Deelnemers van de groep: Suraj Pun (07) en Srijan Shrestha (08)

Klas: 6WEWIb

Deadline: 02/06/2014

Leerkracht: Mvr. Boogaert

Eindwerk wiskunde:

De wiskunde achter de Rubik’s kubus

Onze-Lieve Vrouwecollege te Antwerpen 2013-2014

We turn the cube and it twists us.

- Erno Rubik

1. Inleiding

Iedereen kent wel wat een Rubik’s kubus is. Iedereen heeft dat ooit eens gespeeld. Maar niet iedereen slaagt erin om die kubus op te lossen. Het lijkt op het eerste zicht een makkelijk spelletje. Maar wanneer je het speelt, lijkt het toch anders te zijn. De principes en systemen die erachter zitten zijn ingewikkeld. Het kubus heeft heel veel link met de wiskunde en heeft wiskunde nodig om het makkelijk op te lossen.

De moeilijkheidsgraad van het spelletje maakt het een wereldwijd fenomeen. Er zijn meer dan honderd miljoen exemplaren van het Rubik’s kubus verkocht. Als je dit spelletje ooit hebt gespeeld, weet je vast al wat een moeilijk spelletje het is. Het is nu eenmaal niet zo gemakkelijk om een Rubik’s kubus op te lossen. Er zijn namelijk 43252003274489856000 combinaties te vormen en één daarvan is de juiste. Hoe weten we hoeveel combinaties er zijn? We hebben al vermeld dat het spelletje met de wiksunde te maken heeft en hoe we aan die combinaties kwamen zullen we ook later uitleggen.

Je zou denken dat dit onmogelijk is, maar dat is het niet. Meer zelfs, het is aangetoond dat je elke kubus kan terugbrengen naar de startpositie in maximum 20 stappen. Met dit werkstuk ga ik op zoek naar de wiskundige principes die in de Rubik’s kubus schuilen. Als extraatje wordt er ook een oplossingsmethode gegeven die je op weg helpt om de kubus op te lossen.

2. Kubusnotatie

We moeten eerst bepaalde systemen duidelijk maken. Daardoor wordt het makkelijk om de hele werkstuk makkelijk te begrijpen. Eerst zullen we hebben over de notaties van de Rubik’s kubus.

2.1 Design

Een Rubik’s kubus is een kubus van 3×3×3. Zo’n kubus bestaat uit 27 kleine kubussen. Van de 27 zijn er 26 zichtbaar. Het middenste kubusje is vervangen door een mechanisme die de vlakken van de kubus doet draaien. Het 27ste kubusje bestaat dus niet. De zes vlakken van de kubus hebben elk een aparte kleur. Meestal zijn deze kleuren rood, wit, blauw, geel, groen en oranje. Er zijn acht hoekkubusjes. Dit zijn de uiterste kubusjes van de grote kubus en hebben elk drie vlakken. Er zijn twaalf randkubusjes. Deze zitten tussen de hoekkubusjes en hebben elk twee vlakken. Er zijn zes centrumkubusjes. Deze bevinden zich in het midden van elk vlak.

De hoekkubusjes kunnen op 8! manieren neergezet worden in de puzzel. Vervolgens kan elk hoekkubusje op drie verschillende manieren op zijn positie gedraaid worden. Dat betekent dat er voor de hoekkubusjes in totaal 8! * 38 manieren zijn om ze neer te zetten. Omdat ieder kubusje van de Rubiks kubus anders is door zijn unieke combinatie van gekleurde vlakjes, zijn dit allemaal verschillende manieren.

