Transcript
Page 1: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Analiz¼a matematic¼a - curs 3Serii numerice

Facultatea de Mecanic¼A

Universitatea Tehnic¼a �Gh. Asachi�, Iasi

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 2: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Progresii aritmetice. Progresii geometrice

(xn) este o progresie aritmetic¼a de ratie r dac¼a xn+1 = xn + r ; 8n;(xn) este o progresie geometric¼a de ratie q dac¼a xn+1 = q � xn , 8n.

Acestor siruri li s-a atasat suma primilor n termeni, Sn . Se arat¼a usor c¼a

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn =�x1 +

(n�1)r2

�� n;

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn = x1 � qn�1q�1 :

De�nitia 1.1

Fiind dat un sir de numere reale (xn), cuplul format din sirurile (xn) si (Sn), unde

Sn = x1 + x2 + :::+ xn ; pentru orice n 2 N;

se numeste serie de termen general (xn). Sirul (Sn) se numeste sirul sumelor partialeasociat sirului (xn).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 3: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Progresii aritmetice. Progresii geometrice

(xn) este o progresie aritmetic¼a de ratie r dac¼a xn+1 = xn + r ; 8n;(xn) este o progresie geometric¼a de ratie q dac¼a xn+1 = q � xn , 8n.

Acestor siruri li s-a atasat suma primilor n termeni, Sn . Se arat¼a usor c¼a

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn =�x1 +

(n�1)r2

�� n;

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn = x1 � qn�1q�1 :

De�nitia 1.1

Fiind dat un sir de numere reale (xn), cuplul format din sirurile (xn) si (Sn), unde

Sn = x1 + x2 + :::+ xn ; pentru orice n 2 N;

se numeste serie de termen general (xn). Sirul (Sn) se numeste sirul sumelor partialeasociat sirului (xn).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 4: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Serii convergente. Serii divergente

Vom nota o serie prin

Xn2N

xn sau1Xn=0

xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

an

De�nitia 1.2

1. Spunem c¼a seria1Pn=0xn este convergent¼a dac¼a sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

(an) este convergent în R. În acest caz,

limn!1

Sn = S

se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

În acest caz, not¼am1Pn=1xn (C ).

2. Spunem c¼a seria1Pn=0xn este divergent¼a dac¼a sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

divergent. În acest caz, not¼am1Pn=1xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 5: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Serii convergente. Serii divergente

Vom nota o serie prin

Xn2N

xn sau1Xn=0

xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

an

De�nitia 1.2

1. Spunem c¼a seria1Pn=0xn este convergent¼a dac¼a sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

(an) este convergent în R. În acest caz,

limn!1

Sn = S

se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

În acest caz, not¼am1Pn=1xn (C ).

2. Spunem c¼a seria1Pn=0xn este divergent¼a dac¼a sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

divergent. În acest caz, not¼am1Pn=1xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 6: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Serii convergente. Serii divergente

Vom nota o serie prin

Xn2N

xn sau1Xn=0

xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

an

De�nitia 1.2

1. Spunem c¼a seria1Pn=0xn este convergent¼a dac¼a sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

(an) este convergent în R. În acest caz,

limn!1

Sn = S

se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

În acest caz, not¼am1Pn=1xn (C ).

2. Spunem c¼a seria1Pn=0xn este divergent¼a dac¼a sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

divergent. În acest caz, not¼am1Pn=1xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 7: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Observatii. Seria geometric¼a

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom întelege �e seria cu termenul general xn , �e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va � indexat¼a de la 0, ci de la un num¼ar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim s¼a not¼am tot prin Sn suma termenilor pân¼a la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul c¼a o serie este convergent¼a sau divergent¼a îl vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poart¼a numele de serie geometric¼a (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometric¼a în care primul termen are valoare a iar ratia este egal¼a cu q).Aceast¼a serie este convergent¼a pentru orice q astfel încât jqj < 1: Suma seriei este, înacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 � q:

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 8: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Observatii. Seria geometric¼a

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom întelege �e seria cu termenul general xn , �e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va � indexat¼a de la 0, ci de la un num¼ar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim s¼a not¼am tot prin Sn suma termenilor pân¼a la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .

3. Faptul c¼a o serie este convergent¼a sau divergent¼a îl vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poart¼a numele de serie geometric¼a (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometric¼a în care primul termen are valoare a iar ratia este egal¼a cu q).Aceast¼a serie este convergent¼a pentru orice q astfel încât jqj < 1: Suma seriei este, înacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 � q:

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 9: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Observatii. Seria geometric¼a

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom întelege �e seria cu termenul general xn , �e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va � indexat¼a de la 0, ci de la un num¼ar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim s¼a not¼am tot prin Sn suma termenilor pân¼a la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul c¼a o serie este convergent¼a sau divergent¼a îl vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poart¼a numele de serie geometric¼a (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometric¼a în care primul termen are valoare a iar ratia este egal¼a cu q).Aceast¼a serie este convergent¼a pentru orice q astfel încât jqj < 1: Suma seriei este, înacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 � q:

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 10: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Observatii. Seria geometric¼a

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom întelege �e seria cu termenul general xn , �e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va � indexat¼a de la 0, ci de la un num¼ar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim s¼a not¼am tot prin Sn suma termenilor pân¼a la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul c¼a o serie este convergent¼a sau divergent¼a îl vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poart¼a numele de serie geometric¼a (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometric¼a în care primul termen are valoare a iar ratia este egal¼a cu q).Aceast¼a serie este convergent¼a pentru orice q astfel încât jqj < 1: Suma seriei este, înacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 � q:

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 11: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Serii telescopice

Exemplul 1.5

Seria1Pn=1

1

n(n + 1)este convergent¼a. Aceasta pentru c¼a sirul sumelor partiale este:

Sn = 1 �1

n + 1;

iar de aici vedem c¼a limn!1

Sn = 1, adic¼a sirul sumelor partiale este convergent.

Exemplul 1.6

Ca o generalizare pentru exemplul anterior, dac¼a termenul general al unei serii1Pn=0xn

poate � scris sub formaxn = �n � �n+1; 8n 2 N

spunem c¼a seria1Pn=0xn este o serie telescopic¼a. Sn = �1 � �n si deci seria este

convergent¼a dac¼a si numai dac¼a (�n) este un sir convergent, caz în care

1Xn=0

xn = �1 � limn!1

�n .

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 12: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Serii telescopice

Exemplul 1.5

Seria1Pn=1

1

n(n + 1)este convergent¼a. Aceasta pentru c¼a sirul sumelor partiale este:

Sn = 1 �1

n + 1;

iar de aici vedem c¼a limn!1

Sn = 1, adic¼a sirul sumelor partiale este convergent.

Exemplul 1.6

Ca o generalizare pentru exemplul anterior, dac¼a termenul general al unei serii1Pn=0xn

poate � scris sub formaxn = �n � �n+1; 8n 2 N

spunem c¼a seria1Pn=0xn este o serie telescopic¼a. Sn = �1 � �n si deci seria este

convergent¼a dac¼a si numai dac¼a (�n) este un sir convergent, caz în care

1Xn=0

xn = �1 � limn!1

�n .

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 13: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Seria armonic¼a

Exemplul 1.7

Seria1Pn=0

(�1)n este divergent¼a. Sirul sumelor partiale este dat de

S2n = 0; 8n 2 N iar S2n+1 = 1; 8n 2 N:

Exemplul 1.8

Seria1Pn=1

1

n; numit¼a seria armonic¼a deoarece �ecare termen este media armonic¼a a

termenilor învecinati, este divergent¼a. Sirul sumelor partiale este dat de:

Sn = 1 +1

2+ :::+

1

n

si am vazut în cursul precedent c¼a acesta este un sir divergent (are limita +1).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 14: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Seria armonic¼a

Exemplul 1.7

Seria1Pn=0

(�1)n este divergent¼a. Sirul sumelor partiale este dat de

S2n = 0; 8n 2 N iar S2n+1 = 1; 8n 2 N:

Exemplul 1.8

Seria1Pn=1

1

n; numit¼a seria armonic¼a deoarece �ecare termen este media armonic¼a a

termenilor învecinati, este divergent¼a. Sirul sumelor partiale este dat de:

Sn = 1 +1

2+ :::+

1

n

si am vazut în cursul precedent c¼a acesta este un sir divergent (are limita +1).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 15: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Propriet¼ati generale

Teorema 1.9

Dac¼a unei serii i se adaug¼a sau i se suprim¼a un num¼ar �nit de termeni, atunci naturaseriei nu se schimb¼a.

