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9.1 ESTADO Y REALIMENTACIN DE LA SALIDAPara el estado de retroalimentacin implica el uso del vector de estado para calcular la
accin de control para la dinmica de un sistema especfico
El la figura mostrada vemos un sistema lineal (A, B, C) con constante de realimentacin
del estado de la matriz de ganancia K, utilizando las reglas de la multiplicacin dematrices ya antes vistas comprendemos que la matriz K es m*n de manera para un
sistema de una sola entrada K es una fila vectorial.
Para las ecuaciones del sistema lineal y la ley de control de realimentacin son:
Las dos ecuaciones se pueden combinar para producir la ecuacin de circuito cerrado
Se define como lazo cerrado a la matriz de estado
Y al rescribir del circuito cerrado en el sistema de espacio cerrado la ecuacin seria:
La dinmica del sistema de lazo cerrado depender de los valores y vectores propios
(eigenvalores) de la matriz Acl. As los sistemas dinmicos se eligen con eleccinapropiada de la matriz de ganancia K.
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Para muchos sistemas fsicos es costoso o imposible medir todas las variables de
estado. Las mediciones de salida deben entonces ser utilizadas para obtener el control
de U como muestra la figura
El control de retroalimentacin para la salida retroalimentada es
Sustituyendo el estado de la ecuacin del sistema de circuito cerrado
La matriz de estado correspondiente es:
Intuitivamente no se puede lograr, utilizando la salida de retroalimentacin del estado
realimentado. Porque, menos informacin utilizada en la construccin de la ley de
control. Adems la multiplicacin por C en la matriz, limita la eleccin de lazo cerradodinmico.
Sin embargo la salida de la retroalimentacin es un problema de diseo ms general,
porque el estado de retroalimentacin es un caso especial donde C es la identidad de
la matriz
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9.2 UBICACIN DE POLOSUsando la realimentacin de estado y de salida, los polos o valores propios del sistema
pueden ser asignados sujetos a las limitaciones del sistema. Esto es conocido comoubicacin de polos. Hemos de plantear el problema de la siguiente manera.
Definicin: Ubicacin de polos. Seleccione la matriz de ganancia Ko Kypara asignarel sistema de valores propios a un conjunto arbitrario {i, i = 1,. . ., n}.
El siguiente teorema da las condiciones que garantizan una solucin al problema de
ubicacin de polos con la realimentacin de estado.
Teorema: Retroalimentacin de Estado. Si el par(A, B) es controlable, entonces existe
una matriz de retroalimentacin de ganancia Kque asigna arbitrariamente los polos del
sistema a cualquier conjunto {i, i = 1,. . ., n}. Adems, si el par(A, B) es estabilizable,
entonces los modos controlables pueden ser asignados arbitrariamente.
PROCEDIMIENTO 1: UBICACIN DE POLOS POR IGUALACIN DECOEFICIENTES.
1. Evaluar el polinomio caracterstico deseado con los valores de los valores
propios especificados utilizando la expresin:
2. Evaluar el polinomio caracterstico en lazo cerrado usando la expresin:
3. Igualar los coeficientes de los dos polinomios para obtener las necuaciones que
sern resueltas para las entradas de la matriz K.
Ejemplo:Ubicacin de polos.
Asignar los valores propios (0,3 j0.2) al par
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Solucin
Para los valores propios dados el polinomio caracterstico deseado es:
La matriz del sistema en lazo cerrado es:
El polinomio caracterstico en lazo cerrado es:
Igualando los coeficientes obtenemos las dos ecuaciones:
Esto es
UBICACIN DE POLOS POR TRANSFORMACIN EN FORMA CONTROLABLE
Cualquier sistema controlable con una entrada-una salida (SISO) puede ser
transformado en forma controlable usando la transformacin:
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Donde es la matriz de controlabilidad, el subndice c denota la forma controlabley
los trminos de la tjn, j = 2,. . . , n, estn dados por
La realimentacin de estado para un sistema en forma controlable es
Ahora tenemos el siguiente procedimiento de ubicacin de polos.
