8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
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3 D d e p t h r e c o v e r y w i t h
g r a y s c a l e s t r u c t u r e d l i g h t i n g
S . S a v a r e s e J Y . B o u g u e t P . P e r o n a
C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 1 3 6 - 9 3
P a s a d e n a , C A 9 1 1 2 5
f s a v a r e s e , b o u g u e t j , p e r o n a g @ v i s i o n . c a l t e c h . e d u
K e y w o r d s : 3 D S h a p e r e c o v e r y , S t r u c t u r e d l i g h t i n g
A b s t r a c t
T w o n e w s t r u c t u r e d - l i g h t i n g m e t h o d s f o r e x t r a c t -
i n g t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s h a p e o f a s c e n e a r e p r o -
p o s e d . T h e p r o j e c t e d p a t t e r n s a r e g r a y s c a l e r a m p s
a n d s i n e w a v e s , r a t h e r t h a n t h e w e l l - k n o w n b l a c k -
w h i t e s t r i p e s . W h i l e b l a c k - w h i t e s t r u c t u r e d l i g h t
m e t h o d s a l l o w t o t r a d e o m e a s u r e m e n t s p e e d w i t h
s a m p l e d e n s i t y , o u r g r a y s c a l e m e t h o d s p r o v i d e c o n -
s t a n t s a m p l e d e n s i t y a n d t r a d e o m e a s u r e m e n t
s p e e d w i t h a c c u r a c y . A n o t h e r i n t e r e s t i n g d i e r e n c e
i s t h a t b l a c k - w h i t e m e t h o d s s a m p l e d e p t h a t u n p r e -
d i c t a b l e l o c a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e p i x e l g r i d o f
t h e c a m e r a , w h i l e g r a y s c a l e m e t h o d s s a m p l e s c e n e
d e p t h a t e a c h p i x e l . T h e a c c u r a c y o f e a c h m e t h o d i s
e s t i m a t e d a n a l y t i c a l l y a n d a s s e s s e d e x p e r i m e n t a l l y .
1 I n t r o d u c t i o n a n d m o t i v a t i o n
T h e r e e x i s t d i e r e n t m e t h o d s f o r r e c o v e r i n g t h e
3 D s t r u c t u r e o f s u r f a c e s : e i t h e r b a s e d o n m e c h a n i -
c a l s y s t e m s , o r p u r e l y b a s e d o n i m a g e s ( p h o t o g r a m -
m e t r y ) . T h e g e n e r a l f r a m e w o r k o f o u r s y s t e m i s
s t r u c t u r e d l i g h t i n g . S t r u c t u r e d l i g h t i n g i s b a s e d o n
p r o j e c t i n g l i g h t p a t t e r n s o n t h e t h r e e d i m e n s i o n a l
s c e n e , a n d i n f e r i t s s h a p e f r o m t h e i m a g e s a c q u i r e d
f r o m a c a m e r a p l a c e d a t a d i e r e n t l o c a t i o n i n s p a c e .
T h e r e a r e d i e r e n t v e r s i o n s o f t h i s c l a s s o f m e t h o d s ,
m a i n l y d e p e n d i n g o n t h e c h o i c e o f t h e p r o j e c t e d
p a t t e r n s . M a n y t e c h n i q u e s r e l y o n b i n a r y s t r i p e
p a t t e r n s o r s u c c e s s i o n o f v e r t i c a l b l a c k a n d w h i t e
s t r i p e s a c r o s s t h e i m a g e 6 , 5 , 4 ] .
D i s a d v a n t a g e s o f t h i s a p p r o a c h a r e t h a t , f o r i s -
t a n c e , i t i s n o p o s s i b l e t o b u i l d a d e n s e d e p t h m a p
r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s c e n e . I n o t h e r w o r d s , t h e
d e p t h i n f o r m a t i o n c a n n o t b e r e t r i e v e d f o r a l l p i x -
e l s i n t h e i m a g e . M o r e o v e r , s i n c e t h e r e s p o n s e i n
t i m e o f t h e p r o j e c t o r i s l i m i t e d , t h e t i m e r e q u i r e d
t o p r o j e c t t h e e n t i r e s e q u e n c e o f p a t t e r n s c a n n o t b e
r e d u c e d a r b i t r a r i l y . F o r i n s t a n c e , L C D p r o j e c t o r s
a r e p o p u l a r d e v i c e s f o r p r o j e c t i n g s t r u c t u r e d l i g h t .
U n f o r t u n a t e l y L C D ' s h a v e l o n g s e t t l i n g t i m e s a n d
t h e r e f o r e s t r i p e p a t t e r n s , w h i c h r e q u i r e l a r g e s w i n g s
i n t r a n s p a r e n c y , r e q u i r e l o n g s e t t l i n g t i m e s a s w e l l .
F i n a l l y , t h e r e i s n o d i r e c t t r a d e - o b e t w e e n a c c u -
r a c y a n d s p e e d . T h a t i s , i n c r e a s i n g t h e n u m b e r
o f p r o j e c t e d p a t t e r n s ( t h e r e f o r e i n c r e a s i n g t h e t i m e
r e q u i r e d t o s c a n t h e o b j e c t ) l e a d s t o i n c r e a s e t h e
d e n s i t y o f t h e d e p t h m a p b u t n o t n e c e s s a r i l y t h e
a c c u r a c y i n t h e d e p t h e s t i m a t i o n .
W e p r o p o s e t w o n e w t e c h n i q u e s t h a t d i e r f r o m
p r e v i o u s m e t h o d s m a i n l y i n t h e n a t u r e o f p a t -
t e r n s 3 ] . B o t h t e c h n i q u e s a r e b a s e d o n p r o j e c t i n g
g r a y s c a l e p a t t e r n s . A l o n g t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n
t h e b r i g h t n e s s i s a f u n c t i o n o f t h e p o s i t i o n , w h e r e a s
a l o n g t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n i t i s u n i f o r m . T h e r e -
f o r e e v e r y p h y s i c a l p o i n t i n t h e s c e n e i s i l l u m i n a t e d
b y a l i g h t i n t e n s i t y d e p e n d i n g o n l y o n t h e h o r i z o n -
t a l c o o r d i n a t e x
p
i n t h e p r o j e c t o r r e f e r e n c e f r a m e .
T h e n w e b u i l d a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e b r i g h t -
n e s s o f a n o b s e r v e d p o i n t a n d x
p
. F i n a l l y , u s i n g t r i -
a n g u l a t i o n , w e c o m p u t e 3 D s h a p e ( 3 D l o c a t i o n o f
p o i n t s i n s p a c e ) . H o w e v e r i n t h i s p a p e r w e f o c u s
o n r e c o v e r i n g x
p
a n d q u a n t i n g t h e n o i s e a t t a c h e d
t o i t . S i n c e t r i a n g u l a t i o n a n d i t s s e n s i t i v i t y a n a l -
i s y s a r e w e l l - s t u d i e d w e w i l l n o t r e p e a t t h a t a n a l y s i s
h e r e 1 , 6 , 2 ] .
T h e p r o p o s e d t e c h n i q u e s d i e r i n t h e k i n d o f c o r -
r e s p o n d e n c e u s e d . T h e r s t o n e i s b a s e d o n p r o -
j e c t i n g o n l y o n e p a t t e r n w h o s e b r i g h t n e s s p r o l e i s
c h o o s e n t o b e a m o n o t o n i c f u n c t i o n o f t h e h o r i z o n -
t a l p o s i t i o n ( s e e g u r e 3 ) . T h u s , e v e r y p o i n t i n t h e
s c e n e i s i l l u m i n a t e d b y a l i g h t i n t e n s i t y t h a t i s u n i -
v o c a l l y d e p e n d e n t o n t h e h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e x
p
i n t h e p r o j e c t o r r e f e r e n c e f r a m e . T h e c o r r e s p o n -
d e n c e i s s o l v e d u s i n g t w o m o r e p a t t e r n s i n o r d e r t o
n o r m a l i z e t h e o b s e r v e d b r i g h t n e s s f o r e v e r y p i x e l .
F u r t h e r m o r e , i n o r d e r t o i m p r o v e t h e a c c u r a c y i n
s h a p e e s t i m a t e i t i s p o s s i b l e t o p r o j e c t a s e q u e n c e
o f p a t t e r n s ( s u c h a s i n g u r e 5 ) .
T h e s e c o n d t e c h n i q u e a s s u m e s t o p r o j e c t a s e -
q u e n c e o f s i n u s o i d a l p a t t e r n s ( s e e g u r e 6 ) . I n t h i s
c a s e e v e r y p o i n t i n t h e s c e n e i s i l l u m i n a t e d b y a l i g h t
i n t e n s i t y t h a t i s p e r i o d i c i n t i m e w i t h a p h a s e l i n -
e a r l y d e p e n d e n t o n i t s h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e x
p
i n
t h e p r o j e c t o r r e f e r e n c e f r a m e . E x t r a c t i n g t h e p h a s e
o f t h e i n t e n s i t y f u n c t i o n c a n d i r e c t l y l e a d t o a n e s -
t i m a t e o f x
p
.
T h e a p p r o a c h w e a r e p r o p o s i n g g u a r a n t e e s a
d e n s e d e p t h r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s c e n e . B e s i d e s ,
t h e r e a r e o n l y s m a l l i n t e n s i t y c h a n g e s a m o n g s u c -
c e s s i v e p a t t e r n s . T h e r e f o r e f r o m a n h a r d w a r e i m -
p l e m e n t a t i o n s t a n d p o i n t , s u c h p a t t e r n s m a y v e r y
w e l l b e g e n e r a t e d f a s t e r t h a n c o n v e n t i o n a l b i n a r y ,
b l a c k a n d w h i t e p a t t e r n s w h i c h i n d u c e l a r g e s w i n g s
o f b r i g h t n e s s o n t h e p i x e l s a t t h e t r a n s i t i o n s . A l s o ,
1
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ProjectorCamera
Horizontal
Vertical
direction
direction
P a t t e
r n
Object
Figure 1.T h e g e n e r a l s e t u p . T h e c a m e r a a n d
t h e p r o j e c t o r a r e f a c i n g t h e s c e n e c o n s i s t i n g o f o n e o r m o r e o b -
j e c t s T h e p r o j e c t o r p r o j e c t s v e r t i c a l p l a n e s d e n e d b y t h e i r
h o r i z o n t a l p o s i t i o n ( s i m i l a r t o s t a n d a r d v e r t i c a l s t r i p e m e t h -
o d s ) e a c h o f t h e m a s s o c i a t e d w i t h a v a l u e o f b r i g h t n e s s .
s i n c e w e d o n o t n e e d t o e x t r a c t s t r i p e b o u n d a r i e s
o n t h e i m a g e s a s o t h e r b i n a r y s t r i p e t e c h n i q u e s t i p i -
c a l l y d o , o u r m e t h o d i s e x p e c t e d t o b e m o r e t o l e r -
a n t t o d e f o c u s s e d p r o j e c t o r . F i n a l l y , w h i l e m e t h o d s
b a s e d o n b i n a r y s t r i p e p a t t e r n s h a v e x e d a c c u r a c y
a n d t r a d e o b e t w e e n r e s o l u t i o n a n d n u m b e r o f p r o -
j e c t e d p a t t e r n s ( i . e . a c q u i s i t i o n t i m e ) , t h e m e t h o d s
t h a t w e p r o p o s e h a v e x e d r e s o l u t i o n ( o n e d e p t h
m e a s u r e m e n t p e r p i x e l ) a n d t r a d e o b e t w e e n a c -
c u r a c y w i t h n u m b e r o f p r o j e c t e d p a t t e r n s . T h a t i s ,
t h e y h a v e t h e p o s s i b i l i t y o f e i t h e r i n c r e a s i n g t h e a c -
c u r a c y o f t h e 3 D s h a p e e s t i m a t e u s i n g a l a r g e r n u m -
b e r o f p r o j e c t e d p a t t e r n s o r g e t t i n g a f a s t e r s h a p e
e s t i m a t e n o m a t t e r t h e q u a l i t y o f t h e r e c o n s t r u c -
t i o n .