Voor de ribkubusjes geldt iets soortgelijks: het zijn er 12, dus ze kunnen op 12! manieren neergezet worden. Elk ribkubusje toont 2 kleuren, dus ze kunnen elk ook nog op twee manieren gedraaid worden. Dat betekent dat er voor de ribkubusjes in totaal 12! * 212 manieren zijn om ze neer te zetten. Ook deze manieren zijn allemaal verschillend doordat er geen twee ribkubusjes dezelfde kleurencombinatie bezitten. Aangezien de 6 middenkubusjes niet van hun plaats kunnen bewegen zijn er in totaal (8! * 38) × (12! * 212) = 519.024.039.293.878.272.000 verschillende manieren om een Rubiks kubus in elkaar te zetten. Echter, niet al deze mogelijkheden zijn ook te bereiken met legale zetten vanuit een opgeloste kubus. Hierop komen wij later terug.

2.2 Vlaknotatie

Er zijn verschillende manieren om draaiingen van een Rubiks kubus te beschrijven. Wij zullen hier de Engelse beschrijven, omdat deze het meest voorkomt. Bij de Engelse notatie krijgt elk vlak van de kubus een eigen naam. Hierbij wordt ervan uitgegaan dat je de kubus voor je houdt terwijl je recht tegen één vlak aankijkt. De verschillende vlakken zijn dan:

- De voorkant. Deze wordt beschreven met de letter F. - De rechterzijkant. Deze wordt beschreven met de letter R. - De linkerzijkant. Deze wordt beschreven met de letter L. - De achterkant. Deze wordt beschreven met de letter B. - De bovenkant. Deze wordt besschreven met de letter U. - De onderkant. Deze wordt beschreven met de letter D.

Vb: Het hoekkubusje van het voorvlak, rechtervlak en bovenvlak noemen we fru. Het randkubusje van het achtervlak en het linkervlak noemen we bl.

2.3 Bewegingnotatie

Om draaiingen te beschrijven, wordt een simpel systeem gebruikt. Als wij willen dat een vlak een kwartslag met de klok mee (als we recht naar dit vlak zouden kijken) wordt gedraaid, schrijven we simpelweg de corresponderende letter van dat vlak op. Dus als de voorkant een kwartslag met de klok mee wordt gedraaid, schrijven we ‘F.’ Als het vlak een kwartslag tegen de klok in wordt gedraaid, schrijven we ook de letter van dit vlak op, maar dan met het volgende teken erboven: F’. Dus als de voorkant een kwartslag tegen de klok in gedraaid wordt, schrijven wij F’. Dit is de inverse van de beweging F. Wordt een vlak ‘op zijn kop gezet,’ oftewel twee keer een kwartslag gedraaid, dan schrijven we eerst het vlak dat gedraaid wordt, en daarna een ‘2’ erachter. Dus als de voorkant 2 keer een kwartslag gedraaid wordt, schrijven wij F2 of F².

Vb: Als we eerst het voorvlak draaien en dan het rechtervlak beide in klokswijzerzin, noemen we dit F R. Als we eerst het bovenvlak draaien in tegenwijzerszin en dan het linkervlak draaien ook in tegenwijzerszin, noemen we dit U’ L’.

Het is duidelijk dat de centrumkubusjes altijd op hun plaats blijven. Bovendien blijven randkubusjes randkubusjes en hoekkubusjes hoekkubusjes. We kunnen dit ook als volgt verklaren: hoekkubusjes hebben drie vlakken, bijvoorbeeld f r u. Randkubusjes hebben 2 vlakken, bijvoorbeeld l u. Het is onmogelijk om van drie vlakken naar twee vlakken te gaan. Daarom blijven de centrumkubusjes altijd op hun plaats.

3. Groepen

Het werk gaat over rubik’s cubus en zodat u onze uitleg kan volgen hebben we de bewegings notatie vastgelegd. Nu gaan we de definities geven aan bepaalde begrippen.

3.1 Definities

Aan alle mogelijke zetten dat we kunnen uitvoeren met de kubus beschouwen wij groep G. De groep G is dus een groep met oneindig aantal zetten. De groep G is dus een verzameling elementen en hiervoor geldt:

1. De vermenigvuldiging is gesloten: ∀a, b ∈ G : a · b ∈ G

2. De vermenigvuldiging is associatief: ∀a, b, c ∈ G : a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c

3. Er is een identiek element: ∀a ∈ G, ∃e ∈ G : e · a = a = a · e

4. Ieder element heeft een invers element: ∀a ∈ G, ∃b ∈ G : a · b = e = b · a

Deze definities moeten ook natuurlijk toepasbaar zijn. De toepassing hiervan is zeer logisch en hierdoor lijkt de toepassing hiervan veel gemakkelijker dan de definities zelf.

