7/1/2003 1

บทที ่4 งานและพลังงาน

4.1 งานและพลังงาน4.2 พลังงานจลนและทฤษฎีบทของงาน-พลังงาน4.3 งานที่ทําโดยน้ําหนักของวัตถุและพลังงานศักย4.4 แรงอนุรักษและแรงไมอนุรักษ4.5 กําลังงาน

7/1/2003 2

4.1 งานและพลังงาน

• งานคือ พลังงานที่ถายเทสูระบบหรือออกจากระบบโดยแรงที่กระทําตอระบบ

พลังงานเขาสูระบบ

งานมีคาเปนบวก

พลังงานออกจากระบบงานมีคาเปนลบ

7/1/2003 3

4.1 งานและพลังงาน (ตอ)

• นิยาม งาน W ทีก่ระทําโดยแรงขนาดคงที่ F ตอวัตถุใหเคลื่อนที่เปนระยะขจัด s เทากบั ผลคูณสเกลารของแรงกับระยะขจัด

W = F • s = (F cos Ө)s = F(s cos Ө)หนวยของงานคือ จูล (J) ซึ่งเทากับ นิวตัน-เมตร (N⋅m)

s

F FӨ

ตําแหนงเริ่มตน ตําแหนงสุดทาย

7/1/2003 4

4.1 งานและพลังงาน (ตอ)

W = (F cos Ө) s

W = F (s cos Ө)

F

F cos Өs

Ө

F

s cos Ө

sӨ

7/1/2003 5

4.1 งานและพลังงาน (ตอ)สังเกตวา (1) ในกรณีที่ Ө = 90° แรงนั้นจะไมทําใหเกิดงาน

จากรูป แรงตึงเชือก T น้ําหนกั mg และแรงปฏิกิริยา N ไมทําใหเกิดงานใดๆ

v

T

mg

N

7/1/2003 6

4.1 งานและพลังงาน (ตอ)

(2) ปริมาณงานมีคาไดทั้งคาบวกและลบ

• ในกรณีที่ 0° ≤ Ө ≤ 90° ⇒ 0 ≤ cos Ө < 1

• ในกรณีที่ 90° < Ө ≤ 180° ⇒ -1 ≤ cos Ө < 0

7/1/2003 7

4.1 งานและพลังงาน (ตอ)

(3) ปริมาณงาน W หาไดจากพื้นที่ใตกราฟ

ระยะทาง

แรง

F

s0

WF = F s

Wf = - f s- f

7/1/2003 8

4.1 งานและพลังงาน (ตอ)

• ในกรณีที่มีแรงหลายแรงกระทําตอวัตถุ ตองหาแรงลัพธที่กระทําตอวัตถุกอนที่จะคํานวณหาปริมาณงาน

mg

FN

f

7/1/2003 9

4.1 งานและพลังงาน (ตอ)

• ในกรณีที่ขนาดแรงลัพธเปนศูนย ⇒ งานเปนศูนย

• ในกรณีที่ขนาดแรงลัพธไมเปนศูนยจะไดวา

งาน = (ขนาดของแรงลัพธ) × (ระยะขจัดตามแนวแรง)

7/1/2003 10

ปญหาตวัอยางที่ 1

โจทย

µ = 0.5

s = 10 m

m = 15 kg

P

45°

7/1/2003 11

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)

แรง P ทํามุม 45° กับแนวระดับดึงรังไมมวล m = 15 kg เคลื่อนที่ไปบนพื้นราบเปนระยะ s = 10 mกําหนดให สัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหวางพื้นและรังไม µ = 0.5

และสนามโนมถวงของโลก g = 10 m/s2

จงตอบคําถามในกรณีดังตอไปนี้1) อัตราเรงของรังไมในแนวระดับ ax = 4 m/s2 จงคํานวณหางานเนื่องจาก

แรง P และงานเนื่องจากแรงเสียดทาน f2) อัตราเรงของรังไม ax เปนศูนย จงคํานวณหางานเนื่องจากแรง P และงาน

