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Yassine Ariba Dpt GEI - Icam, Toulouse. · asservissement Stabilit e Pr ecision Rapidit e Marges de stabilit e 5 Synth ese de correcteurs Introduction Synth ese directe Action proportionnelle

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Text of Yassine Ariba Dpt GEI - Icam, Toulouse. · asservissement Stabilit e Pr ecision Rapidit e Marges de...

  • Regulation et Asservissement

    Yassine Ariba

    Dpt GEI - Icam, Toulouse.

    version 1.0

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 1 / 131

  • Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 2 / 131

  • Sommaire

    1 Modelisation

    Exemples introductifs

    Notion de systeme

    Fonction de transfert

    Schema fonctionnel2 Reponse dun systeme

    Reponse temporelle

    Reponse frequentielle

    Resume3 LAutomatique

    Definition

    Applications

    Architecture de commande

    Notion de stabilite

    Objectif du cours

    4 Stabilite et performances dun

    asservissement

    Stabilite

    Precision

    Rapidite

    Marges de stabilite5 Synthese de correcteurs

    Introduction

    Synthese directe

    Action proportionnelle

    Action integrale

    Action derivee

    Combinaisons dactions

    Proportionnel-Integral-Derive

    (PID)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 3 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Quest ce que la modelisation ?

    Dans toutes les disciplines, letude dun processus physique/dispositif/mecanismenecessite detablir un modele :

    pour comprendre et analyser le dispositif,

    pour pouvoir predire son comportement,

    pour utiliser des outils de simulation.

    B un modele est toujours une representation approchee de la realite.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 4 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Quest ce que la modelisation ?

    Dans toutes les disciplines, letude dun processus physique/dispositif/mecanismenecessite detablir un modele :

    pour comprendre et analyser le dispositif,

    pour pouvoir predire son comportement,

    pour utiliser des outils de simulation.

    B un modele est toujours une representation approchee de la realite.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 4 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Quest ce que la modelisation ?

    Dans toutes les disciplines, letude dun processus physique/dispositif/mecanismenecessite detablir un modele :

    pour comprendre et analyser le dispositif,

    pour pouvoir predire son comportement,

    pour utiliser des outils de simulation.

    B un modele est toujours une representation approchee de la realite.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 4 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : le circuit RC

    Considerons un circuit electronique

    Appliquons la loi des mailles

    e(t) = Ri(t) + v(t) sachant que i(t) = Cdv(t)

    dt.

    Nous avons le modele :RCv(t) + v(t) = e(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 5 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : le circuit RC

    Considerons un circuit electronique

    Appliquons la loi des mailles

    e(t) = Ri(t) + v(t) sachant que i(t) = Cdv(t)

    dt.

    Nous avons le modele :RCv(t) + v(t) = e(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 5 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : le circuit RC

    Considerons un circuit electronique

    Appliquons la loi des mailles

    e(t) = Ri(t) + v(t) sachant que i(t) = Cdv(t)

    dt.

    Nous avons le modele :RCv(t) + v(t) = e(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 5 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : structure masse-ressort

    Considerons une structure mecanique

    Appliquons le principe fondamental de la dynamique

    mx(t) = f(t) + fressort(t) + famort(t).

    Nous avons le modele :

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 6 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : structure masse-ressort

    Considerons une structure mecanique

    Appliquons le principe fondamental de la dynamique

    mx(t) = f(t) + fressort(t) + famort(t).

    Nous avons le modele :

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 6 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : structure masse-ressort

    Considerons une structure mecanique

    Appliquons le principe fondamental de la dynamique

    mx(t) = f(t) + fressort(t) + famort(t).

    Nous avons le modele :

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 6 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : base mobile

    Considerons un robot a deux roues motrices independantes

    On montre que les vitesses de translation et rotation du mobile sont

    v = rr + l

    2et = r

    r l2l

    Nous avons le modele : x = v cos y = v sin

    =

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 7 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : base mobile

    Considerons un robot a deux roues motrices independantes

    On montre que les vitesses de translation et rotation du mobile sont

    v = rr + l

    2et = r

    r l2l

    Nous avons le modele : x = v cos y = v sin

    =

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 7 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : base mobile

    Considerons un robot a deux roues motrices independantes

    On montre que les vitesses de translation et rotation du mobile sont

    v = rr + l

    2et = r

    r l2l

    Nous avons le modele : x = v cos y = v sin

    =

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 7 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : echanges thermiques dans une enceinte

    Considerons les variations de temperature a linterieur dune enceinte

    La deperdition et le bilan energetique secrivent

    Ppertes = k(T Text) et P Ppertes = cdT

    dt

    Nous avons le modele :P = k(T Text) + cT

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 8 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : echanges thermiques dans une enceinte

    Considerons les variations de temperature a linterieur dune enceinte

    La deperdition et le bilan energetique secrivent

    Ppertes = k(T Text) et P Ppertes = cdT

    dt

    Nous avons le modele :P = k(T Text) + cT

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 8 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : echanges thermiques dans une enceinte

    Considerons les variations de temperature a linterieur dune enceinte

    La deperdition et le bilan energetique secrivent

    Ppertes = k(T Text) et P Ppertes = cdT

    dt

    Nous avons le modele :P = k(T Text) + cT

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 8 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : dynamique des populations

    Considerons levolution de la taille N dune population

    Premier modele :

    N(t) = N(t) N(t)

    avec

    : taux de naissances

    : taux de deces

    Second modele :

    N(t) = rN(t)

    (1

    N(t)

    K

    )avec

    r = K : nombre max dindividus

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    >

    N0

    N0

    >

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    K

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 9 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : dynamique des populations

    Considerons levolution de la taille N dune population

    Premier modele :

    N(t) = N(t) N(t)

    avec

    : taux de naissances

    : taux de deces

    Second modele :

    N(t) = rN(t)

    (1

    N(t)

    K

    )avec

    r = K : nombre max dindividus

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    >

    N0

    N0

    >

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    K

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 9 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : dynamique des populations

    Considerons levolution de la taille N dune population

    Premier modele :

    N(t) = N(t) N(t)

    avec

    : taux de naissances

    : taux de deces

    Second modele :

    N(t) = rN(t)

    (1

    N(t)

    K

    )avec

    r = K : nombre max dindividus

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    >

    N0

    N0

    >

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    K

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 9 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : dynamique des populations

    Considerons levolution de la taille N dune population

    Premier modele :

    N(t) = N(t) N(t)

    avec

    : taux de naissances

    : taux de deces

    Second modele :

    N(t) = rN(t)

    (1

    N(t)

    K

    )avec

    r = K : nombre max dindividus

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    >

    N0

    N0

    >

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    K

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 9 / 131

  • Modelisation Exemples introductifs

    Exemple : dynamique des populations

    Considerons levolution de la taille N dune population

    Premier modele :

    N(t) = N(t) N(t)

    avec

    : taux de naissances

    : taux de deces

    Second modele :

    N(t) = rN(t)

    (1

    N(t)

    K

    )avec

    r = K : nombre max dindividus

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    >

    N0

    N0

    >

    0temps t

    taill

    e po

    pula

    tion

    N(t

    )

    K

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 9 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Modeles mathematiques

    Ici, les modeles sont des equations differentielles

    RCv(t) + v(t) = e(t)

    lineaire

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t)

    lineaire

    x = v cos y = v sin

    =

    P = k(T Text) + cT

    lineaire

    N(t) = rN(t)

    (1 N(t)

    K

    )

    ? meme formalisme mathematique.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 10 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Modeles mathematiques

    Ici, les modeles sont des equations differentielles

    RCv(t) + v(t) = e(t) lineaire

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t) lineaire

    x = v cos y = v sin

    =

    P = k(T Text) + cT lineaire

    N(t) = rN(t)

    (1 N(t)

    K

    )

    ? meme formalisme mathematique.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 10 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Modeles mathematiques

    Ici, les modeles sont des equations differentielles

    RCv(t) + v(t) = e(t) lineaire

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t) lineaire

    x = v cos y = v sin

    =

    P = k(T Text) + cT lineaire

    N(t) = rN(t)

    (1 N(t)

    K

    )

    ? meme formalisme mathematique.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 10 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Approche systeme

    Lautomaticien adopte une approche generique

    lentree - u(t) - represente le signal de commande qui va agir sur le systeme.

    la sortie - y(t) - caracterise le comportement du systeme. Il est la reponse dusysteme a une excitation exterieure.

    la perturbation - d(t) - represente les signaux dentree incontroles affectant lesysteme. Il specifie les interactions avec son environnement.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 11 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Approche systeme

    Lautomaticien adopte une approche generique

    lentree - u(t) - represente le signal de commande qui va agir sur le systeme.

    la sortie - y(t) - caracterise le comportement du systeme. Il est la reponse dusysteme a une excitation exterieure.

    la perturbation - d(t) - represente les signaux dentree incontroles affectant lesysteme. Il specifie les interactions avec son environnement.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 11 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Approche systeme

    Meme formalisme pour chaque cas :

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 12 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Les systemes linaires invariants

    Dans de ce cours, on sinteresse exclusivement aux SLI

    Relation entree-sortie : u(t) y(t)

    equations differentielles lineairesa coefficients constants

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 13 / 131

  • Modelisation Notion de systeme

    Les systemes linaires invariants

    Dans de ce cours, on sinteresse exclusivement aux SLI

    Relation entree-sortie : u(t) y(t)

    equations differentielles lineairesa coefficients constants

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 13 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    La transformee de Laplace

    La transformee de Laplace (TL) dune fonction f(t) est la fonction du nombrecomplexe s :

    f(s) =

    0

    estf(t)dt

    On note : f(s) = L{f(t)

    }et f(t) = L1

    {f(s)

    }.

