INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL
ESCUELASUPERIORDEINGENIERIAMECANICAYELECTRICAUNIDADPROFESIONALADOLFOLPEZMATEOS
APLICACIN DE LA TRANSFORMADA WAVELET EN EL ANLISIS DE CALIDAD DE
LA ENERGA
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO ELECTRICISTA
PRESENTA:
RODRIGO DAVID REYES DE LUNA
ASESORES:
M. EN C. MIGUEL JIMNEZ GUZMN ING. GUILLERMO BASILIO RODRGUEZ
MXICO, D.F.
2009
DEDICATORIA
A MIS PADRES POR HABERME DADO LA VIDA, Y SIEMPRE GUIARME POR EL
CAMINO CORRECTO.
A MIS HERMANOS QUE ME APOYAN EN TODO MOMENTO.
I
AGRADECIMIENTOS
Agradezco muy especialmente
II
RESUMEN
En esta tesis se presenta la aplicacin de la transformada
Wavelet en el anlisis de la calidad de la energa. Esta herramienta
matemtica se emplea para la deteccin y localizacin de diversas
perturbaciones de la calidad de energa en sistemas elctricos. En
este trabajo se describen sus propiedades, caractersticas, ventajas
y desventajas con respecto a la transformada de Fourier. A
diferencia de otras propuestas para la deteccin de perturbaciones
que se realizan directamente en el dominio del tiempo, la deteccin
mediante la transformada wavelet se enfoca en la escala
dominio-tiempo. Este enfoque es aplicado en la deteccin y
localizacin de una amplia gama de disturbios de calidad de la
energa, tales como las fluctuaciones rpidas de tensin, las
variaciones de tensin de corta y larga duracin y la distorsin
armnica.
III
ABSTRACT
In this thesis is presented the Wavelet transform application in
the power quality analysis. This mathematic tool gives an approach
to detect and localize various electric power quality disturbances
in electric systems. In this work is presented its properties,
features, advantages and disadvantages over the Fourier transform.
Unlike other approaches where the detection is performed directly
in the time domain, detection using wavelet transform analysis
approach is carried out in the time-scale domain. This approach is
robust in detecting and localizing a wide range of power
disturbances such as fast voltage fluctuations, short and long
duration voltage variations, and harmonic distortion.
IV
NDICE GENERAL Dedicatoria.....I Agradecimientos......II
Resumen......III Abstract........IV ndice General......V ndice de
Figuras ....VIII Capitulo 1. Introduccin....1 1.1 Introduccin1 1.2
Antecedentes...2 1.3 Objetivo3 1.4 Justificacin.4 1.5 Organizacin
de la tesis.....5 Capitulo 2. Trminos y Definiciones de Calidad de
la Energa.6 2.1 Introduccin....6 2.2 Clasificacin General de los
Disturbios de Calidad de la Energa..6 2.3 Evento o disturbio..9
2.3.1 Transitorios....11 2.3.1.1 Impulso Transitorio...11 2.3.1.2
Transitorio Oscilatorio...12 2.3.2 Variaciones de Voltaje de Larga
Duracin....15 2.3.3 Sobre Voltaje..15 2.3.4 Cadas de Voltaje..15
2.3.5 Interrupciones Sostenidas....16 2.3.6 Variaciones de Voltaje
de Corta Duracin.16 2.3.7 Interrupcin...17 2.3.8 Depresin de
voltaje (sag, dip) ....18 2.3.9 Swells..20 2.3.10 Desbalance de
voltaje.21 2.3.11 Distorsin de la forma de onda.22 2.3.12 Dc offset
(desplazamiento de cd) ..23 2.3.13 Armnicas............23 2.3.14
Interarmnicas.....25 2.3.15 Notching...25 2.3.16 Ruido (noise)
....26 2.3.17 Fluctuaciones de voltaje (parpadeo flickers) ...26
2.3.18 Variaciones de frecuencia del sistema..27 2.3.19 Curva ITI
(CBEMA) ...29
V
Capitulo 3. Tratamiento de Seales...33 3.1 Introduccin..33 3.2
Tipos de seales....34 3.2.1 Seales Estacionarias y no
estacionarias....34 3.2.2 Seales Continuas y Discretas.....34 3.2.3
Seales Analgicas y Digitales36 3.2.4 Seales Reales y Complejas..36
3.2.5 Seales Determinsticas y Aleatorias..36 3.2.6 Seales Pares e
Impares....37 3.2.7 Seales Peridicas y No Peridicas.....37 3.3
Anlisis de seales....37 3.4 Transformada de Fourier........42 3.4.1
La transformada discreta de Fourier..43 3.4.2 La transformada de
rpida Fourier 47 3.4 Otras trasformadas matemticas....60 3.4.1
Transformada de Fourier..61 3.4.2 Transformada Hartley...62 3.4.3
Transformada de Laplace.....63 3.4.4 Transformada Z.63 3.4.5
Transformada Hilbert...63 3.4.6 Transformada de Gabor...........64
3.4.7 Transformada de Hankel..65 3.4.8 Transformada Wavelet..65
Capitulo 4. La transformada Wavelet....67 4.1 Introduccin..67 4.1.1
Traslacin....69 4.1.2 Escala...69 4.1.3 Conjugacin
traslacin-escala.....70 4.2 Transformada Wavelet Continua.......72
4.3 Transformada Wavelet Discreta.....75 4.4 Ejemplo de aplicacin
de la transformada Wavelet contina....76 Capitulo 5. Aplicacin de
la transformada wavelet a la calidad de la energa en sistemas
elctricos.................................................84 5.1
Introduccin..84 5.2 Transformada wavelet aplicado a la calidad de
la energa....85 5.3 Localizacin y deteccin de perturbaciones de
calidad de la energa..........87 5.4 Eleccin de la wavelet madre.89
5.5 Resultados......90 5.5.1 Disturbios en la forma de onda en
bordes mximos....90 5.5.2 Depresin del voltaje (Sag)... ...92
VI
5.5.3 Distorsin armnica......93 Capitulo 6. Conclusiones.....96
BIBLIOGRAFIA....98 Apndice A. Cdigos de
MATLAB......................................................................101
VII
INDICE DE FIGURAS
Figura 2.1.- Ejemplo de un sobrevoltaje transitorio, que es un
disturbio provocado por una falla de fase a tierra Figura 2.2.-
Corriente de rayo que genera un impulso transitorio Figura 2.3.-
Transitorio oscilatorio de corriente causado por el switcheo de un
banco de capacitores. Figura 2.4.- Transitorio oscilatorio de
frecuencia baja causado por la energizacin de un banco de
capacitores Figura 2.5.- Transitorio oscilatorio de baja frecuencia
causado por ferroresonancia de un transformador desbalanceado
Figura 2.6.- Interrupcin momentnea debido a una falla y liberacin
de la misma. Figura 2.7.- Sag de voltaje causado por una falla de
una fase con tierra (SLG) Figura 2.8.- Sag de voltaje temporal
causado por el arranque de un motor Figura 2.9.- Swell de voltaje
instantneo causado por la falla de fase a tierra (SLG) Figura
2.10.- El comportamiento de desbalance sobre un alimentador
residencial Figura 2.11.- Forma de onda de la corriente y contenido
armnico para un controlador de velocidad Figura 2.12.- Ejemplo de
notches de voltaje causado por un convertidor trifsico Figura
2.13.- Ejemplo de un flicker de voltaje causado por la operacin de
un horno de arco elctrico. Figura 2.14.- Power frequency trend and
statistical distribution at 13-kV substation bus. (Courtesy of
Dranetz-BMI/Electrotek Concepts.) Figure 2.15.- A portion of the
CBEMA curve commonly used as a design target for equipment and a
format for reporting power quality variation data. Figura 2.16.-
Curva ITI Figura 3.1.- Ejemplo de una seal de tensin de 60Hz.
Figura 3.2.- Ejemplo de una seal contina. Figura 3.3.- Ejemplo de
una seal discreta. Figura 3.4.-Obtencin de una seal discreta al
muestrear una seal continua. Figura 3.5.- Dos seales de 3 y 10 Hz.
respectivamente. Figura 3.6.- Seal de 50 Hz. y su transformada de
Fourier. Figura 3.7.- Seal estacionaria y su respectivo espectro en
frecuencia. Figura 3.8.- Seal no estacionaria y su respectivo
espectro en frecuencia. Figura 3.9.-Grafica que muestra los valores
discretos de la funcin muestreada. Figura 3.10.- Contenido armnico
de la figura 3.9. Figura 3.11.- Valores discretos en un periodo de
corriente de una PC. Figura 3.12.- Contenido armnico de la figura
3.11. Figura 3.13.- Contenido armnico de la seal de corriente
utilizando la TDF.
VIII
Figura 3.14.- Seal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y
100 Hz. Figura 3.15.- STFT de la seal de la figura 3.14. Figura
3.16.-Enrejado resultante en el plano tiempo-frecuencia de la
transformada enventanada de fourier, en el primer caso se utiliza
una mejor resolucin en el tiempo a costa de tener poca resolucin en
la frecuencia. En el segundo caso, la resolucin en la frecuencia se
incrementa, a costa de perder resolucin en el tiempo. Figura
3.17.-Representacin de la funcin gaussianna para distintas
anchuras. Figura 3.18.- STFT de la funcin de la figura 3.14 con
funcin gaussiana de a=1800. Figura 3.19.- STFT de la funcin de la
figura 3.14 con funcin gaussiana de a=18. Figura 3.20.- STFT de la
funcin de la figura 3.14 con funcin gaussiana de a=1.8. Figura
3.21.- Ejemplo de descomposicin donde muestra que los dos primeros
filtrados contienen principalmente ruido, mientras que los de mayor
nivel aproximan la seal. Figura 3.22.- Interpretacin grafica de la
resolucin en tiempo y en la frecuencia. a) Transformada wavelet
continua b) Transformada wavelet discreta Figura 4.1.- Estas son
algunas wavelets madre ms utilizadas en la prctica, definidas segn
un eje de tiempo continuo. Figura 4.2.- Ejemplo de una seal coseno
para distintas escalas. Figura 4.3.- Las dos operaciones bsicas de
escalado y traslacin definen el enrejado del plano tiempo-escala.
En caso de tener buena resolucin temporal, la wavelet madre,
representada en el eje inferior, se estrecha, con lo que se pierde
resolucin en frecuencia. Si la wavelet madre se ensancha, se pierde
resolucin en tiempo se gana en frecuencia, la anchura y
desplazndola por el eje temporal, se calculara el valor
correspondiente a cada celda. Figura 4.4.- Funciones wavelet madre
ms utilizadas en el dominio temporal. Figura 4.5.- Dominio en
frecuencia de la DFT y de la DWT respectivamente. Figura 4.6.-
Forma del calculo para s=.0001 de la funcin Wavelet y distintos
valores de . Figura 4.7.- Forma del calculo para s=.002 de la
funcin Wavelet y distintos valores de . Figura 4.8.- Forma del
calculo para s=.004 de la funcin Wavelet y distintos valores de .
Figura 4.9.- Transformada wavelet continua de la seal de la figura
3.14. Figura 4.10.- TWC aplicada a seal no estacionaria con
contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz. Figura 5.1.- Porcentaje de
publicaciones que emplean la transformada wavelet agrupadas en
diferentes reas en los sistemas elctricos de potencia. Figura 5.2.-
Seal con borde mximo aplanado. Figura 5.3.- a) seal analizada
mediante wavelet, Daub4 y b) seal analizada mediante wavelet,
Daub10.
IX
Figura 5.4.- Seal con depresin de voltaje por 4 ciclos. Figura
5.5.- a) seal de analizada mediante wavelet con Daub4 y b) seal
analizada con Daub10. Figura 5.6.- Seal con distorsin armnica.
