Física I

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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL

DE INGENIERIA CIVIL

VISCOSIDAD. LEY DE POISEUILLE. LEY DE STOKES. NUEMEROS DE REYNOLDS.

Curso:

Física I

Docente:

Lic. Cristian Milton Mendoza Flores

Integrantes:

Arévalo Vargas, José LuisPantoja Silva, José LuisSamanamud Prieto, SandraSolórzano Romero, WendySudario Neyra, María

HUACHO - 2011

Física I

DEDICATORIA

Este trabajo está dedicado en primer lugar a Dios por brindarnos esta oportunidad en la vida, y en segundo lugar a nuestros padres por los sacrificios que han hecho y siguen haciendo por nosotros y en tercer lugar pero no menos importante a todos los profesores que se esmeraron en saciar nuestra sed de cultura cuando recién empezamos a dar nuestros primeros pasos en este cada vez más cambiante mundo.

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INTRODUCCION

Mecánica de fluidos, es la parte de la física que se ocupa de la acción de los fluidos en reposo o en movimiento, así como de las aplicaciones y mecanismos de ingeniería que utilizan fluidos. La mecánica de fluidos es fundamental en campos tan diversos como la aeronáutica, la ingeniería química, civil e industrial, la meteorología, las construcciones navales y la oceanografía.

La mecánica de fluidos puede subdividirse en dos campos principales: la estática de fluidos, o hidrostática, que se ocupa de los fluidos en reposo, y la dinámica de fluidos, que trata de los fluidos en movimiento. El término de hidrodinámica se aplica al flujo de líquidos o al flujo de los gases a baja velocidad, en el que puede considerarse que el gas es esencialmente incompresible. La aerodinámica, o dinámica de gases, se ocupa del comportamiento de los gases cuando los cambios de velocidad y presión son lo suficientemente grandes para que sea necesario incluir los efectos de la compresibilidad.

Entre las aplicaciones de la mecánica de fluidos están la propulsión a chorro, las turbinas, los compresores y las bombas. La hidráulica estudia la utilización en ingeniería de la presión del agua o del aceite.

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VISCOSIDAD. LEY DE POISEUILLE. LEY DE STOKES. NUMEROS DE REYNOLDS.

I. VISCOSIDAD.I.1. Definición.

Viscosidad, propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad. La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo. La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad.

La viscosidad es una manifestación del movimiento molecular dentro del fluido. Las moléculas de regiones con alta velocidad global chocan con las moléculas que se mueven con una velocidad global menor, y viceversa, estos choques permiten transportar cantidad de movimiento de una región de fluido a otra.

La viscosidad se determino a temperatura ambiente, utilizando la ley Stokes.

I.2. Fluido.

Fluido, sustancia que cede inmediatamente a cualquier fuerza tendente a alterar su forma, con lo que fluye y se adapta a la forma del recipiente. Los fluidos pueden ser líquidos o gases. Las partículas que componen un líquido no están rígidamente adheridas entre sí, pero están más unidas que las de un gas. El volumen de un líquido contenido en un recipiente hermético permanece constante, y el líquido tiene una superficie límite definida. En contraste, un gas no tiene límite natural, y se expande y difunde en el aire disminuyendo su densidad. A veces resulta difícil distinguir entre sólidos y fluidos, porque los sólidos pueden fluir muy lentamente cuando están sometidos a presión, como ocurre por ejemplo en los glaciares.

Los fluidos presentan diferentes propiedades que los distinguen, como la viscosidad, densidad, peso específico, volumen específico, presión, etc. Al analizar las distintas propiedades que poseen los fluidos, la viscosidad requiere la mayor consideración para el estudio de estos materiales; su naturaleza y características, así como las dimensiones y factores de conversión. También los fluidos tienen la capacidad de fluir, es decir, puede ser trasvasada de un recipiente a otro.

Todo fluido tiene una viscosidad específica bajo ciertas condiciones cuando se mueve alrededor de un cuerpo o cuando un cuerpo se mueve dentro del fluido, se produce una fuerza de arrastre (Fa) sobre este. Si el cuerpo en estudio es una esfera, está fuerza de arrastre viene dada por la expresión según la ley de Stokes:Fa

Donde µ es la viscosidad absoluta del fluido; r esa el radio de la esfera; v la velocidad de la esfera con respecto al fluido.

Nota: Un fluido no ofrece resistencia a la deformación por esfuerzo constante. Esta es la característica que distingue esencialmente un fluido de un sólido.

