – alcune limitazioni
Corpi diversi
Superficie di interfaccia
ANSYS Workbench - Versione attuale: 19.2
Tipi di analisiStatica strutturale:
- La struttura deve essere equilibrata
(schema di vincolo iso- o più frequentemente iper- statica).
- In caso di soluzione labile =>
errore modello ‘unconstrained’.
- Può tollerare modello labile ma carico non applicato
secondo la direzione di labilità.
- Analisi non lineari:
- non linearità di contatto,
- non linearità di materiale.
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli e carichi.
- Output: spostamenti, tensioni, forze, momenti di reazione.
Analisi modale:
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema.
- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di
contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto,
viene congelata la configurazione di contatto iniziale.
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell.
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma si
introducono dei limiti sui modi possibili visualizzabili.
- Input: materiali, geometria, vincoli (no carichi).
- Output:
- Lista della frequenze proprie (o naturali), si può
scegliere se mostrare le prime o quelle all’interno di un
intervallo di frequenze;
- Modo di oscillazione associato a ciascuna
frequenza propria;
- Lo stato di tensione e la distribuzione degli
spostamenti è definita a meno di uno scalare.
Tipi di analisi
Risposta armonica:
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema
- Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di
contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto,
viene congelata la configurazione di contatto iniziale
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma solo
se i carichi hanno le stesse simmetrie della geometria.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi ma soltanto di
natura armonica (frequenza ampiezza e fase)
- Output:
- risposta armonica alla frequenza di eccitazione
dei carichi applicati (spostamenti, tensioni, reazioni vincolari)
Tipi di analisi
Transitorio dinamico (solutore implicito):
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema.
- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria),
spesso anche velocità iniziali.
- Output:
- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia
tensioni e reazioni vincolari.
Implicito: transitori lenti (tempi dell’ordine di 1 secondo o
molto maggiore).
Tipi di analisi
Transitorio dinamico (solutore esplicito):
- La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o
completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo
da riprodurre del sistema.
- Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale)
- Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell
- Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello.
- Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria),
spesso anche velocità iniziali.
- Output:
- evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia
tensioni e reazioni vincolari.
Esplicito: transitori molto veloci (tempi inferiori o molto
inferiori a 1 secondo).
Tipicamente urti e analisi di crash.
Tipi di analisi
Altre tipi di analisi:
- Buckling (instabilità).
- Fluidodinamica.
- Termico (transiente / a regime).
Analisi consecutive (one way coupling)
Es.: (1) analisi termica, (2) analisi deformativa tensionale.
Analisi accoppiate (two way coupling)
Es.: accoppiamento fluido struttura.
Analisi Euleriana: volume di controllo, prima incognita sono
le velocità.
Tutte le altre analisi meccaniche (anche problema termo-
meccanico) sono Lagrangiane:
viene seguita la particella materiale, prima incognita gli
spostamenti (anche nelle analisi dinamiche, es. di
transitorio).
Tipi di analisi