    Proprietes :

    Linearite : L{af(t) + bg(t)

    }= af(s) + bg(s), a et b constants.

    Derivation : L{ddtf(t)

    }= sf(s) f(0).

    Integration : L{ t

    0f()d

    }=

    1

    sf(s).

    Valeur finale : limt

    f(t) = lims0

    sf(s).

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 14 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    La transformee de Laplace

    La transformee de Laplace (TL) dune fonction f(t) est la fonction du nombrecomplexe s :

    f(s) =

    0

    estf(t)dt

    On note : f(s) = L{f(t)

    }et f(t) = L1

    {f(s)

    }.

    Proprietes :

    Linearite : L{af(t) + bg(t)

    }= af(s) + bg(s), a et b constants.

    Derivation : L{ddtf(t)

    }= sf(s) f(0).

    Integration : L{ t

    0f()d

    }=

    1

    sf(s).

    Valeur finale : limt

    f(t) = lims0

    sf(s).

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 14 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Table des transformees

    Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont definies que pour t 0.

    Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplacef(s)

    echelon 11

    s

    rampe t1

    s2

    puissance n-iemetn

    n!

    1

    sn+1

    exponentielledecroissante

    eat 1

    s+ a

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 15 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Table des transformees

    Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont definies que pour t 0.

    Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplacef(s)

    sinus sint

    s2 + 2

    cosinus costs

    s2 + 2

    decroissanceexponentielle dun

    sinus

    eat

    sin(bt)b

    (s+ a)2 + b2

    decroissanceexponentielle dun

    cosinus

    eat

    cos(bt)s+ a

    (s+ a)2 + b2

    decroissanceexponentielle dunepuissance n-ieme

    tn

    n!eat 1

    (s+ a)n+1

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 16 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    La TL permet de determiner la fonction de transfert dun systeme.

    5y(3)(t) + 2y(t) + y(t) + 4y(t) = u(t) + 2u(t)

    y L5s3y(s) + 2s2y(s) + sy(s) + 4y(s) = su(s) + 2u(s)y

    G(s) =y(s)

    u(s)=

    s+ 2

    5s3 + 2s2 + s+ 4

    Nouvelle relation entre la sortie et lentree

    y(s) = G(s)u(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 17 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    La TL permet de determiner la fonction de transfert dun systeme.

    5y(3)(t) + 2y(t) + y(t) + 4y(t) = u(t) + 2u(t)y L5s3y(s) + 2s2y(s) + sy(s) + 4y(s) = su(s) + 2u(s)y

    G(s) =y(s)

    u(s)=

    s+ 2

    5s3 + 2s2 + s+ 4

    Nouvelle relation entre la sortie et lentree

    y(s) = G(s)u(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 17 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    La TL permet de determiner la fonction de transfert dun systeme.

    5y(3)(t) + 2y(t) + y(t) + 4y(t) = u(t) + 2u(t)y L5s3y(s) + 2s2y(s) + sy(s) + 4y(s) = su(s) + 2u(s)y

    G(s) =y(s)

    u(s)=

    s+ 2

    5s3 + 2s2 + s+ 4

    Nouvelle relation entre la sortie et lentree

    y(s) = G(s)u(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 17 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    Cas general :

    any(n)(t) + + a1y(t) + a0y(t) = bmu(m)(t) + + b1u(t) + b0u(t)

    y Lansny(s) + + a1sy(s) + a0y(s) = bmsmu(s) + + b1su(s) + b0u(s)

    yFonction de transfert : G(s) =

    y(s)

    u(s)=bmsm + + b1s+ b0ansn + + a1s+ a0

    La fonction de transfert est definie comme le rapport entre la TL de la sortie surla TL de lentree, pour des conditions initiales nulles.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 18 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    Cas general :

    any(n)(t) + + a1y(t) + a0y(t) = bmu(m)(t) + + b1u(t) + b0u(t)

    y Lansny(s) + + a1sy(s) + a0y(s) = bmsmu(s) + + b1su(s) + b0u(s)

    yFonction de transfert : G(s) =

    y(s)

    u(s)=bmsm + + b1s+ b0ansn + + a1s+ a0

    La fonction de transfert est definie comme le rapport entre la TL de la sortie surla TL de lentree, pour des conditions initiales nulles.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 18 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    Cas general :

    any(n)(t) + + a1y(t) + a0y(t) = bmu(m)(t) + + b1u(t) + b0u(t)

    y Lansny(s) + + a1sy(s) + a0y(s) = bmsmu(s) + + b1su(s) + b0u(s)

    yFonction de transfert : G(s) =

    y(s)

    u(s)=bmsm + + b1s+ b0ansn + + a1s+ a0

    La fonction de transfert est definie comme le rapport entre la TL de la sortie surla TL de lentree, pour des conditions initiales nulles.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 18 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    Cas general :

    any(n)(t) + + a1y(t) + a0y(t) = bmu(m)(t) + + b1u(t) + b0u(t)

    y Lansny(s) + + a1sy(s) + a0y(s) = bmsmu(s) + + b1su(s) + b0u(s)

    yFonction de transfert : G(s) =

    y(s)

    u(s)=bmsm + + b1s+ b0ansn + + a1s+ a0

    La fonction de transfert est definie comme le rapport entre la TL de la sortie surla TL de lentree, pour des conditions initiales nulles.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 18 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    Autre exemple :

    y(t) + 4y(t) 2y(t) = 6u(t)

    y Ls2y(s) + 4sy(s) 2y(s) = 6u(s)yG(s) =

    y(s)

    u(s)=

    6

    s2 + 4s 2

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 19 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Fonctions de transfert

    Autre exemple :

    y(t) + 4y(t) 2y(t) = 6u(t)y Ls2y(s) + 4sy(s) 2y(s) = 6u(s)yG(s) =

    y(s)

    u(s)=

    6

    s2 + 4s 2

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 19 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Definitions :

    Lordre dun systeme est le degre du polynome du denominateur (n).

    Le systeme est dit strictement propre (propre), si n > m (n = m).

    Les poles sont les racines du denominateur.

    Les zeros sont les racines du numerateur.

    Exemple : systeme masse-ressort

    La relation entre la force et la position de la masse est decrite par lequation

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t).

    Sa fonction de transfert secrit

    x(s)

    f(s)=

    1

    ms2 + cs+ k.

    Cest un systeme : dordre deux ; sans zero ; les 2 poles sont solutions dems2 + cs+ k = 0.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 20 / 131

  • Modelisation Fonction de transfert

    Definitions :

    Lordre dun systeme est le degre du polynome du denominateur (n).

    Le systeme est dit strictement propre (propre), si n > m (n = m).

    Les poles sont les racines du denominateur.

    Les zeros sont les racines du numerateur.

    Exemple : systeme masse-ressort

    La relation entre la force et la position de la masse est decrite par lequation

    mx(t) + cx(t) + kx(t) = f(t).

    Sa fonction de transfert secrit

    x(s)

    f(s)=

    1

    ms2 + cs+ k.

