Series Numericas
Maria do Carmo Martins
Novembro de 2006
Definicao e generalidades
Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Chama-se serienumerica ou serie de numeros reais ou soma infinita aexpressao que se obtem somando todos os termos de (un).Simbolicamente:
u1 + u2 + u3 + · · ·+ un + . . . =∞∑
n=1
un
=∞∑1
un
=∑
un
Definicao e generalidades
Considerando a serie∑
un, tem-se
u1
u2...
un...
termos da serie
em que un e o termo geral da serie.
Observacao
Por vezes e conveniente considerar series do tipo∑∞
n=0 un, ou maisgeralmente,
∑∞n=p un, onde p e um numero natural. Assim, sao
tambem series as expressoes
∞∑n=2
un = u2 + u3 + · · ·+ un + . . .
∞∑n=8
un = u8 + u9 + · · ·+ un + . . .
Sucessao associada a uma serie
Considere-se a serie numerica∑
un. Define-se
S1 = u1 primeiro termo da serieS2 = u1 + u2 soma dos dois primeiros termos da serieS3 = u1 + u2 + u3 soma dos tres primeiros termos da serie...Sn = u1 + u2 + · · ·+ un soma dos n primeiros termos da serie...
Sucessao associada a uma serie
S1
S2...
Sn...
somas parciais da serie
∑un
(Sn)n∈N ou (Sn) e uma sucessao de numeros reais chamadasucessao das somas parciais da serie
∑un ou sucessao
associada a serie.
Exercıcio:Considere a serie
∑ 1n . Calcule S2, S3, S10 e Sn.
Sucessao associada a uma serie
Considere-se a serie∑
un. Entao
Sn = u1 + u2 + · · ·+ un−1 + un
Sn−1 = u1 + u2 + · · ·+ un−1
Sn − Sn−1 = (u1 + · · ·+ un−1 + un)− (u1 + · · ·+ un−1) = un.
Assim,Sn − Sn−1 = un.
Exemplo: Seja Sn = nn+1 o termo geral geral da sucessao das
somas parciais da serie∑
un. Determine un.
Convergencia da sucessao associada a serie
Considere-se a serie numerica∑
un e seja (Sn) a sua sucessaoassociada. Entao
(Sn) converge ⇔∑
un converge.
Natureza de uma serie
Diz-se que a serie de termo geral un e convergente se existirem R o
limn→∞
Sn = S .
O numero real S diz-se a soma da serie∑
un. Escreve-seentao,
∑un = S .
Diz-se que a serie de termo geral un e divergente se asucessao associada a serie for divergente, isto e, selim Sn = ∞ ou 6 ∃ lim Sn.
Chama-se natureza de uma serie a propriedade de serconvergente ou divergente.
Observacao
Note-se que sendo (Sn) uma sucessao, o calculo do limite de Sn
obedece as propriedades algebricas dos limites das sucessoes,podendo aplicar-se, sempre que seja possıvel, as regras praticas jaestudadas.
Exemplos
Estude a natureza das series:
1
∑ 1
n(n + 1);
2
∑c , com c ∈ R \ {0};
3
∑0;
4
∑(−1)n+15.
Resto de uma serie
Seja∑
un uma serie numerica. Chama-se resto de ordem p daserie
∑un a serie que se obtem suprimindo os p primeiros termos
da serie. Simbolicamente
Rp = up+1 + up+2 + · · · =∞∑
n=1
up+n.
Exemplo:Escreva o resto de ordem 4 da serie
∑ 1n .
Observacao
Suponhamos que∑
un e uma serie numerica convergente cujasoma e S . Entao
S =∑
un = u1 + u2 + · · ·+ un︸ ︷︷ ︸Sn
+ un+1 + un+2 + . . .︸ ︷︷ ︸Rn
ou seja,
S = Sn + Rn
Rn = S − Sn.
Observacao (continuacao)
Tomando limites, tem-se:
lim Rn = lim (S − Sn)
= lim S − lim Sn
= S − S
= 0.
Concluimos entao que uma serie e convergente se o resto de ordemn for um infinitesimo, isto e:∑
un e convergente ⇔ lim Rn = 0
Serie geometrica
Chama-se serie geometrica a toda a serie da forma
∑arn−1 =
∞∑n=0
arn = a + ar + ar2 + ar3 + · · ·+ arn + . . .
