1. ELEMENTÁRNE POZNATKY Z   MATEMATICKEJ LOGIKY A   ICH MOŽNOSTI VYUŽITIA PRI VÝUČBE MATEMATIKY NA 1. stupni

ZŠ.

Logika- za zakladateľa logiky sa považuje grécky filozof Aristoteles. Logika je veda o správnom usudzovaní. Medzi základné pojmy logiky patria pojmy: výrok, pravdivostná hodnota výroku a výroková forma, kvalifikátor, negácia výrokov, skladanie výrokov.

Výrok- je tvrdenie o ktorom má zmysel uvažovať, či je pravdivé alebo nepravdivé. Je to jednoduchá oznamovacia veta, pri ktorej má zmysel pýtať sa, či je alebo nie je pravdivá. Elementárne výrok, ktoré sú dvojhodnotové (pravda- nepravda) spájame do zložitejších výrokov. Ak je daný výrok pravdivý, priradíme mu pravdivostnú hodnotu 1.Ak je daný výrok nepravdivý, priradíme u pravdivostnú hodnotu 0.Výroky označujeme malými písmenami latinskej abecedy p,q,e.

Výroková forma- zápis, ktorý obsahuje výrokové premenné, logické spojky a zátvorky tak, že po dosadení výrokov dostaneme výrok.

Z didaktického hľadiska sa dieťa pomocou výrokov učí rôznym matematickým pojmom. Preto je potrebné, aby učiteľ vytváral priestor na učenie sa formou otázok a odpovedí.

Operácie medzi výrokmi:Ak máme dve jednoduché vety, ktorú sú výrokmi spojkou (a,alebo,ak..)zostavíme zloženú vetu. Takto vytvorená veta bude mať zmysle a môžeme hovoriť aj o jej pravdivosti alebo nepravdivosti.

Jednoduchý výrok: Pondelok je prvý deň v týždni. – výrok je pravdivý ozn. 1

Zložitejšie výroky: používame symboly ∨,∧,⇒,⇔sa nazývajú logické spojky. Symbol ¬, ktorý sa viaže len k jednému výroku, sa nazýva logický operátor.

∨- alebo- disjunkcia Pôjdem do kina alebo do divadla.∧- a – konjukcia Vonku prší a je zima.⇒- ak- implikácia Ak bude svietiť slnko, pôjdem na prechádzku. ⇔ - práve vtedy- ekvivalencia Číslo 6 je párne práve vtedy, keď je deliteľné 2. ¬ - negácia výroku Číslo 13 nie je prvočíslo

• Logická spojka „alebo“, na rozdiel od jej použitia v bežnej hovorovej reči, nemáv matematike vylučovací význam.• V súvislosti s pojmom implikácia si všimnime, že z pravdivého výroku môževyplynúť len pravdivý výrok, z nepravdivého výroku môže vyplynúť čokoľvek. Tútorelatívne paradoxnú skutočnosť môžeme voľne preformulovať aj nasledovne –nepravdivý výrok nemá v matematických úvahách žiadnu logickú cenu.• Negácia daného výroku má opačnú pravdivostnú hodnotu než daný výrok.• „Ak je pravda, že je pravdivý výrok p, potom je pravdivý aj výrok q“.• „Výrok p je pravdivý práve vtedy, keď je pravdivý výrok q“.• „Nie je pravda, že výrok p je pravdivý“.

Kvantifikátori: používame na vyjadrenie určitého množstva objektov. Sú to slovné spojenia ako napr. každý, pre všetky, aspoň , najviac, žiaden. Výrokom, v ktorom používame kvantifikátori hovoríme kvantifikované výroky. Kvantifikátory v kvantifikovaných výrokoch označujú rozsah pravdivosti výroku, teda pre koľko objektov je daný výrok pravdivý. Výrok : Sme tu všetci? Nie, nie sme tu všetci. – negácia kvantifikovaného výroku.Kvantifikároty: existenčný: niekto, aspoň jeden

všeobecný: všetci, každý, všetko, pre všetky.( určenie prvkov danej množiny)

S kvantifikátormi každý, všetky, aspoň jeden, niektorý…atď. sa žiaci zoznamujú už v 1. ročníku pri práci s množinami a učiteľ by mal dbať na to, aby ich sám dôsledne a správne používal a vytvoril návyk v ich používaní u žiakov. Presné formulácie aj s potrebným kvantifikátormi umožnia žiakom, aby správne pochopili význam matematických viet a definícií nových pojmov.