เนื่องจากแรงเสียดทาน f

7/1/2003 12

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)• วิธีทํา อนัดับแรก ตั้งแกนแกนอาอิงโดยใหจุดศูนยกลางมวลของรังไม ณ

ตําแหนงเริ่มตนอยูที่จุด (0,0) ของแกนอางอิง

ตําแหนงเริ่มตน si = 0 ตําแหนงสุดทาย sf = 10 i∴ ระยะขจัด s = sf - si = 10 i

(10,0)(0,0)

y

x

7/1/2003 13

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)

• วิธีทํา อันดับที่สอง พิจารณาหาแรงทั้งหมดที่กระทําตอรังไม

P

45°

fW = mg

N

7/1/2003 14

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)• แรง P = Px i + Py j = P cos 45° i + P sin 45° j

P = ?• แรงที่พื้นกระทําตอวัตถุ N = Ny j

Ny = ?• น้ําหนัก

W = mg (-j)• แรงเสียดทานที่พื้นกระทําตอวัตถุ

f = fx (-i) = - µ Ny i = - 0.5 Ny i fx = 0.5 Ny

7/1/2003 15

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)

• วิธีทํา อนัดับที่สาม จากกฎขอที่ 2 ของนิวตัน(แรงลัพธที่กระทําตอวัตถุ) = (มวล) × (ความเรง)

เขียนสมการการเคลื่อนที่ไดดังนี้P + f + N +W = ma

Px i + Py j - fx i + Ny j - mg j = maxi

7/1/2003 16

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)

• แยกพิจารณาสมกาการเคลื่อนที่ตามแนวแกน x และ yตามแนวแกน x

Px - fx = max

P cos 45° - fx = max (1)ตามแนวแกน y

Py + Ny – mg = 0P sin 45° + 2 fx = mg (2)

7/1/2003 17

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)

2 (1) + (2) ⇒ P = 2½ m(2ax + g)/3

Px = P cos 45° = m(2ax + g)/3

(2) - (1) ⇒ fx = m(g - ax)/3

7/1/2003 18

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)

• ในกรณีที่ 1) ax = 4 m/s2

Px = m(2ax + g)/3 = 15(2×4+10)/3 N = 90 NWP = P•s = (Px i + Py j) • (10 i)

⇒ WP = 900 J

fx = m(g - ax)/3 = 15(10 - 4)/3 N = 30 NWf = f•s = fx (-i) • (10 i)

⇒ Wf = - 300 J

7/1/2003 19

ปญหาตวัอยางที่ 1 (ตอ)

• ในกรณีที่ 2) ax = 0

Px = m(2ax + g)/3 = 15 ×10 /3 N = 50 NWP = P•s = (Px i + Py j) • (10 i)

⇒ WP = 500 J

fx = m(g - ax)/3 = 15 × 10 / 3 N = 50 NWf = f•s = fx (-i) • (10 i)

⇒ Wf = - 500 J

7/1/2003 20

ขอควรจํา: ในการเลือกแกนอางอิง

• การแกปญหาในกลศาสตร ควรเริ่มตนจากการตั้งแกนอางอิงที่เหมาะสม– ถาตั้งแกนอางอิงดี ⇒ ใชเวลาในการแกปญหานอย– ถาตั้งแกนอางอิงไมดี ⇒ ใชเวลาในการแกปญหามาก

• ตัวอยางการเลือกแกนอางอิง

W

PN

f

Ө

7/1/2003 21

ขอควรจํา: ในการเลือกแกนอางอิง

• นักศึกษาคิดวาควรเลือกแกนอางอิงแบบใด เพราะเหตุใด

x

yPN

Wf

xy

P

N

Wf

(1) (2)