1. De vermenigvuldiging is gesloten: Als we de zetten U en F uitvoeren, dan is UF ook een zet van G.

2. De vermenigvuldiging is associatief: Als we de zetten U, F en R element van de groep G uitvoeren. Dan is U· (FR) = (UF) · R = UFR

3. Er is een identiek element: het element e beschouwen we als een zet waarbij we eigelijk niets doen.

4. Ieder element heeft een invers element: Als als we de zet F uitvoeren dan is F’ het invers element ervan. Als we F uitvoeren dan draaien wij de voorkant in kolokswijzerszin en als we dan F’ zouden uitvoeren dan zouden we met de voorkant in tegenwijzerszin draaien. Dat wilt dus zeggen als we de zet FF’ uitvoeren dan doen wij eigelijk niets. We komen dan terug bij onze eerste zet, dus FF’ = e (niets doen).

Merk op: Als we 4 keer eenzelfde beweging uitvoeren. Vb: 4 keer F dan komen we terug bij onze eerste stap. FFFF is dus ook niets doen, FFFF = e. Hier komen wij laetr op terug.

Het is zeer eenvoudig om met de rubik’s kubus te werken. Alle mogelijke combinaties kunnen we eigelijk beschouwen als elementen van de groep. De bewegingen hebben naast definities ook eigenschappen.

1. Het identiek element is uniek.2. ∀a, b, e ∈ G : a · b = e ⇔ a = b^(-1)

3. ∀a, b ∈ G : (a · b) ^(−1) = b ^(−1) · a^( −1)

4. ∀a, e ∈ G : (a^ −1 )^(−1) = e

3.2 Deelgroepen

Elke deelgroep is een element van G. Een deelgroep is een niet-lege deelverzameling D van G. De deelgroep is zelf ook een groep van G. Een eenvoudige voorbeeld ven een deelgroep D is: D = {F, FF, FFF, FF’}.

3.3 Generatoren

Eerst zullen we definieren wat een generator is.

Definitie: Stel dat G de groep is en dat D een deelverzameling is van de groep G. Als elke element van G kan geschreven worden als een product van de elementen van D dan genereert D G.

We gaan deze definitie nog duidelijker maken met behulp van aantal voorbeelden:

1. Stel dat de deelverzameling D = {F, B, R, L, U, D} van G, dan genereert D de groep G want elk element van G kan geschreven worden als product van de elementen die D bevat.

2. Stel dat de deelverzameling D = {R} van S = {R, RR, RRR, R’}, dan kunnen we hieruit besluiten dat D de groep S genereert.

We noemen de generende deelverzameling D een voortbrengend.

Definitie: De graad van een element a is het getal n waarvoor geldt a^n = e.

Hier gaat het dus om graad van vier. Als we bijvoorbeeld de voorvlak F vier keer draaien. Theoretisch heeft F een graad van 4. Als we een vlak vier keer draaien, dan bekomen wij onze eerste positie. Dus, F^4 = e.

4: Permutaties

Een permutatie is een verwisseling van plaats binnen een verzameling. Als we de verzameling (1423) en op die verzameling een permutatie uitvoeren, dan kan dat eruit zien als (1324). Maar we gebruiken vaak grotere verzamelingen. Daarom gebruiken we liefst een makkelijke manier van noteren, namelijk de cykelnotatie. We voeren de permutatie (123456) → (145263) uit. We kunnen de baan van permutatie volgen:

1 → 1 2 → 43 → 54 → 25 → 66 → 3

We kunnen de permutatie schrijven als (24) (356). Dit betekent dat 2 en 4 op elkaar worden afgebeeld. 3, 5 en 6 vormen een lus. De 1 wordt niet genoteerd aangezien dat het op zichzelf wordt afgebeeld. Op de zelfde manier kan je de zetten van Rubik’s kubus beschrijven. Het draaien van een vlak van de kubus houdt eigenlijk een verplaatsing van kubusjes in. Bij elke zet verplaats je 9 kubusjes. De zetten van de kubussen zijn dus allemaal permutaties.