Na 1. stupni základnej školy sa v učive matematiky vyskytujú úlohy a činnosti, ktoré sú propedeutikou pojmov výrok a pravdivostná hodnota výroku. Pojem výrok je nahradený označením ako napríklad vyjadrenie, veta, tvrdenie a pod. Úlohy sú zadávané s cieľom rozhodnúť o pravdivosti vysloveného alebo iným spôsobom prezentovaného tvrdenia. O pravdivosti tvrdení žiaci rozhodujú na základe vlastnej skúsenosti.Už od 1. ročníka učiteľ vyslovuje tvrdenia, o pravdivosti ktorých majú žiaci rozhodnúť. Takýmto spôsobom sa žiaci stretávajú s výrokmi a určujú ich pravdivostnú hodnotu. Učiteľ od žiakov žiada, aby rozhodli, či vyslovené tvrdenie je pravdivé alebo nepravdivé. Napríklad rozhodujú o pravdivosti jednoduchých výrokov „Vonku prší.“ „Na tvojej lavici je zošit.“ a pod.Uvažujme o nasledujúcej situácii: máme k dispozícii obrázok, na ktorom sú znázornené stromy, zvieratá, hrajúce sa deti a pod. Úlohou je rozhodovať o pravdivosti vyslovených tvrdení, t. j. určovať pravdivostnú hodnotu vytvorených výrokov. Matematická úloha znie:1. Nech je daný výrok a: Na obrázku sú štyri stromy.2. Text úlohy: Určte pravdivostnú hodnotu výroku a.3. Riešenie úlohy: Výrok je pravdivý, platí teda: ph(a) = 1.

Uvedený postup zadania a riešenia úlohy (v troch krokoch) ukážeme využitím terminológie, ktorá sa využíva na 1. stupni ZŠ. Danú úlohu by učiteľ so žiakmi 1. ročníka ZŠ riešil napríklad takto: žiaci majú pred sebou spomínaný obrázok, napríklad vo forme pracovného listu.1. Učiteľ povie: Na obrázku sú štyri stromy.2. Text úlohy – vo forme otázky, ktorú kladie učiteľ žiakom: Je to pravda?3. Riešenie úlohy – odpoveď žiakov na základe zistenia z konkrétnej situácie: Áno je to pravda.

Z uvedeného vyplýva, že namiesto vyjadrenia pravdivostná hodnota výroku je jedna resp. nula, žiaci používajú formuláciu typu je to pravda, nie je to pravda. Okrem tohto vyjadrenia sa na 1. stupni ZŠ objavujú aj iné „náhrady“ spomínaného pojmu. Napríkladph (a) = 1 áno, je to pravda A – áno D – dobreph (b) = 0 nie, nie je to pravda N – nie Z – zle.Označenia typu A (áno), N (nie), D (dobre), Z (zle) sa používajú napríklad v úlohách, kde je potrebné zistiť či uvedené zápisy sú správne. V prípade správneho zápisu ho má žiak označiť A (D), ak je zápis nesprávny, tak je označený N (Z).

Napríklad:1.ročník:Oprav (D - dobre, Z - zle)10+3=12 5+4=9 12+5=17 13+2=18

2.ročník:Farebne označ príklady, ktoré majú nesprávny výsledok. Vypočítaj ich správne.57+32=98 34+63=98 atď.

3.ročník:Skontroluj: 5.4=10.2 5.5<4.6 3.10>5.6

3.4=2.6 15:5>20:10 7.4=10.3 35:5<70:7 10.10=2.50 40:4<50:5

Logika a množiny:Napr.

- konjukcia pri zavedení prieniku množín,- disjunkcia pri zavedení zjednotenia množín, - implikácia pri zisťovaní inklúzie množín a ekvivalencie (vyjadrená ako konjukcia

dvoch imlikácií) pri tzv. porovnávaní množín.

Definície týchto pojmov musí učiteľ veľmi dobre poznať, aj keď ich pred žiami nevyslovuje a ani ich od žiakov nevyžaduje. Žiakov vedie len k správnej aplikácii na konkrétnych príkladoch. Pr: učiteľ povie žiakom: „Keď každý prvok červenej množiny (ukážeme červenú množinu) patrí takisto do modrej množiny (ukáže na modrú množinu), potom hovoríme, že červená množina je podmnožinou modrej množiny- aj keď je toto vyslovené len pre dbe konkrétne množiny v tvare implikácie, vedieme žiakov k tomu, aby ich zovšeobecnili pre pre ľubovoľné množiny a chápali ich ako ekvivalenciu.

