General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.
You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.
Downloaded from orbit.dtu.dk on: Aug 23, 2021
A Beddoes-Leishman type dynamic stall model in state-space and indicial formulations
Hansen, M.H.; Gaunaa, Mac; Aagaard Madsen, Helge
Publication date:2004
Document VersionPublisher's PDF, also known as Version of record
Link back to DTU Orbit
Citation (APA):Hansen, M. H., Gaunaa, M., & Aagaard Madsen, H. (2004). A Beddoes-Leishman type dynamic stall model instate-space and indicial formulations. Denmark. Forskningscenter Risoe. Risoe-R No. 1354(EN)
�������������
��������������� ��������� � ��� ���� ��� � ������� ��� �������������� ����
����� ������� ������ �� ����������� ������� �����
���� �������� ���������� ���!���� "��#��!$��� %&&�
�������� ���� ������ ����� � ��������� � � ��������������� ���� ���
��� ����� ����� � ���� � ���������� �� � ������ ���� ���������� ���
����� ������� ��� ������� ��������� ���� �� ����� � � ��� ��� �����
�������� ��������� ����� � ������ ��������� �� ����� ��� ����� ������
��� ����� � ���� �������� ��� ��� ������� ���� ���������� �������� �� ���
����� � � ���������� ������� ���� ��������� ����� ��� ������� ��������
� ��� ����� ��� ������� �� ���� ��� ��������� ����� � ������ ����� �� ������
���� � ��������� �������� � ��������� �� ������ ��� �� ������� ��� �������
� ��� ����� ��� ������ �������� �� �������� ��� ������ �������� � ���
����� ���� !� ��� ��� ���� �� ����� ��� �������� ����� ����� ����� ���
����� ������� �� ������ �������� ���� ��� ��������"� �����# �� �� �$������
��� �$����� ����� �������� ��� �� ��������� � ��� �� �� � ��� ����� ������
��� ��������� ����� �� ��� �� ���� ������� ������� �� ��� ��� ����� �� �����
��������� ����������� %����������� �� �� ��� ���� ��� ������� � &��� ���!�
��� ��� ���� � �� ��������� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ����& ������
������� ������
'(�) *+�,,-�.-*/�-# *+�,,-�.-/-�0 �'������
'(() -1-234*0-
��������
� ������� �
� ����������� ������� �
4�1 �� � �
4�4 5��� ��
4�. 6���� ��
4�0 7����� ��� � ������ �������� ��
4�, ����������� ����� � ������ ����� ��
� �� � �� ������� ��
.�1 8����� ����������� ��
.�4 5����������� ��
� �������� ��
0�1 9�������� � ��� ������ ����� ��
0�4 9�������� � ��� ����� ����� ��
0�. )������ ��� ��� ���!���� ������� "� ��
� ����� ��
� ������� ��� ����� ��� ��
:��;3:31.,0�<)� .
0 :��;3:31.,0�<)�
���������
��� ��� �� ��������� �������� ����
��� �� 7������ � ��� �����$������ �� ��� ������ ���� �
��� �� <$����� � ��� �����$������ �� ��� ������ ���� �
�� ��������� � �������� ����� � ��� ��� ���
� 7���� �����
�� �� � �����
���� ����� �� � ����� �����
�� 5��� �����
�� 6���� �����
� )����������� ������� � ��� ��������� ����
���� =���� �������� �� ��������
:����� ������ ���4����
� � ����� � ����� &��� ����� ��������
� )����������� ���� �
� �� ���
� ����
�� 7����������� ���� ����� ��� �� ����������� � �� ��� ���� ���4���
�� ���� ��� ������� �� ��� ���� �!� ���� ������� ���� ��� ������� �� ��� ���� �!� ���� ������� 7����������� ���� ��� ������� �� ��� �������� �����������
�� ����������� ���� ����� ���4�����
� 7����������� ���� ��� ������� �� ��� ��������� ����
� :������� ������� � ��� ��� ������� � ��� ��� �����
�� %��� ������ �������
���� 5� ��� �� ������������� ���� ����
� ��������� ����� ���������
��� �� ��������� ����� ��������� ������� �� ��� �� ��� ����
� ���� � ����!
���� ���� � ����! �� ������������� ���� ����
������ �������
� :������� �������� � ������� ��� ������� ��������� �����
� 5����� � ���
� '����� ���� �� �� � �������
:��;3:31.,0�<)� ,
2 :��;3:31.,0�<)�
����� �����
� � ��������������� ����� ���� ����� � ������� ��� ��� ���������� ��
����� ����� �� ���������� ���� ���������� �� ������ ���������� � ��� �����
��� ��������� ��� �$����� ���������� ��������� ������ ��������� ������� ��
�� ������� ����� � ��������� �������� �� ��� ������� ������ ��������� ��
�������� �� ������� ������� ������� � ��� ���������� ��������� � ������
������ � ��� ������� ��� ����� ��� ������� �� ���� ���� ��� ���� � ���
���������� ��� =�>7 ?1� 4@�
� ������� ��������� ����� �� ���� �� ������� ��� ������� ���������
���� � � ��� ��� �������� ��������� ����� � � "� � (�� ��� &��� ����������
��������� � ����� �� ����� ������� ��� ��� ���������� ��� ��� ������� �$�
����������� �� ������������� ���������A� �������� "� �����$������ �� ���
������� �� � �� ������ ����� ?.@ ����� ��� ����� �� ������� � &$�� ��
����� �� �������� ���� ����� � ��� ������� "� ������ ��� ������ � �����
"����� � ����������� ����������� �� ����� ���� �� ��� ������� ���������
��� � ��������� ����� ��� �� ��� ��� �� ������� � ������� ���������
���� � ��� ������� ������ B��� ��� ,-A� ��� ������� ��� � ����� �� ���
������� �$����������� ���� ���� ?0@�# ��� &��� �������� ����� ����� ������ ���
�������� � ��� ���� +-A�� %������ �������� ����� ������ � ��� ����� �����
��� 1/*. ?,@# ��� ��� ������ ���� �������� �� ������ ���� ��� ���������
9��� � � ����� ������ ��� ��������� ��������� � ��� ����������� �� �$���
��� �� ��� C)<:� ����� ?2� +@� ��� ��� ����� �� ��������� �������� � � ���
���� ������ ����� ������ ���� �� ������������� ��� ���� ������� �������
���� ����� ��� ��� ���������� � ��� �����# ����� ������ �� ������� ?*� /� 1-@
����� ��� ��� ������� �� � �� ������ ������ ����� ������ ��� ���� �� ��
� ���������� ����� �� ������� �� ������� ?11@ �������� � ������� �����
�� ������� �� �� ����� �� ������ � ������� ������ � ���� ��! �� ���� �
?14@� ��� ��� ����� ������ ��� ���� � ��� ������� � ����������� ������
�!�� ��� ����� � ������� �� ������ ���� "� ���������� �� ��������������
����� ������� �� ��� D���� ������� (��������� ���������� � ��� ��� �����
���� ��� ��������� �� ������� "� ������� � ?1.� 10@ �� �� ��� �������
����� ����� ����� � ?1,@� 5������ � ��� ��������� � ������� ���� �� ����
�� ������� � ?12@� �� � �$����� � ��� �������� � ��� ��� �!� �� ���� ��
������� � ?1+@ ��!�� ��� ���� ��� ��� ������ � ������ ����� � �������
��� ��� ���������� � �� ��� � ?1*@�
���� ������ �������� � ���������� �� ������ ���������� � � �����
����� ����� ���� ������� �� ��� ��� ������ ��� ��������� ����� �� ������ ��
�� ������ �������������� ���� �������������� ����� �� "� ��������� �����
���� ��� ��� ������ ���� � �� �������� ���� �� ��� �� � ������ ��$���� ���
����� � +-3*- �E� �� ��� ��� � �������� ���! ��� ���� ��� � ������ ���!��� �
� ���� ��� 1, F� =��� ��� ��� ����� �� ����&�� �� ������ ���������������
�� ��� ������� ����� � ������ ���� "� ��������� �� �������� >�� ����
���� ���� ��� ���! � ����������� �������� ���������� ��� ������� �� � ��� ��
��� ����������� "� ������� �� � ��� ��� �������� � �������� ?1/@ �� ����� ���
������ � ��� ������ ���������� ���������� ��� �� �� ��� ��� � ������
��� ���������� ���������� � ��� ��� ����� ?1.� 10@� %�� ��� ������������
� ��� ������ ����� � ���������� �� ������ ����� � ������ ���������
�� �������� �� ��� ��������� � ��� ����� ��� ������ �� ��� ���� ��� ���
!��� � ���� ��� ��� ���� �� ��� ����� �� �� ����� �� ����� ������ ���
������ ��������� ��� ������� ������ ������� �� � ������������� ��
� � ����������� ��������� ��� ������� ������ ������
��� ������ �� ������� �� ���� �G ' (���� 4 ��� ��������� ��� ���� �����
:��;3:31.,0�<)� +
����� ����� �� �������� �� ��� ���������� ���������� ������ � �����������
� ��� ������ � ������ ��������� � ��� ����� �� �������� � (���� .� ��
� (���� 0 ��� ��������� �������� ����� �� ������� �� ������� �������� �
<���� �� )������(��!�� ���������
* :��;3:31.,0�<)�
� ����������� ���� ������
��� ���������� ��������� � ��� ��������� ����� ����� ����� �� �������� �
���� ������ ��� ������ � ��� ��������� ������ �� ������� �� ��� �� �� ��
��� ������� ���� �� ������ ����� ��� ��� ��������� ��� ��� �������
�� �� ��� ����� �� ����� ��� ������� ��� ����� ��������� �������� ����� �����
���� ����������� ���� �� �� � �������� �������� ��� ����� ��� � ������
��������� �� &���� � �������� ������ ��� ��� ����������� � ��� ������
%'� ��(�
��� ������� ��� ����� ������ ������ ���� ��������� �� ��� ��������� ����
��� �� ��������������� %�� �� �������� 6�� ������ ��� �� �� ��� -�. �� ��
�� ������� ���� ��� "� �� ������������� ������ ����� ���� ���� ����������
��� ��������� ����� %����������� ��� ������ ���� ��<� ��������� �� �������
�� �� �� � �������� ������� �� ��� �������� ���! ��� ���� ���� � ��
������ ������� ����� ���������� ���� �� � ���������� ��������� � ��� �����
���� �� � ���� ������� "� ������� �� ���� �� ��� ��������� ������� ��
��� ������� ���� ��<� ��������� �� �������� ���� ������� "� ��������
����� �� ��
��� ������� �� � � � �������� ��� ��� ��� ����� ������ ���� �� �����
����� � ����� ��������� � � ������� "� � �� �����$������ �� ��� �����
����� ������ ?.@� ��� ������� ���� � �����$ ������� ��� �� ����� � ����
����� � ��� ��� ��� �� ������� ���������� �� ������� ���� ��� ��� ��� �� �&�����
���� �� ���� ��� �����$ �!� �� ������ �� ������� ��� ��� ���������� ���
����� � � �������� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ����������� � %����� 1�
��� �� ��� �� ��� ������������� ���� ���� ������ ��� � ��� ���� ��
����� ����� � ��� ��� ���� �� ��� ���������� ������� � �� ������� �� ��
����� � ���������A� ������� ����������� � ����������� ���������� �������
��� ��� �������� �� ��������� ����� � ��� ��� ��� ����� �������� � �����
�� ��������� ��� �� ������ ������ ��� ���� ������ �!� ��������� ����
� ����� ����� 5������ �����$������� �� ��� ��������� ������ ���� ���
��������� �� ����� ����� ����# � ����� � ����� �����$����� �������� � ��
��� � ?1/@�
9� ��� >��� �� ������� ������ ���� �� �������� ������ ���������
��� �������� ���� ��� ���� ������ �� ��� ��������� ������� �� � �����������
���������� ������� � H ���� �� ������� � ��� 5������A� ������� ����������
' ���� ���� ��� ������� �� � �� ���� ��
� H ����
0
�� I�J I��J K����
�J����
������-����� J
� �
�
�����
������ �� ��
��1�
���� �I� � ����� � �� ��� ���� ������ � �� ��� ��� ������� � �� ��� ��������
���� � ����! ��� �� ���� �� ���������� "� � K���� �� ��� ����� ���������
w3/4U
harmonic wake
� ���� �� ������� � �� ��� ������� �� �� ��� ��������� ������
:��;3:31.,0�<)� /
�� ��� ��������� � �� � � � �� ���� �� �� � �� ��� ����������� ���������
� H4
�
� �
�
��� �4�
�������� ��� ������ ��������� �� ��� �!� � ��� ����������� �����������
��� &��� ���� � �1� �� ��� ����������� ���� � ��� �� � ��� �� ���������
� ��� ��� ���� �����0� %�� �������� ������ ��������� ��� ��������� �����
� ���� ���� K���� �� I�� ��� �� � ����� �� �� ��� ��� ������� ���� � I�� ��
����� ����� ��� ����� ��� ������� � ��� �������� � ��� ����� ���� �����
��� ���� ���� � �1� �� ��� ��������� �� � ��� 5������A� ������� ��������
��� ������ ���� � ���������� ���� �������� ��� ��� �!�� ��� ������� �4� �
�� �� ��������� ����������� ������ ��� ���������� ������� � �� � ������
���� � ��� ��������� ����� ��������� �������� ��� ��������� ��� ��� ������
=� ����� �� �� ����� �������� �� ������ ��� ������ ���� � �1� ��� � ��� � ������
���� ���������� �������� ���� ��� ������ � ��� ����� ���������� ��� ������
���� � �� �������� �� � ������� �� ��� �� ��� ������������� ����
������ H �����-����� J
� �
�
�����
������ �� �� �.�
�� ��������� �� ����� � 5������A� ������� ������
������ H ���������-��
� �
�
���������
����� �� �� �0�
D�� ����� ��� �������� ����������� �4� �� � �� �� ��� ������� �� ��� �
�� ����� ��
������H ���������-��
� �
�
��������
��
���
�4
�
� �
��������
���� �,�
���� � �� �� ��� ������� �� � �� �� ������������ ������� �4��
%�� � ��������� � ���� � ����! ��� ������ ���� � �� ��� >���� ��
���� �� �� ����� ���� ���� �� �� ��� LK����� ����� ���� ����� ��� � ��
�����$������ �� � � ��������� ��
���� H 1�������� ����
���� �2�
���� ��� ������ ��� ��� ��� �� �� ��� ���� ������� � ��������� ����
���� ?1-@ �� ������ �� ��������� ������������
��� � � ��������� ����� � � � �� ���������� �� � � &��� ����� ����������
��������� (���������� � �2� ��� � H �
� ��� ������ ��� �,�� �� ������������
��� ������ �� �� ������
��
���
�4
�
� �
��������
�H �4���
��
�
����
������
��
��
������� �+�
(���������� � �+� ��� �,� ������ ���� ��� ������� �� ��� � �� ����� ��
������H ��������1��� ���� J ����� J ����� �*�
���� ��� � ����� ��������� � ���
���� H ��4
�
� �
�
�������� ���������
��
��
������� ��� �/�
���� � H 1� 4� 5����������� �/� ��� ������ �� � ��� � ���� ��������� �����
� �� ��� ������� �� ��� ���������� �������
I� J �4�
�� H ��
4�
����� �1-�
���� � H 1� 4 �� ��-� H -� ��� ������� �� ����� � ��� ��������� ����� �����
���� �� �� ���� ����� ������ ����� ��������� �� ��� ��������� ������ �������
��� ������� � � �
1- :��;3:31.,0�<)�
=��� ��� C5<� �1-� �� ��� ������� �� ��� �������� ��� ������ � ���
��� �!� �"��� � ��� ������� �� � ����� �� ������� "� � =� ����� ����
��������� � �� ��� ���� �� ������� ������ ��� ��&���� � �� ���
�� ��������� � ��� ����� ���� � ����� � ����! ���� � �� ������ �����
�������� ��� ������� ��� ��������� � ���������� ���� � ����! �� ���
������������� ���� ���� �� ����� ��� ��������
B��� ��� ������� ���� H ������ �� �������� ��� �������� ���� �������
� H ��� ��� C5<� �1-� �����
I� J4�
�
�� J
� I�
4��
�� H ��
4�
����� �11�
��� ������ ������� ��-� H -� �� ���� �� ��� ��� ������� ���� ��� ����
������ ������� � �� ������� >��� ��� � ����� ��������� �� �� ��� �� �� ��������
�� ������ � ������� ���� � ����!
�� H �����1��� ���� J ����� J ����� �14�
������ ��� ������� �� � �� ������� "� �1� � �� �� ����� ��
� � H 4���� � ��� J �� I���4�� �1.�
���� �� �� ��� ���� � ����! �� ���� �� � ����� �� �������� ��� ����� )��� ����
��� ��������� ����� � ��� ����� ���� ��� ������� � ���� �$�������� ������
���� �� �������� ������ �������� ��� � ����� �� �� ��� ��� ��������� �����
��� ���� ���� � ��� ���������� ������� �11� �� ��� ������ �� �� �� ��� ���
���� ����� �� ��� ������ ������� ���� �� � ���� �� ������� � ��� ������
������ �� ����� ������� �� ��� ����������� ���� ������ �� �� ��� '
���� ���� ��� ������ ����� ������ �� ��� ������� ��� ����� ���� ��� ���� �
����������� ���������� ������� �� ��������
������� �� � � ��� � ! ��!� �������
��� ��� ����� ����� ��� ���� �< �� �< ���������� ��� �< ��������� ��
�� ������ � ��� ������ ����� ������ �� �� �� � �������� ������� ��
�� ������ ����������� ���� ��� ��� ���� ���� ���!����� � � ���� ��� 1, F�
%����������� ��� �������� � ��� �����$ ������ ����� �< ��������� �������� ����
��� ���� � ��� �����$ ������� �� ���!�� � � ��������� ���������� ������
��� ����� ������ ������� �� ��������� �� ��������� ��������
��� ���� ��������� � ��� ��� ����� � �< ��������� �� ���� ��� ����� �� �
���� � �� ���������� �� ��� �$�������
���� H ����
�1 J
� �����
4
��
��� ��� �10�
��� �� ��� �� � � � "�� ����� � � �������� L������ "� ?4-@� ��� �����
���� �� ��� ����� � ��� �� � ���� � ��� ����� ����� � ������� "� � �� ���
���� � ����� ��������� ��� ��������� ���� �� ��� �< ��������� �� ��&��
� %����� 4� ��� "� �� ���� ������� �� � H 1 �� ���� ��������� �� � H -�
Useparation point
x c = f/
wake
� ���� �� ��� ��� � � ���� ������� � �� � � ����� ��� � ����� !�" ���� �
!�� ������
:��;3:31.,0�<)� 11
������� ���� ��� ����� �� � ���� �� ����� ��� ��������� ���� � �� ������
���� �� ���� � ���� � ����! �� ������� � <������ �10�
� �� H
�4
���� ���
������� ���� 1
��
�1,�
����� ��� � � ������ � ���� ������� �� ��� ������������ � ��� �� � ���� ��
�10� ���� ���� �� ������� %����� ��� ��������� ���� ��� �$��� ��� �< �
��� ��� ���� � �� � 1� ��� ����� �� � ����� �� ����� ��� ��&�� ������ H ��$����
� ������� ���� �12�
�� ��� ����� � ����! � ��� ������� "� ������ B������� �� � ����� �������� ��
���� �� ��� ����� ���� � ���� � �� ����� � ����! ���� ���� ��� ���������
����� �� � ����� ���� �� �12�� =� ����� � ���� ���� �� � ����� ��� ��������
������� ��� ������������ �� 7%5 ����������� �� � �� ������� �� ���
����� ��������� �� �������� � ����� �� � ���� � � ���� � �� �� ����� �
����! ��� ���� ������� "� �
(���� ��� � � ����� � ����! � �� �� ���� �� ��� ��������� � �������� H -
� ��� ����� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ������������ � �� ��������� ��� ���
������� ����� ��
����� H ���������� � ����0�� ����� ����� ����� � ����! ���
����� �� � ���� ��� �� ���������� �� �$������� �10�� �� ��� ���������
���� ���� �� ��� �� ���� � �� H -�
�� ����� ��������� � � �$����� ��� ������ � ��� ���������� ��� ����� �� �
���� �� ���������� �� � ����� ����������� ��� �� �� � ������ �� ����
������� �� ���� ��������� "�
���� H ������� ��� �
�� J ���� ��� �1� � ��� �1+�
���� ��� �� � ����� �� ���� ��������� "� �� ������� ��
���� H
���� � ������ � ��� �
��
1� � ���1*�
��� ��� ����� �� � ���� ���� �� ��� ��������� ���� ���� � �� ��&�� �� �1,��
���� ���� ������ ��� ����� �� � ���� ����� ��� ����� � ����! ���� ����
��� "� ������ ���� ��������� �� �� H -��
)��� ���� <������ �1*� ����� � ������� �� ��� ����� � ����! � ��� ����
������� ����� ���� � �� H 1� =� ����� �� ����������� � ��� ��������� ����
���� �1,� ��� �1*�� �� � �� ��� ����
���� ����
���� ���
4 �� � �� � 1 �� ������� ���� ���
� ��� �1/�
=��� ��� �� � �� ���� ��������� "� �� �� ����� � ����! �� ��� ��� �� � ��
���� ������� "� �
%����� . ��� � � �$����� � � ����� �� � ���� ���������� �� ��� �����������
�1+�� ��� ������ �� ������� ���� ������������ � ���� ��G %�� ��� ���� �
���� �� � �� �� ��� ��$���� ����� �� � ����� ����� ��� ������ ��� ���������
���� ���� � �� ��� �1,� ���� ��� ������� �� � ����� �� &���� ������ ���
�� � ����� �� ���� ��������� "� ���� ��� �1*��
"��� �� � ��� � ! ��!� �������
� � ����� ��������� � ��� ��� ����� ��� ���� �� ������� ��� ����� ��������
� �< ���������� ��� ��������� �� ������� �� ��� �������� ����������� ���� ���
��� ���� �� ��� �������� �� ������� �� �� � � ��� ��� ���# �� � ����� �� � ����� ��
� ����� �������� ����������� ��� � ����� ��������� ����� '� �� ������� ����
����� �� � �������� ��� �� ��� �������� �� �� �� �������� ��
I�� J ��� �� H ���
� ���� �4-�
14 :��;3:31.,0�<)�
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-40 -20 0 20 40
Angle of attack [deg]
Lift coefficient for stationary flowLift coefficient for fully attached flowLift coefficient for fully separated flowPosition of separation point
� ���� �� #$����� �� � ���� � � �� ���%� ���������� & ��� �������� � �1+�' "����
��� � �� ���� �� ��� ���� ��������� !�" � �&�� �� & �1*� �� ��� ������� �
�� � ���� � � �&�� �� & �1,� �� � ��� �� � �� ���� � � �� ���%��
���� � ���� �� ��� ������� �� � ����� �� ������� "� ���� �� �1.�� �� �
�� ��� ���� ����� �� ��� �������� ���� ��� ������ ������ �� ���-� H -�
��� ����� �������� �� �� � �� � ����� � ��H ����� ��� � �������� �� ��� �����
�� � ����� � � �� ������� "� � ���� ����� ��������� � ��������� ����
� ����! ���� ����� ��� ���� ������������ �� �G �� H � �������J��� %�� ���� ����
� ����!� � ��������� ������������ ��������� ���� � � H � ����� � � �� �������
��� <������ �1,��
��� ���� ����� �������� � ��� �< ��������� ������ ��� �� ������ � ���
������� ������ ��� ����� ��� ��������� ���� �� ��� ����� ��� ������������
����� � � �� �������� �� ��� �������
I�� J ���� �� H ���
� � ���� �41�
���� �� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ��� ������� ������ �� ���-� H -� ���
�������� �� �� ��� ����� �� ���� ����� �������� � ��� ������ ������ B��� �1+��
��� ������� ��������� ���� � �� H ����� ��������� ��� ������� �� � �����
���� ������ ��� ���� � �< ���������
����� H ������� � ��� �
�� J ���� ���� �1� � ��� J ��� I� �44�
���� ��� ����� ���� ���� ��� �1.� ������� �� ��� ���� ���� �� ������� ��
��� ���� �����
�� H�
4��4.�
��� ��� ��������� )��� ���� ���� ������� �� �� ����� � ���� ��� �� ���
����������� "� ������� � H �����
��� ����� ������� �� � � � ��� ��� ���� ��� ������� �� ������� "� ��
������ � � �� ��������� ��� <������ �44� �� ����������� ������� �
��� ����� �������� �11�� �4-�� �� �41�� ��� ������� � ��� ������� �� � ��� ��
������� �� �� ����������� �� ��� ������� ���� � ����! �� �
:��;3:31.,0�<)� 1.