Teorema 1.10 (conditia necesar¼a de convergent¼a)

Dac¼a1Pn=0xn este o serie convergent¼a, atunci lim

n!1xn = 0:

Corolarul 1.11

Dac¼a termenul general al unei serii nu converge la 0, atunci seria este divergent¼a.

Observatia 1.12

1.1Pn=1

1

neste divergent¼a, desi

1

n! 0.

2.1Pn=0

(�1)n este divergent¼a, deoarece termenul general nu are limit¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 16: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Propriet¼ati generale

Teorema 1.9

Dac¼a unei serii i se adaug¼a sau i se suprim¼a un num¼ar �nit de termeni, atunci naturaseriei nu se schimb¼a.

Teorema 1.10 (conditia necesar¼a de convergent¼a)

Dac¼a1Pn=0xn este o serie convergent¼a, atunci lim

n!1xn = 0:

Corolarul 1.11

Dac¼a termenul general al unei serii nu converge la 0, atunci seria este divergent¼a.

Observatia 1.12

1.1Pn=1

1

neste divergent¼a, desi

1

n! 0.

2.1Pn=0

(�1)n este divergent¼a, deoarece termenul general nu are limit¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 17: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Propriet¼ati generale

Teorema 1.9

Dac¼a unei serii i se adaug¼a sau i se suprim¼a un num¼ar �nit de termeni, atunci naturaseriei nu se schimb¼a.

Teorema 1.10 (conditia necesar¼a de convergent¼a)

Dac¼a1Pn=0xn este o serie convergent¼a, atunci lim

n!1xn = 0:

Corolarul 1.11

Dac¼a termenul general al unei serii nu converge la 0, atunci seria este divergent¼a.

Observatia 1.12

1.1Pn=1

1

neste divergent¼a, desi

1

n! 0.

2.1Pn=0

(�1)n este divergent¼a, deoarece termenul general nu are limit¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 18: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Propriet¼ati generale

Teorema 1.9

Dac¼a unei serii i se adaug¼a sau i se suprim¼a un num¼ar �nit de termeni, atunci naturaseriei nu se schimb¼a.

Teorema 1.10 (conditia necesar¼a de convergent¼a)

Dac¼a1Pn=0xn este o serie convergent¼a, atunci lim

n!1xn = 0:

Corolarul 1.11

Dac¼a termenul general al unei serii nu converge la 0, atunci seria este divergent¼a.

Observatia 1.12

1.1Pn=1

1

neste divergent¼a, desi

1

n! 0.

2.1Pn=0

(�1)n este divergent¼a, deoarece termenul general nu are limit¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 19: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Propriet¼ati generale

Teorema 1.9

Dac¼a unei serii i se adaug¼a sau i se suprim¼a un num¼ar �nit de termeni, atunci naturaseriei nu se schimb¼a.

Teorema 1.10 (conditia necesar¼a de convergent¼a)

Dac¼a1Pn=0xn este o serie convergent¼a, atunci lim

n!1xn = 0:

Corolarul 1.11

Dac¼a termenul general al unei serii nu converge la 0, atunci seria este divergent¼a.

Observatia 1.12

1.1Pn=1

1

neste divergent¼a, desi

1

n! 0.

2.1Pn=0

(�1)n este divergent¼a, deoarece termenul general nu are limit¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 20: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Operatii cu serii. Criteriul Cauchy

Teorema 1.13 (operatii cu serii)

Consider¼am seriile1Pn=0xn si

1Pn=0yn si num¼arul real nenul �.

1. Dac¼a1Pn=0xn si

1Pn=0yn sunt convergente, atunci

1Pn=0

(xn + yn) este convergent¼a si1Xn=0

(xn + yn) =1Xn=0

xn +1Xn=0

yn :

2. Seriile1Pn=0xn si

1Pn=0

(�xn) au aceeasi natur¼a.

Observatia 1.14

1Pn=0

(�1)n si1Pn=0

(�1)n�1 .

Teorema 1.15 (criteriul Cauchy)

Seria1Pn=0xn este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a n" 2 N

astfel încât pentru orice n � n" si orice p 2 N�; s¼a avemjxn+1 + xn+2 + :::+ xn+p j < ".