Pri vyučovaní matematiky sa často využívajú didaktické hry. Existujú hry, pri ktorých sa u žiakov rozvíjajú schopnosti rozhodovať o pravdivosti vyslovených tvrdení:

Pravda – nepravda

Vychádzame z predpokladu, že každý žiak vie, že deň má 24 hodín. Postupne jednotliví žiaci vyslovujú vety ako napríklad: Včera som spal 9 hodín. V škole som bol 5 hodín. Hral som sa 6 hodín. Na prechádzke s otcom som bol 5 hodín. Za každou vetou nasleduje otázka: Je to pravda? Ostatní žiaci sa pokúšajú rozhodnúť o pravdivosti tvrdení.

2. POZNATKY O   MNOŽINÁCH A   ICH MOŽNOSTI VYUŽITIA V   PRIMÁRNOM MATEMATICKOM VZDELÁVANÍ.

Zakladateľom teórie množín je Georg Cantor. Množina je abstraktný pojem a je charakterizovaná ako: „Množina je skupina vecí dobre rozlíšiteľných našou mysľou alebo intuíciou, pričom tento súhrn chápeme ako nový objekt nášho myslenia“.

Slovo množina znamená v taliančine „ hromada, kopa, skupina“. V matematickom jazyku je množina- skupina dobre rozlíšiteľných objektov, pričom túto skupinu chápeme ako nový celok zhromažďujúci dané objekty.

Množinová matematika sa zavádzala do škôl v 80. rokoch. Pojem množina sa v súčasnosti nepoužíva, napriek tomu je učivo o množinách vstupnou bránou k matematickému uvažovaniu.Pojem množina sa precvičuje na úrovni skúseností a príkladov tak, že im ukážeme, vyznačíme, nakreslíme konkrétna prvky množín.

· označenie:· množiny: A, B, R ...· prvky: a, b, 1, 2, ...

Určovanie množín: /Delmat/- vymenovaním prvkov – žiaci postupne poznávajú, že množinu možno určiť tak,

že vymenujú všetky prvky – konečné množiny-  charakteristickou vlastnosťou. – pri zadávaní charakteristickej vlastnosti musíme

dbať na to, aby žiaci vedeli rozhodnúť o každom prvku zo základnej množiny, či patrí alebo nepatrí do danej množiny. – konečné a nekonečné množiny

Na vyznačenie množín používame uzavreté čiary, krivky a často označujeme množinu farebnou krivkou (ak nie je určená charakteristickou vlastnosťou.)

Z didaktického hľadiska musíme dbať na vyváženosť príkladov a úloh typu:- vymenovať prvky danej množiny- vytvoriť množinu, ktorá je zadaná vymenovaním prvkov- určiť spoločnú vlastnosť prvkov danej množiny- vytvoriť množinu danú spoločnou vlastnosťou.

Vzťahy medzi množinami:

rovnosť množín: množiny A, B sa rovnajú keď každý prvok množiny A patrí množine B a každý prvok množiny B patrí množine A (A=B)

Vzťah množina- podmnožina môžeme prirovnať k vzťahu celok- časť. Aj v prípade vzťahu množiny a podmnožiny žiaci vychádzajú z konkrétnej situácie. napr. Patrí valec do červenej alebo modrej množiny? Modrá množina je podmnožinou červenej množiny. Pomocou obrázka sa dá ukázať, že červená množina nie je podmnožinou modrej.

Operácie s množinami:

Ďalším pojmom je porovnávanie počtu prvku množín- Ak množiny nemajú rovnaký počet prvkov, žiaci určujú ktorá má viac prvkov a ktorá menej.

- rozdiel množín: rozdiel množín A a B je množina všetkých prvkov, ktoré patria množine A , ale nepatria množine B. (A – B)

Zjednotenie množín- na tomto základe sa vysvetľuje sčítanie. Úspechom je, ak žiaci pochopia, že zjednotením nmnožín dostanú novú množinu a nie dvojicu množín.

