COMOL log

earch log

What I Geometric Nonlinearit?Henrik önnerlind | eptemer 14, 2015

When performing tructural mechanic anale, ou will inevital encounter theconcept of geometric nonlinearit. In thi log pot, we dicu what i meant geometric nonlinearit and when ou hould take thi effect into conideration.

An Introduc�on to Geometric NonlinearitGeometric nonlinearit ma not even e explicitl introduced in a fundamental coureon tructural mechanic. In fact, geometric linearit i often tacitl aumed. In ageometricall linear etting, the equation of equilirium are formulated in theundeformed tate and are not updated with the deformation. Thi ma ound a italarming at firt, ince computing deformation i what tructural mechanic i all aout.

However, in mot engineering prolem, the deformation are o mall that thedeviation from the original geometr i not perceptile. The mall error introduced ignoring the deformation doe not warrant the added mathematical complexitgenerated  a more ophiticated theor. Thi i wh a vat majorit of anale aremade with an aumption of geometric linearit.

There are a numer of cae where the deformation cannot e ignored, and not all ofthee cae comprie deformation that ou would intuitivel think of a eing large.

尳�ect of Including Geometric Nonlinearit

尳�ect of Including Geometric NonlinearitThe mot important effect on the mathematic when ou include geometricnonlinearit in COMOL Multiphic are:

A ditinction i made etween the patial and the Material frame. The patialcoordinate of a certain point ( ) differ from the material coordinate of theame point ( )  the the diplacement vector ( ), o that  . Itwill thu matter whether ou ue uppercae or lowercae coordinate namein expreion.

The train are repreented  the GreenLagrange train tenor intead ofthe engineering train.

The tree are repreented  the econd PiolaKirchoff tre tenor.

Preure load take the deformation into account. Normal to oundarie areupdated and area change caued  tretching are taken into account.

You can read more aout different tre and train tenor in thi previou log pot,ut a mall digreion into the train meaure i needed. To thi end, let u look at thedifference etween linear and the full nonlinear train  conidering ome componentof the train tenor.

The Xdirection GreenLagrange normal train can e written a

If the quadratic term are omitted, the familiar engineering train i retrieved:

imilarl, for a hear train, the GreenLagrange train component i

Again, the engineering train i otained  ignoring the nonlinear term:

Large — or Not o Large — Rota�on

When a tructure rotate ignificantl, the engineering train ued in aic theor will

When a tructure rotate ignificantl, the engineering train ued in aic theor willno longer give a ueful repreentation. Rigid od rotation will caue nonzerocomponent of the engineering train tenor. Thi will, through the contitutive law,caue tree that for phical reaon hould not appear in a rigid od. Another waof viewing thi i that an ueful train tenor mut e ale to reflect the fact that therei no tretching or change of relative angle in a rigid od motion.

Conider a 2D od rotating rigidl in the xplane around the origin. A imple linearplane tre model in which a rectangular teel plate i rotated 10° i hown elow.

ffective tre in a rectangular teel plate at a 10° rotation with no geometric nonlinearit.

The reult i an effective tre of 572 MPa, which i aove the ield limit for the motcommon teel qualitie. To ee wh thi happened, let’ tud the analtical olution:

A point originall placed at (X,Y) will then have moved to a new location (x,), given 

Thi mean that the diplacement (u,v) are

The engineering train will then e

For a rigid od rotation, all train hould e zero, ut clearl two of thee traincomponent are not. A metal will often ield at a train that i of the order of 0.001. Afictitiou train of thi ize will alread occur at a rotation of 2.5°. To keep the trainlower than 0.0001, there mut not e rigid rotation larger than 0.8°. Thi mean thateven at angle where ou often would expect a “mall angle approximation” to eufficient, the geometricall nonlinear approach mut e ued.

Uing the ame rigid od rotation a aove, ut uing GreenLagrange train intead,give

Now thi train tenor component i zero for an value of the rotation. Thi propertcan e hown for the whole GreenLagrange train tenor and alo for aritrarrotation.

 uing a geometricall nonlinear formulation, ou can avoid having thee kind oftre artifact. Thi i confirmed  olving the ame prolem with geometricnonlinearit enaled. The tre level are now pure numerical noie; 12 order ofmagnitude lower than the ield limit.

ffective tre at a 10° rotation while uing geometric nonlinearit.

tretching of Thin tructureConider the two eam in the ketch elow:

eam with different end condition.