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 21: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Operatii cu serii. Criteriul Cauchy

Teorema 1.13 (operatii cu serii)

Consider¼am seriile1Pn=0xn si

1Pn=0yn si num¼arul real nenul �.

1. Dac¼a1Pn=0xn si

1Pn=0yn sunt convergente, atunci

1Pn=0

(xn + yn) este convergent¼a si1Xn=0

(xn + yn) =1Xn=0

xn +1Xn=0

yn :

2. Seriile1Pn=0xn si

1Pn=0

(�xn) au aceeasi natur¼a.

Observatia 1.14

1Pn=0

(�1)n si1Pn=0

(�1)n�1 .

Teorema 1.15 (criteriul Cauchy)

Seria1Pn=0xn este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a n" 2 N

astfel încât pentru orice n � n" si orice p 2 N�; s¼a avemjxn+1 + xn+2 + :::+ xn+p j < ".

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 22: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergentePropriet¼ati generale

Operatii cu serii. Criteriul Cauchy

Teorema 1.13 (operatii cu serii)

Consider¼am seriile1Pn=0xn si

1Pn=0yn si num¼arul real nenul �.

1. Dac¼a1Pn=0xn si

1Pn=0yn sunt convergente, atunci

1Pn=0

(xn + yn) este convergent¼a si1Xn=0

(xn + yn) =1Xn=0

xn +1Xn=0

yn :

2. Seriile1Pn=0xn si

1Pn=0

(�xn) au aceeasi natur¼a.

Observatia 1.14

1Pn=0

(�1)n si1Pn=0

(�1)n�1 .

Teorema 1.15 (criteriul Cauchy)

Seria1Pn=0xn este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a pentru orice " > 0 exist¼a n" 2 N

astfel încât pentru orice n � n" si orice p 2 N�; s¼a avemjxn+1 + xn+2 + :::+ xn+p j < ".

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 23: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Serii cu termeni pozitivi

Ne vom ocupa acum de seriile cu termeni pozitivi. Aceste serii au proprietatea c¼a sirulsumelor partiale este cresc¼ator:

Sn+1 � Sn = xn+1 � 0.

Astfel, o serie cu termeni pozitivi este convergent¼a dac¼a si numai dac¼a sirul sumelorpartiale este majorat.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 24: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criterii de comparatie

Teorema 2.1 (criteriul de comparatie de speta I)

Fie seriile cu termeni pozitivi1Pn=0xn si

1Pn=0yn astfel încât xn � yn pentru orice n 2 N.

1. Dac¼a1Pn=0yn (C ), atunci si

1Pn=0xn (C ).

2. Dac¼a1Pn=0xn (D), atunci si

1Pn=0yn (D).

Teorema 2.2 (criteriul de comparatie cu limit¼a)

Fie seriile cu termeni strict pozitivi1Pn=0xn si

1Pn=0yn :

1. Dac¼a exist¼a limn!1

xnyn= � 2 (0;1), atunci cele dou¼a serii au aceeasi natur¼a.

2. Dac¼a limn!1

xnyn= 0, atunci

1Pn=0yn (C ) )

1Pn=0xn (C ), si

1Pn=0xn (D) )

1Pn=0yn (D).

3. Dac¼a limn!1

xnyn=1, atunci

1Pn=0xn (C ) )

1Pn=0yn (C ), si

1Pn=0yn (D) )

1Pn=0xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 25: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criterii de comparatie

Teorema 2.1 (criteriul de comparatie de speta I)

Fie seriile cu termeni pozitivi1Pn=0xn si

1Pn=0yn astfel încât xn � yn pentru orice n 2 N.

1. Dac¼a1Pn=0yn (C ), atunci si

1Pn=0xn (C ).

2. Dac¼a1Pn=0xn (D), atunci si

1Pn=0yn (D).

Teorema 2.2 (criteriul de comparatie cu limit¼a)

Fie seriile cu termeni strict pozitivi1Pn=0xn si

1Pn=0yn :

1. Dac¼a exist¼a limn!1

xnyn= � 2 (0;1), atunci cele dou¼a serii au aceeasi natur¼a.

