7/27/2019 w12stat302assign3

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W i n t e r 2 0 1 1 / 1 2 T e r m 2

S T A T 3 0 2 A s s i g n m e n t 3 ( D u e a t 2 p m o n F r i F e b 1 7 , 2 0 1 2 )

1 . F i n d t h e v a l u e o f c s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g f u n c t i o n s a r e p r o b a b i l i t y m a s s f u n c t i o n s :

( a ) P(X = k) = (c k)/n, k = 1, 2,...,n.

( b ) P(X = k) = c/2k, k = 1, 2,... . N o t e t h a t t h i s f u n c t i o n i s n o t o n l y d e n e d o n 1, 2,...,n , b u t a l s o

n + 1,....

2 . P e t e r a n d A l l e n a r e w o r k i n g o n a n a s s i g n m e n t t o g e t h e r . T h e y d e c i d e t h a t P e t e r w i l l w o r k o n p a r t

( a ) o n l y , w h i c h c o n s i s t s o f 5 p r o b l e m s , a n d A l l e n w i l l w o r k o n p a r t ( b ) o n l y , w h i c h c o n s i s t s o f 4

o t h e r p r o b l e m s . S u p p o s e t h a t P e t e r c a n s o l v e a p r o b l e m b y h i m s e l f b e f o r e t h e d e a d l i n e w i t h a

p r o b a b i l i t y p1 , a n d A l l e n c a n s o l v e a p r o b l e m b y h i m s e l f b e f o r e t h e d e a d l i n e w i t h a p r o b a b i l i t y p2 .S u p p o s e t h a t a l l q u e s t i o n s a r e e q u a l l y c o m p l i c a t e d a n d t h a t P e t e r a n d A l l e n w o r k i n d e p e n d e n t l y .

( a ) W h a t i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f p r o b l e m s P e t e r c a n s o l v e b e f o r e t h e d e a d l i n e ? W h a t

i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f p r o b l e m s A l l e n c a n s o l v e b e f o r e t h e d e a d l i n e ? D e n e t h e

r a n d o m v a r i a b l e , w r i t e d o w n t h e p r o b a b i l i t y m a s s f u n c t i o n a n d s t a t e w h a t k i n d o f d i s t r i b u t i o n

i t f o l l o w s .

( b ) W h a t i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e t o t a l n u m b e r o f p r o b l e m s t h e y c a n s o l v e b e f o r e t h e d e a d l i n e ?

3 . A p h y s i c i a n i s p l a n n i n g t o c o n d u c t a b l o o d t e s t o n a l l r e s i d e n t s i n a b i g a r e a f o r a c e r t a i n k i n d o f

u . S u p p o s e t h a t t h e a e c t e d p r o p o r t i o n o f r e s i d e n t s i n t h i s a r e a i s p ( 0 < p < 1) , a n d t h a t a l l r e s i d e n t s a r e i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r . T h e p h y s i c i a n p l a n s t o t e s t o n e r e s i d e n t a t o n e t i m e , b u t

a s t a t i s t i c i a n p r o p o s e s a n o t h e r s c h e m e . T h e s t a t i s t i c i a n s u g g e s t s t h a t h e r s t d i v i d e s a l l r e s i d e n t s ,

a t r a n d o m , i n t o g r o u p s o f k r e s i d e n t s e a c h , t h e n t e s t s t h e m i x t u r e o f b l o o d s a m p l e s f r o m a g r o u p o f k r e s i d e n t s a t o n e t i m e . I f t h e v i r u s i s n o t d e t e c t e d i n t h e m i x e d s a m p l e , w h i c h m e a n s n o n e o f t h e k r e s i d e n t s i s a e c t e d , t h e n n o f u r t h e r t e s t s a r e n e e d e d f o r r e s i d e n t s i n t h i s g r o u p . I f t h e v i r u s i s d e t e c t e d i n t h e m i x e d s a m p l e , t h e n e a c h r e s i d e n t i n t h i s g r o u p i s c h e c k e d s e p a r a t e l y .

