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Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 21
Vocabularioángulo base de un trapecio . . . . 429
base de un trapecio . . . . . . . . . . . 429
cateto de un trapecio . . . . . . . . . . 429
cometa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
cóncavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
lado de un polígono . . . . . . . . . . . 382
paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . 391
polígono regular . . . . . . . . . . . . . . 382
rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
segmento medio de un trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . 431
trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
trapecio isósceles . . . . . . . . . . . . . 429
vértice de un polígono . . . . . . . . 382
Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.
1. El extremo común de dos lados de un polígono es un(a) −−−−
? .
2. Un polígono es −−−−
? si ninguna diagonal contiene puntos en el exterior.
3. Un(a) −−−−
? es un cuadrilátero con cuatro lados congruentes.
4. Cada uno de los lados paralelos de un trapecio se llama −−−−
? .
Indica si cada figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados.
5. 6. 7.
Indica si cada polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo.
8. 9. 10.
Halla cada medida.
11. la suma de las medidas de los ángulos internos de un dodecágono convexo
12. la medida de cada ángulo interno de un polígono regular de 20 lados
13. la medida de cada ángulo externo de un cuadrilátero regular
14. la medida de cada ángulo interno del hexágono ABCDEF
■ Indica si la figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados.
Ésta es una figura plana cerrada formada por dos segmentos que se cruzan sólo en sus extremos, por lo tanto, es un polígono. Tiene seis lados, por lo tanto, es un hexágono.
■ Indica si el polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo.
El polígono es equilátero, pero no es equiangular; por lo tanto, no es regular. Ninguna diagonal contiene puntos en el exterior, por lo tanto, es convexo.
Halla cada medida.
■ la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de 11 lados
(n - 2) 180° Teor. de la suma de ∠ de un polígono
(11 - 2) 180° = 1620° Sustituye n por 11.
■ la medida de cada ángulo externo de un pentágono regular
suma de. � ext. = 360° Teor. de la suma de ∠ ext. de un polígono
medida de un ∠ ext. = 360° _ 5
= 72°
6-1 Propiedades y atributos de los polígonos (págs. 382–388)
EJERCICIOSE J E M P L O S
22 Guía de estudio: Repaso
En �ABCD, m∠ABC = 79°, BC = 62.4 y BD = 75.Halla cada medida.
15. BE 16. AD
17. ED 18. m∠CDA
19. m∠BCD 20. m∠DAB
WXYZ es un paralelogramo. Halla cada medida.
21. WX 22. YZ
23. m∠W 24. m∠X
25. m∠Y 26. m∠Z
27. Tres vértices de �RSTV son R (-8, 1
) , S
(2, 3
) y V
(-4, -7
) . Halla las coordenadas del vértice T.
28. Escribe una demostración de dos columnas.Dado: GHLM es un paralelogramo.
∠L � ∠JMG
Demuestra: �GJM es isósceles.
■ En �PQRS, m∠RSP = 99°, PQ = 19.8 y RT = 12.3.Halla PT.
−−
PT � −−
RT � → diagonales que forman bisectriz entre síDef. de seg. �Sustituye RT por 12.3.
PT = RTPT = 12.3
JKLM es un paralelogramo. Halla cada medida.
■ LK
−−
JM �
−−
LK � → lados opuestos �Def. de seg. �Sustituye los valores dados.Halla y.
JM = LK2y - 9 = y + 7
y = 16LK = 16 + 7 = 23
■ m∠M
m∠J + m∠M = 180° � → � sup. cons.Sustituye los valores dados.Halla x.
(x + 4) + 3x = 180
x = 44 m∠M = 3 (44) = 132°
6-2 Propiedades de los paralelogramos (págs. 391–397)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo para los valores dados de las variables.
29. m = 13, n = 27 30. x = 25, y = 7
Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta.
31. 32.
33. Demuestra que el cuadrilátero con los vértices B
(-4, 3
) , D
(6, 5
) , F
(7, -1
) y H
(-3, -3
) es un
paralelogramo.
■ Demuestra que MNPQ es un paralelogramo donde a = 6 y b = 1.6.
