1
PODE
Laborator
Aplicația model
Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR
Determinarea intensităţii câmpului electric şi a potenţialului
electric în vecinătatea unei sfere conductoare
1. Formularea problemei
Se consideră o sferă din material conductor cu centrul situat în originea sistemului de coordonate,
de rază R0 = 10 [mm] şi aflată la un potenţial V0 = 100 [V]. Se cer să se determine:
1) Valorile potenţialului electric în punctele de coordonate (20, 0, 0), (0, 20, 0), (0, 0, 20),
(-20, 0, 0), (0, -20, 0), (0, 0, -20) (exprimate în [mm]) şi comparaţie cu soluţia analitică
corespunzătoare;
2) Calculul valorilor intensităţii câmpului electric în aceleaşi puncte şi comparaţie cu soluţia
analitică;
3) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric pe axa 0y, între punctele y =10 [mm] şi
y=50 [mm] (Linia 1 din Figura 1) şi comparaţie cu soluţia analitică;
4) Reprezentarea grafică a variaţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 1;
5) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric în lungul liniei de coordonate (x = 0,
z = 20 [mm]), între punctele y= 0 [mm] şi y = 50 [mm] (Linia 2 din Figura 1);
6) Reprezentarea grafică a variaţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 2;
7) Reprezentarea grafică a distribuţiei de potenţial în planele x0y şi y0z;
8) Reprezentarea vectorială a intensităţii câmpului electric în planele x0y şi y0z;
9) Reprezentarea grafică a distribuţiei de potenţial în planul z = 20 [mm];
10) Calculul capacităţii sferei şi comparaţie cu soluţia analitică.
Fig. 1. Explicativă la formularea problemei
2. Soluţia problemei
În vederea implementării aplicaţiei într-un program de modelare numerică a câmpului electromagnetic
bazat pe metoda elementelor finite trebuie parcurşi paşii prezentaţi pe scurt în cadrul Laboratorului 1.
Astfel, în continuare sunt expuşi paşii de implementare corespunzători acestei aplicaţii.
2
Pasul 1. « Alegerea regimului de funcţionare »
Din meniul de implementare a aplicaţiei prin intermediul comenzii executive SolutionType… se setează
tipul problemei care urmează a fi rezolvată. Această aplicaţie aparţine regimului electrostatic, prin urmare se
va selecta Electrostatic.
Fig. 2. Setarea regimului de funcţionare
Pasul 2. « Implementarea geometriei modelului »
În cadrul acestui pas, corespunzător datelor de intrare ale acestei aplicaţii definite în Formularea
problemei, trebuie realizate următoarele:
Setarea scalei metrice a geometriei problemei;
Crearea sferei;
Crearea obiectului numit background (domeniul exterior de calcul al aplicaţiei);
Definirea punctelor de calcul: P1 = (20, 0, 0), P2 = (0, 20, 0), P3 = (0, 0, 20), P4 = (-20, 0, 0),
P5 = (0, -20, 0), P6 = (0, 0, -20);
Definirea liniilor necesare pentru vizualizarea rezultatelor: Linia 1 şi respectiv Linia 2;
Definirea planului z = 20 [mm] solicitat în datele problemei.
I. Setarea scalei metrice a geometriei problemei
Înainte de implementarea efectivă a geometriei modelului se recomandă setarea unităţii metrice de
descriere a geometriei problemei. Pentru aceasta din meniul Modeler se alege comanda Units. Astfel în
fereastra activă se deschide fereastra de setare a unităţii de măsură pentru desenare, prezentată în Figura 3.
Din butonul derulant Select Units se selectează unitatea de măsură dorită, în cazul acestei aplicaţii se alege
mm, apoi Ok.
Fig. 3. Setarea scalei metrice a geometriei problemei
II. Crearea sferei
În majoritatea programelor de modelare numerică a câmpului electromagnetic, bazate pe metoda
elementelor finite, desenarea unei sfere se realizează într-o singură etapă, fie prin accesarea comenzii
3
executive Sphere din cadrul meniului Draw (Figura 4), fie prin accesarea directă a icoanei
corespunzătoare desenării sferei din bara de instrumente.
Fig. 4. Meniul Draw
Pentru realizarea sferei programul solicită mai întâi definirea coordonatelor iniţiale ale acesteia (centrul
sferei), prezentate în Figura 5(a), iar apoi dimensionarea sferei (raza sferei) conform Figurii 5(b). Figura
5(c) expune fereastra care conţine toate datele menţionate mai sus şi care este activă în fereastra principală
pe tot parcursul realizării sferei, iar Figura 5(d) prezintă sfera astfel obţinută.