Figura 5.7.- Wavelet de la seal de la figura 4.6, a) analizada
mediante Daub4 y b) analizada mediante Daub10
X
CAPITULO 1. INTRODUCCIN
1.1 INTRODUCCION El uso masivo de cargas no lineales y el
creciente uso de cargas pulsantes no sncronas con la frecuencia
fundamental de la red ha estado cambiando la composicin del
espectro armnico de corrientes y tensiones en redes elctricas,
dando origen a una presencia cada vez mayor de componentes armnicos
variables en el tiempo y de componentes no sncronos con la
frecuencia fundamental. En esta situacin, el desarrollo de mtodos
de medida que puedan superar las limitaciones que el anlisis de
Fourier presenta, es fundamental para poder caracterizar
correctamente el espectro de frecuencia de las seales de tensin y
corriente en las redes elctricas. Muchos fenmenos fsicos pueden
describirse mediante una seal en el dominio de tiempo; es decir una
de las variables es el tiempo y la otra la amplitud. Cuando se
dibuja esta seal se obtiene una funcin tiempo-amplitud; sin
embargo, la informacin que se puede obtener directamente de esta
representacin no siempre es la mas apropiada, puesto que la
informacin que caracteriza la seal, en muchos casos, puede
observarse mas claramente en el domino de la frecuencia, es decir,
mediante un espectro de frecuencias que muestre las frecuencias
existentes en la seal. Por lo tanto, para una mejor representacin
de la seal se hace necesario disponer de su representacin en el
dominio del tiempo y de la frecuencia. Si bien los estndares
internacionales de medida de armnicos establecen la utilizacin del
anlisis de Fourier para el estudio de las formas de onda de la
tensin y la corriente, no excluyen la posibilidad de utilizar otras
herramientas de procesado de seales para el anlisis armnico,
citando expresamente el estndar IEC 61000-4-7 la posibilidad de
emplear las wavelets para esta funcin.
1
1.2 ANTECEDENTES Las wavelets han tenido una historia cientfica
inusual, marcada por muchos descubrimientos y redescubrimientos
independientes. En1807 Jean Baptiste Joseph Fourier, un matemtico
francs afirma que cualquier funcin peridica, u onda, se puede
expresar como una suma infinita de ondas sinusoidales y
cosenoidales de distintas frecuencias. Como haba serias dudas sobre
la exactitud de sus argumentos, su artculo no se public hasta 15
aos despus. A finales del siglo, las series de Fourier estn
omnipresentes en la ciencia. Son una herramienta ideal para
analizar varios tipos de seales. Sin embargo, no son igual de
eficaces para el estudio de fenmenos transitorios, tales como
rfagas breves de sonido o de luz. Fue Alfred Haar, en 1910 quien
utiliza el trmino wavelet, finalmente en 1984, Grossman y Morlet
establecen la forma terica tal como ahora la conocemos. En 1988,
Stephane Mallat desarrolla varios algoritmos que actualmente son
aplicados. Ahora se denomina transformada Wavelet al instrumento
matemtico que permite describir una variable en el tiempo como una
variacin en las frecuencias, tal como la transformada de Fourier,
pero con algunas diferencias que permiten su aplicacin en el
anlisis de seales, como las series de tiempo no estacionarias. La
transformada wavelet es un procedimiento matemtico, que representa
a una funcin en partes pequeas, localizadas; para descomponer en
seales con componentes vibratorios.
2
1.3 OBJETIVO El objetivo de este trabajo es implementar la
transformada wavelet para la localizacin y deteccin de
perturbaciones de la calidad de la energa en los sistemas
elctricos.
3
1.4 JUSTIFICACIN El anlisis de Fourier es el mtodo fundamental
para la medida de armnicos e interarmnicos en seales elctricas y es
el principio de anlisis que establece la International
Electrotechnical Commission (IEC) para los instrumentos de medicin.
Con el objetivo de superar las limitaciones que lo hacen poco
efectivo en determinadas condiciones se han propuesto otras tcnicas
de anlisis como la Transformada Wavelet. En este trabajo se explora
esta alternativa para el anlisis de seales en el campo de la
calidad de energa elctrica. Se utiliza la metodologa de anlisis de
seales para la medicin de perturbaciones en seales basado en la
Transformada Wavelet. El mtodo propuesto utiliza un rbol de
descomposicin wavelet, que en sus distintos niveles suministra la
medida de perturbacin en la seal, adems de informacin de sus
variaciones en el dominio temporal. Se analizan diferentes casos
del mtodo en medida de armnicos, tanto en condiciones estacionarias
como en el caso de prdida de sincrona por variacin de la frecuencia
fundamental, presencia de componentes no sncronas con la frecuencia
de la red o presencia de componentes de amplitud variable.
4
1.5 ORGANIZACIN DE LA TESIS
La presente tesis est organizada en cinco captulos donde se
exponen los resultados de la labor de investigacin desarrollada. De
forma descriptiva este es el contenido de cada uno de ellos:
Capitulo 2 En este capitulo se introducen y se describen las
perturbaciones en la calidad de la energa. Captulo 3 En este
capitulo se introduce el tratamiento de seales, tipos de seales y
la comparativa entre el anlisis de Fourier y Wavelet, tambin se
presenta otro tipo de transformadas. Captulo 4 En este capitulo se
analiza la transformada wavelet como herramienta matemtica, sus
propiedades y caractersticas. Captulo 5 En este capitulo se aplica
el anlisis wavelet a los sistemas elctricos de potencia para la
deteccin y localizacin de perturbaciones tales como distorsin
armnica, depresin del voltaje y aplanamiento en bordes mximos del
voltaje en la red elctrica. Capitulo 6 En el ltimo captulo se
exponen las conclusiones obtenidas en la realizacin de la
investigacin y se presentan futuras lneas de trabajo.
5
CAPITULO 2. TRMINOS Y DEFINICIONES DE CALIDAD DE LA ENERGA
[19]
2.1 INTRODUCCION El termino calidad de la energa se aplica a una
amplia variedad de fenmenos electromagnticos en un sistema elctrico
de potencia. El incremento en la aplicacin de equipo de electrnica
de potencia y generacin distribuida ha aumentado el inters en la
calidad de la energa en aos recientes y este ha estado acompaado
por el desarrollo de una terminologa especial para describir el
fenmeno. Desafortunadamente esta terminologa no ha sido consistente
a travs de los diferentes segmentos de la industria. Esto ha
causado una gran confusin para fabricantes y usuarios finales que
se han esforzado por entender por que el equipo elctrico no trabaja
como se esperaba. As mismo es complicado para el vendedor de equipo
diferenciar entre una gran cantidad de soluciones propuestas. Han
sido usadas muchas palabras ambiguas que han multiplicado o
confundido los significados. Por ejemplo, surge es usado para
describir una gran variedad de disturbios que causan fallas en los
equipos. Un surge suppressor puede suprimir algunos de estos
disturbios pero no tendr ningn efecto sobre otros. Parecido sucede
con los trminos glitch y blink que no tienen un significado tcnico
se han eliminado del vocabulario. Vendedores sin escrpulos toman
ventaja del desconocimiento de los usuarios, vendiendo aparatos a
sobre precios con poca utilidad para mejorar la calidad de la
energa. Esto se puede corregir teniendo un mejor entendimiento del
vocabulario de calidad de la energa e insistiendo en manuales
tcnicos de cmo trabajan los dispositivos. A continuacin se presenta
una terminologa consistente que puede ser usada para describir los
disturbios de calidad de la energa. Tambin se explican algunas de
las terminologas inapropiadas comnmente usadas en calidad de la
energa. 2.2 CLASIFICACIN GENERAL DE LOS DISTURBIOS DE CALIDAD DE LA
ENERGA La terminologa presentada aqu refleja los esfuerzos
internacionales para estandarizar las definiciones de calidad de la
energa. El IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers)
Standards Coordinating Committee 22, IEEE SCC22 (Comit de
Coordinacin de Estndares 22) ha liderado el principal esfuerzo en
E.U.A. para coordinar los estndares de calidad de la energa. Ellos
tienen la responsabilidad a travs de muchas sociedades
pertenecientes principalmente al IEEE, especficamente la Sociedad
de Aplicaciones Industriales y la Sociedad de Ingeniera de Potencia
(Industry Applications Society y Power Engineering Society,
respectivamente). El IEEE 6
SCC22 se coordina con los esfuerzos internacionales a travs de
alianzas con la Comisin Internacional Electrotcnica IEC
(International Electrotechnical Comission) y el Consejo
Internacional de Grandes Sistemas Elctricos CIGRE (International
Council on Large Electric Systems). El IEC clasifica los fenmenos
electromagnticos en los grupos como se muestra en la Tabla 2.1.
Tabla 2.1. Principales fenmenos causados por disturbios
electromagnticos Fenmenos de Baja Frecuencia Conducidos Armnicas e
Interarmnicas Seales en Sistemas (Portadora en la Lnea de Potencia)
Fluctuaciones de Voltaje Interrupciones y Dips de Voltaje
Desbanlace de Voltaje Variaciones de Frecuencia Voltajes Inducidos
de Baja Frecuencia CD en Redes de CA Fenmenos de Baja Frecuencia
Radiados Campos Magnticos Campos Elctricos Fenmenos de Alta
Frecuencia Conducidos Ondas Continuas de Voltajes o Corrientes
Inducidas Transitorios Unidireccionales Transitorios Oscilatorios
Fenmenos de Alta Frecuencia Radiados Campos Magnticos Campos
Elctricos Campos Electromagnticos Ondas Continuas Transitorios
Fenmeno de Descarga Electrosttica (ESD) Pulso Nuclear
Electromagntico (NEMP) La industria elctrica de E.U.A se ha
esforzado por desarrollar algunas practicas recomendables para el
monitoreo de la calidad de la energa elctrica y ha adicionado
algunos trminos a la terminologa del IEC. Sag es usado como sinnimo
del trmino dip de IEC. La categora de variaciones de voltaje de
corta duracin es usada para referirse a dips de voltaje e
interrupciones de corta duracin. El termino swell es introducido
como un inverso a sag (dip). La categora de variacin de larga
duracin ha sido adicionada para concordar con los lmites del
American National Standards
7
Institute (ANSI) C84.1. la categora de noise ha sido adicionada
para aplicarse a un ancho de banda de fenmenos conducidos. La
categora de distorsin de la forma de onda (waveform distortion) es
usada como una categora que contiene varios disturbios para el IEC
armonicas, interarmonicas, y cd en redes de ca, as como un fenmeno
adicional al estndar IEEE Standard 5191992, Recommended Practices
and Requirements for Harmonic Control in Electrical Power Systems,
llamado notching. La Tabla 2.2, muestra la clasificacin de los
fenmenos electromagnticos usados por la comunidad de calidad de la
energa. Los fenmenos listados en la tabla pueden ser descritos ms
ampliamente que los atributos listados. Para los fenmenos en estado
estable, se pueden usar los siguientes atributos: Amplitud
Frecuencia Espectro Modulacin Impedancia de la Fuente Profundidad
de la Muesca rea de la Muesca Para fenmenos que no son de estado
estable, se pueden requerir otros atributos: ndice de rizo Amplitud
Duracin Espectro Frecuencia ndice de ocurrencia Energa potencial
Impedancia de la Fuente La Tabla 2.2 proporciona informacin con
respecto al contenido tpico espectral, la duracin, y la magnitud
apropiada para cada categora de fenmeno electromagntico. Las
categoras de la tabla, cuando se utilizan con los atributos
mencionados previamente, proporcionan un medio de describir
claramente un disturbio electromagntico. Las categoras y sus
descripciones son importantes para poder clasificar resultados de
medicin y describir los fenmenos electromagnticos que pueden causar
problemas de la calidad de la energa.