At the right end, the upper eam i free to tranlate horizontall, while the lower eami not. In a linear theor, thee two end condition are equivalent if the eam iujected to a vertical load. There i no coupling etween axial and ending action.

However, in a geometricall nonlinear anali, the different end condition will lead to

However, in a geometricall nonlinear anali, the different end condition will lead toquite different reult:

When the end i free to move axiall, the vertical diplacement of the eami almot the ame a in the geometricall linear cae.

When the axial diplacement i contrained, the vertical diplacement will emaller than in the linear cae and have a trong nonlinear dependence onthe load.

A the eam deflect, it center line will e tretched if the end cannot move inward.Thi will introduce a ignificant axial force that will make the eam act imilar to a wirein tenion — the higher the tenile force, the more it will reit a tranvere force.

Midpoint deflection of a eam with a quare cro ection of 0.05 x 0.05. The red lineindicate the load where the deflection in the linear anali i 0.025 (half the height of theeam).

The ame idea alo appl to plate and hell. If the oundar condition are uch thatdeflection will caue inplane tenion, then the plate will ecome ignificantl tifferwith increaing deflection.

There i a rule of thum aing that if the deflection of the eam or plate in a linear

There i a rule of thum aing that if the deflection of the eam or plate in a linearanali exceed half of it thickne, then geometricall nonlinear effect hould econidered. Thi i indicated  the red line in the figure aove.

tre �尳�eningA een in the previou example, the tiffne of a tructure can ometime changeignificantl due to geometricall nonlinear effect. Thi i ometime referred to atre tiffening. The term i omewhat mileading, ince it i alo poile that thetiffne could decreae. If we were to add a compreive axial load to the eam aove,it tranvere tiffne would actuall decreae.

tre tiffening i important in, for example, rotating tem where the centrifugalforce can introduce ignificant tenile tree. Thi caue the eigenfrequencie of thetem to increae with the RPM.

Campell diagram howing how the natural frequencie of a rotating lade change withpeed of rotation.

Often, the load that caue the pretre are not the ame a the one for which ouactuall perform the anali. o there ma e two ditinct load tem that mut eanalzed eparatel.

analzed eparatel.

In COMOL Multiphic, there are two predefined tud tpe pecificall intendedfor the anali of pretreed tem:

1. Pretreed Anali, igenfrequenc

2. Pretreed Anali, Frequenc Domain

tud tpe intended for the anali of pretreed tructure.

Thee tud tpe conit of two tud tep in which tep one i ued for computingthe pretre tate. That tud can e linear or nonlinear. The econd tud tep ilinear in itelf, ut include the nonlinear term caued  the geometric nonlinearitwhen etting up the tiffne matrix.

If ou are intereted in example in which tre tiffening i important, pleae checkout:

Fundamental igenfrequenc of a Rotating lade

Virating tring

Virating Memrane

uckling

uckling, or the lo of tailit when the load reache a certain critical value, i caued

uckling, or the lo of tailit when the load reache a certain critical value, i caued geometricall nonlinear effect. In COMOL Multiphic, there i a pecific tudtpe called Linear uckling for computing the firt order approximation to the criticalload.

The Linear uckling tud tpe.

In the linear uckling tud, an approximate uckling load i otained  olving aneigenvalue prolem.

A an alternative, ou can trace the full nonlinear repone up to the point of collape,and even pat it. In thi cae, ou mut increae the load in maller tep. Thi approachi ignificantl more computationall expenive, ut more accurate.

Loaddeflection hitor with a uckling collape at point A.

You can read more aout uckling in thi previou log pot.