Refira-se que, numa serie geometrica cada termo pode obtido apartir do termo anterior multiplicando pela razao r .
Exemplo:Verifique que a serie
∑ 12n e geometrica e indique a razao.
Natureza da serie Geometrica (1)
Estudemos a natureza (convergente ou divergente) da seriegeometrica. Escrevendo a sucessao das somas parciais,multiplicando por r e subtraindo, vem
Sn = a + ar + ar2 + · · ·+ arn−1
rSn = ar + ar2 + ar3 · · ·+ arn−1 + arn
Sn − rSn =(a + ar + · · ·+ arn−1
)−
(ar + · · ·+ arn−1 + arn
)Sn − rSn = a− arn
Sn(1− r) = a− arn
Natureza da serie Geometrica (2)
Consideremos os seguintes casos:1) Se r 6= 1, entao Sn = a−ar
1−r .
Calculemos o limite de Sn:
lim Sn = lima− arn
1− r
= lim
(a
1− r− arn
1− r
)=
a
1− r− lim
arn
1− r
=a
1− r− a
1− rlim rn
Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base.
Natureza da serie Geometrica (3)
Assim, teremos de considerar os casos:
1 |r | < 1;
2 |r | > 1;
3 r = −1.
Analisemos cada caso:
Se |r | < 1, entao lim rn = 0 e assim lim Sn = a1−r .
Sendo (Sn) convergente, entao a serie∑
arn−1 e convergentee a sua soma e S = a
1−r .
Natureza da serie geometrica (4)
Se |r | > 1, entao lim rn = ∞ e assim lim Sn = ∞.Sendo (Sn) divergente, entao a serie
∑arn−1 e divergente.
Se r = −1, entao∑
arn−1 e divergente, pois:
Se n e par, entao Sn = a1−(−1) −
a1−(−1) = 0, pelo que
lim Sn = 0.
Se n e ımpar, entao Sn = a1−(−1) −
(− a
1−(−1)
)= a, pelo que
lim Sn = a.
Assim, Sn = a para n ımpar e Sn = 0 para n par. E sabido queesta sucessao nao tem limite e, portanto, a serie e divergente.
Natureza da serie geometrica (5)
2) Se r = 1, entao Sn = na. Calculando o limite de Sn tem-se:
lim Sn = lim na = ∞
Como (Sn) e divergente, entao∑
arn−1 e divergente.
Conclusao:
A serie geometica∑
arn−1 converge se, e so se, |r | < 1. Nestecaso, a sua soma e
S =a
1− r.
Exemplos
Determine a natureza das seguintes series e, em caso deconvergencia, calcule a respectiva soma:
1
∑ 2
3n;
2
∑ (5
4
)n
.
Serie de Mengoli
Chama-se serie de Mengoli1 a toda a serie cujo termo geral podeser escrito numa das seguintes formas:
un = an − an+1; (1)
un = an − an+2; (2)
un = an − an+p, p ∈ N. (3)
1Pietro Mengoli, matematico italiano que em em 1650 estabeleceu s somade grande numero de series de termos positivos e a divergencia da serieharmonica
Exemplos
Verifique que sao de Mengoli as seguintes series:
1
∑ 1
n(n + 1);
2
∑ 1
n(n + 3).
Serie de Mengoli
Analisemos cada um dos casos da definicao anterior. Consideremoso caso (1). Admitamos que existe uma sucessao (an) tal queun = an − an+1. Tem-se
Sn = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un
= (a1 − a2) + (a2 − a3) + · · ·+ (an−1 − an) + (an − an+1)
= a1 − an+1.
Calculemos o limite de Sn:
lim Sn = lim(a1 − an+1)
= lim a1 − lim an+1
= a1 − lim an+1
Serie de Mengoli
Portanto,
(Sn) converge ⇔ (an) converge∑un converge ⇔ (an) converge
Conclusao: A serie de Mengoli∑un =
∑(an − an+1)
converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e
S = a1 − lim an.