8
Tabla 2.1. IEEE 1159 Categoras y caractersticas de fenmenos
electromagnticos en sistemas de potencia.Categora 1.0 Transitorios
Impulsos Nanosegundos Microsegundos Milisegundos Oscilatorios Baja
frecuencia Media frecuencia Alta frecuencia 2.0 Variaciones de
corta duracin Instantneas Sag Swell Momentneas Interrupcin Sag
Swell Temporal Interrupcin Sag Swell 3.0 Variaciones de larga
duracin Interrupcin sostenida Bajo voltaje Sobrevoltaje 4.0
Desbalance de voltaje 5.0 Distorsin de forma de onda Componente de
directa Contenido armnico Interarmnicas Muescas en el voltaje Ruido
6.0 Fluctuaciones de voltaje 7.0 Variaciones en la frecuencia
Contenido Espectral Tpico Duracin Tpica Magnitud Tpica del
Voltaje
5 ns de elevacin 1 s de elevacin 0.1 ms de elevacin < 5 kHz 5
500 kHz 0.5 5 MHz
< 50 ns 50 ns 1 ms > 1 ms 0.3 50 ms 20 s 5 s 0 4 pu 0 8 pu
0 4 pu
0.5 30 ciclos 0.5 30 ciclos 0.5 ciclos 3 seg 30 ciclos 3seg 30
ciclos 3seg 3 seg 1 min 3 seg 1 min 3 seg 1 min > 1 min > 1
min > 1 min Estado estable Estado estable Estado estable Estado
estable Estado estable Estado estable Intermitente < 10 seg
0.1 0.9 pu 1.1 1.8 pu < 1.0 pu 0.1 0.9 pu 1.1 1.4 pu < 1.0
pu 0.1 0.9 pu 1.1 1.2 pu 0.0 pu 0.8 0.9 pu 1.1 1.2 pu 0.5 2 % 0 0.1
% 0 20 % 02% 01% 0.1 7 %
0 100th H 0 6 kHz Banda amplia < 25 kHz
Los trminos usados para describir los disturbios frecuentemente
tienen diferente significado para diferentes usuarios. Pero muchos
atributos de calidad de la energa son comnmente reconocidos. A
continuacin se da una breve descripcin de los disturbios ms
comunes. 2.3 EVENTO O DISTURBIO Los eventos son fenmenos que
solamente suceden una vez en un cierto instante. Una interrupcin
del suministro de voltaje es el mejor ejemplo conocido. Esto puede
en teora ser visto como una extrema variacin de magnitud de
voltaje, y puede ser incluida en una funcin de probabilidad de
distribucin de la magnitud de voltaje. 9
Pero esto no pudiera dar demasiada informacin til. La mayora de
los eventos estn comnmente asociados con los siguientes parmetros:
Magnitud: La magnitud es la desviacin de voltaje de la onda normal
sinusoidal. Duracin: La duracin es el tiempo que dura el disturbio,
la cual puede estar dividida en: El tiempo promedio de la cada de
voltaje. El tiempo en que el voltaje ha recuperado el 10% de la
magnitud del sobrevoltaje transitorio. La razn de la integral Vt
definida debajo de la curva y la magnitud del sobrevoltaje
transitorio. Integral Vt : La integral Vt es definida comoT
Vt =
v (t )dt0
(1)
Figura 2.1. Ejemplo de un sobrevoltaje transitorio, que es un
disturbio provocado por una falla de fase a tierra
Los disturbios se pueden clasificar como: Fenmeno de alta
frecuencia (transitorios) Fenmeno de baja frecuencia. (dips,
interrupciones, y swell)
10
2.3.1 TRANSITORIOS El trmino transitorio ha sido usado por mucho
tiempo en el anlisis de variaciones del sistema elctrico para
denotar un evento indeseado que momentneamente es natural. La nocin
de un transitorio oscilatorio amortiguado debido a una red RLC, es
probablemente lo que muchos Ingenieros piensan cuando escuchan la
palabra transitorio. Otra definicin comn de transitorio es la parte
del cambio en una variable que desaparece durante la transicin de
una condicin de operacin de estado estable a otra.
Desafortunadamente, esta definicin pudiera ser usada para describir
cualquier cosa poco comn que suceda en el sistema elctrico. Otro
trmino comnmente usado para describir un transitorio es surge. Un
ingeniero electricista puede pensar que un surge es el transitorio
resultante de una descarga atmosfrica para el cual un surge
arrester es utilizado para proteccin. Los usuarios frecuentemente
usan la palabra indiscriminadamente para describir cualquier
fenmeno inusual que puede ser observado en el suministro de energa
en el rango de los sags, swells o interrupciones. Debido a que hay
muchas potenciales ambigedades con estas palabras en el campo de la
calidad de la energa. En general, los transitorios pueden ser
clasificados dentro de dos categoras de impulsos y oscilatorios.
Estos trminos reflejan la forma de onda de un transitorio de
corriente o de voltaje. A continuacin se describen estas dos
categoras con ms detalle. 2.3.1.1 IMPULSO TRANSITORIO Un impulso
transitorio es un cambio sbito en la condicin de estado estable del
voltaje, corriente o ambos que no provoca cambios en la frecuencia
del sistema, que es unidireccional en polaridad (principalmente
positivos o negativos). Un impulso transitorio normalmente es
caracterizado por su pendiente y su decaimiento en el tiempo, el
cual puede tambin ser revelado por su contenido espectral. Por
ejemplo, un impulso transitorio de 2000 (V) nominalmente y despus
decae a su valor se eleva desde cero a su valor pico de 2000 V en
medio del pico en . La causa ms comn del impulso transitorio es la
descarga atmosfrica. La Figura 2.2 ilustra una corriente tpica del
impulso transitorio causado por una descarga atmosfrica. Debido a
las altas frecuencias involucradas, la forma del impulso
transitorio puede cambiar rpidamente por los componentes del
sistema elctrico y puede tener caracterstica significativamente
diferente visto desde diferentes puntos del sistema elctrico.
Generalmente no se conducen lejos de la fuente de donde entraron al
sistema elctrico, aunque pueden, en algunos casos ser conducidos
una cierta distancia a lo largo de las lneas. Los impulsos
transitorios pueden excitar la 11
frecuencia natural de los circuitos del sistema elctrico y
producir transitorios oscilatorios.
Figura 2.2. Corriente de rayo que genera un impulso transitorio
2.3.1.2 TRANSITORIO OSCILATORIO Un transitorio oscilatorio es un
cambio sbito en la condicin de estado estable del voltaje,
corriente o ambos que no provoca cambios en la frecuencia del
sistema, que incluye valores de polaridad positiva y negativa. Un
transitorio oscilatorio consiste de un voltaje o corriente cuyos
valores instantneos cambian de polaridad rpidamente. Es descrito
por su contenido espectral (frecuencia predominante), duracin y
magnitud. El contenido espectral se define en subclases alta,
media, y baja frecuencia como se indica en la Tabla 2.2. Los rangos
de frecuencia para estas clasificaciones son escogidas para
coincidir con tipos comunes de fenmenos transitorios oscilatorios
en sistemas elctricos. Un transitorio oscilatorio con una
componente de frecuencia fundamental mayor a 500 kHz y una duracin
tpica medida en milisegundos (o algunos ciclos de la frecuencia
fundamental), son considerados transitorios oscilatorios de alta
frecuencia. Estos transitorios son con frecuencia el resultado de
una respuesta local del sistema a un impulso transitorio.
12
Un transitorio con una componente de frecuencia fundamental
entre 5 y 500 kHz, con duracin medida en las decenas de
microsegundos (o algunos ciclos de la frecuencia fundamental) es
denominado transitorio de frecuencia media. En la energizacin de un
banco de capacitores resulta un transitorio oscilatorio de
corriente en las decenas de kilohertz como se ilustra en la Figura
2.3 En el switcheo de cables resultan transitorios oscilatorios de
voltaje en el mismo rango de frecuencia. Transitorios de frecuencia
media tambin pueden ser el resultado de la respuesta del sistema a
un impulso transitorio.
Figura 2.3. Transitorio oscilatorio de corriente causado por el
switcheo de un banco de capacitores.
Un transitorio con una componente de frecuencia fundamental
menor a 5 kHz, y una duracin de 0.3 a 50 ms, es considerado un
transitorio de baja frecuencia. Esta categora de fenmenos es
frecuentemente encontrada en los sistemas de subtransmisin y
distribucin y es causado por bastantes tipos de eventos. El ms
frecuente es la energizacin de bancos de capacitores, los cuales
tpicamente resultan en un transitorio oscilatorio de voltaje con
una frecuencia fundamental de entre 300 y 900 Hz. La magnitud del
pico puede acercarse a 2.0 pu, pero tpicamente son de 1.3 a 1.5 pu
con una duracin de entre 0.5 y 3 dependiendo del amortiguamiento
del sistema. En la Figura 2.4 se ilustra un transitorio oscilatorio
de baja frecuencia causado por la energizacin de un banco de
capacitores.
13
Figura 2.4. Transitorio oscilatorio de frecuencia baja causado
por la energizacin de un banco de capacitores
Figura 2.5.Transitorio oscilatorio de baja frecuencia causado
por ferroresonancia de un transformador desbalanceado Los
transitorios oscilatorios con frecuencias fundamentales menores a
300 Hz tambin pueden ser encontrados en los sistemas de
distribucin. Esto generalmente 14
es asociado con la ferroresonancia y energizacin de
transformadores como se ilustra en la Figura 2.5. Transitorios
concernientes a capacitores en serie tambin pueden caer en esta
categora. Estos ocurren cuando el sistema responde por resonancia
con componentes de baja frecuencia con la corriente inrush del
transformador (segunda y tercera armnica) o cuando condiciones
inciales resultan en ferroresonancia. Tambin es posible clasificar
transitorios (y otros disturbios) de acuerdo a su modo. Bsicamente,
un transitorio en un sistema trifsico con un conductor neutro
separado puede ser de modo comn o modo normal, dependiendo de si
aparece entre la lnea o el neutro y tierra, o entre la lnea y el
neutro. 2.3.2 VARIACIONES DE VOLTAJE DE LARGA DURACIN Las
variaciones de larga duracin abarcan desviaciones rms
(root-mean-square) a frecuencia fundamental por tiempos mayores de
1 minuto. El estndar ANSI C84.1 Electric Power Systems and
Equipment - Voltage Ratings (60 Hz), especifica las tolerancias del
voltaje de estado estable esperadas en un sistema elctrico. Una
variacin de voltaje es considerada como de larga duracin cuando los
lmites establecidos por la ANSI son mayores de 1 minuto. Las
variaciones de larga duracin pueden ser sobre voltajes o bajos
voltajes (overvoltage undervoltage). Los sobre voltajes y bajos
voltajes generalmente no son el resultado de fallas del sistema,
pero son causados por variaciones de carga en el sistema, y
operaciones de conmutacin en el sistema. Tales variaciones son
tpicamente desplegadas como graficas de voltaje rms contra tiempo.