Vb: Neem het voorvlak (f). De hoekkubusjes van dit vlak zijn f u r, f r d, f d l en f l u. Door de permutatie F uit te voeren, komt f u r op de plaats van f r d, f r d op de plaats van f d l, f d l op de plaats van f l u en f l u op de plaats van f u r. De randkubusjes van dit vlak f u,f r,f l,f d. Door de permutatie F uit te voeren, komt f u op de plaats van f r, f r op de plaats van f d, f d op de plaats van f l en f l op de plaats van f u. Het centrumkubusje van dit vlak blijft op dezelfde plaats.

In cykelnotatie wordt dit voor de hoekkubusjes (fur, frd, f dl, flu). Voor de randkubusjes wordt dit (fu, fr, f d, fl). De permutatie F kan je dan noteren als (fur, frd, f dl, flu)(fu, fr, f d, fl). Zo kunnen we elke zet van de kubus anders schrijven:

F=(fur, frd, fdl, flu)(fu, fr, fd, fl)B=(bru, bul, bld, bdr)(br, bu, bl, bd)R=(rfu, rub, rbd, rdf)(rf, ru, rb, rd)L=(luf, lfd, ldb, lbu)(lu, lf, ld, lb)U=(urf, ufl, ulb, ubr)(ur, uf, ul, ub)D=(dfr, drb, dbl, dlf)(df, dr, db, dl)

5. Pariteit

5.1 Pariteit van een zet

Elke zet die gedaan wordt met een Rubiks kubus draait een vlak van 9 kubusjes. Dit betekent dat met elke draaiing er 4 hoekkubusjes, 4 ribkubusjes en 1 middenkubusje gedraaid worden. Hoewel het middenkubusje ten opzichte van de andere middenkubusjes draait, blijft hij op dezelfde positie. We zullen daarom voorlopig niet meer naar de middenkubusjes kijken.

Zoals gezegd krijgen bij elke draaiing 4 hoekkubusjes een nieuwe plek. Als we beter kijken naar de verschillende kleuren die een hoekkubusje ‘toont,’ kun je de permutatie F beschrijven als een cykel. We beginnen met het hoekkubusje linksboven, en kijken naar elk afzonderlijk vlak waarop een kleur staat. De bovenkant van het kubusje linksboven gaat dan naar de ‘rechterkant’ op zijn volgende plek. De voorkant blijft de voorkant; de linkerkant wordt de bovenkant. In cykel-notatie: (ufl rfu) waarmee natuurlijk het bovenstaande bedoeld wordt. Als we dit doorvoeren voor alle hoekkubusjes in een vlak, krijgen we de volgende cykel: (ufl rfu dfr lfd) voor een draaiing met de klok mee. Van links naar rechts zijn dit de kubus linksboven,rechtsboven, rechtsonder en linksonder. Dit is een oneven permutatie, aangezien het een 4-cykel is. (Hij kan op de volgende manier als een oneven aantal 2-cykels geschreven worden: (ufl lfd) (ufl dfr) (ufl rfu)) Er kan een soortgelijke cykel opgesteld worden voor de permutatie van de ribkubusjes als permutatie F gedaan wordt. Deze wordt dan (uf rf df lf), met als volgorde van links naar rechts het ribkubusje boven, rechts, onder en links. Ook deze cykel is oneven. Hij kan als (uf lf) (uf df) (uf rf), drie 2-cykels geschreven worden. De permutatie F van zowel de ribkubusjes als de hoekkubusjes kan nu beschreven worden als 2 4-cykels, op de volgende manier: (ufl rfu dfr lfd) (uf rf df lf). In totaal is deze permutatie even: hij kan geschreven worden als zes 2-cykels op de volgende manier: (ufl lfd) (ufl dfr) (ufl rfu) (uf lf) (uf df) (uf rf). De totale permutatie F is dus even. Aangezien elke permutatie die wij kunnen doen alleen maar een variant is van F (zoals U), of F meerdere malen uitgevoerd (F² en F’), is elke permutatie even.