T h e r e s t o f t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . W e
w i l l d e s c r i b e i n s e c t i o n 2 t h e n a l 3 D r e c o n s t r u c t i o n
s t e p t h a t l e a d s t o t h e 3 D s h a p e o f t h e s c e n e ( g e o -
m e t r i c a l s t a g e ) . W e t h e n e x p l o r e i n s e c t i o n s 3 a n d 4
t h e d e t a i l s o f t h e p r o p o s e d t e c h n i q u e s t o g e t h e r w i t h
a n e r r o r a n a l y s i s . I n 5 a n d 6 w e c o m p a r e t h e t w o a p -
p r o a c h e s u s i n g t h e r e s u l t s o f t h e s e n s i t i v i t y a n a l y s i s
a n d a c e r t a i n n u m b e r o f e x p e r i m e n t s . F i n a l l y , w e
g i v e n a l r e m a r k s a n d s u g g e s t i o n s f o r f u t u r e w o r k s .
2 D e s c r i p t i o n o f t h e s e t u p { D e p t h
m e a s u r e m e n t
T h e s c e n e w i l l b e r e p r e s e n t e d h e r e b y a n o b j e c t
f a c i n g a c a m e r a , a n d a l i g h t p r o j e c t o r ( s e e g u r e 1 ) .
L e t u s s u p p o s e t h a t t h e p r o j e c t o r p r o j e c t s a p a t -
t e r n a s s h o w n i n g u r e 3 . O n l y t h e x
p
c o o r d i n a t e
i n t h e p r o j e c t o r r e f e r e n c e f r a m e w i l l b e d i r e c t l y o b -
s e r v a b l e ( i . e . , i n t h e p r o j e c t o r i m a g e , t h e r e i s n o
d i s p a r i t y i n f o r m a t i o n b e t w e e n p o i n t s a l o n g v e r t i c a l
b a n d ) . H e n c e o n e c a n o n l y d i r e c t l y i n d e n t i f y w h i c h
v e r t i c a l p l a n e l i t a g i v e n p o i n t x
c
o b s e r v e d o n t h e
(P)y
x p
(P)x
y
x
(C)
(C)
(C)x
O
(C)
P
Π
(P)
(P)
(C)
(C)
X
z
O
z
Π
projector reference frame
of the plane in the
Horizontal coordinate
Figure 2.E x t r a c t i n g t h e s h a p e . G i v e n t h e o b -
s e r v e d b r i g h t n e s s o f a l i t p o i n t P i n t h e o b j e c t ( o b s e r v e d f r o m
t h e c a m e r a ) , i t i s p o s s i b l e t o i d e n t i f y t h e h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e
o f i t s p r o j e c t i o n o n t o t h e p r o j e c t o r i m a g e ( x
p
) . L e t u s s u p -
p o s e t h a t x
c
i s i t s p r o j e c t i o n o n t h e c a m e r a i m a g e , o n e c a n
e s t i m a t e t h e 3 D l o c a t i o n o f P b y t r i a n g u l a t i o n . T h e t r i a n g u -
l a t i o n p r o c e s s c o n s i s t s o f i n t e r s e c t i n g t h e o p t i c a l r a y g i v e n b y
x
c
i n t h e c a m e r a i m a g e w i t h t h e p l a n e d e n e d b y t h e h o r i -
z o n t a l c o o r d i n a t e o n l y x
p
i n t h e p r o j e c t o r i m a g e . G i v e n t h a t
t h e r e l a t i v e s p a t i a l l o c a t i o n s o f t h e t w o d e v i c e s , p r o j e c t o r a n d
c a m e r a , i s k n o w n , o n e c a n n a t u r a l l y c o m p u t e t h a t i n t e r s e c -
t i o n , a n d o b t a i n t h e c o o r d i n a t e o f t h e p o i n t i n t h e c a m e r a
f r a m e X
c
c a m e r a i m a g e , n o t i t s v e r t i c a l p o s i t i o n a l o n g t h a t
p l a n e . F r o m t h e c a m e r a h o w e v e r , t h e f u l l i m a g e o f
t h e s c e n e i s o b s e r v e d , w h i c h m e a n s t h a t w e k n o w
t h a t e a c h p i x e l x
c
=
x
c
y
c
]
T
c o r r e s p o n d s t o t h e
p r o j e c t i o n o f a p o i n t P i n s p a c e t h a t l i e s o n t h e
o p t i c a l r a y ( O
c
x
c
) ( s e e g u r e 2 ) . G i v e n t h a t w e
c a n a s s o c i a t e t o e a c h p i x e l x
c
i t s c o r r e s p o n d i n g c o -
o r d i n a t e i n t h e p r o j e c t o r i m a g e x
p
( s e c t i o n s 3 a n d 4
w i l l d e s c r i b e h o w t h i s s t a g e m a y b e p e r f o r m e d ) , o n e
c a n r e c o v e r t h e 3 D l o c a t i o n o f t h e o b s e r v e d p o i n t i n
s p a c e P b y i n t e r s e c t i n g t h e p r o j e c t e d p l a n e w i t h
t h e o p t i c a l r a y ( O
c
x
c
) ( s e e g u r e 2 ) . T h i s 3 D r e -
c o v e r y s t a g e i s c a l l e d t r i a n g u l a t i o n . I n g u r e 2 , t h e
c o o r d i n a t e v e c t o r o f P i n t h e c a m e r a f r a m e i s d e -
n o t e d X
c
.
W i t h i n t h e m a i n d e s c r i p t i o n o f t h e m e t h o d , w e
w i l l l i m i t o u r s e l f t o d e n o t e t h e t r i a n g u l a t i o n o p e r a -
t i o n w i t h t h e s y m b o l :
X
c
= ( x
c
x
p
) ( 1 )
N o t i c e t h a t t h e o n l y t w o p i e c e s o f i n f o r m a t i o n
r e q u i r e d t o p e r f o r m t h e t r i a n g u l a t i o n a r e t h e p i x e l
c o o r d i n a t e v e c t o r x
c
i n t h e i m a g e p l a n e a n d t h e
h o r i z o n t a l p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
a s s o c i a t e t o t h a t
p i x e l .
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3 M o n o t o n i c p a t t e r n t e c h n i q u e
3.1 Correspondence
L e t u s s u p p o s e a p a t t e r n i s p r o j e c t e d o n t h e s c e n e
a n d l e t B ( x
p
y
p
) b e i t s g r a y s c a l e i n t e n s i t y m a p i n
t h e p r o j e c t o r p l a n e . T h i s p a t t e r n i s c o n s t a n t a l o n g
t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n ( y
p
) a n d h a s a m o n o t o n i c p r o -
l e a l o n g t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n ( x
p
) . F i g u r e 3
g i v e s o n e e x a m p l e o f s u c h a p r o l e .
C o n s i d e r a g i v e n p i x e l x
c
= ( x
c
y
c
) o n t h e i m a g e
p l a n e . T h i s p i x e l c o r r e s p o n d s t o a u n i q u e p o i n t P
i n t h e s c e n e . T h i s p o i n t P i s a l s o i l l u m i n a t e d b y a
u n i q u e v e r t i c a l s t r i p e d e n e d b y o n e h o r i z o n t a l c o -
o r d i n a t e x
p
i n t h e p r o j e c t o r i m a g e . F r o m t h e p r o -
j e c t e d i n t e n s i t y B ( x
p
y
p
) a t P , o n e c o u l d i d e n t i f y
x
p
. H o w e v e r t h e r e i s n o t d i r e c t a c c e s s t o t h e p r o -
j e c t e d l i g h t B ( x
p
y
p
) f r o m t h e p r o j e c t o r , b u t o n l y
t o t h e r e e c t e d l i g h t l e a v i n g t h e s c e n e a n d g o i n g t o
t h e c a m e r a s e n s o r . I n o t h e r w o r d s w e j u s t k n o w t h e
o b s e r v e d b r i g h t n e s s I ( x
c
y
c
) a t p i x e l x
c
. T h e g o a l
i s t h e n t o e s t i m a t e f o r e v e r y p i x e l t h e c o r r e s p o n d i n g
x
p
f r o m I ( x
c
y
c
) .
L e t I
m a x
( x y ) b e t h e m a x i m u m o b s e r v e d b r i g h t -
n e s s a t p i x e l x = ( x y ) w h e n i t i s i l l u m i n a t e d b y
m a x i m u m b r i g h t i n t e n s i t y B
m a x
, d e n e d i n g u r e 3 .
S i m i l a r l y , l e t I
m i n
( x y ) b e t h e m i n i m u m o b s e r v e d
b r i g h t n e s s a t p i x e l x w h e n i t i s i l l u m i n a t e d b y t h e
m i n i m u m b r i g h t i n t e n s i t y B
m i n
.
T h e r s t s t e p c o n s i s t s o f e x t r a c t i n g I
m a x
( x y )
a n d I
m i n
( x y ) b y p r o j e c t i n g t h e t w o m a x i m u m a n d
m i n i m u m u n i f o r m p a t t e r n s B ( x
p
y
p
) = B
m a x
a n d
B ( x
p
y
p
) = B
m i n
.
T h e n p r o j e c t t h e p a t t e r n s h o w n o n g u r e 3 a n d
l e t I ( x y ) b e t h e o b s e r v e d b r i g h t n e s s a t a g i v e n
p i x e l x . N o t i c e t h a t i f I ( x y ) = I
m a x
( x y ) t h e n t h e
c o r r e s p o n d i n g p o i n t P i n t h e s c e n e i s i l l u m i n a t e d
b y t h e r s t v e r t i c a l s t r i p e ( x
p
= x
m i n
) . L i k e w i s e ,
w h e n I ( x y ) = I
m i n
( x y ) t h e n t h e c o r r e s p o n d i n g
p o i n t P i s i l l u m i n a t e d b y t h e l a s t v e r t i c a l s t r i p e
( x
p
= x
m a x
) . I n t h e s e t w o s p e c i a l c a s e s t h e c o r r e -
s p o n d e n c e b e t w e e n x
c
a n d x
p
i s s o l v e d . T h e n e x t
s t e p c o n s i s t s o f s o l v i n g f o r c o r r e s p o n d e n c e a t e v e r y
p i x e l i n t h e i m a g e . F o r t h a t p u r p o s e , l e t u s i n t r o -
d u c e t h e n o r m a l i z e d o b s e r v e d b r i g h t n e s s I
n
( x y ) ,
d e n e d a s f o l l o w s :
I
n
( x y ) =
I ( x y ) ; I
m i n
( x y )
I
m a x
( x y ) ; I
m i n
( x y )
( 2 )
I n a d d i t i o n , l e t B
n
( x
p
y
p
) b e n o r m a l i z e d p r o -
j e c t e d b r i g h t i n t e n s i t y a n d d e n e i t a s f o l l o w s :
B
n
( x
p
y
p
) =
B ( x
p
y
p
) ; B
m i n
B
m a x
; B
m i n
( 3 )
T h e p r o l e o f t h i s f u n c t i o n i s s h o w n o n g u r e 4 .