2. Dac¼a limn!1

xnyn= 0, atunci

1Pn=0yn (C ) )

1Pn=0xn (C ), si

1Pn=0xn (D) )

1Pn=0yn (D).

3. Dac¼a limn!1

xnyn=1, atunci

1Pn=0xn (C ) )

1Pn=0yn (C ), si

1Pn=0yn (D) )

1Pn=0xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 26: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criterii de comparatie. Exemple

Exemplul 2.3

Seria1Pn=1

sin1

neste divergent¼a.

Exemplul 2.4

Seria1Xn=1

1

n�; � 2 R

se numeste seria armonic¼a generalizat¼a.Ea este: convergent¼a dac¼a � > 1 si este divergent¼a în rest.

Exemplul 2.5

Seria1Xn=1

3n2 + 4n + 2

n4 + 5n � 1este convergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 27: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criterii de comparatie. Exemple

Exemplul 2.3

Seria1Pn=1

sin1

neste divergent¼a.

Exemplul 2.4

Seria1Xn=1

1

n�; � 2 R

se numeste seria armonic¼a generalizat¼a.Ea este: convergent¼a dac¼a � > 1 si este divergent¼a în rest.

Exemplul 2.5

Seria1Xn=1

3n2 + 4n + 2

n4 + 5n � 1este convergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 28: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criterii de comparatie. Exemple

Exemplul 2.3

Seria1Pn=1

sin1

neste divergent¼a.

Exemplul 2.4

Seria1Xn=1

1

n�; � 2 R

se numeste seria armonic¼a generalizat¼a.Ea este: convergent¼a dac¼a � > 1 si este divergent¼a în rest.

Exemplul 2.5

Seria1Xn=1

3n2 + 4n + 2

n4 + 5n � 1este convergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 29: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportului

Teorema 2.6 (Cauchy - Hadamard: criteriul r¼ad¼acinii)

Fie seria cu termeni pozitivi1Pn=0xn si � = lim

n!1npxn .

1. Dac¼a � < 1; atunci1Pn=0xn este convergent¼a.

2. Dac¼a � > 1; atunci1Pn=0xn este divergent¼a.

Teorema 2.7 (D�Alembert: criteriul raportului)

Fie seria1Pn=0xn cu xn > 0 pentru orice n 2 N. Dac¼a exist¼a ` = lim

n!1xn+1xn

, atunci:

1. Dac¼a ` < 1, seria1Pn=0xn este convergent¼a.

2. Dac¼a ` > 1, seria1Pn=0xn este divergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 30: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportului

Teorema 2.6 (Cauchy - Hadamard: criteriul r¼ad¼acinii)

Fie seria cu termeni pozitivi1Pn=0xn si � = lim

n!1npxn .

1. Dac¼a � < 1; atunci1Pn=0xn este convergent¼a.

2. Dac¼a � > 1; atunci1Pn=0xn este divergent¼a.

Teorema 2.7 (D�Alembert: criteriul raportului)

Fie seria1Pn=0xn cu xn > 0 pentru orice n 2 N. Dac¼a exist¼a ` = lim

n!1xn+1xn

, atunci:

1. Dac¼a ` < 1, seria1Pn=0xn este convergent¼a.

2. Dac¼a ` > 1, seria1Pn=0xn este divergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 31: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportului. Exemple

Observatia 2.8

În ambele teoreme de mai sus, dac¼a � = 1; nu putem decide dac¼a seria esteconvergent¼a sau divergent¼a.

Pentru ambele serii1Pn=1

1

nsi

1Pn=1

1

n2avem � = 1, dar prima este divergent¼a, iar a doua

convergent¼a.

Exemplul 2.9

Studiati natura seriilor:

1.1Pn=1

�3n3 + 4n + 5

3n3 + 4n + 6

�n4:

2.1Xn=1

5 � 7 � 9 � ::: � (2n + 3)4 � 7 � 10 � ::: � (3n + 1)

:

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 32: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportului. Exemple

Observatia 2.8

În ambele teoreme de mai sus, dac¼a � = 1; nu putem decide dac¼a seria esteconvergent¼a sau divergent¼a.

Pentru ambele serii1Pn=1

1

nsi

1Pn=1

1

n2avem � = 1, dar prima este divergent¼a, iar a doua

convergent¼a.