I.3. Flujos De La Capa Límite

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Según la teoría molecular, cuando un fluido empieza a fluir bajo la influencia de la gravedad, las moléculas de las capas estacionarias del fluido deben cruzar una frontera o límite para entrar en la región de flujo. Una vez cruzado el límite, estas moléculas reciben energía de las que están en movimiento y comienzan a fluir. Debido a la energía transferida, las moléculas que ya estaban en movimiento reducen su velocidad. Al mismo tiempo, las moléculas de la capa de fluido en movimiento cruzan el límite en sentido opuesto y entran en las capas estacionarias, con lo que transmiten un impulso a las moléculas estacionarias. El resultado global de este movimiento bidireccional de un lado al otro del límite es que el fluido en movimiento reduce su velocidad, el fluido estacionario se pone en movimiento, y las capas en movimiento adquieren una velocidad media.

Para hacer que una capa de fluido se mantenga moviéndose a mayor velocidad que otra capa es necesario aplicar una fuerza continua. La viscosidad en poises se define como la magnitud de la fuerza (medida en dinas por centímetro cuadrado de superficie) necesaria para mantener —en situación de equilibrio— una diferencia de velocidad de 1 cm por segundo entre capas separadas por 1 cm. La viscosidad del agua a temperatura ambiente (20 °C) es de 0,0100 poises; en el punto de ebullición (100 °C) disminuye hasta 0,0028 poises.

I.4. Efectos Del Calor

La viscosidad de un fluido disminuye con la reducción de densidad que tiene lugar al aumentar la temperatura. En un fluido menos denso hay menos moléculas por unidad de volumen que puedan transferir impulso desde la capa en movimiento hasta la capa estacionaria. Esto, a su vez, afecta a la velocidad de las distintas capas. El momento se transfiere con más dificultad entre las capas, y la viscosidad disminuye. En algunos líquidos, el aumento de la velocidad molecular compensa la reducción de la densidad. Los aceites de silicona, por ejemplo, cambian muy poco su tendencia a fluir cuando cambia la temperatura, por lo que son muy útiles como lubricantes cuando una máquina está sometida a grandes cambios de temperatura.

I.5. Viscosidad absoluta o dinámica

Es la fuerza tangencial por unidad de área, de los planos paralelos por una unidad de distancia, cuando el espacio que los separa esta lleno con un fluido y uno de los planos se traslada con velocidad unidad en su propio plano con respecto al otro también denominado viscosidad dinámica; coeficiente de viscosidad

La unidad de viscosidad dinámica en el sistema internacional (SI) es el pascal segundo (Pa.s) o también newton segundo por metro cuadrado (N.s/m2), o sea kilogramo por metro segundo (kg/ms): Esta unidad se conoce también con el nombre de poiseuille(Pl) en Francia.

También se puede decir que es el principio de viscosidad de Newton establece que: para un flujo laminar de ciertos fluidos llamados newtonianos, la tensión cortante en una interface tangente a la dirección de flujo, es proporcional al gradiente de la velocidad en dirección normal a la interface.

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Para comprender este principio consideremos que entre dos placas paralelas de igual superficie y separadas por una distancia h se encuentra un fluido homogéneo a temperatura constante, como se ve en la figura.

De la figura se puede escribir la siguiente relación para la velocidad de deformación angular:

Es decir que la deformación angular que sufre el elemento de fluido mostrado en la figura, cuando es sometido a un es fuerzo de corte, es igual al gradiente de velocidad en la dirección y (du/dy). Entonces, se puede decir que la tensión t en la intercara superior del elemento diferencial de fluido es directamente proporcional a la velocidad de deformación, lo que concuerda con el principio de Newton.

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Las unidades de la viscosidad dinámica en el SI, se obtienen aplicando el principio de homogeneidad dimensional a la ecuación de Newton de la viscosidad.

I.6. Viscosidad cinemáticaFrecuentemente en los cálculos de mecánica de fluidos se presenta el cociente de la viscosidad dinámica entre la densidad del fluido. Por ello, de manera convencional, la viscosidad cinemática se define como la razón entre la viscosidad dinámica y la densidad.

