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ANALISIS NUMERICO
Fecha convocatoria : 11 de Febrero 2002
Duraci�on del examen : 3 horas
Apellidos y Nombre del Alumno:
1. Pregunta.1. (2 puntos) Interpolar la funci�on f(x) = 10x2+1 en los puntos x0 = �2; x1 = �1;
x2 = 1; x3 = 2 utilizando las diferencias de Newton y evaluar el polinomio en x = 0 utilizando elalgoritmo de Horner. (Problema id�entico al apartado 1 de la pregunta 5 de los problemas de clase)
�2! 2
3
-1 ! 5 -1
0 0
1 ! 5 -1
-3
2 ! 2
P (x) = 2 + 3(x+ 2)� 1(x+ 2)(x+ 1) + 0(x+ 2)(x+ 1)(x� 1) = (�1(x+ 1) + 3)(x+ 2) + 2
P (0) = (�1(0 + 1) + 3)(0 + 2) + 2 = 6
Nota: Quitar par�entesis en P(x) y aplicar Horner sobre el polinomio resultante no es lo que pideel problema y por lo tanto est�a mal
2. Pregunta.2. (2 puntos)Se considera para el intervalo [�1; 1]; los puntos x0 = �0:5; x1 = 0 yx2 = 0:5 y los pesos w0 = w1 = w2 = 2=3: Estos puntos y estos pesos se utilizan para aproximar laintegral de una funci�on en [�1; 1]: Usar esta f�ormula de integraci�on para calcular n�umericamentela siguiente integral y compararla con el resultado an�alitico (exacto).
Anal�iticamente ->R 10
R x0xydydx =
R 10
x3
2 dx = 18
Num�ericamente : Llamando F (x; y) = xy tenemosR 10
R x
0 F (x; y)dydx =R 1�1
R t+1
2
0 F ( t+12 ; y) 12dydt =R 1�1
R 1�1 F (
t+12 ; (t+1)(z+1)4 ) 12
t+14 dzdt =
w0
R 1�1
F (x0+12 ; (x0+1)(z+1)4 ) 12x0+14 dz+w1
R 1�1
F (x1+12 ; (x1+1)(z+1)4 ) 12x1+14 dz+w2
R 1�1
F (x2+12 ; (x2+1)(z+1)4 ) 12x2+14 dz =
w0
�w0F (
x0+12 ; (x0+1)(x0+1)4 ) 12
x0+14 + w1F (
x0+12 ; (x0+1)(x1+1)4 ) 12
x0+14 + w2F (
x0+12 ; (x0+1)(x2+1)4 ) 12
x0+14
�+
w1
�w0F (
x1+12 ; (x1+1)(x0+1)4 ) 12
x1+14 + w1F (
x1+12 ; (x1+1)(x1+1)4 ) 12
x1+14 + w2F (
x1+12 ; (x1+1)(x2+1)4 ) 12
x1+14
�+
w2
�w0F (
x2+12 ; (x2+1)(x0+1)4 ) 12
x2+14 + w1F (
x2+12 ; (x2+1)(x1+1)4 ) 12
x2+14 + w2F (
x2+12 ; (x2+1)(x2+1)4 ) 12
x2+14
�=
23
�23F (
� 12+1
2 ;(� 1
2+1)(� 1
2+1)
4 ) 12� 1
2+1
4 + 23F (
� 12+1
2 ;(� 1
2+1)(0+1)
4 ) 12� 1
2+1
4 + 23F (
� 12+1
2 ;(� 1
2+1)( 1
2+1)
4 ) 12� 1
2+1
4
�+
23
�23F (
0+12 ;
(0+1)(� 12+1)
4 ) 120+14 + 2
3F (0+12 ; (0+1)(0+1)4 ) 12
0+14 + 2
3F (0+12 ;
(0+1)( 12+1)
4 ) 120+14
�+
23
�23F (
0+12 ;
( 12+1)(� 1
2+1)
4 ) 1212+1
4 + 23F (
12+1
2 ;( 12+1)(0+1)
4 ) 1212+1
4 + 23F (
12+1
2 ;( 12+1)( 1
2+1)
4 ) 1212+1
4
�=
= 8: 984 4� 10�2
3. Pregunta.3 (2 puntos) Calcular una iteraci�on del m�etodo de Newton-Raphson para resolver elsistema no-lineal
exyz � 1 = 0
y2 � z3 � 2 = 0
(z � 1)x4 � 3 = 0
partiendo de (x; y; z) = (1; 1; 1). (Ver problema 61 libro de problemas de la asignatura)
4. Pregunta 4. (2 puntos) Estudiar la veracidad de las siguientes a�rmaciones:
(a) Si A y P son dos matrices cuadradas de dimensi�on N , entonces la matriz B = P�1AP tienelos mismos autovalores y autovectores que la matriz A (A�rmaci�on falsa, los autovalores sonlos mismos pero los autovectores no (ver apuntes para el razonamiento))
(b) Dado un sistema de ecuaciones Au = b y el sistema perturbado A(u+ Æu) = b+ Æb, entonces
kÆukkuk � kAk A�1
kÆbkkbk
(A�rmaci�on verdadera,(ver apuntes de teor�ia para el razonamiento))
5. Pregunta.5. (2 puntos) Implementar en FORTRAN la funci�onERROR AUTOVECTORES(A,AUTOVEC,AUTOVAL,DIM,DIMMAX)que devuelve el error cometido al calcular los autovalores y autovectores seg�un el criterio visto enclase e implementado en la pr�actica.