2.3.3 SOBRE VOLTAJE Un sobre voltaje es un incremento en el voltaje
rms de c.a. de ms del 110 porciento del valor nominal con una
duracin de ms de 1 minuto. Los sobre voltajes usualmente son el
resultado de la conmutacin de cargas (p.e. conmutacin de grandes
cargas, o la energizacin de un banco de capacitores). El sobre
voltaje resulta debido a que el sistema es demasiado dbil para la
regulacin de voltaje deseada o los controles de voltaje son
inadecuados. La posicin incorrecta de los taps en transformadores
tambin puede resultar en sobre voltajes en el sistema. 2.3.4 CADAS
DE VOLTAJE Un bajo voltaje es un decremento en el voltaje rms de
menos del 90 porciento del valor nominal con una duracin mayor a 1
minuto. Loa bajos voltajes son el resultado de eventos de
conmutacin que son lo contrario de los eventos que causan sobre
voltajes. La conexin de una carga, o la desconexin de un banco de
capacitores, pueden causar un bajo voltaje hasta que el equipo de
regulacin de voltaje en el
15
sistema pueda regresar dentro de tolerancias. Circuitos
sobrecargados pueden tambin resultar en bajos voltajes. El trmino
brownout a menudo es usado para describir periodos sostenidos de
bajos voltajes, iniciados como una estrategia especifica de
despacho para reducir la demanda de potencia. Por lo que no hay una
definicin formal para brownout y no es tan claro como el termino
bajo voltaje cuando se trata de caracterizar un disturbio, el
termino brownout sw debe evitar. 2.3.5 INTERRUPCIONES SOSTENIDAS
Cuando el suministro de voltaje es cero por un periodo de tiempo
mayor a 1 minuto, la variacin de voltaje de larga duracin es
considerada como una interrupcin sostenida. Las interrupciones de
voltajes mayores de un 1 minuto son a menudo permanentes y
requieren intervencin humana para reparar y restaurar el sistema.
El trmino interrupcin sostenida se utiliza para especificar
fenmenos en el sistema elctrico y en general, no tiene relacin con
el uso del trmino outage. Las compaas de suministro usan outage o
interrupcin para describir fenmenos de naturaleza similar para
informes con propsito de confiabilidad. Sin embargo, esto causa
algunas confusiones y los usuarios son quienes piensan de un outage
como cualquier interrupcin del sistema que pone fuera de servicio
al proceso. Estas pueden ser tan pequeas como de medio ciclo.
Outage, como esta definido en el estndar IEEE 100, no se refiere a
un fenmeno especfico, ms bien al estado de un componente en el
sistema donde este ha fallado o funciona como se esperaba. Tambin,
el uso del termino interrupcin en el contexto del monitoreo de la
calidad de la energa no tiene relacin con confiabilidad u otras
estadsticas de continuidad del servicio. Este trmino se ha definido
para ser ms especfico a lo relacionado con ausencia de voltaje en
periodos largos. 2.3.6 VARIACIONES DE VOLTAJE DE CORTA DURACIN Esta
categora abarca la categora IEC de dips de voltaj e interrupciones
cortas. Cada tipo de variacin puede ser designada como instantnea,
momentnea, temporal, dependiendo de su duracin como se defini en la
Tabla 2.2. Las variaciones de voltaje de corta duracin son causadas
por condiciones de falla, la energizacin de grandes cargas que
requieren una alta corriente de arranque, o prdidas intermitentes
de conexiones de los conductores. Dependiendo de la localizacin de
la falla y de las condiciones del sistema, la falla puede causar
temporalmente bajo voltaje (sag), alto voltaje (swell), o la prdida
completa de voltaje (interrupcin). La condicin de falla puede estar
cerca a o remota desde el punto de inters. En ambos casos, el
impacto en la duracin del voltaje durante la condicin actual de la
falla es de una variacin de corta duracin hasta que los
dispositivos de proteccin operen para liberar la falla. 16
2.3.7 INTERRUPCIN Una interrupcin ocurre cuando el suministro de
voltaje o la corriente de carga decrece a menos de 0.1 p.u. por un
periodo de tiempo que no exceda 1 minuto. Las interrupciones pueden
ser el resultado de fallas en el sistema elctrico, fallas en el
equipo, fallas en el funcionamiento del control. Las interrupciones
son medidas por su duracin desde que la magnitud de voltaje sea
menor que 10% del nominal. La duracin de una interrupcin debido a
una falla en el sistema elctrico es determinada por el tiempo de
operacin de los sistemas de proteccin de la empresa elctrica.
Re-cierres instantneos generalmente limitaran la interrupcin
causada por una falla no permanente menor a 30 ciclos. Retardos de
re-cierre de los dispositivos de proteccin pueden causar una
interrupcin momentnea o temporal. La duracin de una interrupcin
debida a un mal funcionamiento del equipo o perdida de conexin
puede ser irregular. Algunas interrupciones pueden ser precedidas
por un voltaje sag cuando estas interrupciones son debidas a fallas
en la fuente del sistema. El voltaje sag ocurre entre el tiempo de
inicio de la falla y la operacin del dispositivo de proteccin. La
Figura 2.6 muestra una interrupcin momentnea precedida por un
voltaje sag en una fase del 20% durante tres ciclos y despus caen a
cero en 1.8 seg. Hasta que el cierra el restaurador (recloser).
Figura 2.6.
Interrupcin momentnea debido a una falla y liberacin de la
misma.
17
2.3.8 DEPRESIN DE VOLTAJE (SAG, DIP) Un sag es un decremento
entre 0.1 y 0.9 p.u. del voltaje o corriente rms a frecuencia
fundamental para una duracin desde 0.5 ciclos hasta 1 minuto. El
trmino sag se ha usado por bastantes aos para describir un
decremento de voltaje de corta duracin. Aunque el trmino no ha sido
formalmente definido, este ha sido ampliamente aceptado y usado por
compaas suministradoras, fabricantes, y usuarios. La definicin del
IEC para este fenmeno es dip. Los dos trminos son considerados
intercambiables, pero el trmino sag ha sido el sinnimo preferido en
la comunidad de calidad de la energa en Amrica y dip en Europa. La
terminologa usada para describir la magnitud de un sag de voltaje
es a menudo muy confusa, por los intervalos de tiempo que se dan y
por el valor rms del valor del voltaje. Un sag de 20% puede
referirse a un sag el cual resulta en un voltaje de 0.8 o 0.2 pu.
Cuando no se especifica otra cosa, un sag de 20% es considerado un
evento durante el cual el voltaje rms decrese en 20% o 0.8 pu. El
nivel de voltaje nominal o base se debe especificar. Un sag de
voltaje es usualmente asociado con fallas del sistema pero tambin
puede ser causado por la energizacin de grandes cargas o por el
arranque de grandes motores. La Figura 2.7 muestra un sag de
voltaje tpico que puede ser asociado con una falla de fase a tierra
(SLG single-line-to-ground) sobre algn otro alimentador de la misma
subestacin. Un sag del 80% tienen una duracin de casi 3 ciclos,
tiempo regido por el tiempo de apertura de interruptores que
liberan la falla. Una falla tpica es corregida en los rangos de
tiempo de 3 hasta 30 ciclos, dependiendo de la magnitud de la
corriente y de los equipos de proteccin. La Figura 2.8. Ilustra el
efecto del arranque de un motor grande. Un motor de induccin que
requiere de 6 a 10 veces su corriente de carga nominal durante el
arranque. Si la magnitud de la corriente es grande en relacin a la
capacidad de corriente de falla en el sistema en ese punto, el sag
de voltaje resultante puede ser significante. En este caso, los
sags de voltaje inmediatamente sern del 80% y despus gradualmente
regresaran a su condicin nominal en aproximadamente 3 seg. Note la
diferencia en tiempo entre estos sags y los debidos a fallas en el
sistema. Hasta ahora, la duracin de eventos sag no ha sido
claramente definida. La duracin tpica esta definida en algunas
publicaciones en un rango de 2 ms (cerca de un decimo de ciclo) a
un par de minutos. Los bajos voltajes que duran menos de medio
ciclo no pueden ser caracterizados efectivamente por un cambio en
el valor rms del valor a frecuencia fundamental. Sin embargo, estos
eventos son considerados transitorios.
18
Los bajos voltajes que duran ms de 1 minuto pueden tpicamente
ser controlados por equipo de regulacin de voltaje y pueden ser
asociados con causas distintas a fallas en el sistema. De esta
forma, estos son clasificados como variaciones de larga duracin. La
duracin de los sags esta subdividida en tres categoras instantnea,
momentnea, y temporal lo cual coincide con las tres categoras de
interrupciones y swells. Estas duraciones corresponden a los
tiempos de operacin de los dispositivos tpicos de proteccin.
Figura 2.7.
Sag de voltaje causado por una falla de una fase con tierra
(SLG)
19
Figura 2.8.
Sag de voltaje temporal causado por el arranque de un motor
2.3.9 SWELLS Un swell es definido como un incremento de entre
1.1 y 1.8 p.u. en el voltaje o corriente rms con una duracin de 0.5
ciclos hasta 1 minuto. Como los sags, los swells son usualmente
asociados con las condiciones de falla en el sistema, pero estos no
son tan comunes como los sags de voltaje. Una forma que un swell
puede ocurrir es de la elevacin de voltaje temporal en las fases no
falladas durante una falla entre fases o falla de fase a tierra. La
figura 2.9 ilustra un voltaje swell ocasionado por la falla de fase
a tierra (SLG). Los swell tambin pueden ser ocasionados por la
desconexin de grandes cargas o por la energizacin de bancos de
capacitores grande.
20
Figura 2.9.
Swell de voltaje instantneo causado por la falla de fase a
tierra (SLG)
El swell es caracterizado por la su magnitud (valor rms) y su
duracin. La severidad de un voltaje swell durante una condicin de
falla est en funcin de la localizacin de la falla, de la impedancia
del sitema, y del sistema de tierra. En un sistema subterrneo con
una impedancia de secuencia cero infinita, los voltajes de lnea a
tierra en las fases subterrneas ser 1.73 p.u. durante una condicin
de falla de lnea a tierra SLG. Cerca de la subestacin en un sistema
subterrneo habr poca o ninguna elevacin de voltaje en las fases no
falladas debido a que el transformador de la subestacin esta
usualmente conectado en delta-estrella proporcionando un camino de
baja impedancia de secuencia cero para la corriente de falla. Las
fallas en diferentes puntos en alimentadores de 4 hilos
multiaterrizados tendrn varios grados de swells de voltaje en las
fases no falladas. Un swell de 15%, como el que se muestra en la
figura 2.9 es comn en alimentadores en empresas elctricas
americanas. El trmino sobre voltaje momentneo es usado como un
sinnimo del termino swell. 2.3.10 DESBALANCE DE VOLTAJE El
desbalance de voltaje (tambin llamado desequilibrio de voltaje) es
algunas veces definido como la mxima desviacin de el promedio de
los 3 voltajes o corrientes trifsicos dividido por el promedio de
los 3 voltajes o corrientes trifsicos, expresados en por ciento. El
desbalance esta ms rigurosamente definido en los estndares usando
componentes simtricas. La razn de la componente de secuencia
negativa o cero a la componente a la secuencia positiva puede ser
usado para especificar el por 21
ciento de desbalance. Estandares ms recientes especifican que el
mtodo de secuencia negativa sea usado. La figura 2.10 muestra un
ejemplo de estas dos proporciones para una tendencia de una semana
de desbalance en un alimentador residencial.
Figura 2.10. El comportamiento de desbalance sobre un
alimentador residencial
La principal fuente de desbalance de voltaje de menos del 2% son
cargas monofsicas en un circuito trifsico. El desbalance de voltaje
tambin puede ser el resultado de la operacin de fusibles en una
fase de un banco de capacitores trifsico. Muchos desbalances de
voltaje (mayores al 5%) pueden resultar de condiciones de faseo
monofsico. 2.3.11 DISTORSIN DE LA FORMA DE ONDA La distorsin de la
forma de onda esta definida como una desviacin del estado estable
de una forma de onda senoidal ideal a frecuencia fundamental
principalmente caracterizada por el contenido espectral de la
desviacin.