Pattern
100 200 300 400 500 600
50
100
150
200
250
300
350
400
450
100
200
Bmin
Bmax
Horizontal direction (xp)
B(xp,yp)
Xmin=0 Xmax=640
Figure 3. P r o j e c t e d p a t t e r n . T h e l e f t g u r e s h o w s
a p o s s i b l e p r o j e c t e d p a t t e r n . I t s d i m e n s i o n s a r e 6 4 0 x 3 2 0 p i x -
e l s . T h e r i g h t g u r e s h o w s t h e b r i g h t n e s s i n t e n s i t y p r o l e
B ( x
p
y
p
) g i v e n o u t f r o m t h e p r o j e c t o r a l o n g t h e h o r i z o n t a l
d i r e c t i o n . S u c h a p r o l e i s a m o n o t o n i c f u n c t i o n i n x
p
b e -
t w e e n x
m i n
= 0 a n d x
m a x
= 6 4 0 . T h e b r i g h t n e s s e x t r e m a
a r e B
m i n
a n d B
m a x
( o n t h e g u r e 1 0 0 a n d 2 0 0 ) . T h e f u n c -
t i o n B ( x
p
y
p
) a l o n g t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n i s u n i f o r m .
T h e f o l l o w i n g p r o p e r t y c o n s t i t u t e s t h e k e y e l e -
m e n t b e h i n d t h e i d e a e x p o s e d i n t h i s p a p e r .
P r o p e r t y 1 : F o r e v e r y p i x e l x = ( x y ) o f t h e
i m a g e t h e r e e x i s t s a p o i n t x
p
= ( x
p
y
p
) o n t h e p r o -
j e c t o r p l a n e s u c h t h a t I
n
( x y ) = B
n
( x
p
y
p
) .
P r o o f : S u p p o s e t h a t t h e f o l l o w i n g h y p o t h e s i s
a r e s a t i s e d :
T h e o b s e r v e d b r i g h t n e s s a t a g i v e n p i x e l x i s a
l i n e a r f u n c t i o n o f t h e b r i g h t i n t e n s i t y p r o j e c t e d
o n t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t P i n t h e s c e n e . T h i s
i s t r u e i f t h e g a i n o f t h e c a m e r a i s l i n e a r a n d
d o e s n o t i n t r o d u c e s a t u r a t i o n e e c t s .
E v e r y p o i n t P i n t h e s c e n e i s i l l u m i n a t e d b y a
l i g h t i n t e n s i t y t h a t i s o n l y d e p e n d i n g u p o n t h e
h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e x
p
. I n o t h e r w o r d s t w o
o r m o r e d i e r e n t p o i n t s o n t h e p r o j e c t o r p l a n e
d o n o t a e r t h e i n c i d e n t l i g h t t o t h e s a m e p o i n t
P i n t h e s c e n e . T h i s i s e q u i v a l e n t t o s u p p o s i n g
t h a t e e c t s d u e t o i n t e r n a l r e e c t i o n a r e n e g l i -
g i b l e .
T h e a b o v e m e n t i o n e d l i n e a r r e l a t i o n s h i p i s n o t
a f u n c t i o n o f t i m e . T h i s i s t r u e , f o r e x a m p l e , i f
t h e g a i n o f t h e c a m e r a d o e s n o t c h a n g e i n t i m e .
U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , f o r e v e r y p i x e l x = ( x y )
o f t h e i m a g e , t h e r e e x i s t t w o c o e c i e n t s a n d
a n d a p o i n t x
p
o n t h e p r o j e c t o r p l a n e s u c h t h a t :
I ( x y ) = B ( x
p
y
p
) + ( 4 )
T h e c o e c i e n t s a n d c a p t u r e s c e n e g e o m e t r y ,
s u r f a c e p r o p e r t i e s a n d s e n s o r c h a r a t e r i s t i c s . M o r e
s p e c i c a l l y , i s f u n c t i o n o f t h e r e l a t i v e p o s i t i o n o f
t h e s c e n e s u r f a c e w i t h r e s p e c t t o t h e l i g t h s o u r c e
a n d c a m e r a a s w e l l a s t h e s u r f a c e t e x t u r e p r o p e r -
t i e s . I n a d d i t i o n , s h a d o w e d r e g i o n s i n t h e s c e n e
( s e l f - s h a d o w s ) w i l l c o r r e s p o n d t o v e r y s m a l l v a l u e s
o f . T h e c o e c i e n t c a p t u r e s t h e o s e t o f t h e
i m a g e s e n s o r .
3
8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
http://slidepdf.com/reader/full/1999-savarese-3d-depth-recovery-with-grayscale-structured-lighting 4/10
Horizontal direction (xp)
0
1
Bn(xp,yp)
In(x,y)
xpXmin Xmax
Figure 4. T h e b r i g h t n e s s p r o l e . T h e g u r e
s h o w s t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e o b s e r v e d n o r m a l i z e d
b r i g h t n e s s f u n c t i o n I
n
( x y
p
) f o r o n e g i v e n p i x e l x a n d t h e
h o r i z o n t a l d i r e c t i o n x
p
o n t h e p r o j e c t o r p l a n e . I f x = ( x y )
i s l i g h t e d b y t h e m i n i m u m b r i g h t n e s s s t r i p e ( x
p
= x
m i n
)
t h e n I ( x y ) = I
m i n
( x y ) . T h e r e f o r e I
n
( x y ) = 0 I f x
i s l i g h t e d b y t h e m a x i m u m b r i g h t n e s s s t r i p e ( x
p
= x
m a x
)
t h e n I ( x y ) = I
m a x
( x y ) . T h e r e f o r e I
n
( x y ) = 1 . I n t h e
g e n e r a l c a s e f r o m I
n
( x y ) w e i n f e r x
p
= B
; 1
n
( I
n
( x y ) )
L e t u s w r i t e t h e e q u a t i o n 1 5 i n t h e f o l l o w i n g p a r -
t i c u l a r c a s e s :
I
m a x
( x y ) = ( x y ) B
m a x
+ ( x y ) ( 5 )
I
m i n
( x y ) = ( x y ) B
m i n
+ ( x y ) ( 6 )
T h e r e f o r e t h e n o r m a l i z e d b r i g h t n e s s c a n b e w r i t t e n
a s f o l l o w s :
I
n
( x y ) =
I ( x y ) ; I
m i n
I
m a x
; I
m i n
=
B ( x
p
y
p
) ; B
m i n
B
m a x
; B
m i n
= B
n
( x
p
y
p
)
( 7 )
w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f o f P r o p e r t y 1 .
S i n c e B ( x
p
y
p
) i s a m o n o t o n i c f u n c t i o n a l o n g
t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n ( x
p
) , i t i s i n v e r t i b l e i n x
p
.
T h e r e f o r e s o i s B
n
( x
p
y
p
) . L e t B
; 1
n
( ) b e i t s i n v e r s e
f u n c t i o n . C o n s e q u e n t l y , k n o w i n g I
n
( x y ) , t h e h o r -
i z o n t a l c o o r d i n a t e x
p
a s s o c i a t e d t o a n y p i x e l x i s
g i v e n b y :
x
p
= B
; 1
n
( I
n
( x y ) ) ( 8 )
T h i s c o r r e s p o n d e n c e i s s h o w n o n g u r e 4 .
I n c o n c l u s i o n t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n x a n d
x
p
i s s o l v e d f o r e v e r y p i x e l .
3.2 Noise Sensivity Analysis
A s s h o w n i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , t h e m a i n i d e a o f
t h i s t e c h n i q u e i s b a s e d o n e x t r a c t i n g t h e n o r m a l i z e d
o b s e r v e d b r i g h t n e s s f o r e v e r y p i x e l a n d c o m p u t i n g
t h e c o r r e s p o n d i n g h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e x
p
. T h e
p u r p o s e o f t h e n o i s e s e n s i v i t y a n a l y s i s i s t o q u a n -
t i f y t h e e e c t o f t h e n o i s e i n t h e m e a s u r e m e n t d a t a
{ I ( x y ) , I
m i n
( x y ) a n d I
m i n
( x y ) { o n t h e x
p
e s t i -
m a t i o n . L e t u s m o d e l s u c h a b r i g h t n e s s n o i s e b y a n
a d d i t i v e G a u s s i a n r a n d o m v a r i a b l e w i t h z e r o - m e a n
a n d v a r i a n c e
2
I
( u n i f o r m a c r o s s t h e w h o l e i m a g e ) .
L e t
2
x
p
b e t h e v a r i a n c e o f t h e n o i s e a t t a c h e d t o
t h e e s t i m a t e o f x
p
. L o o k i n g a t e q u a t i o n 8 ,
2
x
p
c a n
b e c o m p u t e d a s f o l l o w s ( f o r c l a r i t y t h e v a r i a b l e s x
a n d y a r e o m i t t e d ) :
2
x
p
=
@ B
; 1
n
@ I
n
2
2
I
n
( 9 )
w h e r e ( s e e e q u a t i o n 7 ) :
2
I
n
=
@ I
n
@ I
2
2
I
+
@ I
n
@ I
m a x
2
2
I
m a x
+
@ I
n
@ I
m i n
2
2
I
m i n
( 1 0 )
w h e r e
I
,
I
m a x
a n d
I
m i n
a r e t h e s t a n d a r d d e v i a -
t i o n s o f t h e n o i s e a t t a c h e d r e s p e c t i v e l y t o t h e c u r -
r e n t o b s e r v e d b r i g h t n e s s , t o t h e m a x i m u m o b s e r v e d
b r i g h t n e s s a n d t o m i n i m u m o b s e r v e d b r i g h t n e s s a t
p i x e l x = ( x y ) . A s s u m i n g s u c h q u a n t i t i e s t o b e
e q u a l , w e o b t a i n :
2
I
n
=
"
@ I
n
@ I
2
+
@ I
n
@ I
m a x
2
+
@ I
n
@ I
m i n
2
#
2
I
= K
2
I
( 1 1 )
S i n c e
@ B
; 1
n
@ I
n
= 1 =
@ B
n
@ x
p
,
2
I
x p
b e c o m e s :
2
x p
=
1
@ B
n
@ x
p
2
K
2
I
( 1 2 )
N o w i t e a s y t o n d a n e x p r e s s i o n K :
K =
1
( I
m a x
; I
m i n
)
2
+
( I
m i n
; I )
2
( I
m a x
; I
m i n
)
4
+
( I ; I
m a x
)
2
( I
m a x
; I
m i n
)
4
( 1 3 )
L o o k i n g a t K a s f u n c t i o n o f I , w e n d o u t t h a t K
r a n g e s b e t w e e n
3 = 2
( I
m a x
; I
m i n
)
2
( w h e n I =
I
m a x
+ I
m i n
2
)
a n d
2
( I
m a x
; I
m i n
)
2
( w h e n I = I
m a x
o r I = I
m i n
) .
