This article was downloaded by: [University of Toronto Libraries]On: 20 December 2014, At: 08:27Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Mathematische Operationsforschung und Statistik.Series Optimization: A Journal of MathematicalProgramming and Operations ResearchPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/gopt19

Zun problem der optimalen standardisierungM. Kwaljow a & E. Girlich ba Fukultät Angewandte Mathematic , BGU Minsk , Minsk, 220080, USSRb Sektion Mathematik , FSU Jena , Jena, 69, DDRPublished online: 27 Jun 2007.

To cite this article: M. Kwaljow & E. Girlich (1977) Zun problem der optimalen standardisierung, MathematischeOperationsforschung und Statistik. Series Optimization: A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, 8:1,89-103, DOI: 10.1080/02331937708842408

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T - b d a ~ * <Iz,>- , e , a 7 % c A , - ,$ s ,Ir>?- * ~ ~ ~ ~ ~ ~ a ~ + i , . ~ ~ ~ ~ ~ ~ . ~ ~ c s . ~ . i ~ ~ ~ ~ ip6y C1,- V I I Y ~ I ~ ~ i l I I U L L ~ I I i ~ d 1 6 < y l ~ l i l l l \ l < ~ L > ~ b ~ ~ LLCI V ~ U L L L Y I \ J I I ~ > L \ I I J L L I U ~ L & , L U ~ U 5-

staltung von ASU auftreten, nimmt die ilxjgabe cler op2jiimalen Stu?~durdis~ieruny @ 0 S j einen becleutenden Platz ein, (1. 11. Aufyaben der Auswi~h1 ol)timder Pam- metemerte uncl der Anznhl von Teilen, clie tler Gesmitheit einer Produktion gleiclimtiger Teile ~~ngehoren sollen. Unter einer gleichal-tiyen Cemm.theit von Teilen versteht man eine IZeihe von Teilen (Protluktcn) gleicher Eiust~tzmoglicli- lieit, aber mit verscl~iedenen Paranletern. Solclie Parameter fiir eine gleich- t~rtigt: Ges;~lritheit T ~ O I I Eiektromefige~iiten lriinnen z. B. Stromstlrke, Spannung, rtn*n-.:,.ivfi:+ n .--- ~ : . - , M : ~ I . L , . : + . G.. R --- . - -A +-..:,,I:,.- c* ---. : - I . + Q-.,.:+,. T:: ..,-- UCIILCUI~RGLU, U I l I ~ J l L I I ~ * J L I ; I I I \ t : l b , L L l l U t L L L J I l < b L G l l c L l 1 G l I - U C \ . I ' l U L I U , U I I Z L L I Z , LCbllgG, Festiglreit sein.

Zuerst wurden Aufgnben entsprecheuclen Typs in [I] 1)etrachtet. I n den ver- gangenen Jnliren erschien eine gnnze Reille von Arbeiten zur AOS 12-71. Matlie- ~n i~ t i s ch knnn die ,40S als Sufgabe cler diskreten Optimierung ( S 1) hetrachtet merden uncl fiir ihre Losung ltonnen konibinatorische Algorithnlen verwendet werclen. Erst,e Itonibinntorische Losungsalgorith~nen ~~~ultil>arametrisclier AOS sind in [I"] m f der G~uncllage von Folgenscheinata der clislireten Optimierung [S] erarheitet. Verallgen~einerungen dieser Algorithn~en sind hier in S 2 dargelegt,. Die ciargeiegten Algorithmen sind begri~nclet auf der i<onstruktion unci Anaiyse einer bestimmteii Polge von Eckea des Losungspoiyec~ers der ,408. Ill1 Zu- sa~nmenhang clamit entstel~t ctie Notwencligkeit der Untersuchung cler Struktur und Abscli%tzung der Anzahl der Ecken der Losungspol~ecler verscliiedener Iilassen von AOS. I n S 5 w i d ein neuer Losungsalgoritlnnus fiir AOS vorge- sclilagen, clessen Effektivitat wesentlicli von der Zahl cler Ecken clea Losungs- polyeclers a b h h g t . Daher besitzen clie Resultate cles 4 iiber die n~nsimale bzm. fur einzelne Klnssen gennue Anzald tler Ecken hesnnclere Berleutung.

1 BGU Minsk, Fukultiit Xngewandtr N~~tl ienintik, C(1SSR 2 2 O O S O X n s l r F S U J e n s , Sektion Mathematik, DUR (i9 Jcna

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TT'enn ill &ese!r? Fa!! A =,R kt, so ist & eine Dreiec!is::::~tri:: (cIiese !;ezeic!lr;er, wir mit Q,, die Matrix Q, bestehe aus 0). Fiir zz~..eipararnetrisc?/e AOS (2908) I~esitzt die Qunlifikationsnmtriu Q (im Fall A = B) die Form D

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Zum Problem cler optimalen Sranciardisierung 91

Die VAOS (AOS) besteht in folgendem: Zu bestiinmen sind &e Arten i der. an- gebotenen Teile und ihre Snzahl y,, die notmendig zu produzieren sind, um den Bedr~rf an Teilen cler Arten j nlit minimalem Anfwand an Produktion und Er- halturig zu decke;;. Earnit hat cins mnthematische Bincieil der XOS die foigencie Struktur

i'! ; 7: ) -:;xi)?, > j .$'L> . . . ; J T Z (1.1) mit

Dabei becleuten f(y,, y , , y,. . . . , yln) die Funktion cles Gesarntauf~raides, cij ZU-

sii.,tziir.he Kosten, die v e r h u n d e ~ sinci nlit fier Erseizullg 1-oil Teileii 6ui.c:; ein Tei! i-ter Art ( n . 3. B e ; ~ ~ t . ~ ~ ? l g ~ ! : ~ > ~ t e r . ) ~ :rij &c. _A_!lza.iii van Teilen i-tcr k t , die zum Ersetzen von Teileil j-ter Art produziert u-erden.