II. Ley de Poiseuille:

La ley de Poiseuille también conocida como la ley de Hagen-Poiseuille se permite determinar el flujo laminar estacionario ΦV de un liquido incomprensible y uniformemente viscoso o también llamado flujo newtoniano a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838 formulada y aplicada en 1840 y 1846 por Jean Louis Marie Poiseuille .esta ley queda formulada de la siguiente manera

Donde:

V: volumen del liquido que circula en la unidad de tiempo(t) vmedia: Velocidad media del fluido a lo largo del eje z de coordenadas cilíndricos r: es el radio interno del tubo L: Es la longitud característica a lo largo del eje z

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La ley se puede derivar de la ecuación Darcy-Weisbach, desarrollada en el campo de la hidráulica y que por lo demás es valida para todos los tipos de flujo. La ley de Hagen-Poiseuille se puede expresar del siguiente modo

Re: es el número de Reynolds ρ : es la densidad del fluido

En esta forma la ley aproxima el valor del factor de fricción, la energía disipada por la perdida de carga , el factor por perdida de fricción o el factor de Darcy λ en el flujo laminar a muy bajas velocidades en tubo cilíndricoLa ley de Poiseuille fue extendida en 1891 para flujo turbulento por L.R.Wilberforce basándose en trabajo de Hagenbach

2.1 CALCULO DE LA FORMULA

Consideramos una tubería horizontal de radio R constante y dentro de ella dos secciones transversales 1 y2 separadas a una distancia L. Estas distancias delimitan un trozo de tubería que en la imagen adjunta queda delimitada por los puntos ABCD. Dentro de la tubería indicada consideramos a su vez un cilindro coaxial delimitado por lo puntos a, b, c y d con área de tapas A = π r2 y radio r. Debido ala viscosidad del

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fluido, sobre este cilindro actúa un esfuerzo cortante que llamaremos T provocando una fuerza F que actúa sobre el área longitudinal AL = 2π r L. Esta fuerza será igual a F = p1A − p2A.

Integrando la fuerza que actúan sobre el cilindro dado se obtiene la ley de Poiseuille

De acuerdo a la primera ley de Newton, si p1 y p2 son las presiones aplicadas en el centro de gravedad del área transversal del cilindro en las secciones 1 y 2 tenemos que:

p1A − p2A + F = 0

En un solido el esfuerzo de corte es proporcional a la deformación pero un fluido se deforma continuamente mientras se aplique el esfuerzo por lo tanto el esfuerzo de corte será proporcional a la velocidad de corte por una constante llamada viscosidad

Sustituyendo el valor de la superficie AL por 2 π r L y despejando F nos queda

Reemplazando:

Simplificando queda

Con lo que

Integrando

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El valor de la constante C queda determinada por las condiciones en los límites. Es decir cuando r =R entonces v = 0. Por lo que:

Sustituyendo el valor de C en la ecuación inicial tenemos que:

Esta ecuación da la distribución de velocidades en una tubería. Como se puede observar, el término del radio elevado al cuadrado indica que se trata de un paraboloide, donde la velocidad máxima se obtiene en el eje del mismo y que coincide con el eje de la tubería. Zona en la que los efectos del rozamiento con las paredes de la tubería es mínima. La expresión de la velocidad máxima queda del siguiente modo:

En la práctica es más sencillo medir la velocidad media que la velocidad máxima. La expresión de la velocidad media es la siguiente:

Para calcular el caudal en la tubería vamos a considerar un anillo diferencial de espesor dr entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería y radios r y r + dr. En este caso la expresión del caudal queda:

dQ = 2πrdrv

Sustituyendo la expresión de la velocidad calculada anteriormente tenemos que:

Integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y R podremos calcular el caudal total:

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y finalmente obtenemos la expresión de la ley de Poiseuille para el caudal:

si seguimos trabajando sobre esta fórmula y sustituimos esta expresión del caudal en la fórmula anterior de la velocidad media obtenemos lo siguiente:

de donde se deduce que:

Despejando la pérdida de presión en las anteriores ecuaciones obtenemos:

que no deja de ser otra expresión de la ley de Poiseuille para la pérdida de presión en una tubería de sección constante con flujo laminar.

Si dividimos y multiplicamos el segundo miembro de la ecuación anterior por la expresión 2ρvmediag tenemos que:

donde es la pérdida de carga y es la expresión del número de Reynolds, con lo que la pérdida de carga queda expresada del siguiente modo:

Comparando esta última expresión con la ecuación de Darcy-weisbach se deduce el valor de λ:

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Siendo esta otra expresión de la ecuación de Hagen-Poiseuille.