%'% "���
��� ����� �� ������� ���� ������ ��� ��� ������� ��� ����� � ��� �� ����
��� ������� ���� �� ������ �� ��������� ����� ��� ����� ���� ���� ��������
�� ���� �� ��� ������ ��� �� ��� ������ ���� � ��� �������� ������������
� ��� ���������� ��� =�>7 ?1� 4@� ��� ���� �� �������� �� ����� � ��������
� � �����G (����� ���� �� % ����� ����� '���� ���� �� ����� �� ���� ��� � �
��� ������� �� � ��� ��� �� ��� �� ��� ����� �� ��� �!�� 9����� ���� ��
����� �� ��� ������ ������� ����� �� ������ � ����� �� �������� �����
��� � � ����� ��� � �������� ��� ��� ������
������ ���!
'���� ���� �� ����� �� ��� ��� � � ��� ������� �� � ���� ��� �� ��� �!�
�� ���� '� �� �� ��� ������ �� ��� ��� &��� ��� ������ � ��� ��� �������
�� ��� �������� ������� ���� �����$ �������� =� ����� �� �������� � ��� ���
� � � �������� ����� ���� �� � ������� ������� ����
B��� ������ ������� ���� ��� ��� �� �� ����� �� �"� �� ������� ���
�������� � ��� ��� ��� �� ������ � �!� �� ����� �� ��� ��������� ���
�� ����������� �� ��� �������� ���� � ����!� B��� ������� �������� ���
������ � ��� ���� �!� ������ ���� ��� ������� ���� � ����! �� �� ������
����� ��� �������� ���� � ����! �� ��� ������� �� � ��� �� ����������� ��
�� � �� ������� ��� � ������ � ��� ���� ������� ��&�� �� ��� ��������
���� � ����!� ���� ������� �� ����������� � %����� 0� ��� ����� ����
����� �� ������� �� �� ���� ��
M� ���� H ��� ����
���� �40�
���� �� �� ����� ��� ������� ��� �14� �� �44�� ������������ ��� ��������
���� � ����! � �� ������� �� ��� ���� ��� �� ��� ���� �� ��� ����������
"� � ������ ��� ��� ��� ������
# ���� ���!
��� ������ ���� ��������� ��� ��� ������� ������ B��� ������� "� ��
������ �� � �� ����������� �� ����� ����� ��� ����� ���� ���� ������ ���
���� � ����!� �� ����� � ������ ������ ��������� �� ��� ����� ����# �� ��
��������� �� ��� �� "�������� � �������� ��� �� ��� ������ �� ��������
������� ������ >�� ��� �< ��������� ��������� ����� �� � ����� ������ � ���
������ ���� ��� �� �������� ����� ��� �������� � ��������� ������� ����� ��
�� �� ��� � ��� ������� ������� ����� ��������� ��� �� �������� ������
� ��� ������ � ��� ���� ��������
wwake
wwakeU�E
�����E
�
CL
dyn
C CL L
ind dyn�
� �C CD E L
ind dyn( )�����
� ���� �� (����� ���� � ������ & ��� �� �� �� ��� ������ � �� ���� ��� �� ���
"�)� ��""����
10 :��;3:31.,0�<)�
' ��� ��� ������ ��� ���������� � ��� �������� ���� ��� �� ��� ��������� �
�< ��������� ���� � �� ������ ��� ��� �������� �$������� �� ��� ��������
���� � � "�� ����� � � �������� L������ "� ?4-@� (������ �� ��� �$������� ��
��� �� � �10�� ���� �$������� ��
���������� H �����
�
�1���
4
��
�4,�
'� ��� � ���� ��� �������� ���� �� ���� "� �� ��� ������ ������ ������� ���
��� ��������� ���� ������� ���� �1 � �����0� ������� �� ������� ?11@
���� ���� �$������� �4,� ���� �� � %� � ��%���&�� ������ �� " �� �$��� �����
���� �$���� ��� � �� ������� ��� ��� ��� ����� ����� ��� ������� � ����������
��������� �� ���� ����� ����� � L������A� �������
' ��� ������ ������ �� �� ������� ���� ��� ���� �1 ������0 �������� ���
�������� �������� � ��� �������� ���� ��� �� �������� � ��������� ����� ���
������� ��������� �� ��� ����� ���� ������ ��� ������� ��������� ���� � ��
���� ����� ��� ��������� ���� �� ��� ������� ���� � ����! �� �� ����� ���
������� �� �� ���� ��
M�� ��
� H���������� ���
� ��1��� ��
4
��
��1�
� ������
4
���� �42�
���� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ����� �� ��� ����� ��� �� ��� ����
����� �� ���� �� � �������� ��� ����� ����� ��� ���� ���� ���� �����������
��� ������ ������ � ������� L������A� �$�������� �� �� �������� ��� �����
� ��� �������� �����
��� ����� ������� ���� ����� �� ������� �� �� ���� ��
����� H ���
����� J M� ���� JM�� ��
� �4+�
���� ��� &��� ���� ������ ���� ��� ������� ���� �� ������ �� ��� ����� ����
���� ���� � �� ��� ������� � � ����� ������� ��� ���������� � ��� �����
���� �� �������� ����� ������������ %�� ������ ����� ������� �� �� � � �� ��
�� � �� ��� ������� ���� ����� �4+� ������ ��� ����� ���� �����
������ M� ���� � - �� M�� ��
� � -�
%'� �#���
��� ����� � ��� ������� ������ ����� ��� ���� ���������� ��� ��� �������
��� ������ ���� ��� ������� �< ��������� ����� ��� ����� ������� ���
��������� � ��� �������� ���� ��� �� ��� ���������� =� ���� �� �� ��� ����� ���
������ ����� ���� ��� ������� ����� �� ��������� ����� ��� ����� �����
���� �������� �� ����� ��� ������� ����� ����� �� �����$������ ��
����� H ���
� ���� J M�� ��
� � �� I���0�� �4*�
���� ���� �� ��� ����� ����� ����� M�� ��
� �� ��� ������� ����� ��� �� ���
����� �< ���������� �� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� ���� ���� ������ ���
��� ���� ���� � ��� ��� ���� )��� ���� ��� ��� � ���� ���� ��&�� ��� ��������
� ��� ���� ���� �� ��� �� �������� �� �������� � ������� "������
�� ����� ��� ���� � �< ��������� � ��� ����� �� �� ������� ���� �����
�� � ������� ��� �� ��� ��������� ���� �� ��� ������� � ��� �������� �����
%����� , ����������� �� ��� ������� � � ��������� �������� ���� � �� ��&��
�� ��� ����� �� � �� ����� ����� ��
��� H���� � ���
����
�4/�
:��;3:31.,0�<)� 1,
U
�
CL
st
CL
st
C CM M
st-
0
C CM M
st-
0- =ast
c/4
-
equivalent pressure center
� ���� �� *�� � � �� ��� � ����� ��� ���� ��� +������,����� �� ��� �+� %����
�������� ������
���� ��� ����� ��� �� ��� ����� ����� �� ���� �� �� ��� ��� � ��� �� �
��� ��� �� ��� ������ ��� ��� ������� ���� ���� �� ��� ��������� ��������
���� ���� ��� �� � ���� �� ���� �� ���� ��� ����� ���
� � ��� � (������� ���
����� ����� �� ������ �� ���� �� ������ ��� ���������� � ��� �����
���� ���� � ��� ����� �� ����� ��� ����� � ����! ���� ��� ������� ����
��������� ���� ����� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ������ � .,�
��� ��� ��� ���� �� �4/� �� ������� �� �� ������� ������� �� ��� ���������
���� � �� ���� �� �$������� �1,�� %����� 2 ��� � �� ��� ����� ��� � �� �� �<
��������� � ��� ����� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� �� ��� ���� ��
���� �� %����� .� '� �� ��!� ��� ��� ��������� ���� �� � ���������� ��
������ ���� ���� ������ ��������� � ��� ������ ����� �� �� � ���
��������� ��������� �� ������� ����� � ����!� ���� ��� �$���� ��� ��������
������� ��� �� ��� �������� � ��� � � ����� � �< ���������� %�� � �������
���� ��� ��� ����� �� � ���������� � ��� �������� ���� ������� ���� ���� ���
������� "� ����� ��� ����� �� �� �� ��� �� �< ���������� %�� �������
��� ���� ����� ��� �� ���� ������� � ���� ���� �� ��� �� ���� ������� ��
��&� � � ����� �� ���� =� ����� ������ ��� ���� � � �� ������ �����
����� �������� �� �������� ����� � ����! ��� ���� ��� �� ����� ����� � �
��� ����� &� �� ��� ���� �� ��� �< ��������� � ��� ����� ��� �� ����
%��� ��� ������� ��� �� �������� ���� �� �< ��������� ����� �� �� ���
����� ���� ��� ������� ����� ����� ��� �� ��� ����� ��������� � ���
��������� ���� � �� �������� ��
M�� ��
� H �����
������ ���� ���
�� ������
���.-�
���� � �� �� ��� ������� ������� � ��� ��������� ����� �� ����� �� ��� �����
�� � ����� ���� �� <������ �44��
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Arm
to p
ress
ure
cent
er, a
st [-
]
Separation point, f [-]
Separation on upper surfaceSeparation on lower surface
� ���� -� * ����� �� ��� �+� %���� �������� ����� �� ���� � �� ��� �� � �� �#
������� � � ��� ����� �� ��"�� ������� �� ��� ���� � ��� � �� � ���� ��
12 :��;3:31.,0�<)�
%'� )����� ��� �( ��������� �*�������
��� ���������� ��������� � ��� ��������� ��� ���� ����� ����� ����� �� ����
���������� �� �������� ��� ����� ��� � ������ ��������� ����� ������
������� ���������� �������� �C5<�� ��� �� ������ � ���������� ������ ���
��� ��������� �������� �� ��� ��� ��� ������
%����� + ����������� ��� "� � ��������� � ���� ������ ���������� �������
(�������� �� ��������� �������� � ���� ������ ���� �� ������ ���������
������ �� ���� � ���� ���������� ��� ��� ��� ����� �� ������� �� �� ����������
=��� ��� �������� ���� � ����! �� ��� ��������� I�� ��� ���� � ����! ��
��� ������������� ���� ����� �� ��� ����������� ���������� ������� � ��� ����
�$����� �� ��������� ��������� �������
��� ���������� �������� � ��� ����� ����� ����� ��� ���� �� �11�� �4-��
�� �41�� ��� ��� ������ ������� ������� �������� ��������� ��� ������
��� � ������ C5<� � �� �� ����� ��
I�� J ����
��� J � I���4���
��� H �����
��� ����
I�� J ����
��� J � I���4���
��� H �����
��� ����
I�� J ��� �� H ���
����� ��� � ��� J ��� I�� �.1�
I�� J ���� �� H ���
� � �� �������� J ���
���� ��� ������ ������� ��� ��-� H -� ��� ������� ���� � ����! �� ��
����� ������� � �� �� �� �� ���� �� �14�� )��� ���� ��� ���� �����
�� H ���4����� �� ����������� ��� �� ��� ������� � ��� ��������� ������
������� ��� ���������� ������� � �
��� ������� ��������� ������ ��� ���� ��
����� H ������� � ����� J ���
� ���� �1� ��� J ��� I�
����� H ���
����� J ��� �������� �.4�
J���������� ���
��� ����������
4� � ������� ��
0
�
����� H ���
� ���� J �����
��������� ���
�� ������
��� �
4�� I�
���� � ��� ����� ���� � �� ��� ��� ��&�� �� �1,�� �12�� �1*�� �� �4/�� ������������
<������� �.1� �� �.4� ��� � ����� ��� � ������ ������ ��������� �����
�������� ����� ��� ������� ���� � � ��� ���� �� � ������� �� ���� ���
������ ��� � ����� <����� 6������ ������ � � ���������� ��� �� ��
�������� =� ���� �� ���� �� ������� �� 7����� � ?1,@� ��� ������ ��� � ���
��� �� �� �� ��� ��������� � ������� ���������� =��� �� ������
���������� ������� �� �� ����� ��� ������ �� ��� ��� ������ ���� ���������
� ��� ����� �� ��� � (���� .� ��� ������� � ��� ���������� ��������� ��
Dynamic stallmodel
Structuralmodel
C
C
C
L
D
M
dyn
dyn
dyn
external forces
external inflow
�
�
�3 4�
UU
� ���� �� ������� �� �� ��� ������� ��������� � ����� ���" � ��� %�� �&�� !�"�
:��;3:31.,0�<)� 1+
�� ����� ��������� �������# �� �� ����� ��� ��� � ��� �$� ����� �� ��� ���
� �������� � �� ��������� �� ����� ��������� ��������� � ��� ��� ��� �����
� ������������ ������������
%'� �������+����� ����� � ������ �����
>�� ������� �� �� �$����� ������ ����� �������� ����� �������� ��� �� ���
��������� �� ������ ������������ �$������� �� �� ����� � �� ����� ������
=� ����� �� ���� � &��� ����� �����$������ �� ��� ����� �������� � ��������
����� ����� � �� ������� �� ������� ���� ��� ������ �� �������� � � ������
����� ����������� ��� �� ��������� �� ��������� �����
�� ������ ��� ��������� � ���� ������������ ��� ����� ����� ����� �� �
��������� ������� ����� ��������� ��������� ����� � �����������
���� H �� J ����� � ������� H �� J �������� � ���� H �� J ����� �..�
���� ��� ����������� �� ���� �� ��� ������ ���� � ����! �� �� ��� ��� ����
������ ������� ��� ��� ��������� ����� ���� ����������� ����� �� ���� �� ���
������������ ��� ������ �� ��� ��� ��� ����� �� ������� �� ��� ���!�!�����
��������� 1�
� ����������� ������� �� ��� ����� �������� �.1� �� ������ � ��� ���
���� H �� J �� ��� �� � H 1� 4� .� 0 �.0�
���� �� �� ��� ������ ����� �� �� �� � ����� ����������� � ��� ����� �����
���������� '������ � �..� �� �.0� ��� �.1�� �� ��������� � ��� �������
��������� ��� ������ ������ �����
��� H ����� ��� H ���
�� ��� H ����
��� � ��
�� ��� H � ��
����
�.,�
��� ������� �������� ��� ����������� � ����� ������ ������ �����
I��� J ���� ��� H ���
� �� ��������� ���
�
��
I�����
I��� J ���� ��� H ���
� �� ��������� ���
�
��
I�����
I��� J ��� ��� H ���
������
�� J ��� I�
�����
�.2�
I��� J ���� ��� H ���
�
�� ��
��
��������
������
���� � � � ���� ������ ��� �������� �� � H ���� ��� �� H ���4���� ��
��� H ��
�����-� J ��� J ��� �� ��� ����� ������� ���� � ����! � � <������ �14���
��� ����������� � ��� ����� ������� �� ��� ����� �� ������ �$����� ���
��������� ���� ���� � �� ����� ��� ������ ���� � ����! ��� ���� ���
���������� � � �� � �� ������� ��� �$������� �1,� ��
�� ��
��H
4
������� ���
�����
�
��� ���
� ���
�� ��
��4�
������� ���
�����
��.+�
��� ����� �������� �.2� ��� ��� ������� �������� �� ��� ��������� �����
����� ������ (������ � ����� �������� �� �� �-� H - ������ ��� ����� �����$����
���� �� ��� ��������� �������
�� ����� � ��������� ��������� ������ ��� ��������� ������ �.4� ���
���� ��������� ���� ������ �$����� ����� ��� ������ ����� �����������
� ���� H ��
� J ���� ��� J ���� ��� J ��� I�
����
� ���� H ��
� J ���� ��� J ���� ��� J ��
�
������� ��
�
��.*�
� ���� H ��
� J ���� ��� J ���� ��� �
�
4�� I�
����
1* :��;3:31.,0�<)�
���� ��� ������ ��� ���� ��
���� H ������ J����
�
��
��������
�1� ���
���� H ������� � ���� ���
� ����
���� H���
��
��������
� �� ��
��
��������
���� � ����1����
0�
��
���� H ������� ��
��1����
0�
���./�
���� H����
�
��
��������
� ���
�� ��
��
��������
����
��
��������
���� H ���
����
��
��������
�� ���� ��
� � �� ��� ��� ��� ����� �� �� ����� �� ����� ������ �� ���
������ ����� ���� � ����! ��� ��� ���������� � ���� � �� ������� ��
�����
��H
����
�� � ����������
��1� � ������ J ��� � ������� ����
����
��
�1� � ��������0-�
�� ��� ���������� � ��� �� ������� ��� ��� ��� ������
����� ��� ���� �������� ��� ������������ � ��� ����������� �� � ��� ���
� � ���� ������� ��� H 1�� �� ���� ��������� ��� H -� "� � ��� ���� ��
�������� �� ������� ��� ������ �./�� %�� �� H 1 ��� ���������� � ���
�� � ����� �� ���� ��������� "� ���� �� ������� �� �������� H �
������ ����
���� ��� ����� ���� � <������ �1/� ��� ��� ����� %�� �� H - ��� ������
�� ��� ����� ���� ���� ������� �� ���� H ���
��
������
�� ���� H - �� �����
������������ �� ������� ��� ����� ��� ������&���� � ��� &��� ����� ��
���� �� ��� �� ���� �� ����� H - �� �� H -� ��� ���� ����� ���� �
�� ��� �� ���� ������ �� ��� � ���� � ��� ����� ���� �� ��� "� �� ����
��������� ���� ��� ��������� ������� ��������� ���� �������� ��� ��� �� ����
��� �� �� ����� H -� �� ��� � <������ �.2��
:��;3:31.,0�<)� 1/
4- :��;3:31.,0�<)�
� ������� ���� ������
' ���� ������ ��� ���������� �������� �������� ��� ����� ����� ����� ���
�� ����� �� � ������� ������ ������ ��������� �� �������� ������� �����
��� ������� � ��� ���������� �������� � ��� ���$� � ��� ���������� �������
>�� ��� ������� � � ������ ��� �� � ����� ������� ��� �� ��� ������
����� ����� ������ �� ������� 5������� ������� � �� ��������� � ��� ���� ��
���� ��������� ���� ���� �� ��� ������� � ��� ������ � �� �$�������
� ����� � �$������� ������ � ��� ��� ��� ������� � ��� � ��� ������
��������� �� ��� ��������� �� ������ �� ������ ��� ����� ��� ��� ��������
��������� �� ����� � � �������
�� ���� ��� ���� ����� � ��� ��������� �� ��� ������ ����� � ���� ��� �����
���� �� ������ ����������� � ������ ��������� � ��� ����� �������� �.1�
�� ������� ���� �
�'� ������� ��������������
��� ���������� �������� � ��� ����� ��� ����� &��� ����� ��������
I� J � H �� �01�
���� ���$ � �������� ��� ����� � ��� �������� �� ��� ������ ��
� � ��� ������ ��� ��� ������������ ��� ������� �� ���� ������ ����������
������� �� ���� � H �� ��
����� H
� ��
��
�������
������J ����� �04�
���� �� �� ��� ������ ����� ��� ������� �� ���� � H �� JM� ��
���� JM�� H
� �� ��
��
����������
������J �����
H ����������
����
� ��
��
�������
������
J
� �� ��
��
����������
������J ������ �0.�
>��� ������ ������� ����� H -� <������� �04� �� �0.� ��� � ���� ��� �������
�� ��� �$� ���� ���� � �� ����� ��
���� JM�� H ���� ����� J !����" �00�
����
���� H ����������
���� �0,�
!���� H
� �� ��
��
����������
������" �02�
����� ����������� ������ ��� ��� ���� ������ �� ��� ������ �!�����
��� �� ��� ��������� ���� � <������ �01��
�'% "�������+�����
(������ ���������� � �� �������� �� ������ ��� ������ ��������� ��� ����
������ �� ���� ��� ��������� � ���� ��� ����� �� � �������
:��;3:31.,0�<)� 41
$ ���� �� ����� �����
B��� ���� ���������� ��� ���� �� ������ ������ ��
�������� H ��
����� �0+�
!�������� HN�
N �1� ��
������" �0*�
��� ����� ������ � �� �����$������ ���� ��� ������� ������
N � H -",� ���
J � � �0/�
N�� H -",�����
J�� � �,-�
)��� ���� ��� ����������� �� ��������� � �� � �� �� �� ���� ���� ���$
�� ����� ���������� ������������ ��� ������ � ��� �$�������� ����� ��� ��
��� ����� ��������� � H 1 �� � H 4 ���� ��
N � H �
� � J � ���
�JI� � J I� ���
� � J � ���� �,1�
N�� H
��
�
�� �������
��� J � ������
��,4�
������ ��� ������ �� ��� ����� ��������� � H . �� � H 0 ���
N �� H ���
�,.�
N��� H -", ���
�������
���� J ��
� � 4���
J��
4
�I������ ��� J I���� ��
� ��,0�
N �� H ���
� �,,�
N��� H -", ���
�
������
���� ����� J ��� J �����
������� J ���
��,2�
% ! �� ���� � ����� &�� �
6��� ������ �� ��������� ������� ��� �� ������� ���� ��� ���������� �
����� �� �������� �� � � ����� ��� �$��������� �� ����� ����� ����
�����$� ������� ����� ������ � �� �� ������� ���� ��� ������ B���
��� ��������� � ���� ��� ����� ������ ��� ����� �� �������� �
� ����� ��� ���� �� ������� ���
������� H �����
��� �,+�
! ������� H����
N �
�1� ���� �
� ���
J�� �����
M� N �
�M�� 1
N �
�1� ���� �
����
��,*�
� ������ H �����
��� �,/�
! ������� H����
N �
�1� ���� �
����
J�� �����
4M� N �
�M�� 1
N �
�1� ���� �
����
��2-�
J�� � 4����
J����
4M�� N �
�M�� � 4M�
N �
J4
� N � �
��1� ��
�� �
����
�
44 :��;3:31.,0�<)�
��� �� ������ � ��� �$�������� ����� ��� �� ����� ��������� � H 1 �� � H 4
���� ��
�� H 4��
� �
������ �21�
������ ��� �� ������ �� ����� ��������� � H . �� � H 0 ���
��� H ���
�������
�� � ��� J �
�
4� �I��
�24�
��� H ���
� ���
����
����J ��
��2.�
�� ����������� ��� �� � ��
� �� ���� ��
��� H ��
����1��� � ��� J ��� J ��� �20�
� ��� H ������
�� � ��� J �
�
4� �I�� �2,�
>��� ��� ����� ��� � �������� �� �� �������� �� ��� �� ������ ��� ���� ��
������ � ��� ����� ��������� ���� �������� �0+���0*�� �,+���,*� �� �,/���2-�
� ��� ������ ����� �� �������� ��������� � �� ������������ C� ��� ����
�� ������� ��� ���� ��� ����� ��������� ��� ������� ���� <������ �00�� ��
��� ������� �� �� ����� �� ����� ������ ��� ������� ���� <������ �.4�
�� ��� � ���� ���� � H �� � H �� JM��
:��;3:31.,0�<)� 4.
40 :��;3:31.,0�<)�
� ��������
' ���� ����� ��� ������� ����� � ��� �������� ����� ����� ����� ��� ����������
�� ��� ���� � ��� ����� ������ ��� ��������� ��� &��� �������� �����
��� ��� ������ ������ � ��� ��� ��� ����� ����� �� ������������ ��� ����
�������� ����� ��� ��� ���� � ��� ��� ���!��� � ��������"� ��������
�'� ,��������� �( �-� ��������� #����
��� ��������� � ��� ������ ����� �� ����� �� � � � ������� %����� ��� ���
����� ������� ��� ��� ������ ������� "�������� ������ ������ �������� �
������$ � ��� ������� �� ��� ������� � ��� ������ ������ (������ ���
���������� � ��� ��� ����� ����� ����� �� ������������
'��������� ���� �( ���� �� ��
�� ���� � ��� ������������ � ��� ������������� ������ ���� � ��� �����
����� ����� ������� �� ��� &��� � � � ��� ����� ���������� ��� ����� �� ������
������ ������� ������� ��� ��� ��������� �� ������ ������ ������� "�� �����
"� �� �������� � ������$ ��
%����� * ��� ��� �������� � ��� �������� � ������� "�� ����� "� �
������� ���� ��� ������ ������ ������� "�� ����� ������� ������ �� ���
�������� ����� ����� ����� � ��� ��� � ������ ������ ������ ������
���������� ������ ����� �� ������ ���������� ������ ��� ������
:������ �� ���� ��� �������� ������ ��� ��� ������&����� � ��� �������
���� ������ �� ��� ����� ���� ��� ������� ������� ���� ����� ��� ��� � ���
������ ����� ������ ��� ��� ������� ���� ����� ������ ��� ��� ��� ������!
������� � ��� ������ ������ ������� "�� ����� ������� ������ �� ��� ����� �
����� ������� ��� ���� ������ ����� � ��� ��� ���� ��� ����� �������� ���
�������� �� ��� �����$������ �� ��� "�� ����� �������� � <������ 2� 6���
����� � �� ���� �� �������� ��� ������ �� ���� � ������ ����� �� ���������
��� ������� ��� �� ��� ������! ������� �� ��� ������� � ��� ��������
������ ����� ��� ��� �� ��� ������ ����� ���� ���� ����������� �� I� � J K�����
=� ����� �� ������ �� ���� ���� ��� ������ ������ � -�4 � ����� ���� ����
�� ���� ������� �� ������ ������ �� �� ������ ����������� ' ���� ���
�������� ������ ��� ����� �������� �� ��� ������ ����� ���� ����� �� ����
��������� ��������
'��� ���� � ����� ����
�� ��� ��� �������� � ��� ��� ����� ����� ������ ��� ������� � � )�7� 2.1,
��� ��� �������� ������ ����� �� ��� � %����� /� '� �� ��� ���� ��� ���
!� ������������ � ����� ����� ��� ������� ��� ��� ������ ' ��� �����
������ ��� ������� ����� � ��� �� ������ �� ������� �� ��� ������� � ��� ���� ��
�������! ���� ��� ���������� ���� ���� �� ����� ��� �� ��� ������ ����
�������� � (���� 4� ��� ���� � ��� ����� ���� �� ����� �� ��� �� ���
�������� �������� � ��� ������� ���� � ����! ������� ��� ��� ����������
��� ��� �� � ���� ��� ��$���� �� � ��� � ���� ������� ����� � �� �� ��� �����
� ���������� '� �� ��� ���� ��� �� � ���� ��� ��� �$����� ���������� ������ ���
���� �� ����� ����� ������� ����� ��� ����� ������ ��� �� � ����� �� ���
������� ���� ��� ���� ��! ���� %�� ��� ���� ����� ��� ������� ���� � ����!
��� ����� ���������� ��� ���� �� ����� ����� ��� ����� �� ��� ����� �����
��� � ��� ��� ��� ��$���� �� ��
:��;3:31.,0�<)� 4,
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 70.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
α [o]
CL
[−]
IndicialGeneral SolverIndicial +full VM2πα
−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Y/c [−]
CL
[−]
IndicialGeneral algorithmIndicial +full VM
0 90 180 270 3600.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ωt [o]
CL
[−]
Indicial, λ=0.8Indicial, λ=0.4General algorithm, λ=0.8General algorithm, λ=0.4Indicial +full VM, λ=0.8Indicial +full VM, λ=0.4Quasisteady value
� ���� �� (% �� � ������� �� �� �� ��� ������ � ��� .�����' � H ,Æ 4Æ /'
���%� .� ����' ��� H -"4 �� � H ,Æ / �� ������" �� ��� � .��"��' � H
�� � ��� H -"0 �� -"*0 � H ,Æ / ��� � !�� ������ 1����� �� �� ������� �&�� ��
" �� ��� ������ ���%�� ����� &�� 2���� $ 2 �� ��� � � �� �����' �� � &���
�������� �� ���� % ����� ���� ������ ��� ������� ���+��� � H ���4��� H -"4
��� ��� ������� ���"�
42 :��;3:31.,0�<)�
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
α [o]
CL
[−]
Staticα=3o±4o
α=12o±4o
α=21o±4o
0 5 10 15 20 25 30−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
α [o]
CD
[−
]
Staticα=3o±4o
α=12o±4o
α=21o±4o
0 5 10 15 20 25 30−0.15
−0.14
−0.13
−0.12
−0.11
−0.1
−0.09
−0.08
−0.07
−0.06
α [o]
CM
[−
]
Staticα=3o±4o
α=12o±4o
α=21o±4o
� ���� �� 3������ �� ��.�����/' ��.� ����/ �� �� .��"��/ �� ��� ������ � ���,
� ��� � �� � 4212 -��� � ��� �� 3������ ���+��� � H ���4��� H -"1'
�� ��� ���� ���� �� ��� � ��� � ��� ���� �� � M� H 0Æ �
:��;3:31.,0�<)� 4+
�'% ,��������� �( �-� ������ #����
�� �������� ��� ��� ����� � ��� ��������� ������ %����� 1- ��� � ��������
� ��� �� �� ���� �� ����� �������� �������� �� ��� ����� �� ������
������ � ��� ������ ��� �� � �� ����� &����� ��� ��� ����� �� ���� ����������
� M� H 0Æ �� M� H 4Æ � ������������
'� �� ��� ���� ��� ������� ��� �� ��� ����� �� ������ ������ ��������
�� ��� ��������� ��������� ��������� C�� ������ ��������� ��� ������ �� �
���� ���������� � M� H 4Æ � %�� ��� ��� � ���� ���������� � M� H 1Æ �
��� �������� �������� ��� ��� ����� �� ������ ������ ��� ���������
�������� ���� ���� ���� ��� ����� ����� � �� ������� �� �������� ��� �����
������������ � � ���������� ������ ?41� 44@� �� ��� ������ � ��� ������ ��� ��
��� ������ ����� �������� �� ��� ����������� ��� ����� ��� ����� ����
��� ��� ������� �������� � ��������� �����������
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
α [o]
CL
[−]
StaticNonlinear ∆α=4o
Linear ∆α=4o
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
α [o]
CL
[−]
StaticNonlinear ∆α=2o
Linear ∆α=2o
0 5 10 15 20 25 30−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
α [o]
CD
[−
]
StaticNonlinear ∆α=4o
Linear ∆α=4o
0 5 10 15 20 25 30−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
α [o]
CD
[−
]
StaticNonlinear ∆α=2o
Linear ∆α=2o
0 5 10 15 20 25 30−0.15
−0.14
−0.13
−0.12
−0.11
−0.1
−0.09
−0.08
−0.07
−0.06
α [o]
CM
[−
]
StaticNonlinear ∆α=4o
Linear ∆α=4o
0 5 10 15 20 25 30−0.15
−0.14
−0.13
−0.12
−0.11
−0.1
−0.09
−0.08
−0.07
−0.06
α [o]
CM
[−
]
StaticNonlinear ∆α=2o
Linear ∆α=2o
� ���� �5� 1����� �� �� �������� ���� ��� � ��� �� �� ��� ������ 3�,
����� �� ��.�����/' ��.� ����/ �� �� .��"��/ �� ��� ������ � ��� � ��� �
�� � 4212 -��� � ��� �� ��� ���� ���� �� ��� ��� ���� �� � M� H 0Æ .����/ ��
M� H 4Æ .� ���/0 &��� " �� ������� ���+��� H ���4��� H -"1�
4* :��;3:31.,0�<)�
�'� ���.+��� ���(��� �-��!���� �����-�� /�0
��� ������� � � �&����� ��� ��� ��� �� � ���� ���� � ���� � ����! ��
������ ��>���� ?4.@ � 1/4,� =� ����� ��� ������� � � ��� ��� � &��� ���!���
������ ��� ���� � ��� �&����� ��� ��� ��� ?40@� ' ������ ��� ������� � ��
���� ���!��� ��� ���� ��� ������ ���� � ��� ���� ���!��� ��� �����
%����� 11 ��� ��� ������� � ��� �� � �� � ���� ���� � ���� � ����!