Mnnchmal wird zu den Bedingungcn ( i .2) - ( I . 6 ) die Beclingung zugefiigt :

Die Bedingung ( 1 . 7 ) i,i:~r;~ntiert ein Produktic)nssortilllellt von nicht inellr nls 6

verschiec!enei~ Teik~:. A!s Fullktion f(y,,. yi . . . J 71 4 111 ) kann man in renlen Aufgnl~en (1 .1 ) - (1 .6 ) Funk-

tionen nrahlen, ctie eine tier folgcnden Formen besitzen.

g(6,, . . . . d,,,) - (kornponentenr\-eise) monoton ~vr~chsend,

f i ( y i ) - konliav, monoton wachsend: f ,(O) = 0 ;

Kojxbiix~torische LBsungmwthoden der Al~fgaben (1 .1 ) -( 1.6) fiir versclliedene Formen von Zielfunktionen sind in [2-71 angegeben. Hier werden einige von illnen lturz rlmgelegt und einige neue beschrieben.

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S'iir i~et~t icl i ten die I'AOS i i~ i t clei. Zielfiiiiktioli (1.11). Die spezietle Foi-iii der Funktionen (1.1 t ) ei.lrLuljt es: fi~;. ilire Xinixiiel-uqg imter iten Betlin,gurlge;l

) - 6 \ p f f ~ ! ; t i r p _~jcor.;lh;nrl: zll %?tnst:.:licre:? ( j . 2 ( I ,i . -.- L>

Xehmen ~ v i r an, claB clie Aus~valil cler GvoQen bj so getroffen ist, diiB bj /ygj gnnze . .

Zahieii iiii. d l e i, j sind, fiir d i e y t j > ( l giit. Dm11 1;a::n inall die -4ufgai~e der Jliniinieraig \-on ( I . 1 1) u n t w den Beclingungen (1.2) -- (1.6) h i Bc~~iiclisiclltigui~g der Tatsache, dnfi (Lie f I ( : y i ) monoton ~vachsencl unti tiie (~..cij sin(l, 5qui~ ; t ieu t~ uint'oriilen i n

S n t z 2 . 2 : ,Sei

tcobei n1i11 ( c i j : qi j > O , i = 1, . . . , n ~ ] , j= 1; . . . , i~ i ~ t . D U ~ L R , exiutiert e i l ~ e

o p t i m c ~ l e Lo.szobq der d,z$gube (.'.I)-(:'.?), i,w. der d i e Iiornpone.>~te?~ rij= 0 sind fiir aile i i ij.

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Nach (2.5). ( 2 . G ) gilt (L~n~i t , daB

VerC;z?:rc~: wlr :~na!og iilit dcil vcrbleihenden Kon~ponenten x, i C fiir Z E I,, 50

erhalten wir, ohne deil Wert der Zielfuuktion zu verschlechtern. eine zuliissige Losung iniit Komponeuten 2,) = 0 fiir alle i E I;. j = 1, . . : n.

B e lner.1~1-111 g : I n der Aufgal~e cler Niuirnierrulg von (1.10) unter (2.2) wird cEe - - JWenge 1, g i ~ m einf:~cil gei)ii(iet :

I ' " i i ' " j -- : dUj1 I . 4 u j j

I j = (2 : C1 Z qii f -1. bi j

D d ~ e r ist die Aufgthe (2.1)-(2.2) Bquivalent rnit der Bufgabe der cliskreten Optimiermg

nlin {f ( X , ) ; 2: < W ] , ( 2 . 7 )

IT-obei S,, eine Ecke ist, die einer Susm~hi lj = (vL, z-,, . . . v,,) nach Regel (2.3) entspricht, und /.

1.V = {*c = ( ~ 1 ~ : v2, . . . , v,) : vj E 2 : i E (1, . . . , ???)\Ij, qi j =- o)} . { ' Zur Losung der Aufgabe (2.7) wenden wir das Schema der Konstruktion von

~ 6 s u n ~ s a l g o r i t l & n der diskreten Optimierung [Sj an. Dnzu benijtigen mir folgende Varinnte des Schemas.

Zur Losung von Aufgaben

~ n i n (f (x) : x E P) , P eudliche J'tenge: ist notmendig anzugeben : (2.8) 1. Eine endliche Nenge R 2 P, (Erweiterung). 2. Eil~e>Linorantenfunktiong(s)~ die auf R definiert ist, und fiir die g(x) s f(x), fiir

alle x E P, gilt. 3. Ein Algorithmus zum 0rd.nen der Elemente von R nach wachsenden Mino-

rantenwerten g(x), d. 11. Bonstruktion einer Folge {xL) mit der Eigenschaft, daB y(x~)=rnin {g(z): x~R\{xl,. . ., xi-i)} .