Procedimiento 21. Obtener el polinomio caracterstico de la pareja (A, B), utilizando el algoritmo de
Leverrier.
2. Obtener la matriz de transformacin utilizando los coeficientes del polinomio
del paso 1.
3. Obtener los coeficientes deseados del polinomio caracterstico de los valores
propios obtenidos con la ecuacin
4. Calcular la matriz de realimentacin de estado utilizando la ecuacin
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Ejemplo
Disee un controlador por realimentacin para el par:
Para obtener los valores propios.
Solucin
El polinomio caracterstico de la matriz es:
La matriz de transformacin es
El polinomio caracterstico deseado es:
De ah obtenemos el vector de ganancia por realimentacin
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UBICACIN DE POLOS USANDO UNA MATRIZ POLINOMIAL
El vector de ganancia para la ubicacin de polos puede ser expresado en trminos del
polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado. La expresin, conocida como la
frmula de Ackermann es:
Donde es la primera fila de la matriz de Tc-1 y es el polinomio caracterstico
deseado en lazo cerrado. Sabemos que la retroalimentacin de estado puede colocar
arbitrariamente los valores propios del sistema en lazo cerrado para cualquier par
controlable (A, B). Adems, cualquier par controlable puede ser transformado en la
forma controlable (Ac, Bc). Por el teorema de Cayley-Hamilton, la matriz del sistema
satisface su propio polinomio caracterstico (), pero que no corresponde a la
ubicaciones de los polos deseado. Esto es,
Restando y usando la identidad obtenemos:
La matriz en forma controlable posee una propiedad interesante, la cual utilizaremos en
esta prueba. Si la matriz esta elevada a la potencia i, con i = 1, 2,. . . , n-1, es
multiplicado por el primer vector elemental
El resultado es el (i+1) vector elemental, esto es:
Multiplicando por el vector elemental e1, obtenemos:
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Usando la ecuacin:
Obtenemos
Multiplicando por Tc-1 y observando que la primera fila de la inversa es
obtenemos la frmula de Ackermann. Haciendo algunas modificaciones menores al
procedimiento 2, podemos realizar la ubicacin de polos usando la formula de
Ackermann. El siguiente ejemplo se muestra la ubicacin de polos con la frmula de
Ackermann.
Ejemplo
Obtener la solucin del ejemplo anterior usando la formula de Ackermann.
Solucin
El polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado es:
La primera fila de la inversa de la matriz transformada es:
Usando la formula de Ackermann para hallar el vector de ganancia
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ELECCION DE LOS VALORES PROPIOS EN LAZO CERRADO
Los procedimientos 1 y 2 producen la matriz de ganancia de realimentacin una vez
que los valores propios en lazo cerrado se han seleccionado arbitrariamente. Las
ubicaciones de los valores propios deseados son relacionadas directamente a la
respuesta transitoria deseada del sistema.
Si todos los valores propios deseados en lazo cerrado se seleccionan en el origen del
plano complejo, la estrategia de control de punto muerto es implementada, y el
polinomio caracterstico en lazo cerrado es elegido como:
Sustituyendo en la formula de Ackermann la ganancia de la matriz de realimentacin.
La ley de control resultante ser llevar los estados a cero la mayora n de intervalos de
muestras a partir de cualquier condicin inicial. Sin embargo, las limitaciones del control
punto muerto se aplican, es decir, la variable de control puede asumir valores
inaceptablemente altos, y pueden ocurrir oscilaciones indeseables.
Ejemplo
Determine el vector de ganancia k, mediante la para la discretizacion del modelo en
espacio de estados del control de armadura de un motor DC para los siguientes valores
propios seleccionados.
1. 2. 3.