22
Hay 5 tipos de formas principales de distorsin. Dc offset
(desplazamiento de cd) Armnicas Interarmnicas Notching (muescas)
Noise (ruido)
2.3.12 DC OFFSET (DESPLAZAMIENTO DE CD) La presencia de un
voltaje o corriente de cd en un sistema de potencia de ca es
denominado dc offset. Esto puede ocurrir como el resultado de un
disturbio geomagntico o debido a la simetra de los convertidores de
electrnica de potencia. Los dispositivos para incrementar la vida
til de las luminarias, por ejemplo, un sistema de rectificacin de
media onda con diodos, puede reducir el valor rms del voltaje
suministrado a lmparas incandescentes por rectificacin de media
onda. La corriente directa en redes de corriente alterna, puede
tener un efecto daino afectando los devanados del transformador
para que se saturen en una operacin normal. Esto causa
calentamiento adicional y prdida de vida til del transformador. La
corriente directa tambin puede causar la erosin electroltica de los
electrodos de tierra y otros conectores. 2.3.13 ARMNICAS Las
armnicas son voltajes o corrientes senoidales que tiene frecuencias
que son mltiplos enteros de la frecuencia fundamental del sistema
elctrico (50 60 Hz). Formas de onda peridicamente distorsionadas
pueden ser descompuestas en una suma de la frecuencia fundamental y
las armnicas. La distorsin armnica originada en las caractersticas
no lineales de dispositivos y cargas en el sistema de potencia. Los
niveles de distorsin armnica son descritos por el espectro armnico
completo con magnitudes y ngulos de fase de cada componente armnico
individual. Tambin es comn usar una sola cantidad, The Total
Harmonic Distorsion (THD), como una medida del valor efectivo. Los
niveles de distorsin de corriente pueden ser caracterizados por un
valor THD, como se describi previamente, pero esto puede ser con
frecuencia engaoso. Por ejemplo muchos ASD mostrarn altos valores
de THD para una corriente de entrada cuando estos estn operando a
cargas muy ligeras. Esto no es necesariamente un problema
significante debido a que la magnitud de la corriente armnica es
baja aun cuando su distorsin relativa es alta.
THD =
V22 + V32 + V42 + K V1
100%
(2)
23
Estas corrientes y/o voltajes armnicos son generados por
elementos no lineales de la red como son saturacin de
transformadores, hornos de arco elctrico, y dispositivos
electrnicos como rectificadores, controladores de velocidad,
lmparas ahorradoras, sistemas de cmputo, entre otros. La Figura
2.11 muestra la forma de onda y su contenido armnico para una
corriente tpica de un controlador de velocidad.
Figura 2.11. Forma de onda de la corriente y contenido armnico
para un controlador de velocidad Para el respaldo de esta
preocupacin existen estndares tales como el IEEE 519 que define ms
ndices de distorsin as como la recomendacin para el control de la
propagacin de las armnicas en redes elctricas.
24
En el alumbrado la mayora de las balastras electromagnticas estn
siendo reemplazadas por balastras de estado slido, las cuales
generan un 30% mas de armnicas en los circuitos de alumbrado. Como
ejemplo se tiene que las armnicas de alumbrado, equipo electrnico y
de oficina provocan una sobrecarga del neutro debido a la 3a
armnica principalmente. En la industria, adems del alumbrado y el
equipo de oficina, las armnicas son producidas por los variadores
de velocidad. Los variadores han sido creados para controlar la
energa de los motores y requieren que la corriente alterna sea
convertida a corriente directa por medio de rectificadores, que
contribuyen con la generacin de armnicas. Los rectificadores de 6 y
12 pulsos contribuyen con la 5 y 11 armnica, las cuales son de
secuencia negativa y producen un par negativo en los motores de
induccin expuestos a estas armnicas. En general, los problemas con
la distorsin armnica comienzan a presentarse cuando las cargas no
lineales (computadoras, variadores de velocidad, equipo electrnico)
se aproximan al 30% de la capacidad del transformador. 2.3.14
INTERARMNICAS Las interarmnicas son seales de voltajes o corrientes
que tienen componentes de frecuencia mayores a las del sistema,
pero que no son mltiplos enteros de la frecuencia fundamental (50 o
60 Hz). Ellas pueden aparecer como frecuencias discretas o como una
banda amplia en el espectrum. Las interarmnicas pueden ser
encontradas en las redes de todos los niveles de voltajes. La
principal fuente de distorsin de forma de onda de interarmnicas son
los convertidores estticos de frecuencia, ciclo convertidores,
motores de induccin, y hornos de arco. Los efectos de las
nterarmnicas son muy poco conocidos. 2.3.15 NOTCHING El notching es
un periodo de disturbio del voltaje causado por la operacin normal
de convertidores electrnicos cuando la corriente es conmutada desde
una fase a otra (perodo de conmutacin). Como los notching pueden
ser tratados como un efecto en estado estable, esto puede ser
caracterizado a travs de su contenido armnico. Sin embargo, esto es
generalmente tratado como un caso especial. Las componentes de
frecuencia asociadas con los notching pueden ser realmente elevadas
y no ser prontamente caracterizadas por los equipos de medicin
convencionales. La Figura 2.12 muestra un ejemplo de notches de
voltaje de un convertidor trifsico.
25
Figura 2.12. Ejemplo de notches de voltaje causado por un
convertidor trifsico 2.3.16 RUIDO (NOISE) El ruido es definido como
una seal elctrica no deseada con contenido espectral de ancho de
banda menor de 200 KHz sobrepuesto al voltaje o corriente de fase
del sistema elctrico, o sobre los conductores del neutro, tambin
este ruido se presenta en los sistemas de comunicaciones. El ruido
en los sistemas elctricos puede ser causado por dispositivos
electrnicos, circuitos de control, equipo de arco elctrico, cargas
con rectificadores de estado slido, y apertura y/o cierre de los
suministros de energa. Bsicamente, el ruido consiste de cualquier
distorsin no deseada de la seal elctrica, esto no puede ser
clasificada como distorsin armnica o transitorio. El disturbio del
ruido puede ser provocado por los dispositivos electrnicos tal como
microcomputadoras y controles programables. El problema puede ser
mitigado usando filtros, aislando los transformadores y un buen
sistema de tierras. 2.3.17 FLUCTUACIONES DE VOLTAJE (PARPADEO
FLICKERS) Las fluctuaciones de voltaje son variaciones sistemticas
del voltaje o series de cambios de voltaje, la magnitud permisibles
de estas fluctuaciones no debe de excederse de los rangos de
voltajes especificados por el ANSI C84.1-1982 de 0.9 hasta 1.1 pu.
Las cargas grandes presentan variaciones rpidas en la magnitud de
la corriente, pueden causar estas variaciones de voltaje que son a
menudo referidos como flicker (parpadeo). El trmino flicker es
derivado del impacto de la fluctuacin de voltaje sobre lmparas tal
que su impacto es percibido por el ojo humano como un
26
parpadeo. Para ser tcnicamente ms correcto, fluctuaciones de
voltaje es un fenmeno electromagntico mientras que un flicker es un
resultado no deseado de la fluctuacin de voltaje en algunas cargas.
Sin embargo, los dos trminos son a menudo asociados en los
estndares. Un ejemplo de una forma de onda de voltaje que produce
flicker es mostrada en la Figura 2.13. Esto es causado por un horno
de arco elctrico, es uno de las causas ms comunes de fluctuaciones
de voltaje sobre los sistemas de transmisin y de distribucin.
Figura 2.13. Ejemplo de un flicker de voltaje causado por la
operacin de un horno de arco elctrico. La seal del flicker es
definida por la magnitud rms expresada como un porcentaje de la
componente a frecuencia fundamental. El flicker es medido con
respecto a la sensibilidad del ojo humano. Tpicamente, las
magnitudes son tan bajas como 0.5 por ciento que pueden ser
perceptibles en las lmparas dentro del rango de frecuencias de 6
hasta 8 Hz. 2.3.18 VARIACIONES DE FRECUENCIA DEL SISTEMA Las
variaciones de frecuencia del sistema son definidas como la
desviacin de la frecuencia fundamental del sistema que es
especificada como valor nominal (50 60 Hz).
27
La frecuencia del sistema es directamente relacionada para la
velocidad de rotacin de los generadores que suministran la energa
al sistema. Estas son variaciones en la frecuencia producidas por
el desbalance dinmico entre cargas y cambios de generacin. Existen
cambios en la frecuencia que son aceptados dentro de ciertos
limites para la operacin normal en estado estable, estos cambios de
frecuencia pueden ser provocados por un gran bloque de carga que ha
sido desconectada, o una fuente grande de generacin que se
desconect. En las modernas interconexiones de sistemas elctricos
son raras las variaciones de frecuencia, debido a que cuentan con
sofisticado equipo de control de generacin.
Figura 2.14. Power frequency trend and statistical distribution
at 13-kV substation bus. (Courtesy of Dranetz-BMI/Electrotek
Concepts.)
28
2.3.19 CURVA ITI (CBEMA) La curva ITI (CBEMA) fue publicada por
el Technical Committee 3 (TC) del Information Technology Industry
Council (ITI, anteriormente conocida como el Computer &
Business Equipment Manufacturer Association, CBEMA). La curva ITI
(CBEMA) describe la envolvente del voltaje de alimentacin el cual
puede ser tpicamente tolerado por la curva ITI (CBEMA) describe la
envolvente del voltaje de alimentacin el cual puede ser tpicamente
tolerado por mayora de los equipos de informacin (Information
Technology Equipment, ITE). Esta curva es una adecuacin de la curva
CBEMA publicada en 1980, la cual se muestra en la Figura 2.15. Esta
curva ITI, es aplicada para voltajes nominales de 120 V obtenidos
de sistemas de 120V, 208 Y/120V, y 120/240V a 60Hz. Para todas las
consideraciones, el trmino de voltaje se aplica a condiciones de
120 V rms, 60 Hz.
Figure 2.15 A portion of the CBEMA curve commonly used as a
design target for equipment and a format for reporting power
quality variation data.
29
Figura 2.16. Curva ITI Ocho tipos de eventos pueden ser
descritos en esta curva ITI, como se describen a continuacin:
Tolerancia en estado estable. El rango de tolerancia en estado
estable est descrito en valores rms del voltaje. El rango
permisible es de 10% del voltaje nominal. Este rango de voltaje
puede estar presente por un periodo indefinido, como funcin de la
carga nominal y prdidas del sistema de distribucin. Voltajes Swell.
Esta regin describe la regin permisible de swell en base al valor
rms el cual est marcado hasta un 120% del voltaje nominal con
duracin de hasta 0.5 segundos. Este transitorio puede ocurrir
cuando grandes cargas son desconectadas del voltaje de alimentacin,
o cuando la carga es alimentada de otro sistema que no sea el de la
compaa elctrica. Oscilaciones de baja frecuencia. Esta regin est
descrita por el decaimiento del transitorio (del voltaje)
ocasionado principalmente por la conexin de bancos de capacitores
usados para la correccin del factor de potencia. La frecuencia de
este transitorio est en el rango de 200 Hz a 5 KHz, dependiendo de
la frecuencia de resonancia del sistema de distribucin. La magnitud
del transitorio es expresada en %
30
del valor pico de la frecuencia fundamental de 60 Hz del voltaje
(no del valor rms). El transitorio se asume que decae completamente
al final de medio ciclo despus de ocurrir el disturbio. El
transitorio se asume que ocurre cerca del pico de la forma de onda
del voltaje. La amplitud del transitorio vara de 140% para 200 Hz a
200% para 5KHz, con un incremento lineal en la amplitud con
respecto a la frecuencia. Oscilaciones de alta frecuencia. Est
regin est descrita por transitorios tpicamente provocados por
descargas atmosfricas. Formas de onda de este tipo de transitorios
son generalmente tratados en el estndar ANSI/IEEE C62, 41-1991. La
regin descrita por estos transitorios en la curva ITI trata con
amplitud y duracin (energa), en lugar de amplitud en valores rms.
Esto intenta proveer un transitorio mnimo de 80 Joules inmunes para
el equipo. Sags de voltajes. Dos valores rms de voltajes sags son
descritos. Generalmente, estos transitorios resultan al ser
conectadas grandes cargas a la red elctrica, as mismo por fallas en
varios puntos del sistema, ya sea de distribucin o de transmisin.
