Transcript
Page 1: A new look at the heat balance integral method

� ��� ���� � � �� ������� ������ ����

���� ���� �

���������� ��� ������ ��� ������� ������������ ���������� ������� ���� ���� ��� ��� ���� ������� ��

���� ��� � ����� ����� ������� �� ������� ����

��������

!� �� ������� ������ ���� � � "�� � �� ��� #�� "�� ��� �� ������� ��������$ ��� ������% ����&�����

������ ��� '��� � ������ �" � (������� �� � �� � � ����)� �������� �� ��� ���� ���� � ����� � #���&

� ���% � � �� ���� ���� �� � �����#����� ���� �� ����� � ���� ��� "�� ����� �� � ������� �� �������� ��

�" � ����� � ���� *���� �� �� ���� +��� ��� � �� ���������

��� ���! '�� ������� ������� ,��� �����

� ���� ������

-�� ���� �� ������� �������� . ����� �� �� ������ ��/ � ��� � �� ������� ������.'0+/ ���� �������� �% 1������ 2�3 ������� � ������ �� ��� �� � (���� �� �#�� �� ��� ��� ���% � (���� �� �#�� �� �%4 . / ����� �� � �� ���� �����5 �� �� ���6��$ . / �� �"% ��� ��� ����� �������% ���� ���$ . / ����� �� � ������� �#�� �� � ������ � ������ ��� ���� ���� � �� ���� ������ � ����� � �� ������� ������$ ��� . �/ ���� �� � ��&� ���% � (���� �� �#�� �� ����� �� "��� ��� . /� !� ������������ ���� � % �" � ����� � "��� �" � �����5 �� �� ���6�� ��% �� ����� ��� �% � ���� �� �� �" ���� � ��&������ �� ��� � ���� � ���� �� �����5 ���� 2�3��� � ������ ���� "�� � �� � � ������� �" � � (������� � ��� �� �� � � � ����&

���� �� �" � ��� � .#����� �/ ���� ��� � �(�� � � �� ���� � ���� �� � ����������� ��� ���� ��� �� ����&����� �������� 1������ ����" 27$ ��� 8�98:3 ���� ��;������ ��) "��� �" � ��"�� ���� �� � �5��� � � ����� �� �� �" ��������� ������ �� � � ����� �����5 ����'��� �� �� � � 5 ������ �� ����%� � ������� � �� � ��� #����� � '0+ ���� ��

��� ���� �� ���� �� ����� "�� ����� �� � ������� �� ������ �� "�� � ��� ������� ����&������ !� ����%� � ��� � ����� �� ��� ������ ���� � � ���� ������ "��� �" � � ���� ��� ����������

���� �� <���� ��� <����� �� �= .����/ >�=9>�:

��������� ������?�����?���

�!���4 @::&��8:&�7:�>�� "�54 @::&��8:&�7:=�=�

�"���� �������! ��������A����"��������� .���� ����/�

�7�8&��:B?��?C & ��� "��� ���� � ���� *���� �� �� ���� +��� ��� � �� ���������

,++4 � � 7 � 8 & � � : B . � � / � � � � D & D

Page 2: A new look at the heat balance integral method

� ������������ �� ��

�� ���� ��� � � ����&���� ������� � ����� ��� � .� ���� ������/ ��� �� �" � ��� � ��� & �6� � ���� �� � ���% � � ��� ���������4

����

� ������

� � � � � �� � � �� ���

����

� ������

� � � ����� �� �� ���

� � �� � � �� � � �� �7�� � �� � � �� �� �� �:�� � �� � � ����� � � �� �=�

!� ������ �� "��� �" � ��"�� ���� �� .�/ ���� �% 1������ 273 � ��� ��� "��� � "�� �� ��� ��� �� �� �" � ��������� � � � ���� � E���$ ���$

�������� �� � �� ��

������

� ����

� ��

+�������� �� *#� .�/ �� ��� �

����

� � ����������

� � �������

������D�

��� ����

����

� ��� �

������

� � � ����� � � �� �8�

,������ .�/9.=/ �� � ����&����� ����% ��� ���� �� "�� � ��� � � ��� �% 2:$ ��� �� ����3