7/1/2003 22

รปูแบบของพลังงานกล

• พลังงานกลมี 2 รูปแบบ

1) พลังงานจลน

2) พลังงานศักย

7/1/2003 23

พลังงานจลน

• พลังงานจลนคือ พลังงานของระบบทีเ่คลื่อนที่

• นิยาม สําหรับวัตถุที่มีมวล m เคลื่อนที่ดวยอัตราเร็ว v

พลังงานจลนของวัตถุ K = ½ mv2

7/1/2003 24

ความสัมพันธระหวางงานและพลังงานจลน• พิจารณาแรง F กระทําตอวัตถุมวล m ในชวงเวลาที่วัตถุเคลือ่นทีไ่ปเปนระยะ

ขจัดตามแนวแรงเทากับ s

งานเนื่องจากแรง F กระทําตอวัตถุW = Fs

จากกฎขอที่ 2 ของนิวตัน:F = ma

∴ W = mas = ½ m v2 - ½ m u2

mF

s

m

7/1/2003 25

การเคลื่อนที่เชิงเสนดวยอัตราเรงคงที่

กําหนดให u อัตราเร็วตนของวัตถุv อัตราเร็วปลายของวัตถุa อัตราเรงของวัตถุt เวลา

(1) v = u + a t(2) s = u t + ½ a t2

(3) v2 = u2 + 2 a s ⇒ a s = ½ (v2 - u2)

7/1/2003 26

4.2 ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

W = ½ m v2 - ½ m u2

= Kf – Kiทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

งานเนื่องจากแรงคงที่ = การเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน

ปริมาณงาน W มีคามากกวา 0 ⇒ พลังงานจลน K เพิ่มขึ้นปริมาณงาน W มีคานอยกวา 0 ⇒ พลังงานจลน K ลดลง

7/1/2003 27

ประโยชนของทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

1) ทราบปริมาณงาน W และอัตราเร็วตนของวัตถุ u ⇒ สามารถคํานวณหาอัตราเร็วปลายของวัตถุ v

2) ทราบปริมาณงาน W และอัตราเร็วปลายของวัตถุ v ⇒ สามารถคํานวณหาอัตราเร็วตนของวัตถุ u

3) ทราบอัตราเร็วตนของวัตถุ u และอัตราเร็วปลายของวัตถุ v ⇒ สามารถคํานวณหาปริมาณงาน W

7/1/2003 28

ปญหาตวัอยางที่ 2

โจทย

s = 10 m

u = 10 m/s v = 0

7/1/2003 29

ปญหาตวัอยางที่ 2 (ตอ)• กลองใบหนึ่งเริ่มตนไถลดวยอัตราเร็วตน u = 10 m/s ไปบนพืน้ทีม่ีความฝดไดไกลสุด

10 m จงหาคาสัมประสิทธิค์วามเสียดทานจลนระหวางกลองและพื้น µ

• วิธีทํา พจิารณาแรงที่กระทําตอวัตถุ

f = - µNy i = - µmg i

s = 10 i

W = -mg j

f

N = Ny j

7/1/2003 30

ปญหาตวัอยางที่ 2 (ตอ)เนื่องจากแรง N และ W ตั้งฉากกับระยะขจัด

N • s = 0 = W • sเพราะฉะนั้น แรง N และ W ไมทําใหเกิดงาน

จากทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

W = f • s = ½ m v2 - ½ m u2

(- µmg i) • (10 i) = - ½ m u2

∴ µ= u2/20g = 0.5

7/1/2003 31

4.3 งานเนื่องจากแรงโนมถวงและพลังงานศักย

น้ําหนักของวัตถุ ≡ แรงเนื่องจากสนามโนมถวงของโลก gกระทําตอมวล m

เพื่อไมใหสับสนระหวาง น้ําหนัก W กับงาน W

เปลี่ยนสัญญาลักษณ น้ําหนัก W ⇒ Fg

Fg ≡ mg

7/1/2003 32

โยนลูกบอลขึ้น

แรงโนมถวง Fg = mg (- j) ระยะขจัด s = (yf - yi) j

yf

Fg=mg

Fg=mg

yi

พื้นผิวโลกระดับอางอิง

u

v

x

y

7/1/2003 33

นิยาม: พลังงานศักยของแรงโนมถวง• งานเนื่องจากแรงโนมถวง Wg = Fg • s = - mg (yf - yi)