Exemplul 2.9

Studiati natura seriilor:

1.1Pn=1

�3n3 + 4n + 5

3n3 + 4n + 6

�n4:

2.1Xn=1

5 � 7 � 9 � ::: � (2n + 3)4 � 7 � 10 � ::: � (3n + 1)

:

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 33: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportului. Exemple

Observatia 2.8

În ambele teoreme de mai sus, dac¼a � = 1; nu putem decide dac¼a seria esteconvergent¼a sau divergent¼a.

Pentru ambele serii1Pn=1

1

nsi

1Pn=1

1

n2avem � = 1, dar prima este divergent¼a, iar a doua

convergent¼a.

Exemplul 2.9

Studiati natura seriilor:

1.1Pn=1

�3n3 + 4n + 5

3n3 + 4n + 6

�n4:

2.1Xn=1

5 � 7 � 9 � ::: � (2n + 3)4 � 7 � 10 � ::: � (3n + 1)

:

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 34: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criteriul lui Raabe-Duhamel

Teorema 2.10 (Raabe-Duhamel)

Fie seria1Pn=1xn , cu xn > 0; pentru orice n: Dac¼a exist¼a lim

n!1n�xnxn+1

� 1�= �, atunci

1. dac¼a � > 1; seria este convergent¼a;2. dac¼a � < 1; seria este divergent¼a.

Exemplul 2.11

S¼a se studieze natura seriei1Xn=1

1 � 3 � 5 � ::: � (2n � 1)2 � 4 � ::: � (2n)

� 1

2n + 1:

xn+1xn

=(2n + 1)2

(2n + 2) (2n + 3)! 1;

deci din criteriul raportului nu putem trage o concluzie.Aplic¼am mai departe criteriul lui Raabe-Duhamel:

n�xnxn+1

� 1�= n � �6n � 5

(2n + 2) (2n + 3)! � 3

2.

Fiindc¼a limita este subunitar¼a, seria este divergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 35: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Criterii de comparatieCriteriul r¼ad¼acinii. Criteriul raportuluiCriteriul lui Raabe-Duhamel

Criteriul lui Raabe-Duhamel

Teorema 2.10 (Raabe-Duhamel)

Fie seria1Pn=1xn , cu xn > 0; pentru orice n: Dac¼a exist¼a lim

n!1n�xnxn+1

� 1�= �, atunci

1. dac¼a � > 1; seria este convergent¼a;2. dac¼a � < 1; seria este divergent¼a.

Exemplul 2.11

S¼a se studieze natura seriei1Xn=1

1 � 3 � 5 � ::: � (2n � 1)2 � 4 � ::: � (2n)

� 1

2n + 1:

xn+1xn

=(2n + 1)2

(2n + 2) (2n + 3)! 1;

deci din criteriul raportului nu putem trage o concluzie.Aplic¼am mai departe criteriul lui Raabe-Duhamel:

n�xnxn+1

� 1�= n � �6n � 5

(2n + 2) (2n + 3)! � 3

2.

Fiindc¼a limita este subunitar¼a, seria este divergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 36: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

Serii alternate. Criteriul lui Leibniz

De�nitia 3.1

Spunem despre o serie de numere reale1Pn=1an c¼a este o serie alternat¼a dac¼a poate �

pus¼a în una din formele:1Xn=1

(�1)n�1 xn sau1Xn=1

(�1)n xn

cu xn � 0 pentru orice n 2 N.

Teorema 3.2 (criteriul lui Lebniz)

Dac¼a (xn) este un sir descresc¼ator cu limita 0; atunci seria alternat¼a1Pn=1

(�1)n xn este

convergent¼a.

Exemplul 3.3

Seria1Pn=1

(�1)n

neste o serie convergent¼a. Tot convergent¼a este si seria

1Pn=1

(�1)n sin xn,

pentru orice x � 0, sirul�sin

x

n

��ind, de la un rang încolo, descresc¼ator.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 37: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

Serii alternate. Criteriul lui Leibniz

De�nitia 3.1

Spunem despre o serie de numere reale1Pn=1an c¼a este o serie alternat¼a dac¼a poate �

pus¼a în una din formele:1Xn=1

(�1)n�1 xn sau1Xn=1

(�1)n xn

cu xn � 0 pentru orice n 2 N.