(Ver pr�actica relacionada y apuntes de clase)
ANALISIS NUMERICO
Fecha convocatoria : 06 de Septiembre 2002
Duración del examen : 3 horas
Apellidos y Nombre del Alumno:
1. Pregunta.1. (2 puntos) Demostrar el método de Horner para evaluar un polinomio y su derivada.
2. Pregunta.2. (2 puntos) Calcular 2 iteraciones del método de la potencia inversa partiendo deu0 = (1, 1, 1) (llegar a u2) para aproximar el autovalor y autovector más cercano a 3 de la matriz 1 0 1
0 4 00 0 5
3. Pregunta.3 (2 puntos) Calcular una aproximación de la derivada tercera f 000(xi) de una funciónf(x) en un punto xi, utilizando f(xi), f(xi + h), f(xi − h), f(xi + 2h)
4. Pregunta 4. (2 puntos) Interpolar la función f(x) = 10x2+1 en los puntos x0 = −2, x1 = −1,
x2 = 1, x4 = 2 utilizando los polinomios base de Lagrange
5. Pregunta.5. (2 puntos) Implementar en FORTRAN en doble precisión la funciónREGULA_FALSI(A,B,TOL) que calcula raíces de la función F(X)=COS(X)-X donde A,B son losextremos del intervalo, y TOL es la tolerancia para decidir que ya hemos llegado a la raiz. Lafunción devuelve el valor de la raiz si termina correctamente y NaN en caso contrario.
Analisis Numerico
10 de Febrero de 2003. Duracion del Examen: 3 horas
Apellidos y Nombre del Alumno :
1. (1 punto) Se considera una aritmetica de 24 bits donde se dedican 1 bit al signo,15 bits a la mantisa (t = 16) y 8 bits al exponente ( emin = −124 emax = 126).Escribir, los siguientes numeros en esta aritmetica:
a) 15, y los numeros mas cercanos a 15 por arriba y por debajo.
b) El cero, el infinito y NaN. Dar un ejemplo de operacion aritmetica que decomo resultado infinito y otra que de como resultado NaN
c) Los numeros mas pequeno y mas grande de la aritmetica sin tener en cuentalas excepciones
2. (2 puntos) Calcular 1 iteracion del metodo de Newton-Raphson para sistemasno-lineales para resolver el sistema
ex−y − 2 = 0sin(π(x2 + y2)) = 0
partiendo de (x0, y0) = (1, 1)
3. (2 puntos) Aproximar dando 2 iteraciones del metodo de la potencia, el auto-valor maximo y su autovector de la matriz
A =
( −2 11 −2
)
partiendo de u0 = (1, 0), (Escribir claramente el autovector y autovalor obtenido)
4. (2 puntos) Calcular el error maximo cometido al interpolar en el intervalo [0, π]mediante el polinomio interpolador de Lagrange la funcion f(x) = cos(2x) en lospuntos xi = 0, π
4, π
2, π
5. (3 puntos) Los splines vienen dados por unos polinomios cuyos coeficientesverifican la relacion
ai = f(xi)
di =ci+1 − ci
3hi
bi =ai+1 − ai
hi
− hi (2ci + ci+1)
3
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi
− 3 (ai − ai−1)
hi−1
Calcular los polinomios splines cubicos que interpolan una funcion con las sigu-ientes condiciones f(0) = 0, f(0.5) = 1, f(1) = 0, f(1.5) = 1.. Se utilizara quela derivada segunda de los polinomios en 0 y 1.5 es nula.
1
Analisis Numerico
05 de Septiembre de 2003. Duracion del Examen: 3 horas
Apellidos y Nombre del Alumno :
1. (2.5 puntos) Implementar en FORTRAN la funcion
ERROR AUTOV ECTOR(A, v, λ, DIM,DIMMAX)
que devuelve el error cometido al calcular un autovector y autovalor de una ma-triz. A es una matriz de dimension DIM. v es un vector de dimension DIM querepresenta un autovector de A y λ es un numero que representa el correspondienteautovalor.
2. (2.5 puntos) Utilizar el metodo de Jacobi para calcular los autovalores y au-tovectores de la matriz :
−1 0 30 −2 03 0 −1
3. (2.5 puntos) Resolver por el metodo de Cholesky el sistema
1 0 10 1 01 0 2
xyz
=
203
4. (2.5 puntos) Se considera la funcion
f(x) =
1 si x ≤ −21 + 2(x + 2) si −2 ≤ x ≤ −1
3 si −1 ≤ x ≤ 03 + 4x si 0 ≤ x ≤ 1
7 si x ≥ 1
Calcular el polinomio interpolador en los puntos x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0y x3 = 1 utilizando las diferencias divididas de Newton y calcular el error deinterpolacion en los puntos x = 0 y x = −3.