    Cest un systeme : dordre deux ; sans zero ; les 2 poles sont solutions dems2 + cs+ k = 0.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 20 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Schema fonctionnel

    Representation graphique des systemes complexes

    Le formalisme des fonctions de transfert est tres pratique pour ce type derepresentation.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 21 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Schema fonctionnel

    Mise en serie de deux systemes

    y2(s) = G2(s)y1(s)

    = G2(s)G1(s)u1(s)

    Transfert equivalent :

    F (s) = G2(s)G1(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 22 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Schema fonctionnel

    Mise en serie de deux systemes

    y2(s) = G2(s)y1(s)

    = G2(s)G1(s)u1(s)

    Transfert equivalent :

    F (s) = G2(s)G1(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 22 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Schema fonctionnel

    Mise en parallele de deux systemes

    y(s) = y1(s) + y2(s)

    =(G1(s) +G2(s)

    )u(s)

    Transfert equivalent :

    F (s) = G1(s) +G2(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 23 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Schema fonctionnel

    Mise en parallele de deux systemes

    y(s) = y1(s) + y2(s)

    =(G1(s) +G2(s)

    )u(s)

    Transfert equivalent :

    F (s) = G1(s) +G2(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 23 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Schema fonctionnel

    Interconnexion feedback

    y(s) = G1(s)u(s)

    u(s) = e(s)G2(s)y(s)

    Transfert equivalent :

    F (s) =G1(s)

    1 +G1(s)G2(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 24 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Schema fonctionnel

    Interconnexion feedback

    y(s) = G1(s)u(s)

    u(s) = e(s)G2(s)y(s)

    Transfert equivalent :

    F (s) =G1(s)

    1 +G1(s)G2(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 24 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Exemple 1

    ++

    Transfert equivalent :

    y(s) = G3(s)(G1(s) +G2(s)

    )

    F (s)

    u(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 25 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Exemple 1

    ++

    Transfert equivalent :

    y(s) = G3(s)(G1(s) +G2(s)

    )

    F (s)

    u(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 25 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Exemple 2

    Transfert equivalent :

    y(s) = F1(s)u1(s) + F2(s)u2(s)

    avecF1(s) = G1(s) et F2(s) =

    (G2(s)G1(s)

    )G3(s)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 26 / 131

  • Modelisation Schema fonctionnel

    Exemple 2

    Transfert equivalent :

    y(s) = F1(s)u1(s) + F2(s)u2(s)

    avecF1(s) = G1(s) et F2(s) =

    (G2(s)G1(s)

    )G3(s)

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  • Reponse dun systeme

    Sommaire

    1 Modelisation

    Exemples introductifs

    Notion de systeme

    Fonction de transfert

    Schema fonctionnel2 Reponse dun systeme

    Reponse temporelle

    Reponse frequentielle

    Resume3 LAutomatique

    Definition

    Applications

    Architecture de commande

    Notion de stabilite

    Objectif du cours

    4 Stabilite et performances dun

    asservissement

    Stabilite

    Precision

    Rapidite

    Marges de stabilite5 Synthese de correcteurs

    Introduction

    Synthese directe

    Action proportionnelle

    Action integrale

    Action derivee

    Combinaisons dactions

    Proportionnel-Integral-Derive

    (PID)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 27 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Reponse temporelle

    Calcul explicite de la sortie y(t) a une entree e(t) donnee.

    Systmey(t)e(t)

    Resolution avec les fonctions de transfert :

    1 Exprimer la sortie y(s) = G(s)e(s).

    2 Effectuer une decomposition en elements simples de y(s).

    3 Appliquer la transformee de Laplace inverse (a laide de la table)

    y(s)L1 y(t)

    pour obtenir le signal dans le domaine temporel.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 28 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Reponse temporelle

    Calcul explicite de la sortie y(t) a une entree e(t) donnee.

    Systmey(t)e(t)

    Resolution avec les fonctions de transfert :

    1 Exprimer la sortie y(s) = G(s)e(s).

    2 Effectuer une decomposition en elements simples de y(s).

    3 Appliquer la transformee de Laplace inverse (a laide de la table)

    y(s)L1 y(t)

    pour obtenir le signal dans le domaine temporel.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 28 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Exemple : calculons la reponse a un echelon unite du systeme suivant

    Exprimons le signal de sortie

    y(s) =2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)e(s) =

    2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)

    1

    s

    La reponse se decompose en

    y(s) =A

    s+

    B

    s+ 1+

    C

    s+ 5

    Le calcul des coefficients donne :A = sy(s)

    s=0

    = 15

    B = (s+ 1)y(s)s=1 =

    14

    C = (s+ 5)y(s)s=5 =

    920

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 29 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Exemple : calculons la reponse a un echelon unite du systeme suivant

    Exprimons le signal de sortie

    y(s) =2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)e(s) =

    2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)

    1

    s

    La reponse se decompose en

    y(s) =A

    s+

    B

    s+ 1+

    C

    s+ 5

    Le calcul des coefficients donne :A = sy(s)

    s=0

    = 15

    B = (s+ 1)y(s)s=1 =

    14

    C = (s+ 5)y(s)s=5 =

    920

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 29 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Exemple : calculons la reponse a un echelon unite du systeme suivant

    Exprimons le signal de sortie

    y(s) =2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)e(s) =

    2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)

    1

    s

    La reponse se decompose en

    y(s) =A

    s+

    B

    s+ 1+

    C

    s+ 5

    Le calcul des coefficients donne :A = sy(s)

    s=0

    = 15

    B = (s+ 1)y(s)s=1 =

    14

    C = (s+ 5)y(s)s=5 =

    920

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 29 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Exemple : calculons la reponse a un echelon unite du systeme suivant

    Exprimons le signal de sortie

    y(s) =2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)e(s) =

    2s+ 1

    (s+ 1)(s+ 5)

    1

    s

    La reponse se decompose en

    y(s) =A

    s+

    B

    s+ 1+

    C

    s+ 5

    Le calcul des coefficients donne :A = sy(s)

    s=0

    = 15

    B = (s+ 1)y(s)s=1 =

    14

    C = (s+ 5)y(s)s=5 =

    920

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 29 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    A laide de la table, nous obtenons la reponse temporelle

    y(t) =1

    5+

    1

    4et

    9

    20e5t

    1 0 1 2 3 4 5 6

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    Time (s)

    Am

    plitu

    de

    e(t)

    y(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 30 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Caracteristiques temporelles

    Certaines caracteristiques du systeme sont releves a partir de la reponse indicielle.( reponse a un echelon)

    t

    y(t)

    y()

    5% y()

    90% y()

    10% y()

    tr5%tm tp

    D1

    y()D1tmtr5%tp

    : valeur finale: 1er dpassement: temps de monte: temps de rponse: temps du pic

    F Ces caracteristiques donnent des indices de performances.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 31 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Cas des systemes du 1er ordre

    modele canonique :

    y(s) =k

    s+ 1e(s)

    pour lequel on definit la constante de temps et k le gain statique.

    Reponse a un echelon damplitude e0 : y(t) = e0k(

    1 e1t)

    t

    y(t)

    y()= k e095% y()

    tr5%=3

    63% y()

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 32 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Cas des systemes du 1er ordre

    modele canonique :

    y(s) =k

    s+ 1e(s)

    pour lequel on definit la constante de temps et k le gain statique.

    Reponse a un echelon damplitude e0 : y(t) = e0k(

    1 e1t)

    t

    y(t)

    y()= k e095% y()

    tr5%=3

    63% y()

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 32 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Cas des systemes du 2nd ordre

    modele canonique :

    y(s) =K2n

    s2 + 2ns+ 2ne(s)

    ou lon definit le coefficient damortissement, n la pulsation propre et K le gainstatique. 3 cas pour la reponse indicielle :

    cas > 1 : regime aperiodique

    y(t) = Ke0

    [1 + p2

    p1p2ent + p1

    p2p1ent

    ]

    cas = 1 : regime critique

    y(t) = Ke0

    [1

    (1 p1t

    )ent

    ]

    cas 0 < < 1 : regime pseudo-periodique (p = n

    1 2)

    y(t) = Ke0

    [1 ent

    (cos(pt) +

    1 2

    sin(pt))]

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 33 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Cas des systemes du 2nd ordre

    modele canonique :

    y(s) =K2n

    s2 + 2ns+ 2ne(s)

    ou lon definit le coefficient damortissement, n la pulsation propre et K le gainstatique. 3 cas pour la reponse indicielle :

    cas > 1 : regime aperiodique

    y(t) = Ke0

    [1 + p2

    p1p2ent + p1

    p2p1ent

    ]

    cas = 1 : regime critique

    y(t) = Ke0

    [1

    (1 p1t

    )ent

    ]

    cas 0 < < 1 : regime pseudo-periodique (p = n

    1 2)

    y(t) = Ke0

    [1 ent

    (cos(pt) +

    1 2

    sin(pt))]

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 33 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    = 4

    Ke0=1 = 1

    Cas 1

    (ici : e0 = 1, K = 1 et n = 1)

    pas de depassement

    quand ou n , les temps dereponse et de montee

    0 5 10 15 20 25 300

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    =0.1

    =0.8Ke

    0=1

    n=1

    Cas 0 < < 1

    (ici : e0 = 1, K = 1 et n = 1)

    depassement : D1 = 100e

    12

    depassement a t =

    p

    temps de reponse : tr5% '3

    n

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 34 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    = 4

    Ke0=1 = 1

    Cas 1

    (ici : e0 = 1, K = 1 et n = 1)

    pas de depassement

    quand ou n , les temps dereponse et de montee

    0 5 10 15 20 25 300

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    =0.1

    =0.8Ke

    0=1

    n=1

    Cas 0 < < 1

    (ici : e0 = 1, K = 1 et n = 1)

    depassement : D1 = 100e

    12

    depassement a t =

    p

    temps de reponse : tr5% '3

    n

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 34 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Exemple : Soit le systeme dordre 2

    y(s) =2

    s2 + s+ 4u(s)

    Quelle est lallure de sa reponse indicielle ?

