บทท่ี 1
เรขาคณิตวิเคราะห์
1.1 ภาคตัดกรวย (Conic Sections)
1.1.1 สูตรระยะทาง
สมมติให้ (x1, y1) และ (x2, y2) เป็นจุด 2 จุดในระบบพิกัดฉาก ระยะทางระหว่างจุดท้ังสองสามารถหาได้ โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) ดังนี้
b(x1, y1)
b(x2, y2)
d
x
y
a = |x2 − x1|
b = |y2 − y1|
ให้ d แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะได้
d2 = a2 + b2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2
∴ d = ±√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
เนื่องด้วยระยะทางมีค่าเป็นบวก ดังนั้น
d =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
สูตรระยะทาง
ระยะทาง d ระหว่างจุด (x1, y1) และ (x2, y2) คือ
d =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
1
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 2
จงหาระยะทางระหว่างจุด (−2, 3) และ (4,−1)
ตัวอย่าง 1.1
วิธีทำ
1.1.2 ภาคตัดกรวย
ภาคตัดกรวยถูกค้นพบในยุคกรีกโบราณช่วง 600 ถึง 300 ก่อนคริสตกาล ภาคตัดกรวย (con-ic section) เกิดจากการตัดกันของระนาบแบนและผิวกรวยกลม จากรูป A1 จะเห็นภาคตัดกรวย4 ชนิด ท่ีระนาบไม่ตัดผ่านจุดยอดของกรวย
รูป A1: ภาคตัดกรวย
แต่ถ้าระนาบตัดผ่านจุดยอดของกรวย จะได้ภาคตัดกรวยลดรูป (degenerate conic) ดังรูป A2
b
รูป A2: ภาคตัดกรวยลดรูป
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 3
ในท่ีนี้เราจะศึกษาภาคตัดกรวยแต่ละชนิด โดยการให้บทนิยามในรูปของเซตของจุดท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขทางเรขาคณิต เร่ิมด้วยการศึกษาวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด พาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ีจุดกำเนิด วงรีและไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด สำหรับกรณีท่ัวไปของภาคตัดกรวยจะศึกษาในหัวข้อถัดไป
วงกลม
วงกลม (circle) คือเซตของจุด (x, y) ทุกจุดในระนาบท่ีห่างจากจุดคงท่ีจุดหนึ่งเป็นระยะทางคงตัว จุดคงท่ีนั้นเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตัวเรียกว่า รัศมี (radius) ของวงกลมซ่ึงเขียนแทนด้วย r เมื่อ r > 0
bจุดศูนย์กลาง
(x, y)
r
b
บทนิยาม 1.1
สมมติให้วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (0, 0) และมีรัศมี r การหาสมการของวงกลมสามารถหาได้โดยใช้สูตรระยะทาง ดังนี้ ให้ (x, y) เป็นจุดใดๆบนวงกลม จากบทนิยามของวงกลม ระยะทางระหว่างจุด (0, 0) และจุด (x, y) เท่ากับ r นั่นคือ
√
(x− 0)2 + (y − 0)2 = r
x2 + y2 = r2
สมการมาตรฐานของวงกลม (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)
สมการมาตรฐานของวงกลม ท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (0, 0) และมีรัศมี r นิยามโดย
x2 + y2 = r2 เมื่ิอ r > 0
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 4
พาราโบลา
พาราโบลา (parabola) คือ เซตของจุด (x, y) ทุกจุดบนระนาบซ่ึงอยู่ห่างจากเส้นตรงคงท่ีเส้นหนึ่งและจุดคงท่ีจุดหนึ่งท่ีไม่ใช่จุดบนเส้นตรงเป็นระยะทางเท่ากันเส้นตรงคงท่ีเรียกว่า เส้นไดเรกตริกซ์ (directrix) และจุดคงท่ีเรียกว่า จุดโฟกัส(focus) จุดกึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์เรียกว่า จุดยอด (ver-tex) และเส้นตรงท่ีลากผ่านจุดโฟกัสและจุดยอด เรียกว่า แกน (axis) ของพาราโบลา