Simular el sistema en cada caso para obtener la respuesta de entrada cero a partir de
la condicin inicial X(0) = [1,1,1], y discutir los resultados.
Solucin
El polinomio caracterstico de la matriz del sistema es
Esto es,
La matriz de control del sistema es
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Obtenemos la matriz transformada
1. El polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado es
Esto es,
Usando la frmula de Ackermann, obtenemos el vector de ganancia
La respuesta discretizada con entrada cero para los tres estados y el control
correspondiente de la variable use muestra en la Figura a continuacin:
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2. El polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado es
Esto es,
El vector de ganancia es
La respuesta discretizada con entrada cero para los tres estados y el control
correspondiente de la variable use muestra en la Figura a continuacin:
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3. El polinomio caracterstico deseado en lazo cerrado es
El vector de ganancia es
La respuesta discretizada con entrada cero para los tres estados y el control
correspondiente de la variable use muestra en la Figura a continuacin:
Podemos observar que cuando seleccionamos polos asociados a modos rpidos
modos, se requieren ganancias altas para la realimentacin de estado y las
variables de estado tienen oscilaciones largas en la respuesta transitoria.
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Especficamente, para el control en el punto muerto (caso 3), los valores de
ganancia son un orden mayor de magnitud que las de los casos 1 y 2, y la
magnitud de las oscilaciones su respuesta transitoria es mucho ms grande.
Adems, para el control el punto muerto el estado cero se alcanza en n=3
intervalos de muestreo como lo dice la teora. Sin embargo, las oscilaciones
transitorias realmente se producen en x2, la velocidad del motor. Esto se muestra
en la Figura a continuacin, donde se grafican la velocidad anloga y la
velocidad muestreada del motor.
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COMANDOS EN MATLAB PARA LA UBICACIN DE POLOS
El comando para la ubicacin de polos es place. El siguiente ejemplo muestra el usodel comando.
ndigits es una medida de precisin para la ubicacin de los polos. Tambin es posiblecalcular la realimentacin del estado matriz de ganancia utilizando comandos bsicos
de MATLAB de la siguiente manera:
1. Generar el polinomio caracterstico de una matriz
2. Obtener los coeficientes del polinomio caracterstico de un conjunto de valores
propios deseado dados como entradas de un vector de polos.
El vectordesired contiene los coeficientes deseados en orden descendente.
3. Generar la matriz polinomial para una matriz A, correspondiente al polinomio
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9.3SERVO PROBLEMASEn las figura de bloques antes mostradas, son los reguladores que dirigen el sistema
estado cero a partir de cualquier condicin inicial, capaz de rechazar perturbaciones, enla prctica es frecuente realizar un seguimiento a la constante de referencia r con cero
error de estado estacionario para este propsito un posible mtodo es utilizar el dos
grados de libertad
Llamado as por que ahora tenemos dos matrices para seleccionar, conseguir la de
realimentacin de la matriz K y conseguir la referencia de la matriz F
La entrada de referencia en el segundo esquema muestra que la entrada se convierte
en v(k)=Fr(k) es la ley de control elegido como
Con r(k) es la entrada de referencia para ser rastreado. Para el correspondientesistema de circuito/cerrado las ecuaciones son
Donde la matriz de estado cerrado es
La trasformada z correspondiente a la salida est dado por
El estado estacionario para localizar el error en una entrada de escaln unitario esta
dado por
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Para cero en el estado estacionario el error se requiere la condicin
Si el sistema es cuadrado (m=I) y Acl es estable (no hay valores propios de unidad) se
resuelve para una ganancia de referencia
Ejemplo 9.5
Disee un estado de espacio para un controlador discretizado, un modulo de velocidad
en espacio de estado para un motor DC. Un sistema de motor discreto con T=0,02
para obtener (1) cero error de estado estacionario debido a una unidad etapa (2) una
relacin de amortiguamiento de 0,7 y (3) un tiempo de asentamiento alrededor de 1s
Solucin
La funcin de trasferencia discretizada de un sistema con conversor digital/anlogo yanlogo/digital es
El correspondiente modelo de espacio de estado, clculo con MATLAB es
Los propios valores deseados del sistema de circuito cerrado son seleccionados como
(0,9 j0.09) esto produce el vector de ganancia de realimentacin
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Y el estado de la matriz de circuito cerrado
El anticipo de ganancia es
La respuesta del sistema a un paso de referencia de entrada R se muestra en la
siguiente figura
El sistema tiene un tiempo de asentamiento de alrededor de 0,84s y el porcentaje de
rebasamiento de alrededor del 4% con un tiempo mximo de 1s todas las
especificaciones de diseo se cumple.
