MAPEAMENTO DE SUPERELEMENTOS NA
OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA EM TRÊS DIMENSÕES
(EMBEDDING OF SUPERELEMENTS FOR THREE-DIMENSIONAL TOPOLOGYOPTIMIZATION)
Glaucio H. Paulino, Anderson Pereira,Cameron Talischi, Ivan Menezes e Waldemar Celes
XXIX CILAMCEMaceió, 5 de novembro de 2008
Motivação
deslocamento densidade (variável de projeto)
• A Otimização Toplógica (OT) utiliza uma combinação entre métodos de otimização e o método de Elementos Finitos (EF) a fim de se obter a distribuição ótima de material em um domínio predefinido.
• O esquema de tradicional de OT consiste em se discretizar o domínio em elementos finitos e se assumir uma variável de projeto (densidade) para cada elemento, chamado de “element-based”.
Motivação
tabuleiro de xadrez“checkerboard”
“one-node hinges”
• Na discretização do campo de deslocamentos, elementos com funções de interpolação bi-lineares, tais como Q4 e T3, são comumente usados.
• Com estas escolhas, diversas instabilidades númericas podem aparecer, entre elas o problema do tabuleiro de xadrez e as conexões entre elementos atrávés de apenas um nó.
Motivação: exemplo• Resolução da solução
malha de deslocamentosQ4
malha de densidadeQ4 rotacionada
Q4/Q4 Q4/Q4M
Q4/Q4M
Paulino, G. H. & Le, C., 2008. A modified Q4/Q4 element for topology optmization.
Objetivos• Desenvolver um metodologia unificada para usar duas discretizações distintas:
uma para os deslocamentos e outra para a densidade.
• Investigar e comparar a performance de diferentes tipos de superelementos.
• Resolver a otmização toplógica evitando o uso de artifícios (filtros , controle de perímetro, etc).
Superelementos
• Neste trabalho assumimos que a malha de elementos finitos está mapeada na malha de densidade.
malha de deslocamentos (FE) malha de densidade (M) superelementos (SE)
• A malha de densidade pode ser considerada como um sub-conjunto da malha de deslocamentos (no sentido geométrico).
Problema de Otimização Topológica• O problema clássico de otimização topológica pode ser definido como:
• SIMP (Solid Isotropic Material Penalization):
• Para se evitar a convergência em um mínimo local adotou-se a continuação do parâmetro p de penalidade, de 1,0 a 4,0 incrementando-se em 0,5.
• Sensibilidade
Mapeamento entre as duas discretizações
• Considere o elemento FE na malha de elementos finitos. A matriz de rigidez para este elemento é dada por:
• Se FE está mapeado dentro do elemento m da malha de densidade, então:
onde
• O conjunto de elementos finitos que fazem parte do elemento de densidade m pode ser definido como:
• A sensibilidade da flexibilidade pode ser obtida com a seguinte expressão:
Resultados• 2D – Viga de Messerschmitt-Bolkow-Blohm (MBB)
F
1.0
3.0
SoluçãoAnalítica
Lewinski T, Zhou M, RozvanyGIN (1994) IntJ MechSci
Mapeamento (Mapping) 2D
deslocamento densidade ambas
T3/U T6/U T3/SE
Q4/U Q8/U Q4/SE
2D - Viga MBB
T3/U
T6/U
T3/SE
cfinal = 176,5
cfinal = 188,7
cfinal = 186,0
2D - Viga MBB
Q4/U
Q8/U
Q4/SE
cfinal = 183,6
cfinal = 195,6
cfinal = 193,8
3D – Viga engastada
B8/U
B20/U
B8/SE
3D – Viga engastada
B8/U
B20/U
B8/SE
cfinal = 365,0
cfinal = 403,7
cfinal = 420,4
Conclusões• A mapeamento das malhas proposto neste trabalho é uma técnica promissora
para a otimização topológica. A malha de elementos finitos é mapeada dentro da malha de densidade. Em outras palavras, a malha de densidade pode ser considerada como um sub-conjunto da malha de deslocamentos (no sentido geométrico).
• Trabalhos futuros:– aplicar o método a malhas não coincidentes; – representar os dois níveis das malhas através de uma estrutura de dados topológica;– fazer uma adaptatividade independente para as duas malhas.