    Identifions ses parametres caracteristiques :

    n = 2 K = 0.5 = 0.25

    Nous pouvons donc conclure pour la reponse

    regime pseudo-periodique,

    valeur finale y() = 0.5,premier depassement de 44% a t = 1.62s,

    temps de reponse tr5% ' 6s.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 35 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Exemple : Soit le systeme dordre 2

    y(s) =2

    s2 + s+ 4u(s)

    Quelle est lallure de sa reponse indicielle ?

    Identifions ses parametres caracteristiques :

    n = 2 K = 0.5 = 0.25

    Nous pouvons donc conclure pour la reponse

    regime pseudo-periodique,

    valeur finale y() = 0.5,premier depassement de 44% a t = 1.62s,

    temps de reponse tr5% ' 6s.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 35 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Exemple : Soit le systeme dordre 2

    y(s) =2

    s2 + s+ 4u(s)

    Quelle est lallure de sa reponse indicielle ?

    Identifions ses parametres caracteristiques :

    n = 2 K = 0.5 = 0.25

    Nous pouvons donc conclure pour la reponse

    regime pseudo-periodique,

    valeur finale y() = 0.5,premier depassement de 44% a t = 1.62s,

    temps de reponse tr5% ' 6s.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 35 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse temporelle

    Reponse indicielle :

    0 2 4 6 8 10 120

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8Step Response

    Time (seconds)

    Am

    plitu

    de

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 36 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Reprenons le circuit RC

    Regime sinusodale : e(t) = em cos(t+ e)v(t) = vm cos(t+ v) e = eme

    je

    v = vmejv

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 37 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Reprenons le circuit RC

    Regime sinusodale : e(t) = em cos(t+ e)v(t) = vm cos(t+ v) e = eme

    je

    v = vmejv

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 37 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Pour R = 1k et C = 200F , appliquons une tension e(t) = cos(8t).

    1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t)v(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 38 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Analysons le circuit. Loi dOhm : u = Zi

    ZR = R et ZC =1

    jC

    Appliquons le pont diviseur de tension

    v =ZC

    ZC + ZRe

    La transmittance du circuit secrit donc :

    T =

    1jC

    1jC

    +R=

    1

    jRC + 1.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 39 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Analysons le circuit. Loi dOhm : u = Zi

    ZR = R et ZC =1

    jC

    Appliquons le pont diviseur de tension

    v =ZC

    ZC + ZRe

    La transmittance du circuit secrit donc :

    T =

    1jC

    1jC

    +R=

    1

    jRC + 1.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 39 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Analysons le circuit. Loi dOhm : u = Zi

    ZR = R et ZC =1

    jC

    Appliquons le pont diviseur de tension

    v =ZC

    ZC + ZRe

    La transmittance du circuit secrit donc :

    T =

    1jC

    1jC

    +R=

    1

    jRC + 1.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 39 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Tracons le diagramme de Bode de la transmittance

    30

    25

    20

    15

    10

    5

    0

    5M

    agni

    tude

    (dB

    )

    101 100 101 10290

    45

    0

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 40 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 1

    Tracons le diagramme de Bode de la transmittance

    30

    25

    20

    15

    10

    5

    0

    5M

    agni

    tude

    (dB

    )

    101 100 101 10290

    45

    0

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    = 8

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 40 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses du circuit pour = {0.8, 4, 8, 40}

    10 15 20 25 30 35 40 45

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=0.8)v(t)

    2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=4)v(t)

    3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=8)v(t)

    10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    e(t) (=40)v(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 41 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses du circuit pour = {0.8, 4, 8, 40}

    10 15 20 25 30 35 40 45

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=0.8)v(t)

    2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=4)v(t)

    3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=8)v(t)

    10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    e(t) (=40)v(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 41 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses du circuit pour = {0.8, 4, 8, 40}

    10 15 20 25 30 35 40 45

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=0.8)v(t)

    2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=4)v(t)

    3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=8)v(t)

    10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    e(t) (=40)v(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 41 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses du circuit pour = {0.8, 4, 8, 40}

    10 15 20 25 30 35 40 45

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=0.8)v(t)

    2 3 4 5 6 7 8 9 10

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=4)v(t)

    3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    e(t) (=8)v(t)

    10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    e(t) (=40)v(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 41 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    25

    20

    15

    10

    5

    0

    5M

    agni

    tude

    (dB

    )

    101

    100

    101

    102

    90

    45

    0

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    =8=4=0.8

    =40

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 42 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle : exemple introductif 2

    Oscillations forcees dun pendule

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 43 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses de la masse pour differentes oscillations du point A = {1, 6, 11, 50} (excitation moteur)

    15 20 25 30 35 40

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=1)x(t)

    10 11 12 13 14 15 164

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    temps (s)

    z(t) (=6)x(t)

    20 20.5 21 21.5 22 22.5 23

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    z(t) (=11)x(t)

    20 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=50)x(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 44 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses de la masse pour differentes oscillations du point A = {1, 6, 11, 50} (excitation moteur)

    15 20 25 30 35 40

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=1)x(t)

    10 11 12 13 14 15 164

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    temps (s)

    z(t) (=6)x(t)

    20 20.5 21 21.5 22 22.5 23

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    z(t) (=11)x(t)

    20 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=50)x(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 44 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses de la masse pour differentes oscillations du point A = {1, 6, 11, 50} (excitation moteur)

    15 20 25 30 35 40

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=1)x(t)

    10 11 12 13 14 15 164

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    temps (s)

    z(t) (=6)x(t)

    20 20.5 21 21.5 22 22.5 23

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    z(t) (=11)x(t)

    20 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=50)x(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 44 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Testons les reponses de la masse pour differentes oscillations du point A = {1, 6, 11, 50} (excitation moteur)

    15 20 25 30 35 40

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=1)x(t)

    10 11 12 13 14 15 164

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    temps (s)

    z(t) (=6)x(t)

    20 20.5 21 21.5 22 22.5 23

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    z(t) (=11)x(t)

    20 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    temps (s)

    z(t) (=50)x(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 44 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle

    Lanalyse frequentielle consiste a etudier la reponse dun systeme lineaire a des entreessinusodales.

    F(s) Y(s)U(s)u(t) = u0 sin(t) u(t) = u0 sin(t) y(t) = y0 sin(t+) y(t) = y0 sin(t+)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    entre

    sortie

    Le signal de sortie est sinusodale, de meme pulsation, damplitude differente etpresente un dephasage.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 45 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Reponse frequentielle

    Lanalyse frequentielle consiste a etudier la reponse dun systeme lineaire a des entreessinusodales.

    F(s) Y(s)U(s)u(t) = u0 sin(t) u(t) = u0 sin(t) y(t) = y0 sin(t+) y(t) = y0 sin(t+)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    entre

    sortie

    Le signal de sortie est sinusodale, de meme pulsation, damplitude differente etpresente un dephasage.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 45 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    u0

    y0

    y(t)

    u(t)T

    T

    t

    La reponse frequentielle est caracterisee par

    son amplification :y0

    u0

    son dephasage : 360t

    T

    Lamplification et le dephasage induit par le systeme dependent de la pulsation

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 46 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Exemple : considerons le systeme

    F (s) =1/2

    s+ 1

    Observons sa reponse aux 3 entrees :

    u1 = sin(0.05 t)

    u2 = sin(1.5 t)

    u3 = sin(10 t)

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    u1(t)

    y1(t)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16

    1

    0.5

    0

    0.5

    1 u2(t)

    y2(t)

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

    1

    0.5

    0

    0.5

    1 u3(t)

    y3(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 47 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Exemple : considerons le systeme

    F (s) =1/2

    s+ 1

    Observons sa reponse aux 3 entrees :

    u1 = sin(0.05 t)

    u2 = sin(1.5 t)

    u3 = sin(10 t)

    0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

    1

    0.5

    0

    0.5

    1

    u1(t)

    y1(t)

    0 2 4 6 8 10 12 14 16

    1

    0.5

    0

    0.5

    1 u2(t)

    y2(t)

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

    1

    0.5

    0

    0.5

    1 u3(t)

    y3(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 47 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    On montre que :

    lamplification = |F (j)|,

    le dephasage = argF (j).

    F (j) est obtenue en remplacant la variable de Laplace s par j.

    Reprenons lexemple precedent : F (j) =1/2

    j + 1

    pour = 0.05 rad/s : |F (j0.05)| = 0.5 et argF (j0.05) = 2.86.

    pour = 1.5 rad/s : |F (j1.5)| = 0.277 et argF (j1.5) = 56.3.

    pour = 10 rad/s : |F (j10)| = 0.05 et argF (j10) = 84.3.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 48 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    On montre que :

    lamplification = |F (j)|,

    le dephasage = argF (j).

    F (j) est obtenue en remplacant la variable de Laplace s par j.

    Reprenons lexemple precedent : F (j) =1/2

    j + 1

    pour = 0.05 rad/s : |F (j0.05)| = 0.5 et argF (j0.05) = 2.86.

    pour = 1.5 rad/s : |F (j1.5)| = 0.277 et argF (j1.5) = 56.3.

    pour = 10 rad/s : |F (j10)| = 0.05 et argF (j10) = 84.3.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 48 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    F (j) est une fonction complexe de la pulsation (soit la frequence f =

    2).