We kunnen dus de defintite van een pariteit opstellen. Als we een cykel hebben van lengte n, dan kan je deze cykel herschrijven als (n-1) 2-cykels. Het aantal 2-cykels die nodig zijn noemen we de pariteit. Als n even is, dan heb je oneven aantal 2-cykels nodig. Vb: Als we een verzameling (1342) laten permuteren, maar 1 op dezelfde plaats laten blijven dan kunnen we deze verzameling ook schrijven als (1342) = (13) (14) (12). De pariteit is hier gelijk aan 3.

Stelling 5.3: Elke permutatie van de Rubik’s kubus heeft een even pariteitBewijs 5.4 : We nemen een willekeurige zet van de kubus, bijvoorbeeld F. We hebben in het hoofdstuk rond permutaties gezien dat de zet F een combinatie is van de permutaties (fur, frd, f dl, flu) (1) en (fu, fr, f d, fl) (2). (1) kan je schrijven als: (fur, frd, f dl, flu) = (fur, frd)(fur, f dl)(fur, flu)Dit is een oneven permutatie. (2) kan je schrijven als: (fu, fr, f d, fl) = (fu, fr)(fu, f d)(fu, fl)

Dit is ook een oneven permutatie.Je kan de totale permutatie F dan schrijven alsF = (fur, frd)(fur, f dl)(fur, flu)(fu, fr)(fu, f d)(fu, fl)De permutatie F is even. Aangezien we elke zet kunnen schrijven als eenvariant van F -namelijk B, R, L, U, D-, is elke permutatie van de Rubik’skubus even.

Als je meerdere permutaties achter elkaar uitvoert, blijft het teken ook even, want even + even = even.

Behoud van pariteit geldt dus ook voor de Rubiks kubus. Maar in dit geval is het wiskundige niet correct om pariteit gebruiken, omdat er meer families zijn dan twee ('even' en 'oneven'). In plaats hiervan gebruiken we het woord ‘invariant’, want die blijft in dit geval behouden. De twee woorden kunnen verder hetzelfde gelezen worden.

Formule We kunnen nu een formule opstellen voor de invariant van de kubus: P = p(h) + p(r) waarbij p(h) de invariant van de permutaties van de hoekkubusjes en p(r) de invariant van de permutaties van de ribkubusjes is. We komen nu terug op het aantal situaties van de kubus die ‘legaal’ bereikbaar zijn. Je kunt je afvragen af er een manier is om 2 hoekkubusjes om te wisselen, terwijl je de rest niet verandert. Dit wil zeggen dat je één 2-cykel nodig hebt voor het beschrijven van de permutatie van de hoeken (oneven), en een even aantal permutaties voor de ribkubusjes. Als wij nu de formule voor de invariant erbij halen en de bovengenoemde waardes invullen, krijgen we het volgende: P = 1 + 0 = 1. De invariant van deze situatie is dus oneven, en aangezien hierboven is bewezen dat de Rubiks kubus altijd zijn even invariant behoudt, is deze situatie onmogelijk te bereiken. Het is dus onmogelijk om twee hoekkubusjes om te wisselen. Het is, om dezelfde reden, ook onmogelijk om alleen maar twee ribkubusjes om te wisselen. In het verhaal hierboven moet dan ‘hoekkubusje’ vervangen worden door ‘ribkubusje’ en vice versa.

6. God’s Number, God’s AlgorithmWat is nu de minimaal aantal stappen dat wij onze rubik’s kubus kunnen oplossen? Na dertig jaar onderzoeken vond men erop een antwoord.