Dann ist eine optimale Losung x* yon (2.8) erreicht, wsnn eine Zahl k euistiert, so daJ.3

{XI, . . . , xk) a ? * @ nrld

f(x*) = min {f(x) : X E P n {xi, . . . , x"} sg(xh) (2.9) ist.

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Zur Losung der Aufgnbe (2.7) konstruieren xi-ir einen -Algorithmus auf der GruntUage des heschriebel~el! Scllemas. Die Menge I T d ler Eckerl cles Losungs- polyeders G wircl nicht erweitert. Bls i l l inor~~ntenfui~l~tion vem-enclen wir &e iinenre Funlit ion

12 - { I ( E ) = 2,j gr ;.

j = l "

\j.ol>ei !lie Koeffi-.ielltell C!LII.L'IL li!l%z~re ,4jtjj!'c!xi!:lnti~~~ ,,v!)li tmten" cler kon- % lJ

kaveii Fii~lliiic,nei~f,(y~) w r e c h e t werdaii, d. 11.

Dabei ist :If cine l ~ i n ~ e i c l ~ ~ n d go f i e Zahl. Offenbnr ist folgende Ungleichung richtig : g(vj s,f(S,) fiir a~lle v E I,$/-. Der Algol~itilnlus basiert auf der Iionstmktion einer Folge (?:if voll Aus~-ai&l? nus W ]nit wachsenclen Minorantenwerten, his zur Erfiillung des Optinmlitiitskriteriums

/ j p g , , . s - - - 5 gm, -1 - (2 .12)

uncl die Spalten ebenfulls n d l der GroBe der Differenz zmischen clen ersten beiden Komponente:: gcorclnet sinr!, :I. h.

g ? , - g ~ j ~ g ~ j ~ i - g i j + i . (2.iS) 1st clies nicht der Fall, so orclnen wir zuerst innerhalh der Spalten uncl clam die Spd ten um uncl speicllern clie Informationen iiber die urspriingliche Ordnung.

Fiir eine heliebige Au~\\ ' i~hl cler -41% (1 v ( . . . , r 1 1 . . . 1 ) l s p s n , 2 5 r s m , l s d ~ n z I -

bestimmen wir eine Menge O ( v ) , die nus

{(v? , . . . , v;- 1, r + 1 , 1, . . . , 1 ) , (v!, . - . , v;- r , 2 , 1, 1, . . . , 1 ) ) bestellt, wenn r > 2 und aus

0 {(vy, . . . , v:-l, r+ 1, 1, . . ., I ) , (vy, . . ., v p - l , r - I , 2, I , . . ., 1) , (2.14) ( 7 , . . . ~ 1 , r, 1 . . . 1 , wenn r = 2 .

AuBerclem setzen wir fur v l = ( 1 , 1, . . . , 1) O ( d ) = { ( 2 , 1, . . . , I ) ] .

F u r r = m, p = 1 und p = n entfallen einige Auswalllen in O(v) . Der Ordnungsalgorithmus der Auswalden aus W ? nach d e ~ n Wachsen der

Nlinorante g ( v ) besteht in folgendem: I m ersten Schritt cles Algorithmus kon-

3 Bei Beschreibung tles Algorithmus setzen wir W der Menge allrr inijglichen Auswahlen gleich.

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ZLW Problem der opthale:: Standardis irrcng 95

struieren wir clie Auswahl a1 = (1. 1. . . . . 1 ) ; im E-ten Schritt ( k = 2: 3. . . .) bilden wir clue 3Iengen der ~~~~~~ahlen

u d suchen eine solche Aus~vahl z.< so claS

R e w e i s : Zi,~erst zeigell tvir cfie Richrigkeit des Satzes fiir eine ;i-lod.iiik:~tion des dargelegten Algoritl-umis. Diese n'lotlifikation besteht darin, da13 wir in jedeni Schritt eine Auswahl 1;"n cler Menge W , niclit clurch die Auswahlen O(vk) er- setzerl, sondern dureli das System von Xuswahlen {vkzs= (zly, . . . , vE- r, 1, . . . , 1, 1 + 1, . . . , 1) : .s=p, . . . , n). Jeder 4uswshl vk =

--i

E - ( 0 0 - ,,vl, c,, . . . , vlt r? 1: 1, . . . , 1): r z 2 entspricht einc 3lenge W(ak)

d. h. Tfr(uL) ist eine Untermenge von Auswahlen aus W , in der die ersten ( p - 1) Iiomponenten fisiert sind, und fiir die Kornponente p ist cler .&nderungsbereich eingeschrdnlit . Auf Gruncl yon (2.1 1) wircl das Ninimum der Funktion g(v) auf W(vk) im Element vhngenommen. Dementsprechend wird in den Auswtthlen zAS, 6 = p , . . . , n, das Minimum cler Funktion g(v) auf den ihnen entsprechenden Mengen

angenommen. ~ffensichtlicl~ ist clie Vereinigung clueser Mengen gleich der Menge W(.vk) ohne das Element v< Durch Incluktion kann man leicht die Richtigkeit der Beziehung

u W(v) = W\{v1, v?, . . . , vk) u E J V X : + ~

nachweisen, aus tvelcher die Richtjgkeit der Behauptung des Satzes fur den modifizierten Algorjthmus folgt. ~ b e r auf Grund von (2.12) gilt fiir die Punkte des Wnimums der Funktion g(v) auf den Mengen W ( V ~ ' , S I

Jetzt beweisen wir die Richtigkeit des Satzes fiir die Ausgangsversion des Algorithmus unter Beriicksichtigung der Tatsache, da13 die Auswahlen vk,p+2, . . . , vkan im k-ten Schritt nicht in die Menge Wk+, aufgenommen werden (siehe Regel 2.13).