Serie de Mengoli
Consideremos o caso (2). Admitamos que existe uma sucessao(an) tal que un = an − an+2. Tem-se
Sn = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un
= (a1 − a3) + (a2 − a4) + (a3 − a5) + · · ·+ (an−2 − an) +
+(an−1 − an+1) + (an − an+2)
= a1 + a2 − an+1 − an+2.
Calculemos o limite de Sn:
lim Sn = lim(a1 + a2 − an+1 − an+2)
= a1 + a2 − lim an+1 − lim an+2
Serie de Mengoli
Portanto,
(Sn) converge ⇔ (an) converge∑un converge ⇔ (an) converge
Conclusao: A serie de Mengoli∑un =
∑(an − an+2)
converge se, e so se, (an) for convergente. A sua soma e
S = a1 + a2 − 2 lim an.
Serie de Mengoli
Consideremos, finalmente, o caso (3). Admitamos que existe umasucessao (an) tal que un = an − an+p, com p ∈ N. Tem-se
Sn = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un
= (a1 − a1+p) + (a2 − a2+p) + · · ·+ (an−1 − an−1+p) +
+(an − an+p)
= a1 + a2 + · · ·+ ap − an+1 − an+2 − · · · − an+p.
Calculemos o limite de Sn:
lim Sn = lim(a1 + a2 + · · ·+ ap − an+1 − an+2 − an+p)
= a1 + a2 + · · ·+ ap − lim an+1 − lim an+2 − lim an+p
= a1 + a2 + · · ·+ ap − p lim an
Serie de Mengoli
Conclusao: A serie de Mengoli∑un =
∑(an − an+p),
com p ∈ N, converge se, e so se, (an) for convergente. A sua somae
S = a1 + a2 + · · ·+ ap − p lim an.
Exercıcio
Calcule a soma das series das seguintes series
1
∑ 1
n(n + 1);
2
∑ 1
n(n + 3).
Serie Aritmetica
Chama-se serie artmetica a toda a serie em que e constante adiferenca entre um termo e o seu antecedente.Portanto, a serie
∑un e uma serie aritmetica se un+1 − un = r ,
com r constante. Tem-se assim,
Sn = u1 + u2 + · · ·+ un︸ ︷︷ ︸soma de n termos de uma p.a.
=u1 + un
2n
Como lim Sn = ∞, a serie aritmetica e sempre divergente.
Exemplo:Determine a natureza da serie
∑2n.
Serie geometrica-aritmetica
Chama-se serie geometrica-aritmetica a toda a serie da forma∑narn−1 = a + 2ar + 3ar2 + 4ar3 + · · ·+ narn−1 + . . .
Exemplo:Verifique que a serie
∑ n2n e uma serie geometrica-aritmetica.
Natureza da serie geometrica-aritmetica (1)
Estudemos a natureza da serie∑
narn−1, procedendo de modoanalogo ao das series geometricas.
Sn = a + 2ar + 3ar2 + · · ·+ (n − 1)arn−2 + narn−1
rSn = ar + 2ar2 + 3ar3 · · ·+ (n − 1)arn−1 + narn
Sn − rSn = a + ar + ar2 + · · ·+ arn−2 + arn−1︸ ︷︷ ︸soma de n termos de uma p.g.
−narn
Sn(1− r) =a− arn
1− r− narn
Natureza da serie geometrica-aritmetica (2)
Consideremos os seguintes casos:1) Se r 6= 1, entao Sn = a−arn
(1−r)2− narn
1−r .
Calculemos o limite de Sn:
lim Sn = lim
(a− arn
(1− r)2− narn
1− r
)Sendo rn uma exponencial, o limite vai depender da base. Assim,teremos de considerar os casos:
1 |r | < 1;
2 |r | > 1;
3 r = −1.
Analisemos cada caso:
Natureza da serie geometrica-aritmetica (3)
Se |r | < 1, entao
lim Sn = lim
(a− arn
(1− r)2− narn
1− r
)= lim
(a
(1− r)2− arn
(1− r)2− anrn
1− r
)Ora, se |r | < 1, entao:
lim rn = 0lim nrn = lim
n(1r
)n =2 0.