    On distingue trois representations graphiques :

    les diagrammes de Bode,

    la representation de Nyquist,

    la representation de Black-Nichols.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 49 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Representation dans le diagramme de Bode

    Representation du transfert F (j) en fonction de sur deux graphes :

    le diagramme de gain qui represente le module de F (j) en decibel |F |dB = 20log|F (j)|.

    le diagramme de phase qui represente largument de F (j) en degre ou radian.

    |F |dB

    arg(F)

    0,1 1 10 100 1000

    0,1 1 10 100 1000

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 50 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Representation dans le diagramme de Bode

    Exemple : Reponse frequentielle de F (p) =1/2

    p+ 1 representation de

    F (j) =1/2

    j + 1

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    50

    40

    30

    20

    10

    0M

    agni

    tude

    (dB

    )

    102 101 100 101 10290

    45

    0

    Pha

    se (

    deg)

    20log(0.277)

    56 deg

    =1.5

    Pour une sollicitation sinusodale de pulsation = 1.5 :

    amplification de 0.277,

    dephasage de 56 deg.Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 51 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Representation dans le diagramme de Bode

    Propriete : le diagramme dune fonction donnee est obtenu a partir de la somme destraces elementaires.

    Soit F (p) = F1(p) F2(p) F3(p),

    gain 20log|F (j)| = 20log|F1(j)|+ 20log|F2(j)|+ 20log|F3(j)|,

    phase arg(F (j)

    )= arg

    (F1(j)

    )+ arg

    (F2(j)

    )+ arg

    (F3(j)

    ).

    Methodes :

    trace asymptotique, analyse du transfert lorsque 0 et + ainsi quenquelques points particuliers,

    trace complet, a laide de logiciel de calcul numerique tel que MatlabR,

    trace experimental, solliciter le procede avec des entrees sinusodales de differentespulsation . Mesurer en sortie lamplification/attenuation et le dephasage dusignal a loscilloscope.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 52 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Representation dans le diagramme de Bode

    Propriete : le diagramme dune fonction donnee est obtenu a partir de la somme destraces elementaires.

    Soit F (p) = F1(p) F2(p) F3(p),

    gain 20log|F (j)| = 20log|F1(j)|+ 20log|F2(j)|+ 20log|F3(j)|,

    phase arg(F (j)

    )= arg

    (F1(j)

    )+ arg

    (F2(j)

    )+ arg

    (F3(j)

    ).

    Methodes :

    trace asymptotique, analyse du transfert lorsque 0 et + ainsi quenquelques points particuliers,

    trace complet, a laide de logiciel de calcul numerique tel que MatlabR,

    trace experimental, solliciter le procede avec des entrees sinusodales de differentespulsation . Mesurer en sortie lamplification/attenuation et le dephasage dusignal a loscilloscope.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 52 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Traces elementaires

    Rappel

    Soit un nombre complexe z = a+ jb.

    a0

    Im

    Re

    b z

    |z|

    z = |z|ej |z| =a2 + b2 tan() =

    b

    a

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 53 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Traces elementaires

    Terme constant : F (p) = k, (k > 0)

    Fonction de transfert complexe : F (j) = k

    |F (j)|db = 20log(k)

    = 0

    |F(j)|dB

    0+90

    -90

    20log|k|

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 54 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Traces elementaires

    Terme constant : F (p) = k, (k > 0)

    Fonction de transfert complexe : F (j) = k

    |F (j)|db = 20log(k)

    = 0

    |F(j)|dB

    0+90

    -90

    20log|k|

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 54 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Traces elementaires

    Derivateur : F (p) = p

    Fonction de transfert complexe : F (j) = j

    |F (j)|db = 20log()

    = +90

    |F(j)|dB

    0+90

    -90

    +20

    -201 10

    0.1

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 55 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Traces elementaires

    Derivateur : F (p) = p

    Fonction de transfert complexe : F (j) = j

    |F (j)|db = 20log()

    = +90

    |F(j)|dB

    0+90

    -90

    +20

    -201 10

    0.1

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 55 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Traces elementaires

    Integrateur : F (p) =1

    p

    Fonction de transfert complexe : F (j) =1

    j

    |F (j)|db = 20log()

    = arg(j 1

    ) = 90

    |F(j)|dB

    0+90

    -90

    +20

    -201

    10

    0.1

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 56 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Traces elementaires

    Integrateur : F (p) =1

    p

    Fonction de transfert complexe : F (j) =1

    j

    |F (j)|db = 20log()

    = arg(j 1

    ) = 90

    |F(j)|dB

    0+90

    -90

    +20

    -201

    10

    0.1

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 56 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Fonction du premier ordre

    F (p) =1

    1 + p

    Fonction de transfert complexe : F (j) =1

    1 + j

    Module :

    |F (j)| =1

    |1 + j|=

    1

    1 + 22

    Argument :

    arg(F (j)

    )= arg

    (1

    1 + j

    )= arg

    (1) arg

    (1 + j

    )= arctan

    1

    |F (j)|db = 20log

    (1 + 22

    ) = arctan

    ()

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 57 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Fonction du premier ordre

    Courbe de gain : Courbe de phase :

    1

    |F |db 20log(1) = 0

    1

    |F |db 20log()

    (pente a 20dB/dec)

    =1

    |F |db = 20log(

    2) w 3dB

    1

    0

    1

    2

    =1

    = arctan(1) =

    4

    |F(j)|dB

    0-45

    -90

    -3

    1/ 0

    -20db/decade

    1/

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 58 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Fonction du premier ordre

    Courbe de gain : Courbe de phase :

    1

    |F |db 20log(1) = 0

    1

    |F |db 20log()

    (pente a 20dB/dec)

    =1

    |F |db = 20log(

    2) w 3dB

    1

    0

    1

    2

    =1

    = arctan(1) =

    4

    |F(j)|dB

    0-45

    -90

    -3

    1/ 0

    -20db/decade

    1/

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 58 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Fonction du second ordre

    F (p) =1

    1 + 2np+ 1

    2np2

    Fonction de transfert complexe : F (j) =1

    (1 22n

    ) + 2 nj

    Module :

    |F (j)| =1(1 2

    2n) + 2

    nj = 1(1 2

    2n)2 + (2

    n)2

    Argument :

    arg(F (j)

    )= arg

    ((1

    2

    2n) + 2

    nj

    )= arctan

    2 n

    1 22n

    |F (j)|db = 20log

    (1 2

    2n)2 + (2

    n)2

    = arctan2 n

    1 22nY. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 59 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Fonction du second ordre

    Courbe de gain : Courbe de phase :

    n |F |db 20log(1) = 0

    n |F |db 40log( n )(pente a 40dB/dec)

    = n |F |db = 20log(2)

    n 0

    n arctan 2n =

    = n arctan 20 = 2

    |F(j)|dB

    0

    -90

    -180

    0

    -40db/decade

    n nr20log(Q)

    >0.707

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Fonction du second ordre

    Courbe de gain : Courbe de phase :

    n |F |db 20log(1) = 0

    n |F |db 40log( n )(pente a 40dB/dec)

    = n |F |db = 20log(2)

    n 0

    n arctan 2n =

    = n arctan 20 = 2

    |F(j)|dB

    0

    -90

    -180

    0

    -40db/decade

    n nr20log(Q)

    >0.707

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Exemple

    Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (p) =20(10p+1)

    (100p+1)(p+1)

    Fonction de transfert : 20

    25

    25.5

    26

    26.5

    27

    27.5

    Mag

    nitu

    de (

    dB)

    100 1011

    0.5

    0

    0.5

    1

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    Fonction de transfert : 1100p+1

    40

    30

    20

    10

    0

    Mag

    nitu

    de (

    dB)

    104 103 102 101 10090

    45

    0

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    =0.01

    Fonction de transfert : 10p+ 1

    0

    10

    20

    30

    40

    Mag

    nitu

    de (

    dB)

    103 102 101 100 1010

    45

    90

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    =0.1

    Fonction de transfert : 1p+1

    40

    30

    20

    10

    0

    Mag

    nitu

    de (

    dB)

    102 101 100 101 10290

    45

    0

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    =1

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 61 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Exemple

    Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (p) =20(10p+1)

    (100p+1)(p+1)

    Somme des traces

    40

    30

    20

    10

    0

    10

    20

    30

    Mag

    nitu

    de (

    dB)

    104 103 102 101 100 101 10290

    45

    0

    Pha

    se (

    deg)

    Bode Diagram

    Frequency (rad/sec)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 61 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Representation de Nyquist

    Representation graphique du transfert F (j) dans le plan complexe.

    F (j) = Re[F (j)

    ]+ j Im

    [F (j)

    ]

    La courbe est parametree par la pulsation et doit etre orientee suivant le sens des croissants.

