Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 1
Ubung 1: FEM bei Stabwerken
Losung 1.1:
Siehe Mitschrift!
Losung 1.2:
Siehe Mitschrift!
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 2
Ubung 2: Formfunktionen fur Stabelemente
Losung 2.1:
Siehe Mitschrift!
Losung 2.2:
a) Unter Nutzung der Ergebnisse von Aufgabe 1.2 ergeben sich die Elementsteifigkeitsmatrizender drei Stabe zu:
Stab I: α = 0◦, sin α = 0, cos α = 1 ⇒[ I
K]
=EA
4l
4 0 −4 00 0 0 0
−4 0 4 00 0 0 0
Stab II: α = 120◦, sin α =√
32
, cos α = −12
⇒[ II
K]
=EA
4l
1 −√3 −1√
3−√3 3
√3 −3
−1√
3 1 −√3√3 −3 −√3 3
Stab III: α = 60◦, sin α =√
32
, cos α = +12
⇒[III
K]
=EA
4l
1√
3 −1 −√3√3 3 −√3 −3
−1 −√3 1√
3−√3 −3
√3 3
Zum Zusammenbau der Gesamtsteifigkeitsmatrix ist ein Schema hilfreich:
U1x U1y U2x U2y U3x U3y
U1x I, III I, III I I III III
U1y I, III I, III I I III III
U2x I I I, II I, II II II
U2y I I I, II I, II II II
U3x III III II II II, III II, III
U3y III III II II II, III II, III
Das gesamte Gleichungssystem unter Berucksichtigung der Randbedingungen U1x = U1y =U2y = 0 und F2x = F3x = 0, F3y = −F lautet dann:
EA
4l
5√
3 −4 0 −1 −√3√3 3 0 0 −√3 −3
−4 0 5 −√3 −1√
30 0 −√3 3
√3 −3
−1 −√3 −1√
3 2 0−√3 −3
√3 −3 0 6
00
U2x
0U3x
U3y
=
F1x
F1x
0F2y
0−F
(1)
Nach dem Streichen der Zeilen und Spalten mit ULa = 0 (L = 1, . . . , 3; a = x, y) verbleibt das
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 3
losbare Gleichungssystem:
EA
4l
5 −1√
3−1 2 0√
3 0 6
U2x
U3x
U3y
=
00
−F
(2)
Die Losung kann zum Beispiel mit dem GAUß-Verfahren bestimmt werden, indem das LGS aufeine Stufenform gebracht wird. Es ergibt sich:
U2x =√
36
Fl
EA, U3x =
√3
12Fl
EA, U3y = −3
4Fl
EA. (3)
Die Knotenkrafte werden erhalten, indem man die vormals gestrichenen Zeilen mit den nunbekannten Knotenverschiebungen auswertet.
F1x =EA
4l
(−4U2x − U3x −
√3U3y
)= 0 (4)
F1y =EA
4l
(−√
3U3x − 3U3y
)=
12F (5)
F2y =EA
4l
(−√
3U2x +√
3U3x − 3U3y
)=
12F (6)
Zur Kontrolle der Losung kann das Kraftegleichgewicht herangezogen werden, wobei geltenmuss ∑
K
FK + F e = 0 ⇒∑
K
FKx = 0,∑
K
FKy = F , (7)
was hier erfullt ist.
b) Die Berechnung von Stabkraften (Normalkraften) und zugehorigen Normalspannungen gehortzur Nachbereitung der Losung. Aus dem Verschiebungsfeld folgen sofort die Verzerrungen,woraus uber das Materialverhalten (HOOKEsches Gesetz) die Spannungen bestimmt werdenkonnen1.
Nε = (EA)ε∆lεlε
, σε =Nε
Aε= E
∆lεlε
mit ε = I, . . . , III (8)
Zur Bestimmung der Langenanderung der Stabe ist allerdings noch eine Transformation derKnotenverschiebungen in das elementspezifische, lokale Koordinatensystem ξ, η durchzufuhrenmittels: [
UKξ
UKη
]= [T ]
[UKx
UKy
]
Stab I: α = 0◦, ⇒ ∆lI = U2ξ − U1ξ = U2x
Stab II: α = 120◦, ⇒ ∆lII = U3ξ − U2ξ = (U3x cos α + U3y sin α)− (U2x cosα + U2y sin α)
= −√
3/3Fl/EA
Stab III: α = 60◦, ⇒ ∆lIII = U3ξ − U1ξ = (U3x cos α + U3y sin α)− (U1x cosα + U1y sin α)
= −√
3/3Fl/EA
Somit folgen die Normalspannungen zu:
σI =√
36
F
A, σII = −
√3
3F
A= σIII . (9)
1Die Indexvariable ε steht fur das jeweilige Element und sollte nicht mit dem Verzerrungstensor ε verwechselt werden.