�� � "�� ����� �� � :��; �1�40 ��� ���� ��� :��; �1�40 ��� ��� �� � 40F ���!
��� ��� ��������� ����&���� �� �� ������ ���������� ?4,@� ��� ������� �
��� :��; �1�40 ��� ��� ������ ����&���� ��� ��� "�� ����� ������� ���� �� ���
�$������� �� O��� ?42@� ��� �� ��� ���� ������ ���� �����$������ �� ���
>���� ����� '� �� ��� ��� ��� &���� ���� ��� ������� � ��� ���! ��� ��� ��
������ ���� � ��� "�� ������ ��� ������������ ���� ��� ������� ��� �������
��� � ��� ��������� �� 8���� ?4+@�
��� ������ ���� � ������ �$������� �����$������ �� ��� >���� ��
��� �� O��� �����$������ ��� ������� � ��� �&����� ��� ��� ��� ���� �� �
��� ������������ � ��� &��� ���!��� ��� ��� �� �� �� ������� �������� ���
������ � ���� � ������ �$������� �����$������ ���� �� ������ B���
��� ������� � ��� :��; �1�40 ��� ���� � �����$����� � ������ �$������� �$�
������� �� ��� �� �������� ��� :6( ����� � ��� ������� ��� �� ���
�����$����� �$������� �� ��� ���� ���� ��� ������� �����$����� �������
���� �� ����� �� ���� 1F � ��� ���� ��� �������� ��� ������ ��� � � � ��
���� �$������� �$������� �� ��� ������� �� ���� �� <������ �2�� ����� 1
����� ��� ������ � ��� � ������ �$������� �����$������� �� ��� "�� �����
�� :��; �1�40 ��� ��� ���������
0 5 10 15 20 25 300.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
τ [−]
CL/C
L,st
at [−
]
Jones approximate flat platePanel code Risoe A1−24Approximate Risoe A1−24
� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� � ���� ����� ���� �� �����) ��� �
!�� ����� �� � 3 �6 2�,�� � ��� �� � H 4�����
�� �� �� ��%��� ����� �O��� ?42@� -�12, -�.., -�-0,, -�.---
:��; �1�40 ��� ��� -�4/0 -�..1 -�-220 -�.422
��&�� �� 1��� ��� ��� �����$ ���� ���������� �� �� % �� � ���������
:��;3:31.,0�<)� 4/
��� ������ ������ �� ��� ���� � ���� ��� �� ��� � ��� .E0 ���� ����
�� ��������� �� � �&����� ��� ��� ���� '� �� ����� ��� �� ������������ ������
���� ��� ����& ������� ����� � �� �������� � ��� ��� � ��� ���� � &���
���!���� =� ����� ���� ������ ������ ������� � ���� ���� �������� ��� �������
��� )������(��!�� ����������� ��� � ���� ������ �� �� ������! ��������
��� ��� ���� �� ��� )������(��!�� ���������� �� #�� ����*� ��������� ��
(;���� ?4*@ �� 6������ ?4/� .-@� ���� ��� ������������ :������ ��������
)������(��!�� �������� ��� ������ �� ��� ������ ��������� #� $ �� %� ���� �
���! ��������� &��� ������ ������� ��� )������(��!�� ������� ��� � ����
��! �� ������ ��� �� %� ���������� ��� ��� >�� <���� 5��������� :��;�
%����� 14 ��� � ��� ������� � � :'(P �1�40 ��� ��� �������� ������ �����
������� '� �� ��� ���� ��� ������ ������ ������� ����� � ��� ������� >�����
���� �����$������ �� O��� ������� ������� ���� ������ ����&���� ��� ���
)������(��!�� ���������� �� ���� ��� ������ ������ ������� ����� � ��� ����
�& ������� ���� �� ��� :'(P �1�40 ��� ��� �� � ���� ���� �������� ���
��� )������(��!�� ��������
���� ��� � ���� �� �� ����� ��������� �� ��� ����& ������� ����� � ���
�$�� ����� �������� � � &��� ���!��� ��� ��� �� ������ ��� ����� �������
��� �� ��� ����� ��� �� �$������ �� ������ ����� �� ��� ������ ��������
�� ���� � �����$������ �� ��� ������� ����� ��� ����� )������(��!��
������� ������ � ����� � ��� �� � ����� � M�� H �-"-12� ���� ����� ������ ��� ���� ��� ��� �� � ����� � ��� ����� )������(��!�� ���� ��
������� �� ��� ������ )������(��!�� �� � ��Æ��� �� 0"4Æ � ��� ����� �� ���
������� ��� �� ������ �� ��� ��� ������� )������(��!�� ���������� ��
� � ������� ������ ��� ������ �� ���� ��� ����� ������� � ��� �����
2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
α [o]
CL [−
]
Indicial flat plateIndicial Risoe A1−24Navier−Stokes Risoe A1−24 UnsteadyNavier−Stokes Risoe A1−24 Steady
� ���� ��� 3������ ���� � ��� � ��� ���� � � H 0"4Æ 1",Æ " �� � �������
���+��� H ���4��� H -"-/4 ��� ��� 3(�7 2�,�� � ��� �� 1����� �� &�,
�"�� ������� �&�� �� & 4�% ��,���)�� �������� �� �� � � �� ���� � ���,
����� � �� � &��� !��,����� �� � ���� �� ������� ���� � ��������� � ��
��� 3(�7 2�,�� � ��� �� ��� ��� � 4�% ��,���)�� ������� ������ � � ��� ��
M�� H �-"-12' "� �� ������� ��� ��� ���� ��� � ����� &��"�� ����� ��
������ 4�% ��,���)�� �������� ��� ��� 8���,� �� ���� � �� H �."12Æ
.- :��;3:31.,0�<)�
� ����� ����
� � ����� ����� ����� � ��� ��������������� ���� ������ �� �� ����
��� ������������� ��� ��� ��������� ���� ���������� �� ������ ����������
��� ����� �� ��� ��� � ��������� ���������� ��������� �� ���������� ���������
������ %�� �� ������ ���������� �������������� ����� �� "� ���������
�������� ��� ��� ������ ���� ��� �� ������ �������� �� ����� ��� ��
������ � ��� ������ ������ ��� ����� ������ ��� ����� � ���� �������� ���
��� ������� ���� ���������� �������� �� ��� ����� � � ���������� �������
���� ��������� ����� �� � �$����� � ��� ������� ��������������� ������
��� ������ ����� ���� ������ ��� ���� � ��� ����������� "� ������� � ���
������� �� � �� � ��� ��� �� �������� � ��� ������ ��� �������� ���� �����
����������� �������� ��������� ���� � ��� �� �� ��������
��� ��� ���� �� ��� ����� ����� �� ��� ����� �� �� ����� �� ����� ������
��� ������ ��������� ��� ������� ������ ������� ���������� � � �����
�������� �� � � ����������� ��������� ��� ������� ������ ������
��� ����� ����� �� ������� �� ������� ������ �������� � "��������
"� �� ��� �������� � ��� �������� ��� ���������� ������� ������ ��
�������� ����� ��� �� ���� ���� �������� ��� �� ��� ������ ����� �� ���
������� ������ ��������� ��� �������� ����� ����� ����� ������� �������
�� ������� ������ "� � ���� ��� ����� � ��� �����$������ � ��� ������
������� ����� ' ��� ����� ������ ��� ����� �$������ ��� �$����� �����
�������� ������ ��� ����!� ��������� � ��� �� � �� �������� ������
���������� ��� ��$���� �� ��
��� ������� � ��� ��� ����� ��� ��� ������� �� ��� ����� ������ ���� ��
�� ��� ���� ��� � � ������ ���� ������� ������� �� ����� ��������� �����������
%�� ������ ���������� ����� M� H 4Æ ��� �������� �������� �� ��� ��� ��
��������� ����� ��� ��������� �������� ��� ����� ���������� ��������� �
��� ����� �� ���� � ��� ���������� ��������� ���� ����� =�>7(��� ?41� 44@�
%������ �� �� ��� ���� ��� ������� � ��� ���� � &��� ���!��� � �� ������
���� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ����& ������ ������� ������
:��;3:31.,0�<)� .1
.4 :��;3:31.,0�<)�
����������
?1@ D������� O�� Q��� ���������� 7��� =� 7 3 6���� �� 7����������R �����
�� ��� 2�� �� 2�������� � 1���� ��� 9 � ���& � 1������� �� � ������ ��
�� 6� D������� 9��� ��$ S'� '��������� <���� ����� ������ B��
������� � 5����!� ������ ����� 1//2� ��� 14/31.,�
?4@ D������� O�� 6����� =�� �TK��!� ��� <�������� D�� P��� (�� 8������ =��
�� >�!������ 5�� QD������� � 5���� ����� �� '���� 9�������� �
(�����R ���� :��� :��;�:�1-0,�<)�� :��;� :��!����� 5����!� 6�� 1//*�
?.@ ���������� ��� Q8����� ������ � ��������� '��������� �� ��� 6���
���� � %�������R 4212 3����� ��- � 1/.,� ��� 01.30..�
?0@ %��� U� 7�� 2 (������� � �� ��� ����� �� 2�������� � � � O�� >���� V
(��� '�� 1/,,� �5���� ������� 1//.��
?,@ %������� D� D�� Q%��������� �� (������ � :������>�� ����������
(�������� �� :������ D��������R :��� ��� 9��� +� )�� 4� 1/*.� ��� 1-13101�
?2@ ���� 7� �� �� D����� 5�� Q(����<������� 6���� �� ��� 5���� (����
� ��� ���� � 9�� � ��� ��������� �� ��� 7�������� � :������� � �
=�������� ����� � %�� ��� %������R -�� #������ 3��������� �� ;�"����
< ��� 2 ������ �����' ;����� �� ;��������� 1/*-�
?+@ 5��� :� �� ���� 7� ��� Q'���������� � ��� (���� %������ � � ��� ��� ���
� (����<������� 6���� � 4�5 %�� �R :��� ��� 9��� +� )�� 4� 1/*.� ��� +.3*2�
?*@ �������� �� (�� Q� (������� � B������ ��������� <���� '�����
(���� =����������R :��� ��� 9��� 1� 1/+2� ��� 11.314.�
?/@ �������� �� (�� Q:����������� � ��� ��� ���������R :��� ��� 9��� +� )�� 4�
1/*.� ��� 1*.31/+�
?1-@ �������� �� (�� QD������ 7��������� � B������ �� ��R :��� ��� 9��� *�
)�� 1� 1/*0� ��� ,,3+1�
?11@ �������� O� 8� �� �������� �� (�� Q� 8��������� 6���� �� ��� ��� B�
������ ��������� �������� �� 5���� (���� B��� ��� '����� 6������R
;������ �� �� ��� ��� 2��� ����� �� ��� 2��� �� =�� ������ ��� �� �
>������� 5�7�� O�� 1/*2�
?14@ �������� O� 8� �� �������� �� (�� Q� (����<������� 6���� �� 5����
(�����R >����� �� ��� 2��� �� =�� ������ ��� �� � 9��� .0� )�� .� 1/*/�
��� .31+�
?1.@ �������� O� 8� �� 7������ 8� ��� Q� (�����(��� 6���� � B������ �����
������ � � 7����������� %�� �� %������ ��������R 2(22 ;���� ��,
55�� � 1/*/� ��� 1311�
?10@ �������� O� 8� �� )����� L� W�� Q(�����(��� :����������� � B������
��� ��� ���������R 2(22 >����� � 9��� 4*� )�� ,� 6�� 1//-� ��� *.23*00�
?1,@ �������� O� 8� �� 7������ 8� ��� Q(�����(��� 6���� �� B������ ��� ���
�������� �� 5���� (�����R 2(22 ����� ��,���� � 1/*/� ��� 1.+431.*.�
?12@ �������� O� 8�� Q� ��5�������� 6���� �� ��� ��� B������ 5��� ����
(�����R >����� �� 2 ������ � 9��� 4,� )�� +� O��� 1/**� ��� 22,3222�
?1+@ �������� �� (�� Q� )��� >�!� 5���� 6�����R 2��� �� =�� ������ ��� ��
4�� ��� ���� �� ���? @��� � � 2������ �� �� 2��������� �� � ��������
%������� 1/*+� ��� 13/�
:��;3:31.,0�<)� ..