    Im

    Re

    F(j)

    Re[F(j)]

    Im[F(j)]

    =0

    =

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 62 / 131

  • Reponse dun systeme Reponse frequentielle

    Representation de Black-Nichols

    Representation graphique du gain par rapport au dephasage.

    En abscisses, le dephasage en degre : arg[F (j)

    ]En ordonnees, le gain en dB : 20 log

    F (j)La courbe est parametree par la pulsation et doit etre orientee suivant le sens des croissants.

    20 log |F(j)|

    =0

    =

    ()

    -180 -90

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 63 / 131

  • Reponse dun systeme Resume

    Resume

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 64 / 131

  • LAutomatique

    Sommaire

    1 Modelisation

    Exemples introductifs

    Notion de systeme

    Fonction de transfert

    Schema fonctionnel2 Reponse dun systeme

    Reponse temporelle

    Reponse frequentielle

    Resume3 LAutomatique

    Definition

    Applications

    Architecture de commande

    Notion de stabilite

    Objectif du cours

    4 Stabilite et performances dun

    asservissement

    Stabilite

    Precision

    Rapidite

    Marges de stabilite5 Synthese de correcteurs

    Introduction

    Synthese directe

    Action proportionnelle

    Action integrale

    Action derivee

    Combinaisons dactions

    Proportionnel-Integral-Derive

    (PID)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 65 / 131

  • LAutomatique Definition

    LAutomatique ou la Theorie de la Commande

    Discipline traitant de la modelisation, lanalyse et la commande des systemesdynamiques. Elle a pour objectif letude et la conception de dispositifsfonctionnant sans intervention humaine.

    Apres les phases :

    de modelisation,

    danalyse (etude du comportementale : temporelle et frequentielle),

    la question que se pose lautomaticien :

    comment agir sur le signal dentree u(t) pourcontroler le signal de sortie y(t) ?

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 66 / 131

  • LAutomatique Definition

    LAutomatique ou la Theorie de la Commande

    Discipline traitant de la modelisation, lanalyse et la commande des systemesdynamiques. Elle a pour objectif letude et la conception de dispositifsfonctionnant sans intervention humaine.

    Apres les phases :

    de modelisation,

    danalyse (etude du comportementale : temporelle et frequentielle),

    la question que se pose lautomaticien :

    comment agir sur le signal dentree u(t) pourcontroler le signal de sortie y(t) ?

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 66 / 131

  • LAutomatique Definition

    LAutomatique ou la Theorie de la Commande

    Discipline traitant de la modelisation, lanalyse et la commande des systemesdynamiques. Elle a pour objectif letude et la conception de dispositifsfonctionnant sans intervention humaine.

    Apres les phases :

    de modelisation,

    danalyse (etude du comportementale : temporelle et frequentielle),

    la question que se pose lautomaticien :

    comment agir sur le signal dentree u(t) pourcontroler le signal de sortie y(t) ?

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 66 / 131

  • LAutomatique Applications

    Application thermodynamique

    Regulation de temperature

    Entree : alimentation resistance u(t).

    Sortie : temperature de lenceinte (t).

    Perturbations : echange calorifique avec le milieu ambiant air(t),introduction dobjets.

    u(t)

    (t)

    R Capteur de temprature

    air(t)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 67 / 131

  • LAutomatique Applications

    Application spatiale

    Systeme de controle dattitude et dorbite

    Controle de lorientation dun satellite pour le pointage.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 68 / 131

  • LAutomatique Applications

    Application spatiale

    Systeme de controle dattitude et dorbite

    Controle de lorientation dun satellite pour le pointage.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 68 / 131

  • LAutomatique Applications

    Application robotique

    Asservissement en vitesse et en position dun robot mobile

    Commande des moteurs pour le suivi de trajectoire.

    Base mobile iRobot R

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 69 / 131

  • LAutomatique Applications

    Application robotique

    Asservissement en vitesse et en position dun robot mobile

    Commande des moteurs pour le suivi de trajectoire.

    Base mobile iRobot R

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 69 / 131

  • LAutomatique Applications

    Application thermodynamique

    Pilotage dun turboreacteur

    Commande de linjection de carburant pour le controle de la poussee, la pression,la temperature...

    ADMISSION CHAPPEMENT

    Entre d'air Chambres de combustion

    Section froide Section chaude

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 70 / 131

  • LAutomatique Applications

    Application thermodynamique

    Pilotage dun turboreacteur

    Commande de linjection de carburant pour le controle de la poussee, la pression,la temperature...

    ADMISSION CHAPPEMENT

    Entre d'air Chambres de combustion

    Section froide Section chaude

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 70 / 131

  • LAutomatique Applications

    Exemple academique : le pendule.

    Langle dinclinaison est regi par lequation :(modele simpliste)

    l x cos = g sin

    ? Objectif : stabiliser la position verticale haute.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 71 / 131

  • LAutomatique Applications

    Exemple academique : le pendule.

    Langle dinclinaison est regi par lequation :(modele simpliste)

    l x cos = g sin

    ? Objectif : stabiliser la position verticale haute.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 71 / 131

  • LAutomatique Applications

    Exemple academique : le pendule.

    Langle dinclinaison est regi par lequation :(modele simpliste)

    l x cos = g sin

    ? Objectif : stabiliser la position verticale haute.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 71 / 131

  • LAutomatique Applications

    Exemple academique : le pendule.

    Langle dinclinaison est regi par lequation :(modele simpliste)

    l x cos = g sin

    ? Objectif : stabiliser la position verticale haute.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 71 / 131

  • LAutomatique Applications

    c Quanser

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 72 / 131

  • LAutomatique Applications

    c Quanser

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 73 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Architecture de commande

    Comment agir sur u(t) pour controler y(t) ?

    1iere approche naturelle : commande en boucle ouverte

    yc(t) est la consigne pour y(t),

    necessite une parfaite connaissance du modele,

    le systeme et son environnement doivent etre previsibles,

    ne permet pas de compenser des perturbations non-connues,

    la loi de commande est independante de levolution du systeme.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 74 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Architecture de commande

    Comment agir sur u(t) pour controler y(t) ?

    1iere approche naturelle : commande en boucle ouverte

    yc(t) est la consigne pour y(t),

    necessite une parfaite connaissance du modele,

    le systeme et son environnement doivent etre previsibles,

    ne permet pas de compenser des perturbations non-connues,

    la loi de commande est independante de levolution du systeme.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 74 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Architecture de commande

    Comment agir sur u(t) pour controler y(t) ?

    1iere approche naturelle : commande en boucle ouverte

    yc(t) est la consigne pour y(t),

    necessite une parfaite connaissance du modele,

    le systeme et son environnement doivent etre previsibles,

    ne permet pas de compenser des perturbations non-connues,

    la loi de commande est independante de levolution du systeme.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 74 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Architecture de commande

    Principe fondamental en Automatique : la commande en boucle fermee

    principe de contre-reaction

    yc(t) est la consigne pour y(t),

    la sortie du systeme est mesuree,

    necessite la mise en place dun capteur,

    la loi de commande reagit a levolution du systeme,

    principe dasservissement du systeme.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 75 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Architecture de commande

    Principe fondamental en Automatique : la commande en boucle fermee

    principe de contre-reaction

    yc(t) est la consigne pour y(t),

    la sortie du systeme est mesuree,

    necessite la mise en place dun capteur,

    la loi de commande reagit a levolution du systeme,

    principe dasservissement du systeme.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 75 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Structure classique dun asservissement

    Systme(physique)

    Signal de CommandeConsigne Sortie relle

    CapteurSortie

    mesure

    +

    -

    Erreurd'asservissement Contrleur

    loi de commande

    Systme de commande

    Perturbations

    En bleu : le systeme physique / dispositif / procede a commander.

    Cadre rouge : systeme de commande, realise par lingenieur.

    Le systeme de commande est mis en oeuvre par une carte electronique.

    Attention a differencier le systeme de commande et le systeme commande.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 76 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Structure classique dun asservissement

    Exemple.

    Position(angle)

    Systme

    Commande du moteur

    Soit un systeme a commander : un bras manipulateur.

    Un capteur permet de mesurer la position du bras.

    La position mesuree est comparee a une position de reference.

    Un controleur genere la commande pour corriger lerreur dasservissement.

    Letage de puissance permet dadapter le signal de commande a la puissancede fonctionnement du moteur.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 77 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Structure classique dun asservissement

    Exemple.

    Position(angle)

    Systme

    Commande du moteur

    tension reprsentative de la position

    mesure capteurpotentiomtre

    +-

    u

    Soit un systeme a commander : un bras manipulateur.

    Un capteur permet de mesurer la position du bras.

    La position mesuree est comparee a une position de reference.

    Un controleur genere la commande pour corriger lerreur dasservissement.

    Letage de puissance permet dadapter le signal de commande a la puissancede fonctionnement du moteur.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 77 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Structure classique dun asservissement

    Exemple.

    tension reprsentative de la position

    souhaite Position(angle)+

    -

    Systme

    Commande du moteur

    tension reprsentative de la position

    mesure capteurpotentiomtre

    +-

    u

    Soit un systeme a commander : un bras manipulateur.