Assim, lim Sn = a(1−r)2
. Sendo (Sn) convergente, entao a serie∑narn−1 e convergente e a sua soma e S = a
(1−r)2.
2Recorde-se que a exponencial de base maior que 1 evolui mais rapidamentedo que qualquer potencia do seu expoente
Natureza da serie geometrica-aritmetica (4)
Se |r | > 1,
Sn =a− arn
(1− r)2− narn
1− r
=a− arn − narn)(1− r)
(1− r)2
=a− [arn − narn(1− r)]
(1− r)2
=a− rn [a + na(1− r)]
(1− r)2
Assim lim Sn = ∞. Sendo (Sn) divergente, entao a serie∑narn−1 e divergente.
Natureza da serie geometrica-aritmetica (5)
Se r = −1, entao∑
narn−1 e divergente, pois:
Se n e par, entao Sn = −na2 , pelo que lim Sn depende do sinal
de a.Se n e ımpar, entao Sn = a+na
2 , pelo que
lim Sn = lima + na
2=
{+∞ se a > 0−∞ se a < 0
Assim, nao existe lim Sn e, portanto, a serie e divergente.
Natureza da serie geometrica-aritmetica (6)
2) Se r = 1, entao Sn = an+an2
2 . Calculando o limite de Sn tem-se:
lim Sn = liman2 + an
2= ∞
Como (Sn) e divergente, entao∑
narn−1 e divergente.
Conclusao: A serie geometrica-aritmetica∑
narn−1 converge se,e so se, |r | < 1. Neste caso, a sua soma e
S =a
(1− r)2.
Teorema 1 - Criterio Geral de Cauchy
Para que uma serie∑
un seja convergente e necessario e suficienteque
∀δ > 0,∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |Sn+p − Sn| < δ,∀p ∈ N
isto e,
∀δ > 0,∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un+1 +un+2 + · · ·+un+p| < δ,∀p ∈ N
Note-se que:Teorema (Criterio de Cauchy para as sucessoes) Seja (un)uma sucessao numerica.
(un) converge ⇔ ∀δ > 0,∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un+p−un| < δ,∀p ∈ N.
Corolario 1 - Condicao necessaria para a convergencia(serie)
Se a serie∑
un e convergente, entao lim un = 0.
Observacao: O corolario anterior diz-nos que∑un converge ⇒ lim un = 0.
No entanto,lim un = 0 6⇒
∑un converge.
Exemplo
Aplicando o criterio geral de convergencia determine a natureza daserie
∑ 1n .
Corolario 2
Se∑
un e uma serie tal que lim un 6= 0, entao a serie∑
un edivergente.
lim un 6= 0 ⇒∑
un e divergente.
Exemplo: Determine a natureza da serie∑ n+1
3n−1 .
Teorema 2
Se c e uma constante nao nula, entao as series∑
un e∑
c un saoda mesma natureza e, no caso de convergencia, se for S a soma de∑
un, entao c S sera a soma de∑
c un.
Exemplo: Estude a natureza das series:
1
∑ 1
3n(n + 1)
2
∑ a
n, a 6= 0
3
∑5e
1n
Teorema 3
Sejam∑
un e∑
vn duas series convergentes, cujas somas saorespectivamente S ′ e S ′′. Entao
1 A serie∑
(un + vn) e convergente e a sua soma e S ′ + S ′′.
2 A serie∑
(un − vn) e convergente e a sua soma e S ′ − S ′′.
Exemplo: Mostre que∑
( 42n−1 − 2
n2+3n) e convergente.
Corolario
Se a serie∑
un e convergente e a serie∑
vn e divergente (ouvice-versa), entao a serie
∑(un + vn) e divergente.
Exemplo: Determine a natureza das series
1
∑(
1
4n− 1
4n)
2
∑(2 + e)
Conclusao
∑un convergente∑vn convergente
}⇒
∑(un + vn) convergente.
∑un convergente∑vn divergente
}⇒
∑(un + vn) divergente.
∑undivergente∑vndivergente
}⇒ nada se pode concluir acerca
da natureza da serie∑
(un + vn).
Teorema 4
Se uma serie,∑
un, e convergente, entao a serie,∑
u′n, que seobtem associando dois a dois os termos consecutivos da serie deforma a construir novos termos e tambem convergente e tem amesma soma.