b
จุดยอดb
จุดโฟกัส
เส้นไดเรกตริกซ์
แกนd1
d1 d2
d2 b
b
b
บทนิยาม 1.2
สมการมาตรฐานของพาราโบลา (จุดยอดอยู่ท่ีจุดกำเนิด)
รูปแบบมาตรฐานของสมการของพาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ีจุด (0, 0) และมี y = −p
เป็นเส้นไดเรกตริกซ์นิยามโดย
x2 = 4py แกน y เป็นแกนของพาราโบลา
ถ้า x = −p เป็นเส้นไดเรกตริกซ์ แล้วสมการของพาราโบลานิยามโดย
y2 = 4px แกน x เป็นแกนของพาราโบลา
จุดโฟกัสจะอยู่บนแกนของพาราโบลา โดยมีระยะทางห่างจากจุดยอด p หน่วย ดังรูป
พาราโบลาท่ีมีแกน y เป็นแกนของพาราโบลา
x
y
bจุดโฟกัส(0, p)
bจุดยอด(0, 0)
เส้นไดเรกตริกซ์ y = −p
b (x, y)
x2 = 4py, p > 0
x
y
bจุดโฟกัส(0, p)
bจุดยอด(0, 0)
เส้นไดเรกตริกซ์ y = −p
b (x, y)
x2 = 4py, p < 0
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 5
พาราโบลาท่ีมีแกน x เป็นแกนของพาราโบลา
x
y
b
จุดโฟกัส(p, 0)b
จุดยอด(0, 0)
ไดเรกตริกซ์ x = −p
b (x, y)
y2 = 4px, p > 0
x
y
b
จุดโฟกัส(p, 0)b
จุดยอด(0, 0)
ไดเรกตริกซ์x = −p
b(x, y)
y2 = 4px, p < 0
จงหาจุดโฟกัสและเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา x2 = −6y พร้อมท้ังเขียนกราฟ
ตัวอย่าง 1.2
วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 6
(a) จงหาสมการพาราโบลาท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ีจุดกำเนิด เปิดด้านขวาและผ่านจุด P (7,−3)
(b) จงหาจุดโฟกัสของพาราโบลาในข้อ (a)
ตัวอย่าง 1.3
วิธีทำ
วงรี
วงรี (ellipse) คือ เซตของจุด (x, y) ทุกจุดบนระนาบซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจุดคงท่ีสองจุดมีค่าคงตัว โดยท่ีค่าคงตัวนี้มีค่ามากกว่าระยะทางระหว่างจุดคงท่ีท้ังสองจุดคงท่ีท้ังสองจุดเรียกว่า จุดโฟกัส (foci) ของวงรี
bจุดโฟกัส
bจุดโฟกัส
b(x, y)
d1 d2
d1 + d2 มีค่าคงตัว
แกนโท
แกนเอก
bจุดยอด b จุดยอด
b
b
bจุดศูนย์กลาง
บทนิยาม 1.3
เส้นตรงท่ีลากผ่านจุดโฟกัสจะตัดวงรีท่ีจุด 2 จุด เรียกว่า จุดยอด (vertices) ส่วนของเส้นตรงท่ีเช่ือมจุดยอดท้ังสองจุดเรียกว่า แกนเอก (major axis) และจุดกึ่งกลางของแกนเอกเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงรี ส่วนของเส้นตรงท่ีตั้งฉากกับแกนเอกท่ีจุดกึ่งกลางเรียกว่า แกนโท (minor axis) ของวงรี จุดปลายของแกนโทของวงรีเรียกว่า จุดยอดร่วม(co-vertices)
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 7
สมการมาตรฐานของวงรี (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)
รูปแบบมาตรฐานของสมการของวงรีท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด แกนเอกและแกนโทมีความยาว 2a และ 2b ตามลำดับ (เมื่อ 0 < b < a) นิยามโดย
x2
a2+
y2
b2= 1 หรือ
x2
b2+
y2
a2= 1
x
y
bb(−a, 0)
b(a, 0)
b
(−c, 0)b
(c, 0)
b (0, b)
b(0,−b)
x2
a2+
y2
b2= 1
x
y
b
b(0,−c)
b (0, c)
b (0, a)
b(0,−a)
b
(−b, 0)b
(b, 0)
x2
b2+
y2
a2= 1
จุดยอดและจุดโฟกัสอยู่บนแกนเอก และมีความยาว a และ c หน่วย ตามลำดับ จากจุดศูนย์กลาง นอกจากนี้ a, b และ c สัมพันธ์กันโดยสมการ c2 = a2 − b2
ค่าความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity) ของวงรี คือความแบนของวงรีท่ีนิยามโดย
e =c
a, เมื่อ 0 < e < 1.