T h e r e f o r e :
2
x p
=
2
I
@ B
n
@ x
p
2
( I
m a x
; I
m i n
)
2
2
2
I
@ B
n
@ x
p
2
( I
m a x
; I
m i n
)
2
( 1 4 )
w i t h 2 2 = 3 2 ] .
F r o m e q u a t i o n 1 4 w e c a n d e r i v e t w o i n t e r e s t i n g
r e m a r k s .
4
8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
http://slidepdf.com/reader/full/1999-savarese-3d-depth-recovery-with-grayscale-structured-lighting 5/10
Figure 5. M u l t i - r a m p p a t t e r n s . ( L e f t ) A t w o
r a m p p a t t e r n . T h e b r i g h n t e s s i n t e n s i t y p r o l e B ( x
p
y
p
)
a l o n g t h e h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e i s a l i n e a r d o u b l e - r a m p w i t h
B
m i n
a n d B
m i n
m i n i m u m a n d m a x i m u m b r i g h t n e s s v a l u e r e -
s p e c t i v e l y . ( R i g h t ) A n e x a m p l e o f l i n e a r m u l t i - r a m p p a t t e r n .
F i r s t ,
x p
i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o
@ B
n
@ x
p
.
T h i s c o n r m s a n i n t u i t i v e c o n s i d e r a t i o n : t h e g r e a t e r
i s t h e s l o p e o f t h e b r i g h t i n t e n s i t y p r o l e B ( x
p
y
p
)
a t x
p
( s e e g u r e 4 ) t h e l e s s s e n s i t i v e t o n o i s e i s t h e
e s t i m a t e o f x
p
. S u c h a o b s e r v a t i o n s u g g e s t s u s a
p o s s i b l e w a y t o d e s i g n t h e p r o j e c t e d p a t t e r n . W e
m a y i n c r e a s e t h e s l o p e o f t h e p r o j e c t e d b r i g h t n e s s
p r o l e w h e r e w e n e e d t o h a v e a m o r e r e l i a b l e e s t i -
m a t e o f x
p
. O f c o u r s e w e c a n n o t i n c r e a s e t h e s l o p e
f o r e v e r y p i x e l . H o w e v e r i n t h e n e x t s e c t i o n w e w i l l
s h o w t h a t u s i n g m u l t i p l e p a t t e r n s w e c a n s o l v e t h i s
p r o b l e m .
S e c o n d ,
x p
i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e d i f -
f e r e n c e b e t w e e n I
m a x
a n d I
m i n
. T h e r e f o r e f o r e v e r y
p i x e l s w h e r e I
m a x
; I
m i n
i s l a r g e , a b e t t e r a c c u r a c y
i n t h e x
p
e s t i m a t e i s g a r a n t e e d . T h i s c o n d i t i o n i s
n o t s a t i s e d , f o r i s t a n c e , i n a r e a s w h e r e t h e o b j e c t
t o s c a n l o o k s d a r k . F u r t h e r m o r e , i n o r d e r t o i m -
p r o v e t h e a c c u r a c y , w e m a y c h o o s e B
m i n
s m a l l a n d
B
m a x
l a r g e ( s e e g u r e 3 ) . H o w e v e r w e n e e d t o p a y
a t t e n t i o n t h a t s a t u r a t i o n e e c t s d o n o t o c c u r ( s e e
t h e r s t h y p o t h e s i s i n p r o p e r t y 1 ) .
3.3 How to improve the accuracy of x
p
T h e s i m p l e s t w a y t o i m p r o v e t h e a c c u r a c y o f t h e
x
p
e s t i m a t e i s t o i n c r e a s e t h e d e r i v a t i v e o f t h e i n -
t e n s i t y p r o l e B ( x
p
y
p
) . F o r i s t a n c e , o n e p o s s i b i l i t y
i s t o p r o j e c t t h e d o u b l e r a m p p a t t e r n s h o w n i n g -
u r e 5 ( l e f t ) . O f c o u r s e , n o w t h e o b s e r v e d b r i g h t n e s s
a t a g i v e n p i x e l x w i l l n o t u n i v o c a l l y c o r r e s p o n d
a n y l o n g e r t o t h e c o o r d i n a t e x
p
i n t h e p r o j e c t o r
p l a n e . H e n c e , i n o r d e r t o s o l v e c o r r e c t l y t h e c o r -
r e s p o n d e n c e , w e n e e d t o u s e t w o p a t t e r n s . A r s t
p a t t e r n ( s u c h a s t h e s i n g l e r a m p i n g u r e 3 w i l l b e
n e c e s s a r y t o e s t i m a t e ( e v e n r o u g h l y b u t u n i v o c a l l y )
t h e c o r r e s p o n d i n g x
p
. W i t h a s e c o n d p a t t e r n ( e . g .
t h e d o u b l e r a m p i n g u r e 5 ( l e f t ) w e c a n i m p r o v e
t h e a c c u r a c y o f t h e e s t i m a t e s o l v i n g t h e a m b i g u -
i t y u s i n g t h e p r e v i o u s r e s u l t . U s i n g m u l t i p l e r a m p
p a t t e r n s ( e . g a s i n g u r e 5 ( r i g h t ) ) b e t t e r a n d b e t -
t e r r e s u l t s c a n b e a c h i e v e d . F o r i s t a n c e a s e q u e n c e
Pattern
100 200 300 400 500 600
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Pattern#8
100 200 300 400 500 600
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Pattern#16
100 200 300 400 500 600
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Pattern#24
100 200 300 400 500 600
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Figure 6.T h e s e t o f p r o j e c t e d p a t t e r n s : W e
p r o j e c t h e r e a s u c c e s s i o n o f 3 2 s i n u s o i d a l w a v e p a t t e r n s o f o n e
p e r i o d o v e r t h e s c r e e n w i d t h o f 6 4 0 p i x e l s . T h e i r h e i g h t i s 4 8 0
p i x e l s . T h e b r i g h t n e s s e x t r e m a o f t h e b r i g h t n e s s w a v e a r e 2 5 5
a n d 1 7 6 . T w o c o n s e c u t i v e p a t t e r n s a r e s h i f t e d t o t h e r i g h t b y
2 0 p i x e l s o n e w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r ( 6 4 0 / 3 2 ) . W e s h o w
h e r e a s a m p l e o f 4 p a t t e r n n s a m o n g t h e 3 2 : t h e r s t ( p a t t e r n
# 0 ) , 9 t h ( p a t t e r n # 8 ) , 1 7 t h ( p a t t e r n # 1 6 ) a n d 2 5 t h ( p a t t e r n
# 2 4 ) . N o t i c e h o w t h e s i n u s o i d a l p a t t e r n s t r a n s l a t e s t o t h e
r i g h t . N o t i c e a s w e l l t h a t a l l p a t t e r n s a r e u n i f o r m a l o n g t h e
v e r t i c a l d i r e c t i o n .
o f 8 p a t t e r n s w i t h 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , 3 2 r a m p s c a n b e u s e d
t o u n i v o c a l l y e s t i m a t e x
p
w i t h a n a c c u r a c y r e l a t e d
w i t h t h e s l o p e o f t h e 3 2 - r a m p s p r o l e .
4 S i n u s o i d a l p a t t e r n t e c h n i q u e
T h i s t e c h n i q u e i s b a s e d o n p r o j e c t i n g a s u c c e s -
s i o n o f h o r i z o n t a l l y s h i f t e d g r a y s c a l e s i n u s o i d a l p a t -
t e r n s ( s e e s e c t i o n 4 . 1 ) . T h e n , f r o m t h e t e m p o r a l
b r i g h t n e s s i n f o r m a t i o n c o l l e c t e d f r o m t h e i m a g e s ,
w e r e c o v e r , a t e v e r y p i x e l x
c
t h e p r o j e c t o r c o o r d i -
n a t e x
p
. W e w i l l r s t p r e s e n t t h e p r o j e c t e d p a t t e r n s
t h e m s e l v e s i n s e c t i o n 4 . 1 , a n d t h e n d e r i v e t h e n e c e s -
s a r y m a c h i n e r y t o e x t r a c t t h e p r o j e c t o r c o o r d i n a t e
x
p
i n s e c t i o n 4 . 2 .
4.1 Sequence of patterns
T h e p r o j e c t o r p r o j e c t s a s u c c e s s i o n o f N
g r a y s c a l e p a t t e r n s w h i c h a r e t r a n s l a t e d f r o m o n e
t o a n o t h e r a l o n g t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n ( i n t h e x
p
d i r e c t i o n ) . T h e g u r e 6 s h o w s f o u r s a m p l e s o f p a t -
t e r n s . I n t h a t p a r t i c u l a r e x p e r i m e n t , w e c h o s e a
s i n u s o i d a l w a v e f o r m , a n d N = 3 2 p a t t e r n s . F e w e r
p a t t e r n s m i g h t b e s u c i e n t .
F i g u r e 7 s h o w s t h e h o r i z o n t a l p r o l e o f t w o p a t -
t e r n s , t h e r s t o n e a n d t h e n i n e t h o n e ( t h e r e f o r e a s
a f u n t i o n o f x
p
) . N o t i c e h o w p a t t e r n # 9 i s s h i f t e d
t o t h e r i g h t b y a q u a r t e r o f p e r i o d ( = 4 p h a s e ) w i t h
r e s p e c t t o p a t t e r n # 0 .
5
8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
http://slidepdf.com/reader/full/1999-savarese-3d-depth-recovery-with-grayscale-structured-lighting 6/10
4.2 Correspondence
A s e a c h p a t t e r n i s p r o j e c t e d o n t o t h e s c e n e , o n e
c a m e r a i m a g e i s a c q u i r e d . T h r o u g h o u t t h e s e -
q u e n c e , o n e g i v e n p i x e l x
c
c o r r e s p o n d s t o a u n i q u e
p o i n t P i n t h e s c e n e . T h i s p o i n t P i s a l s o i l l u -
m i n a t e d b y a u n i q u e v e r t i c a l s t r i p e d e n e d b y o n e
h o r i z o n t a l c o o r d i n a t e x
p
i n t h e p r o j e c t o r i m a g e . W e
k n o w f r o m s e c t i o n 2 t h a t w e c a n r e c o v e r t h e 3 D l o -
c a t i o n o f P g i v e n t h a t w e k n o w t h e c o o r d i n a t e x
p
a s s o c i a t e d t o t h e p i x e l x
c
. W e w i l l s h o w h e r e t h a t
g i v e n t h e t e m p o r a l b r i g h t n e s s s i g n a l a t a p i x e l x
c
,
w e c a n i n f e r i t s c o r r e s p o n d i n g p r o j e c t o r c o o r d i n a t e
x
p
, h e n c e i n f e r t h e 3 D s h a p e .