Uing Geometric Nonlinearit in COMOL Mul�phic

naling Geometric Nonlinearit

Geometric nonlinearit i a propert of the tud tep. For thoe tud tpe for whichit i relevant, a check ox i availale in the etting for the tud.

etting for a tationar tud.

ometime thi check ox i preelected and ou cannot change it. Thi happen whenou include certain phic node in the model tree that cannot e ued in a linearcontext, uch a:

Hperelatic material

Large train platicit

Contact

Note that mot nonlinear material model, uch a nonlinear elaticit or creep, do notaume geometric nonlinearit.

olving a Prolem with Geometric Nonlinearit

Geometricall nonlinear prolem are often trongl nonlinear, and ou need toconider that when uppling etting for the olver.

Think of the eam with the fixed end mentioned aove. When olving the nonlinear

Think of the eam with the fixed end mentioned aove. When olving the nonlinearprolem, the olution after the firt iteration will e the ame a the olution to thelinear prolem o that all point on the eam move onl verticall under a tranvereload.

After the firt iteration, there will thu e a ignificant axial elongation of the eam.uch an elongation i related to an axial force. A there i no net axial force (there i noexternal load in that direction), thi force will end up a a reidual for the next iteration.Thi unalanced force ma e larger than the applied load. To the nonlinear olver, thilook like a ver nat prolem and the olver will often introduce damping.

Fortunatel, thee prolem are often more well ehaved than the numeric wouldindicate. You can then peed up the olution ignificantl  uing a more aggreiveiteration cheme than the default.

etting for the Full Coupled olver.

Uing the Contant Newton cheme intead of the automatic adaptive cheme willcaue the olver to make larger update. The damping factor can e et to 1 (nodamping) or poil 0.9.

A prolem where geometrical nonlinearit i the onl ource of nonlinearit will, in

« »

A prolem where geometrical nonlinearit i the onl ource of nonlinearit will, inmot cae, poe a unique olution for a certain load level. In thi ene, it i poileto analze the prolem uing a tationar anali with a ingle load onl. Forconvergence reaon, it i ometime etter to graduall increae the load uing theparametric continuation olver.

An example of how the olver can e et up for a everel nonlinear prolem i hownin our Pinched Hemipherical hell tutorial model.

Final RemarkA we have hown aove, there are everal cae in which geometric nonlinearitiemut e conidered when olving tructural mechanic prolem. o wh don’t wealwa include thi effect in our model to e on the afe ide?

ven if the nonlinear effect i ver mall, invoking the nonlinear olver willgive ou a ignificantl longer olution time. Thi i not an iue for mallmodel, ut when ou are working with everal million degree of freedom, areduction of the olution time  a factor of two reall matter.

ometime ou want to e ale to compare to an analtical olution, anduch olution are often aed on linear theor.

You ma need to follow a tandard or anali procedure where it i aumedthat a linear approach i ued.

In a geometricall nonlinear prolem, it i necear to ue the actual load. Ifou jut want to do a conceptual tud of a tructural repone, the olutionma not converge if the etimated load wa too large.

Pot Categorie

Mechanical   Nonlinear tructural Material

Pot Tag

Technical Content

Login Create New COMOL Acce Account Forgot our Paword?

« Newer Potvolving into a etter Deign: Humanand Technolog a One

Older Pot »Multitud tructural Optimization of aracket

Comment

Ivar Kjelerg eptemer 17, 2015 at 1:57 am

Hi HenrikThank again for an excellent log and thank for the hint on the olver etting, a we are regularlfighting with thee olver etting to tr to improve time to olution inour numerou geometric nonlinear model.I noticed ou did NOT mentioned the tre locking on “antimmetric”C oundarie (due to the added mmetric term), a one i ver tentedto ue (anti)mmetrie to make thee model maller to peed up => m experience: do NOT ue antimmetric C on geometric nonlinear regionAnother trick for uckling nonlinear repone with jump tranition Iue i to run the parametric weep once up and then ack “down”, thenI catch motl the full revering nonlinear repone curve.More on uckling comment can alo e found on Ton Ae ofNAFM nice pot: here “http://www.dekeng.com/de/author/tonae/”Ton give ver good FM coure on NAFM.org , ut he eem tonever have ued COMOL that’ a pit incerel Ivar

Login elow to leave a comment ↴

mail *

Paword

Log in automaticall next time

Login