Corolario:Se
∑u′n e divergente, entao
∑un e divergente.
Teorema 5
A natureza de uma serie nao se altera se modificarmos um numerofinito dos seus termos, isto e,
- Se duas series diferem de um numero finito de termos elastem a mesma natureza.
Nota: As series∑
an e∑
a′n tem a mesma natureza, mas podemnao ter a mesma soma.
Exemplo: Determine a natureza da serie∑un = 1 + 2 + 3 +
1
2+
1
4+
1
8+
1
16+ · · ·
e, em caso de convergencia, calcule a soma.
Series de termos nao negativos
Uma serie∑
un diz-se de termos nao negativos se
un ≥ 0,∀n ∈ N.
Exemplo:
1
∑n e de termos nao negativos.
2
∑n2 e de termos nao negativos.
3
∑(n − 5) nao e de termos nao negativos.
4
∑(n − 1) e de termos nao negativos.
Serie de termos nao positivos
Uma serie∑
un diz-se de termos nao positivos se
un ≤ 0,∀n ∈ N.
Exemplo:
1
∑−n e de termos nao positivos.
2
∑−n2 e de termos nao positivos.
3
∑(n − 5) nao e de termos nao positivos.
4
∑(1− n) e de termos nao positivos.
Observacao
Suponhamos que∑
an e uma serie de termos nao positivos.Entao, por definicao an ≤ 0,∀n ∈ N. Mas,
an ≤ 0,∀n ∈ N ⇔ −an ≥ 0,∀n ∈ N
pelo que, a serie∑
(−an) = −∑
an e uma serie de termos naonegativos. Assim, o estudo de uma serie de termos nao positivosreduz-se ao estudo de uma serie de termos nao negativos, uma vezque as series
∑an e
∑−an tem a mesma natureza.
Teorema 6 - Condicao necessaria e suficiente deconvergencia de uma serie de termos nao negativos
E condicao necessaria e suficiente para que uma serie de termosnao negativos seja convergente que a sucessao (Sn), das somasparciais da serie, seja limitada superiormente.
Exemplo: Prove que∑ 1
n! e convergente, utilizando o teoremaanterior.
Teorema 7 - Criterio de comparacao
Sejam∑
un e∑
vn duas series de termos nao negativos, tais que
un ≤ vn, ∀n ∈ N.
Entao
1 Se∑
vn converge, entao∑
un converge
2 Se∑
un diverge, entao∑
vn diverge
Serie majorante e serie minorante
Chama-se serie majorante de uma serie∑
un a serie∑
vn, talque
un ≤ vn, ∀n ∈ N.
∑vn e a serie majorante da serie
∑un∑
un e a serie minorante da serie∑
vn
O teorema anterior pode ser enunciado do seguinte modo:
1 A convergencia da serie majorante implica a convergencia daserie minorante.
2 A divergencia da serie minorante implica a divergencia da seriemajorante.
Observacao
Como a natureza de uma serie nao depende dos seus primeirostermos (em numero finito), o teorema anterior ainda e valido parao caso em que a condicao un ≤ vn se verifica apenas a partir deuma certa ordem, isto e, se
∃n0 ∈ N : n ≥ n0 ⇒ un ≤ vn.
Exemplo: Determine a natureza da serie∑ 1
5n(n+1) , aplicando ocriterio de comparacao.
Exemplos
1 Utilizando o criterio de comparacao, conclua que a serie∑ 1√n
e divergente.
2 Determine a natureza da serie∑ 1
nn .
Corolarios
Corolario 1: Sejam∑
un uma serie de termos nao negativos e∑vn uma serie de termos positivos. Se existir um c > 0, tal que a
condicaoun
vn≤ c
se verifica a partir de uma certa ordem, entao:
1 Se∑
vn e convergente, entao∑
un converge.
2 Se∑
un e divergente, entao∑
vn diverge.
Corolario 2: Sejam∑
un e∑
vn duas series de termos positivos.Se existirem c > 0 e d > 0 tais que c ≤ un
vn≤ d , a partir de uma
certa ordem, entao as series∑
un e∑
vn sao da mesma natureza.
