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A simple example
基本想法
小波变换只对信号的低频部分做分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，
小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。
想法：对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。
想法
小波包分解：对信号高频部分的再分解
2,1, jj UU ⊕
112
+− ⊕⊕⊕= jjj WWWL小波分解：
H G
定义
( ) 11 nn ng h −= −{ }n n Z
g∈{ }n n Z
h∈
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
kk Z
kk Z
t h t k
t g t k
φ φ
ψ φ∈
∈
= −
= −
∑
∑
1/2
记号
为便于表示小波包函数，引入以下新的记号：
( ) ( )( ) ( )
0
1
::
t tt t
µ φµ ψ
= =
( ) ( )
( ) ( )
0 0
1 0
2 2
2 2
kk Z
kk Z
t h t k
t g t k
µ µ
µ µ∈
∈
= −
= −
∑
∑
定义
通过 在固定尺度下可定义一组称为小波包的函数。定义递推关系如下：
由上式递归定义的函数 ，n=0,1,2,⋯称为由正交尺度函数确定的小波包。
0 1, , ,h gµ µ
nµ
( )
( )
2
2 1
( ) 2 2
( ) 2 2
n k nk
n k nk
t h t k
t g t k
µ µ
µ µ+
= −
= −
∑
∑
性质
双尺度关系
=
=
∑
∑
∈
−
∈
−
Zk
ikk
Zk
ikk
egG
ehH
λ
λ
λ
λ
21)(
21)(
=
=
+ )2
()2
()(
)2
()2
()(
12
2
λµλλµ
λµλλµ
nn
nn
G
H
性质
平移正交性：
( ) ( ) ,, , ,n n j kt j t k j k Zµ µ δ− − = ∈
性质
与 之间具有正交性：2nµ 2 1nµ +
( ) ( )2 2 1 ,, , ,n n j kt j t k j k Zµ µ δ+− − = ∈
性质
小波包平移系构成 的一组规范正交基。
( ){ }, ,n t k n Z k Zµ +− ∈ ∈2 ( )L R
小波包的分解
小波多分辨分析中：
随着j的增大，相应小波基函数的空间局部性越好即空间分辨率越高，而其频谱的局部性变得越差即频谱分辨率越粗。
)}({,)( ,2 tspanWWRL kjjj
Zjψ==⊕
∈
0
2LU −
1
2LU −
2
2LU −
3
2LU −
0
0U 1
0U 2
0U 3
0U 2
02L
U − 1
02L
U −
0
LU0
1−LU 1
1−LU
记 }),2(2{ 2/ ZkktspanU jn
jnj ∈−= µ
0
1
,,
j j
j j
U V j ZU W j Z = ∈ = ∈
1 ,j j jV V W j Z+ = ⊕ ∈ 0 0 11 ,j j jU U U j Z+ = ⊕ ∈
2 2 11 ,n n n
j j jU U U j Z++ = ⊕ ∈
于是对每个 有1,2, ,j =
1
1
2 31 1
4 5 6 71 1 1 1
2 2 1 2 1
2 2 1 2 10 0 0
=
=
=
=
=
k k k
j j j
j j j
j j j j
j k j k j k
W U U
U U U U
U U U
U U U
+
+
− −
− − − −
+ −− − −
+ −
= ⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕
⊕ ⊕ ⊕
分解
且对给定的 以及函数系 是空间
的一组规范正交基。小波包具有划分较高频率频带的能力，可得到比较好的频率局部化。
0, , 2 1, 1, ,km k j= − =
( )22
2 2 ,k
j kj k
mt l l Zµ
−−
+
− ∈
2k mj kU +−
分解重构算法
若已知f(t)在子空间 上的小波包系数是
[ ] ( ) ( ) ( )1 / 2 11 , 2 2jn j
j nd k f t t kµ+ ++ = −
1njU +
分解重构算法
=
=
∑∑
∈+−
−+∈
+−−
Zl
njkl
nj
Zl
njkl
nj
ldgkd
ldhkd
][2][
][2][
122/112
122/12
)][][(2][ 122
22
2/11 ∑∑
∈
+−
∈−
−+ +=
Zl
njlk
Zl
njlk
nj ldgldhkd
最佳小波包基的选取
0x 1x 2x 3x 4x 5x 7x6x
0s 1s 2s 3s 0d 3d2d1dh g
h g gh
h h h hg g g g0ss 1ss 0ds 1ds 0sd 1sd 0dd 1dd
sss dss sds dds ssd dsd sdd ddd
50
20 22
11 12 13 14
1 2 3 4 5 6 7 8
50
20 22
11 12 13 14
1∗ 2∗ 3∗ 4∗ 5∗ 6∗ 7∗ 8∗
32(50)
10(20) 22∗
3(11) 7(12) 11(13) 14∗
1∗ 2∗ 3∗ 4∗ 5∗ 6∗ 7∗ 8∗
32(50)
10(20) 22∗
3(11) 7(12) 11(13) 14∗
1∗ 2∗ 3∗ 4∗ 5∗ 6∗ 7∗ 8∗
0
3U1
2U
0
0U 1
0U 2
0U 3
0U
总结
最佳基的搜索方法如下：•搜索构成最佳基的节点；•抽取离根最近的最佳基节点中的小波包系数。
如果小波包分解采用深度优先顺序，则最佳基节点的标记过程可以在计算节点中小波包系数的同时完成。
由于小波包树具有有限深度，所以以深度优先的搜索算法可在有限步终止。
A simple example