1
ANALISIS NUMERICO
Prof. Luis Alvarez
18 de diciembre de 2003
Duracion del Examen: 2 horas 30 minutos.
1. (2 puntos) Aislar en intervalos los ceros del polinomio
2x3 − 6x2 + 6x− 1 = 0
2. (2 puntos) Calcular 3 iteraciones del metodo de la potencia inversapara calcular el autovalor y autovector mas cercano a 4 de la matriz
A =
(4 −2−2 4
)
partiendo de u1 = (1, 1). (Calcular u2, u3, u4) y utilizando para nor-malizar vectores la norma infinito
3. (2 puntos) Calcular por el metodo de diferencias divididas de Newtonel polinomio que interpola a una funcion que verifica f(1) = 1, f(3) = 5,f(4) = 4 y f(5) = −15
4. (2 puntos) Calcular por el metodo de Simpson la integral∫ π
0
sen3(x)dx
dividiendo el intervalo [0, π] en 2 subintervalos.
5. (2 puntos) Dar 2 iteraciones del metodo de relajacion con valor delparametro w = 1.1 para resolver el sistema
(2 −1−1 2
)(xy
)=
(2−1
)
partiendo de u1 = (1, 1) (Calcular u2 y u3).
1
ANALISIS NUMERICO3 de febrero de 2004
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 3 horas.
1. (1.5 puntos) Demostrar que la fórmula
f 00(xi) =f(xi + h) ¡ 2f(xi) + f (xi ¡ h)
h2
aproxima la derivada segunda de una función con un orden de aproximación O(h2).
2. (1.5 puntos) Demostrar la fórmula de integración de Simpson.
3. (1 5 puntos) Aislar en intervalos las raices del polinomio P (x) = x3 ¡ 3x+ 3
4. (1.5 puntos) Calcular 1 iteración del método de la regula falsi para calcular un cerode la función f (x) = cos(x) ¡ x en el intervalo [0, π].
5. (2 puntos) Resolver por el método de Crout el sistema0@
1 ¡1 0¡1 2 00 ¡1 2
1A
0@
xyz
1A =
0@
1¡12
1A
6. (2 puntos) Calcular por el método de Jacobi los autovalores y autovectores de lamatriz 0
@2 0 20 2 02 0 2
1A
ANALISIS NUMERICO3 de febrero de 2004
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 2 horas.
1. (2 puntos) Calcular una iteración del método de Newton-Raphson para calcular uncero del sistema
y ¡ x2 + 1 = 0y ¡ x = 0
partiendo de (x0, y0) = (1, 1)
2. (2 puntos) Se considera la fórmula de integración númerica de cuadratura dada porZ 1
¡2f(x)dx ' w0f(x0)
Calcular w0 y x0 para que la fórmula sea exacta para polinomios hasta grado 1.
3. (2 puntos) Calcular una iteración del método de la potencia inversa para calcular elautovalor y autovector más cercano a ¡1 de la matriz
µ1 ¡1
¡1 1
¶
partiendo del autovector inicial u0 = (1, 1). Expresar claramente cuales serían el auto-valor y autovector encontrado.
4. (2 puntos) Calcular, por el método de diferencias divididas de Newton, el polinomioque interpola a la función f(x) = 2x en los puntos x = 0, 1, 2, 3
5. (2 puntos) Resolver por el método de Cholesky el sistema de ecuacionesµ
1 ¡1¡1 2
¶µxy
¶=
µ¡13
¶
ANALISIS NUMERICO1 de Febrero del 2005
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 3 horas.
1. (2 puntos) Dar una iteración del método de Muller (calculando las derivadas deforma exacta) para aproximar una raiz de la función P (x) = x4+1 partiendo de x = 1.Expresar claramente cual sería la nueva raíz calculada.Solución: [x = 0.666 67 ¡ 0.471 4i] , o [x = 0.666 67 + 0.471 4i] , dado que las dos estána la misma distancia de 1, da igual cual coger.
2. (2 puntos) Aislar en intervalos las raíces del polinomio P (x) = 2x3 ¡ 6x + 6.Solución: El polinomio tiene un única raíz real en el intervalo [¡4, ¡1].
3. (2 puntos) El sábado 29 de Enero del 2005, la temperatura máxima prevista en LasPalmas de Gran Canaria es de 17 grados, en Santa Brigida 14 grados, en San Mateo14 grados y en Tejeda 12 grados. Además las capitales de los municipios se encuentrana las siguientes distancias :
Las Palmas de G.C. Ã! Santa Brigida : 14 km
Santa Brigida Ã! San Mateo : 7 km
San Mateo Ã! Tejeda : 21 km
Suponiéndo que todas las capitales de municipio mencionadas están en línea recta y aesas distancias, dar una predicción, utilizando el polinomio interpolador de Lagrange(utilizando los polinomios base de Lagrange, e interpolando en los 4 municipios men-cionados) de la temperatura máxima en el campus de Ta…ra, sabiendo que está a 6 kmde Las Palmas de G.C. en dirección a Santa Brigida.Solución: El polinomio interpolador esP (t) = 17 (t¡14)(t¡21)(t¡42)
(0¡14)(0¡21)(0¡42) + 14 t(t¡21)(t¡42)14(14¡21)(14¡42) + 14 t(t¡14)(t¡42)
21(21¡14)(21¡42) + 12 t(t¡14)(t¡21)42(42¡14)(42¡21)
La temperatura máxima en el Campus de Ta…ra es P (6) = 14. 991.