���� �� � ����" �

���

�� ���"��� � �� �� ����� �� �� �>�

���� � �� ���

�� �� �� ���

������������

�� � '0+ ���� �� �������� ��� ���� ��� ���������� '0+ �����5 �� �� � �# ����

$������ ��� "��� ��������� ��"�� ������

>�D %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 3: A new look at the heat balance integral method

���� � � � ���� �� �" � ������������ �#�� ������

��� ��"������ � �� ����

-�� ����� ������ �" �$ � ����� �" � � ����� ��� *#� .��/ ��� �� �� �� 2=$ -������ 8���D3

����

���

�����

� ���� �� �F��7����� � ��

+� ��� �����$ � ����� �" � ��������� ����������

�"�� ����� ��

� ���� ������� �������� ���������

1������)� 273 ��&�������� �� �� "�� � ��������� ���6�� ��� � "��� ���� �� ����� ��� � � ���� ���% �� �6�� ���� �� .=/� '������$ � "��� ������ � ���� ����������� � ��� 1 � ��� "��� ��� �" ��� +� � ������ ����%� � � "����� �� "��� "�� ������5 ��� � � ����4

���� �� � � ��

� ��

�� � �

�� �

��� ����

!� �����#����� �" � � � � ��� 1 ��� ��� ������� � � � ��� 6�� � ����%� �� !��������% ���� �� .=/ � ���� ���% �� �6�� ��� � �� �"% ���� �� .:/ ��#� ��� �� � �� �$ ���$ � � �� �$ ��� ����

���� �� � � ��

� ��

�� ��� �� �

�� �

��� ����

-�� ���� ��� �� ��� � "����� �� ��� ��� �5����� ���4

����

� � ��� ���� ��

��

�� �

�� ��7�

������

� ���� ����

� ��:�

����

� ����

�� ���� ���

���

�� �

�����

� ��=�

!� �� ������� ������ � ��� ��� �% ����� �� *#� .�/ ���� �� �� � ��� ������ �� � �% �� �� �� ��������% �������� ���� ��� � *#�� .�7/ ��� .�=/ % ���� � "����� �� ��� ���% � (��&�� �� �#�� �� .F */ "�� �4

�� �D

� ����

� ����

������

� �� ��

� ��D�

!� �� ���� � �� ���������$ � ��� �$ ��� ����� ��� "��� � ���� �� �� �" � �� *#� .�/ ��*#� .8/ ����� � � �� ������� ������ *#� .�D/�+ � � � �� � � � ���� �� ������� �������� ���� ��� �� % ��� �(��� ������� .� 5/

�� ��� �" � ��� �� � � � � ��� ��� � ����%� �� !��� ��� �� "���� "�� � ��"�� ���&� ��$ *#� .�/ �� *#� .8/$ ��� � ��� ����� � � � ���� � *#� .�D/ ��� �� �������� � ��� �"��� ��%�4 . / �� �� *#� .�/$ . / �� �� *#� .8/$ �� . / �� �� � 6�� ��� �� ��� �� �� �" � "���*#� .�7/ �������� � � � ����$ ���$

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >�8

Page 4: A new look at the heat balance integral method

����

� � ��� � � ����� � � �� ��8�

!� � 5 ���� �� ���$ ������ ��� � !���� �$ ����� � �5����� ��� "�� �$ 1 ��� � ���� �������% � � "��� �� �" � ��"�� ������ �� +� � "����� �� ����%� � � � 5 ���� ��� ��� ��������� ��������� �" ���� ��� � % ��� ��� 6�� "�� ��� ���� �� � ���� �" � �

2&�& '���� �������

�� -�� �� ��� �97 � ���� �� �� �" *#�� .�/ ��� .�7/ � ���

�����

� ��

��>�

� ���� �� � � ��� ���

� � � � �� � ����������

�����

� �������� �� �� �����5 �� �� � � ���"��� �������� ��

�� -�� �� ��� :9D � ���� �� �� �" *#�� .8/$ .�7/ ��� .�:/ � ��� �� � ���� �� � � � ����& ��

� � ��������������������� � ��

�� ����

!� ��� �� �#����&��� � ����� �� � � � � ."�� � � �/ ��� ���� ���� �� � � �� ��#� ���"��� �%� ��� ���� ���� ���� +� "�� � � � ��� � � �� -����$

� � ��� � �

�� ��

����� ��� � �

�� ���F�����

�� ��F�����

��� ���� � ��� � � � .���6���� � - ��� � ��� �/�

2&)& 3��� 1������ ��������

�� � � � ���� *#� .�/ �������� � ��� �� �� �5����� ������

� ������

� ����

��� ���� ��� � � '0+ .�D/ � �5����� �� % ���� � F *

�����

� D��� ���� �� D� � ����

!���� �

� 5 ���� �� �� ���

F� �� ��"�� ���� �� '0+ ��� �� ��

� *#� .�/ *#� .�/

� *#� .�/ *#� .8/

7 *#� .�/ *#� .�8/

: *#� .8/ *#� .�/

= *#� .8/ *#� .8/

D *#� .8/ *#� .�8/

>�> %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 5: A new look at the heat balance integral method

�� � � � ���� *#� .8/ �������� � ��� �� �� �5����� ������

� ������������������������� ����

�� ����

- �� �� ,��6�� �������� � .�� �� �/�

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Stefan Constant, β

Pro

file

Par

amet

er, a

Option: 1,3 Option: 4,5,6

- �� �� ,��6�� �������� � .�� ��� � ��� 79D/�

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >��

Page 6: A new look at the heat balance integral method

� � ���� ��� � � '0+ .�D/ � % ��� � F *

�����

� D �� �� ������������������������ ����� �

�� � � ��7�

7� � � � ���� *#� .�8/ �������� � ��� �� �� �5����� ������

� � ��� ��:�

��� ���� ��� � � '0+ .�D/ � �5����� �� � ��� � F *

�����

� ����� ���� � � ��=�

2&2& '�# ��1�������

-�� �� ��� �97 � ��� �������� � �� � ���� ������ *#� .�>/ ���$ ������ ���%$ *#�� .��/$.�7/ ��� .�=/ � � �� �� ������� � �#�� �� "�� �4

�� � ��� ������ ��� � �� ��D�

�� � ��� D����������������������������8���� ���7

�� ��� � �� ��8�

�� � ��� ������ ��� � �� ��>�

!� 6�� ��� �� �#�� ��� .�� ��� � ��� 7/ ��� �� ������ ���� ���% � � ��

� � ��� D����������������������������������� �:�� 7D��

�.� ��� �� �#����&��� � ���� � ��� � ��� �� ��� ��

� ������ � ���� �� � �/� ��� � � � � ��� � � � ���$ � � ������ �" *#� .��/$ � ���& �% ���� � � ��� � � � � � ��� F������ - ����%$ � ��� "��� �������� � �� ����"���

�� ����������

�������������������������������������������������������������� D��

��������������������������������� �:�� 7D��

���

���� ����

��� �� ��������� � � �5�� ��%��� � ����� �" ����������

�� � ��� F������

-�� �� �� �$ *#� .�8/ ��� �� ������ ����� ����% "�� � .����$ G����9������ ��� ��/� !��� �� � ���% ��� � "�� ������ �" � �% �� � � ������ ��� � � ���$ ���� ��$ �������� ����� ��������5 .��� *#� .�7//� F��� � � ����� ��� �� � � ��� ��� "��� *#� .�>/

���� � ������������

� ��� ���

�� �7��

-�� �� ��� :9D$ � � �������� �% �5����� �� .��/ � ��� �" � F *� .��/$ .�7/ ��� .�=/ � � ����� ������ "�� � � � �� ���� � ��� ��

������

>�� %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 7: A new look at the heat balance integral method