Teorema 3.2 (criteriul lui Lebniz)

Dac¼a (xn) este un sir descresc¼ator cu limita 0; atunci seria alternat¼a1Pn=1

(�1)n xn este

convergent¼a.

Exemplul 3.3

Seria1Pn=1

(�1)n

neste o serie convergent¼a. Tot convergent¼a este si seria

1Pn=1

(�1)n sin xn,

pentru orice x � 0, sirul�sin

x

n

��ind, de la un rang încolo, descresc¼ator.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 38: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

Serii alternate. Criteriul lui Leibniz

De�nitia 3.1

Spunem despre o serie de numere reale1Pn=1an c¼a este o serie alternat¼a dac¼a poate �

pus¼a în una din formele:1Xn=1

(�1)n�1 xn sau1Xn=1

(�1)n xn

cu xn � 0 pentru orice n 2 N.

Teorema 3.2 (criteriul lui Lebniz)

Dac¼a (xn) este un sir descresc¼ator cu limita 0; atunci seria alternat¼a1Pn=1

(�1)n xn este

convergent¼a.

Exemplul 3.3

Seria1Pn=1

(�1)n

neste o serie convergent¼a. Tot convergent¼a este si seria

1Pn=1

(�1)n sin xn,

pentru orice x � 0, sirul�sin

x

n

��ind, de la un rang încolo, descresc¼ator.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 39: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

Serii absolut convergente. Serii semiconvergente

De�nitia 3.4

Fie seria cu termeni oarecare1Pn=1xn .

1. Spunem c¼a seria1Pn=1xn este absolut convergent¼a dac¼a seria

1Pn=1

jxn j este

convergent¼a. În acest caz, not¼am1Pn=1xn (AC ).

2. Spunem c¼a seria1Pn=1xn este semiconvergent¼a dac¼a

1Pn=1xn este convergent¼a iar seria

1Pn=1

jxn j este divergent¼a. În acest caz, not¼am1Pn=1xn (SC ).

Exemplul 3.5

Seria1Pn=1

(�1)n

neste un exemplu de serie semiconvergent¼a, în vreme ce

1Pn=1

(�1)2

n2este

un exemplu de serie absolut convergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 40: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

Serii absolut convergente. Serii semiconvergente

De�nitia 3.4

Fie seria cu termeni oarecare1Pn=1xn .

1. Spunem c¼a seria1Pn=1xn este absolut convergent¼a dac¼a seria

1Pn=1

jxn j este

convergent¼a. În acest caz, not¼am1Pn=1xn (AC ).

2. Spunem c¼a seria1Pn=1xn este semiconvergent¼a dac¼a

1Pn=1xn este convergent¼a iar seria

1Pn=1

jxn j este divergent¼a. În acest caz, not¼am1Pn=1xn (SC ).

Exemplul 3.5

Seria1Pn=1

(�1)n

neste un exemplu de serie semiconvergent¼a, în vreme ce

1Pn=1

(�1)2

n2este

un exemplu de serie absolut convergent¼a.

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 41: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

(AC )) (C )

Teorema 3.6

Dac¼a1Pn=1xn este absolut convergent¼a, atunci

1Pn=1xn este si convergent¼a.

Observatia 3.7

1. Reciproca acestei teoreme nu este adev¼arat¼a: seria1Pn=1

(�1)n

neste convergent¼a,

f¼ar¼a a � absolut convergent¼a.2. Pentru seriile cu termeni pozitivi cele dou¼a notiuni sunt echivalente.3. Deoarece seria modulelor atasat¼a unei serii cu termeni oarecare este o serie cutermeni pozitivi, putem studia absoluta convergent¼a folosind criteriile stabilite pentruserii cu termeni pozitivi. În felul acesta, �ecare criteriu de convergent¼a de la serii cutermeni pozitivi devine un criteriu de convergent¼a pentru serii cu termeni oarecare.

4. În general, dac¼a seria1Pn=1

jxn j este divergent¼a, nu se poate spune nimic despre

natura seriei1Pn=1xn .

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 42: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

(AC )) (C )

Teorema 3.6

Dac¼a1Pn=1xn este absolut convergent¼a, atunci

1Pn=1xn este si convergent¼a.