4. (2 puntos) Calcular una aproximación de la derivada tercera f 000(xi) de una funciónf(x) en un punto xi utilizando f(xi), f(xi + h), f(xi ¡ h), f(xi ¡ 2h)Solución: Problema 49, libro de problemas de la asignatura
5. (2 puntos) Se considera la fórmula de integración numéricaZ 1
0f(x)dx = w0f(x0)
calcular cuanto deben valer w0 y x0 para que la fórmula sea exacta para polinomios degrado 1.Solución:
R 10 1dx = 1 = w0 ) w0 = 1
R 10 xdx = 1
2 = w0x0 ) x0 = 12
ANALISIS NUMERICO7 de Septiembre del 2005
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 2 horas y 30 minutos.
1. (2 puntos) Escribir una función en FORTRAN 77 que devuelva la evaluación de unpolinomio y su derivada por el método de Horner
Solución: Ver apuntes de la asignatura
2. (2 puntos) Calcular el autovalor más cercano a 2 y su correspondiente autovector dela matriz 0
@0 1 10 3 10 0 4
1A
dando 2 iteraciones del método de la potencia inversa partiendo de u0 = (1, 1, 0)
Solución:
u1 =
0@
¡2 1 10 1 10 0 2
1A¡1 0
@110
1A =
0@
010
1A ku1k1 = 1 (1)
u2 =
0@
¡2 1 10 1 10 0 2
1A¡1 0
@010
1A =
0@
1210
1A ku2k1 = 1 (2)
por tanto el autovector es u2 y el autovalor mas cercano a 2 es 2 + 1/1 = 3.
3. (2 puntos) En la playa de las Alcaravaneras tenemos la siguiente tabla de temperat-uras para el mes de septiembre del 2005
fecha 05/09 05/09 05/09 06/09 06/09hora 06:00 12:00 18:00 00:00 06:00
Temp. 26 28 26 25 24
A partir de estos datos, calcular una estimación de la temperatura en las Alcaravanerasel 06/09 a las 07:00 horas utilizando el polinomio interpolador de Lagrange y la técnicade diferencias divididas de Newton para calcular el polinomio.
Solución:6 : 26
28¡266 = 1
312:28
¡13¡
13
12 = ¡ 118
26¡286 = ¡1
318:26
172¡¡
118
18 = 51296
¡16¡¡
13
12 = 172
25¡266 = ¡1
624:25
¡ 11296¡
51296
24 = ¡ 15184
0¡ 172
18 = ¡ 11296
¡16¡¡
16
12 = 024¡25
6 = ¡16
30:24
P (x) = 26+ 13(x ¡ 6)¡ 1
18(x ¡ 6)(x ¡ 12) + 51296(x ¡ 6)(x ¡ 12)(x ¡ 18)¡ 1
5184(x ¡ 6)(x ¡12)(x ¡ 18)(x ¡ 24)
Temperatura a la 7:00 del 06/09 es P (31) = 121 4595184 = 23. 430
4. (2 puntos) Resolver por el método de Cholesky el sistema0@
1 ¡1 1¡1 2 ¡21 ¡2 3
1A
0@
xyz
1A =
0@
2¡34
1A
Solución:0@
1 ¡1 1¡1 2 ¡21 ¡2 3
1A =
0@
1 0 0¡1 1 01 ¡1 1
1A
0@
1 ¡1 10 1 ¡10 0 1
1A
0@
1 0 0¡1 1 01 ¡1 1
1A
0@
x0
y0z0
1A =
0@
2¡34
1A !
0@
x0
y0z0
1A =
0@
2¡11
1A
0@
1 ¡1 10 1 ¡10 0 1
1A
0@
xyz
1A =
0@
2¡11
1A !
0@
xyz
1A =
0@
101
1A
5. (2 puntos) Dar una iteración del método de Newton-Raphson para sistemas pararesolver el sistema no lineal
cos2 x + y = 4x + sin2 y = 3
partiendo de u0 = (π, π).
Solución: rF (x, y) =µ
¡2 cosx sin x 11 2 sin x cosx
¶! rF (π, π) =
µ0 11 0
¶
µx ¡ πy ¡ π
¶= ¡
µ0 11 0
¶¡1 µ1 + π ¡ 4
π ¡ 3
¶=
µ¡π + 3¡π + 3
¶! u1 =
µ33
¶
ANALISIS NUMERICO31 �� E���� �� 2006
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 2 horas.