Prienik- vyjadrujeme pomocou spojky „a“, „a zároveň“. Pojem prieniku je najlepšie znázorniť pomocou súpravy geometrických tvarov. Najlepší spôsob vyznačenia prieniku je množinový diagram.

doplnok množiny: doplnok množiny A je množina všetkých bodov, ktoré patria množine M a nepatri množine A. ( A´= M-A)

karteziánsky súčin: AxB- množiny A a B je množina všetkých usporiadaných prvkov množiny A a druhým prvkom z množiny B. AxB={[a,1];[a,2];[b,1];[b,2]}

prázdna množina: množiny neobsahuje žiadny prvok- disjunktná množina

Množinové relácie: Relácia- vzťah medzi dvojicou prvkov v množine. Je predpokladom pre činnosti triedenia a usporiadania. Relácia je množinou usporiadaných dvojíc prvkov danej množiny, pričom platí, že prvý prvok každej usporiadanej dvojice je v relácii s druhým prvkom dvojice. Relácia má 3 vlastnosti:

- reflexívnosť : každý prvok je sám na seba v relácii- symetrickosť: obojstranný vzťah, ktorý platí vo dvojici prvkov /podávanie rúk/- tranzitívnosť: ak prvok“ a„  je v relácii s prvkom „b“ a ako prvok „b“ je v relácii s

„c“, tak aj prvok „a“ je v relácii s prvkom „c“. – rad detí podľa veľkosti. Nie je

potrebné porovnávať deti od začiatku radu, stačí ho porovnať s výškou dieťaťa vedľa neho a podmienka od najmenšieho po najväčšie splnená.

porovnávanie počtu prvku množín- Ak množiny nemajú rovnaký počet prvkov, žiaci určujú ktorá má viac prvkov a ktorá menej. Porovnávanie množín realizujeme:

- triedením: podľa veľkosti, tvaru- priradzovaním: ku každému vzoru vytvoríme obraz: napr. pexeso; tanierik ku šálke...

usporiadavanie: do dvojíc- karteziánsky súčin. Napr. 1 skupina 3 chlapci; 2 skupina 3 dievčatá. Koľkokrát budú musieť pustiť pesničku, aby si zatancoval každý s každým

3. CHARAKTERISTIKA ETÁP VYTVÁRANIA MATEMATICKÝCH POJMOV- ukážky na príkladoch.

TRI PODOBY ČISLA- charakteristika, ukážka na príkladoch.

V roku 2007 Hejný M. hľadal nástroj, ktorým by bolo možné diagnostikovať u žiakov 2. ročníka ZŠ vytvorenie konceptu 2 + 3 = 5. Na experimentálnej úlohe s názvom „sousedé“ dospeli k prekvapivému chovania žiakov.

Etapy vytváranie matematických predstáv podľa V. Hejného: / Hejný, Karlova univerzita, Zorník príspevkou , 2007/

( schéma podľa Hejný, Kuřina , 2001), v roku 2003 bol pojem separovaný nahradený pojmomizolovaný a v roku 2005 pojem univerzálny na pojem generický.

1, MOTIVÁCIA- je túžba po poznaní, ktorá pramení z rozporu „ neviem, ale potrebujem to vedieť“. – rozprávka, hrou...

2, IZOLOVANÉ MODELY /separované/- v tejto časti sa uloží dieťaťu konkrétna skúsenosť- tzv. zárodok ďalšieho poznania. - Postupne prichádzajú ďalšie izolované modely, ktoré nie sú zatiaľ prepojené. - Postupne sa niektoré modely na seba napájajú do skupín. Vzniká predtucha, že niektoré z modelov sú rovnaké.- zistenie podstaty podobnosti modelov a vytvára sa komunita modelov. (4 cukríky, 4 deti..)ak dáme dieťaťu povieme že má 4 cukríky a potom má doniesť 4 jablká, nebude vedieť, že 4 sú vždy rovnaký počet akéhokoľvek prvku.

3, GENERICKÉ MODELY /univerzálne/- v tejto časti sa zjednocujú izolované modely. ( 4 cukríky sa môžu označiť ako * * * * ). Využívanie prstov, dieťa si uvedomuje, že číslo je spoločná vlastnosť všetkých prvkov.

4, ABSTRAKTNÝ POZNATOK /vznik poznatku/-Abstraktný poznatok prekračuje hladinu názornosti. ( ďalšie vlastnosti č. 4) 6iaci si uvedomujú číslo aj keď si ho neznázorňujú.

5, KRYŠTALIZÁCIA POZNATKOV- každý ďalší poznatok sa behom vzniku prepája s ďalšími poznatkami. Niekedy nový poznatok vedie k reorganizovaniu prechádzajúcej poznatkovej štruktúr. (napr. objavia sa záporné čísla, rozlišujú párne a nepárne čísla, usporiadanie čísel..)