ถ้าวงรีมีลักษณะเกือบเป็นวงกลม แล้ว e มีค่าเข้าใกล้ 0 แต่ถ้าวงรีมีลักษณะยืดยาว แล้ว e มีค่าเข้าใกล้ 1 ดังรูป
x
y
b b
ab
c
e =c
a: มีค่าเข้าใกล้ 0
x
y
b b
ab
c
e =c
a: มีค่าเข้าใกล้ 1
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 8
จงเขียนกราฟของสมการวงรี 4x2 + 18y2 = 36
ตัวอย่าง 1.4
วิธีทำ
จงหาสมการวงรีท่ีมีจุดโฟกัสอยู่ท่ีจุด (0,±2) และมีจุด (0,±4) เป็นจุดปลายของแกนเอก
ตัวอย่าง 1.5
วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 9
ไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) คือ เซตของจุด (x, y) ทุกจุดบนระนาบซ่ึงผลต่างของระยะทางจากจุดคงท่ีสองจุดมีค่าคงตัว โดยท่ีค่าคงตัวนี้มีค่าน้อยกว่าระยะทางระหว่างจุดคงท่ีท้ังสอง จุดคงท่ีท้ังสองเรียกว่าจุดโฟกัส (foci)
b (x, y)
d2 d1
bจุดโฟกัส b จุดโฟกัส
d2 − d1 เป็นค่าคงตัว
bจุุดศูนย์กลางb
จุดยอด
b
จุดยอด
แกนตามขวางb b
ac
ก่ิง ก่ิง
บทนิยาม 1.4
กราฟของไฮเพอร์โบลาประกอบด้วยส่วน 2 ส่วนท่ีไม่เช่ือมกันเรียกว่า กิ่ง (branches)ของไฮเพอร์โบลา เส้นตรงท่ีลากผ่านจุดโฟกัสจะตัดไฮเพอร์โบลาท่ีจุด 2 จุด เรียกว่า จุดยอด (ver-tices) ส่วนของเส้นตรงท่ีเช่ือมระหว่างจุดยอดท้ังสองจุดเรียกว่า แกนตามขวาง (transverseaxis) และจุดกึ่งกลางของแกนตามขวางเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของไฮเพอร์โบลา
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 10
สมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)
รูปแบบมาตรฐานของสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด (เมื่อa 6= 0 และ b 6= 0) นิยามโดย
x2
a2− y2
b2= 1 หรือ
y2
a2− x2
b2= 1
x
y
b−c
bc
b−a
ba
x2
a2− y2
b2= 1
x
y
bc
b−c
ba
b−a
y2
a2− x2
b2= 1
จุดยอดและจุดโฟกัสมีความยาว a และ c หน่วย ตามลำดับ จากจุดศูนย์กลางนอกจากนี้ a, b และ c สัมพันธ์กันโดยสมการ b2 = c2 − a2
จงหารูปแบบมาตรฐานของสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดโฟกัส (−3, 0) และ (3, 0)
และจุดยอด (−2, 0) และ (2, 0)
ตัวอย่าง 1.6
วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 11
ส่ิงสำคัญท่ีช่วยในการเขียนกราฟของไฮเพอร์โบลาคือ เส้นกำกับ (asymptotes) ดังรูปแต่ละไฮเพอร์โบลาจะมีเส้นกำกับ 2 เส้น ท่ีตัดกันท่ีจุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา นอกจากนี้เส้นกำกับจะผ่่านจุดมุมของรูปส่ีเหล่ียมผืนผ้าขนาด 2a × 2b ส่วนของเส้นตรงความยาว 2b ท่ีเช่ือมจุด (0,−b) และ (0, b)
[
หรือ (−b, 0) และ (b, 0)]
เรียกว่า แกนสังยุค (con-jugate axis) ของไฮเพอร์โบลา
x
y
bb(−a, 0)
b(a, 0)
b(0, b)
b(0,−b)
เส้นกำกับy = b
ax
เส้นกำกับy = − b
ax
x2
a2− y2
b2= 1
x
y
b
b(0, a)
b
(0,−a)
b(−b, 0)
b(b, 0)
เส้นกำกับy = a
bx
เส้นกำกับy = −a
bx
y2
a2− x2
b2= 1
เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา (จุดศูนย์กลางอยู่ท่ีจุดกำเนิด)
y =b
ax และ y = − b
ax แกน x เป็นแกนตามขวาง
y =a
bx และ y = −a