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 4
Losung 2.3:
Siehe Mitschrift!
Losung 2.4:
a) Beim 3-Knoten-Stabelement sind die Knotenverschiebungen U1x, U2x und U3x vorhanden. So-mit kann ein quadratischer Verschiebungsansatz mit drei Freiwerten
u(x) = a0 + a1 x + a2 x2
realisiert werden. Dieser ist in der Weise umzuformen, dass die Ansatzfreiwerte aus den Kno-tenverschiebungen berechnet werden konnen. Fur die Verschiebungen in den Knoten gilt
u(x = 0) = a0 = U1x
u(x = 12 l) = a0 + 1
2 l a1 + 14 l2 a2 = U2x
u(x = l) = a0 + l a1 + l2 a2 = U3x
so dass
a0 = U1x , a1 =−3U1x + 4U2x − U3x
l, a2 =
2U1x − 4U2x + 2U3x
l2
folgen.
b) Einsetzen und Umordnen nach den Knotenverschiebungen liefert den Verschiebungsansatz
u(x) = U1x
[1− 3
x
l+ 2
(x
l
)2 ]
︸ ︷︷ ︸G1(x)
+ U2x
[4
x
l− 4
(x
l
)2 ]
︸ ︷︷ ︸G2(x)
+ U3x
[− x
l+ 2
(x
l
)2 ]
︸ ︷︷ ︸G3(x)
mit den FormfunktionenG1(x) = 1− 3 x
l + 2(
xl
)2
G2(x) = 4 xl − 4
(xl
)2
G3(x) = −xl + 2
(xl
)2.
c) Die Formfunktionen haben parabolische Gestalt und weisen die typische Eigenschaft auf, dasssie jeweils in genau einem Knoten den Wert 1 annehmen und an allen anderen 0.
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 5
Ubung 3: TURNER-Dreieckelement
Losung 3.1:
Siehe Mitschrift!
Losung 3.2:
Die vier Knoten haben folgende Koordinaten (xK , yK): 1© (0, 0), 2© (l, 0), 3© (l, l) und 4© (0, l). DieFlachen der beiden Dreieckelemente sind AI = AII = l2/2 und die Dicke betragt jeweils s.Element I enthalt die Knoten 1©, 2©, 3© (globale Knotennummern), die in diesem Sonderfall mitden lokalen Knotennummern ubereinstimmen. Damit ergibt sich fur die Matrix [B]:
[ I
B]
=1
2AI
y2 − y3 0 x3 − x2
0 x3 − x2 y2 − y3
y3 − y1 0 x1 − x3
0 x1 − x3 y1 − y3
y1 − y2 0 x2 − x1
0 x2 − x1 y1 − y2
=1l
−1 0 00 0 −11 0 −10 −1 10 0 10 1 0
Element II enthalt die Knoten 1©, 3©, 4© (globale Knotennummern), die den lokalen Knotennum-mern 1,2,3 zuzuordnen sind. Damit ergibt sich fur die Matrix [B]:
[ II
B]
=1
2AII
y3 − y4 0 x4 − x3
0 x4 − x3 y3 − y4
y4 − y1 0 x1 − x4
0 x1 − x4 y4 − y1
y1 − y3 0 x3 − x1
0 x3 − x1 y1 − y3
=1l
0 0 −10 −1 01 0 00 0 1
−1 0 10 1 −1
Anstatt die Elementsteifigkeitsmatrizen zu bestimmen, daraus die Gesamtsteifigkeitsmatrix aufzu-bauen und dann die
”uberflussigen“ Zeilen und Spalten zu streichen, wird hier gleich die Gesamt-
steifigkeitsmatrix betrachtet:
U1x U1y U2x U2y U3x U3y U4x U4y
U1x I, II I, II I I I, II I, II II II
U1y I, II I, II I I I, II I, II II II
U2x I I I I I I 0 0
U2y I I I I I I 0 0
U3x I, II I, II I I I, II I, II II II
U3y I, II I, II I I I, II I, II II II
U4x II II 0 0 II II II II
U4y II II 0 0 II II II II
Aufgrund der Verschiebungsrandbedingungen U1x = U1y = U2y = U4x = 0 konnen die 1., 2., 4.und 7. Zeile und Spalte gestrichen werden. Deshalb brauchen nur die eingerahmten Eintrage derGesamtsteifigkeitsmatrix berechnet werden2.