Príklad: Chlapec pozeral s otcom z okna izby. Na parkovisku stálo 5 áut. Chlapec ich nazval embéčka, trabant, fiat, škoda, volga. Potom si ľahol a začul ako z parkoviska jedno auto odišlo.Ktoré odišlo? (trabant). Chlapec vystrčil všetkých 5 prstov a zavrel ukazováčik. Zostali 4, povedal chlapec. Otec povedal: „Pomýlil som sa, odišiel fiat, nie trabant.“ Chlapec znova vystrčil všetkých 5 prstov a zavrel prostredník. Počítal: „Aj teraz sú 4.“ Príhoda pomôže lepšie pochopiť prvé etapy genézy mnohostných predstáv: motiváciu, etapu separovaných modelov a etapu univerzálneho modelu. Motiváciou rozumieme túžbu dieťaťa vyriešiť problém. V uvedenom príklade veľkú úlohu zohral záujem o autá. Pri počítaní príkladu si chlapec neuvedomoval, že výsledok nezávisí od identity auta. Nevedel, že 5 áut bez trabanta je to isté ako 5 áut bez fiata. Oba tieto modely operácie 5-1 boli v jeho vedomí ešte oddelené, separované. Preto túto etapu nazývame etapa izolovaných modelov. Je možné, že radosť, s ktorou oznamoval výsledok druhého počítania bola spôsobená jeho objavom, že 5 áut – 1 auto = 4 autá, bez ohľadu na to, ktoré auto odišlo. V tomto okamihu sa pohol z etapy separovaných modelov na etapu generického modelu. Na tejto úrovni je už napr. jeho schopnosť evidencie mnohosti. Nepotrebuje mať autá, stačia mu prsty. Vie, že model prstov nahradí dobre model áut. Dieťa musí nadobudnúť veľké kvantum skúseností, aby vznikol predpoklad pre ďalší abstraktný zdvih v jeho vedomí, na prechod k etape poznatku. Po tejto etape nasleduje ešte etapa kryštalizácie poznatku, v rámci ktorej sa dieťa

s novým abstraktným pojmom naučí pracovať tak, že mu jeho abstraktná kvalita nebude robiť žiadne ťažkosti.

6, AUTOMATIZÁCIA- v najnovších publikáciách sa tento pojem nepoužíva nakoľko v rámci poznávania dieťaťa v matematike sa od kryštalizácie vynára vždy nová súvislosť, ktorá dieťa vráti k izolovaným alebo generickým modelom. Pri automatizovaní sa môže hovoriť len ako o osvojovaní určitých zručností a schopnosti narábať s operáciami.

TRI PODOBY ČÍSLA-

1, číslo ako adresa- ide o označenie potrebné na rozlíšenie predmetov / č. autobusu, š. domu../

2, číslo ako mnohosť- ide o vyjadrenie kvantity predmetov a javov / 10 €, 4 koláče /

3, číslo ako operátor- ide o dynamickú podobu čísla a chápe sa ako príkaz zmeny / otázka- O koľko viac? Bývam na 10. poschodí, číslo ako perátor spôsobí zmenu čísla na iné- sčítanec, menšiteľ.

4. ROZNE PRÍSTUPY K   BUDOVANIU POJMU PRIRODZENÉHO ČŚLA UPLATŇOVANÉ V   TEORETICKEJ I   PRAKTICKEJ

DIDAKTIKE MATEMATIKY.

Numerácia- náuka, ktorej cieľom je budovanie prirodzeného čísla. Úlohou numerácie je naučiť:

- Správne chápanie, zapisovanie a vyslovovanie čísel- Chápať podstatu desiatkovej sústavy- Usporiadanie a porovnávanie čísel- Odhad, zaokrúhľovanie

-Dieťa vstupuje do ZŠ s poznatkom o určovaní prvkov množiny počítaním po jednom, ale ešte nevie označiť počet prvkov množiny číslom, zovšeobecniť konkrétne predstavy o čísle, porovnáva čísla. Číslo je abstraktný pojem, ktorý sa v rámci etáp matematických pojmov musí zavádzať u detí postupne už od predškolského veku. „Číslo tri sú tri prsty bez prstov“.

1, ročník: - čísla od 1-5- čísla 6, 0,7, 8, 9, 10- porovnávanie množín- priraďovanie prvkov jednej množiny k prvkom druhej

množiny- znaky <, >, =- usporiadanie čísel podľa veľkosti- čítanie a písanie číslic- bezpečná vzdialenosť čísel 1- 10- rozklad čísla- príprava na operácie sčítania a písania- rozširovanie oboru do 20- desiatkový rozklad

2. ročník: - rozšírenie oboru do 100 - počítanie po desiatkách a po jednom - porovnávanie čísel na číselnej osi