La ley de control (u(k)=-Kx(k)+Fr(k) ) es equivalente a la accin de prealimentacindeterminada por F y dar como resultado cero error en estado estacionario para una
entrada de referencia constante r, porque al propiciar acciones no incluye ninguna
forma de retroalimentacin, este enfoque no es robusto a las incertidumbre del modelo,
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los errores que aparecen en la prctica resultan en cero error de estado estacionario.
Para eliminar estos errores se introduce el control integral como se muestra en la figura
Con un nuevo estado agradado para cada error en un control integrado
Lo que resulta en espacio de estado son las ecuaciones
Donde es l*1. Las ecuaciones de estado se pueden combinar y rescribir en trminos
de un vector de estado como
Esto es
Donde
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Los valores propios del sistema de circuito cerrado del estado de la matriz
pueden ser asignados aleatoriamente mediante el clculo de la ganancia
de la matriz K utilizando cualquier de los procedimientos para regular el problema como
se describe anteriormente.
Ejemplo 9.6
Resolver el problema de diseo anterior utilizando el control integral
Solucin
Las matrices de espacio de estado del sistema son
Adicionando una integral de control se obtiene
Los valores fueron anteriormente seleccionados como (0,9 j0.09) el uso del controlintegral aumenta el orden del sistema por una parte y el valor adicional debe ser
seleccionado. Los valores deseados propios se seleccionan como (0,9 j0.09,0.2) y
el adiciona del valor propio
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A 0,2 es elegido por efecto insignificante sobre la dinmica general, esto produce
retroalimentacin obteniendo vectores
El sistema de circuito cerrado para la matriz es
La respuesta del sistema a una referencia r de una seal esta mostrada en la figura
anterior, la figura muestra que las especificaciones de control estas satisfechas.
El tiempo de estabilidad es de 0,87 muy inferos al valor especifico de1 s y el
porcentaje del sobre impulso es de aproximadamente 4,2% lo que es menos al valor
correspondiente a =0.7 para el par dominante
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9.4 INVARIANZA DE LOS CEROS DEL SISTEMAUna severa limitacin en el esquema de control de realimentacin de estado, es que no
se puede cambiar la ubicacin de los ceros del sistema, lo cual afectasignificativamente la respuesta transitoria. Para demostrar esto, consideremos la
transformada z del sistema:
Si z = zo es un cero del sistema, entonces Y(zo) es cero con V(zo) y X(zo) distinto decero. As, para z = z0, la ecuacin de estado-espacio (9.40) puede rescribirse como:
[]
Rescribiendo la matriz (9,41) en trminos de la matriz de espacio de estado del sistema
en lazo abierto quedara:
[]
[
]
Se observa que con la realimentacin de estado el espacio de
estado cudruple (A, B, C, D) se convierte en
As, los ceros del sistema en lazo cerrado son los mismos que los de la planta y son
invariantes bajo la realimentacin de estado.