MN = 2a + 5 QP = 4a - 7MN = 2 (6) + 5 = 17 QP = 4 (6) - 7 = 17MQ = 7b NP = 2b + 8MQ = 7 (1.6) = 11.2 NP = 2 (1.6) + 8 = 11.2
Como sus lados opuestos son congruentes, MNPQ es un paralelogramo.
■ Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta.
No. Un par de ángulos opuestos son congruentes, y un par de lados consecutivos son congruentes. No se cumple ninguna de las condiciones para un paralelogramo.
6-3 Condiciones para los paralelogramos (págs. 398–405)
EJERCICIOE J E M P L O S
Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 23
En el rectángulo JKLM, KM = 52.8 y JM = 45.6.Halla cada longitud.
■ KL
JKLM es un �. Rect. → �� → lados opuestos �KL = JM = 45.6
■ NL
JL = KM = 52.8 Rect. → diagonales �
� → diag. que forman bisectriz entre sí
NL = 1 _ 2
JL = 26.4
■ PQRS es un rombo. Halla m∠QPR, dado quem∠QTR = (6y + 6) ° y m∠SPR = 3y°.
m∠QTR = 90° 6y + 6 = 90
y = 14m∠QPR = m∠SPR Rombo → cada diagonalm∠QPR = 3 (14) ° = 42° forma una bisectriz con �
opuesto
■ Los vértices del cuadrado ABCD son A (5, 0) , B (2, 4) , C (-2, 1) y D (1, -3) . Demuestra que las diagonales del cuadrado ABCD son mediatrices congruentes entre sí.
AC = BD = 5 √
2 Las diag. son �.
El producto de las pendientes es -1, por lo tanto, las diag. son ⊥.
pendiente de −−
AC = -
1 _ 7
pendiente de −−
BD = 7
pto. medio de −−
AC = pto. medio de
−−
BD = (
3 _ 2
, 1 _ 2
)
Las diag. forman una bisectriz entre sí.
6-4 Propiedades de los paralelogramos especiales (págs. 408–415)
EJERCICIOSE J E M P L O S
En el rectángulo ABCD, CD = 18 y CE = 19.8.Halla cada longitud.
34. AB 35. AC
36. BD 37. BE
En el rombo WXYZ, WX = 7a + 1,WZ = 9a - 6 y VZ = 3a. Halla cada medida.
38. WZ 39. XV
40. XY 41. XZ
En el rombo RSTV, m∠TZV = (8n + 18) °y m∠SRV = (9n + 1) °.Halla cada medida.
42. m∠TRS 43. m∠RSV
44. m∠STV 45. m∠TVR
Halla las medidas de los ángulos numerados en cada figura.
46. rectángulo MNPQ 47. rombo CDGH
Demuestra que las diagonales del cuadrado con los vértices dados son mediatrices congruentes entre sí.
48. R (-5, 0
) , S
(-1, -2
) , T
(-3, -6
) y U
(-7, -4
)
49. E (2, 1
) , F
(5, 1
) , G
(5, -2
) y H
(2, -2
)
Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida.
50. Dado: −−
ER ⊥ −−
FS , −−
ER � −−
FS Conclusión: EFRS es un cuadrado.
51. Dado: −−
ER y −−
FS forman una bisectriz entre sí. −−
ER � −−
FS Conclusión: EFRS es un rectángulo.
52. Dado: −−
EF ‖ −−
RS , −−
FR ‖ −−
ES , −−
EF � −−
ES Conclusión: EFRS es un rombo.
■ Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida.
Dado: −−
LP ⊥ −−
KN Conclusión: KLNP es un rombo.
La conclusión no es válida.Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo. Para aplicar este teorema, primero debes saber si KLNP es un paralelogramo.
6-5 Condiciones para paralelogramos especiales (págs. 418–425)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Rombo → diag. ⊥Sustituye el valor dado.Halla y.
24 Guía de estudio: Repaso
Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices dados es un rectángulo, rombo o cuadrado. Menciona todos los nombres que correspondan.