    Un capteur permet de mesurer la position du bras.

    La position mesuree est comparee a une position de reference.

    Un controleur genere la commande pour corriger lerreur dasservissement.

    Letage de puissance permet dadapter le signal de commande a la puissancede fonctionnement du moteur.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 77 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Structure classique dun asservissement

    Exemple.

    tension reprsentative de la position

    souhaite Position(angle)+

    -

    Systme

    Commande du moteur

    tension reprsentative de la position

    mesure

    Contrleur

    capteurpotentiomtre

    +-

    u

    Soit un systeme a commander : un bras manipulateur.

    Un capteur permet de mesurer la position du bras.

    La position mesuree est comparee a une position de reference.

    Un controleur genere la commande pour corriger lerreur dasservissement.

    Letage de puissance permet dadapter le signal de commande a la puissancede fonctionnement du moteur.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 77 / 131

  • LAutomatique Architecture de commande

    Structure classique dun asservissement

    Exemple.

    tension reprsentative de la position

    souhaite Position(angle)+

    -

    Systme

    Commande du moteur

    tension reprsentative de la position

    mesure

    Contrleur

    Etage depuissance

    capteurpotentiomtre

    +-

    u

    Soit un systeme a commander : un bras manipulateur.

    Un capteur permet de mesurer la position du bras.

    La position mesuree est comparee a une position de reference.

    Un controleur genere la commande pour corriger lerreur dasservissement.

    Letage de puissance permet dadapter le signal de commande a la puissancede fonctionnement du moteur.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 77 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Notion de stabilite

    Considerons le systeme de fonction de transfert

    y(s)

    u(s)=

    1

    s+ a.

    Sa reponse temporelle a un echelon unite est

    y(t) =1

    a

    (1 eat

    ).

    cas a > 0

    0 1 2 3 4 5 60

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme eat tend vers 0

    cas a < 0

    0 1 2 3 4 5 60

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme eat tend vers +

    Propriete de stabilite

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 78 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Notion de stabilite

    Considerons le systeme de fonction de transfert

    y(s)

    u(s)=

    1

    s+ a.

    Sa reponse temporelle a un echelon unite est

    y(t) =1

    a

    (1 eat

    ).

    cas a > 0

    0 1 2 3 4 5 60

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme eat tend vers 0

    cas a < 0

    0 1 2 3 4 5 60

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme eat tend vers +

    Propriete de stabilite

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 78 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Autre exemple, considerons le systeme de fonction de transfert

    y(s)

    u(s)=

    1

    s2 + as+ 1, |a| < 2.

    Sa reponse temporelle a un echelon unite est

    y(t) = 1 ea2t(

    cos0t +a/2

    0sin0t

    ), 0 =

    1

    a2

    4.

    cas 0 < a < 2

    0 5 10 15 20 25 30 350

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme ea2t tend vers 0

    cas 2 < a < 0

    0 5 10 15 20 25 30 35800

    600

    400

    200

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme ea2t tend vers +

    Propriete de stabilite

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 79 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Autre exemple, considerons le systeme de fonction de transfert

    y(s)

    u(s)=

    1

    s2 + as+ 1, |a| < 2.

    Sa reponse temporelle a un echelon unite est

    y(t) = 1 ea2t(

    cos0t +a/2

    0sin0t

    ), 0 =

    1

    a2

    4.

    cas 0 < a < 2

    0 5 10 15 20 25 30 350

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme ea2t tend vers 0

    cas 2 < a < 0

    0 5 10 15 20 25 30 35800

    600

    400

    200

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    Time (sec)

    Am

    plitu

    de y

    (t)

    le terme ea2t tend vers +

    Propriete de stabilite

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 79 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Definition

    Un systeme est dit stable si pour toute entree bornee la sortie est bornee.

    Theoreme

    Un systeme de fonction de transfert F (s) est stable si et seulement si tous les poles deF (s) sont a partie reelle negative, cest-a-dire quils appartiennent au demi-plan gauchedu plan complexe.

    Exemples

    1

    s 2

    Instable

    4

    s+ 0.5

    Stable

    3

    (s+ 1)(s+ 3)

    Stable

    1

    s(5s+ 1)

    Instable

    10

    s2 + 2s+ 2

    Stable

    2s 1(s+ 1)(s+ 2)(s 6)

    Instable

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 80 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Definition

    Un systeme est dit stable si pour toute entree bornee la sortie est bornee.

    Theoreme

    Un systeme de fonction de transfert F (s) est stable si et seulement si tous les poles deF (s) sont a partie reelle negative, cest-a-dire quils appartiennent au demi-plan gauchedu plan complexe.

    Exemples

    1

    s 2

    Instable

    4

    s+ 0.5

    Stable

    3

    (s+ 1)(s+ 3)

    Stable

    1

    s(5s+ 1)

    Instable

    10

    s2 + 2s+ 2

    Stable

    2s 1(s+ 1)(s+ 2)(s 6)

    Instable

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 80 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Definition

    Un systeme est dit stable si pour toute entree bornee la sortie est bornee.

    Theoreme

    Un systeme de fonction de transfert F (s) est stable si et seulement si tous les poles deF (s) sont a partie reelle negative, cest-a-dire quils appartiennent au demi-plan gauchedu plan complexe.

    Exemples

    1

    s 2 Instable

    4

    s+ 0.5 Stable

    3

    (s+ 1)(s+ 3) Stable

    1

    s(5s+ 1) Instable

    10

    s2 + 2s+ 2 Stable

    2s 1(s+ 1)(s+ 2)(s 6)

    Instable

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 80 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Analyse de la stabilite entree-sortie

    Comment analyser la stabilite dun systeme dentree u(s) et de sortie y(s) ?

    y(s)

    u(s)= G(s) =

    bmsm + + b1s+ b0

    ansn + + a1s+ a0

    Methodes :

    Calcul direct des poles trouver les racines de lequation caracteristique

    ansn

    + + a1s+ a0 = 0.

    Si elles sont toutes a partie reelle negative alors le systeme est stable.

    Critere algebrique de Routh.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 81 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Analyse de la stabilite entree-sortie

    Comment analyser la stabilite dun systeme dentree u(s) et de sortie y(s) ?

    y(s)

    u(s)= G(s) =

    bmsm + + b1s+ b0

    ansn + + a1s+ a0

    Methodes :

    Calcul direct des poles trouver les racines de lequation caracteristique

    ansn

    + + a1s+ a0 = 0.

    Si elles sont toutes a partie reelle negative alors le systeme est stable.

    Critere algebrique de Routh.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 81 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Critere de Routh

    Construction dun tableau a partir des coefficients du polynome caracteristique

    D(s) = ansn

    + + a1s+ a0

    Procedure :

    1 Condition necessaire : tous les coeff. ai doivent etre strictement de meme signe.

    2 Construction du tableau

    pn an an2 an4 . . .

    pn1 an1 an3 an5 . . .

    pn2 b1 b2 b3 . . .

    pn3 c1 c2 . . .

    .

    .

    ....

    .

    .

    ....

    p0

    avec

    b1 = 1

    an1

    an an2an1 an3 b2 = 1

    an1

    an an4an1 an5 b3 = 1

    an1

    an an6an1 an7

    c1 = 1

    b1

    an1 an3b1 b2 c2 = 1

    b1

    an1 an5b1 b3

    3 Le systeme est stable ssi tous les coefficients de la 1ere colonne sont de meme signe.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 82 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Critere de Routh

    Construction dun tableau a partir des coefficients du polynome caracteristique

    D(s) = ansn

    + + a1s+ a0

    Procedure :

    1 Condition necessaire : tous les coeff. ai doivent etre strictement de meme signe.

    2 Construction du tableau

    pn an an2 an4 . . .

    pn1 an1 an3 an5 . . .

    pn2 b1 b2 b3 . . .

    pn3 c1 c2 . . .

    .

    .

    ....

    .

    .

    ....

    p0

    avec

    b1 = 1

    an1

    an an2an1 an3 b2 = 1

    an1

    an an4an1 an5 b3 = 1

    an1

    an an6an1 an7

    c1 = 1

    b1

    an1 an3b1 b2 c2 = 1

    b1

    an1 an5b1 b3

    3 Le systeme est stable ssi tous les coefficients de la 1ere colonne sont de meme signe.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 82 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Critere de Routh

    Construction dun tableau a partir des coefficients du polynome caracteristique

    D(s) = ansn

    + + a1s+ a0

    Procedure :

    1 Condition necessaire : tous les coeff. ai doivent etre strictement de meme signe.

    2 Construction du tableau

    pn an an2 an4 . . .

    pn1 an1 an3 an5 . . .

    pn2 b1 b2 b3 . . .

    pn3 c1 c2 . . .

    .

    .

    ....

    .

    .