Ejemplo
Considere el siguiente sistema en tiempo continuo
Obtener un modelo discreto para el sistema con control digital y un periodo de
muestreo T=0,02, luego disear un controlador de espacio de estado con control
integral y con los valores propios en lazo cerrado
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Solucin
El sistema anlogo con DAC y ADC tiene la siguiente funcin de transferencia
Con cero en 0.9802 en lazo abierto. El modelo correspondiente de espacio de estado
(calculado en MATLAB) es
Los valores propios deseados del sistema en lazo cerrado son seleccionadoscomo y esto produce el vector de ganancia de realimentacin
La matriz del sistema en lazo cerrado del sistema es
La respuesta del sistema a un escaln unitario con una seal de referencia r, semuestra en la figura a continuacin, tiene un gran sobrepaso debido al cero en lazo
cerrado de 0,9802. El control de lazo cerrado no puede cambiar la ubicacin del cero.
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9.5 ESTIMACION DE ESTADOEl la mayora de las aplicaciones es imposible o extremadamente caro. Para
implementar el control de realimentacin del estado, se puede utilizar una estimulacinx(k) en el vector de estado, esto se puede llevar acabo con una estimulacin a partir de
la entrada y mediciones de la produccin de un observador (estimulador de estado)
OBSERVADOR DE PORDEN COMPLETO
Para estimular todos los estados del sistema en teora se podra utilizar un sistema de
ecuaciones del mismo estado de la planta que s observa, en pocas palabras se puede
utilizar el sistema de bucle abierto.
Sin embargo este estimulador de bucle abierto asume el conocimiento perfecto del
sistema y carece de retroalimentacin que es necesaria por que siempre aparecern
errores, la limitacin de este observador se define como obtenemos que
la dinmica del error le resta dinmica observador en el lazo abierto
la dinmica del error se determina pro la matriz de estado del sistema y no se puede
elegir arbitrariamente. Para un sistema inestable el observador ser inestable y no sepuede realizar el seguimiento del estado del sistema. Una alternativa prctica es
retroalimentar la diferencia entre la medida y la salida estimada del sistema
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Esto nos proporciona el siguiente observador
Restando la ecuacin del observador de estado del sistema dinmico se obtiene la
estimacin del error de la dinmica
La dinmica del error se rigen los valores propios de la matriz del observador Ao=A-LC.
Tenemos la transposicin de la matriz para
Teniendo los mismos valores propios como la matriz del observador, se identifica a la
ecuacin de diseo del controlador con el par (A,B) sustituidos por el par (AT, CT) por
lo tanto tenemos el teorema 9.2
TEOREMA 9.2
ESTIMACION DE ESTADO
Si el par (A, C) es observable, entonces existe una ganancia de realimentacin L matriz
que asigna arbitrariamente los polos del observador a cualquierconjunto( i=1,, n)
adems si el par (A, C) es detectable, los modos de los observables todos pueden serasignados arbitrariamente
Prueba: basado en el teorema 8,12 el sistema (A, C) es observable(detectables) y si
solo si (AT, CT) es controlable (estabilizable). Por lo tanto el teorema 9,2 deduce
teorema 9,1
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Basado en el teorema 9,1 la matriz L de ganancia se puede determinar a partir de los
polos deseados del observador, por lo tanto puede seleccionar arbitrariamente los
polos deseados del observador o el polinomio caracterstico asociado
Ejemplo
Determine la ganancia del observador con matriz L por el modelo discreto de estado
de espacio de la armadura controlada, motor de corriente continua con los valores
propios de observacin seleccionados como (0,1 , 0,2 +-j 0,2)
Solucin:
Recuerde que las matriz del sistema son
el
comando de Matlab da la ganancia del observador
La expresin
Representa una prediccin de observador, debido a que la estimacin del vector de
estado (y a cualquier accin de control asociado) en un momento dado de muestreo, no
depende del valor de medicin actual de la salida del sistema
Alternativamente, un observador filtrado calcula el vector de estado basado en la
corriente de salida(suponiendo que el tiempo de calculo es insignificante), utilizando la