God’s algorithm is een algemeen begrip voor opeenvolging van stappen die je doet om een resultaat te bekomen. Het gaat dus niet alleen om aantal manieren om de Rubik's Cube puzzel op te lossen, maar dit kan ook toegepast worden op andere combinatorische puzzels en wiskundige spelletjes. God’s algorithm verwijst naar zo minimaal mogelijk aantal zetten. Er zijn eigelijk mensen die geloven dat God een gemakkelijk algoritme zou gebruiken voor het oplossen van Rubik’s cube. Hiermee wordt er eigelijk bedoeld dat er zoiets als “minimale aantal stappen voor het oplossen” bestaat. Deze minimale

aantal stappen hebben wij zelfs al gevonden. De minimale aantal stappen is 20 en het is zelfs al bewezen. Spijtig genoeg valt deze bewijs valt buiten ons kennis in wiskunde. De “God’s number” is dus 20.

Als je een aantal keer een algoritme zou herhalen, dan bekom je terug de beginsituatie. Bijvoorbeeld: We nemen eerst het algoritme RRUU. Als wij RRUU zes keer zouden uitvoeren dan bekomen wij terug de beginpositie waarmee we gestart zijn. We hebben dit effectief uitgeprobeerd. We hebben het geprobeerd met een echte Rubik’s Kubus. We hebben dus RRUU zes keer uitgevoerd en wij hebben inderdaad terug de beginpositie bereikt. Als u een Rubik’s Kubus niet hebt dan kunt u dit ook uitvoeren op het internet in de website van “Mathplayground”. In deze website is kunt u een Rubik’s kubus die u online kunt oplossen. De link staat in de bijlage onder de titel “Bronnen”.

7 Oplossingsmethoden

Hoe kun je eigenlijk nu een rubik’s kubus eigenlijk oplossen? Er zijn verschillende methodes om de rubik’s kubus op te lossen. We kunnen vals spelen door stickers kopen en erop plakken. We kunnen de rubik’s kubus open maken met behulp van een schroevendraaier of we gebruiken wiskunde. We gaan voort met de derde oplossingsmethode. We lossen het op met wiskunde. We gaan een efficiënte methode gebruiken. Deze methode is niet altijd de snelste.

Om mee te kunnen volgen met onze uitleg moet u zeker gebruik maken van de figuren in onze bijlage. Anders kunt u onze uitleg niet volgen. Om de Rubik’s kubus op onze manier op te lossen moet u een aantal stappen volgen. Eerst moet er een vlak opgelost worden. Dus u moet ervoor zorgen dat een vlak dezelfde kleur heeft en de randen van deze vlak ook (zie figuur 1). Hiervoor maken we eerst een kruis op willekeurige vlak.(zie figuur 2). Dit is mogelijk zonder gebruik te moeten maken van algoritmes.

Volgende stap is om de hoeken in orde te brengen. Er zijn drie mogelijkheden ( zie fig. 3,4,5):

1. U voert de volgende algoritme R’D’R’.(zie figuur3)2. U voert de volgende algoritme R’D’RD meerdere keren tot het kubusje juist zit. (zie figuur 4)3. U voert het algoritme D’R’DR. (zie figuur 5)

U moet dus één van deze drie mogelijkheden kiezen. U hebt nu het eerste vlak opgelost. De volgende stap is het omdraaien dan de kubus. U moet dus het opgeloste vlak naar onder plaatsen. Tenslotte moet u de eind resultaat behalen zoals in figuur 6.