( a ) F o r t h e s t a t i s t i c i a n ' s s u g g e s t i o n , w h a t i s t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f t e s t s n e e d e d f o r a

g r o u p o f

kr e s i d e n t s ? D e n e t h e r a n d o m v a r i a b l e , w r i t e d o w n t h e p r o b a b i l i t y m a s s f u n c t i o n ,

a n d s t a t e w h a t k i n d o f d i s t r i b u t i o n i t f o l l o w s .

( b ) W h a t i s e x p e c t e d n u m b e r o f t e s t s n e e d e d f o r a g r o u p o f k r e s i d e n t s ?

( c ) I f

k = 2 a n d p = 0.1 , c a n t h e s t a t i s t i c i a n ' s s u g g e s t i o n r e d u c e t h e t o t a l n u m b e r o f t e s t s n e e d e d ?

4 . L e t X|N Bin(N, p) , a n d l e t N Bin(m, q). W h a t i s t h e d i s t r i b u t i o n o f X?

H i n t : S i n c e N i s a r a n d o m v a r i a b l e , u s e t h e f a c t t h a t

P(X = k|N = n) =n

k

pk

(1 p)nk

, k = 0, 1,...,n

a n d

P(N = n) =

m

n

qn(1 q)mn, n = 0, 1,...,m

t o n d

P(X = k) . Y o u m a y a l s o n d t h e B i n o m i a l t h e o r e m u s e f u l h e r e :

(x + y)n =

nk=0

n

k

xkynk

1

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5 . L e t X Geom(p) .

( a ) S h o w t h a t , f o r

a > 0,P(X > a) = (1 p)a

( b ) S h o w t h a t , f o r a > 0 a n d b > 0 ,

P(X > a + b|X > a) = P(X > b)

6 . D r . E m m e t t B r o w n h a s a l a r g e s t o c k p i l e o f u x c a p a c i t o r s , 1 5 % o f w h i c h a r e i n n e e d o f r e p a i r . H e

i s e q u i p p e d w i t h o n l y f o u r r e p a i r k i t s , a n d s e l e c t s u x c a p a c i t o r s o n e a t a t i m e t o t e s t . S u p p o s e

t h a t , i f a u x c a p a c i t o r i s w o r k i n g , i t t a k e s 10 m i n u t e s t o t e s t , a n d t h a t i f i t i s i n n e e d o f r e p a i r ,i t t a k e s 30 m i n u t e s t o b o t h t e s t a n d r e p a i r .

( a ) W h a t i s t h e e x p e c t a t i o n a n d v a r i a n c e o f t h e t i m e i t t a k e s u n t i l D r . E m m e t t B r o w n i s o u t

o f r e p a i r k i t s ( i . e . , h a s e n c o u n t e r e d a n d r e p a i r e d f o u r u x c a p a c i t o r s ) ? ( A s s u m e t h a t b y a

` l a r g e ' s t o c k p i l e , t h a t t h e r e a r e , f o r a l l i n t e n t s a n d p u r p o s e s , i n n i t e u x c a p a c i t o r s t o t e s t ) .

B e s u r e t o d e n e t h e r a n d o m v a r i a b l e , a n d s t a t e w h a t k i n d o f d i s t r i b u t i o n i t f o l l o w s .

( b ) S u p p o s e n o w t h a t , i n t h i s l a r g e s t o c k p i l e , t h e p r o p o r t i o n t h a t a r e i n n e e d o f r e p a i r i s

p, a n d

t h a t X i s t h e n u m b e r o f u x c a p a c i t o r s D r . E m m e t t t e s t s u n t i l h e n d s kth i n n e e d o f r e p a i r .S u p p o s e t h a t Yi i s d e n e d a s t h e n u m b e r o f t e s t s p e r f o r m e d b e t w e e n n d i n g t h e (i 1)th

a n d ith u x c a p a c i t o r i n n e e d o f r e p a i r , a n d t h a t t h e s t o c k p i l e i s l a r g e e n o u g h t h a t w e c a n c o n s i d e r e a c h Yi a s b e i n g i n d e p e n d e n t . C o n r m t h a t :

1)E(X) = E(ki=1

Yi)

2)V ar(X) = V ar(ki=1

Yi)

2