?1*@ �������� O� 8�� ;� � ���� �� =�� ������ 2������ �� � 7�������� B�����
���� D����� 4---�
?1/@ 9� ��� >���� �� 8� �� �������� O� 8�� QC ��� '"��� � �����9�����
%�� 9������ � B������ �����������R >����� �� ��� 2��� �� =�� ,
������ ��� �� � 9��� ./� )�� 0� C����� 1//0� ��� 4,3.2�
?4-@ �� ������ �� <�� (�������� &�� 2������ �� � 7�������� B�������� D�����
1/21�
?41@ =���� 6� =�� Q���������� ��������� ������� � �� ������� ���� �
��������� ��������R ;������ �� �� ��� #������ 9 � #��� 1��������
6������ (���� O�� 4--.� D�������� � 75����
?44@ =���� 6� =�� Q���������� ��������� ������� � ������������ �� ����
�����R ���� #������ 3��������� ������ %���������� �� 8������ (������
��� 4--.� D�������� � 75����
?4.@ >����� =�� QKB��� ��� <������� ��� ��������� �� ������� ��
����"K�����R A� ���"� @���� �� @����� 9��� ,� 1/4,� ��� 1+3.,�
?40@ 7�� � 7� U� �� =���� 6� L�� Q��� '����� �� � �� 5��� � � '����������
(������ ��� ��� � %���� ���!����R >� ��� � @����� 9��� 11*� 1/*4� ��� ./.3
0-/�
?4,@ %������� D�� Q5���� �� 9���&���� � ��� :'(P��1 ��� ��� %����� �� >��
��������R ;���� ����� 2�������� �� ���� @��� � � :��� )������ B(�� O��
���� 4--1� ��� �'�� 4--13--4*�
?42@ O���� :� ��� Q��� B������ �� � � � >�� � %���� ����� :�����R ����
:��� 2*1� )�7� :������ 1/0-�
?4+@ 8����� 6�� B����� 2������ � ������ � 4212 55�� 2 ��� � =��,
�� � ��������� @�� �� D��5� ������� ������ B�������� � 5����!�
5L�4*-- L��� ������ 5����!� 4--4�
?4*@ (;����� )� )�� Q8����� D������ %�� (����� ������� �� %�� C��� =�����R
���� :��� :��;�:�*4+�<)�� :��; )������ ����������� 1//,�
?4/@ 6������� O� ��� Q�����.5 � � D��� ��� �� 5��������� � 6�������! D5<
(�������R ���� :��� �%6 /4�-,� 5�������� � %���� 6������ ������
B�������� � 5����!� 1//4�
?.-@ 6������� O� ��� Q���!�(�������� 6�������� (������ � 45 �� .5 <������
D5<A��R ���� :��� �%6 /0�-2� 5�������� � %���� 6������ ������
B�������� � 5����!� 1//0�
?.1@ ������� '� �� �� 5������ �� <� 9�� ����� �� 9 � ���� �� � 5���� D���
�������� 1/0/�
?.4@ P��� (�� Q'������X��� ����������!� !�X ��� �Y� ������������ ��������
&��R ���� :��� �%6 *1�-,� )����� 6<L� ������ B�������� � 5����!�
5����!� )������� 1/*1�
?..@ 5����� >� %�� 2������ � ����� � 5����� 1/0.�
.0 :��;3:31.,0�<)�
� �������� ��� ����� �� �
���� ������$ ����� � ��������� � � ��������� �� ������ ������� �����
�� "�� ����� "� �� ������ �� 8������ ?.1@� �� �� �������� �� ������ ������
� ����������� �������� �� ��� "� ���� � ��� ��� � �&�������� ���!��� ��
������� ������� �������� � ��� ��� ��� ���� ��
&�'� �� H ����� ��Z
4J
�����
����� ��(Z ���1�
' H ��Z ���4�
)��� ���� ' �� � ����������� ���������� �������� ��� ������� � ��� ����
�� � ��� �!�� ' �� ���� �� ��������� ���� �� �� �� � ��� ������ ���� ��
������� ����� �� ��� � %����� 1.� ��� ����� ������� ��� ��� ���� ��������
� ��� '��$��� ��� ���� � ��� �������� �� ������� ��� ��� �����(����� ��
$ �'� �� H �� �
��
&�'��
4��' � '���'�
H �1�4�����������
1�4����� ��(Z ���.�
(��������� ��� ����� ������� ��� ��� �!�� ��� �� ������� �� �$��� ���
��� ��� ��� � ��� ���� ��� �������� �� ������� ���
� �'� �� H
� �
�
&�'��
4��'� � '��'� ���0�
��� ������� ������� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���������� �� ��� �������� �����
� ��� ��� ��� ��
# �'� �� H � I� J �) � I���J ��' � �� I� ���,�
'
*
I�� K�
I�� K�
�� I�� K�
! � ��
! � �C
�
�
��
� ���� ��� *�� � �� �� ��� � %� � ���� �� ���� ��� ��� %�� �� �� ��� ������
���� ��� ����� �� � � ��� ����,����� �� ��� ������' " �� "� �� ��� ����� ������,
��� ' � ����� 8��� ��� � ���� � ������ ����� �� ��� ������ � ������ & *� ���
���� �� �����)' �' � ������ �� " �� ������� �� ��� ���� ������ %���� � ) ' ��
� ��� � %� C��� ��?� ��� ��������� ��� � �� ��� ������ � � %� & �' �' ��
��� ��� %�� %�� �� �����' "� �� ����� ��� ��������� ��� � �� ��� � ��,�� �
+' ����� & ��� � � ��� ��� ���������' �' ��� "� �� ��� ��� � %� � ���� �
� ��"���� ��� ��� � � �����
:��;3:31.,0�<)� .,
��� )���� ������� ������� ������ ���� ��� "� ������� ��� ����� ��� ��
�� ����� ��
$ �'� �� J � �'� �� J # �'� �� H - ���2�
'������ <������� ���.�3���,� ��� ��� )���� ������� ������� ���2��
������
�1�4�� ������
1�4�� ��(ZJ
� �
��
&�'��
4��'� � '��'�
� I� J �) � I���J ��' � �� I� H - ���+�
��� ��� ��� ���� ������� ������ ����� ��� ���������
�� H 4��) � I���� I� � �� I��J 1
�
� �
�
&�'�'� � 1 �' ���*�
�� H 4� I�J4
�
� �
�
�&�'�'� � 1 � 1�&�'� �' ���/�
�� H4
�
� �
�
�' �
'� � 1��'� � 1 &�'� �' ���1-�
��� �������� ��� ��� ���� �������� � ��� �&���������� ���! ��� ��� ��
��'� H 1�4�� !
��
&�'��' ���11�
�� ��� T��� � ���� ��� ������� ���� ��� ��� ��� ��
�!��� H 1�4&�'� ���14�
D��� �� ���� �� ��� �� ��� ����� �� �� �� ���� � ��� ��� ���� ������������ ���
����� �������� ������� ��
) �" H �) � I�J �!�
� � �) � I��� J 4�) � I���! ���1.�
'������ ��� ����� � ��� �������� ������� ������ �� ��� �������� ������� ����
��� ��� ���
M% H %� � %� H ��) � I��& J ���
��
� !
��
& �'" ���10�
%��� ���� ��� ����� ��� �� ����� �� ���������
, H �
� �
��
M% �� H ��
� �
��
��) � I��& J ��
��
� !
��
&�'� �' ���1,�
- H ��� �
��
��� '�M% �'
H ���� �
��
��� '�
��) � I��& J �
�
��
� !