Daher besteht der k-te Schritt der Lijsungsmethode cler Aufgabe (2.1) - (2.2) in folgendem : TVir suchen eine Losung xuk, so da8 g(@) = rnin {g (u ) : u E P k } , er- rechnen f (x,) und setzenfk = min {fk-1, f (xuk)), f O = + -.

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Ordnen wir nun che Komponenten in den S l d t e n U I I ~ die Spalten selLst ilacll (2.12) und ( 2 . i 3 ) , so er l~dten wir

wobei die Information iiber den fhergang von (gi i) zu (g:,) enthslten ist in cler Matrix A

2 5 3 3 2 3 5 " 4 4 4 4

LA - Y

2 3 5 ti 4 7

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Zum Problrm der op t ima le~~ Sta~ldardisierung 9 7

Die Zeile G tier Matrix d gibt &e Permut,ztion der Spalten von (g,,) zu (g:?) an. die ersten funf Koinponenteii der Spalten geben die Per~nutatlon der Zeilen (in der j-ten S p i t e ) ron (g , ) an, urn in (g;) (2.12) zzu erreichen.

die optimale Losuag unseres Beispiels.

$ 3. dnwendung des dlporithrn~zs fiir andere Aufgaben

Rechenbeispiele zeigten eine hohe Effektivitat cles Algorithmus zum Ordnen der Sus - mahlen bei der Losung vieler rakt ischer Aufgaben. Wir fclhren einige dieser Aufgaben an.

Aufgabe der Standortverteilung (stetige Derstellung): Seien in jedem von n Punkten eines Bereiches der Bedarf bj ( j = 1, . . . : 7%) eines Produktes gegeben. Znr Abdeckung des Bedarfs ist es notwendig, in In Punkten Werke zu bauen. Gegeben sind konkave monoton wachsende Produktionskostenfunktione~l fi(yi), die verbunden sind nlit dem Bau cles B ~ ~ , ~ ; ~ J , ~ ~ iler p;aPaz-;tgt ,yi : ,111 -- ? . - - I - & UIIAU i, . unc! die Transportkosten cli einer Prodnktions- einheit aus dem Produktionspunkt i in den Bedarfspunkt j. Mit xii bezeichnen mir den Transportunlfeng aus ,i in j. Damit besteht die Aufgabe in der Bestin~mung der Bapazitiiten , (y,, . . . , ym) der Werke und des Transportplanes ( " ~ ' q ) ~ , ~ mit nlinimalen Produktions- Transportkosten (1.10) oder (1.1 1) bei Abdeckung des Bedarfs: qii = 1, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n und (1.2) - (1.5). Die qii geben hier an, daB jeder Bedarfspunkt j aus dern Betrieb i nlit clern Produktionsunlfang yi versorgt werden konnte.

Diese Aufgabe kann auch clie Standortverteilungsaufgabe fiir rohstoffverarbeitende Betriebe darstellen. I n diesem Fall geben die qii eine Anssage, wieviel Rohstoffeinheiten aus einer Einheit des j-ten Vorkomn~ens im Betrieb i gewonnen werden. I n einer anderen

i Optimization, Bd. 8, H. 1/1977

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1nterpreta.tion g t b t ~ i (lie y i j den Proc!al;tiolisi~~isstol? iiii i-tcln Betrich an. t1i.r ;~ t i s i,in(\r Rohstoffeiriheit cles j-tc.n Borkomlnrns erzielt wird.

Aufgabe der -%uft.ragsrertriluri,n: Seien sn ~noglicllr Crrteilungspunlite der. 11 Auftriige rr~rrelhon nip Knston die (!i.~~cll <fie Erfe ihng des j-ten =\r~ft ,~.g~.; rill den Rrtriel) i r n t - e. -m-- .--. - "-.,

s~ehen , r;eic.ii c,? Fiir die A~i s f i i l~ r~ i~ ig des j-ten A~dtrages slncl dl Rohstoifcini~eltei not- u.e:idig. In dell Betrieben i e i e n Ci Rohsioffeinlleiten gr.lngvrt. Sr.ir1 ist es u o t ~ e n ~ l i g , i!ie AufirHge ru ?u t e r r ~ i l r n , t i & (lie Chsai?likosirn. eiit~it.iieri(1 aus tier Aus f i i i l r~ i r~g d i t r Auftriige u11d ~noglicher Rolls toffurnvrr tei l t~r~ge~~, n~inilnal sincl, d. h. /(yo, y,, . . . , y,) = = y i : - - t ( y ! . . . . . ~ / , ~ ) - + n ~ i n tinter den Beclin~~ingen ( I . ) ) , (1.4) (mit b,-11, (1.51, (1.6).