Corolario 3 - Criterio de comparacao por limites
Sejam∑
un e∑
vn duas series de termos positivos. Entao:
1 Se lim unvn
= ` 6= 0,+∞ (entao) as series∑
un e∑
vn sao damesma natureza.
2 Se lim unvn
= 0, entao a convergencia de∑
vn implica aconvergencia de
∑un ou a divergencia de
∑un implica a
divergencia de∑
vn.
3 Se lim unvn
= +∞, entao a convergencia de∑
un implica aconvergencia de
∑vn ou a divergencia de
∑vn implica a
divergencia de∑
un.
Exemplo
Utilizando o criterio de comparacao por limites, estude a naturezada serie ∑ n + 1
n · 4n.
Corolario 4 - Comparacao de razoes
Sejam∑
un e∑
vn duas series de termos positivos. Se existir umaordem p, a partir da qual un+1
un≤ vn+1
vn, entao:
Se∑
vn converge, entao∑
un converge.
Se∑
un diverge, entao∑
vn diverge.
Exemplo: Estude a natureza das series:
1
∑ 2n + 5
3n − 11
2
∑ log n
n
3
∑ 1 + sen n
2n
4
∑log(1 +
3
n)
Series de Dirichlet
Chama-se Serie de Dirichlet3 a toda a serie da forma∑ 1
nα ,sendo α um numero real.
Exemplo:
1
∑ 1
n(serie harmonica); α = 1.
2
∑ 1
n3;α = 3.
3
∑ 1
n−9;α = −9.
4
∑ 1
n−52
;α = −5
2.
3Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805-1859), matematico Alemao, foiprofessor em Berlin e Gottingen e deu importantes contribuicoes para a Analisee Teoria dos Numeros
Teorema 8
Seja (un) uma sucessao de termos nao negativos e decrescente.Entao as series
∞∑1
un e∞∑
k=0
2k · u2k
sao da mesma natureza.
Corolario
A serie∑ 1
nα converge para α > 1 e diverge para α ≤ 1.
Exemplos
1 Estude a natureza da serie∑ n + 1√
3n3 + 2.
2 Recorrendo ao criterio de comparacao por limites, determine anatureza das seguintes series:
1
∑ n + 43√
n7 + 2
2
∑log(1 +
3
n3)
3
∑ sen 1n√
n3 + 2
Series de Bertrand
Chama-se Serie de Bertrand a toda a serie da forma
∞∑n=2
1
nα(log n)p, com α, β ∈ R.
Observacao: Note-se que:
Se α > 1, a serie de Bertrand converge ∀β ∈ R;
Se α < 1, a serie diverge ∀β ∈ R;
Se α = 1, entao
Se β > 1 a serie converge;Se β ≤ 1 a serie diverge.
Exemplos
1
∞∑2
1
n2 log n; Serie de Bertrand convergente α = 2 > 1.
2
∞∑2
1
n2(log n)3; Serie de Bertrand convergente α = 1 e
β = 3 > 1.
3
∞∑2
1
n log n; Serie de Bertrand divergente α = 1 e β = 1.
Teorema 9 - Criterio da razao
Seja∑
un uma serie de termos positivos.
1 Se existir k > 0 tal que
∃p ∈ N : n ≥ p ⇒ un+1
un≤ k < 1,
entao a serie converge.
2 Se∃p ∈ N : n ≥ p ⇒ un+1
un≥ 1,
entao a serie diverge.
Corolario 1 - Criterio D’Alembert 4
Seja∑
un uma serie de termos positivos. Suponhamos que
limun+1
un= ` (` finito ou infinito)
1 Se ` < 1, entao∑
un e convergente
2 Se ` > 1, entao∑
un e divergente
3 Se ` = 1, nada se pode concluir quanto a natureza da serie∑un.
4Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783), notavel matematico, filosofo eescritor Frances do tempo dos enciclopedistas, foi secretario perpetuo daAcademdia Francesa.
Observacao
Sendo lim un+1
un= 1, nada se pode concluir, no entanto,
se lim un+1
un= 1+ (por valores superiores a 1), entao a serie∑
un e divergente.