1.- (2 puntos) Dar 2 iteraciones del método de la secante para aproximar un cero de lafunción f(x) = x3 − 2 partiendo de x0 = 0 y x1 = 1.Solución:
x2 = x1 −f(x1)
f ′(x1)= 1−
−1−1−(−2)1−0
= 2.0
x3 = x2 −f(x2)
f ′(x2)= 2−
23 − 223−2−(−1)
2−1
= 1. 142 9
2.- (2 puntos) Demostrar la siguiente fórmula de derivación numérica
f ′′(x) =f(x+ h)− 2f (x) + f (x− h)
h2+O(h2)
Solución:
f(x+ h) = f(x) + f ′(x)h +f ′′(x)
2h2 +
f ′′′(x)
6h3 +
f iv)(x)
24h4 + ...
f(x− h) = f (x)− f ′(x)h+f ′′(x)
2h2 −
f ′′′(x)
6h3 +
f iv)(x)
24h4 − .....
f ′′(x) =f(x+ h)− 2f (x) + f (x− h)
h2−f iv)(x)
12h2−.... =
f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)
h2+O(h2)
3.- (2 puntos) Calcular por el método de Simpson la integral
∫ 2
−2
1
1 + x2dx
diviendo el intervalo [−2, 2] en 2 subintervalos.Solución:f (x) = 1
1+x2
∫ 2
−2f(x)dx =
∫ 0
−2f(x)dx+
∫ 2
0
f(x)dx =f (−2) + f(0) + 4f(−1)
62+f(2) + f(0) + 4f(1)
62 = 2. 133 3
4.- (2 puntos) Utilizar el método de Jacobi para calcular los autovalores y autovectores dela matriz
A =
2 0 10 −1 01 0 2
Solución: tan(2α) = (2 · 1)/(2− 2) =∞→ α = π/4
1√20 − 1√
2
0 1 01√20 1√
2
2 0 10 −1 01 0 2
1√2
0 1√2
0 1 0− 1√
20 1√
2
=
1 0 00 −1 00 0 3
λ1 = 1 → x1 = (1√2, 0,− 1√
2)
λ2 = −1 → x2 = (0, 1, 0)
λ3 = 3 → x3 = (1√2, 0, 1√
2)
5.- (2 puntos) Calcular el polinomio trigonométrico tomando N = 2, que interpola a lafunción f(x) = |x| en el intervalo [−π, π]Solución: Problema 111 de los apuntes de problemas de la asignatura.
Analisis Numerico
6 de Septiembre del 2006. Duracion del Examen: 2 horas.
Apellidos y Nombre del Alumno :
1. (2.5 puntos) Implementar en FORTRAN la funcion
ERROR AUTOV ECTOR(A, v, λ,DIM, DIMMAX)
que devuelve el error cometido al calcular un autovector y autovalor de una ma-triz. A es una matriz de dimension DIM. v es un vector de dimension DIM querepresenta un autovector de A y λ es un numero que representa el correspondienteautovalor.
Solucion: Ver practicas de la asignatura
2. (2.5 puntos) Se considera la tabla
n xk wk
1 1. 1.2 0. 585 786 438 0. 853 553 390 3
3. 414 213 562 0. 146 446 609 3
que determina las coordenadas y pesos de Laguerre para calcular integrales de laforma ∫ ∞
0
f(x)e−xdx
calcular con total exactitud y utilizando los valores de dicha tabla la integral∫ ∞
1
(x3 − x2 + 1)e−xdx
Solucion:∫∞1
(x3 − x2 + 1)e−xdx =∫∞
0((z + 1)3 − (z + 1)2 + 1)e−z−1dz =∫∞
0e−1((z + 1)3 − (z + 1)2 + 1)e−zdz =
∫∞0
f(z)e−zdz =
0. 853 553 390 3f(0. 585 786 438)+0. 146 446 609 3f(3. 414 213 562) = 4. 414 6
3. (2.5 puntos) Dar 2 iteraciones del metodo de Gauss-Seidel partiendo de u0 =(0, 0, 0) para resolver el sistema 3 −1 −1
−1 3 −1−1 −1 3
xyz
=
111
1
Solucion:
x1 =1 + y0 + z0
3=
1
3
y1 =1 + x1 + z0
3=
1 + 13
3=
4
9
z1 =1 + x1 + y1
3=
1 + 13
+ 49
3=
16
27
x2 =1 + y1 + z1
3=
1 + 49
+ 1627
3=
55
81
y2 =1 + x2 + z1
3=
1 + 5581
+ 1627
3=
184
243
z2 =1 + x2 + y2
3=
1 + 5581
+ 184243
3=
592
729
4. (2.5 puntos) Una accion que cotiza en bolsa fluctua siguiendo la siguiente tabla
HORA 8 9 10 11 12VALOR 10 6 8 4 6
realizado una interpolacion por el metodo de las diferencias de Newton, estimaruna prevision para el valor de la accion a las 12 horas 30 minutos.