- štvorcová sieť- rozvinutý a skrátený zápis v desiatkovej sústave

3, ročník:- rozšírenie oboru do 1000, neskôr do 10 000- dôraz nie na predstavu o veľkosti čísla, ale na pochopenie desiatkovej sústavy- počítanie po tisícoch, stovkách, desiatkach, jednotkách- umiestnenie jednotiek, desitok......- číselná os s meniteľnou stupnicou- porovnávanie čísel pomocou pozičného zápisu- dĺžkové miery- násobky čísla 100

4, ročník:- číselný obor do milióna a nad milión- predchodca a nasledovník čísla- množina prirodzených čísel ako Peanovskej množiny- zaokrúhľovanie čísel, zlomky- iné číselné sústavy

Prvotná predstava čísla: / Sotáková- prednáška//

1, kardinálna predstava- číslo chápané ako počet prvkov množiny, ide o celkové zachytenie množstva. Pre predstavu stačí názorné uvedomenie figúry alebo tvaru, vytvorenie množiny s daným počtom prvkov.Úloha: v našej triede je 5 chlapcov a vo vedľajšej 20. Kde je viac? Koľko ich je spolu? Jožko má 25 vláčikov, Marek 12. Koľko budú mať ak sa budú hrať spolu?

2, ordinálna predstava- číslo chápané ako poradie. Pre predstavu je potrebné počítanie, zoradenie čísel do číselného radu.

Úloha: Ktorý deň v týždni je utorok?; Vylož nákup na tretiu policu. Miško sedel v kine na sedadle č. 4 , Anka sedela o tri miesta ďalej. A akom sedadle sedela Anka?

3, Peanovská predstava- číslo chápané ako inklúzia tried. Ide o pridávanie po jednom, lebo ku každému číslu vieme nájsť nasledovníka- teda č. o 1 väčšie. Určovanie následníka a predchodcu čísla. 0 nemá predchodcu. Úloha: doplňovanie číselného radu o jeden. Janko sa rozhodol, že si každý deň odloží 1€. Už má 25 € a sviatok má mamička o 12 dní. Koľko peňazí bude mať Janko na darček?

5. POČIATKY A   ROZVOJ NUMERÁCIE V   PREDŠKOLSKOM A   V   MLADŠOM ŠKOLSKOM VEKU.

ETAPY ROZVOJA NUMERÁCIE.

/prednáška MT- TT/Počiatky a   rozvoj numerácie v   predškolskom veku: numerácia je dlhodobý proces. Etapy numerácie v predškolskom období: rozlišovanie singuláru a plurálu, počítanie po dvoch, používanie čísel bez chápania ich významu, rytmus (riekanky), neobmedzené vymenúvanie číselného radu, čísla od 0- 20 (individuálne).

Dieťa teda pred vstupom do ZŠ ovláda: určenie počtu prvkov množiny počítaním po jednom, počítať čísla.

/Delmat/V ZŠ- numerácia je učivo na 1. Stupni ZŠ, ktoré zahŕňa poznatky o prirodzených číslach, toto učivo je kľúčové. Ciele numerácie podrobne určujú učebné osnovy. Ich plnenie je rozdelené na etapy zodpovedajúce vekovým danostiam žiakov. Cieľom numerácie je:- správne chápanie, zapisovanie a vyslovovanie čísel

- chápať podstatu desiatkovej sústavy

- usporiadanie a porovnávanie čísel

- odhad, zaokruhľovanie

Obsah numerácie tvoria oblasti poznatkov, ktorých osvojenie zabezpečuje ovládanie učiva o prirodzených čísel, poznatky sa osvojujú v na seba nadväzujúcich aktivitách, ktoré nazývame etapy numerácie. Vytváranie pojmu prirodzené číslo prebieha vo všetkých ročníkoch. V 1. ročníku pri preberaní čísel 0- 10 je zdôraznené vytváranie predstáv o prirodzenom čísle ako o počte prvkov neprázdnej konečnej množiny. V ďalších ročníkoch je utváraný komplexnejšie, materializovaná činnosť sa nahrádza matematickými operáciami, ktoré sú chápané ako abstrahované manipulácie s predmetmi, neskôr by mala byť nahradená predstavami o podstate počtových výkonov, usporiadania a vzťahov medzi číslami.

Pojmy, ktoré úzko súvisia sPojmy, ktoré úzko súvisia s  numeráciounumeráciou

-- Ekvivalentné množiny (Pozor! Je rozdiel medzi ekvivalenciou a rovnosťou množín!)