I f w e o b s e r v e t h e t e m p o r a l p a t t e r n s o f t h e i n c i -
d e n t l i g h t a t t w o p o i n t s P
1
a n d P
2
i n t h e 3 D s c e n e ,
t h e y o n l y d i e r f r o m t h e p h a s e . I n d e e d , t h e y a r e
b o t h s i n u s o i d a l s i g n a l s , b u t o n e i s s h i f t e d w i t h r e -
s p e c t t o t h e o t h e r b y a n a m o u n t t h a t i s d i r e c t l y r e -
l a t e d t o t h e d i e r e n c e o f t h e i r p r o j e c t o r c o o r d i n a t e s
x
p
. F o r e x a m p l e , t h e t e m p o r a l s i g n a l a t t a c h e d t o
a p o i n t i l l u m i n a t e d b y t h e m e d i u m p r o j e c t o r s t r i p e
x
p
= 3 2 0 w i l l b e p h a s e s h i f t e d w i t h r e s p e c t t o
t h a t o f a p o i n t i l l u m i n a t e d b y t h e r s t s t r i p e x
p
= 1 .
T h e r e i s t h e r e f o r e a l i n e a r o n e - t o - o n e m a p b e t w e e n
t h e t e m p o r a l p h a s e s h i f t , a n d t h e p r o j e c t o r c o o r d i -
n a t e . E x t r a c t i n g t h e p h a s e s h i f t o f t h e i n c i d e n t l i g h t
s i g n a l c o r r e s p o n d s t o e s t i m a t i n g t h e c o o r d i n a t e i n
t h e p r o j e c t o r i m a g e o f t h e v e r t i c a l s t r i p e t h a t l i t t h e
o b s e r v e d p o i n t i n t h e s c e n e .
H o w e v e r , w e d o n ' t h a v e d i r e c t a c c e s s t o t h e i n c i -
d e n t l i g h t g o i n g i n t h e s c e n e , b u t o n l y t h e r e e c t e d
l i g h t l e a v i n g t h e o b j e c t a n d g o i n g t o t h e c a m e r a
s e n s o r . I f w e a s s u m e t h a t t h e m a t e r i a l r e e c t i o n
f u n c t i o n i n t h e s c e n e a n d t h e i m a g i n g s e n s o r ( t h e
c a m e r a ) h a v e s i g n i c a n t l y l i n e a r b e h a v i o r s , w e c a n
s t i l l m a k e t h e s a m e p h a s e s t a t e m e n t o n t h e t e m p o -
r a l b r i g h t n e s s w a v e f o r m c o l l e c t e d i n t h e i m a g e s f o r
e v e r y p i x e l . T h e r e f o r e , t h e p r o b l e m o f e x t r a c t i n g
p r o j e c t o r c o o r d i n a t e a t a g i v e n p i x e l i n t h e i m a g e
d i r e c t l y t r a n s l a t e s i n t o e s t i m a t i n g t h e p h a s e o f t h e
t e m p o r a l b r i g h t n e s s s i g n a l a t t h a t p i x e l .
F i g u r e 8 s h o w s t h e t e m p o r a l b r i g h t n e s s a t 5 d i f -
f e r e n t p i x e l s l o c a t e d o n t h e s a m e r o w i n t h e i m -
a g e , a s a f u n c t i o n o f t i m e ( o r p a t t e r n s i n d e x ) . N o -
t i c e t h a t t h e w a v e f o r m s a r e a l l s i n u s o i d a l , a n d d i f -
f e r o n e f r o m t h e o t h e r i n a m p l i t u d e ( A ) , o s e t ( B )
a n d p h a s e ( ) . T h e y a l l h a v e t h e s a m e f r e q u e n c y :
!
0
= 2 = N , w h e r e N = 3 2 i s t h e n u m b e r o f p a t -
t e r n s .
L e t u s d e n e I ( n ) t o b e t h e o b s e r v e d t e m p o r a l
b r i g h t n e s s f u n c t i o n a t a g i v e n p i x e l x
c
= ( x
c
y
c
) i n
t h e i m a g e , a s a f u n c t i o n o f n , t h e p a t t e r n n u m b e r
( n g o e s f r o m 0 t o N
; 1 a n d i s s o m e t i m e s a s s o c i a t e d
t o t i m e ) . F o r c l a r i t y r e a s o n s , w e w i l l n o t i n d e x I ( n )
0 100 200 300 400 500 600 700170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
Horizontal direction (xp)
B r i g h n e s s v a l u e ( i n t h e 0 − 2 5 5 r a n g e )
Pattern #0Pattern #8
Figure 7.B r i g h t n e s s p r o l e o f t w o o f t h e
p a t t e r n s : A l l t h e p a t t e r n s h a v e a s i m i l a r s i n u s o i d a l s h a p e
w i t h e x t r e m a 2 5 5 a n d 1 7 6 . T h e g u r e s h o w s t h e h o r i z o n t a l
b r i g h t n e s s p r o l e o f t h e r s t ( p a t t e r n # 0 ) a n d 9 t h ( p a t t e r n
# 8 ) p r o j e c t e d p a t t e r n s . A l l o f t h e m a r e h o r i z o n t a l l y s h i f t e d t o
t h e r i g h t ( b y 2 0 p i x e l s b e t w e e n t w o c o n s e c u t i v e o n e s ) . N o t i c e
t h a t t h e w a v e f o r m s s h o w o n l y o n e p e r i o d o f t h e s i n u s o i d a l
s i g n a l .
w i t h t h e p i x e l l o c a t i o n x
c
. H o w e v e r t h e r e a d e r n e e d s
t o k e e p i n m i n d t h a t t h i s f u n c t i o n i s d i e r e n t f r o m
p i x e l t o p i x e l .
W e c a n m o d e l I ( n ) i n a s i m i l a r f a s h i o n a s w e d i d
i n s e c t i o n 3 :
I ( n ) = A s i n ( !
0
n
; ) + B ( 1 5 )
G i v e n t h e t y p e o f p a t t e r n w e u s e i n t h a t p a r t i c -
u l a r c a s e ( a s i n g l e p e r i o d s i n u s o i d a l w a v e f o r m ) , t h e
p h a s e s h i f t c a n b e s h o w n t o b e l i n e a r l y r e l a t e d t o
t h e p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
t h r o u g h t h e f o l l o w i n g
o n e - t o - o n e e q u a t i o n :
x
p
=
N
p
2
( 1 6 )
i f i s a s s u m e d t o b e e x p r e s s e d i n t h e 0 ; 2 r a n g e ,
a n d N
p
i s t h e w i d t h ( i n p i x e l ) o f t h e p r o j e c t o r i m a g e
( N
p
= 6 4 0 p i x e l s h e r e ) .
T h e r e f o r e , e s t i m a t i n g x
p
a t e v e r y p i x e l i s e q u i v a -
l e n t t o e s t i m a t i n g t h e p h a s e s h i f t o f t h e a s s o c i a t e
t e m p o r a l b r i g h t n e s s f u n c t i o n .
D e n e n o w t w o q u a n t i t i e s a a n d b a s f o l l o w s :
a
:
= h I ( n ) s i n ( !
0
n ) i
:
=
2
N
N ; 1
X
n = 0
I ( n ) s i n ( !
0
n ) ( 1 7 )
b
:
= ; h I ( n ) c o s ( !
0
n ) i
:
= ;
2
N
N ; 1
X
n = 0
I ( n ) c o s ( !
0
n ) ( 1 8 )
G i v e n t h e m o d e l e q u a t i o n 1 5 f o r t h e t e m p o r a l
b r i g h t n e s s f u n c t i o n I ( n ) , i t i s r e l a t i v e l y s t r a i g h f o r -
w a r d t o t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s f o r a a n d b :
a = A c o s ( )
b = A s i n ( )
( 1 9 )
T h e m o s t i n t e r e s t i n g f e a t u r e o f t h o s e r e l a t i o n s i s
t h a t n e i t h e r a n o r b c o n t a i n t h e o s e t B . T h a t
6
8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
http://slidepdf.com/reader/full/1999-savarese-3d-depth-recovery-with-grayscale-structured-lighting 7/10
0 5 10 15 20 25 3080
100
120
140
160
180
200
220
240
(xc,yc) = (50,350)
(137,350)
(225,350)
(312,350)
(400,350)
Image number n (from 0 to 31)
B r i g h n e s s v a l u e ( i n t h e 0 − 2 5 5
r a n g e )
Brightness functions at 5 pixels on the same row yc = 350
Figure 8.T e m p o r a l b r i g h t n e s s v a l u e a t e v -
e r y p i x e l x
c
i n t h e i m a g e : E v e r y p i x e l x
c
s e e s a
s i n u s o i d a l b r i g h t n e s s w a v e p a t t e r n g o i n g a c r o s s i t a s a f u n c t i o n
o f t i m e . T h e g u r e s h o w s t h a t b r i g h t n e s s f u n c t i o n f o r 5 d i f -
f e r e n t p i x e l s p i c k e d o n t h e s a m e r o w ( y
c
= 3 5 0 ) , a t p o s i t i o n s
x
c
= 5 0 , x
c
= 1 3 7 , x
c
= 2 2 5 , x
c
= 3 1 2 a n d x
c
= 4 0 0 ( t h i s
c o r r e s p o n d s t o a l o w e r r o w i n t h e i m a g e s ? ? ) . N o t i c e t h a t
a l l t h e w a v e f o r m s a r e s i n u s o i d a l w i t h d i e r e n t p h a s e s , a m p l i -
t u d e s a n d o s e t s . T h e p h a s e i n f o r m a t i o n w i l l g i v e u s d i r e c t
e s t i m a t e o f t h e v e r t i c a l p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
, T h i s i s t h a t
q u a n t i t y t h a t w e w i s h t o e x t r a c t f r o m t h e a c q u i r e d w a v e f o r m s .
a l l o w s t o i s o l a t e a n d e x t r a c t i n d e p e n d e n t l y t h e a m -
p l i t u d e A a n d t h e p h a s e :
= a r g ( a + i b ) = a r c t a n ( b = a )
A =
k a + i b
k =
p
a
2
+ b
2
( 2 0 )
N o t i c e t h a t t h e a r c t a n f u n c t i o n h e r e i s a s s u m e d t o
r e t u r n t h e a r g u m e n t i n t h e 0 ; 2 r a n g e w i t h o u t a n y
a m b i g u i t y . I n o t h e r w o r d s , w e h a v e a c c e s s h e r e t o
b o t h v a l u e s a a n d b n o t o n l y t h e r a t i o b = a b e t w e e n
t h e m . T h e r e i s t h e r e f o r e n o s i g n a m b i g u i t y i n t h e
t w o t e r m s , w h i c h m e a n s t h a t t h e p h a s e i s e x t r a c t e d
w i t h n o a m b i g u i t y .
F i n a l l y , f r o m r e l a t i o n s 1 6 a n d 2 0 w e o b t a i n e x -
p r e s s i o n s f o r b o t h t h e p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
a n d
t h e s i n e w a v e a m p l i t u d e A :
x
p
=
N
p
2
a r c t a n
;
h I ( n ) c o s ( !