เนื่องจาก yf > yi⇒ Wg < 0

• นิยาม: พลังงานศักยของแรงโนมถวงคือ พลงังานทีข่ึ้นกบัระยะความสูง

U = mgy

Wg = - (Uf – Ui)

งานเนื่องจากแรงโนมถวง = - การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย

7/1/2003 34

ปลอยลูกบอลตก

แรงโนมถวง Fg = mg (- j) ระยะขจัด s = (yf - yi) (- j)

yi

Fg=mg

Fg=mg

yf

พื้นผิวโลกระดับอางอิง

v

u

x

y

7/1/2003 35

ปลอยลูกบอลตก

งานเนื่องจากแรงโนมถวง Wg = Fg • s = mg (yf - yi)

เนื่องจาก yf < yi⇒ yf - yi = -| yf – yi |

Wg = - | Uf – Ui |

7/1/2003 36

หลักการอนุรักษพลังงาน• จากทฤษฎีบทงาน-พลงังาน

Wg = Kf – Kiจะไดวา

Kf – Ki = - | Uf – Ui |

Ki – Kf = Uf – Ui

จัดรูปสมการใหมE ≡ Ki + Ui = Kf + Uf

7/1/2003 37

พลังงานกลรวม E

ถาไมมีแรงภายนอกอื่นใดนอกเหนือจากแรงโนมถวง⇒ พลังงานกลรวม E มีคาคงที่

ระดับอางอิง

E = ½ m v12 + mgy1

E = ½ m v22 + mgy2

E = mgy3

E = ½ m v42 + mgy4

E = ½ m v52 + mgy5

7/1/2003 38

ปญหาตวัอยางที่ 3

โจทย

m1

m2

0.2 m

m1

0.2 m

µตําแหนงเริ่มตน

u1 = 0 v1 = ?

7/1/2003 39

คําถาม: ปญหาตัวอยางที่ 3จากรูป วัตถุ 2 ชิ้น m1 และ m2 แตละชี้นมมีวล 1 kg เริ่มตนจับ m1ใหอยูนิ่งกับที่ หลังจากที่ปลอยให m1 เคลื่อนที่ไปเปนระยะ 0.2 m

จงหาอัตราเร็วของมวล m1 ในกรณีดังตอไปนี้1) พื้นโตะไมเรียบ มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทานจลน µ = 0.52) พื้นโตะเรียบ สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน µ = 0

กําหนดให สนามโนมถวงของโลก g = 10 m/s2

สมมุติวา เชือกเบาไมมีมวลคลองผานรอกที่หมุนไดอยางอิสระและไมมแีรงเสียดทานใดๆระหวางรอกและเชือก

7/1/2003 40

วิธีทําสําหรบัตัวอยางที่ 3• Q: v1 เทากับ v2 ไหม• A: เทากัน เนื่องจากวัตถุทั้งสองติดกันดวยเชือก

m1

m2

0.2 m

m1

0.2 m

u1 = 0 v1

v2 ระดับอางอิง

7/1/2003 41

วิธีทําสําหรบัตัวอยางที่ 3วิธีการแกปญหามี 2 วิธีคือ1) พิจารณาทีแ่ตละวัตถุและใชกฎการเคลื่อนทีข่อที่ 2 ของนิวตัน

T – µm1g = m1am2g – T = m2a

⇒ a = (m2 – µm1)g/ (m1 + m2)