bx แกน y เป็นแกนตามขวาง
จงเขียนกราฟของสมการไฮเพอร์โบลา 9x2 − 4y2 = 36 พร้อมท้ังหาจุดยอด จุดโฟกัสและสมการของเส้นกำกับ
ตัวอย่าง 1.7
วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 12
จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีมีจุดยอด (0,±8) และ y = ±4
3x เป็นสมการของ
เส้นกำกับ
ตัวอย่าง 1.8
วิธีทำ
1.1.3 ภาคตัดกรวยและการเลื่อนแกน
การเล่ือนแกนขนานแนวนอนและแนวตั้งของภาคตัดกรวย
ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาสมการของภาคตัดกรวยท่ีมีการเล่ือนแกนขนานแนวนอนและแนวตั้งในระนาบสมการของภาคตัดกรวยท่ีเกิดจากการเล่ือนแกนสามารถสรุปได้ดังนี้
รูปแบบมาตรฐานของภาคตัดกรวย
วงกลม: จุดศูนย์กลาง = (h, k); รัศมี = r
x
y
b(h, k)r
(x− h)2 + (y − k)2 = r2
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 13
พาราโบลา: จุดยอด = (h, k); ระยะทางระหว่างจุดยอดกับจุดโฟกัส = p
x
y
bจุดยอด(h, k)
b
จุดโฟกัส(h, k + p)
(x− h)2 = 4p(y − k), p > 0
x
y
bจุดยอด(h, k)
bจุดโฟกัส(h+ p, k)
(y − k)2 = 4p(x− h), p > 0
วงรี : จุดศูนย์กลาง = (h, k); ความยาวแกนเอก = 2a; ความยาวแกนโท = 2b
x
y
b(h, k)
2a
2b
(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1
x
y
b(h, k)
2a
2b
(x− h)2
b2+
(y − k)2
a2= 1
ไฮเพอร์โบลา: จุดศูนย์กลาง = (h, k); ความยาวแกนตามขวาง = 2a; ความยาวแกนสังยุค = 2b
x
y
2a
2b
(h, k)b
(x− h)2
a2− (y − k)2
b2= 1
x
y
2b
2a
b(h, k)
(y − k)2
a2− (x− h)2
b2= 1
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 14
จงหาสมการของพาราโบลาท่ีมีจุดยอด V (−4, 2) และเส้นไดเรกตริกซ์ y = 5
ตัวอย่าง 1.9
วิธีทำ
บางคร้ังสมการของภาคตัดกรวยท่ีเกิดจากการเล่ือนแกนอาจเขียนในรูปของสมการกำลังสองของx และ y:
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0
ข้ันตอนพ้ืนฐานในการพิจารณาว่าสมการกำลังสองข้างต้น เป็นสมการของภาคตัดกรวยชนิดใดนั้นเราสามารถหาคำตอบได้โดยการเขียนสมการกำลังสองในรูปกำลังสองสัมบูรณ์ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จงแสดงว่าเส้นโค้ง y = 6x2 − 12x+ 8 เป็นพาราโบลา
ตัวอย่าง 1.10
วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 15
จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนี้เป็นสมการของภาคตัดกรวยชนิดใด พร้อมท้ังเขียนกราฟ
16x2 + 9y2 + 64x− 18y − 71 = 0
ตัวอย่าง 1.11
วิธีทำ
จงแสดงว่าเส้นโค้ง 9x2−4y2−54x−16y+29 = 0 เป็นไฮเพอร์โบลา พร้อมท้ังเขียนกราฟของไฮเพอร์โบลา และหาจุดโฟกัส จุดยอด และเส้นกำกับ
ตัวอย่าง 1.12
วิธีทำ
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 16
แบบฝึกหัด 1.1
1− 8 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา พร้อมท้ังเขียนกราฟ
1. x = 2y2 2. 4y + x2 = 0
3. 4x2 = −y 4. y2 = 12x
5. (x+ 2)2 = 8(y − 3) 6. x− 1 = (y + 5)2
7. y2 + 2y + 12x+ 25 = 0 8. y + 12x− 2x2 = 16
9− 10 จงหาสมการของพาราโบลา พร้อมท้ังหาจุดโฟกัส และเส้นไดเรกตริกซ์
9.