III. LEY DE STOKES

La Ley de Stokes se refiere a la fuerza de fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds. Fue derivada en 1851 por George Gabriel Stokes tras resolver un caso particular de las ecuaciones de Navier-Stokes. En general la ley de Stokes es válida en el movimiento de partículas esféricas pequeñas moviéndose a velocidades bajas.

La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está completamente sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en régimen laminar).

W=mg * Fr

El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad g. La masa es el producto de la densidad del material ρe por el volumen de la esfera de radio R.

De acuerdo con el principio de Arquímedes el empuje es igual al producto de la densidad del fluido ρf, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresión se denomina ley de Stokes.

La ley de Stokes puede escribirse como:

,

Donde R es el radio de la esfera, v su velocidad y η la viscosidad del fluido.

La condición de bajos números de Reynolds implica un flujo laminar lo cual puede traducirse por una velocidad relativa entre la esfera y el medio inferior a un cierto valor crítico. En estas condiciones la resistencia que ofrece el medio es debida casi exclusivamente a las fuerzas de rozamiento que se oponen al deslizamiento de unas

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capas de fluido sobre otras a partir de la capa límite adherida al cuerpo. La ley de Stokes se ha comprobado experimentalmente en multitud de fluidos y condiciones.

Si las partículas están cayendo verticalmente en un fluido viscoso debido a su propio peso puede calcularse su velocidad de caída o sedimentación igualando la fuerza de fricción con el peso aparente de la partícula en el fluido.

Donde:

Vs es la velocidad de caída de las partículas (velocidad límite)

g es la aceleración de la gravedad,

ρp es la densidad de las partículas y

ρf es la densidad del fluido.

η es la viscosidad del fluido.

La ecuación del movimiento será, por tanto,

La velocidad límite, se alcanza cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

Despejamos la velocidad límite vl

La ecuación del movimiento es

donde F es la diferencia entre el peso y el empuje F=mg-E, y k=6πR

Integramos la ecuación del movimiento para obtener la velocidad de la esfera en función del tiempo.

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Obtenemos

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite vl después de un tiempo teóricamente infinito. Si representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=vl.

Integramos la expresión de la velocidad en función del tiempo para obtener  la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen x=0, en el instante inicial t=0.

se obtiene

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo, vemos que al cabo de un cierto tiempo, el desplazamiento x del móvil será proporcional al tiempo t.

Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro.

Ejemplo:

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En un tubo vertical lleno de aceite de automóvil dejamos caer perdigones de plomo. El diámetro del tubo es mucho mayor que el diámetro del perdigón. Los datos son

Densidad del plomo ρe=11.35 g/cm3 Radio de la esfera R=1.96 mm

Densidad del aceite ρf=0.88 g/cm3

Viscosidad del aceite η=0.391 kg/(m·s)

Solución:

=224.02

6π ( ) (0.391) (224.02) =2018.96 π

IV. NÚMERO DE REYNOLDS

El número de Reynolds (Re) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos, diseño de reactores y fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Este número recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describió en 1883. El número de Reynolds de un objeto que se mueve a una determinada velocidad depende de la condición de su superficie. Cuanto más rugosa sea la superficie, mayor será el número de Reynolds

4.1.- Definición y uso de Re

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El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. Desde un punto de vista matemático el número de Reynolds de un problema o situación concreta se define por medio de la siguiente fórmula:

o equivalentemente por:

Donde:ρ: densidad del fluido vs: velocidad característica del fluido D: diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido o longitud característica del sistema μ: viscosidad dinámica del fluido ν: viscosidad cinemática del fluido

4.2.- Número de Reynolds y Carácter del flujo

Dicho número o combinación adimensional aparece en muchos casos relacionado con el hecho de que el flujo pueda considerarse laminar (número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de Reynolds grande).

Además el número de Reynolds permite predecir el carácter turbulento o laminar en ciertos casos.En conductos o tuberías (en otros sistemas, varía el Reynolds límite):

- Si el número de Reynolds es menor de 2000 el flujo será laminar y si es mayor de 4000 el flujo será turbulento. El mecanismo y muchas de las razones por las cuales un flujo es laminar o turbulento es todavía hoy objeto de especulación.

Según otros autores:

Para valores de el flujo se mantiene estacionario y se comporta como si estuviera formado por láminas delgadas, que interactúan sólo en función de los esfuerzos tangenciales existentes. Por eso a este flujo se le llama flujo laminar. El colorante introducido en el flujo se mueve siguiendo una delgada línea paralela a las paredes del tubo.