(a) coordonatele centrului sferei
(b) raza sferei
(c) detalii cu privire la desenarea sferei (d) sfera
Fig.5. Explicativă pentru desenarea sferei
Personalizarea obiectului creat se face prin dublu click pe denumirea implicită a obiectului, în cazul
aplicaţiei Sphere1. În acest moment în fereastra principală a programului se deschide fereastra
corespunzătoare proprietăţilor obiectului respectiv, în care se permite denumirea obiectului, setarea culorii, a
orientării şi a modului de afişare a acestuia (Figura 6(a)). Aceste comenzi pot fi accesate şi prin selectarea
4
obiectul desenat datorită faptului că în momentul selectării unui obiect în partea stângă a ferestrei se
deschide implicit fereastra corespunzătoare proprietăţilor acestuia (Figura 6(b)).
(a) (b)
Fig 6. Setarea proprietăţilor sferei
III. Crearea obiectului numit background (domeniul exterior de calcul al aplicaţiei)
După crearea modelului geometric trebuie definit spaţiul de lucru, mai exact domeniul exterior de calcul
al problemei, numit generic background. Pentru aceasta, din meniul Draw (vezi Figura 4) se alege comanda
Box.
În câmpurile x, y şi z, care apar în partea dreaptă jos a ferestrei, se introduc coordonatele primului punct
necesar pentru desenarea domeniului, Enter (Figura 7(a)). Apar câmpurile corespunzătoare dimensionării
domeniului (Figura 7(b)) se introduc şi aceste valori, Enter şi astfel în fereastra activă apare modelul creat.
(a) coordonatele primului punct necesar pentru desenarea background-ului
(b) dimensiunile background-ului
(c) detalii desenare background (d) background
Fig. 7. Explicativă pentru desenarea background-ului
Se accesează şi pentru acest obiect fereastra corespunzătoare setării proprietăţilor obiectului în vederea
denumirii şi personalizării acestuia. Întrucât modelul geometric se află în interiorul background-ului se
recomandă utilizarea unei culori cât mai transparente în definirea acestuia pentru a putea vizualiza obiectele
din interiorul lui (Figura 8).
Deoarece zona de interes a aplicaţiei o reprezintă zona sferei, background-ul fiind folosit doar pentru
delimitarea domeniului exterior de calcul al aplicaţiei, pentru o mai bună vizualizare, dezvoltare şi urmărire
a aplicaţiei în această fază este de preferat ascunderea background-ului din fereastra activă. În acest scop din
meniul View se alege comanda Active View Visibility, comandă ce poate fi accesată şi direct din icoana
corespunzătoare disponibilă în bara de instrumente.
5
Fig.8. Setarea proprietăţilor background-ului
Apare fereastra de setare a vizibilităţii vederii active: a obiectelor (3D Modeler), a surselor atribuite
(Excitations), a condiţiilor de frontieră impuse (Boundaries), a parametrilor setaţi (Parameters), a mişcării
obiectelor (Motion) şi respectiv a soluţiilor de câmp salvate (FieldsReporter) prezentată în Figura 9. Pentru
ascunderea background-ului trebuie să fie activ butonul 3D Modeler corespunzător geometriei aplicaţiei şi
în fereastra corespunzătoare acestuia se debifează butonul Visibility corespunzător obiectului background
(Bgn).
Fig. 9. Vizibilitatea obiectelor din fereastra activă
IV. Definirea punctelor de calcul P1 = (20, 0, 0), P2 = (0, 20, 0), P3 = (0, 0, 20), P4 = (-20, 0, 0),
P5 = (0, -20, 0), P6 = (0, 0, -20)
Definirea punctelor de calcul, necesare în partea de PostProcesare a rezultatelor pentru vizualizarea
valorilor mărimilor de câmp în punctele respective, se obţine tot prin intermediul meniului Draw (vezi
Figura 4) folosind comanda Point. În continuare se detaliază modul de realizare a primului punct de calcul
P1 = (20, 0, 0), celelalte puncte obţinându-se în mod similar. Astfel prin accesarea comenzii Point în partea
dreaptă jos a ferestrei apar câmpurile de introducere a coordonatelor punctului care se completează conform
Figurii 10(a), apoi Enter.
(a) coordonatele punctului P1 = (20, 0, 0)
(b) detalii desenare P1 = (20, 0, 0) (c) punctele de calcul
Fig. 10. Explicativă pentru desenarea punctelor de calcul
6
De asemenea, pe tot parcursul definirii punctului de calcul în fereastra activă este disponibilă fereastra
corespunzătoare detaliilor de desenare care înregistrează toate datele implementate (Figura 10(b)). Astfel,
definirea punctului de calcul P1 = (20, 0, 0) este finalizată. În mod similar se procedează şi pentru obţinerea
celorlalte puncte de calcul iar în Figura 10(c) pot fi identificate toate punctele de calcul solicitate în
Formularea problemei şi realizate conform precizărilor de mai sus.