El primero, sags de voltaje de 80% del valor nominal (mxima
desviacin de 20%) considerados tpicamente con un duracin de hasta
10 segundos, y sags de 70% del valor nominal (mxima desviacin de
30%) considerados con una duracin de hasta 0.5 segundos.
Interrupciones (Dropout). Una interrupcin de voltaje incluye varios
sags de voltaje y completa interrupcin del voltaje, seguido de una
inminente restauracin del voltaje. La interrupcin puede sostenerse
hasta 20 milisegundos. Este transitorio tpicamente resulta del
recierre de interruptores al tratar de eliminar una falla en el
sistema elctrico. Regin de no dao. En est regin se incluyen eventos
como sags e interrupciones que son mas severas que las antes ya
mencionadas, son voltajes cuyo limite est por debajo del limite
mnimo de tolerancia en estado estable (90%). En esta regin, no se
espera que los equipos (ITE) funcionen, pero tampoco son daados.
Regin prohibida. Esta regin incluye cualquier disturbio que exceda
la envolvente superior de la curva ITI. Si el equipo (ITE) est
expuesto a estos disturbios, puede resultar en un dao al mismo.
31
La Tabla 2.3 muestra los estndares de calidad de la energa
relacionados a distintos tpicos de estudio y/o anlisis. Tabla 2.3.
Estndares de calidad de la energa por tpico Tpico Estndares
Grounding IEEE Std 446, IEEE Std 141, IEEE Std 142, IEEE Std 1100,
ANSI/NFPA 70 Powering ANSI C84.1, IEEE Std 141, IEEE Std 446, IEEE
Std 1100, IEEE Std 1250 Surge protection IEEE C62 series, IEEE Std
141, IEEE Std 142, NFPA 78, UL 1449 Harmonics IEEE Std C57.110,
IEEE Std 519, IEEE P519a, IEEE Std 929, IEEE Std 1001 Disturbances
ANSI C62.41, IEEE Std 1100, IEEE Std 1159a, IEEE Std 1250 Life/fire
safety FIPS PUB94, ANSI/NFPA 70, NFPA 75, UL 1478, UL 1950
Mitigation IEEE Std 446, IEEE Std 1035, IEEE Std 1100, IEEE Std
1250, equipment NEMA-UPS Telecommunications FIPS PUB94, IEEE Std
487, IEEE Std 1100 Equipment Noise control FIPS PUB94, IEEE Std
518, IEEE Std 1050 Utility interface IEEE Std 446, IEEE Std 929,
IEEE Std 1001, IEEE Std 1035 Monitoring IEEE Std 1100, IEEE Std
1159 Load immunity IEEE Std 141, IEEE Std 446, IEEE Std 1100, IEEE
Std 1159a, IEEE P1346 System reliability IEEE Std 493
32
CAPITULO 3. TRATAMIENTO DE SEALES [12]
3.1 INTRODUCCIN Una seal es una funcin de una o ms variables
fsicas que contiene informacin acerca del comportamiento o la
naturaleza de algn fenmeno. Ejemplos de seales:
Los voltajes y corrientes en circuitos elctricos Nuestra voz Las
imgenes
En la figura 3.1 se muestra una seal de voltaje con frecuencia
de 60Hz. y una magnitud de 127V, donde la ordenada es el eje del
tiempo y la absisa es la magnitud del voltaje. Esta seal de voltaje
es la que se maneja en las zonas habitacionales de Mxico.
Figura 3.1.- Ejemplo de una seal de tensin de 60 Hz.
33
3.2 TIPOS DE SEALES La primera divisin natural de todas las
seales es en las categoras estacionarias y no estacionarias. 3.2.1
SEALES ESTACIONARIAS Y NO ESTACIONARIAS Las seales estacionarias
son constantes en sus parmetros estadsticos sobre el tiempo. Si se
observa una seal estacionaria, durante unos momentos y despus
espera un tiempo y vuelve a observar, esencialmente se vera igual,
esto es, su nivel general seria casi lo mismo y su distribucin de
amplitud y su desviacin estndar serian casi lo mismo. Las seales no
estacionarias son aquellas en las que vara su frecuencia en el
tiempo, esto es, que la frecuencia no es constante durante el
periodo de tiempo analizado. Para esto, su anlisis debe de ser con
una herramienta matemtica donde la frecuencia no sea constante para
todo instante t.
3.2.2 SEALES CONTINUAS Y DISCRETAS Una seal x(t) es una seal
continua si est definida para todo el tiempo t. Una seal discreta
es una secuencia de nmeros, denotada comnmente como x[n], donde n
es un nmero entero. En el siguiente ejemplo se muestra una seal
continua, esta seal no muestra cambios en la frecuencia, se
mantiene definida para cualquier instante en el tiempo t.
34
Figura 3.2.- Ejemplo de una seal contina.
En la figura 3.3 se muestra una seal discreta donde sus valores
estn posicionados nicamente sobre nmeros enteros en el eje del
tiempo.
Figura 3.3.- Ejemplo de una seal discreta.
Una seal discreta se puede obtener al muestrear una seal
continua. En la siguiente figura se muestra una seal discreta al
muestrear la seal continua.
35
Figura 3.4.- Obtencin de una seal discreta al muestrear una seal
continua.
3.2.3 SEALES ANALGICAS Y DIGITALES Si una seal continua x(t)
puede tomar cualquier valor en un intervalo continuo, entonces esa
seal recibe el nombre de seal analgica. Si una seal discreta x[n]
puede tomar nicamente un nmero finito de valores distintos, recibe
el nombre de seal digital. 3.2.4 SEALES REALES Y COMPLEJAS Una seal
x(t) es real si sus valores son nmeros reales, y una seal x(t) es
compleja si sus valores son nmeros complejos, es decir: x(t) =
x1(t) + jx2(t).
3.2.5 SEALES DETERMINSTICAS Y ALEATORIAS Las seales
determinsticas son aquellas cuyos valores estn completamente
especificados en cualquier tiempo dado y por lo tanto, pueden
modelarse como funciones del tiempo t. Las seales aleatorias son
aquellas que toman valores aleatorios (al azar) en cualquier tiempo
dado y deben ser caracterizadas estadsticamente.
36
3.2.6 SEALES PARES E IMPARES Una seal es par si se cumple que
x(-t) = x(t) para todo t. Es impar si x(-t) = -x(t) para todo t.
3.2.7 SEALES PERIDICAS Y NO PERIDICAS Una seal continua es peridica
con periodo T si existe un valor positivo T tal que x(t + T) = x(t)
para todo t. Cualquier seal que no sea peridica se llama no
peridica o aperidica. El valor ms pequeo de T que satisface esta
ecuacin se llama periodo fundamental. El recproco del periodo
fundamental es la frecuencia fundamental F, se mide en Hertz
(ciclos por segundo) y describe qu tan seguido la seal peridica se
repite. 1 F = (3) T La frecuencia angular, medida en radianes por
segundo, se define como (4): 2 = T
(4)
Una seal discreta x[n] es peridica si satisface la condicin (5):
x[n] = x[n + N] para todos los enteros n. Donde N es un nmero
entero. El valor ms pequeo de N que satisface esta ecuacin se llama
periodo fundamental. La frecuencia angular fundamental, medida en
radianes, se define por (6). (5)
=
2 N
(6)
3.3 ANLISIS DE SEALES Muchos de los fenmenos pueden describirse
mediante una seal en el dominio del tiempo; es decir, una de las
variables es el tiempo (variable independiente) y la otra es la
magnitud (variable dependiente). Cuando se dibuja esta seal se
obtiene una funcin tiempo-amplitud, sin embargo la informacin que
se puede obtener de esta representacin no siempre es la mas
37
apropiada, puesto que la informacin que caracteriza a la seal,
en muchos casos, puede observarse mas claramente en el demonio de
la frecuencia, es decir mediante un espectro de frecuencias que
muestre las frecuencias existentes en la seal. Por lo tanto, para
una mejor representacin de la seal se hace necesario disponer de su
representacin en el dominio del tiempo y la frecuencia. En las
siguientes figuras se muestran 2 seales en el dominio del tiempo,
para encontrar el contenido de frecuencia de cada una de estas
seales se puede hacer uso de la transformada de Fourier, esta
transformada parte de una representacin en el dominio del tiempo de
la seal y obtiene la representacin en frecuencias de la misma, es
decir, si se representa esto grficamente en un eje se mostrara la
frecuencia y en el otro la amplitud. La figura 3.5 muestra 2 seales
que tienen una sola componente de frecuencia, 3Hz y 10Hz
respectivamente, ambas con magnitud unitaria.
Seal de 3Hz.
Tiempo en milisegundos
Seal de 10Hz
Tiempo en milisegundos
Figura 3.5.- Dos seales de 3 y 10 Hz. respectivamente.
38
En la figura 3.6 se muestra una seal con frecuencia desconocida
a la que se le aplica la transformada de fourier, donde se aprecia
que en todo el espectro de frecuencias solamente existe una
componente de 50Hz.
Tiempo
Frecuencia
Frecuencia
Figura 3.6.- Seal de 50 Hz. y su transformada de Fourier.
Ntese que en la figura 3.6 c) se muestra la primer mitad de la
figura 3.6 b) puesto que espectro de frecuencias de una seal es
simtrico y por lo tanto la segunda mitad es redundante, por otra
parte la transformada de fourier entrega la informacin en
frecuencia de la seal, pero no indica el instante de tiempo en el
que aparece, esta informacin no es necesaria cuando la seal es
estacionaria, pero es de vital importancia para seales no
estacionarias. El concepto de seal estacionaria es muy importante
en el anlisis de seales, las seales cuyo contenido de frecuencia no
cambia en el tiempo se denominan seales estacionarias, por lo cual
no se necesita saber en que instante de tiempo existen esas
39
componentes de frecuencia, ya que todas las componentes de
frecuencia estn presentes en todo instante de tiempo.
Por ejemplo: f(t)=cos (62.83t) + cos (157.08t) + cos (314.16t) +
cos (628.32t) (7)
es una seal estacionaria cuyas frecuencias son 10, 25, 50 y
100Hz estn presentes en cualquier instante. En la figura 3.7 se
muestran la seal en el dominio del tiempo y su respectivo espectro
en frecuencias.
Seal estacionaria con contenido de 10, 25, 50 100 Hz.
Tiempo
Espectro de frecuencias de seal con contenido de 10, 25, 50 100
Hz.
Frecuencia
Figura 3.7.- Seal estacionaria y su respectivo espectro en
frecuencia.
Por otra parte la siguiente figura muestra una seal no
estacionaria con cuatro componentes de frecuencia distintas para 4
intervalos de tiempo diferentes. En el intervalo de 0 a 300 ms
contiene una seal sinusoidal de 100Hz, de 300 a 600 ms
40
contiene una seal sinusoidal de 50Hz, de 600 a 800 ms contiene
una seal sinusoidal de 25Hz y de 800 a 1000 ms contiene una seal
sinusoidal de 10Hz. Si se realiza la transformada de fourier se
observa que se obtienen 4 picos correspondientes a las frecuencias
presentes en la seal, 10, 25, 50 y 100Hz, tal y como se haba
obtenido en el anlisis de la seal estacionaria.
Figura 3.8.- Seal no estacionaria y su respectivo espectro en
frecuencia.
Si se comparan los espectros de las seales en el dominio del
tiempo de la seal estacionaria y la no estacionaria puede
observarse que ambos muestran 4 componentes espectrales para las
mismas frecuencias: 10, 25, 50 y 100Hz aparte del rizado y de la
diferencia de amplitud los dos espectros son casi iguales, aunque
las seales en el dominio del tiempo son completamente diferentes.