7iZ

y i = 2 di.ri, = 1, . . . , n 7 . D:LIE.I ist j - 1

Konstru1;tion (lcr Folge von Suswahleri { u i j - ixus Jer Menge IT7 ist his zur Erffillutig c l i ~ Opt,inlnlitHtsl<riteriunls fortznscitz(?1i.

Verteikiillgsnnfgtat-~e rtiit ~ 0 o ~ ~ s c h e r - i V;~ria.blt.ll. Ciesnc.!lt isL

12

T G . . T . . S I , ~ , L L]'. L, - ' . i=1 , . . . j n~ (3 .3)

j = 1

Die Losungsiclec dcr X u f g i ~ h ( 3 . 1 ) - ( 3 . 3 ) besteht diwin, clie Bctlirig~ungen ( 3 . 3 ) boi t1c.r Biltlung dcr Erweiterung R tlcr Liis1ingsmengu nicllt zu beruclrsichtigen. Jedes E1t:nicnt von R entspricht eineindentiq einrr Xuswahl aus TV = { ( u , , . . . , u , ) : ajE j l , . . ., m ) ) . Wir lionstrnieren eine Folgo von Auswa!llen rnit waclisencl& 31iilinorant,en\verten, die mit den Zielfunktionswerte zusununenfallen, bis zttr Erfiill~ulg des Optiilialittitslrriter.iu~its (2.9) , d. h. his zur Erreichung einer Auswahl vk, fiir welche x , , ~ clie Beclingungeu (3 .3 ) er- fiillt. Der Algorithmus ist realisiert auf einer EDVA ,.M-2100" und wird p n u t z t in einem Iialikonlbinat bei der Auswahl optimaler Methoden der Durchfiihrung von Bergbau- arbeiten.

Aufgabe der lnnerregionalen Stt~ndortverte~lung. I n ?n Punkten smcl notnentllg TI. Werke zii errichten. Cabel ist der Anfwand, der verbunden 1st niit dcr Errlcltt~lng c1t.s j-te:: Werkes in1 i-ten Punkt , gleich cii Seien weiterhin belrannt der Umfang aki clrs Rohstoffbeclnrfs k-ter Brt ( E = I , . . . , 1 ) ill1 j-ten V e r k und hiL der Vnrrat cles k-ten Ro!lstoffs in1 I-ten Punlit. Sonlit kornmen wir zur Aufgsbe (3 .1) , (3 .2) mit

n

2 ukixiis bik, i = 1 , . . . , m, k = 1, . . . , 1 . j = 1

Diese Aufgabe wurde analog der vorl~ergehenden im NIIEMP bei Gosplan der BSSR iln Jahre 1974 nlit der Methode der Ordnung der Answahlen gelost.

Aufgabe der m-Handlungsreisenden: Gefordert wird, daB jade von n Stiidten genau durch einen von m Handln~igsreisende aufgesucht wird. Die Handluligsreisenclen kehren in ihren Ausgangsort zuriicli. Zu minimisieren ist der gesamte Weg nller Hand1ungsreiser.-

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deir, wenn die Entftrrnuirg cij zwischrn belie11igt.n StS(lte11 i tuicl j grgvben ist. -4uf diese Xufg'tlje cler In H a n d l ~ i ~ l g s r e i s e ~ ~ c l e ~ ~ ISPJt sivh irisbcsondcre ciie Aufgabe der Be,lielinrig von m paralle!en gieichartigen Geriiren ~ i i i t 3Iinilliiernrlg cler Gesan~tiunbanzeit zuriickfiihren.

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jci: - ~ ! l n b a ~ ~ z ~ . i t rines bei i~bigen Grriires von der i-re11 Forderung i-iufgabe) zur j-ten.) Die I<onstrulitiori tler At~s~vahlen in cler Anfgabe cler I?& H~~ntllungsreisendcn fiihrt not,- ;\-e::i.!iglr;~I/~iS'J ar;izlcg z : ~ dell voran;ieht.d;.rz his z~g:!? -ErhE!? .-iner -&.ls-,;,-a!lj, die fi:;~ ni&r - i l i r i r i t i v ;iz Zyklen besril!;i.

Der Algoriti-iin~~s wurde ange\va~idt in ei~!eni Chelniekombinat cler BSSR zllr Losung i.011 ;?ufralii.ii i1t.r opeia:iv,21; Ka!i::ii!cr~:la:i:~~ig ~!e r -Xr!xit pa,ralle!sr tec!;rio!oeischer L i ~ i i e i ~ , cbenso iir (:int.lii Rui~ukoi~ljina: f i i r die Ldsu:lg c1i.r ; l u f g ~ b e der Optiii;irriiiig dcr 3Iarscllro11ten von B e t o n i i i i s c . h a n l u ~ .