x
y
1
−2
10.
x
y
1
2
11− 16 จงหาสมการของพาราโบลาท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขท่ีกำหนดให้
11. จุดยอด (0, 0) จุดโฟกัส (0,−2)
12. จุดยอด (0, 0) เส้นไดเรกตริกซ์ x = −5
13. จุดโฟกัส (−4, 0) เส้นไดเรกตริกซ์ x = 2
14. จุดโฟกัส (3, 6) จุดยอด (3, 2)
15. จุดยอด (0, 0) แกนของพาราโบลา y = 0 ผ่านจุด (1,−4)
16. แกนของพาราโบลา y = 0 ผ่านจุด (−2, 3), (0, 3) และ (1, 9)
17− 22 จงหาจุดยอด และจุดโฟกัสของวงรี พร้อมท้ังเขียนกราฟ
17.x2
9+
y2
5= 1 18.
x2
64+
y2
100= 1
19. 4x2 + y2 = 16 20. 4x2 + 25y2 = 25
21. 9x2 − 18x+ 4y2 = 27 22. x2 + 2y2 − 6x+ 4y + 7
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 17
23− 24 จงหาสมการของวงรี พร้อมท้ังหาจุดโฟกัส
23.
x
y
0
1
1
24.
x
y
1
2
25− 32 จงหาสมการของวงรีท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขท่ีกำหนดให้
25. จุดโฟกัส (±2, 0) จุดยอด (±5, 0)
26. จุดโฟกัส (0,±5) จุดยอด (0,±13)
27. จุดโฟกัส (0, 2), (0, 6) จุดยอด (0, 0), (0, 8)
28. จุดโฟกัส (0,−1), (8,−1) จุดยอด (9,−1)
29. จุดศูนย์กลาง (2, 2) จุดโฟกัส (0, 2) จุดยอด (5, 2)
30. จุดโฟกัส (±2, 0) ผ่านจุด (2, 1)
31. จุดปลายแกนเอก (0,±6) ผ่านจุด (−3, 2)
32. จุดโฟกัส (−1, 1) และ (2,−3) ความยาวแกนโท 4
33− 38 จงหาจุดยอด จุดโฟกัส และเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา พร้อมท้ังเขียนกราฟ
33.x2
144− y2
25= 1 34.
y2
16− x2
36= 1
35. y2 − x2 = 4 36. 9x2 − 4y2 = 36
37. 2y2 − 3x2 − 4y + 12x+ 8 = 0 38. 16x2 − 9y2 + 64x− 90y = 305
39− 46 จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาท่ีสอดคล้องกับเงื่อนไขท่ีกำหนดให้
39. จุดโฟกัส (0,±3) จุดยอด (0,±1)
40. จุดโฟกัส (±6, 0) จุดยอด (±4, 0)
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 18
41. จุดโฟกัส (1, 3) และ (7, 3) จุดยอด (2, 3) และ (7, 3)
42. จุดโฟกัส (2,−2) และ (2, 8) จุดยอด (2, 0) และ (2, 6)
43. จุดยอด (±3, 0) เส้นกำกับ y = ±2x
44. จุดโฟกัส (2, 2) and (6, 2) เส้นกำกับ y = x− 2 และ y = 6− x
45. จุดยอด (0, 6) และ (6, 6) จุดโฟกัสห่างกัน 10 หน่วย
46. เส้นกำกับ y = x− 2 และ y = −x+ 4 ผ่านจุดกำเนิด
47− 52 จงพิจารณาว่าสมการต่อไปนี้เป็นสมการของภาคตัดกรวยชนิดใด พร้อมท้ังหาจุดยอดและจุดโฟกัส
47. x2 = y + 1 48. x2 = y2 + 1