Nu moeten wij vertrekken van figuur 7. Nu moeten wij de tweede laag vormen. Hiervoor zijn er twee mogelijkheden die heel veel op elkaar lijken maar toch zeer verschillend zijn van elkaar:

1. Zoals het te zien is op figuur 8 houden wij het blauwe vlak vooraan en je doet het algoritme URU’R’U’F’UF.

2. In figuur 9 ziet u dat wij de oranje vlak vooraan houden en de algoritme U’L’ULUFU’F’ uitvoeren.

Op deze manier kunt u de tweede laag helemaal vormen. Nu gaan we verder met de volgende stap. Bij deze stap zijn er enkele beginmogelijkheden want na de vorige stap kan je verschillende resultaat hebben. Er zijn dus twee beginmogelijkheden mogelijk:

1. Ofwel heb je maar 1 blokje op de bovenvlak. (zie figuur 10)2. Ofwel heb je L-vorm op de bovenvlak. (zie figuur 11)3. Ofwel heb je streep. (zie figuur 12)4. Ofwel heb je een kruis. (zie figuur 13)

Eigenlijk is onze doel om een kruis te bereiken zoals figuur 13. We moeten dus van de 3 eerste beginmogelijkheden naar de beginmogelijkheid 4 toe. Er is ook een algemene algoritme die voor al deze beginmogelijkheden werkt. Dit is het algoritme FRUR’U’F’. Om de kruis te bereiken maakt het niet uit hoe je de algoritme met figuur 10 uitvoert. Bij de figuur 11 houdt u de kubus zoals op de figuur gegeven is. Bij figuur 12 moet je de tekening zo houden dat het oranje vlak vooraan staat, dus de streep van boven ligt horizontaal.

We hebben de stap met kruis volgebracht. We gaan nu de vier rand kubusjes van het bovenvlak oplossen(zie figuur 14). Er is een mogelijkheid dat het al zo is na de vorige stap, maar de kans is zeer klein. Meestal zijn de twee van de vier al opgelost. Hierbij zijn er twee gevallen: de aangrenzende vlakken (zie figuur 14) oftewel de overstaande vlakken (zie figuur 15). Bij de overstaande vlakken houdt u de kubus zo dat het ene vlak zich vooraan en het andere vlak zich achteraan bevindt. Bij de aangrenzende vlakken moet u ervoor zorgen dat het ene vlak zich rechts en de andere vlak zich achteraan bevindt. Nu voeren we de algoritme RUR’URUUR’U uit. Bij de overstaande moet de algoritme twee keer uitgevoerd worden.

Enige wat er overblijft om opgelost te worden zijn de hoekbuisjes van het bovenvlak. U zoekt eerst een hoekkubusje dat op een juiste plaats ligt maar het is niet noodzakelijk dat het juist georiënteerd (zie figuur 16). Als er meerdere zijn houdt u de kubus zo dat dit hoekbuisje zicht rechtsvooraan heeft. Als er geen enkele hoekbuisje op de juiste plaatsen zijn, dan maakt het niet uit hoe dat u de kubus houdt. Nu moet u het volgende algoritme URU’L’UR’U’L uitvoeren. Deze algoritme moet uitgevoerd

worden totdat alle hoekbuisjes op de goede plaats liggen. De kubus moet nu gelijkaardigs zijn met figuur 17.

Nu is de oriëntatie van de hoekbuisjes van belang. De kubus moet gehouden worden zoals op figuur 17. NU voert u het algoritme R’U’RU aantal keren uit totdat het hoekbuisje juist georiënteerd is. Er kan zijn dat u iets krijgt dat u helemaal niet verwacht had. Het kan dus eerst door elkaar zitten. Maar het komt later helemaal in orde. U krijgt nu iets als figuur 18. Daarna moet u de bovenvlak in tegenwijzerszin draaien, dus U’ uitvoeren. Tenslotte doet u de algoritme R’U’RU tot dat de kubus helemaal opgelost is. Hierbij is de kubus helemaal opgelost.

Bronnen:

http://www.mathplayground.com/rubikscube.html (Online Kubus oplossen)

Bijlage:

Figuur 1 Figuur 2

Figuur 3 Figuur 4

Figuur 5

Figuur 6

Figuur 7 Figuur 8

Figuur 9

Figuur 10 Figuur 11

Figuur 12 Figuur 13

Figuur 14 Figuur 15

Figuur 16 Figuur 17

Figuur 18 Figuur 19 (opgelost !)