53. B (-3, 0
) , F
(-2, 7
) , J
(5, 8
) , N
(4, 1
)
54. D (-4, -3
) , H
(5, 6
) , L
(8, 3
) , P
(-1, -6
)
55. Q (-8, -2
) , T
(-6, 8
) , W
(4, 6
) , Z
(2, -4
)
■ Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices P (-5, 3) , Q (0, 1) , R (2, -4) y S (-3, -2) es un rectángulo, rombo o cuadrado. Da todos los nombres que correspondan.
PR = √
98 = 7 √
2 Fórmula de distanciaFórmula de distanciaQS = √
18 = 3 √
2
Como PR ≠ QS, PQRS no es un rectángulo ni es un cuadrado.
pendiente de −−
PR = 7 _ -7
= -1 Fórmula de pendiente
Fórmula de pendiente pendiente de −−
QS = 3 _ 3
= 1
Como el producto de las pendientes es -1, las diagonales son perpendiculares. PQRS es un rombo.
En la cometa WXYZ, m∠VXY = 58° y m∠ZWX = 50°.Halla cada medida.
56. m∠XYZ 57. m∠ZWV
58. m∠VZW 59. m∠WZY
Halla cada medida.
60. m∠R y m∠S 61. BZ si ZH = 70 y EK = 121.6
62. MN 63. EQ
64. Halla el valor de n para que PQXY sea isósceles.
Menciona el mejor nombre para un cuadrilátero cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas.
65. (-4, 5
) ,
(-1, 8
) ,
(5, 5
) ,
(-1, 2
)
66. (1, 4
) ,
(5, 4
) ,
(5, -4
) ,
(1, -1
)
67. (-6, -1
) ,
(-4, 2
) ,
(0, 2
) ,
(2, -1
)
■ En la cometa PQRS, m∠SRT = 24°, y m∠TSP = 53°. Halla m∠SPT.
�PTS es un triángulo Cometa → diag. ⊥
Los � agudos de � rect. son comp.
rectángulo. m∠SPT + m∠TSP = 90°
m∠SPT + 53 = 90 Sustituye 53 por m∠TSP.Resta 53 de ambos lados. m∠SPT = 37°
■ Halla m∠D.
m∠C + m∠D = 180° Teor. de � internos del mismo ladoSustituye m∠C por 51.Resta.
51 + m∠D = 180 m∠D = 129°
■ En el trapecio HJLN, JP = 32.5 y HL = 50.
Halla PN.
−−
JN � −−
HL JN = HL = 50
JP + PN = JN32.5 + PN = 50
PN = 17.5
■ Halla WZ.
AB = 1 _ 2
(XY + WZ) Teor. de los segmentos medios de un trap.
Sustituye.
Multiplica ambos lados por 2.Halla WZ.
73.5 = 1 _ 2
(42 + WZ)
147 = 42 + WZ
105 = WZ
6-6 Propiedades de las cometas y los trapecios (págs. 427–435)
EJERCICIOSE J E M P L O S
Trap. isósc. → diag. �Def. de segmentos �
Post. de la suma de los seg.Sustituye.Resta 32.5 de ambos lados.
Respuestas, continuación
Respuestas: Capítulo 6 69
CAPÍTULO 6
Vocabulario
1. vértice de un polígono
2. convexo
3. rombo
4. base de un trapecio
6-1 Propiedades y atributos de los polígonos
5. no es un polígono
6. polígono; �
7. polígono; dodecágono
8. irregular; cóncavo
9. irregular; convexo
10. reg.; convexo
11. 1800°
12. 162°
13. 90°
14. m ∠ A = m ∠ D = 144°; m ∠ B = m ∠ E =126°; m ∠ C = m ∠ F =90°
Respuestas, continuación
70 Respuestas: Capítulo 6
6-2 Propiedades de los paralelogramos
15. 37.5
16. 62.4
17. 37.5
18. 79°
19. 101°
20. 101°
21. 9.5
22. 9.5
23. 54°
24. 126°
25. 54°
26 126°
27. T(-6, 5)
28. 1. GHLM es un �. ∠L � ∠JMG (Dado)
2. ∠G � ∠L(� → � � op.)