จาก v2 = u2 + 2 a s

v = (2 ah)½

7/1/2003 42

วิธีทําสําหรบัตัวอยางที่ 3 (ตอ)2) ใชหลักอนุรักษพลังงาน

ในกรณีที่ µ = 0

พลังงานศักยของ m2 เปลี่ยนเปน พลังงานจลนของ m1 และ m2

– m2g (yf - yi) = ½ m1v2 + ½ m2v2

ในกรณีที่ µ = 0.5

พลังงานศักยของ m2 เปลี่ยนเปน พลังงานจลนของ m1 และ m2 และงานเนื่องจากแรงเสียดทานที่ m1

– m2g (yf - yi) = ½ m1v2 + ½ m2v2 + µm1gh

7/1/2003 43

4.4 แรงอนุรักษ• สังเกตวา พลังงานศักยของแรงโนมถวงขึ้นกับระดับความสูง

ไมขึน้กับเสนทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ ∆U = mg (yf - yi)

⇒ แรงโนมถวงเปนแรงอนรุักษ

เสนทางที ่1 เสนทางที ่2yi

yf

Fg

Fg Fg

7/1/2003 44

4.4 แรงอนุรักษ (ตอ)แรงของสปรงิขึ้นกบัระยะขจัดของวัตถุจากตําแหนงสมดุล

F = – kx

⇒ พลังงานศักยของสปรงิ U = ½ kx2

ขึน้กับระยะขจัด ไมขึ้นกบัเสนทางการเคลื่อนทีข่องวัตถุ

∴ แรงของสปรงิเปนแรงอนุรักษ

x

7/1/2003 45

4.4 แรงไมอนุรักษ

• งานเนื่องจากแรงขึ้นกับเสนทางการเคลื่อนที่ของวัตถุเชน แรงเสียดทาน

⇒ แรงนั้นเรียกวา แรงไมอนุรักษ

7/1/2003 46

4.5 กําลงังาน• นิยาม กําลังงาน P คือ งานเนื่องจากแรงตอหนวยเวลา

P = ∆W/ ∆ t

หนวยของกําลัง 1 W (วัตต) = 1J/s (จูล/วินาที)

ในกรณีที่แรงคงที่ F ทําใหวัตถุเคลื่อนที่เปนระยะขจัด ∆s⇒ ∆W = F • ∆s

∴ P = F • (∆s/∆ t) = F • v

งาน = แรงคงที่ • ความเร็วเฉลี่ย

7/1/2003 47

ปญหาตวัอยางที่ 4

โจทย รถบรรทุกมวล 2000 kg วิ่งขึ้นเขาดวยอัตราเรง 2 m/s2 ดังรูป

จงหากําลังงานของเครื่องยนตที่สูญเสียไป

10 mu = 20 m/s

v = 30 m/s

a = 2 m/s2

7/1/2003 48

ปญหาตวัอยางที่ 4 (ตอ)วิธีทํา กําลังงาน P = ∆W/ ∆t

1) หางานของเครื่องยนตที่สูญไป ∆ W

∆W = การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศกัย+ การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน

∆W = mg (yf – yi) + ½ m v2 – ½ m u2

⇒ ∆W = 7×105 J

7/1/2003 49

ปญหาตวัอยางที่ 4 (ตอ)• ที่มาของสมการ

∆W = การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย + การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน

• แรงที่กระทําตอรถยนตมาจากแรงของเครื่องยนต Fc และแรงเนื่องจากสนามโนมถวงของโลก Fg จากทฤษฎีบทงาน-พลังงานจะไดวา

Wc+Wg = Kf – Ki = การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน

• เนื่องจาก Wg = – (Uf – Ui) = – การเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย

∴ Wc = (Kf – Ki ) + (Uf – Ui)

7/1/2003 50

ปญหาตวัอยางที่ 4 (ตอ)

2) หาชวงเวลา ∆t∆t = (v – u) / a = 5 s

⇒ P = 7×105 J / 5 s = 140 kW

1 horsepower (hp) ≡ 746 W

∴ 140 kW ≈ 188 hp