VẬT LÝ CHẤT RẮN - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/CH5 Tinh chat nhiet.pdf · 5 Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 1. Nhiệt dung của phonon Phân bố

VẬT LÝ CHẤT RẮN

TS. Ngô Văn Thanh

Viện Vật Lý

Hà Nội - 2016

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 2

Tài liệu tham khảo

[1] Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Eds. (John Wiley & Sons, 2005)

[2] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).

[3] Charles Kittel, Mở đầu vật lý chất rắn, (Đặng Mộng Lân và Trần Hữu Phát dịch), (NXB KHKT Hà Nội, 1984).

[4] Nguyễn Ngọc Long, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG Hà Nội, 2007).

[5] Lê Khắc Bình, Nguyễn Nhật Khanh, Vật lý chất rắn, (NXB ĐHQG TP. HCM, 2002)

Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/vatlychatran/

Email : [email protected]


CHƯƠNG 5. TÍNH CHẤT NHIỆT

1. Nhiệt dung của phonon

2. Tương tác phi điều hòa

3. Độ dẫn nhiệt



Phonon heat capacity

Nhiệt dung

Phần đóng góp của phonon được gọi là nhiệt dung của mạng

Năng lượng toàn phần của phonon tại nhiệt độ

lượng phonon trung bình ở trạng

thái cân bằng nhiệt có vector sóng K

và độ phân cực p

Hàm phân bố Planck



Phân bố Planck Xét một tập hợp các dao động tử điều hòa đồng nhất ở trạng thái cân bằng

nhiệt

Tỷ số :

• Nn + 1 : số dao động tử điều hòa ở trạng thái lượng tử kích thích (n + 1)

• Suy ra

Số lượng tử kích thích trung bình của một dao động tử

Xét các tổng :

Viết lại phân bố Planck



Liệt kê các mode thường (chuẩn tắc) Năng lượng tổng hợp của các dao động tử

Thay tổng theo K bằng tích phân

: là số mode có độ phân cực p trong khoảng tần số đến d

Đặt

Nhiệt dung của mạng:

được gọi là mật độ mode hoặc là mật độ trạng thái



Mật độ trạng thái trong trường hợp một chiều

Xét bài toán dao động một chiều của N + 1 hạt cách đều nhau 1 khoảng a

Tổng chiều dài là L, 2 hạt ở 2 đầu được giữ cố định

Mode dao động chuẩn với độ phân cực p có dạng sóng đứng

Độ dịch chuyển:

Áp dụng điều kiện biên cho K

Với nghiệm của độ dịch chuyển có dạng :

triệt tiêu tại 2 biên



Với nghiệm có dạng

• Các nguyên tử không chuyển động vì tại vị trí của các nguyên tử

Chỉ có N – 1 giá trị riêng biệt của K

Trong mỗi khoảng chỉ có duy nhất một mode dao động

Trường hợp có mode trên một đơn vị khoảng K

Không có mode nếu

Xét trường hợp không có giới hạn ở biên

Điều kiện biên tuần hoàn :

Nghiệm của độ dịch chuyển có dạng sóng chạy

Với các giá trị khả dĩ của K



Xét khoảng

Trong khoảng có mode

Không có mode ở ngoài khoảng

Trường hợp 2 chiều

Xét mạng vuông với hằng số mạng a

• Điều kiện biên tuần hoàn cho khoảng

• Có 1 giá trị khả dĩ của K trong một

đơn vị diện tích

• Số nút mạng cho phép trong hình tròn

diện tích là :

Số lượng các mode trong một

đơn vị dải tần số



Mật độ trạng thái 3 chiều

Xét hệ gồm N3 ô tối giản trong hình lập phương có cạnh L

Vector K được xác định từ điều kiện tuần hoàn:

• Ta thu được

Trong không gian , thể tích có một giá trị khả dĩ của K

Tổng số mode khả dĩ trong thể tích này là:

Mật độ trạng thái của từng loại phân cực

Thể tích

hình cầu

bán kính K



Mô hình Debye cho mật độ trạng thái Áp dụng phương pháp gần đúng Debye

Hệ thức tán sắc được viết dưới dạng :

• : là vận tốc không đổi của âm thanh

Mật độ trạng thái :

Xét một mẫu có N ô tối giản => có N mode phonon âm

Từ công thức :

Suy ra tần số ngưỡng (cutoff) :

Vector sóng ngưỡng :

Điều kiện của vector sóng trong mô hình Debye :

• => số mode thoả mãn điều kiện này làm giảm số bậc tự do của mạng đơn nguyên tử



Năng lượng nhiệt của mỗi loại phân cực

Giả thiết : vận tốc của phonon không phụ thuộc vào độ phân cực

Trong đó :

được gọi là nhiệt độ Debye

Năng lượng toàn phần của phonon



Nhiệt dung của mạng



Quy luật Debye T3 Tại nhiệt độ rất thấp, ta có thể tính gần đúng biểu thức tích phân

Suy ra

Nhiệt dung

• Được gọi là gần đúng Debye T3



Mô hình Einstein cho mật độ trạng thái

Xét hệ N dao động tử điều hoà một chiều có cùng tần số 0

Biểu thức mật độ trạng thái của Eisntein

Năng lượng nhiệt của hệ :

Nhiệt dung của hệ dao động

Trường hợp 3 chiều

Thay N = 3N

Trong giới hạn nhiệt độ cao

Nhiệt độ đặc trưng



Mật độ trạng thái tổng quát Dạng tổng quát : số các giá trị khả dĩ của vector tương ứng với khoảng tần

số từ đến + d.

: số trạng thái trên một đơn vị dải tần số

Tính thể tích của lớp vỏ (shell)

Xét một yếu tố diện tích :

trên không gian tại tần số không đổi

Yếu tố thể tích giữa 2 mặt tần số

không đổi và + d ,

có dạng hình trụ đứng có đáy là

và chiều cao là

: là khoảng cách giữa 2 mặt



Gradient của tần số vuông góc với mặt phẳng

Độ lệch tần số giữa 2 mặt

Yếu tố thể tích

Biên độ vận tốc nhóm của phonon

Ta có :

Thay thể tích của tinh thể : L3 = V

Mật độ trạng thái:



Một số hạn chế của lý thuyết điều hòa Hai sóng dao động mạng không tương tác với nhau, mỗi sóng không bị tắt dần,

không bị thay đổi dạng theo thời gian

Không có quá trình dãn nở truyền nhiệt

Các hệ số đàn hồi đoạn nhiệt và đẳng nhiệt là bằng nhau

Hằng số đàn hồi không phụ thuộc vào áp suất và nhiệt độ

Nhiệt dung tiến đến hằng số ở nhiệt độ cao T >

Tinh thể thực không thỏa mãn các điều kiện trên

Trong thực nghiệm : 2 phonon tương tác với nhau và sinh ra một phonon thứ 3 có tần số : 3 = 1 + 2

Ý nghĩa vật lý của tương tác phonon

Phonon thứ nhất gây ra sức căng đàn hồi tuần hoàn, làm thay đổi hệ số đàn hồi của mạng theo không/thời gian

Phonon thứ 2 nhận sự thay đổi hệ số đàn hồi, bị tán xạ rồi sinh ra phonon thứ ba, giống như sự dịch chuyển của tấm lưới 3 chiều.