V. Definirea liniilor necesare pentru vizualizarea rezultatelor: Linia 1 şi respectiv Linia 2
Definirea liniilor, necesare în partea de PostProcesare a rezultatelor pentru vizualizarea acestora, se
realizează prin intermediul comenzii Line din cadrul meniului Draw (vezi Figura 4). În Figura 11 sunt
expuse coordonatele iniţiale ale Liniei 1, coordonatele finale ale acestei linii, detaliile privind datele
menţionate mai sus, precum şi linia astfel obţinută.
(a) coordonatele punctului de start al definiţiei Liniei 1
(b) coordonatele punctului de sfârşit al Liniei 1
(c) detalii desenare Linia 1 (d) liniile de calcul
Fig. 11. Explicativă pentru desenarea liniilor de calcul
Linia 2 este caracterizată de coordonatele iniţiale x = 0, y = 0 şi z = 20. Această linie este trasată în
lungul axei 0y şi are dimensiunea y = 50 [mm], fiind de asemenea expusă în Figura 11.
VI. Definirea planului z = 20 [mm] solicitat în datele problemei
Obiectul numit plan reprezintă practic o secţiune în domeniul problemei. Pe suprafaţa acestuia pot fi
calculate şi reprezentate grafic distribuţiile mărimilor de câmp. În modelare, planele sunt considerate
întotdeauna obiecte non-modele. Pentru desenarea unui plan se foloseşte comanda Plane din cadrul meniului
Draw. Se solicită selectarea originii, respectiv a punctului normal care caracterizează planul şi astfel planul
este creat aşa cum se arată în Figura 12.
(a) originea planului z = 20 [mm]
(b) normala planului z = 20 [mm]
(c) detalii desenare plan (d) planul z = 20 [mm]
Fig. 12. Explicativă pentru desenarea planului z = 20 [mm]
7
Punctul central al acestuia este localizat în originea specificată şi orientat perpendicular pe punctul
normal definit.
Observaţie: Crearea unui plan este necesară doar atunci când se doreşte vizualizarea rezultatelor într-un
plan personalizat, diferit de planele predefinite existente în mod implicit în cadrul proiectului şi anume
planele xy, yz şi xz.
Pasul 3. « Atribuirea materialelor »
Atribuirea unui material unui obiect se realizează în două etape, şi anume, mai întâi trebuie selectat
obiectul căruia se doreşte a i se atribui un material, în cazul aplicaţiei sfera (Figura 13), iar apoi, din meniul
Modeler se alege comanda Assign Material. Această comandă poate fi accesată şi direct prin click pe icoana
corespunzătoare din bara de instrumente. În acest moment în fereastra activă se deschide fereastra de
definire şi atribuire a materialelor care cuprinde librăria de materiale existente în programul respectiv, aşa
cum se prezintă în Figura13. Pentru obiectul numit Sfera se selectează din această librărie materialul copper
(cupru), apoi se face click pe butonul Ok.
Fig. 13. Definirea şi atribuirea materialelor
În mod similar se procedează în cazul oricărui obiect căruia se doreşte a i se atribui un material. În cazul
acestei aplicaţii pentru background se alege air (aer).
Observaţia 1: Pentru atribuirea materialele se poate folosi oricare din cele patru procedee prezentate în
cadrul Capitolului I nu doar cel prezentat în cadrul acestei aplicaţii.
Observaţia 2: În majoritatea programelor de modelare numerică având la bază metoda elementelor finite
este permisă atât adăugarea unor noi materiale, cât şi ştergerea materialelor existente, respectiv editarea
materialelor existente în baza de date a acestuia. Toate acestea se procesează din Fereastra
corespunzătoare definirii şi setării a materialelor (Figura 13).
Pasul 4. « Atribuirea surselor şi a condiţiilor de frontieră »
Atribuirea surselor şi a condiţiilor de frontieră obiectelor/muchiilor este necesară şi obligatorie în
fiecare proiect realizat în programe de modelare numerică a câmpului electromagnetic având la bază metoda
elementelor finite.
În cadrul acestei aplicaţii sferei i se atribuie o sursă de tip potenţial de 100 [V], iar background-ului o
sursă de tip potenţial de 0 [V].
Pentru a atribui o sursă (de exemplu de tip potenţial) sau o condiţie de frontieră unui obiect:
1. Se selectează obiectul, de exemplu Sfera;
2. Din meniul de implementare al proiectului se alege comanda executivă
ExcitationsAssignVoltage (Figura 14) în cazul atribuirii unei surse, respectiv comanda
Boundaries în cazul atribuirii unei condiţii de frontieră;
8
Fig. 14. Atribuirea unei surse unui obiect
3. Apare fereastra de definire a sursei prezentată în Figura 15 în care se introduce numele sursei şi
valoarea acesteia, apoi Ok.
Fig. 15. Definirea sursei atribuită sferei
Similar se defineşte şi sursa de tip potenţial pentru background, cu observaţia că valoarea acesteia va fi
în acest caz egală cu 0 [V].