2Nutzt man auch noch die Symmetrie von [K] aus, kommt man mit noch weniger Rechenaufwand aus.
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 6
Dazu sind zuerst die relevanten Elemente der Elementsteifigkeitsmatrizen
[ I
K]
=[ I
B][
E][ I
B]T
sAI
[ II
K]
=[ II
B][
E][ II
B]T
sAII
zu bestimmen, was in ubersichtlicher Weise mit dem FALKschen Schema
[E] [B]T
[B] [B][E] [K]
moglich ist. Hierbei ist die Materialsteifigkeits- oder Elastizitatsmatrix [E] = [Eαβ ] fur Scheiben-tragwerke (ESZ!) gleich
[E] =E
1− ν2
1 ν 0ν 1 00 0 1−ν
2
.
Schließlich ergibt sich das FEM-Gleichungssystem [K][U ] = [F ] unter Berucksichtigung derKraftrandbedingungen F2x = F3x = 0, F3y = F4y = F/2 zu:
Es
2(1− ν2)
3−ν2 − 1−ν
2 ν 0− 1−ν
23−ν2 0 ν
ν 0 3−ν2 − 1−ν
20 ν − 1−ν
23−ν2
U2x
U3x
U3y
U4y
=
12
00FF
Die Losung vereinfacht sich wesentlich, wenn aus Symmetriegrunden (sym. Struktur und sym.Belastung!) U3y = U4y =: uy und U2x = U3x =: ux gesetzt wird. Es ergibt sich
uy =F
Es, ux = −νuy .
Die Querkontraktionszahl ist gerade der erhaltenen Losung entsprechend definiert: ν = −ux/uy.Offensichtlich entspricht die vorliegende Problemstellung einem einachsigen Zugversuch in y-Richtung. Analog folgt fur die Verzerrungen, die in beiden Elementen gleich groß sind:
εxx = −νεyy , εxy = 0 .
Alternativ konnen die Verzerrungen mit den bekannten Knotenverschiebungen elementweise uber[εβ ] = [B]T[ULb] berechnet werden. Daraus ergeben sich die Spannungen mittels [σα] = [Eαβ ][εβ ]
σxx
σyy
σxy
=
E
1− ν2
1 ν 0ν 1 00 0 1−ν
2
−ν
10
εyy =
0Eεyy
0
.
Dasselbe Ergebnis hatte mit den Methoden der Festigkeitslehre bestimmt werden konnen. Auf-grund der exakt abgebildeten Geometrie und der Tatsache, dass der Verschiebungsansatz der Drei-eckelemente konstante Verzerrungs- und Spannungszustande exakt wiedergeben kann, stimmt diemit der FEM erhaltene Naherung mit der exakten Losung uberein.
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 7
Ubung 4: Viereckelemente und Isoparametrie
Losung 4.1:
Siehe Mitschrift!
Losung 4.2:
Analog zum FEM-Ansatz u =∑
GK(ξ, η) UK gilt bei Isoparametrie r =∑
GK(ξ, η) rK :
x(ξ, η) =∑
K
GK(ξ, η) xK
y(ξ, η) =∑
K
GK(ξ, η) yK .
Das bedeutet, dass alle Ortsvektoren innerhalb des Elements als Linearkombination aus Formfunk-tionen und Knotenortsvektoren dargestellt werden konnen.
Um nun die obere Kante des 8-Knoten-Vierecks wiederzugeben, sind nur die Knotenorte r3, r7, r4
relevant. Sie liegen alle auf einer Kreisbahn, weswegen sich die Nutzung des Zylinderkoordinaten-systems mit x = R cos ϕ, y = R sin ϕ empfiehlt. Fur die Knotenkoordinaten ergibt sich:
Nr. ϕ x y ξ η
3© 330◦√
3/2R −1/2R +1 +17© 270◦ 0 −R 0 +14© 210◦ −√3/2R −1/2R −1 +1
An der oberen Elementkante ist η immer 1. Somit folgt fur die Koordinatenlinie η = 1:
r(ξ, η = 1) = G3(ξ, 1) r3 + G4(ξ, 1) r4 + G7(ξ, 1) r7
x(ξ, η = 1) = G3(ξ, 1) x3 + G4(ξ, 1) x4 + G7(ξ, 1) x7
y(ξ, η = 1) = G3(ξ, 1) y3 + G4(ξ, 1) y4 + G7(ξ, 1) y7 .