49. x2 = 4y − 2y2 50. y2 − 8y = 6x− 16
51. y2 + 2y = 4x2 + 3 52. 4x2 + 4x+ y2 = 0
คำตอบแบบฝึกหัด 1.1
1. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส:(
1
8, 0)
; เส้นไดเรกตริกซ์: x = −1
8
2. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส: (0,−1); เส้นไดเรกตริกซ์: y = 1
3. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส:(
0,− 1
16
)
; เส้นไดเรกตริกซ์: y = 1
16
4. จุดยอด: (0, 0); จุดโฟกัส: (3, 0); เส้นไดเรกตริกซ์: x = −3
5. จุดยอด: (−2, 3); จุดโฟกัส: (−2, 5); เส้นไดเรกตริกซ์: y = 1
6. จุดยอด: (1,−5); จุดโฟกัส:(
5
4,−5
)
; เส้นไดเรกตริกซ์: x = 3
4
7. จุดยอด: (−2,−1); จุดโฟกัส: (−5,−1); เส้นไดเรกตริกซ์: x = 1
8. จุดยอด: (3,−2); จุดโฟกัส:(
3,−15
8
)
; เส้นไดเรกตริกซ์: y = −17
8
9. x = −y2; จุดโฟกัส:(
−1
4, 0)
; เส้นไดเรกตริกซ์: x = 1
4
10. (x− 2)2 = 2(y + 2); จุดโฟกัส:(
2,−3
2
)
; เส้นไดเรกตริกซ์: y = −5
2
11. x2 = −8y 12. y2 = 24(x− 1) 13. y2 = −12(x+ 1)
14. (x− 3)2 = 16(y − 2) 15. y2 = 16x 16. 2x2 + 4x− y + 3 = 0
17. จุดยอด: (±3, 0); จุดโฟกัส: (±2, 0)
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 19
18. จุดยอด: (0,±10); จุดโฟกัส (0,±6)
19. จุดยอด: (0,±4); จุดโฟกัส:(
0,±2√3)
20. จุดยอด:(
±5
2, 0)
; จุดโฟกัส:(
±√
21
2, 0)
21. จุดยอด: (1,±3); จุดโฟกัส:(
1,±√5)
22. จุดยอด: (1,−1) และ (5,−1); จุดโฟกัส:(
3±√2,−1
)
23.x2
4+
y2
9= 1; จุดโฟกัส:
(
0,±√5)
24.(x− 2)2
9+
(y − 1)2
4= 1; จุดโฟกัส:
(
2±√5, 1
)
25.x2
25+
y2
21= 1 26.
x2
144+
y2
169= 1 27.
x2
12+
(y − 4)2
16= 1
28.(x− 4)2
25+
(y + 1)2
9= 1 29
(x− 2)2
9+
(y − 2)2
5= 1
30.2x2
9 +√17
+2y2
1 +√17
= 1 31.x2
81/8+
y2
36= 1 32.
(x+ 4)2
4+
(y − 2)2
5= 1
33. จุดยอด: (±12, 0); จุดโฟกัส: (±13, 0); เส้นกำกับ: y = ± 5
12x
34. จุดยอด: (0,±4); จุดโฟกัส:(
0,±2√13)
; เส้นกำกับ: y = ±2
3x
35. จุดยอด: (0,±2); จุดโฟกัส:(
0,±2√2)
; เส้นกำกับ: y = ±x
36. จุดยอด: (±2, 0); จุดโฟกัส:(
±√13, 0
)
; เส้นกำกับ: y = ±3
2x
37. จุดยอด:(
2±√6, 1
)
; จุดโฟกัส:(
2±√15, 1
)
; เส้นกำกับ: y− 1 = ±(√
6/2)
(x− 2)
38. จุดยอด: (−5,−5) และ (1,−5); จุดโฟกัส: (−7,−5) และ (3,−5);
เส้นกำกับ: y + 5 = ±4
3(x+ 2)
39. y2 − 1
8x2 = 1 40. 1
16x2 − 1
20y2 = 1 41.