Pasul 5. « Setarea parametrilor executivi »
Acest pas este opţional şi se foloseşte doar în cadrul aplicaţiilor în care se doreşte calculul forţei
electromagnetice, cuplului electromagnetic, a capacităţii, a inductivităţii, respectiv a impedanţei. În prezenta
aplicaţie, în Formularea problemei, se solicită calculul capacităţii sferei, prin urmare este necesară
parcurgerea acestui pas. Astfel, pentru a solicita unui program de modelare numerică a câmpului
electromagnetic calculul capacităţii, din meniul de implementare al aplicaţiei se alege comanda
ParametersAssignMatrix (Figura 16(a)). În acest moment în fereastra activă a programului apare
fereastra prezentată în Figura 16, în care se selectează obiectele care vor fi introduse în matricea capacităţii,
în cazul aplicaţiei Sfera.
(a) Comanda Parameters (b) formarea matricei capacităţii
Fig. 16. Setarea parametrilor executivi
9
Pasul 6. « Setări de rezolvare (soluţionare) a aplicaţiei, Solver »
În cadrul acestui pas se solicită stabilirea modului în care programul va rezolva aplicaţia. În general
programele permit stabilirea uneia sau a mai multor tipuri de setări a soluţiei pentru aceeaşi aplicaţie. Astfel,
pentru a adăuga o setare a soluţiei aplicaţiei din meniul de implementare a acesteia se accesează comanda
Analysis SetupAdd Solution Setup (Figura 17(a)) şi astfel în fereastra activă apare fereastra
corespunzătoare setării analizei prezentată în Figura 17(b). Într-o primă fază se recomandă o analiză cu
reţeaua de discretizare iniţială (mesh-ul aplicaţiei), care este generată automat de către program. Acest mesh
este automat îmbunătăţit de program pe parcursul analizei (rulării aplicaţiei numerice), dacă este definită
opţiunea Convergence (Figura 17(c)).
În cazul în care rafinarea adaptivă a reţelei de discretizare nu conduce la rezultate suficient de
performante, este posibilă rafinarea manuală a mesh-ului în anumite zone de interes ale domeniului de
calcul, utilizând comanda Mesh Operations din cadrul meniul de implementare al aplicaţiei.
(a) meniul de setare a analizei (b) setări generale de analiză
(c) setări cu privire la convergenţa analizei
Fig. 17. Setarea soluţiei problemei
Pasul 7. « Rularea aplicaţiei numerice »
Observaţie: Înainte de pornirea efectivă a rulării aplicaţiei se recomandă validarea aplicaţiei care poate
fi solicitată fie din meniul de implementare al problemei prin intermediul comenzii Validation Check..,
fie din bara de instrumente utilizând icoana aferentă acestei comenzi. În urma apelării acestei comenzi în
fereastra activă a programului se deschide o fereastră care indică dacă problema a fost corect
implementată sau s-au înregistrat erori (Figura 18).
Fig. 18. Validarea aplicaţiei numerice
10
Pentru a porni rularea aplicaţiei numerice se apelează comanda executivă Analyze All fie din meniul de
implementare al aplicaţiei (Figura 19(a)), fie prin click pe icoana corespunzătoare acestei comenzi (Figura
19(b)). Apare o fereastră care permite monitorizarea rulării aplicaţiei numerice (Figura 19(c)).
(a) meniu (b) icoana (c) monitorizarea rulării aplicaţiei numerice
Fig. 19. Comanda executivă Analyze All
În momentul în care programul a încheiat analiza numerică a aplicaţiei în partea stângă a ecranului
apare un mesaj prin care se anunţă finalizarea acesteia.
Observaţie: Din meniul de implementare al aplicaţiei din cadrul unui program de modelare numerică a
câmpului electromagnetic prin accesarea butonului Convergence disponibil în fereastra corespunzătoare
opţiunii Solution Data.. din cadrul comenzii executive Results (Figura 20) sau direct prin click pe
butonul corespunzător , se pot vizualiza informaţii cu privire la derularea calculului numeric: numărul
de paşi de calcul realizaţi, numărul de elemente de discretizare folosite, precum şi eroarea de calcul
(Figura 21).
Fig. 20. Comanda Results
Fig. 21. Convergenţa soluţiei numerice
Aceste date pot fi afişate şi sub formă grafică, majoritatea programelor de modelare numerică permiţând
alegerea oricărei combinaţii a câte două informaţii din tabelul prezentat în Figura 21 pentru
reprezentarea grafică 2D, aşa cum se prezintă în Figura 22.
11
Fig. 22. Convergenţa soluţiei numerice sub formă grafică
De asemenea, tot din fereastra Solutions Data, prin accesarea butonului Profile se pot urmări informaţii
cu privire la derularea calculului numeric, mult mai detaliate faţă de cele prezentate în fereastra
Convergence. În această fereastră datele sunt prezentate atât pentru fiecare pas adaptiv în parte
(conţinând informaţii cu privire la: timpul de calcul, numărul de tetraedre adăugat la fiecare pas în parte,
memoria folosită) cât şi la nivelul întregii aplicaţii (oferind informaţii cu privire la timpul total de calcul,
memoria folosită şi numărul total de tetraedre în care a fost discretizată aplicaţia).