Solucion:
08 : 10−4
09 : 6 +3+2 −2
10 : 8 −3 +1−4 +2
11 : 4 +3+2
12 : 6
P (x) = 10− 4(x− 8) + 3(x− 8)(x− 9)− 2(x− 8)(x− 9)(x− 10)+(x− 8)(x− 9)(x− 10)(x− 11)
P (12,5) = 19. 563
2
Análisis Numérico
31 de Enero del 2007. Duración del Examen: 3 horas
Apellidos y Nombre del Alumno :
1. (2 puntos) Dar 2 iteraciones del método de relajación tomando w = 1,5 para resolver elsistema: (partiendo de la solución inicial (0, 0))µ
2 −1−1 2
¶µxy
¶=
µ30
¶
Solución: El esquema iterativo del método de relajación para este sistema es
xn+1 =3 + yn2
w + (1− w)xn
yn+1 =xn+12
w + (1− w)yn
Por tanto, partiendo de (x0, y0) = (0, 0) como solución inicial obtenemos
x1 = 2. 25y1 = 1. 687 5
x2 = 2. 390 6y2 = 0,949 2
2. (2 puntos) Calcular 1 iteración del metodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales pararesolver el sistema
ex−y − 2 = 0sin(π(x2 + y2)) = 0
partiendo de (x0, y0) = (1, 1)
Solución;La matriz gradiente del sistema viene dada por
∇F (x, y) =µ
ex−y −ex−y2xπ cos(π(x2 + y2)) 2yπ cos(π(x2 + y2))
¶Por lo tanto para pasar a la siguiente iteración del método de Newton-Raphson debemos resolverel sistema
∇F (1, 1)µ
x1 − x0y1 − y0
¶= −F (1, 1)
es decir µ1 −12π 2π
¶µx1 − x0y1 − y0
¶=
µ10
¶de donde sale µ
x1y1
¶=
µ11
¶+
µ1 −12π 2π
¶−1µ10
¶=
µ3212
¶
1
3. (2 puntos) Se considera la función
f(x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1 si x ≤ −2
1 + 2(x+ 2) si −2 ≤ x ≤ −13 si −1 ≤ x ≤ 0
3 + 4x si 0 ≤ x ≤ 17 si x ≥ 1
Calcular el polinomio interpolador en los puntos x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0 y x3 = 1 utilizandolas diferencias divididas de Newton y calcular el error de interpolación en los puntos x = 0 yx = −3.Solución:
−2 : f(−2) = 13−11= 2
−1 : f(−1) = 3 0−22= −1
3−31= 0 2+1
3= 1
0 : f(0) = 3 4−02= 2
7−31= 4
+1 : f(+1) = 7
Por tanto el polinomio interpolador es P (x) = 1+ 2(x+2)− 1(x+2)(x+1)+ (x+2)(x+1)xP (x) = 1 + 2(x+ 2)− 1(x+ 2)(x+ 1) + (x+ 2)(x+ 1)xError de interpolación en 0 : |P (0)− f(0)| = 0Error de interpolación en −3 : |P (−3)− f(−3)| = 10
4. (2 puntos) Los splines vienen dados por unos polinomios cuyos coeficientes verifican la relación
ai = f(xi)
di =ci+1 − ci3hi
bi =ai+1 − ai
hi− hi (2ci + ci+1)
3
hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi)ci + hici+1 =3(ai+1 − ai)
hi− 3 (ai − ai−1)
hi−1
Calcular los polinomios splines cúbicos que interpolan una función con las siguientes condicionesf(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 2.. Se utilizará que la derivada segunda de los polinomiosen 0 y 3 es nula.
Solución: Ejemplo desarrollado en clase que se encuentra en los apuntes de teoria.
5. (2 puntos) En el reverso de esta página se encuentra el código en Fortran de la funciónERROR_AUTOVECTORES(.) implementada en las prácticas de la asignatura. Detectar loserrores que pudiera haber en el código y corregirlos diréctamente en el texto.
Solución: Se incluye en hoja aparte el código correcto con las correcciones en rojo. Es impor-tante destacar que el objetivo del problema es detectar los errores de este código y no reescribirotro código distinto.
2
FUNCTION ERROR_AUTOVECTORES(A,B,AUTOVALORES,N,NMAX) DIMENSION AUTOVALORES(*) DIMENSION V(NMAX),U(NMAX) DO 5 K=1,N DO 8 L=1,N V(L)=B(L,K) 8 CONTINUE DO 2 I=1,N U(I)=0 DO 3 J=1,N U(I)=U(I) 3 CONTINUE 2 CONTINUE IF(ERROR)THEN ERROR=ERROR_VECTORES(U,V,N) ENDIF
5 CONTINUE
ERROR_AUTOVECTORES=ERROR END
FUNCTION ERROR_AUTOVECTORES(A,B,AUTOVALORES,N,NMAX) DIMENSION A(NMAX,*),B(NMAX,*),AUTOVALORES(*) DIMENSION V(NMAX),U(NMAX) ERROR=0 DO 5 K=1,N DO 8 L=1,N V(L)=B(L,K)*AUTOVALORES(K) 8 CONTINUE DO 2 I=1,N U(I)=0 DO 3 J=1,N U(I)=U(I)+A(I,J)*B(J,K) 3 CONTINUE 2 CONTINUE IF(ERROR_VECTORES(U,V,N).GT.ERROR)THEN ERROR=ERROR_VECTORES(U,V,N) ENDIF 5 CONTINUE ERROR_AUTOVECTORES=ERROR END
ANALISIS NUMERICO10 de Septiembre de 2007
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 2 horas.
1. (2.5 puntos) Una función f(x) verifica que f(25) = 4, f(26) = 7, f(27) = 14 yf(29) = 64, calcular f(28) interpolando por el polinomio de Lagrange y el método dediferencias divididas para calcularlo.
