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ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142
Primer Semestre
INDUCCION MATEMATICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Universidad de Concepción
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Inducción Matemática
Principio de la buena ordenación
Todo subconjunto no vacío de IN tiene un elemento menor que los
restantes. Es decir, si S ⊆ IN , S = φ, entonces existe p ∈ S tal que
∀ r ∈ S : p ≤ r .
TEOREMA: Principio de inducción matemática
Sean S ⊆ IN y p ∈ IN tales que
p ∈ S
k ∈ S ⇒ (k + 1) ∈ S
Entonces S contiene a todos los naturales mayores o iguales que p,
es decir: ∀ k ∈ IN, k ≥ p : k ∈ S
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Inducción Matemática
DEMOSTRACION
Por el método de contradicción: ( H ∧ ∼ T ) ⇒ P ∧ ∼ P
Supongamos que existe k ∈ IN , k > p, tal que k ∈ S , y definamos:
G := {m ∈ IN : m > p ∧ m ∈ S }
Es claro que G = φ ya que k ∈ G. Luego, por el principio de la buena
ordenación, existe r ∈ G tal que r ≤ m ∀m ∈ G. Notar que r > p y
r ∈ S . Así, como r es el menor elemento de G, se deduce que r − 1 ∈ G,
lo cual implica dos posibilidades: ( r − 1 ≤ p ) ∨ ( r − 1 ∈ S ).
Si r − 1 ≤ p, entonces r ≤ p + 1, y puesto que r > p, se deduce
que r = p + 1. Así, como p ∈ S , se concluye por hipótesis que
r = p + 1 ∈ S , lo cual contradice el hecho que r ∈ S .
Si r − 1 ∈ S , entonces por hipótesis nuevamente se deduce que
r = (r − 1) + 1 ∈ S , lo cual contradice el hecho que r ∈ S .
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Inducción Matemática
EJEMPLO Pruebe que:
∀ n ∈ IN, 8n−1 + 6 es divisible por 7.
Solución
Sea S =
n ∈ IN : 8n−1 + 6 es divisible por 7
Si n = 18n−1 + 6 = 1 + 6 = 7 = 7 · 1
∴ 1 ∈ S
Hipótesis de Inducción: Supongamos que k ∈ S , es decir,
8k−1 + 6 es divisible por 7.
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Inducción Matemática
Tesis de Inducción: Probemos que k + 1 ∈ S , es decir, 8k+1−1 + 6 8k+6
es divisible por 7.
8k + 6 = 8k−1 · 8 + 6
= 8k−1 · 8 + 6 · 8 − 6 · 8 + 6
= 8 (8k−1 + 6) es divisible por 7,
por Hip. de Inducción
+ 6 (−8 + 1) −7
es divisible por 7
∴ k + 1 ∈ S.
Luego S = IN
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Inducción Matemática
Factorial y Coeficiente Binomial
Dado k ∈ IN , se define el factorial de k, denotado por k!, como
sigue
1! = 1 y ∀ k ≥ 2 : k! = k · (k − 1)!
Además, se define 0! = 1.
Sean k, n ∈ IN ∪ {0} tales que k ≤ n. Se define el coeficiente
binomial de n y k, y se denota
n
k
, al número:
n
k
= n!
k! (n − k)!
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Inducción Matemática
Propiedades de los Coeficientes Binomiales
Sean k, n ∈ IN ∪ {0} tales que k < n. Entonces, se tiene:
n0
= nn
= 1
n1 = n
nk = n
n − k
n
k
+
n
k + 1
=
n + 1
k + 1
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Inducción Matemática
El Operador Sumatoria
Dados n números reales indexados como a1, a2, . . . , an, se define la
sumatoria de ellos, y se denota
n
k=1 ak, a:n
k=1
ak = a1 + a2 + · · · + an−1 + an
EJEMPLOSn
k=1
k2 = 12 + 22 + 32 + · · · + (n − 1)2 + n2
nk=1
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1)
n
k=0 3
k
= 3
0
+ 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ · · · + 3
n−1
+ 3
n
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Inducción Matemática
Propiedades del Operador Sumatoria
n
i=1ai =
n
j=1aj y
n
i=0ai =
n+1
i=1ai−1 =
n+2
i=2ai−2 =
n+k
i=kai−k
ni=1
a = a + a + · · · + a + a = na
ni=1
c ai = c
ni=1
ai (c constante)
n
i=1(ai + bi) =n
i=1 ai +n
i=1 bin
i=1
mj=1
bj
ai =
mj=1
ni=1
ai
bj
ni=1
(ai+1 − ai) = an+1 − a1 (propiedad telescópica)9
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Inducción Matemática
EJEMPLO
Sea m ∈ IN fijo, establecer que
∀ n ∈ IN, n ≥ m :
nk=m
kk! = (n + 1)! − m!
SOLUCION
Observar que cualquiera sea k ∈ IN :
kk! = (k+1 − 1)k! = (k + 1)! − k!
Luego, si ak
= k!, entonces
∀ n ∈ IN :n
k=m
kk! =
nk=m
(ak+1
− ak
) = (n + 1)! − m!
gracias a la propiedad telescópica del operador sumatoria.
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Inducción Matemática
TEOREMA DEL BINOMIOSean a, b ∈ R− {0}, y sea n ∈ IN . Entonces:
(a + b)n =
nk=0
nk
an−k bkAlgunas observaciones
El desarrollo de (a + b)n consta de n + 1 términos.