0
n ) i
h I ( n ) s i n ( !
0
n ) i
( 2 1 )
A =
q
h I ( n ) s i n ( !
0
n ) i
2
+ h I ( n ) c o s ( !
0
n ) i
2
( 2 2 )
T y p i c a l l y , p i x e l s w i t h l a r g e c o r r e s p o n d i n g a m p l i -
t u d e s A w i l l b e m o r e r e l i a b l e f o r p h a s e e s t i m a t e
t h a n p i x e l s w i t h s m a l l a m p l i t u d e s . T h i s i s u s e d
t o h e l p r e j e c t i n g n o i s y r e g i o n s i n t h e i m a g e . I f a
p i x e l f a l l s i n a s h a d o w r e g i o n o f t h e s c e n e , i t w i l l
n o t b e l i t b y t h e p r o j e c t e d s i n e w a v e p a t t e r n . A n d
t h e r e f o r e , i t s a s s o c i a t e t e m p o r a l b r i g h t n e s s s i g n a l
w i l l a l m o s t n o t c h a n g e a c r o s s t i m e ( e x c e p t w i t h i n
t h e p i x e l n o i s e ) . A s i m i l a r s i t u a t i o n o c c u r s f o r d a r k
r e g i o n s o f t h e s c e n e , o r r e g i o n s p o o r l y r e e c t i v e . I n
t h o s e c a s e s , a n y p h a s e e x t r a c t i o n i s h o p e l e s s f r o m
t h e s t a r t . F o r t u n a t e l y , t h o s e s i t u a t i o n s n i c e l y t r a n s -
l a t e i n t o s i g n i c a n t l y s m a l l a m p l i t u d e e s t i m a t e s A .
T h e r e f o r e , o n e c a n s i m p l y r e j e c t r e g i o n s o f t h e i m -
a g e t h a t h a v e a c o r r e s p o n d i n g a m p l i t u d e A l e s s t h a n
t h e p r e - c h o s e n t h r e s h o l d A
T
.
4.3 Noise sensitivity analysis
T h e g o a l o f a n o i s e s e n s i t i v i t y a n a l y s i s i s t o c o m -
p u t e t h e e e c t o f t h i s i n p u t b r i g h t n e s s n o i s e o n t o
t h e x
p
e s t i m a t e . A s w e d i d i n s e c t i o n 3 . 2 t h e b r i g h t -
n e s s n o i s e c a n b e m o d e l e d b y a n a d d i t i v e G a u s s i a n
r a n d o m v a r i a b l e w i t h z e r o - m e a n a n d v a r i a n c e
2
I
.
L e t
2
x
p
b e t h e v a r i a n c e o f t h e e r r o r o n t h e p r o j e c -
t o r c o o r d i n a t e x
p
. E q u a t i o n 2 1 p r o v i d e s a n e x p r e s -
s i o n f o r t h e p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
( i n p i x e l u n i t s )
a s a f u n c t i o n o f t h e N b r i g h t n e s s m e a s u r e m e n t s a t
p i x e l x
c
a c r o s s t i m e I ( 0 ) I ( 1 ) : : : I ( N ) :
x
p
=
N
p
2
a r c t a n
;
h I ( n ) c o s ( !
0
n ) i
h I ( n ) s i n ( !
0
n ) i
( 2 3 )
T h a t i s , x
p
:
= F ( I ( 0 ) I ( 1 ) : : : I ( N ) ) . S i n c e a l l
t h e b r i g h t n e s s m e a s u r e m e n t s I ( 0 ) I ( 1 ) : : : I ( N )
a r e s u p p o s e d t o c a r r y t h e s a m e n o i s e t e r m o f v a r i -
a n c e
2
I
, t h e n a l p r o j e c t o r c o o r d i n a t e v a r i a n c e
2
x
p
m a y b e a p p r o x i m a t e d b y t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n :
2
x
p
=
N
X
n = 0
@ F
@ I ( n )
2
2
I
( 2 4 )
A f t e r s t r a i g h t f o r w a r d d e r i v a t i o n , w e m a y s h o w t h a t :
@ F
@ I ( n )
=
N
p
A N
c o s ( !
0
n + ) ( 2 5 )
w h e r e a n d A a r e d e n e s i n e q u a t i o n 1 5 . T h e r e -
f o r e , t h e v a r i a n c e o f t h e e r r o r o n p r o j e c t o r c o o r d i -
n a t e x
p
m a y b e w r i t t e n :
2
x
p
=
N
p
I
A N
2
N
X
n = 0
c o s
2
( !
0
n + ) ( 2 6 )
R e c a l l i n g t h a t !
0
= 2 = N , o n e m a y s h o w t h a t t h e
f o l l o w i n g r e l a t i o n h o l d s :
8 2 I R
N
X
n = 0
c o s
2
( !
0
n + ) =
N
2
( 2 7 )
T h e r e f o r e , t h e v a r i a n c e o f t h e e r r o r a t t a c h e d t o t h e
p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
t a k e s t h e f o l l o w i n g c o m p a c t
f o r m ( i n p i x e l u n i t s ) :
2
x
p
=
N
2
p
2
2
A
2
N
2
I
( 2 8 )
A s e t o f t h r e e f u n d a m e n t a l o b s e r v a t i o n s m a y b e
d r a w n f r o m t h a t r e l a t i o n . F i r s t , n o t i c e t h a t
2
x
p
i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f p r o j e c t e d
7
8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
http://slidepdf.com/reader/full/1999-savarese-3d-depth-recovery-with-grayscale-structured-lighting 8/10
p a t t e r n s N . T h i s i s q u i t e i n t u i t i v e : a s t h e n u m -
b e r o f p a t t e r n s i n c r e a s e s , t h e a c c u r a c y o f p h a s e e s -
t i m a t e i n c r e a s e s , w h i c h i n t u r n s m a k e s t h e p r o -
j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
m o r e a c c u r a t e . S e c o n d , n o t i c e
t h a t
2
x
p
i s i n v e r s e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s q u a r e o f
t h e b r i g h t n e s s a m p l i t u d e A . T h i s s u p p o r t s t h e f a c t
t h a t p i x e l s w i t h l a r g e r t e m p o r a l b r i g h t n e s s v a r i a -
t i o n s ( l a r g e r c o n t r a s t s ) a r e m o r e r e l i a b l e f o r p h a s e
e s t i m a t i o n t h a n o n e s w i t h s m a l l e r b r i g h t n e s s v a r i -
a t i o n s . T h i s a l s o a d d s a s u p p o r t i v e a r g u m e n t i n
f a v o r o f t h e t h r e s h o l d i n g t e c h n i q u e f o r r e j e c t i n g t o o
u n r e l i a b l e p i x e l s . F i n a l l y , o b s e r v e t h a t a s t h e p r o -
j e c t i n g i m a g e w i d t h N
p
i n c r e a s e s , t h e a c c u r a c y i n
e s t i m a t i n g x
p
d e c r e a s e s . T h a t i s a l s o q u i t e i n t u -
i t i v e : f o r a g i v e n e r r o r i n p h a s e e s t i m a t e ( i n r a -
d i a n s ) , t h e c o r r e s p o n d i n g e r r o r i n e s t i m a t i n g x
p
( i n
p i x e l s ) w i l l b e l a r g e r o n w i d e r p r o j e c t i n g i m a g e s . I n
c o n s e q u e n c e , f o r a g i v e n p a t t e r n w i d t h , i t w o u l d b e
b e n e c i a l t o p r o j e c t p a t t e r n s w i t h m o r e t h a n o n e
s i n u s o i d a l p e r i o d . D o i n g s o , t h e e e c t i v e w i d t h o f a
p e r i o d i s s m a l l e r ( N
p
! N
p
= k w h e r e k i s t h e n u m -
b e r o f p e r i o d s ) d e c r e a s i n g t h e t r a n s f e r r e d e r r o r o n t o
t h e p r o j e c t o r p i x e l c o o r d i n a t e x
p
( t h e p r o p o r t i o n a l -
i t y f a c t o r b e t w e e n a n d x
p
i s s m a l l e r - s e e e q u a -
t i o n 1 6 ) . H o w e v e r i f t h e p r o j e c t i n g p a t t e r n s c o n t a i n
m o r e t h a n a s i n g l e p e r i o d , a n a m b i g u i t y i n c o r r e -
s p o n d i n g p h a s e i n f o r m a t i o n t o p i x e l c o o r d i n a t e s i s
i n t r o d u c e d ( i f k = 2 , t h e r e a r e t w o v a l i d p i x e l c o -
o r d i n a t e s a s s o c i a t e d t o a n y g i v e n p h a s e v a l u e ) .
I n o r d e r t o s o l v e f o r t h a t a m b i g u i t y , o n e c o u l d u s e
a c o m b i n a t i o n o f h i g h a n d l o w f r e q u e n c y p a t t e r n s .
T h e l o w f r e q u e n c y p a t t e r n s ( t h a t c o u l d b e e i t h e r
g r a y s c a l e , o r s t r i c t b l a c k a n d w h i t e s t r i p e s ) w o u l d
h e l p d i s a m b i g u a t e t h e h i g h f r e q u e n c y o n e s p r o v i d -
i n g t h e h i g h l o c a l r e s o l u t i o n . T h a t i s a s u b j e c t f o r
f u t u r e w o r k .
5 A n e r r o r c o m p a r i s o n b e t w e e n b o t h
t e c n i q u e s .