Giãn nở nhiệt (Thermal Expansion) Xét dao động cổ điển có tính đến sự ảnh hưởng của số hạng không điều hòa

trong biểu thức của thế năng tại nhiệt độ T

Thế năng của các nguyên tử khi nó bị lệch ra khỏi vị trí cân bằng

với

• Số hạng bậc 3: tính bất đối xứng của lực đẩy lẫn nhau giữa các nguyên tử

• Số hạng bậc 4: làm mềm dao động ở vùng có biên độ lớn

Sử dụng hàm phân bố Boltzmann

Trung bình thống kê theo lý thuyết xác suất nhiệt động học

trong đó



Giả thiết rằng phần năng lượng phi điều hòa là rất bé so với

Sử dụng gần đúng :

Khai triển tích phân ở tử số

Tích phân ở mẫu số

Ta tìm được :



Thông lượng của năng lượng nhiệt Năng lượng truyền qua một đơn vị diện tích trong một khoảng thời gian

K : hệ số dẫn nhiệt

: gradient nhiệt

Theo lý thuyết động học chất khí

C : nhiệt dung trên một đơn vị thể tích

: vận tốc trung bình của hạt

: quãng đường tự do trung bình của hạt giữa 2 lần va chạm

Thông lượng của hạt theo phương x

• n : là nồng độ phân tử

Ở trạng thái cân bằng nhiệt, độ lớn của thông lượng theo 2 chiều là như nhau



c : là nhiệt dung của một hạt. Khi nó dịch chuyển tử vùng có nhiệt độ T + T

sang vùng có nhiệt độ T thì nó sẽ giải phóng một năng lượng là cT

Độ chênh lệch nhiệt độ giữa điểm đầu và điểm cuối của quãng đường tự do của một hạt

: là thời gian trung bình giữa 2 va chạm

Thông năng toàn phần

Phonon : vận tốc không đổi

Trong đó

• Quãng đường tự do :

• Nhiệt dung của cả hệ :

• Suy ra :



Nhiệt trở của khí phonon Quá trình tán xạ : tán xạ hình học và tán xạ bởi các phonon khác

Trường hợp lực tác dụng giữa các nguyên tử chỉ có dạng điều hoà

• Không xảy ra cơ chế tán xạ giữa các phonon

• Quãng đường tự do chỉ bị giới hạn bởi các biên của tinh thể

Trường hợp tương tác mạng phi điều hoà

• Xảy ra sự liên kết giữa 2 phonon

• Làm giảm quãng đường tự do trung bình của phonon

Hiệu ứng liên kết phi điều hoà của các phonon

Ở nhiệt độ cao : quãng đường tự do trung bình tỷ lệ thuận với 1/T

• Số lượng các phonon bị kích thích tỷ lệ với nhiệt độ T

• Vì vậy, tần suất va chạm giữa các phonon cũng tỷ lệ với T

• Hệ quả là quãng đường tự do trung bình tỷ lệ thuận với 1/T

Chú ý:

• Va chạm giữa phonon và các sai hỏng mạng tĩnh hoặc biên của tinh thể không làm thay đổi năng lượng của các phonon riêng lẻ.

• => tần số của phonon tán xạ và tần số của phonon tới là bằng nhau



Xét quá trình va chạm 3 phonon

• Đây là quá trình không cân bằng

• Xung lượng toàn phần của phonon không đổi trong quá trình cân bằng

• Các phonon phân bố cân bằng tại nhiệt độ T làm cho tinh thể bị trượt xuống dưới

Xung lượng của phonon khi va chạm được bảo toàn

• Bởi vì :

• Nên là số phonon có vector sóng

Xét trường hợp

• Do nên không có nhiệt trở do phonon

Quá trình Umklapp (quá trình U)

Để có nhiệt trở :

: là vector mạng đảo, có mặt trong mọi định luật bảo toàn

Quá trình này có năng lượng bảo toàn



Quá trình thường Quá trình Umklapp

Mạng không hoàn hảo

Ảnh hưởng đến quá trình va chạm hình học của phonon

Theo công thức :

Ở miền nhiệt độ thấp, quãng đường tự do trung bình của phonon có giá trị cỡ đường kính D của mẫu

Documents

VẬT LÝ CHẤT RẮN - iop.vast.ac.vnnvthanh/cours/vatlychatran/CH5 Tinh chat nhiet.pdf · 5 Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2016 1. Nhiệt dung của phonon Phân bố