La suma de los exponentes de a y b en cada término es n.
Los coeficientes de los términos equidistantes del centro son
iguales.
El término que ocupa el lugar k + 1 está dado por
T k+1 = n
k
an−k bk11
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Inducción Matemática
DEMOSTRACION DEL TEOREMA DEL BINOMIODado n ∈ IN consideremos la proposición:
p(n) : (a + b)n =n
k=0 n
k an−k bk .
Entonces, se define el subconjunto de IN dado por:
S := { n ∈ IN : p(n) es verdadera } .
1 ∈ S . En efecto, p(1) es claramente verdadera.
HIPOTESIS DE INDUCCION
Sea m ∈ IN tal que m ∈ S , es decir, (a+b)m =mk=0
mk
am−k bk.TESIS DE INDUCCION
m + 1 ∈ S , es decir, (a + b)m+1 =m+1k=0
m + 1k
am+1−k bk.12
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Inducción Matemática
DEMOSTRACION DE LA TESIS DE INDUCCION(a + b)m+1 = (a + b) (a + b)m
= a (a + b)m + b (a + b)m
Luego, de acuerdo a la Hipótesis de Inducción y a propiedades del
operador sumatoria y de los coeficientes binomiales, se sigue que
=
m
k=0
m
k
a
m+1−k bk +
m
k=0
m
k
a
m−k bk+1
= am+1 +mk=1
m
k
am+1−k bk +
mk=1
m
k − 1
am+1−k bk + bm+1
= am+1 +mk=1
m + 1k
am+1−k bk + bm+1=
m+1
k=0
m + 1k am+1−k bk,lo cual prueba que (m + 1) ∈ S .
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Inducción Matemática
EJEMPLO
Considere el desarrollo de:
2x3y − y2
x 45
a) Encuentre las potencias de y en los términos centrales.
b) Encuentre, si existe, el término independiente de x.
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Inducción Matemática
SOLUCION a) T k+1 = 45
k
2x3y
45−k −y2x
k
T 23 = 4522 2x3
y45−22 −y2
x22
=⇒ y−123 y222 = y−23+44 = y21T 24 =
45
23
2x3
y
45−23 −y2
x
23
=⇒
y−122
y223
= y−22+46 = y24
Las potencias de y en los términos centrales son 21 y 24.
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Inducción Matemática
SOLUCION b)
T k+1 = 45
k 2x3
y 45−k
−y2
x k
=⇒ x3
45−k
x−1
k
= x0
=⇒ 135 − 3k − k = 0
=⇒ 4k = 135
=⇒ k = 1354
∈ IN ∪ {0}
∴ No existe el término independiente de x.
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Inducción Matemática
PROGRESION ARITMETICA
Sean a1, d ∈ R números dados. Se llama PROGRESION
ARITMETICA (PA) con término inicial (primer término) a1 y
diferencia común d a la sucesión de números a1, a2, . . . , an, . . .,
donde
∀n
≥ 2 : a
n = an−1
+ d
Notar que ∀ n ∈ IN : an = a1 + (n − 1) d
(demostración por inducción).
La suma de los n primeros términos de una Progresión Aritméticacon primer término a1 y diferencia común d, está dada por
n
k=1 a
k =
n
2 (2a1 + (n − 1)d) =
n
2 (a1 + an) ∀ n ∈ IN
(demostración por inducción). 17
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Inducción Matemática
PROGRESION GEOMETRICA
Sean a1, r ∈ R números dados. Se llama PROGRESION
GEOMETRICA (PG) con término inicial a1 y razón (cuociente)
común r a la sucesión de números a1, a2, . . . , an, . . ., donde
∀ n ≥ 2 : an = r an−1
Notar que ∀ n ∈ IN : an = rn−1 a1(demostración por inducción).
La suma de los n primeros términos de una Progresión Geométrica
con primer término a1 y razón común r, está dada por
n
k=1ak = a1
1 − rn
1 − r
∀ n ∈ IN ∀ r = 1
(demostración por inducción).18
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Inducción Matemática
EJEMPLO
Una persona lee un libro de tal manera que cada día aumenta en 4 el
número de páginas que leyó el día anterior, es decir, si el día k-ésimo
leyó ak páginas el día siguiente leerá ak + 4 páginas. Si después de 18
días ha leído los 21/55 del libro, y 6 días más tarde le faltaban únicamente
los 19/55 del libro, ¿cuántas páginas tiene el libro?
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Inducción Matemática
SOLUCION Sea P el número total de páginas que tiene el libro en
cuestión. Denotando por ak la cantidad de páginas que lee el alumno en
el k-ésimo día, del enunciado se rescata que
ak+1 = ak + 4 , k = 1, 2, 3, . . . ,
lo cual nos dice que {a1, a2, a3,...} define una progresión aritmética de
diferencia común d = 4 y primer elemento a1.
Además, del enunciado se pueden extraer la siguiente información:
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k=1ak =
21
55P ⇒ 2 a1 + 17 · 4 =
7
165P (i)
24k=1
ak = 36
55P ⇒ 2 a1 + 23 · 4 =
3
55P (ii)
De (ii) − (i) se tiene
4(23 − 17) = 1
165(9 − 7)P ⇒ P = 1980 páginas.
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