I n s e c t i o n 3 . 2 a n d 4 . 3 w e c o m p u t e d t w o e x p r e s -
s i o n s o f t h e v a r i a n c e o f n o i s e a t t a c h e d t o t h e h o r -
i z o n t a l p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
( s e e e q u a t i o n s 1 4
a n d 2 8 r e s p e c t i v e l y ) . L e t u s c a l l
2
x p
l
t h e v a r i -
a n c e a c h i e v e d w i t h t h e m o n o t o n i c p a t t e r n t e c h n i q u e
a n d
2
x p
s
t h e v a r i a n c e a c h i e v e d w i t h s i n u s o i d a l p a t -
t e r n t e c h n i q u e . W e w a n t n o w t o n d a m o r e c o n -
v e n i e n t e x p r e s s i o n f o r
2
x p
l
. L e t u s s u p p o s e t h e
m o n o t o n e b r i g h n t e s s p r o l e t o b e s i m p l y a l i n e a r
p r o l e . T h a t i s ,
@ B
n
@ x
p
i s c o n s t a n t a l o n g x
p
a n d
e q u a l t o 1 = N
P
, w h e r e N
p
i s t h e w i d t h ( i n p i x e l s )
o f t h e i m a g e . M o r e o v e r i t e a s y t o r e c o g n i z e t h a t
I
m a x
( x y )
; I
m i n
( x y ) i s t h e a m p l i t u d e A o f t h e
s i n u s o i d e ( s e e e q u a t i o n s 2 8 a n d 1 5 ) . H e n c e ,
2
x p
l
b e c o m e s :
2
x p
l
=
2 N
2
p
2
I
A
2
( 2 9 )
T h e r e f o r e :
2
x p
s
=
2
x p
l
4 N
2
( 3 0 )
T h i s s i m p l e r e l a t i o n s h i p q u a n t i e s h o w b e t t e r t h e
s i n u s o i d a l t e c h n i q u e e s t i m a t e s x
p
c o m p a r e d w i t h
t h e l i n e a r p a t t e r n t e c h n i q u e . B u t l e t u s s e e w h a t
h a p p e n s i f w e t r y t o e s t i m a t e x
p
u s i n g t h e l i n e a r
p a t t e r n t e c h n i q u e w i t h a m u l t i p l e r a m p p a t t e r n a s
s u g g e s t e d i n s e c t i o n 3 . 3 . N o w
@ B
n
@ x
p
b e c o m e s e q u a l
t o k = N
P
w h e r e k i s t h e n u m b e r o f l i n e a r r a m p s i n
t h e p a t t e r n ( e . g . f o r t h e p a t t e r n o f g u r e 5 ( l e f t )
k = 8 ) . H e n c e , i n o r d e r t o m a k e
2
x p
l
=
2
x p
s
w e
n e e d k =
p
4 N
2
a n d t h e r e f o r e a p a t t e r n w i t h k
r a m p s . A n n u m e r i c a l e x a m p l e w i l l s h o w t h e a d v a n -
t a g e s o f t h e m u l t i p l e r a m p a p p r o a c h . A s w e w i l l s e e
i n t h e e x p e r i m e n t a l s e c t i o n , i f w e w a n t t o a c h i e v e
a s m a l l e r r o r i n t h e x
p
e s t i m a t e ( n o m o r e t h a n 2
p i x e l s ) w i t h t h e s i n u s o i d a l p a t t e r n t e c h n i q u e , w e
n e e d t o p r o j e c t n o l e s s t h a n 3 0 s i n u s o i d a l p a t t e r n s .
S o l e t u s s u p p o s e N = 3 0 . A l m o s t t h e s a m e r e -
s u l t c a n b e o b t a i n w i t h t h e m u l t i - r a m p l i n e a r p a t -
t e r n t e c h n i q u e w i t h o n l y 8 p a t t e r n s . I n d e e d u s i n g
a s e q u e n c e o f p a t t e r n s w i t h 1 , 2 , 4 , 8 , 1 6 , 3 2 r a m p s w e
a r e a b l e t o b u i l d t h e x
p
m a p u n i v o c a l l y ( a s w e d e -
s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 3 ) . B e s i d e s w e g u a r a n t e e s a l -
m o s t t h e s a m e a c c u r a c y o f t h e s i n u s o i d a l m e t h o d
t h r o u g h t h e l a s t p a t t e r n ( w i t h 3 2 r a m p s , s o w i t h
k = 3 2 '
p
4 N
2
= 3 4 : 4 1 ) . T w o m o r e p a t t e r n s a r e
n e e d e d t o c o m p u t e t h e n o r m a l i z e d b r i g h n t e s s .
6 E x p e r i m e n t a l r e s u l t s
I n t h i s s e c t i o n w e r s t e s t i m a t e e x p e r i m e n t a l l y
t h e a c c u r a c y o f t h e h o r i z o n t a l p r o j e c t o r c o o r d i n a t e
x
p
i n o r d e r t o v a l i d a t e t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s . W e
t h e n c o m p a r e t h e p e r f o m a n c e s o f t w o m e t h o d s a n d
d e m o n s t r a t e t h e m e t h o d o n a c o m p l e x s c e n e .
6.1 Sinusoidal pattern method: experiments
I n o r d e r t o m e a s u r e i n a c o n v e n i e n t w a y t h e u n -
c e r t a i n t y a t t a c h e d t o t h e p a r a m e t e r s c o m p u t e d i n
t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i s , w e s t a r t e d w i t h a s i m p l e
o b j e c t ( e . g . t h e p l a n e o f g u r e 9 ( t o p l e f t ) ) . W e
r s t a c q u i r e d a s e t o f 2 0 i m a g e s i n o r d e r t o c o m p u t e
e x p e r i m e n t a l l y t h e i m a g e b r i g h t n e s s n o i s e
I
. W e
f o u n d a n e s t i m a t e f o r
I
b e t w e e n 2 a n d 3 b r i g h t n e s s
u n i t s . T h e n , a f t e r p r o j e c t i n g 3 0 s i n u s o i d a l p a t t e r n s
8
8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
http://slidepdf.com/reader/full/1999-savarese-3d-depth-recovery-with-grayscale-structured-lighting 9/10
a s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 4 , w e c o m p u t e d t h e h o r i -
z o n t a l p r o j e c t o r c o o r d i n a t e x
p
f o r a l l p i x e l s s a t i s f y -
i n g t h e t h r e s h o l d c o n d i t i o n o n t h e b r i g h t n e s s a m -
p l i t u d e . F i g u r e 9 ( b o t t o m l e f t ) s h o w s t h e v a l u e s
o f x
p
i n t h e h o r i z o n t a l i m a g e c o o r d i n a t e s c a n l i n e
y
c
= 2 0 0 . W e c a n n o t i c e h o w l i n e a r l y t h e p r o j e c t o r
c o o r d i n a t e i n c r e a s e s w h i l e g o i n g f r o m t h e l e f t o t t h e
r i g h t s i d e o f t h e s c e n e . T h i s i s n a t u r a l l y e x p e c t e d
s i n c e t h e o b s e r v e d o b j e c t i s p l a n a r .
W e t h e n q u a n t i e d t h e n o i s e a t t a c h e d t o x
p
.
E q u a t i o n ? ? l e t s u s c o m p u t e a t h e o r e t i c a l e s t i m a t e
o f
x
p
. E a c h d o t i n g u r e 9 ( t o p r i g h t ) i s t h e v a l u e
o f
x
p
p r e d i c t e d b y s u c h a n e q u a t i o n i n t h e h o r i -
z o n t a l i m a g e s c a n l i n e y
c
= 2 0 0 . N o t i c e t h a t
x
p
r a n g e s b e t w e e n 0 . 7 a n d 1 . 6 p i x e l s . S i m i l a r r e s u l t s
h a v e b e e n a c h i e v e d e x p e r i m e n t a l l y . W e t t e d a l i n e
t o a l o c a l n e i g h b o r h o o d ( 1 0 0 p i x e l s ) o f t h e x
p
- m a p
a n d w e t h e n c o m p u t e d t h e r e s i d u a l d e v i a t i o n s o f
a l l t h e p o i n t s o f t h e n e i g h b o r h o o d t o t h e l i n e . I n
p a r t i c u l a r g u r e 9 ( b o t t o m r i g h t ) s h o w s t h e r e s i d u -
a l s c o m p u t e d f o r p i x e l s b e t w e e n x
c
= 2 0 0 a n d 3 0 0
a l o n g y
c
= 2 0 0 . I n o t h e r w o r d s t h e g u r e s h o w s
t h e x
p
v a l u e s o n c e t h e l i n e a r s i g n a l c o m p o n e n t i s
r e m o v e d , t h a t i s , i t s h o w s t h e r e c o n s t r u c t i o n n o i s e .
T h e e x p e r i m e n t a l e s t i m a t e o f
x
p
h a s b e e n o b t a i n e d
c o m p u t i n g t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n o f s u c h a r e c o n -
s t r u t i o n n o i s e , g e t t i n g a n u m e r i c a l v a l u e o f 1 : 4 7 ( f o r
t h e s p e c i c n e i g h b o r h o o d ) . M e a s u r e m e n t s r e p e a t e d
f o r d i e r e n t n e i g h b o r h o o d s y i e l d c o n s i s t e n t r e s u l t s .
I n g u r e 9 ( t o p r i g h t ) w e c o m p a r e t h e t h e o r e t i c a l
a n d e x p e r i m e n t a l
x
p
e s t i m a t e ( d o t t e d v a l u e s a n d
b o l d l i n e r e s p e c t i v e l y ) . T h e r e f o r e t h e e x p e r i m e n t a l
v a l u e o f 1 . 4 7 v a l i d a t e s t h e t h e o r e t i c a l e q u a t i o n w e
u s e d t o e s t i m a t e o f
x
p
.
A f t e r t r i a n g u l a t i o n , w e o b t a i n e d t h e 3 D c o o r d i -
n a t e s o f t h e o b s e r v e d p o i n t s i n t h e s c e n e i n t h e c a m -
e r a r e f e r e n c e f r a m e . F i g u r e 1 1 s h o w s a s y n t h e t i c
v i e w o f t h e n a l s e t o f 3 D r e c o n s t r u c t e d p o i n t s f r o m
a g i v e n p o s i t i o n o f t h e c a m e r a . T h e e r r o r o n t h e
d e p t h r e c o n s t r u c t i o n h a s b e e n e x p e r i m e n t a l l y e s t i -
m a t e d t o b e a b o u t 5 m m ( d i m e n s i o n s o f t h e o b s e r v e d
s c e n e a r e a b o u t 6 0 x 5 0 x 3 0 c m
3
) . I n d e e d , a s a b o v e ,
w e c a n t a p l a n e a c r o s s t h e p o i n t s i n s p a c e a n d
t h e n l o o k a t t h e r e s i d u a l d e v i a t i o n s o f t h e p o i n t s t o
t h e p l a n e .
W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n s h o w i n g a 3 D s h a p e e s -
t i m a t e o f a m o r e c o m p l e x s c e n e ( s e e g u r e 1 1 ) .
6.2 linear pattern method: experiments
W e u s e d a g a i n t h e o b j e c t o f g u r e 9 f o r o u r e v a l -
u a t i o n . W e r s t p r o j e c t e d t w o p a t t e r n s w i t h m a x i -
m u m a n d m i n i m u m b r i g h t n e s s i n o r d e r t o c o m p u t e
t h e n o r m a l i z e d b r i g h t n e s s I
n
. F i g u r e 1 0 ( t o p l e f t )
s h o w s t h e v a l u e s o f A = I
m a x
; I
m i n
i n t h e h o r -
100 200 300 400 500 600
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 100 200 300 400 500 600 7000
0.5
1
1.5
2
2.5
Horizontalimagecoordinate
σ x p
0 100 200 300 400 500 600 7000
100
200
300
400
500
600
x p
horizontal image coordinate xc
20 0 2 10 2 20 23 0 24 0 2 50 2 60 27 0 2 80 2 90 3 00−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
100pixel segmentofthe horizontalrow
R e s i d u a l s
Figure 9.C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l a c c u r a c y o f t h e
s i n u s o i d m e t h o d w i t h t h e v a l u e p r e d i c t e d t h e o r e t i c a l l y . ( T o p
L e f t ) T h e s c e n e i s a s i m p l e p l a n e . ( T o p R i g h t ) E a c h d o t i s t h e
v a l u e o f
x
p
p r e d i c t e d b y e q u a t i o n ? ? f o r t h e p i x e l s i n t h e
h o r i z o n t a l i m a g e s c a n l i n e y
c
= 2 0 0 . T h e h o r i z o n t a l b o l d l i n e
i n d i c a t e s t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e o f
x
p
( s e e b e l o w ) . ( B o t t o m
L e f t ) x
p
c a l c u l a t e d a l o n g t h e s a m e s c a n l i n e . ( B o t t o m R i g h t )
R e c o n s t r u c t i o n n o i s e : v a l u e o f x
p
f o r t h e p i x e l s b e t w e e n x
c
=
2 0 0 a n d 4 0 0 o n c e t h e l i n e a r s i g n a l c o m p o n e n t i s r e m o v e d .
i z o n t a l i m a g e c o o r d i n a t e s c a n l i n e y
c
= 2 0 0 . W e
p r o j e c t e d a p a t t e r n w i t h a l i n e a r b r i g h t n e s s p r o l e
( s u c h a s i n g u r e 3 b u t a s s u m i n g B t o b e a l i n e a r
f u n c t i o n o f x
p
) . W e t h e n c o m p u t e d x
p
u s i n g e q u a -
t i o n 8 . F i g u r e 1 0 ( b o t t o m l e f t ) s h o w s t h e v a l u e s o f
x
p
i n t h e s a m e h o r i z o n t a l s c a n l i n e y
c
= 2 0 0 . A s w e
c a n e a s l y s e e f r o m t h e g u r e , t h e n o i s e a t t a c h e d t o
x
p
i s f a i r l y l a r g e r t h a n t h a t i n t h e s i n u s o i d a l c a s e .