Optimierung dtrr Albeit von Rechnerkol l~plesei~: Sei eine Xenge yon n. Aufpberi , die auf e i n e ~ n iuis ,n x,ersc.hietlenen EDVA 1,estehendcn R e c l ~ l i e r k o l ~ ~ p l e r zu losen &id, ge- ~.cI ien: D ~ L jjrtle E D V A ~ i i i t verschierle~rer Recherrzeit unil EffektivitSt die einzelnrn Auf- gitl~enklassen lost, viirtl ( l i t : QnxlitSt rlrr KDL'A t l u r ~ l i emc; M i ~ t r ~ s ( t i j )n l ,n charal ; tc~r~s~ert , \vo.bei tij tlie Rec:henzeit cler Aufgabtr :j auf cler i-ten EDVA angibt ; auliardeli~ sei til = 0, wrnn c!ir EDVA i nicht greipnet ist , die - 4 u f p b e j mi l i j s e ~ E s sirlcl n u n (lie GroRvn xi! SO

zu lwstillillien, cii~R .cij = i , we1111 die i-i.e EDVX (lie Xilfgelie J' lbst, jsonst xi? = 0 ) un te r clan B e ( l i n g ~ r i g t ~ n

Znr Aufgalw clcr Mini~liierunq vori (3.6) unter den Betlingungen (3.4)-(3.5) fiihrt eine ganze Reille von &Iinilnns--Anfgxl~c~~: Qu~~rtalsn1iiI3ige ,%ufgnbetlverteilun~ ~ u i t Jlinimie- i'iirig des rliizsi~~inlrrl Gesar,ltu~~~l'arigs &i. -4ufg'tben I&o Quc~rtal, Xufstelliing \-On R a p - rt~t,urplbnen niit Minin~ierung tler gro13ten Procl~~litivitbtsausf~llzeiten. Arbeitskrzftever- teilung auf Fliefibiinder nsw. Alle cliese Aufgaben sirid Spezialfiille der AOS m i t lionveser Zielfunktion, und ffir illre Losung is t der spiiter dargelegte Algori thm~is iznwenclbt~r.

S 4, Losnngspolyeder der AOS

Der eben clmgelegte Algorithmus basiert auf cler teilweisen Bearbeitung cler Eclien des Polyeclers G. Es existieren aber eine ganze Reihe von AOS mit Ziel- funlitionen, die nur von den Veranclerlichen yi abhangen, d. h. die Form llaben

m

f (y) = z f i ( y i ) --min , fi(0) = 0. (4. 1) "1

Daher besteht ein Interesse an der Konstruktioll von Algorithn~en, die auf der teil\~-eisen Bearbeitung der Eckpunkte des Berei&es der VerBnderlichen y i basie-

n

ren. Betrachten wir den Operator L, der durch die Beziehungerl Yi= 7 xij, i = 1,. . . m gegeben ist. Da der Operator L linear ist, ist die Menge .$I

H={y=(y l , . . ., y,): y = L ( X ) , S E G ) (4.2)

ein Polyetier. Eine Beschreibung c i a Konstruktion der Eckeri cles Poiyeiiers H ge l~ng bisher nur fur AOS, bei denen die Ersetzbaikeit in der Beziehung 1 : 1 erfolgt, die Qualifikationswatris Q folglich eine (0,l)-Matrix ist. 7 *

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11-obei ~ ( y ' ) = { i : (i. j ) c C # ( l , 1'; Q)] und G(1. irj Q) ein U ~ ~ t e r g r : ~ p l ~ I-on G ( i ; ,J: Q) k t .

Bemeis folgt &us den ~lotu-eilrligen und hi!~rcichcndea Bedingut?gell fiit. die Exist,enz ekes Stromeu ~ ~ u f clem Netz, dc~s IT-ir aus cienl Graphen G ( I , J: Q) er- I d t e n , wenn jeciem Iinoten i GI eine niclltnegi~tive Zahi yi !An,geht) und jedem Knoten j E J eine niclltnegative Zahl bj (Eechrf) zugeodnet n-irci. Die Durchlafi- fiihigkeit,en der Bogen (i, j) seien uul~escllrdnkt. A-nch d e m Stttz on GALE [ 1 3 ] muB dun11 (4.3) erfiillt sein.

Fur clie einpr~mmetrisclle 9 0 s jl3XO8) mit D~~ciec~!;s-Qur~Iifii.:atiu~lsiliist~.ix Q1 f i i i~rel~ die Ifeding~+gen (5.3): die dna Pulj-edei; H w1qe bell. zu ~ O ~ ~ I I C ~ L ' I 1 Be- ciinguagea

I? 9% 11 11

z y i s , X b i . v = 2 > . . .; 9 1 , - Yyi= xbt. 1 = I' 1- ! ' t - 1 i - 1

Gehen wir zur C'llai.;~ktcrisie~~ul~g cle~. Ecken cles Losun~s~mlyeclers H ither. Dazu beschreibeu n-ir nun den Algoritllmus rp: 1111 k-ten Schritt n-iilllen ~ v i r eine

. . qij(il: . . . , ik) = q j j ( ~ L z x2. . . . ik- l)~S yi,JiL, . . . , i,2-L)

I\-obei die 0l)eration GI defiuiert v i rd durch h e Beziehungen 1 8 0 = 1, 1 @ i = 0; O 1 = 0: O (3 0 = 0. D ~ J . Algorithmus beenclet seine Arbeit im ,&ten Schritt, wenn Q(i,, i,, . . . : i,) die Null-Slatriu Q,, k t . Die ])is dalliu nicht fixierteu Iiomponeuten z i j und y werden gleich Null gesetzt. S a t z 4.2 [i] : E i n Trektor y = (yl. y,, . . . , IJ,,~) i s t ei~ze Ecke des Polyecler.~ H yenuu

dann, zcel2)z er nzit c l e n ~ A l g o ~ r i t k ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ y konsfruiert ist. Aus Satz 4.2 folgt, da13 nz. ! eine obere Schranke der Eckenanzahl @(A) cies Poly-

eders TP ist. 3 s zeigt siuli. dnlj dieje Sclirsike erreichliar; ist. IYir besciireiben die lilasse2Jl nller Polyeder H mit der Eigensclmft p ( H ) =m !.