Pasul 8. « PostProcesarea rezultatelor »
PostProcesarea rezultatelor se realizează prin intermediul comenzii Fields (Figura 23) dacă este vorba
de mărimi locale şi globale ale câmpului electromagnetic, sau a comenzii Results (vezi Figura 20), dacă este
vorba de mărimi derivate ale câmpului electromagnetic, ambele existente în meniul de implementare al
aplicaţiei.
Fig. 23. Comanda Fields
Observaţie: Pentru o vizualizare mai clară a rezultatelor în cele mai multe situaţii se preferă ascunderea
grid-ului. Astfel, afişarea sau ascunderea grid-ului din fereastra de vizualizare a rezultatelor se poate
obţine fie prin accesarea icoanei corespunzătoare din bara de instrumente fie prin intermediul
comenzii Grid Spacing din cadrul meniului View. De asemenea, densitatea grid-ului poate fi setată tot
din această fereastră prin debifarea butonul Auto şi completarea căsuţelor corespunzătoare coordonatelor
de lucru specificate pentru aplicaţia abordată. Aşa cum se poate observa în Figura 24 programul permite
utilizarea coordonatelor carteziene sau a coordonatelor polare. Grid-ul poate fi setat fie sub formă de
linii fie sub forma unor puncte.
12
Fig. 24. Setarea grid-ului
1) Valorile potenţialului electric în următoarele puncte şi comparaţie cu soluţia analitică
corespunzătoare:
P1: (x, y, z) = (20, 0, 0);
P2: (x, y, z) = (0, 20, 0);
P3: (x, y, z) = (0, 0, 20);
P4: (x, y, z) = (-20, 0, 0);
P5: (x, y, z) = (0, -20, 0);
P6: (x, y, z) = (0, 0, -20)
(exprimate în [mm]).
Observaţie: Aceste puncte au fost definite în cadrul Pasului 2 – Implementarea geometriei modelului.
Pentru a afişa valoarea potenţialului electric în punctul P1 de coordonate (x, y, z)=(20, 0, 0), mai întâi
se selectează punctul iar apoi din meniul de implementare al aplicaţiei se alege comanda FieldVoltage.
Apare fereastra din Figura 25(a) în care se selectează Voltage în căsuţa care solicită alegerea mărimii care se
doreşte a fi calculată şi se personalizează calculul, apoi se face click pe butonul Done. Pentru a obţine un
răspuns mai clar şi o valoare exactă a potenţialului electric în punctul solicitat se face dublu click pe legenda
răspunsului iniţial şi în fereastra care apare (Figura 25(b)) se accesează butonul Plots, se bifează butonul
Value, apoi Apply.
(a) solicitarea calculului potenţialului (b) solicitare valoare exactă
(c) potenţialul electric [V] în punctul P1
Fig. 25. Setarea vizualizării valorii potenţialului electric într-un punct
Observaţii:
Atenţie, după realizarea unei reprezentări grafice aceasta rămâne în fereastra activă. Astfel, pentru
13
a trece la reprezentarea unei alte mărimi, reprezentările grafice create pot fi „ascunse”. Prin
urmare, dacă se doreşte ascunderea (sau afişarea) unui grafic din meniul View se alege comanda
Active View Visibility şi se apelează butonul FieldsReporter iar în fereastra care apare se debifează
butonul Visibility corespunzător reprezentării grafice respective (sau se bifează dacă se doreşte
afişarea acesteia).
Fig. 26. Ascunderea/afişarea unui grafic
Dacă se doreşte modificarea sau ştergerea unui grafic din comanda Fields se alege Modify Plot,
respectiv Delete Plot (vezi Figura 23).
Pentru determinarea valorilor potenţialului electric în celelalte puncte solicitate în Formularea
problemei se procedează în mod similar (Figura 27).
Observaţii:
În momentul închiderii aplicaţiei, dacă reprezentările grafice realizate nu au fost salvate în
prealabil, acestea se pierd. Pentru a salva reprezentările grafice create, în vederea deschiderii şi
vizualizării lor şi după închiderea proiectului şi revenirea în aceasta, din meniul de implementare al
aplicaţiei se alege comanda Fields (vezi Figura 23) şi apoi Save As. Apare fereastra din Figura 28
care conţine toate reprezentările grafice care au fost realizate în cadrul aplicaţiei şi se bifează
căsuţa corespunzătoare reprezentării grafice care se doreşte a fi salvată, de exemplu V_P6 (valoarea
potenţialului în punctul P6), apoi Ok. În fereastra care se deschide în căsuţa File Name se introduce
numele cu care această reprezentare grafică va fi salvată, V_P6, apoi se alege Save. În mod similar
se salvează orice reprezentare grafică care se doreşte a fi păstrată, pentru a putea fi vizualizată şi la
o altă revenire în această aplicaţie.