Solución:
25:4
3
26:7 2
7 1
27:14 6
25
29:64
P(x)=4+3(x-25)+2(x-25)(x-26)+1(x-25)(x-26)(x-27)
P(28)=31
2. (2.5 puntos) Resolver por el método de Cholesky el sistema⎛⎝ 1 4 64 20 346 34 70
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 0−6−24
⎞⎠
Solución: ⎛⎝ 1 4 64 20 346 34 70
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 0 04 2 06 5 3
⎞⎠⎛⎝ 1 4 60 2 50 0 3
⎞⎠⎛⎝ 1 0 04 2 06 5 3
⎞⎠⎛⎝ x0
y0
z0
⎞⎠ =
⎛⎝ 0−6−24
⎞⎠ solucion :
⎛⎝ 0−3−3
⎞⎠⎛⎝ 1 4 60 2 50 0 3
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 0−3−3
⎞⎠ solucion :
⎛⎝ 21−1
⎞⎠3. (2.5 puntos)
(a) Aproximar la derivada segunda de la función f(x) = x2−x3 utilizando los valoresde f(−0.1), f(0) y f(0.1)
(b) Aproximar la derivada segunda de la misma función utilizando los valores def(−1), f(0) y f(1). Comparar el resultado con el del apartado (a) y razonar elresultado comparándolo con el valor de la derivada exacta
Solución:
f(x+ h) = f(x) + f 0(x)h+ f 00(x)2
h2 + f 000(x)6
h3 + f iv(x)24
h4 + ...
f(x− h) = f(x)− f 0(x)h+ f 00(x)2
h2 − f 000(x)6
h3 + f iv(x)24
h4 − ....
f 00(x) = f(x+h)−2f(x)+f(x−h)h2
− f iv(x)24
h4 − ....
Respuesta al apartado a)
f 00(0) = f(0.1)−2f(0)+f(−0.1)0.01
= 2.0
Respuesta al apartado b)
f 00(0) = f(1)−2f(0)+f(1)1
= 2.0
f 00(x) = 2− 6x − > f 00(0) = 2
La razón de que ámbas aproximaciones sean exactas es que todas las derivadas de orden4 y superiores de la función f(x) son iguales a 0 y por tanto el error en la aproximaciónde la fórmula es cero con independencia del valor de h.
4. (2.5 puntos) Utilizar el método de Jacobi para calcular los autovalores y autovectoresde la matriz
A =
⎛⎜⎜⎝3 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 3
⎞⎟⎟⎠Solución:⎛⎜⎜⎝
cos(π4) 0 0 − sin(π
4)
0 1 0 00 0 1 0sin(π
4) 0 0 cos(π
4)
⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝3 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 3
⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝cos(π
4) 0 0 sin(π
4)
0 1 0 00 0 1 0− sin(π
4) 0 0 cos(π
4)
⎞⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎝2 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 4
⎞⎟⎟⎠Autovectores :
2 − >
⎛⎜⎜⎝cos(π
4)
00− sin(π
4)
⎞⎟⎟⎠ 1 − >
⎛⎜⎜⎝0100
⎞⎟⎟⎠ 1 − >
⎛⎜⎜⎝0010
⎞⎟⎟⎠ 4 − >
⎛⎜⎜⎝sin(π
4)
00cos(π
4)
⎞⎟⎟⎠
ANALISIS NUMERICO30 de Febrero de 2008
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 2 horas.
1. (2. puntos) Aislar en intervalos los ceros del Polinomio P (x) = x3 � 3x+ 1
Solución: El intervalo donde deben encontrarse las ráices es [�31� 1; 3
1+1]: = [�4; 4]:
Por otro ladoP 0(x) = 3x2 � 3
cuyas raíces son x = �1; 1: Por tanto los posibles intervalos donde tiene raíces elpolinomio son [�4;�1]; [�1; 1]; y [1; 4]: Como por otro lado P (�4) < 0; P (�1) >0; P (1) < 0 y P (4) > 0 hay cambio de signo en todos los intervalos y por tanto elpolinomio tiene 3 raíces repartidas en los 3 intervalos.
2. (2. puntos) Calcular el número de operaciones que hacen falta para resolver unsistema de ecuaciones de dimensión N donde la matriz es triangular inferior.