Ambas seales contienen las mismas componentes de frecuencia, pero
la figura de la seal
41
estacionaria contiene estas frecuencias para todo el tiempo y la
figura de la seal estacionaria presenta estas frecuencias en
diferentes intervalos de tiempo. Esta es la razn por la cual la
transformada de Fourier no es una tcnica adecuada para seales no
estacionarias cuando se desea obtener una correspondencia
tiempofrecuencia. 3.4 TRANSFORMADA DE FOURIER [10] Aunque en el
anlisis de seales la transformada de Fourier TF es una de las ms
empleadas, no es la nica, hay muchas otras transformadas que se
emplean, cada una con su rea de aplicacin, con sus respectivas
ventajas y desventajas. La Transformada rpida de Fourier expresa
una funcin peridica como una suma de exponenciales complejas
peridicas tal como muestran en las siguientes ecuaciones
X(f)= x(t ) e 2 ft dt
(8)
x(t)= X ( f ) e 2 ft dt
(9)
donde (8): La transformada de fourier de la seal en el dominio
del tiempo x(t). De la ecuacin (8) se observa que la seal es
multiplicada por un termino senoidal de frecuencia f entonces el
producto de la seal y el termino senoidal es relativamente grande,
esto indica que la seal x(t) tiene una fuerte componente de
frecuencia f. Sin embargo si la seal no tiene componente de
frecuencia f el producto tiende a cero. Es importante destacar que
la informacin proporcionada por la integral corresponde a todos los
instantes de tiempo, ya que el intervalo de integracin va desde
menos infinito hasta el infinito, esto significa que no importa el
instante de tiempo en el que aparece la componente de frecuencia f
porque no afectara el resultado de la integracin. Por lo tanto la
TF es capaz de entregar informacin de la existencia o no de ciertas
componentes de frecuencia. Esto explica que los resultados
obtenidos en el anlisis de seales no estacionarias no es
conveniente con la TF, por lo tanto se deben emplear otras
tcnicas.
42
3.4.1 TRANSFORMADA DISCRETADE FOURIER[10] La transformada
discreta de Fourier (TDF) es obtenida de la transformada de Fourier
de una funcin muestreada (discreta) en un intervalo de tiempo [0, T
] . La TDF de una funcin discreta f [n ] esta dada por F [k ] ,1 F
[k ] = N
f [n]en =0 N 1
N 1
jkn 2 / N
k = 0,1,2,3,..., N 1
(10)
y la transformada inversa porf [n ] =
F [k ]ek =0
jkn 2 / N
n = 0,1,2,3,..., N 1
(11)
donde N es el numero de muestras. Se debe de hacer notar que F
[k ] es la contraparte de Fn , y f [n ] la contraparte de f (t ) .
Ejemplo: La funcin continua f (t ) = 3 cos(t + 120.32 0 ) + cos(3t
85.94 0 ) + 0.2 es muestreada sobre un ciclo completo. El nmero de
muestras es N=8 y una ventana con T=20 ms, esto es, una frecuencia
fundamental de 50 Hz. La siguiente tabla muestra los puntos
discretos as como su transformada discreta de Fourier. n 0 1 2 3 4
5 6 7t [ms ] 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 f [n ] -1.2437
-2.0468 -3.3871 0.1951 1.6437 2.4468 3.7871 0.2049 F [k ] 0.2
-0.7572+j1.2948 0.0 0.0354-j0.4987 0.0 0.0354+j0.4987 0.0
-0.7572-j1.2948
Magnitud y ngulo 0.2 1.5120.32 0.0 0.5-85.94 0.0 0.585.94 0.0
1.5-120.32
Coeficiente F0 F-1 F-2 F-3 F3 F2 F1
La comparacin entre los resultados obtenidos con la TDF y la
funcin f(t), muestran que efectivamente solo existen el termino de
cd, la primera y tercera armnica, cuyos valores son de 0.2, 3120.32
y 1-85.94, respectivamente.
43
Figura 3.9.- Grafica que muestra los valores discretos de la
funcin muestreada. El resultado del contenido armnico de dicha
corriente se muestra en forma de barras en la siguiente
figura.Contenido Armnico de f(n) 3
2.5
2 M g itu an d
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15 20 orden de la Armnica
25
30
35
Figura 3.10.- Contenido armnico de la figura 3.9. Ejemplo: Los
siguientes puntos muestran los valores discretos de una seal de
corriente proveniente de un equipo de cmputo.
44
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Figura 3.11.-Valores discretos en un periodo de corriente de una
PC. La siguiente tabla muestra los valores discretos, as como el
resultado de aplicar la TDF. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 t[ms] 0 0.625 1.25 1.875 2.5 3.125 3.75 4.315 5
5.625 6.25 6.875 7.5 8.125 8.75 9.375 10 10.625 11.25 11.815 12.5
f[n] 0 -0.227 -0.312 -0.337 -0.374 -0.431 -0.5 -2.417 -2.787 -1.937
-0.037 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.163 0.243 0.243
F[k] -0.0197 -0.0868 + 0.5060i 0.0091 + 0.0291i 0.0653 - 0.3547i
-0.0034 + 0.0113i -0.0286 + 0.2982i -0.0006 - 0.0079i 0.0386 -
0.2037i 0.0085 + 0.0210i -0.0221 + 0.1075i 0.0025 - 0.0110i 0.0234
- 0.0241i 0.0067 + 0.0101i -0.0117 - 0.0373i 0.0012 - 0.0036i
0.0061 + 0.0719i 0.0033 - 0.0000i 0.0061 - 0.0719i 0.0012 + 0.0036i
-0.0117 + 0.0373i 0.0067 - 0.0101i Magnitud y ngulo 0.0197 180.0000
1.0267 99.7334 0.0610 72.7415 0.7214 -79.5643 0.0235 106.6654
0.5991 95.4848 0.0159 -94.4919 0.4147 -79.2614 0.0452 68.0075
0.2195 101.6334 0.0226 -77.2677 0.0672 -45.9014 0.0243 56.1987
0.0782 -107.3612 0.0075 -71.3080 0.1443 85.1494 .0033 0 0.1443
85.1494 0.0075 -71.3080 0.0782 -107.3612 0.0243 56.1987
Coeficiente. F0 F-1 F-2 F-3 F-4 F-5 F-6 F-7 F-8 F-9 F-10 F-11 F-12
F-13 F-14 F-15 F-16 F-17 F-18 F-19 F-20
45
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
13.125 13.75 14.375 15 15.625 16.25 16.875 17.5 18.125 18.75
19.375
0.243 0.313 2.49 2.753 1.663 0.043 0.043 0.043 0.043 0 0
0.0234 + 0.0241i 0.0025 + 0.0110i -0.0221 - 0.1075i 0.0085 -
0.0210i 0.0386 + 0.2037i -0.0006 + 0.0079i -0.0286 - 0.2982i
-0.0034 - 0.0113i 0.0653 + 0.3547i 0.0091 - 0.0291i -0.0868 -
0.5060i
0.0672 0.0226 0.2195 0.0452 0.4147 0.0159 0.5991 0.0235 0.7214
0.0610 1.0267
-45.9014 -77.2677 101.6334 68.0075 -79.2614 -94.4919 95.4848
106.6654 -79.5643 72.7415 99.7334
F-21 F-22 F-23 F-24 F-25 F-26 F-27 F-28 F-29 F-30 F-31
El resultado del contenido armnico de dicha corriente se muestra
en forma de barras en la siguiente figura.
Contenido Armnico de f(n) 1.4
1.2
1
M g itu an d
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15 20 orden de la Armnica
25
30
35
Figura 3.12.- Contenido armnico de la figura 3.11.
46
Figura 3.13.- Contenido armnico de la seal de corriente
utilizando la TDF.
Por tanto, la funcin que representa a esta corriente esta dada
por:
i (t ) = 0.0197 + 1.0267 cos( t + 99.73o ) + 0.7214 cos cos(3 t
+ 79.564o ) + 0.5991cos(5 t + 95.484o ) + 0.4147 cos(7 t + 79.261o
) + 0.2195 cos(9 t + 101.6334o )
3.4.2 LA TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER [11] La transformada
rpida de Fourier resuelve el problema del anlisis de seales no
estacionarias mediante la transformada de Fourier enventanada,
bsicamente consiste en dividir la seal en diferentes partes donde
se puede asumir que la seal es estacionaria. Para este propsito la
seal es multiplicada por una funcin ventana, cuya anchura debe de
ser igual a parte de la seal que se puede considerar como
estacionaria. Esta funcin ventana inicialmente esta localizada al
inicio de la seal, es decir t=0. Si se asume que la anchura de la
ventana es T segundos, entonces esta funcin se solapara con la seal
para los primeros T/2 segundos la funcin ventana y la seal son
entonces multiplicadas, de esta forma solamente los primeros T/2
segundos de la seal estn siendo escogidos. Una vez hecho esto la
nueva seal es el producto de la funcin ventana y la seal original a
la que se le aplica la TF. El resultado obtenido de esta
transformacin es la transformada de fourier para los primeros T/2
segundos de la seal original, si esta parte de la seal es
estacionaria quiere decir que los resultados obtenidos mostraran la
representacin en frecuencia exacta de los primeros T/2
segundos.
47
El prximo paso ser desplazar esta ventana a una nueva
localizacin hasta que toda la seal sea recorrida. Lo anterior se
resume en la ecuacin (12): (12)
donde: x(t): seal original w* : funcin ventana conjugada En cada
instante t y frecuencia f se calcula un nuevo coeficiente de la
transformada de Fourier. Otra forma de comprender como trabaja este
anlisis de Fourier es a partir de un ejemplo, para ello se muestra
la figura 3.14Seal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 100
Hz.
Tiempo
Figura 3.14.- Seal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y
100 Hz.
Esta seal no estacionaria se puede analizar mediante el la
transformada rpida de Fourier y ser representada en tres
dimensiones (tiempo, frecuencia y amplitud) sabiendo que la grafica
es simtrica con respecto al punto medio del eje de la
frecuencia.
48
Lo importante es que existen cuatro picos que corresponden a las
cuatro componentes de frecuencia de la seal original y adems estn
localizados en diferentes intervalos de tiempo, por lo que se
cuanta con una representacin tiempo-frecuencia de la seal, sino que
tambin su localizacin en el tiempo, como se muestra en la figura
3.15.
Figura 3.15.- STFT de la seal de la figura 3.14.
Con lo anterior parecera que el problema de la representacin
tiempo-frecuencia de una seal esta resuelto, sin embargo, existe un
problema que se remonta al principio de incertidumbre de
Heisenberg, que en este caso se traduce que no es posible conocer
la representacin exacta tiempo-frecuencia de una seal, sino tan
solo los intervalos de tiempo en los cuales existen determinadas
bandas de frecuencia, por lo tanto, aparece un problema de
resolucin. En la transformad de Fourier no existe ese problema de
resolucin en el dominio de la frecuencia, se sabe exactamente las
frecuencias que existen, de manera similar no existe problema de
resolucin en el dominio del tiempo, ya que se conoce el valor de la
seal para cada instante de tiempo. Lo que proporciona la perfecta
resolucin en
49
frecuencia en la TF es el hecho de que la ventana empleada es la
funcin exponencial, la cual existe para todo instante de tiempo. En
la transformada de Fourier enventanada (STFT), la ventana es de
longitud finita, es decir, solo se aplica a una parte de la seal,
causando una disminucin de la resolucin en frecuencia, con lo cual
solo es posible conocer una banda de frecuencias y no un valor
exacto de frecuencias. En consecuencia, existe un compromiso entre
buena resolucin en el tiempo o buena resolucin en frecuencia. Para
obtener la estacionalidad se elije una ventana lo suficientemente
estrecha en la cual la seal sea estacionaria. Cuanto mas estrecha
sea la ventana se obtendr mejor resolucin en el tiempo y por lo
tanto una mejor representacin de la estacionalidad y peor resolucin
en frecuencia. Por lo tanto el problema consiste en la seleccin de
una ventana para el anlisis, dependiendo de la aplicacin. Si las
componentes frecuenciales estn bien separadas unas de otras en la
seal original, se puede sacrificar resolucin en la frecuencia y
tratar de mejorar la resolucin en el tiempo. Por ejemplo en la
siguiente figura se muestran dos posibilidades, dependiendo de la
resolucin deseada en el tiempo y frecuencia. Resumiendo: Ventana
estrecha.- Buena resolucin en el tiempo y pobre resolucin el
dominio de la frecuencia. Ventana ancha.- Buena resolucin en el
dominio de la frecuencia y pobre resolucin el dominio del
tiempo.