expresin
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Claramente la corriente de salida y(k+1) se compara con su estimacin basada en las
variables en el instante del muestreo anterior. La dinmica del error esta representada
ahora por
Es la misma expresin
Con la diferencia que sustituimos la matriz C por la matriz del observador del sistema
(A, CA)
Donde es la matriz de observabilidad del par (A, C), si A tiene valores propios de
cero, el par (A, CA) es detectable por que lo s valores propios de cero estn asociados
con los modos estables , y el diseo del observador puede ser completado mediante la
seleccin de una matriz L que asigna valores adecuados para los restantes
Ejemplo
Determine la ganancia del observador filtrado ocn la matriz L para el sistema descrito
en el ejemplo anterior
Solucin
Usando el comando de Matlab
Se obtiene la ganancia del observador
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OBSERVADOR DE ORDEN REDUCIDO
Porque las estimar las variables n del estado cuando ya tenemos las mediciones del y
son funciones lineales de la misma variable, ser posible estimar n variables y solo lasutilizamos con la medida para estimar el estado entero, esto es lo que precisamente
hace el diseo de un observador de orden reducido, es mas eficiente que un
observador de orden completo, pero no es muy recomendable usar un observador
reducido cuando se trabaja en presencia de ruido, adems el diseo es mas complejo
Las variables que se determinan
Donde M es un rango completo de n-l x n matriz con filas que son linealmente
independientes de los de C y z es el estado parcial desconocido
Las matrices de estado de espacio para las variables de estado son trasformadas
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Por la tanto las ecuaciones de estado para el estado parcial de lo desconocido es
Se define una variable de salida para formar un modelo de espacio con
Esta salida representa la parte de la conocida y parcial del estado (k +1) que se calcula
utilizando el estado parcial desconocido, la dinmica del observador incluyendo el error
en la computacin Yz se supone que el tiempo lineal invariante de la forma
Donde z denota la estimacin parcial del vector de estado z, mover el termino al primer
miembro revela que su uso puede ser evitada mediante la estimacin de al variable
Podemos obtener un observador combinando las dos ecuaciones anteriores
cuando
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El al figura mostrada
Se rige por la matriz Ao. Los valores propios de Ao deben ser seleccionados dentro delcirculo unitario y debe ser suficientemente rpida para seguir el observando el estado
del sistema reduce diseo del observador de solucin para ganancias observada L una
vez se obtiene la matriz L las otra matrices se pueden calcular y el vector X el estado
puede ser obtenido mediante la siguiente ecuacin
Donde la matriz de trasformacin Qo se define
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Recordar que los polos de la matriz de puede ser asignada arbitrariamente
siempre que el par es controlable, desde el concepto de dualidad, esto es
equivalente a la observabilidad de los pares el siguiente teorema da una
condicin necesaria y suficiente para la observabilidad del par
Teorema 9.3 el par es observable si y solo si el sistema (A, C) es observable
Ejemplo
Disee un observador de orden reducido par el estado de espacio discreto para un
modelo de armadura modelada
Motor de corriente continua con valores propios de observacin (0.2 +- 0.2j)
Las matrices del sistemas son
La matriz de salida C esta en al forma requerida no hay necesidad de trasformacin la
matriz de estado es
La transformacin de similitud puede ser seleccionada como una matriz de identidad,
es decir,
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Teniendo At=A Bt=B y Ct=C t5enemso que resolver la ecuacin lineal
Para tener la ganancia del observador
Las matrices observadas son
La estimacin del estado puede ser calculada utilizando
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9.6 REALIMENTACION MEDIANTE OBSERVADOR DE ESTADOSi el vector de estado no est disponible para el control de realimentacin, un
estimador de estado puede ser utilizado para generar la accin de control como semuestra en la figura.