Solución: Ver problema 35 del libro de problemas (sólo cambia que en el problema lamatriz es triangular superior) y/o transparencias de clase
3. (2. puntos) Demostrar la fórmula de derivación numérica
f 0(xi) =(xi � xl)f(xr)�f(xi)xr�xi + (xr � xi)f(xi)�f(xl)xi�xl
xr � xl+O(h2)
donde h =j xr � xi j�j xl � xi j
Solución: Ver apuntes de teoría y/o transparencias de clase
4. (2. puntos) Demostrar que si una matriz A tiene una base ortonormal de autovectoresentonces
kAk2 = �(A)
Solución: Ver apuntes de teoría y/o transparencias de clase
5. (2. puntos) Se considera la función periódica de periodo 2� dada por
f(x) =
�0 if x 2 [��=2; �=2]1 if x =2 [��=2; �=2]
Calcular el polinomio trigonométrico interpolador de la función de grado N = 3
Solución: Aplicando la fórmula de los coe�cientes trigonométricos se tiene que
ck =
R ��� f(x)e
�ikx
2�=
R ��=2�� cos(kx)dx+
R ��=2cos(kx)dx
2�=
R ��=2cos(kx)dx
�
por tanto se tiene :
c0 =
R ��=21dx
�=1
2c1 = c�1 =
R ��=2cos(x)dx
�= � 1
�
c2 = c�2 =
R ��=2cos(2x)dx
�= 0 c3 = c�3 =
R ��=2cos(3x)dx
�=1
3�
y el polinomio trigonométrico queda de la siguiente forma:
P (x) =1
2� 1
�(eix + e�ix) +
1
3�(ei3x + e�i3x) =
1
2� 2
�cosx+
2
3�cos(3x)
2
ANALISIS NUMERICO9 de Septiembre de 2008
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 2 horas.
1. (3 puntos) Calcular, utilizando los polinomios de Hermite, el polinomio que cumplelas siguientes condiciones :
f(−1) = 1 f 0(−1) = 2 f(1) = 3 f 0(1) = 4
Solución: Ver apuntes donde se calculan los polinomios base de Hermite.
2. (2 puntos) Calcular 2 iteraciones del método de la potencia para calcular el autovalory autovector máximo de la matriz µ
−1 0−1 −3
¶partiendo como aproximación inicial de u0 = (1, 1)T
Solución:
u1 =
µ−1 0−1 −3
¶µ11
¶=
µ−1−4
¶→°°u1°°∞ = 4
u2 =
µ−1 0−1 −3
¶µ−1/4−1
¶=
µ14134
¶→°°u2°°∞ = 13
4
Por tanto, como hay cambia de signo en el autovector al cambiar de iteración obtenemos
autovalor máximo = −134
autovector =µ
14134
¶
3. (3 puntos) Resolver por el método de Cholesky el siguiente sistema⎛⎝ 1 1 11 2 11 1 2
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 689
⎞⎠Solución: ⎛⎝ 1 1 1
1 2 11 1 2
⎞⎠ =
⎛⎝ 1 0 01 1 01 0 1
⎞⎠⎛⎝ 1 1 10 1 00 0 1
⎞⎠⎛⎝ 1 0 01 1 01 0 1
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 689
⎞⎠→⎛⎝ x
yz
⎞⎠ =
⎛⎝ 623
⎞⎠⎛⎝ 1 1 10 1 00 0 1
⎞⎠⎛⎝ xyz
⎞⎠ =
⎛⎝ 623
⎞⎠→⎛⎝ x
yz
⎞⎠ =
⎛⎝ 123
⎞⎠
4. (2 puntos) Calcular una iteración del método de Muller para aproximar una raiz def(x) = ex − 2 partiendo de x0 = 0 y calculando las derivadas de forma exactaSolución:
f(x) = f(0) + f 0(0)x+f 00(0)
2x2 = −1 + x+
x2
2= 0
raíces:x = ±
√3− 1
tomamos la raiz más cercana a 0 como nueva aproximación, es decir x1 =√3− 1
ANALISIS NUMERICO28 de Enero de 2009
Prof. Luis Alvarez Name
Duración del Examen: 2 horas.
1. (2.5 puntos) Dada una aritmética de precisión �nita
(a) Calcular los números más cercanos a 1 en una aritmética de precisión �nita (porla izquierda y por la derecha)
(b) Escribir el pseudocódigo de un algorimo para calcular el número más cercano a 1por la derecha.
Solución: Cuestiones resuelta en los apuntes de la asignatura
2. (2.5 puntos) Si un día en Ta�ra hace una temperatura de 18 grados a las 12:00, 20grados a las 14:00 y 16 grados a las 16:00, ¿Qué temperatura haría a las 15:00 horasutilizando el polinomio interpolador calculado con el método de diferencias de Newton?
Solución:
12 : 18
20�1814�12 = 1:0
14 : 20 �2�116�12 = �
34
16�2016�14 = �2
16 : 16
P (x) = 18 + (x� 12)� 34(x� 12)(x� 14)
Por tanto la temperatura a las 15:00 sería : P (15) = 754= 18: 75
3. (2.5 puntos) Demostrar la fórmula de integración de Simpson
Solución: Cuestión resuelta en los apuntes de la asignatura.
4. (2.5 puntos) Un niño pesa 5 kg al mes de nacer, 9 kg a las 2 meses y 11 kg a los 3meses. Calcular la recta y = mx + n que mejor se ajusta a la evolución del peso delniño siguiendo el criterio de aproximación mínimo cuadrática
Solución: Hay que minimizar la función de error :
E(m;n) = (m+ n� 5)2 + (2m+ n� 9)2 + (3m+ n� 11)2
Calculando sus derivadas parciales e igualando a 0 obtenemos
@E(m;n)
@m= 28m+ 12n� 112 = 0
@E(m;n)
@n= 12m+ 6n� 50 = 0
resolviendo el sistema obtenemos la solución m = 3; n = 73