��
& �'
��' ���12�
.2 :��;3:31.,0�<)�
'������ & ��� <������ ���1� �� ��� �� ������ ��� <������� ��*3��1-
������ � ��� ���������� ������� ?.4@
, H 4����) � I�� ?�) � I���� I� � ���� -",� I�@
J���) � I��
� �
�
&'� � 1
�'
J���� ?�) � I�� I�� K��� K� � ��K�@ ���1+�
- H ��J -",���4����) � I�� ?�) � I��� � I� � ���� -",� I�@
J���) � I��
� �
�
&'� � 1
�'� � -",�����) � I�� I�
J����� ?�) � I�� I� � K��� K� � ��K�@� 1�*����K� ���1*�
� �������� ��� ������ ��� �� ��� ���������� �� ��� ������ ���� � ��� ��� ����
���� �� ������ �� �������� ��� �� � �� �������� ��� ����� � ��� �������
�������� �� ��� ������ ���� ������ ��������� ����� ��� �������� ��� �
�� �$������� �� ?..@
� H ����
��) � I���� I� � �� I�J
1
4�
� �
�
&'� � 1 �'
��
���1/�
��� �� � �� ���� ������ ��� ��&�� �� ���� ����������� �� �������� ��
��� ������� � ��� ��� ������ �������� �� ��� ��������� ��� � ���T���� �
��� ����� �� �������� ���� � ����� ��������
� H , ���� � ��� ���4-�
. H , ���J � ��� ���41�
�� �������� ��� �!� ��������� L����A� �������� ��� ������ ���� ��� �����
�������� ����� � ����� ���� ������� � ��� ���� "��� �������� �� ������
�� ����� �� � ������� � ����� ��� �������� � ��� ���&�� ���� �� ������
�� ��� �������� ����� � �������� ���� ��� ��� "�
[ H �
� �
��
& �' H ��
� �
�
& �'" ���44�
%��� ��������� � ��� ���� ��������� <������ ���1�� � ���
[ H �
� �
��
& �' H ����� J -",��� ���4.�
'������ �� �� �� ��� <������� ���*� �� ���/�� �� ���� ��� ������ ���
L����A� �������� <������ ���44�� ��� ���� �� ������� �� �������� �
�
' J 1'� � 1& �' H �4� ?�) � I���� I� � ���� -",� I�@ " ���40�
��� ����� ������� � �� ���� �� ������ ��� ������� � ��� ���� �!� ��������
���� � ������� �������� ��� ������� � <������ ���40� � �� ����� �� �
��� � �������� � ��� ����� �!� �������� ��� ��� ����� � ��� "� �� ���� ���
'����� ������ �� ��� ���� �
�
' J 1'� � 1& �' H
������
� !���
!�
' J 1'� � 1& �' ���4,�
B��� ��� ��������� � ���� ��� ����� �!� ��������� ���� � �� �����
��������
&
� !���
!�
' J 1'� � 1 �' H
������
& �
�' � J
�'� � � 1�
' J�'� � 1�
����42�
:��;3:31.,0�<)� .+
7������ <������� ���40� �� ���42� �� �� �������� �� ������ ��� ������� �
��� � �� ���� �!�
&� H �4� ?�) � I���� I� � ���� -",� I�@ J����
�� & �
�!���
��!������
!� �
�!����
���'� J
'�� � 1�
"
���4+�
B��� <������ ���4+� ��� ���� ���� ���� � �� ��������� � ��� ������� � ���
������� �!� ��������� �� ��� ����������� ������� ��� ������� ��������
' � H
�1 ' J
�)��������M�
�
����4*�
%��� ��� ��������� ����� �� �� ��� ���� �� �� �������� �� �������� ��� ����
�� �� ���� �� �� ����� � ��� ��� ��� �� ������� ��� �!� �������� ����
<������� ���4+� �� ���4*�� �� ��� ����� ������ ��� ���� ��� ��� "�
���� <������� ���1+�� ���1*�� ���1/�� ���4-� �� ���41��
�'� ,���1������ �( �-� �������-#
�� ���� � ���� ��� ������ ������� ������ ��!� �� ������� �� �� ������� ��
�������� �� ������� �������� � ������� ������������ ������ "��������
"� �� ��� �������� �������� ����� � � � ����!� ��������� ����� �
�&����� ��� ��� ��� �������� ��������� ������ �� ���������A� ������� ��
��������� ������ � ��� "�� ����� �� ������ �� ������ ������� ��� �������
�� ���������� ����� � ��� "�� ����� � ��� ���������� ������� �� ��������� ����
��� ������� ��� ��� ������� ��! � �� ��� >��� �� ������� ?1/@�
������ )� ��
��� ������� � � ����������� ������� �&����� ��� ��� ��� �� ������ �� >����
?4.@ � 1/4,� ��� �� � ����� ��� �� �������� � � ����� � ��� ��� �� �
���� � ���� ��
�� H�
-", � �����
H 4� �����\���� ���4/�
���� ��� ���������� ����� � � �� ��&�� ��
� H4���
�"
��� �$�� ��� � ��� ����� \���� � <������ ���4/� ��� �� �$������� �
�������� ������ ��� ������� �����$����� �$�������� ���� ��� ��������� ���
���� ����� ���� �����$����� �$�������� ���� �� :��� O��� ?42@ ��
\��� H 1� -"12,���#������ � -"..,���#����� ���.-�
' %����� 10� �� �� ��� ���� ��� �����$����� �$������� ���� ���� ���� �� � ����
1F � � ��� ������ "� �������� ������� ���� ��� ������ "� ������� ������
����� ��������
*�� ���� ! ��
��� ������ ������� �� ��� ���� ��� � �&����� ��� ��� ��� �������� ����
��� ���������� � ���� � ����! �� ������ ����� �� &��� ������ ������
����� �� ��������� ?.@ � 1/.,� %����� 1, ��� ��� �� �� ���� �� ����� �� �
&���� �� ��� ������ ��� ������� �� ��� ������� ��� ��� ������ ������� '�
.* :��;3:31.,0�<)�
0 5 10 15 20
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
τ [−]
Φ(τ
) [
−]
General algorithmR.T.Jones approximate
� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� � ����� %�� ������� !�" ��� � !�� ������
1����� �� �� ��� �����$ ���� �$����� � �� >��� D�-E' #+��� � .2��5/' �� ���
������ ����� ����
�� ��� ���� ��� ������������ ������� �� ��� ������ ��������� �� � ���� ����
�������� ��� ��� �������� ��������
�� ��!� ���� ��� �"��� � ���������� ����� �� ���������� �������� %���
��� 12 ��� � �������� � ��� �������� � � "�� ����� �� ��������� ������
����� ������� ��� ���������� �������� ������� �� ��� ������ �������
�� � ��� �������� ���� ��� ������������ �������� �� ���� �����
(�� � �������� ������� �� ��� ������� � � "�� ����� �������� ������
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.50.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
α [o]
CL
[−]
General algorithmTheodorsen Analytical
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
α [o]
CD
[−
]
General algorithmTheodorsen Analytical
3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
α [o]
CM
[−
]
General algorithmTheodorsen Analytical
� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� ��� ���� � � ��� � ��� � ��� � !�� �����0
������ �� �� ��� ���� ��� �$����� �� & ��������� " �� ��� ������ ����� ����
3������ ���+��� � H ���4��� H -".� 2��� �� �����) � � H ,Æ 1",Æ ' " ���F� ����� �� �$ � �� ����� �� ��� ����' � ���� �� � ��� ������ ���" ��' �� ��
�� ' ������� %���
−0.2 −0.1 0 0.1 0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y/c [−]
CL
[−]
General algorithmTheodorsen Analytical
−0.2 −0.1 0 0.1 0.2−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
Y/c [−]
CD
[−
]
General algorithmTheodorsen Analytical
−0.2 −0.1 0 0.1 0.2−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
Y/c [−]
CM
[−
]
General algorithmTheodorsen Analytical
� ���� �-� (% �� � ������� �� ��� � �� �� ��� ���� � ���% � ��� � ��� � !�� �����0
������ �� �� ��� ���� ��� �$����� �� & ��������� " �� ��� ������ ����� ����
��� ������� ���+��� � H ���4��� H -"4� ��� ����' � ���� �� � ��� ������
���" ��' �� �� �� ' ������� %���
:��;3:31.,0�<)� ./
0 90 180 270 3600.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
CL/C
L0
[−]
λ=0.0λ=0.4λ=0.8
/ H � ?Æ @
� ���� ��� (% �� � ������� �� ��� � �� �� ��� ���� � ��� � ��� ������" ��
� ���� � ��� � !�� �����0 ������ �� �� ��� ���� ��� "��) �� %� ��� 9��� ��
<� ���� D��E .���� �����' ���������� ���� D��E/ " �� ��� ������ ����� ��� .� ���
�����/� ��� ������� ���+��� � H ���4��� H -"4' �� ��� ����� � ��� �
��� ������" �� � ���� � ���������� �� ��$ ��� ��������� %���� � ) ��
���������� ����� � ��� ������� � ��� ���������� �� !� �� ��� �������� �
�������� ��� ��� ������� ��! � �� ��� >��� �� ������� ?1/@ �� ���
� %����� 1+�
'� �� �������� ���� ��� ������� � ��� ������ ��������� ������ ���� ��� ��� ���
������� � �� ��� >��� �� �������� ������� ������ ��� ����� �� ����&��
��� � ��� ������ ������� ������� ����������� �� ������� ������ "�� �����
"� � �������� �����
0- :��;3:31.,0�<)�
+ �� !��� � "��� � ��� , �-.,.����/�01
����� ��� ����� �
� ��������������� ���� ����� ����� ����� � ���������� �� ������ �����
������
6���� =������ =���� 6� 8����� =���� ������� 6����
����
*+�,,-�.-*/�-# *+�,,-�.-/-�0 �'������
����
-1-234*0-
����� � ����
���������� 5����
>�� <���� 5��������
����
O�� 1*� 4--0
���� �� ���� ������� � �������������� ��
<)( 1.2.E--�---+
<)L2�7�4---�--.4-
����
0-
�����
1
���� ������
1+
�� ������
..
!� ����� �"�#� $%%% �����
���� ������ ����� � ��������� � � ��������������� ���� ����� �����
����� � ���� � ���������� �� � ������ ���� ���������� ��� �����
������� ��� ������� ��������� ���� �� ����� � � ��� ��� ����� ��
������� ��������� ����� � ������ ��������� �� ����� ��� ����� ������ ���
����� � ���� �������� ��� ��� ������� ���� ���������� �������� �� ��� � �
��� � � ���������� ������� ���� ��������� ����� ��� ������� �������� �
��� ����� ��� ������� �� ���� ��� ��������� ����� � ������ ����� �� �������
��� � ��������� �������� � ��������� �� ������ ��� �� ������� ��� �������
� ��� ����� ��� ������ �������� �� �������� ��� ������ �������� � ���
����� ���� !� ��� ��� ���� �� ����� ��� �������� ����� ����� ����� ���
����� ������� �� ������ �������� ���� ��� ��������"� �����# �� �� �$������
��� �$����� ����� �������� ��� �� ��������� � ��� �� �� � ��� ����� ������
��� ��������� ����� �� ��� �� ���� ������� ������� �� ��� ��� ����� �� �����
��������� ����������� %����������� �� �� ��� ���� ��� ������� � &��� ����!�
��� ��� ���� � �� ��������� �� � ���� ����� �� ��� ��� � ����& ������
������� ������
�� ������ �����&��
>')5 �B:�')<(# �<:C5U)�6'7(# �<:C<��(�'7'�U# 5U)�6'7(