El vector de control correspondiente es
Sustituyendo en la ecuacin de estado obtenemos
Sumando y restando el termino , podemos rescribir la ecuacin anterior entrminos del error estimado como
Si se utiliza un observador de orden completo (predictor), combinando de la ecuacin
anterior con obtenemos
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La matriz del sistema anterior es un bloque triangular, y su polinomio caracterstico es
Por lo tanto, los valores propios del sistema en lazo cerrado se pueden seleccionar por
separado de las del observador. Este importante resultado es conocido como el
teorema de separacin o la incertidumbre del principio de equivalencia.
Anlogamente, si se emplea un observador de orden reducido, el error estimado
puede ser expresado en trminos de los errores en la estimacin de Y y Z como
Si partimos la matriz en una matriz de y una matriz de
para poder hacer la separacin de los dos trminos de error, y volver a escribir la
estimacin del error como
Despreciando el error de medicin , el error estimado se reduce a
Sustituyendo la ecuacin anterior en la ecuacin de lazo cerrado obtenemos
Evaluando y sustituyendo poryz obtenemos
Combinando las dos ecuaciones anteriores
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La matriz del sistema anterior es un bloque triangular, y su polinomio caracterstico es
As, para el observador de orden completo, los valores propios en lazo cerrado del
observador en retroalimentacin de estado de orden reducido puede ser seleccionado
por separado de los observador de orden reducido. El teorema de separacin se aplica
tanto para los observadores de orden reducido como para los observadores de orden
completo. Adems, combinando la ecuaciones de estado de la planta con el estimador
y utilizando la ecuacin de salida, tenemos
Expresamos el estimador de realimentacin de estado como
Donde Toy y Tox son partes de To de orden n x 1 y n x n-1 respectivamente,
sustituyendo obtenemos
Esta ecuacin puede ser utilizada para simular el estimador completo de
realimentacin de estado del sistema.
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ELECCIN DE LOS VALORES PROPIOS DEL OBSERVADOR
La respuesta del sistema en lazo cerrado debe ser determinada por los polos del
controlador que cumple con las especificaciones de rendimiento. Por lo tanto los polos
del observador se deben seleccionar de 3 a 10 veces ms rpido que los polos del
controlador.
La eleccin de los polos del observador tambin se rige por las mismas
consideraciones relacionadas con la robustez del control del sistema por realimentacin
de estado As, la sensibilidad de los valores propios a las perturbaciones en las
matrices del sistema se deben considerar en la seleccin de los polos del observador.
La seleccin de los polos del observador no influye en el rendimiento del sistema de
control general si las condiciones iniciales se estiman perfectamente. Para demostrar
este hecho, consideramos que la ecuacin de estado con la ecuacin de salida:
La respuesta del sistema cero entrada-salida puede ser determinada
iterando
La matriz del observadorL influye en la respuesta transitoria si y slo si .
Este hecho se confirm mediante la determinacin de la funcin de transferencia z, que
supone implcitamente condiciones iniciales cero.
Donde la matriz del observador L no aparece
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Ejemplo
Solucione el ejemplo anterior usando un observador de orden reducido
Solucin
En este caso, tenemos l = 1 y, debido a que el valor de la salida corresponde al primer
elemento del vector de estado no es necesaria para la transformacin de similitud, es
decir, .Obtenemos
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Seleccionamos los valores propios del observador de orden reducido como {0,1 j0.1} y
obtenemos vector de ganancia del observador
Las matrices asociadas son
Particionando , obtenemos
La ecuacin de espacio de estados es
Considerando que la ecuacin de estado-espacio es
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La respuesta del sistema de espacio de estado, con la condicin inicial [1, 1, 1, 1, 1] es
representada en la figura arriba. Se observa que el error estimado xi, i = 4, y 5, decae
a cero mas rpido que el sistema de estados xi, i = 1, 2 y 3, y que el sistematiene un
tiempo total de asentamiento menor que 0,2 s.
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9.7ASIGNACIN DE POLOS USANDO FUNCIONES DE TRANSFERENCIAEl problema de asignacin polo puede ser resuelto usando funciones de transferencia.