- kardinálne čísla neprázdnych konečných množín = prirodzené číslo

-- Peanova množina

-- relácia ekvivalencie

ETAPY ROZVOJA NUMERÁCIE:Podľa rozdelenia po ročníkoch:1. roč. - čísla od 0-201. roč. - čísla od 0-20

2. roč. - čísla od 0-1002. roč. - čísla od 0-100

3. roč. - čísla od 0-10 0003. roč. - čísla od 0-10 000

4. roč. - do milióna a nad milión4. roč. - do milióna a nad milión

ETAPY ROZVOVA NUERÁCIE:

NUMERÁCIA V 1. A 2. ROČNÍKU ZŠ

Prvé obdobie numerácie – čísla 1 až 5 – prebieha v 1. ročníku - naučia písať číslice 1 až 5 a porovnávať- žiaci sa učia matematizovať reálne situácie, ktoré pozorujú okolo seba

Druhé obdobie numerácie – čísla 6 až 10 a 0 – prebieha v 1. ročníku - na rozdiel od predchádzajúceho obdobia je toto učivo považované pre žiakov za úplne nové.- každé číslo z tohto intervalu je preberané monograficky v poradí 6, 0, 7, 8, 9, a 10

- Osobitnú pozornosť treba venovať číslam 0 : 0 sa zavádza ako počet prvkov prázdnej množiny, odpočítaním.

- Č. 10 je prvým dvojciferným číslom a prvý krok k pochopeniu desiatkovej sústavy- č. 7,8,9, ako v prvom období.

Tretie obdobie numerácie – obor do 20 –prebieha n akonci 1 a začiatku 2. ročníka- druhá desiatka prirodzených čísel metodicky využíva transfer z prvej desiatky a preto čísla

11 až 20 sú vysvetlené v jedinej vyučovacej hodine. - tvorba názvov čísel -  rozklad dvojciferného čísla na desiatky a jednotky , čo smeruje k dvojakému zápisu čísla – pozičný a rozvinutý.

Štvrté obdobie numerácie – obor 100 – prebieha 2. ročníku. - zoskupovaním prvkov do jednotiek vyšších radov: IIII - Je treba zdôrazniť, že podstata numeračnej sústavy spočíva v princípe zoskupovania, ale nie

usporiadania čísel do číselnej rady. Pribúda abstrakcia. - venujeme najväčšiu pozornosť číselnej rade, žiaci chápu prvú dvadsiatku ako celok a nie ako

dve desiatky. - počítanie po desiatkach - dochádza k prechodu cez desiatku. - porovnávanie čísel pomocou porovnávania množín a na číselnej osi, ktorá je chápaná ako

množina dielikov a číslo je na nej vyznačené ako úsek- množina v danom počte dielikov.- pomôcky: štvorčekový papier, počítadlo, paličky, makety peňazí

NUMERÁCIA V 3. A 4. ROČNÍKU ZŠPrvom období numerácie - čísla do 1 000 – toto obdobie je najvýznamnejšie. – 3. ročník- počítanie po 100 do 1 000, po 10 medzi stovkami a po 1 medzi desiatkami. - dôraz na správne pochopenie princípu desiatkovej numeračnej sústavy a pozičného zápisu

čísel v desiatkovej sústave. - matematika pomaly dostáva abstraktnejší ráz- viac sa pracuje so schémami a symbolmi- východiskom je práca s číselnou osou, na ktorej žiaci čísla ukazujú a čítajú- žiaci sa hlbšie zoznamujú s pozičným aj s rozvinutým zápisom prirodzeného čísla

v desiatkovej sústave- prehlbovanie poznatkov s prevodom jednotiek dĺžky- prvé skúsenosti so zaokrúhľovaním čísel-Pozičný zápis: rozvinutý zápis: 327 3 . 100 + 2 . 10 + 7 . 1208 2 . 100 + +8 . 1656 6 . 100 + 5 . 10 + 6 . 1

V   druhom období (záver 3. ročníka a 4. ročník) žiaci poznajú čísla do 10 000. - dôraz sa kladie na zápis a čítanie veľkých čísel- zavádzajú sa nerovnice-Tretie obdobie završuje numeráciu preberanú na prvom stupni ZŠ s číslami do miliónu, poprípade aj s číslami väčšími – čísla v obore N0. - naučiť žiakov dobre čítať a zapisovať veľké čísla a vedieť rozhodnúť, ktoré z dvoch - číselný obor sa rozširuje abstraktne pomocou nasledovníka- prehlbujú sa poznatky o zápise, čítaní a rozklade veľkých čísel, zavádza sa pojem rád čísla

a číslice

- žiaci sa oboznámia s pravidlami zaokrúhlenia

6. NÁČRT HISTORICKÉHO VÝVOJA ZÁPISOV PRIRODZENÉHO ČÍSLA.

DESIATKOVÁ, NUMERICKÁ SÚSTAVA- charakteristika, náčrt podstaty iných číselný sústav.