50
Figura 3.16.- Enrejado resultante en el plano tiempo-frecuencia
de la transformada enventanada de fourier, en el primer caso se
utiliza una mejor resolucin en el tiempo a costa de tener poca
resolucin en la frecuencia. En el segundo caso, la resolucin en la
frecuencia se incrementa, a costa de perder resolucin en el
tiempo.
A fin de comprender como trabaja la transformada enventanada de
Fourier se procesa la seal (13) considerando una ventana gaussiana
de diferentes anchuras. (13) Donde a representa la anchura de la
ventana. En las figuras 3.17 se muestran 4 funciones ventana tipo
gaussianas de diferentes anchuras.
51
Figura 3.17.- Representacin de la funcin gaussianna para
distintas anchuras.
Aplicando a la funcin de la figura 1 la funcin mas estrecha
(a=1800) para el calculo de la transformada rpida de Fourier, se
observa en la siguiente figura una alta resolucin en el tiempo y
una pobre resolucin en el dominio de la frecuencia. En dicha figura
se comprueba que los cuatro picos que existen estn bien separados
los unos de los otros en el dominio del tiempo. Adems en el dominio
de la frecuencia, cada pico cubre un rango de frecuencias, en lugar
de un nico valor de frecuencia.
52
Figura 3.18.- STFT de la funcin de la figura 3.14 con funcin
gaussiana de a=1800. En el caso de hacerse mas ancha la ventana,
por ejemplo para a=18, el resultado se muestra en la siguiente
figura:
53
Figura 3.19.- STFT de la funcin de la figura 3.14 con funcin
gaussiana de a=18.
En la figura 3.19 se comprueba que los cuatro picos,
correspondientes a carda frecuencia presente en la seal, no estn
tan bien separados en el dominio del tiempo como suceda en el caso
anterior, sin embargo, la resolucin en el dominio de la frecuencia
ha mejorado. El caso correspondiente para la anchura de ventana
gaussiana mayor se muestra en la siguiente figura, donde el
resultado muestra una resolucin en el dominio temporal muy mala,
sin embargo, cada pico cubre un rango de frecuencias muy
estrecho.
54
Figura 3.20.- STFT de la funcin de la figura 3.14 con funcin
gaussiana de a=1.8.
Estos ejemplos muestran el problema implcito de resolucin que
existe en la transformada rpida de fourier. Cuando se desea aplicar
esta transformada se debe decidir la clase y caractersticas de la
ventana a emplear. Ventanas estrechas proporcionan pobre resolucin
en el dominio de la frecuencia pero buena en el dominio del tiempo.
Ventanas anchas, por el contrario, aportan buena resolucin en el
dominio de la frecuencia y mala en el dominio del tiempo, pero con
el riesgo de que se viole el principio de estacionariedad. El
problema, por lo tanto, radica en una eleccin adecuada de la funcin
ventana, que es nica para todo el anlisis, la eleccin no ser fcil y
depender de la seal a analizar, si las componentes en frecuencia de
la seal estn bien separadas entre si,
55
entonces se podra sacrificar algo de resolucin en frecuencia y
preferir una buen resolucin temporal, ya que las componentes
espectrales ya estn bien separadas. Pero si la seal no presenta
estas caractersticas la eleccin de una buena ventana se complica.
Por lo tanto, se debe encontrar una transformada que dando
informacin tiempofrecuencia de la seal solucione el problema de la
resolucin implcito en la transformada rpida de Fourier. La
transformada Wavelet (TW) resuelve este problema. De manera muy
general, la Transformada Wavelet de una funcin f(t) es la
descomposicin de f(t) en un conjunto de funciones Wf(s,t) que
forman una base y son llamadas las Wavelets. La Transformada
Wavelet se define como (14):
W f ( s, ) = f (t ) s , (t )dt
(14)
Las Wavelets son generadas a partir de la traslacin y cambio de
escala de una misma funcin wavelet s,(t), llamada la Wavelet madre,
y se define como (15):
s , (t ) =
1 t s s
(15)
donde s es el factor de escala, y t es el factor de traslacin.
Las wavelets ys,t (t) generadas de la misma funcin wavelet madre
y(t) tienen diferente escala s y ubicacin t, pero tienen todas la
misma forma. Se utilizan siempre factores de escala s > 0. Las
Wavelets son dilatadas cuando la escala s > 1, y son contradas
cuando s < 1. As, cambiando el valor de s se cubren rangos
diferentes de frecuencias. Valores grandes del parmetro s
corresponden a frecuencias de menor rango, o una escala grande de
ys,t(t). Valores pequeos de s corresponden a frecuencias de menor
rango o una escala muy pequea de ys,t(t). Esta tcnica se desarrollo
como una alternativa para superar los problemas de resolucin de la
transformada enventanda de Fourier, haciendo posible una buena
representacin de una seal tanto en tiempo como en frecuencia de
forma simultnea, con lo que se puede determinar el intervalo de
tiempo en el cual aparecen determinadas componentes espectrales.
Bsicamente, lo que hace la transformada Wavelet es filtrar una seal
en el dominio del tiempo mediante filtros paso bajo y paso alto que
eliminan ciertas componentes
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de alta o baja frecuencia de la seal, el procedimiento se repite
para las seales resultantes del proceso de filtrado anterior. Por
ejemplo, supngase que se tiene una seal con frecuencia de hasta
1000 Hz, en la primera etapa de filtrado la seal es dividida en dos
partes hacindola pasar a travs de un filtro paso-bajo y un filtro
paso-alto con lo cual se obtienen dos versiones diferentes de la
misma seal: una que corresponde a las frecuencias entre 0 y 500 Hz
(paso bajo) y otra que corresponde a las frecuencias entre 500 y
1000 Hz (paso alto). Posteriormente, se toma cualquiera de las dos
versiones o ambas y se hace nuevamente la misma divisin. Esta
operacin se denomina descomposicin. De esta forma y suponiendo que
se ha tomado la parte de la seal correspondiente al filtro paso
bajo se tendrn tres conjuntos de datos, cada uno de los cuales
corresponde a la misma seal pero a distintas frecuencias: 0-250 Hz,
250-500Hz y 500-1000Hz. A continuaron se volver a tomar la seal
correspondiente a la parte del filtrado de paso bajo hacindola
pasar nuevamente por los filtros paso bajo y paso alto, de esta
forma ya se tendran 4 conjuntos de seales correspondientes a las
frecuencias 0-125 Hz, 125-250Hz, 250-500 Hz y 500-1000 Hz. El
proceso contina hasta que la seal se ha descompuesto en un cierto
nmero de niveles predefinidos. Finalmente se cuenta con un grupo de
seales que representan la misma seal, pero correspondientes a
diferentes bandas de frecuencia. Para cada una de estas bandas se
conocen sus respectivas seales si se juntan todas y se presentan en
una grafica tridimensional se tendra tiempo en un eje, frecuencia
en el segundo y amplitud en el tercero. Un ejemplo de descomposicin
se muestra en la figura 3.21, donde los dos primeros filtrados
contienen principalmente ruido, mientras que los de mayor nivel
aproximan la seal.
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Figura 3.21.- Ejemplo de descomposicin donde muestra que los dos
primeros filtrados contienen principalmente ruido, mientras que los
de mayor nivel aproximan la seal.
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En este ejemplo se muestra una seal con contenidos de frecuencia
de hasta 1000Hz. en diferentes tiempos. Mediante la transformada
Wavelet se descompone esta seal hasta encontrar en que tiempos
ocurrieron los cambios de frecuencia. Se descompone por pasos, las
diferentes frecuencias se separan para analizarlas y llevar acabo
su respectivo anlisis, donde los dos primeros filtrados contienen
ruido. De esta forma es posible establecer que frecuencias existen
para un tiempo dado. Sin embargo, el principio de incertidumbre de
Heisenberg establece que no puede conocerse la informacin de tiempo
y frecuencia de una seal en un cierto punto del plano
tiempo-frecuencia, en otras palabras no se puede determinar
exactamente que frecuencias existen en un instante dado, por lo que
solo es posible conocer que bandas de frecuencias existen en un
determinado intervalo de tiempo. Este es un problema de resolucin y
ha sido la razn principal por la cual existe la tendencia a
reemplazar la transformada enventanda de Fourier por la
transformada Wavelet, puesto que la transformada enventanada de
Fourier trabaja con una resolucin fija para todos los tiempos, la
transformada Wavelet trabaja con una resolucin variable.
Resumiendo, existen dos diferencias principales entre la
transformada Wavelet y la transformada enventanada de Fourier: - La
transformada enventanada de Fourier no es calculada - La anchura de
la ventana se cambia conforme la transformada se calcula para cada
componente espectral. Con la TW las altas frecuencias tienen mejor
resolucin en el tiempo mientras que las bajas tienen mejor
resolucin en el dominio de la frecuencia. Esto significa que una
determinada componente de alta frecuencia puede localizarse mejor
en el tiempo que una componente de baja frecuencia. Por el
contrario, una componente de baja frecuencia puede localizarse
mejor en frecuencia comparado con una componente de alta
frecuencia. En la figura 3.22 puede observarse que las altas
frecuencias (fila superior) la cantidad de puntos es mayor para un
mismo intervalo de tiempo (T): es decir, las altas frecuencias
tienen una mejor resolucin en el tiempo. Sin embargo a bajas
frecuencias para el mismo intervalo de tiempo existen menos puntos
que caracterizan la seal, por lo tanto las frecuencias bajas no
tienen buena resolucin en el tiempo.
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Figura 3.22.- Interpretacin grafica de la resolucin en tiempo y
en la frecuencia. a) Transformada wavelet continua b) Transformada
wavelet discreta
En el caso de una seal discretizada en el tiempo, la resolucin
en el tiempo de la seal puede interpretarse de manera similar a lo
comentado en el caso a), pero ahora la informacin en frecuencia
tiene diferentes resoluciones en cada escaln de descomposicin tal
como puede interpretarse en la figura anterior caso b). As se
observa que para un f dado la resolucin en el tiempo es mejor para
las bajas frecuencias que para las altas frecuencias, puesto que la
separacin entre cada escaln de descomposicin aumenta a medida que
se incrementa la frecuencia. 3.4 OTRAS TRANSFORMADAS MATEMTICAS
[15] Una transformada integral es una transformada T aplicada sobre
la funcin f(x) de la forma siguiente:t2
T ( f (t )) = K (u, t ) f (t )dt = F (u )t1
(16)
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La entrada de esta funcin T encontramos una funcin f(t), y la
salida otra funcin F(u). Una transformada es un tipo especial de
operador matemtico. En ella t1 y t2 son dos valores que dependen de
su definicin, y pueden variar desde menos el infinito hasta el
infinito. Hay numerosas transformadas integrales tiles. Cada una
depende de la funcin K de dos variables escogida, llamada la funcin
ncleo o kernel de la transformacin. Algunos ncleos tienen una K
inversa asociada, K inversa:u2 1(u,t)
, que da una transformada
f (t) = K 1(u, t)T ( f (t