Observatia 3.7

1. Reciproca acestei teoreme nu este adev¼arat¼a: seria1Pn=1

(�1)n

neste convergent¼a,

f¼ar¼a a � absolut convergent¼a.

2. Pentru seriile cu termeni pozitivi cele dou¼a notiuni sunt echivalente.3. Deoarece seria modulelor atasat¼a unei serii cu termeni oarecare este o serie cutermeni pozitivi, putem studia absoluta convergent¼a folosind criteriile stabilite pentruserii cu termeni pozitivi. În felul acesta, �ecare criteriu de convergent¼a de la serii cutermeni pozitivi devine un criteriu de convergent¼a pentru serii cu termeni oarecare.

4. În general, dac¼a seria1Pn=1

jxn j este divergent¼a, nu se poate spune nimic despre

natura seriei1Pn=1xn .

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 43: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

(AC )) (C )

Teorema 3.6

Dac¼a1Pn=1xn este absolut convergent¼a, atunci

1Pn=1xn este si convergent¼a.

Observatia 3.7

1. Reciproca acestei teoreme nu este adev¼arat¼a: seria1Pn=1

(�1)n

neste convergent¼a,

f¼ar¼a a � absolut convergent¼a.2. Pentru seriile cu termeni pozitivi cele dou¼a notiuni sunt echivalente.

3. Deoarece seria modulelor atasat¼a unei serii cu termeni oarecare este o serie cutermeni pozitivi, putem studia absoluta convergent¼a folosind criteriile stabilite pentruserii cu termeni pozitivi. În felul acesta, �ecare criteriu de convergent¼a de la serii cutermeni pozitivi devine un criteriu de convergent¼a pentru serii cu termeni oarecare.

4. În general, dac¼a seria1Pn=1

jxn j este divergent¼a, nu se poate spune nimic despre

natura seriei1Pn=1xn .

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 44: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

(AC )) (C )

Teorema 3.6

Dac¼a1Pn=1xn este absolut convergent¼a, atunci

1Pn=1xn este si convergent¼a.

Observatia 3.7

1. Reciproca acestei teoreme nu este adev¼arat¼a: seria1Pn=1

(�1)n

neste convergent¼a,

f¼ar¼a a � absolut convergent¼a.2. Pentru seriile cu termeni pozitivi cele dou¼a notiuni sunt echivalente.3. Deoarece seria modulelor atasat¼a unei serii cu termeni oarecare este o serie cutermeni pozitivi, putem studia absoluta convergent¼a folosind criteriile stabilite pentruserii cu termeni pozitivi. În felul acesta, �ecare criteriu de convergent¼a de la serii cutermeni pozitivi devine un criteriu de convergent¼a pentru serii cu termeni oarecare.

4. În general, dac¼a seria1Pn=1

jxn j este divergent¼a, nu se poate spune nimic despre

natura seriei1Pn=1xn .

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3

Page 45: Analiz…a matematic …a - curs 3 Serii numericemath.etc.tuiasi.ro/rstrugariu/cursuri/MC/AM2013/c3b_AM_2013.pdf · Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii alternate. Criteriul lui LeibnizSerii absolut convergente. Serii semiconvergente

(AC )) (C )

Teorema 3.6

Dac¼a1Pn=1xn este absolut convergent¼a, atunci

1Pn=1xn este si convergent¼a.

Observatia 3.7

1. Reciproca acestei teoreme nu este adev¼arat¼a: seria1Pn=1

(�1)n

neste convergent¼a,

f¼ar¼a a � absolut convergent¼a.2. Pentru seriile cu termeni pozitivi cele dou¼a notiuni sunt echivalente.3. Deoarece seria modulelor atasat¼a unei serii cu termeni oarecare este o serie cutermeni pozitivi, putem studia absoluta convergent¼a folosind criteriile stabilite pentruserii cu termeni pozitivi. În felul acesta, �ecare criteriu de convergent¼a de la serii cutermeni pozitivi devine un criteriu de convergent¼a pentru serii cu termeni oarecare.

4. În general, dac¼a seria1Pn=1

jxn j este divergent¼a, nu se poate spune nimic despre

natura seriei1Pn=1xn .

2013-2014, Facultatea de Mecanic¼a Analiz¼a matematic¼a - curs 3