(x− 4)2
4− (y − 3)2
5= 1
42. 1
9(y−3)2− 1
16(x−2)2 = 1 43. 1
9x2− 1
36y2 = 1 44. 1
2(x−4)2− 1
2(y−2)2 = 1
47. พาราโบลา; จุดยอด: (0,−1); จุดโฟกัส:(
0,−3
4
)
48. ไฮเพอร์โบลา; จุดยอด: (±1, 0); จุดโฟกัส:(
±√2, 0
)
49. วงรี; จุดยอด:(
±√2, 1
)
; จุดโฟกัส: (±1, 1)
50. พาราโบลา; จุดยอด: (0, 4); จุดโฟกัส:(
−3
2, 4)
51. ไฮเพอร์โบลา; จุดยอด: (0, 1), (0,−3); จุดโฟกัส:(
0,−1±√5)
52. วงรี; จุดยอด:(
−1
2,±1
)
; จุดโฟกัส:(
−1
2,±
√3/2
)
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 20
1.2 สมการกำลังสอง
จากตัวอย่าง 1.10 ถึง 1.12 สมการท่ีอยู่ในรูป
Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1.1)
เป็นสมการของภาคตัดกรวย โดยท่ัวไปสมการ (1.1) เป็นกรณีเฉพาะของสมการในรูป
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1.2)
ถ้า A, B และ C ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ซ่ึงเรียกสมการนี้ว่า สมการกำลังสอง (quadraticequation) ของ x และ y
• ถ้า B = 0 แล้วสมการ (1.2) จะลดรูปเป็นสมการ (1.1) และแกนของภาคตัดกรวยจะขนานกับแกนพิกัด นั่นคือขนานกับแกน x หรือแกน y
• ถ้า B 6= 0 แล้วสมการ (1.2) จะมี พจน์ผลคูณไขว้ (cross-product term)xy และกราฟของภาคตัดกรวยจะมีแกนของภาคตัดกรวยทำมุมกับแกนพิกัด
ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะช่วยในการพิจารณาว่ากราฟของสมการกำลังสองเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด
กราฟของสมการ
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (1.3)
เป็นกราฟของภาคตัดกรวย หรือกราฟของภาคตัดกรวยลดรูป ถ้ากราฟเป็นกราฟของภาคตัดกรวย แล้วจะเป็นกราฟ
(i) วงกลม ถ้า B2 − 4AC < 0, B = 0 และ A = C
(ii) วงรี ถ้า B2 − 4AC < 0 และ B 6= 0 หรือ A 6= C
(iii) พาราโบลา ถ้า B2 − 4AC = 0
(iv) ไฮเพอร์โบลา ถ้า B2 − 4AC > 0
ทฤษฎีบท 1.1
หมายเหตุ: นิพจน์ B2 − 4AC เรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการในทฤษฎีบท 1.1
เอกสารประกอบการเรียนวิชา MA112 โดย ผศ.ดร.อัจฉรา ปาจีนบูรวรรณ์ 21
จงพิจารณาว่ากราฟของสมการต่อไปนี้เป็นภาคตัดกรวยชนิดใด
(a) 4xy − 9 = 0 (b) 2x2 − 3xy + 2y2 − 2x = 0
(c) x2 − 6xy + 9y2 − 2y + 1 = 0 (d) 3x2 + 8xy + 4y2 − 7 = 0
ตัวอย่าง 1.13
วิธีทำ
แบบฝึกหัด 1.2
จงใช้ดิสคริมิแนนต์พิจารณาว่ากราฟของสมการต่อไปนี้เป็นกราฟของวงกลม วงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลา
1. xy = −9
2. x2 + 4xy − 2y2 − 6 = 0
3. x2 + 2√3xy + 3y2 + 2
√3x− 2y = 0
4. 9x2 − 24xy + 16y2 − 80x− 60y + 100 = 0
5. 52x2 − 72xy + 73y2 + 40x+ 30y − 75 = 0
6. x2 + 2xy + y2 + 4√2x− 4
√2y = 0
7. 31x2 + 10√3xy + 21y2 − 32x+ 32
√3y − 80 = 0
8. x2 − 10√3xy + 11y2 + 64 = 0
คำตอบแบบฝึกหัด 1.2
1. ไฮเพอร์โบลา 2. ไฮเพอร์โบลา 3. พาราโบลา 4. พาราโบลา 5. วงรี
6. พาราโบลา 7. วงรี 8. ไฮเพอร์โบลา