Die benotigten Formfunktionen des 8-Knoten-Vierecks lauten:
G3(ξ, η) =14(−1 + ξη + η2 + ξ2 + ξη2 + ξ2η)
G7(ξ, η) =12(1 + η − ξ2 − ξ2η)
G4(ξ, η) =14(−1− ξη + η2 + ξ2 − ξη2 + ξ2η)
Nach dem Einsetzen der Formfunktionen und Knotenkoordinaten bleibt schließlich fur die Koordi-natenlinie η = 1:
x(ξ, η = 1) =√
3/2Rξ
y(ξ, η = 1) = (ξ2/2− 1)R .
Zur Kontrolle kann uberpruft werden, ob die Werte an den Knotenorten (den”Stutzstellen“) exakt
wiedergegeben werden, z.B. x(ξ = 0, η = 1) = 0. Dazwischen stellen die erhaltenen VerlaufeNaherungen an die wirkliche Kreiskontur dar. Aus der Differenz von wirklichem Radius R undapproximiertem Radius
R =√
x(ξ, 1)2 + x(ξ, 1)2 = R
√1− ξ2
4(1− ξ2)
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 8
ergibt sich der Fehler bei der Annaherung der Kreislinie mit der Kante des 8-Knoten-Vierecks zu
s = R− R = R
(1−
√1− ξ2
4(1− ξ2)
).
Er ist an den Knotenorten erwartungsgemaß null, wovon sich schnell uberzeugt werden kann. DerVerlauf dazwischen wird aus einer Kurvendiskussion leicht ersichtlich. Aus
ds
dξ
!= 0 ⇒ ξ(ξ2 − 1/2) = 0
und der Kontrolle mit der 2. Ableitung folgt ein Minimum bei ξ = 0 und zwei Maxima an denStellen ξ = ±√2/2. Der maximale Fehler bezogen auf R betragt somit:
smax
R=
s(ξ = ±√2/2)R
= 1−√
154
≈ 0, 03175
Der Verlauf des bezogenen Fehlers s/R uber der lokalen Koordinate ξ ist in folgender Abbildungdargestellt.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
-1 -0.5 0 0.5 1
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Finite-Elemente-Methode I - SS 2012 - Losungen 9
Ubung 5: GAUSSpunkt-Integration
Losung 5.1:
Zur weiteren Bearbeitung werden benotigt: die Formfunktionen des 4-Knoten-Viereckelements
G1 =14(1− ξ)(1− η) , G1,ξ = −1
4(1− η) , G1,η = −1
4(1− ξ)
G2 =14(1 + ξ)(1− η) , G2,ξ = +
14(1− η) , G2,η = −1
4(1 + ξ)
G3 =14(1 + ξ)(1 + η) , G3,ξ = +
14(1 + η) , G3,η = +
14(1 + ξ)
G2 =14(1− ξ)(1 + η) , G4,ξ = −1
4(1 + η) , G4,η = +
14(1− ξ)
und deren partielle Ableitungen nach den lokalen Koordinaten3. Analog zum
FEM-Ansatz: u =∑
K
GK(ξ, η) UK
gilt bei Isoparametrie: r =∑
K
GK(ξ, η) rK
x =∑
K
GK(ξ, η) xK
y =∑
K
GK(ξ, η) yK .
Daraus ergeben sich die partiellen Ableitungen der globalen nach den lokalen Koordinaten:
x,ξ =∂x
∂ξ=
∑
K
GK,ξ xK , y,ξ =∂y
∂ξ=
∑
K
GK,ξ yK
x,η =∂x
∂η=
∑
K
GK,η xK , y,η =∂y
∂η=
∑
K
GK,η yK .
Sie werden in der JACOBI-Matrix zusammengefasst:
[J ] =[x,ξ y,ξ
x,η y,η
].
Die Inverse davon enthalt gerade die partiellen Ableitungen der lokalen nach den globalen Koor-dinaten:
[J ] 1 =[ξ,x η,x
ξ,y η,y
].
Die Determinante der JACOBI-Matrix gibt das lokale Verhaltnis von wirklicher Flache dA = dx dyzu projizierter Flache des Standardquadrates dξ dη wieder.
dA = dx dy = det[J ] dξ dη
All dies berucksichtigend kann nun die Losung der Teilaufgaben erfolgen!
3Hierbei wurde die Kurzschreibweise (·),ξ =∂(·)∂ξ
genutzt.
C. Silbermann, H. Wulf, Professur Festkorpermechanik, Technische Universitat Chemnitz
Recommended