Para valores de la línea del colorante pierde estabilidad formando pequeñas ondulaciones variables en el tiempo,

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manteniéndose sin embargo delgada. Este régimen se denomina de transición.

Para valores de , después de un pequeño tramo inicial con oscilaciones variables, el colorante tiende a difundirse en todo el flujo. Este régimen es llamado turbulento, es decir caracterizado por un movimiento desordenado, no estacionario y tridimensional.

4.3.- Cálculo del Número de Reynolds

    El número de Reynolds puede ser calculado para cada conducción recorrida por un determinado fluido y es el producto de la velocidad, la densidad del fluido y el diámetro de la tubería dividido entre la viscosidad del fluido. Para un mismo valor de este número el flujo posee idénticas características cualquiera que sea la tubería o el fluido que circule por ella. Si R es menor de 2.100 el flujo a través de la tubería es siempre laminar; cuando los valores son superiores a 3.000 el flujo es turbulento.Entre estos dos valores el flujo es inestable y puede variar de un tipo de flujo a otro.Cuanto mayores son el diámetro, la velocidad y la densidad, y cuanto menor es la viscosidad, más probable es que el flujo sea turbulento

     De acuerdo con la expresión del número de Reynolds, cuanto más elevada sea la viscosidad de un fluido mayor podrá ser el diámetro de la tubería sin que el flujo deje de ser laminar, puesto que las densidades de los líquidos son casi todas del mismo orden de magnitud. Por este motivo los oleoductos, en régimen laminar, pueden tener secciones superiores a las conducciones de agua, ya que la viscosidad de los fluidos que circulan por aquéllos es mayor que la del agua.

     Hemos estudiado el comportamiento de un fluido perfecto (ecuación de Bernoulli) y el comportamiento de un fluido viscoso en régimen laminar (ecuación de Poiseuille). Sin embargo, no existe una teoría análoga que describa el comportamiento de los fluidos en régimen turbulento, o que explique la transición de régimen laminar a turbulento.

     El objetivo de esta página es la de familiarizar al lector con el denominado número de Reynolds, y la importancia que tiene a la hora de definir si un determinado fluido está en régimen laminar, turbulento, o en la transición entre ambos regímenes.     El número de Reynolds es el número adimensional 

Ecuación 97.     Donde D es el diámetro del tubo, ρ la densidad del fluido, y h la viscosidad, y v su velocidad. Dispositivo experimental

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Figura 25.     El dispositivo experimental consta de un frasco de Mariotte de 27.4 cm de diámetro y 57.5 cm de altura, que desagua a través de un tubo horizontal de longitud L y diámetro D, que se inserta en un orificio situado en la parte inferior del frasco. Se dispone de un conjunto de tres tubos intercambiables de los siguientes diámetros y longitudes

Tubo Longitud (cm) Diámetro (mm)

1 29.3 2.42

2 56.7 3.96

3 50.5 5.36

 Tabla 4.     La velocidad v de salida del agua por el tubo horizontal se puede determinar mediante simples medidas de caudal.     En la experiencia real, se recogerán los datos correspondientes a la velocidad v de salida del agua por el tubo horizontal en función de la altura h del tubo del frasco de Mariotte. Se compararán los valores "experimentales" con las predicciones del flujo laminar y del flujo turbulento.

     La utilización de tubos de vidrio de dimensiones diferentes permite comprobar que la transición del régimen laminar al turbulento es independiente de éstas, dependiendo únicamente, del valor crítico de un parámetro adimensional: el número de Reynolds.

BIBLIOGRAFIA

TRIPOD: Viscosidad. Disponible en: http://taninos.tripod.com/viscosidad.htm

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DE SUCRE, Antonio José. Viscosidad. Departamento de Ingeniería Mecánica.

Universidad Nacional Experimental Politécnica. Puerto Ordaz, Venezuela.

RIVERA CHÁVEZ, Emilio. Introducción a la Mecánica de fluidos I. Facultad Nacional de Ingeniería. Disponible en: http://erivera-2001.com/files/Introduccion.pdf

VASQUEZ, Juan Luis. Fundamentos Matemáticos de la Mecánica de Fluidos. Universidad Autónoma de Madrid. Madrid, España. 2003.

Paginas en la web

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Poiseuille .

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Stokes .

http://rabfis15.uco.es/MecFluidos/1024/Untitled-30.htm .

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