Fig. 27. Valorile potenţialului electric [V] în punctele cerute prin problemă
Dacă se doreşte deschiderea unei reprezentări grafice salvate în prealabil, se accesează comanda
Fields (Figura 23) apoi Open. Se deschide o fereastră care conţine toate reprezentările grafice care
au fost salvate în cadrul aplicaţiei. Se selectează reprezentarea grafică care trebuie deschisă, apoi
Open. În acest moment reprezentarea grafică apare în fereastra activă.
14
Fig. 28. Salvarea unei reprezentări grafice
Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică
Se cunoaşte faptul că potenţialul electric produs de o sferă încărcată cu sarcina electrică q într-un punct
plasat la distanţa r faţă de centrul acesteia este dat de relaţia:
qV
4 r (1)
astfel, pentru potenţialul V = 100 [V] şi raza sferei r = R0, , rezultă:
0
q 1100
4 R (2)
respectiv:
0
q100 R
4 (3)
dacă se introduce relaţia (3) în relaţia (1) se obţine distribuţia potenţialului electric în vecinătatea sferei
pentru cazul în care se cunoaşte potenţialul acesteia:
0RV 100
r (4)
Rezultă astfel că valoarea potenţialului electric la distanţa de 20 [mm] faţă de sferă este V(20) = 50 [V].
Comparând această valoare, obţinută pe cale analitică, cu valorile numerice prezentate în Figura 27, se
constată o eroare relativă maximă de calcul de 1.4 [%] ceea ce semnifică un rezultat numeric de precizie
bună.
2) Calculul valorilor intensităţii câmpului electric în punctele solicitate în enunţul problemei şi
comparaţie cu soluţia analitică
Pentru a afişa valoarea intensităţii câmpului electric în punctul P1, mai întâi se selectează punctul iar
apoi din meniul de implementare al aplicaţiei se alege comanda Field (vezi Figura 23) E Mag_E.
Fig. 29. Valorile intensităţii câmpului electric [V/m] în punctele definite
15
Apare fereastra din Figura 25(a) în care se selectează Mag_E în căsuţa care solicită alegerea mărimii
care se doreşte a fi calculată şi se personalizează calculul, apoi se face click pe butonul Done, obţinându-se
astfel valoarea intensităţii câmpului electric în punctul menţionat. În mod similar se procedează pentru
determinarea valorilor intensităţii câmpului electric în celelalte puncte solicitate în Formularea problemei.
Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică
Luând în considerare relaţiile (1) – (4) expresia analitică de calcul a intensităţii câmpului electric într-un
punct situat la distanta r faţă de centrul sferei de rază R0 este dată de relaţia:
0
2100
RE r
r (5)
Astfel pentru r = 20 [mm] rezultă valoarea intensităţii câmpului electric în acest punct E(20) = 2.5 103
[V/m]. Comparând această valoare cu valorile numerice prezentate în Figura 29 se constată o eroare relativă
maximă de calcul de 1.2 [%] ceea ce confirmă încă o dată faptul că rezultatul numeric obţinut asigură o
bună acurateţe a soluţiei.
3) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric pe axa 0y între punctele y=10 [mm] şi y = 50
[mm] (Linia 1) şi comparaţie cu soluţia analitică
Observaţii:
Linia 1 a fost definită în cadrul Pasului 2 (vezi Figura 11) însă, deoarece această linie este necesară
doar în cadrul acestui pas de PostProcesare a rezultatelor până în acest moment ea a fost păstrată
ascunsă pentru a nu încărca geometria modelului. Prin urmare, pentru a o afişa în fereastra activă
din meniul View se alege comanda Active View Visibility, comandă ce poate fi accesată şi direct
din butonul corespunzător . Apare astfel fereastra din Figura 30(a) în care se bifează căsuţa
corespunzătoare vizibilităţii Liniei 1.
Pentru a putea vizualiza mai clar linia ţinând cont că aceasta a fost creată pe axa de coordonate 0y,
axele sistemului de coordonate pot fi ascunse. Pentru aceasta se accesează meniul
ViewCoordinate System şi se alege Hide (pentru a readuce sistemul de coordonate în fereastra
activă se parcurg aceeaşi paşi şi se debifează butonul Hide). În acest moment linia creată devine
clar vizibilă (Figura 30(b)).
(a) afişarea liniei (b) Linia 1
Fig. 30. Afişarea Liniei 1
Pentru a reprezenta grafic variaţia potenţialului electric în lungul acestei linii, din meniul Maxwell3D
se alege comanda ResultsCreate Fields ReportRectangular Plot (Figura 31(a)).