    ....

    p0

    avec

    b1 = 1

    an1

    an an2an1 an3 b2 = 1

    an1

    an an4an1 an5 b3 = 1

    an1

    an an6an1 an7

    c1 = 1

    b1

    an1 an3b1 b2 c2 = 1

    b1

    an1 an5b1 b3

    3 Le systeme est stable ssi tous les coefficients de la 1ere colonne sont de meme signe.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 82 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Critere de Routh

    Construction dun tableau a partir des coefficients du polynome caracteristique

    D(s) = ansn

    + + a1s+ a0

    Procedure :

    1 Condition necessaire : tous les coeff. ai doivent etre strictement de meme signe.

    2 Construction du tableau

    pn an an2 an4 . . .

    pn1 an1 an3 an5 . . .

    pn2 b1 b2 b3 . . .

    pn3 c1 c2 . . .

    .

    .

    ....

    .

    .

    ....

    p0

    avec

    b1 = 1

    an1

    an an2an1 an3 b2 = 1

    an1

    an an4an1 an5 b3 = 1

    an1

    an an6an1 an7

    c1 = 1

    b1

    an1 an3b1 b2 c2 = 1

    b1

    an1 an5b1 b3

    3 Le systeme est stable ssi tous les coefficients de la 1ere colonne sont de meme signe.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 82 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Critere de Routh

    Construction dun tableau a partir des coefficients du polynome caracteristique

    D(s) = ansn

    + + a1s+ a0

    Procedure :

    1 Condition necessaire : tous les coeff. ai doivent etre strictement de meme signe.

    2 Construction du tableau

    pn an an2 an4 . . .

    pn1 an1 an3 an5 . . .

    pn2 b1 b2 b3 . . .

    pn3 c1 c2 . . .

    .

    .

    ....

    .

    .

    ....

    p0

    avec

    b1 = 1

    an1

    an an2an1 an3 b2 = 1

    an1

    an an4an1 an5 b3 = 1

    an1

    an an6an1 an7

    c1 = 1

    b1

    an1 an3b1 b2 c2 = 1

    b1

    an1 an5b1 b3

    3 Le systeme est stable ssi tous les coefficients de la 1ere colonne sont de meme signe.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 82 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Exemple 1 :

    Soit la fonction de transfert F (s) =s+ 4

    s4 + s3 + 4s2 + 2s+ 1, stable ?

    s4 1 4 1 0

    s3 1 2 0 0

    s2 2 1 0

    s1 32 0

    s0 1

    b1 = 11 (2 4) = 2

    b2 = 11 (0 1) = 1

    c1 = 12 (1 4) =32

    c2 = 0

    = 23 (032 ) = 1

    Systeme stable.

    Exemple 2 :

    Soit la fonction de transfert F (s) =7

    3s3 + s2 + 2s+ 4, stable ?

    s3 3 2 0

    s2 1 4 0

    s1 10 0s0 4

    b1 = 11 (12 2) = 10

    = 110 (0 + 40) = 4

    Systeme instable.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 83 / 131

  • LAutomatique Notion de stabilite

    Exemple 1 :

    Soit la fonction de transfert F (s) =s+ 4

    s4 + s3 + 4s2 + 2s+ 1, stable ?

    s4 1 4 1 0

    s3 1 2 0 0

    s2 2 1 0

    s1 32 0

    s0 1

    b1 = 11 (2 4) = 2

    b2 = 11 (0 1) = 1

    c1 = 12 (1 4) =32

    c2 = 0

    = 23 (032 ) = 1

    Systeme stable.

    Exemple 2 :

    Soit la fonction de transfert F (s) =7

    3s3 + s2 + 2s+ 4, stable ?

    s3 3 2 0

    s2 1 4 0

    s1 10 0s0 4

    b1 = 11 (12 2) = 10

    = 110 (0 + 40) = 4

    Systeme instable.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 83 / 131

  • LAutomatique Objectif du cours

    Cadre de travail

    Ce cours est dedie aux systemes continus lineaires invariants.

    Il sagit dune classe de modeles particuliere liantlentree u(t) et la sortie y(t).

    Tres utilisee car bien connue.

    Systme

    (ou processus)

    y(t)u(t)

    d(t)

    Continuite : les signaux evoluent continument (ou presque) avec le temps,

    x(t) R avec t R+.

    Linearite : le systeme verifie les principes de superposition et dhomogeneite :u(t) = u1(t) + u2(t)

    Systeme y(t) = y1(t) + y2(t),

    R, u(t)Systeme y(t).

    Invariance : le systeme est invariant lorsque

    R, u(t)Systeme y(t) u(t )

    Systeme y(t ).

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 84 / 131

  • LAutomatique Objectif du cours

    Cadre de travail

    Ce cours est dedie aux systemes continus lineaires invariants.

    Il sagit dune classe de modeles particuliere liantlentree u(t) et la sortie y(t).

    Tres utilisee car bien connue.

    Systme

    (ou processus)

    y(t)u(t)

    d(t)

    Continuite : les signaux evoluent continument (ou presque) avec le temps,

    x(t) R avec t R+.

    Linearite : le systeme verifie les principes de superposition et dhomogeneite :u(t) = u1(t) + u2(t)

    Systeme y(t) = y1(t) + y2(t),

    R, u(t)Systeme y(t).

    Invariance : le systeme est invariant lorsque

    R, u(t)Systeme y(t) u(t )

    Systeme y(t ).

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 84 / 131

  • LAutomatique Objectif du cours

    Quelques remarques :

    Attention a ne pas confondre avec lAutomatisme ou linformatiqueindustrielle.

    Composante Mathematiques appliquees importante.

    Pluridisciplinaire par ses applications.

    LAutomatique est une science cachee ?

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 85 / 131

  • Stabilite et performances dun asservissement

    Sommaire

    1 Modelisation

    Exemples introductifs

    Notion de systeme

    Fonction de transfert

    Schema fonctionnel2 Reponse dun systeme

    Reponse temporelle

    Reponse frequentielle

    Resume3 LAutomatique

    Definition

    Applications

    Architecture de commande

    Notion de stabilite

    Objectif du cours

    4 Stabilite et performances dun

    asservissement

    Stabilite

    Precision

    Rapidite

    Marges de stabilite5 Synthese de correcteurs

    Introduction

    Synthese directe

    Action proportionnelle

    Action integrale

    Action derivee

    Combinaisons dactions

    Proportionnel-Integral-Derive

    (PID)

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 86 / 131

  • Stabilite et performances dun asservissement Stabilite

    Stabilite dun asservissement

    Comment analyser la stabilite dun systeme asservi ?

    Methodes :

    Ecrire la fonction de transfert globale equivalente T (s) =C(s)G(s)

    1 + C(s)G(s),

    Appliquer lune des deux methodes vues precedemment.

    Critere du revers (critere graphique).

    Si le systeme en boucle ouverte est stable et a minimum dephase (poles et zeros a partie reelle strictement negative) alors lesysteme asservi est stable si et seulement si le point critique

    (1 , 0) est laisse a gauche quand on parcourt le lieu detransfert de la boucle ouverte dans le plan de Nyquist dans lesens des croissants.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 87 / 131

  • Stabilite et performances dun asservissement Stabilite

    Stabilite dun asservissement

    Comment analyser la stabilite dun systeme asservi ?

    Methodes :

    Ecrire la fonction de transfert globale equivalente T (s) =C(s)G(s)

    1 + C(s)G(s),

    Appliquer lune des deux methodes vues precedemment.

    Critere du revers (critere graphique).

    Si le systeme en boucle ouverte est stable et a minimum dephase (poles et zeros a partie reelle strictement negative) alors lesysteme asservi est stable si et seulement si le point critique

    (1 , 0) est laisse a gauche quand on parcourt le lieu detransfert de la boucle ouverte dans le plan de Nyquist dans lesens des croissants.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 87 / 131

  • Stabilite et performances dun asservissement Stabilite

    Exemple 1 :

    Les fonctions de transfert du procede et du correcteur sont de la forme

    G(s) =10

    10s2 + 18s+ 8et C(s) =

    4

    s2 + 3s+ 2.

    Tracons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s).

    1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.52

    1.5

    1

    0.5

    0

    0.5Nyquist Diagram

    Real Axis

    Imag

    inar

    y A

    xis

    le systeme en boucle fermee est stable.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 88 / 131

  • Stabilite et performances dun asservissement Stabilite

    Exemple 1 :

    Les fonctions de transfert du procede et du correcteur sont de la forme

    G(s) =10

    10s2 + 18s+ 8et C(s) =

    4

    s2 + 3s+ 2.

    Tracons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s).

    1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.52

    1.5

    1

    0.5

    0

    0.5Nyquist Diagram

    Real Axis

    Imag

    inar

    y A

    xis

    le systeme en boucle fermee est stable.

    Y. Ariba - Icam, Toulouse. Automatique Lineaire 88 / 131

  • Stabilite et performances dun asservissement Stabilite

    Exemple 1 :

    Les fonctions de transfert du procede et du correcteur sont de la forme

    G(s) =10

    10s2