Consideremos las ecuaciones de estado del controlador de dos grados de libertad semostrado a continuacin con el vector de estado estimado utilizando un observador de
orden completo.
Para una planta SISO con observador de realimentacin de estado, tenemos
O su equivalente
La correspondiente funcin de transferencia en zde [r, y]para ues
As, el observador de orden completo de realimentacin estado es equivalente a la
funcin de transferencia representada en la figura a continuacin. En la figura, la planta
G (z) = P (z) / Q (z) se supone que estrictamente realizable; esto significa que el grado
de P (z) es menor que el grado de Q (z).
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A partir del diagrama de bloques mostrado en la figura, haciendo algunas
manipulaciones sencillas al diagrama de bloques obtenemos la funcin de
transferencia en lazo cerrado.
La ecuacin polinomial es
La ecuacin caracterstica en lazo cerrado es
El problema de ubicacin del polo, se reduce a encontrar los polinomios D (z) y S (z)
que satisfacen la ecuacin anterior dado P (z), Q (z), y para un determinado polinomio
caracterstico deseado , la ecuacin anterior se llama una ecuacin diofntica, y
se puede solucionar expandiendo sus trminos RHS como
El polinomio caracterstico en lazo cerrado es de grado n + my tiene la forma
Rescribiendo obtenemos
Esta ecuacin es lineal en las 2mincgnitas,di y si, i = 0, 1, 2,. . ., m - 1, y su LHS es
un polinomio conocido con n + m -1 coeficientes. La solucin de la ecuacin diofntica
es nica si n + m - 1 = 2 m, es decir, si m = n - 1. La ecuacin se puede escribir en
forma de matriz
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Se puede ver que la matriz en el LHS es no singular si y slo si el polinomios P(z) y
Q(z) son primos entre s.
Ahora discutiremos la eleccin del polinomio caracterstico deseado. Desde el diseo
de la funcin de transferencia equivalente de para el diseo de espacio de estado, el
principio de separacin implica que puede escribirse como el producto
Donde es el polinomio caracterstico del controlador y es el polinomio
caracterstico del observador, seleccionamos el polinomio N(z) como
De manera que el polinomio del observador se cancele en la funcin de
transferencia de referencia de entrada a la salida del sistema. La constante se
selecciona de modo que la salida de estado estacionario sea igual a la entrada de
referencia constante
La condicin cero error de estado estacionario es
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Ejemplo
Solucione el ejemplo del controlador de armadura del motor DC, utilizando la
aproximacin de la funcin de transferencia.
Solucin
La funcin de transferencia de la planta es
Obtenemos los polinomios
Esto es
La planta es de tercer orden, es decir, n = 3, y la condicin de la solucin de laecuacin diofntica es m = n - 1 = 2. El orden del polinomio caracterstica deseado enlazo cerrado es m + n = 5. Se puede seleccionar los polos del controlador {0.6, 0.4
j0.33} y los polos del observador serian {0.1, 0.2} con los polinomios correspondientes
En otras palabras yUtilizando la ecuacin de la matriz descrita anteriormente se obtiene
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Con el comando de MATLAB linsolve obtenemos la solucin
Y los polinomios
Obtenemos y el polinomio del numerador
La respuesta al escaln del sistema de control de la figura tiene un tiempo de
asentamiento de 0,1 s y un porcentaje de sobrepaso inferior al 7%. La respuesta
cumple todas las especificaciones de diseo.
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CONCLUSIONES
Aprendimos mediante el mtodo vectorial en un sistema cerrado estabilizar el lazo.
Realizamos el diseo de realimentacin atreves de la ubicacin de los polos.
Entendimos el comportamiento de los ceros multivariables bajo la realimentacin de
estado
Aprendimos como sacar los estimadores de estado (observadores) para los modelos
de espacio de estado
BIBLIOGRAFIADigital control engineerling
Analysis and Design
M. San Fadali