W e r e p e a t e d t h e s a m e p r o c e d u r e s e e n i n t h e p r e -
v i o u s s e c t i o n . W e r s t e s t i m a t e d
x
p
t h e o r e t i c a l l y
u s i n g e q u a t i o n 1 4 . W e p l o t t e d s u c h v a l u e s o f
x
p
i n
g u r e 1 0 ( t o p r i g h t ) a l o n g y
c
= 2 0 0 . N o t i c e t h a t
x
p
i s l a r g e r ( > 4 0 p i x e l s ) w h e r e I
m a x
; I
m i n
i s s m a l l e r .
T h i s t h e o r e t i c a l c o n c l u s i o n c a n b e e x p e r i m e n t a l l y
v a l i d a t e d l o o k i n g a t t h e d o t v a l u e s o f x
p
i n g u r e 1 0
( b o t t o m l e f t ) : t h e n o i s e a t t a c h e d t o x
p
i s l a r g e r f o r
s m a l l v a l u e s o f A ( t h a t i s , f o r d a r k e r p i x e l s ) . T h e n
w e c o m p u t e d a n e x p e r i m e n t a l v a l u e ( 1 7 . 6 3 p i x e l s )
f o r
x
p
t t i n g a l i n e a c r o s s t h e x
p
0 v a l u e s f o r p i x e l
x
c
b e t w e e n 2 5 0 a n d 3 5 0 ( w i t h y
c
= 2 0 0 ) . T h e c o r r e -
s p o n d i n g c o n s t r u c t i o n n o i s e a t t a c h e d t o x
p
i s s h o w n
i n g u r e 1 0 ( b o t t o m r i g h t ) . I n g u r e 1 0 ( t o p r i g h t )
w e c o m p a r e t h e t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l
x
p
e s t i m a t e ( d o t t e d v a l u e s a n d b o l d l i n e r e s p e c t i v e l y ) .
N o t i c e t h a t , s i n c e t h e
x
p
v a l u e s p l o t t e d i n g u r e 1 0
( b o t t o m r i g h t ) h a v e b e e n c o m p u t e d u s i n g t h e w o r s t
c a s e e q u a t i o n 1 4 w i t h = 2 , t h e c o m p a r i s o n c o n -
r m s o u r c a l c u l a t i o n o f t h e t h e o r e t i c a l u p p e r b o u n d
o n t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n .
9
8/12/2019 1999 - Savarese - 3D Depth Recovery With Grayscale Structured Lighting
http://slidepdf.com/reader/full/1999-savarese-3d-depth-recovery-with-grayscale-structured-lighting 10/10
0 100 200 300 400 500 600 700−20
0
20
40
60
80
100
120
140
I n
Horizontalimagecoordinatexc
0 100 200 300 400 500 600 7000
20
40
60
80
100
120
Horizontal image coordinate
σ x p
γ =2
0 100 200 300 400 500 600 700−100
0
100
200
300
400
500
600
700
x p
0 20 40 60 80 100 120−60
−40
−20
0
20
40
60
Horizontalimagecoordinate
R e s i d u a l s
Figure 10.C o m p a r i s o n o f t h e e x p e r i m e n t a l a c c u r a c y o f
t h e l i n e a r p a t t e r n m e t h o d w i t h t h e v a l u e p r e d i c t e d t h e o r e t -
i c a l l y . ( T o p L e f t ) T h e p r o l e o f A = I
m a x
; I
m i n
i n t h e
h o r i z o n t a l i m a g e s c a n l i n e y
c
= 2 0 0 ( T o p R i g h t ) E a c h d o t
i s t h e v a l u e o f
x
p
p r e d i c t e d b y e q u a t i o n 1 4 f o r t h e p i x e l s
i n t h e h o r i z o n t a l i m a g e s c a n l i n e y
c
= 2 0 0 . T h e h o r i z o n t a l
b o l d l i n e i n d i c a t e s t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e o f
x
p
( s e e b e l o w ) .
( B o t t o m L e f t ) x
p
c a l c u l a t e d a l o n g t h e s a m e s c a n l i n e . ( B o t -
t o m R i g h t ) R e c o n s t r u c t i o n n o i s e : v a l u e o f x
p
f o r t h e p i x e l s
b e t w e e n x
c
= 2 0 0 a n d 4 0 0 o n c e t h e l i n e a r s i g n a l c o m p o n e n t
i s r e m o v e d . N o t i c e t h a t n o i s e a t t a c h e d t o t h e x
p
e s t i m a t e i s
f a i r l y l a r g e r t h a t i n s i n u s o i d a l c a s e .
Figure 11.( L e f t ) P h o t o g r a f y o f t h e s c e n e . ( R i g h t ) S y n -
t h e t i c v i e w o f 3 D r e c o n s t r u c t e d p o i n t s o f t h e f a c e
6.3 Final remarks on experimentals results
I n c o n c l u s i o n w i t h t h e l i n e a r p a t t e r n t e c h n i q u e
w e a r e a b l e t o a c h i e v e a d e n s e 3 D s h a p e r e c o n s t r u c -
t i o n u s i n g o n l y 3 p a t t e r n s . H o w e v e r t h e l a r g e u n -
c e r t a i n t y i n t h e x
p
e s t i m a t e d o e s n o t a l l o w u s t o
o b t a i n a r e l i a b l e d e p t h e s t i m a t e . O n t h e c o n t r a r y ,
u s i n g p a t t e r n s w i t h m u l t i p l e r a m p s w e c a n i m p r o v e
t h e a c c u r a c y o f x
p
. A s w e s h o w e d i n s e c t i o n 5 , o n l y
8 p a t t e r n s a r e e n o u g h t o g e t t h e s a m e p e r f o r m a n c e
o f t h e m e t h o d w i t h s i n u s o i d a l b r i g h n e s s .
7 D i s c u s s i o n a n d c o n c l u s i o n
W e p r e s e n t e d t w o m e t h o d s f o r r e c o n s t r u c t i n g
3 D d e p t h u s i n g s t r u c t u r e d l i g h t i n g . U n l i k e p r e v i -
o u s s t r u c t u r e d l i g h t i n g m e t h o d s b a s e d o n p r o j e c t -
i n g b l a c k / w h i t e s t r i p e s o n t h e s c e n e o u r m e t h o d s
a r e b a s e d o n p r o j e c t i n g g r a y s c a l e p a t t e r n s . W h i l e
s t r i p e - b a s e d m e t h o d s o n l y a l l o w a s p a r s e r e c o v e r y
o f s c e n e d e p t h o u r m e t h o d s c o m p u t e a d e n s e d e p t h
m a p w i t h o n e d e p t h v a l u e p e r p i x e l . O u r g r a y - s c a l e
m e t h o d s a l l o w t o t r a d e o a c q u i s i t i o n t i m e f o r a c -
c u r a c y , w h i l e s t r i p e - b a s e d m e t h o d s t r a d e o a c q u i -
s i t i o n t i m e f o r s a m p l i n g d e n s i t y .
W e i n v e s t i g a t e d t h e p e r f o r m a n c e o f t h e t w o
m e t h o d s b o t h t h e o r e t i c a l l y a n d e x p e r i m e n t a l l y .
T h e o r e t i c a l l y p r e d i c t e d a c c u r a c y a n d m e a s u r e d a c -
c u r a c y w e r e f o u n d t o b e i n a g r e e m e n t . O u r e x -
p e r i m e n t s d e m o n s t r a t e t h a t a c o a r s e a s s e s s m e n t o f
d e p t h i s a v a i l a b l e i f o n l y 3 p a t t e r n s a r e p r o j e c t e d
( c o r r e s p o n d i n g t o a c q u i s i t i o n t i m e o f 1 / 1 0 o f a s e c -
o n d ) , w h i l e h i g h e r a c c u r a c i e s a r e a v a i l a b l e i f m o r e
p a t t e r n s a r e u s e d .
R e f e r e n c e s
1 ] J . - Y . B o u g u e t . V i s u a l m e t h o d s f o r t h r e e d i m e n s i o n a l
m o d e l i n g . P h D t h e s i s , C a l i f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h -
n o l o g y , 1 9 9 9 .
2 ] J . - Y . B o u g u e t a n d P . P e r o n a . 3 D P h o t o g r a -
p h y o n y o u r D e s k . T e c h n i c a l r e p o r t , C a l i f o r -
n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , 1 9 9 7 , a v a i l a b l e a t :
h t t p : / / w w w . v i s i o n . c a l t e c h . e d u / b o u g u e t j / I C C V 9 8 .
3 ] D . D . H u n g . 3 d s c e n e m o d e l l i n g b y s i n u s o i d e n -
c o d e d i l l u m i n a t i o n . I m a g e a n d V i s i o n C o m p u t i n g ,
1 1 ( 5 ) : 2 5 1 { 2 5 6 , J u n e 1 9 9 3 .
4 ] R . K l e t t e , K . S c h l u n s , a n d A . K o s c h a n . C o m -
p u t e r V i s i o n : T h r e e - D i m e n s i o n a l D a t a f r o m I m -
a g e s . S p r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 8 .
5 ] G . S a n s o n i , S . C o r i n i , S . L a z z a r i , R . R o d e l l a , a n d
F . D o c c h i o . T h r e e - d i m e n s i o n a l i m a g i n g b a s e d o n
g r a y - c o d e p r o j e c t i o n : c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e m e a -
s u r i n g a l g o r i t h m a n d d e v e l o p m e n t o f a m e a s u r i n g
s y s t e m f o r i n d u s t r i a l a p p l i c a t i o n s . A p p l i e d O p t i c s ,
3 6 ( 1 9 ) : 4 4 6 3 { 4 4 7 2 , 1 9 9 7 .
6 ] M . T r o b i n a . E r r o r m o d e l o f a c o d e d - l i g h t r a n g e
s e n s o r . T e c h n i c a l R e p o r t B I W I - T R - 1 6 4 , E T H -
Z e n t r u m , 1 9 9 5 .
1 0