(a) comanda Results (b) setarea graficului
Fig. 31. Definirea reprezentării grafice a distribuţiei potenţialului în lungul Liniei 1
16
Se deschide fereastra corespunzătoare definirii unui nou grafic în care din butonul derulant Geometry se
alege Linia 1, iar în căsuţa corespunzătoare mărimilor de calcul se alege Voltage, apoi New Report aşa cum
se poate observa în Figura 31(b).
Fig. 32. Distribuţia potenţialului electric [V] în lungul Liniei 1 [mm] – soluţia numerică
Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică
Utilizând pachete software care permit reprezentarea grafică a unor mărimi pe cale analitică, în cadrul
aplicaţiei de faţă, pe baza expresiei (4), între limitele impuse prin datele problemei, se obţine reprezentarea
grafică a distribuţiei potenţialului electric în lungul Liniei 1 prezentată în Figura 33.
Astfel, urmărind reprezentarea grafică a distribuţiei potenţialului electric obţinută prin analiză numerică
şi prezentată în Figura 32 cu reprezentarea grafică obţinută pe cale analitică şi prezentată în Figura 33 se
constată similitudinea formei de variaţie a potenţialului electric obţinut prin cele două moduri de abordare a
problemei.
Fig. 33. Distribuţia potenţialului electric [V] în lungul Liniei 1 [mm] – soluţia analitică
4) Reprezentarea grafică a distribuţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 1
Pentru a reprezenta distribuţia intensităţii câmpului electric pe Linia 1, se alege comanda
ResultsCreate Fields ReportRectangular Plot. Apare fereastra corespunzătoare definirii unui nou
grafic în care din butonul derulant Geometry se alege tot Linia 1, însă în căsuţa corespunzătoare mărimilor
de calcul se alege de data aceasta Mag_E, apoi New Report.
Fig. 34. Distribuţia intensităţii câmpului electric [V/m] în lungul Liniei 1 [mm]
17
5) Reprezentarea grafică a variaţiei potenţialului electric în lungul Liniei 2
Fig. 35. Distribuţia potenţialului electric [V] în lungul Liniei 2 [mm]
6) Reprezentarea grafică a distribuţiei intensităţii câmpului electric în lungul Liniei 2
Fig. 36. Distribuţia intensităţii câmpului electric [V/m] în lungul Liniei 2 [mm]
7) Reprezentarea grafică a distribuţiei potenţialului electric în planele x0y şi y0z
Pentru a reprezenta grafic distribuţia potenţialului electric în planul x0y mai întâi trebuie selectat acest
plan (care în general este predefinit în cadrul programelor de acest gen) aşa cum se arată în Figura 37(a),
apoi se apelează comanda Field Voltage, iar în fereastra care se deschide se personalizează graficul, apoi
se face click pe butonul Done, obţinându-se astfel rezultatul prezentat în Figura 37(b).
(a) selectarea planului x0y
18
(b) distribuţia potenţialului electric
Fig. 37. Distribuţia potenţialului electric [V] în planul x0y – cod de culori
Pentru o vizualizare mult mai bună a rezultatelor de cele mai multe ori se preferă reprezentarea
mărimilor sub formă de linii de contur (linii echipotenţiale). Astfel, orice modificare a reprezentării grafice
se poate realiza prin dublu click pe legenda reprezentării respective obţinând astfel fereastra care conţine
toate caracteristicile reprezentării (Figura 38(a)). În această fereastră se apelează butonul Plots iar din
butonul derulant Plot se selectează numele reprezentării, Voltage x0y şi în final din butonul derulant
IsoValType se alege Line, apoi Apply obţinând astfel distribuţia potenţialul în planul x0y sub forma liniilor
de contur prezentată în Figura 38 (b).
(a) caracteristicile reprezentării grafice (b) distribuţia potenţialului electric
Fig. 38. Distribuţia potenţialului electric [V] în planul x0y – linii de contur (linii echipotenţiale)
În mod similar se determină distribuţia potenţialului electric în planul y0z.
(a) selectarea planului y0z (b) distribuţia potenţialului electric
Fig. 39. Distribuţia potenţialului electric [V] în planul y0z
19
8) Reprezentarea vectorială a intensităţii câmpului electric în planul x0y şi în planul y0z
Pentru a reprezenta prin vectori intensitatea câmpului electric în planul x0y, respectiv în planul y0z mai
întâi trebuie selectat planul respectiv apoi se accesează comanda Field E E_Vector. Se deschide
fereastra de definire a reprezentării grafice, se completează căsuţele, apoi se face click pe butonul Done
obţinându-se astfel în fereastra activă reprezentarea vectorială a intensităţii câmpului electric [V/m] în planul
solicitat.
Observaţie: Orice modificare a proprietăţilor graficului (densitatea vectorilor, culoarea, forma şi
mărimea acestora, numărul de diviziuni, ş.a.) se face prin dublu click pe legenda acestuia şi completarea
câmpurilor din fereastra care se deschide.