Vývoj zápisov čísla:Prvé vyjadrenia čísel, ktoré vieme rozoznať, sú pravdepodobne vruby na kostiach z asi pred 25000 rokov.Egypťania- používali desiatkovú sústavu, ktorá však nebola požičná. Čísla zapisovali pomocou čiarok, ktoré zoskupovali po desiatkach. Pre desiatku mali znak– obrátené U. Egypťania nemali nulu.

1 - 2 - 3 - 4 - 5

6 - 7 - 8 - 9 - 10

Pre vyššie skupiny zavádzali ďalšie znaky. 100- povrázok; 1000- kvet lotosu; 1 000 000- egyptský boh.

100 - 1000 - 1000

0 - 100000 - 100000

0Písanie pomocou hieroglifov bolo zdĺhavé, a preto sa počas ďalšieho rozvoja menilo na hieroglyfické písmo na písanie rýchlostnými skratkami.

Mezopotánia- Sumeri písali čísla na hlinené tabuľky pomocou drievok zrezaných do tvaru klinu. Takto vytlačený znak označoval číslo 1. Opakovaním symbolu zapisovali čísla od 1- 9. Pre č. 10 mali iný znak, ktorý sa dal zapísať drievkom. Išlo o klinové písmo. Po Sumeroch prevzali tento spôsob Babylončania a základom bolo číslo 60.

, Mayovia- mali pozičnú sústavu, dvadsiatkovú kombinovanú s päťkovou. Čísla sa zapisovali do stĺpca a to smerom zdola nahor. Bodky a čiarky slúžili na vyjadrovanie čísel od 1- 19. Pravdepodobne ako prvý použili znak pre nulu znakom mušle.

Gréci- používali sústavu s 27 písmen svojej abecedy vo význame číselných znakov.

Rímania- s rímskymi číslami sa stretávame aj dnes. Táto sústava je pozičná, nepozná ale nulu a očítanie v nej bolo zložité. Používali abakus. Rímske číslice vznikli prirodzenou cestou- počítaním na prstoch.

Numerický systém používaný dnes vo väčšej časti sveta bol pravdepodobne vyvinutý v Indii, ale pretože to boli Arabi, ktorí rozšírili tento systém na západ, volajú sa tieto číslice arabské. Ide o desiatkovú pozičnú sústavu s 9 číslicami.(číslica = znak)

DESIATKOVÁ NUMERICKÁ SÚSTAVA

Numerická sústava- skupina všetkých používaných znakov spolu so spôsobom, ako sa prirodzené čísla zapisujú. Rozdelenie:

- Pozičná: ten istý znak sa používa na rôznych pozíciách- v zápise má rôzne hodnoty- Nepozičná: pri zapisovaní čísel nie je dôležité poradie číslic- pomenovanie a zapisovanie

čísel. Napr. hieroglifické čísla, kde bez ohľadu na usporiadaní znakov má vyjdrenie určitú hodnotu.

Dnes sa skoro na celom svete používa desiatková pozičná sústava. Jej základom je číslo 10 a má 9 číslic.

Rozvinutý zápis čísla: 257 = 2.100 + 5.10 + 7.1.

Skrátený zápis čísla: 257

Číselné sústavy na 1. stupni:

- Myšlienka zoskupenia po desať- v 2. Ročníku pri numerácii do 100- Potreba vyučovať aj učivo o iných číselných sústavách: ako motivácia o číselných sústavách,

na precvičovanie a hlbšie pochopenie desiatkovej sústavy

Ciele učiva o   desiatkovej sústave: Žiaci si majú uvedomiť:

- Každé prirodzené číslo má svoj názov a svoj symbol- Pomocou niekoľkých symbolov vieme zapísať ľubovoľné číslo- Číselnú sústavu tvoria čísla usporiadané podľa určitého pravidla- Desať jednotiek určitého rádu dáva jedno jednotku vyššieho rádu

Okrem desiatkovej sústavy existujú číselné sústavy s ľubovoľným základom. Musí to však byť prirodzené číslo väčšie ako 0. Napríklad vo výpočtovej technike sa používa dvojková pozičná sústava a šestnástková sústava.

Dvojková- využívané 2 číslice 0, 1

Päťková- 1,2,3,4,10, 11,12,13, 14, 20......