Se lim un+1
un= 1−, entao nada se pode concluir quanto a
natureza de∑
un.
Exemplo
Aplicando o Criterio D´Alembert, estude a natureza das series
1
∑ 1
n.
2
∑ 1
n2.
3
∑ n
n + 1.
Corolario 2
Seja∑
un uma serie de termos positivos.
1 Se limun+1
un< 1, entao
∑un converge
2 Se limun+1
un> 1, entao
∑un diverge.
Resumo
Dada a serie∑
un, com un > 0, ∀n ∈ N,
limun+1
un=
` < 1,
∑un converge
` > 1,∑
un diverge` = 1+,
∑un diverge
` = 1−, nada se pode concluir.
6 ∃ limun+1
une se
{limun+1
un< 1,
∑un converge
limun+1
un,
∑un diverge
Nota
O criterio de D’Alembert aplica-se as series que apresentam no seutermo geral:
- produtos
- potencias
- factoriais
Exemplo
Determine a natureza das series:
1
∑ n + 3
(n + 2)!
2
∑ n3
n!
3
∑ n + 2 + 2n
5n
Teorema 10 - Criterio da Raiz
Seja∑
un uma serie de termos nao negativos.
1 Se existir uma ordem a partir da qual n√
un ≤ k < 1 (k > 0),entao a serie
∑un e convergente.
2 Se existir uma ordem a partir da qual n√
un ≥ 1, entao a serie∑un e divergente.
Corolario 1 - Criterio de Cauchy
Seja∑
un uma serie de termos nao negativos. Suponhamos quelim n
√un = `
1 Se ` < 1, entao∑
un e convergente
2 Se ` > 1, entao∑
un e divergente
3 Se ` = 1, nada se pode concluir quanto a natureza da serie.
Observacao
Se lim n√
un = 1+, entao a serie∑
un e divergente.
Se lim n√
un = 1−, entao nada se pode concluir quanto anatureza da serie
∑un.
Corolario 2
Seja∑
un uma serie de termos nao negativos:
1 Se lim n√
un < 1, entao∑
un converge.
2 Se lim n√
un > 1, entao∑
un diverge.
Exemplo
Estude a natureza das series
1
∑(1 +
1
n)n
2
2
∑ |sen n|n
n2
3
∑[n2 log(1 +
1
2n)tg
1
n]n
Resumo
Dada a serie∑
un, com un ≥ 0, ∀n ∈ N
lim n√
un =
` < 1,
∑un converge
` > 1,∑
un diverge` = 1+,
∑un diverge
` = 1−, nada se pode concluir.
6 ∃ lim n√
un e se
{lim n√
un < 1,∑
un convergelim n√
un,∑
un diverge
Nota
O criterio de Cauchy aplica-se nos casos em que todos os factoresdo termo geral da serie estao elevados, pelo menos, ao expoente n,isto e, utiliza-se quando un esta elevado a n, n2, n3, · · · .
Teorema 11
Seja (un) uma sucessao de termos positivos. Entao:
1 limun+1
un≤ lim n
√un
2 lim n√
un ≤ limun+1
un
Corolario
Seja (un) uma sucessao de termos positivos. Se lim un+1
un= A,
entao lim n√
un = A.
Criterio de Raabe5
Seja∑
un uma serie de termos positivos tal quelim[n( un
un+1− 1)] = ` (finito ou nao). Entao:
1 Se ` > 1, entao∑
un converge
2 Se ` < 1, entao∑
un diverge.
5Joseph L. Raabe (1801-1859) foi um dos percursores da somabilidade dasseries pela media das somas parciais, metodo que utilizou para alguns tiposespeciais de series
Observacao
Se lim[n( unun+1
− 1)] = 1+, entao nada se pode concluir quantoa natureza da serie.
Se lim[n( unun+1
− 1)] = 1−, entao a serie∑
un e divergente.
Exemplos
1 Aplicando o criterio de Raabe estude a natureza das series:1√
n + 1−√
n;
2∑ 1·3·5···(2n−1)
2·4·6···2n .
2 Aplicando o criterio de Raabe, determine os valores de a paraos quais a serie∑ a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n − 1)
n!
e convergente.