3. ∠G � ∠JMG (prop. trans. de �)
4. �
GJ, �
�
MJ (recíp. del teorema de � isósc.)
5. �GJM es isósceles. (Def. de � isósc.)
6-3 Condiciones para los paralelogramos
29. m∠A = m∠E = 63°; m∠G = 117°; como 117° + 63° = 180°, ∠G es suplement. a ∠A y ∠E. Por lo tanto, 1 ∠ de ACEG es suplement. a ambos � cons. Según el teorema 6-3-4, ACEG es un �.
30. RS = QT = 25, por lo tanto, �
RS, �
�
QT. m∠R = 76°, m∠Q = 104° y m∠R + m∠Q = 180°, por lo tanto, ∠R es suplement. a ∠Q. Como ∠R y ∠Q son un par de � int. del mismo lado y son suplement.,
�
RS ‖
�
QT. Por lo tanto, 1 par de lados op. de QRST son ‖ y �. Según el teorema 6-3-1, QRST es un �.
31. Sí; las diag. del cuadrilát. forman una bisectriz entre sí. Según el teorema 6-3-5, el cuadrilát. es un �.
32. No; un par de � alt. int. son �, por lo tanto, 1 par de lados op. son ‖. Otro par de lados op. son �. No se cumple ninguna de las condiciones para que sea un �.
33. pendiente de �
BD = pendiente de �
FH = 1 —
5 ; pendiente de
�
BH = pendiente
de �
DF = -6; ambos pares de lados op.
tienen la misma pendiente, por lo tanto, �
BD ‖ �
FH y �
BH ‖ �
DF; por definición, BDHF
es un �.
Respuestas, continuación
Respuestas: Capítulo 6 71
6-4 Propiedades de los paralelogramos especiales
34. 18
35. 39.6
36. 39.6
37. 19.8
38. 25.5
39. 10.5
40. 25.5
41. 21
42. 41°
43. 49°
44. 82°
45. 98°
46. m∠1 = 57°; m∠2 = 66°; m∠3 = 33°; m∠4 = 114°; m∠5 = 57°
47. m∠1 = 37°; m∠2 = 53°; m∠3 = 90°; m∠4 = 37°; m∠5 = 53°
48 RT = SU = 2 √
�
10 , por lo tanto, �
RT �
�
SU. Pendiente de �
RT = -3 y pendiente
de �
SU = 1 —
3 , por lo tanto,
�
RT ⊥
�
SU.
Las coordenadas del pto. med. de �
RT
y �
SU son (-4, -3), por lo tanto, �
RT y �
SU forman una bisectriz entre sí. Por lo
tanto, las diag. de RSTU son mediatrices
� ⊥ entre sí.
49. EG = FH = 3 √
—
2, por lo tanto, �
EG, �
�–
FH. Pendiente de �
EG = -1 y pendiente
de �
FH = 1, por lo tanto, �
EG ⊥ �
FH. Las
coordenadas del pto. med. de �
EG y �
FH
son ( 7 —
2 , -
1 —
2 ), por lo tanto,
�
EG y �
FH
forman una bisectriz entre sí. Por lo
tanto, las diag. de EFGH son mediatrices
� ⊥ entre sí.
6-5 Condiciones para paralelogramos especiales
50. No es válida; según el teorema 6-5-2, si las diag. de un � son �, entonces el � es un rectáng. Según el teorema 6-5-4, si las diag. de un � son ⊥, entonces el � es un rombo. Si un � es un rectáng. y un rombo, entonces el � es un cuadrado. Para aplicar esta cadena de razonamiento, primero debes saber que EFRS es un �.
51. válida
52. válida
Respuestas, continuación
72 Respuestas: Capítulo 6
53. rombo
54. rectáng.
55. rectáng., rombo, cuadrado
6-6 Propiedades de las cometas y los trapecios
56. 64°
57. 25°
58. 65°
59. 123°
60. m∠R = 126°; m∠S = 54°
61. 51.6
62. 48.5
63. 3.5
64 n = 3 ó n = -3
65. cometa
66. trap.
67. trap. isósc.