�� �

������������������������D�7��7

��������������

���=��

��������������

�������������������������������������������������������������D�7��7

��������������

��7

���������������������������������

��������������

���

�����

��������������

��

�������������������������D�D��D

��������������

�����

��������������

�����������������

�7��

�"�� ���� ������� � ��� ���� �� ��� �� ���� � � ������ ��� �� �5����� ��� "�� ��

��� ��� ���� +� ���$ ���"���$ � � 5 ���� �� ��� �" ��"�� ���� �� ��� �� ������� �&����� ������� "��� � � �� �5����� ��� "�� � ��� "��� �������� �� ��� �� .��� ���� "��� ���6�� ��������� � ��� 1/�1������)� �������� �� 2�$73

� � ���� �� � ���� ���� � � �����7

�� � � ��

���7

���7��

� ����� ��� �% �� �� : � � � �� +� � ���� � � � ��� �% *#� .��/$ ���$ � � ���7

� � �$ ���� � �� � � �� ���

7�� '����$ "��� *#� .��/$

���� �� ����7

��� �

��

�� �

�� ��

����7

� ��

�� �

��� ��

���7

���� �� � ��

���7

����� ����

+� ��� �����$ � ������ ���� �� .�� �� :/ ����� ��� 1������)� �� � ��� ����%� �� '������$�� �� ���� ���$ 1������)� �������� �� � �� � ��� ������� "�� ��� ��� �� �������� �"� %��� .�/9.=/� +� "�� "�� � � ���= �� ��� � ��� 7 �(�� ������ �������%�

� ��������� ������� �� ���������

- ��� � ��� � ��� ����� �" � ���6�� �������� � � ��� �% � � 5 �� ��� �� � "��� �� �" ��!� �5����� ��%��� � ���� ��� .� �/ � �������� �� � �� � � ��� �� "�� � � � ."�� ����� ��� �5��� �/ ��� �� ���� �� � ���� ��$ �� ��#� ���� - �� � �� ���� � ����� � (������ ��&���� � ��� �" � �� ��"�� ���� ���$ *#� .�/ .�� ��� � ��� 7/ ��� *#� .8/ .�� ��� :9D/$� � ;����� ����) � � ������ � � � � ���� - �� � ���� � "�� �� �� � ��� � �� ������ �"������ �" � .�����5 ����% ��D9���/ "�� � � � �������� �� ����� ������� � ����� � � ���� ���� ����� ������� � ���� �� � � ��� �� ��������- ��� 7 ��� : ��� � ����� �" �� ����� � � �5�� ����� � ��� ��� "��� *#� .��/� -���

- �� : � �����#����� �" � ���� ���� ��� �5 � �� �% � .�� �� �/ � �� ��� 9 � �� ����� ���� �� ���� � ����% � ����� "�� ��D � � � ��� ��� ���"��� � �������� �� � H�����- �� 7 ������� � �� ��� = ��� D ��� � �� 6����% ����� �� �� ��� �$ 7 ��� : � � ���

������ #� � ����� � � ����% � ������ ! � � ����� ��� � - �� = � ���� � ������� ����� � �� "�� ��� �� �� �� � "��� �� �" �� - �� D � ���% ���� � ���� 6�� ���� �" � ���� ��� �"� ������ "�� ����� �� !� ������ �� � �" ������ �� �" � ��� ������ � � � ���=� -��������� � ����� � � �� ��� . � ������� �� ����� �" �������%/ ��� � ��� 7$ :$ = ��� D� !��$1������)� 2�3 �������� �� .�#� ����� � �� �� :/ � ���% �� � � ���� �� ����� "�� ���I�� % �" ��������� '������$ "�� � � � � ���= . �� �� �� � ��� � ����&����� �������/ �� �� �� � #� � ��� ��� *�� �������� �� � �� ��� "�� ��� �" � ������ � � �$ ��� � �"���� �� � ������ ��� � !���� �� + ������� � 1������)� �� � ��� �� �� �" �������&� �� � ���% � ��� ������� "�� �������� � � � � � �� � � ����� ������ ����==� ���8= �

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >��

Page 8: A new look at the heat balance integral method

! � ��������� � �% ���&�� .��� � ����&�����/ �" � ����� �" ��"�� ������� ���� ����� � � ����� F� ��� � ��� 7 �������� � ��� �������� ��� "�� ������� ��� ���$ ������% �1������)� ������ �� 2�3$ � ������&����� F * "�� � � �� ���������

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Stefan Constant, β

Mel

t Fro

nt P

aram

eter

, α

Exact Option: 2

- �� :� <�� "��� �������� �� .�� �� �/ ��� ��

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Stefan Constant, β

Mel

t Fro

nt P

aram

eter

, α

Exact Option: 1,3Option: 4 Option: 5,6

- �� 7� <�� "��� �������� �� .�� ��� � ��� 79D/ ��� ��

>�� %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0

Page 9: A new look at the heat balance integral method

� �����������

+� � ����� � �� � ��� #����� � �� ������� ������ ���� �� �������� �% 1������ 2�3�� ���� ��&������ � � 5 ���� ��� ���� �� ��� �" � ��"����� ���� ���� + �� ���� ����

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Stefan Constant, β

Abs

olut

e E

rror

in α

*

Option: 1,3Option: 4 Option: 5,6

- �� D� ������� ����� � ��� "��� �������� �� .�� ��� � ��� 79D/ "�� ����� ��

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

Stefan Constant, β

Abs

olut

e E

rror

in α

*

Option: 1,3Option: 4 Option: 5,6

- �� =� ������� ����� � ��� "��� �������� �� .�� ��� � ��� 79D/�

%&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0 >�7

Page 10: A new look at the heat balance integral method

� 1������)� ��� �" � ���� ��� ���� �� ���� � � �� ��� ���� ��$ ��� � ���"������ �� � �� � �� � ��� "��� �" � ��"�� ���� ��$ *#� .�/4 . / � ������� � �������% ���� �� ���. / � ������� � �� ������� ������� J �� ��� ���� �(�� � ��#� ���� !� ����� �������%���� ��� �% � ������� ��"�� ���� �� .8/ �� ��� "��� � "�� � � ������ �� ��������#�� ��$ *#� .�/$ ���� �� �� ��% ��� � � � ���� � ��� �� ������� �������% ���� �� ���"����� � � �� �� K����#����% � ���������� �" ����� � ������� � *#� .D/ � ���� ��% ��� ��

����������

2�3 !��� 1������$ !� �� ������� ������ ��� � ���� �� �� � �������� ����� �� � ����� �" ����$ !�����

��<* L� '�� !����"�� >� .��=>/ 77=97:��

2�3 0� G����$ '�� ������� ����� � ��� �� ��������$ �4 L��� F�������$ ���� '���� �� .*���/$ �4 <�� ��

0������% ,������� � '�� -��� ��� (�� ��$ K�������� ,����$ F5"���$ ��8:$ ��� ��>9����

273 !��� 1������$ ���� �� �� �" ������ ����� � ���� �� ���&� ���� �� ����"��$ �4 !�-� +�� ��$ L�,� '����

.*���/$ �������� � '�� !����"��$ ���� �$ ������ � ,����$ G�� M���$ ��D:$ ��� =�9����

2:3 '��� K������$ L�K� L�����$ K����� �� �" '�� � ��� ��$ ������ ���$ K�������� ,����$ F5"���$ ��=��

2=3 <� ������� E$ +��� �����$ '������� �" <���� ��� -��� ���$ ���� ,����$ G�� M���$ ��D=�

!���� �

0�� '0+ �������� �� �� � "��� �� �" �

+������ � 0�� ���� �� �� ���

- �� ������ ! ��

��� ���== � ��� 7 : = ��� D

����==� ���D: : � ��� 7 = ��� D

����D:� ���8= : = ��� D � ��� 7

����8=� ���= = ��� D : � ��� 7

����=��� � ��� 7 : = ��� D

>�: %&'& �� ( %���& ��� & �������� )* +),,�- .�*/.)0


Recommended