Fig. 40. Reprezentarea vectorială a lui E [V/m] în planul x0y Fig. 41. Reprezentarea vectorială a luiE [V/m] în planul y0z
9) Reprezentarea grafică a distribuţiei de potenţial în planul z = 20 [mm]
În cadrul acestei aplicaţii planul z = 20 [mm] a fost definit în cadrul Pasului 2 – Implementarea
geometriei modelului. Prin urmare, pentru a determina distribuţia potenţialul electric în acest plan, se
selectează planul apoi se alege comanda Field Voltage, iar în fereastra care apare se personalizează
graficul, apoi se face click pe butonul Done. În acest moment, în fereastra activă se poate vizualiza
distribuţia potenţialului electric în planul z = 20 [mm] (Figura 42).
Fig. 42. Distribuţia potenţialului [V] în suprafaţa planului z = 20 [mm]
10) Calculul capacităţii sferei şi comparaţie cu soluţia analitică
Pentru a vizualiza rezultatul calculului capacităţii sferei, care a fost în prealabil solicitat în cadrul
Pasului 5–Setarea parametrilor executivi, se alege comanda Results Solution Data… şi în fereastra care
se deschide se apelează butonul Matrix. În acest moment în fereastra activă se prezintă valoarea capacităţii.
Fig. 43. Valoarea calculată a capacităţii [F]
20
Compararea soluţiei numerice cu soluţia analitică
Luând în considerare formula de calcul analitic a capacităţii sferei la infinit:
C 4 r (6)
pentru r = 10 [mm], raza sferei, rezultă valoarea C = 1.1 10-12 [F]. Comparând această valoare cu valoarea
numerică prezentată în Figura 43 se constată o eroare relativă maximă de calcul de 0.37 [%] ceea ce
confirmă din nou că rezultatul numeric obţinut asigură o bună acurateţe a soluţiei.
Observaţii generale:
Toate datele de intrare prin intermediul cărora se defineşte aplicaţia sunt înregistrate şi stocate într-
un fişier numit Lista proiectului. Vizualizarea acestei liste se poate obţine atât prin accesarea
comenzii List… din cadrul meniului de implementare al aplicaţiei cât şi direct prin intermediul
icoanei corespunzătoare din bara de instrumente . Astfel, în cadrul acestei liste sunt stocate
informaţii cu privire la:
elementele geometrice şi caracteristicile de material corespunzătoare fiecărui element al
modelului aşa cum se observă în Figura 44 (a);
sursele atribuite în cadrul aplicaţiei (Figura 44 (b));
condiţiile de frontieră impuse;
parametrii solicitaţi a fi calculaţi (Figura 44 (c));
mesh-ul (discretizarea) modelului implementat (Figura 44 (d));
setarea modului de analiză a aplicaţiei (Figura 44 (e)).
(a) elementele geometrice şi caracteristicile de material
(b) sursele atribuite
(c) parametrii
(d) mesh-ul aplicaţiei
21
(e) setarea modului de analiză a aplicaţiei
Fig. 44. Lista proiectului
De asemenea, toate datele de intrare şi în plus şi cele de ieşire, din partea de PostProcesare a
rezultatelor, sunt disponibile în fereastra corespunzătoare Vizibilităţii vederii active, fereastră din
care se permite afişarea, respectiv ascunderea acestora din fereastra activă a programului. Pentru a
apela această fereastră din meniul View se alege comanda Active View Visibility, comandă ce poate
fi accesată şi direct din icoana corespunzătoare , aşa cum s-a mai precizat pe parcursul aplicaţiei.
Prin urmare, din cadrul acestei ferestre se permite afişarea/ascunderea următoarele elemente sau
proprietăţi ale proiectului:
afişarea/ascunderea elementelor geometrice, (Figura 45 (a)), (3D Modeler);
afişarea/ascunderea surselor atribuite, (Figura 45 (b)), (Excitations);
afişarea/ascunderea condiţiilor de frontieră impuse (Boundaries);
afişarea/ascunderea parametrilor setaţi (Figura 45(c)), (Parameters);
afişarea/ascunderea mişcării obiectelor (Motion);
afişarea/ascunderea soluţiilor de câmp, (Figura 45 (d)), (FieldsReporter).
(a) elementele geometrice (b) sursele atribuite
(c) parametrii (d) rezultate
Fig. 45. Afişarea/ascunderea elementelor
De asemenea, toate rezultatele care au fost determinate în cadrul aplicaţiei sunt înregistrate în
partea stângă a ecranului şi pot fi afişate prin simplu click pe numele acestora.
22
Observaţie finală: Pentru realizarea acestei soluţii numerice, folosind un program de modelare numerică
a câmpului electromagnetic bazat pe metoda elementelor finite, a fost necesar un număr de 24831
tetraedre (elemente de discretizare), 10 paşi de calcul şi un timp de rulare de 56 minute obţinându-se în
final o eroare globală de calcul de 0.096904 [%].