D ef i n i t i o 11 4.1 : Eine il.latli:r (3 = ( q i i ) , n , , l zcird s inyzdi i~ genaznt, zoenn sie eine

i 177 (nz -1) ~ n t e r n i a i r i x Q' der Dimension n?. ) enthklt niit den Eigensrhajtea

a) zwei beliehiye ihrer Zedlen r, s schneiclen sich, d . h . es ezist,iert eine solche Spnlte jO( 1 5 jO 5 n.), so dap qrj;, = qsin = 1.

b) in jeder Spalte dieser C i , i / e r~a t r i z &' s i d g e n m z u e i KF~mpone~jitea gle-lih E i z s . S a t z 4.3 [ T I : Dus Ldsz~ny.spolyecler H einer A08 besitet die naazimale Eckewxzh.1

( in !) yennu dtcm, wenn die Qualifikutionsnmtrix Q si,nyzcld.'r ist .

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F u r clie 'i;'i-,elpriifung auf Si~~gulnri tbt einer 3Iatris Q Iiann man folgendes Briterium benutzen. Sei GQ der Gral~h, dessen I~iziclenznli~tr i~ eine Unter- matrix Q' von Q kt, die m:m erhdlt clurcll Streicl-iung aller Spalten von (3 niit mehr d s zwei Einsen: s;i;vie idler n ~ c h r f ; x ! ~ auftretenden Spalten ( e h e Spnlte ;~ ls Ger- treter in Q' belassel:). In ctiesem E:tll n-erclen wir sixgen: claB cler Graph GQ niit cler

. * ~~unii-fiIre.tinr?sj??i~t!*~x f, assozliert kt.

B e w e i s : Xotneiicligkeit : Sei cbe Matrix & singulK~*. Offensichtlich ist tler Graph: cler der Untermntris (2' der 3latris & nlit den Beclingungen a) uncl b) entspricht, -\~ollstiin&g. Hinlcingliehkeit : Sci Q' (Untcrnlatris von &) cGe Inziclenzrmttrix eines vollst5ncLigen Graphen. Daher besitzt Q' in jeder ihrer Spnlten genau zwei Elemente gleic!? 1, cl. h. Bedinglung !>) ist, erfiillt Aher imr-11 die Beclingurlg a) ist, fiir Q' erfiillt,, da sonst ein Knoten1)aar r, s des G1~:y)hen Go, nicllt durch einen Bogen rerbunclen w&~*e.

Die Klnsse ?I? 7;on AOS nlit cler masiinalen Eclienanzahl ist nuch deshnll) interessmt; wei! eillige Aufgtdicn nus rlicser Klasse sich a h iEq1uiv:~lent zur Zu-

S a t z 4.5 ['i] : wen?^ H E W ' , so ist cler Vektor y = ( ! I ! , . . . , y,,,) Ecke des Polyeders genuu dan?~, tcent2 eine Perrnutcctio~l. r= ( L ' ~ , . . . , v,,) der Zahlen 1, I , . . . , nz exi-stiert, so tzup

S n t z 4.6: W e n n HE?]^', so iut (lie dzdgabe (4.1)-(4.2) &gz~icn le~ t cler Zzcord- ~~zinqsaufqube mit tler Kostenmatrix

Unter Xus~lutzung cles Appurates der Iio~nbinatorischen Analysis (rekursive uncl erzeugende Funktionen) gelang es in [lo], genuue Fornleln fiir die Errech- m a g cler Eclrenzahl kei clen wichtigsten Klassen Ton AOS, elen EAOS uncl ZAOS zu erlmlten.

Sa t z 4.7: Die Zahl der Eckegz C I P ~ Polyerle~s HI der EAOS (Ql-Dreiecksmatriz) i s t gleich T1 -

Sei LVfl,, C!BS Polyeder cter 21C)S niit d w QnxIif~k:~tionq~nati.i-\- Q der folgenden Form

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S a t z 4.3 : Die EcXle?znnx~id ,u(H,,,) dt.? Polyeders H,, ist gleiclz

a e r TI-ird ein Losuagsalgorithi~lus cler Aufgr~be (4.1)-(1.2) clargelegt, der uuf den fiir B:;~nch- and Bound-94etl:::den unc! der d:j~:nmiuc!~en Ol)ti!~iieru~:g chi~rtdite- ristischen A n n i ~ l l ~ i i e ~ ~ Insiert. Die grundlegencle Itlee dieses dlgoritlin~us I.)estt?!lt in folgenclem :

Bezeiclincn x-ir clurcll ;S die Xenge :~l!er ?ITati.izen Q(i,: i,, . . . : i,), die erzeugt \~g?c~ t . a in Se!uitteli Jl!ggrIt!l!ngi: y : tjei :l!!e!l m&r!it!ie!i u Re~!l~!?f~!!~e!l &. p:-.: " -1 ,... " " .,--. i..- ,'-r. \ ',l.i .,,,.

i.uljl u l l s C cl ~~t,luln1llcl~uclL uc3 v cI\LuLn Y. t tr iy h tue i i deii G~iijiii G(S) &i'

zuliksige1-1 Liisungen ein in folgencier \T,'eise: Secler Mli~trjs &(i I , . , , ik) ES elk- qweche ein Knoten in G(iS'), cliiI)ei gleicllen h'latrizetl gleicclie Kno t~e t~ , Miitrken Q(i, , . . . i,) uncl Q ( i l , . . . , i, die cler Bedinguns (4.4) geriiigen, nennen wir he- nachhttrt. Die entsltrechenden Knoten verbinden wir tlurcil einen Bogen. .Den Knoten, der tier Matrix I;) entsl)ricllt, Iiennen wir Anf;~ngsknoten, den tler Null- Matrix Q,, entsl)reclienden I<noten den Endknoten. Jedeln Bogen tles C r ? ~ l ~ l l e n G(S) ist eineindeut'ig eine ~msitive Kom1)onente TJ; eines Velctors y zugeordnet. Da- iiiit ;jesclii~e;),t ;\reg iiii Gi-lii,lieii G ( S j cLiis cleili A$ilfiii-,ghl;iioteii Q iieii Endknoten Q,, eineindeutis eine Ecke y des Polyetlers H.

Jecler Bogen-Koordin:~te y i des Grnphen G ( S ) ortlneil wir clie Liinge Zi= j l (y i ) zu. Die Suche cler ol)t,imalen Losung der Aulg:~he (4.1) -(4.2) h n n d s Suche cles liiirzesten JVeges in G ( 8 ) vou & 1 1 i ~ ~ h Q,) interpretiert werclen.

Fiir die Suehe des liii~.zestet~ Weges ist es vernf~nftig: fiir jede Eclte Q ( i L , . . . ; i,) eine untere Schmnlie ctes kiirzesten lTTeges durch &(i f , . . . , i,) zu e~-r.ec!lnen und eine Auf,;;l)nltung entsprechencl der Schrnnlre c1urclizufiil1ren, inde11.1 !nit der hesten sclion gefundenen Losung verglichen wird. Fiir die Erreclmung der Scliranke ist es notwenclig, nuf den lntervallen [O. ti] der Vnrinblen y i fur nicht ~ersciin-indende Zeilen i cier M a h i s & ( i f , . . . , ill.) clie kvllkt~ve Fuiiktivn ,fi(yi) clurch (lie linenre Bpp1-osinic~tion ciyi zu ersetzen, wobei

uncl die einfache li~ieare Aufgabe der Standarclisierung niit der Nat r i s Q ( i l , . . . , i,:) zu Iosen.

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Zuni Frob l tm der o p t i m a k n Stanclarclislen~~lg

3aza~rir onTrr;\la.7biroii cTarr;japTrr::auirir (:.!OC) UO3F!IlIiaK)T r? nl)o>rarLrrunerrIrbls orrpacarrs rrapol- rroro s o a ~ i i c ~ r l a nprI sbr6ope on~~~~ra ; rbr r r~rs s r ~ ~ e k i j ~ i i n a p a ~ e ~ p o u nporrs~onrr~~hrx mnenriii. B HacTonureii cTaTbe 3 0 C $opuaarrnym~cu xaii aanam jrrcspeT~oil O ~ T I I M H ~ ~ I J I I I ~ 11 ZaeTcn IIX

~ n a c c r r f ~ ~ ~ i i a g ~ i ~ . J e ~ a n b ~ o 11 :q~ae~cn cTpyrmypa 06xac~rr ; ronj-c~ir~brs peruerurii 3 0 C l r Ira 3 ~ 0 i i ocrrose paapa6o~ai1~1 a~+eii~i~nlrr,re aaroprrT,\rLi noirclia onTrrmaLrrLrx perue~xrir. IIoria3~1nae~cn KaF; nP1I1hleHIlTb ~ T I I amopmarbi I i LUI I~>OKOM; I ~ A ~ C C ~ O,L(IlOTIIIIiILlS aaAaq on~rrarlr:3aq1rrr: Paa- ~IWeHlIe :%Uia:3ou. paanpr~r;r?arre prcypcos. paahferrrealle npo1Iano;rcTs. B L I ~ O ~ nal1h.a nrarulre, V ~ - K O J I I I B O R ~ ~ ~ ~ O ~ .

The prcble:~: cf optiine: stii~iiiirrtiiztiiio~l in industry is tilt. cbolce of optimal peraiuotcrs (.oncerning elements to be produced. 111 this paper we consider tile problem us a problem of discrete optinlization and present a classification. We specially inquire t h e structure of pern~issible points and find on this bc~se effective search algorithms for construction of solutions. Further more we den~ons tmte the application of those algorithms for a wide class of problcnis of opti:r~ization us there are for esmnple the problem of charge d i s t r i b u t i ~ : ~ , t h e problem of s tand distrib~ition of protluctio~i, t h e choicr of EL stock of ~ x x h i n e s , t!~e nl-traveling selesman problrul~.

Eingereicht bei der Rcdal:tlc>n: 3. 2 . 1 9 i G

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