Vectori

Definitii:

1. Un vector este o cantitate caracterizata de 3 elemente: directie, marime si sens.

Exemple de vectori: viteza, acceleratie, impuls, orice tip de forta, camp electric, camp magnetic, orice tip de moment (momentul fortei, moment cinetic, moment magnetic), etc.

2. Un scalar este o cantitate caracterizata doar prin marime.

Exemple de scalari: temperatura, masa, densitate, orice tip de energie (cinetica, potentiala), lucrul mecanic.

Vectori

o Reprezentarea grafica a unui vector este un segment de dreapta orientat

o Doi vectori sunt egali daca au aceeasi marime directie si sens

Directie

Marime

Sens

Vectori

o Un vector se noteaza cu litera mare sau mica si cu sageata deasupra.

o Modulul unui vector – reprezinta marimea vectorului. Notatie: sau A.

o Versorul unui vector – este vectorul de marime unitate (modul egal cu 1) care caracterizeaza directia si sensul unui vector. Notatie:

-

�⃗�

|�⃗�|�̂�

�⃗�= �̂� ∙|�⃗�|

Operatii cu Vectori

o Adunarea vectorilor – regula paralelogramului

- regula triunghiului

o Inmultirea a doi vectori

- Produs scalar – are ca rezultat un scalar

- Produs vectorial – are ca rezultat un vector

Adunarea vectorilor

o Vectorii se pot aduna utilizand:

- Regula paralelogramului

- Regula triunghiului

�⃗�

�⃗�

�⃗�+�⃗�𝐴−𝐵

�⃗� �⃗�

�⃗�+�⃗�

Proprietati ale adunarii vectoriloro Adunarea vectorilor este comutativa:

o Adunarea vectorilor este distributiva fata de inmultirea cu un scalar

o Adunarea vectorilor este asociativa:

o Adunarea mai multor vectori:

�⃗�+�⃗�= �⃗�+ �⃗�

𝑎 ∙ ( �⃗�+ �⃗� )=𝑎 ∙ �⃗�+𝑎 ∙ �⃗�

�⃗��⃗� 𝐶

�⃗�

�⃗�+�⃗�+𝐶+�⃗��⃗�+�⃗� 𝐶+𝐷

(

Inmultirea vectoriloro Produsul scalar – are ca rezultat un scalar

- Definitie

- reprezentare grafica

�⃗� ∙ �⃗�=|⃗𝐴|∙|⃗𝐵|∙cos (^⃗𝐴 , �⃗�)

�⃗�

�⃗�𝛼

|�⃗�|∙𝑐𝑜𝑠𝛼

�⃗� ∙ �⃗�=|⃗𝐴|∙|⃗𝐵|∙𝑐𝑜𝑠𝛼

|�⃗�|

Proprietati ale produsului scalar

o Produsul scalar este comutativ:

o Produsul scalar este distributiv fata de adunare

o Produsul scalar este asociativ:

o Daca cei doi vectori sunt egali atunci

o Daca produsul scalar a doi vectori este zero si vectorul si vectorul atunci si deci cei doi vectori sunt perpendiculari, Este valabila si reciproca.

o Impartirea cu vectori nu are sens.

�⃗� ∙ �⃗�=�⃗� ∙ �⃗�

𝐶 ∙ ( �⃗�+�⃗� )=�⃗� ∙ �⃗�+�⃗� ∙ �⃗�

(

�⃗� ∙ �⃗�=|⃗𝐴|2=|�⃗�|2

Scrierea unui vector in coordonate carteziene

�⃗�

z

y

x

�⃗��⃗��⃗�

o , , reprezinta versorii sistemului de coordonate cartezian; dau directia si sensul axelor de coordonate.o

o pentru ca sunt perpendiculario Ax, Ay, Az reprezinta proiectiile Vectorului pe cele trei axe.

o Un vector se scrie atunci in coordonate carteziene astfel

�⃗�=𝐴𝑥 ∙ �⃗�+𝐴𝑦 ∙ �⃗�+ 𝐴𝑧 ∙ �⃗�

Az

Ay

Ax

Scrierea unui vector in cordonate carteziene

o Adunarea vectorilor in coordonate carteziene:

o Produsul scalar in coordonate carteziene:

o Modulul unui vector in coordonate carteziene

Cosinusii directori ai unui vectoro Cosinusii directori reprezinta cosinusul unghiurilor pe care le face vectorul cu fiecare din cele trei axe ale sistemului cartezian. In cazul nostru unghiurile pe care le face cu fiecare din cele 3 axe sunt α, β, si γ.o Acesti cosinusi dau directia si sensul unui vector in sistemul de coordonate cartezian.

o Cosinusul acestor unghiuri se calculeaza astfel:

�⃗�

z

y

x

�⃗��⃗��⃗�

α

β

γAx

Ay

Az

𝑐𝑜𝑠𝛼=𝐴𝑧

|⃗𝐴|𝑐𝑜𝑠 𝛽=𝐴𝑦

|�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝛾=

𝐴𝑥

|�⃗�|

o Produsul vectorial – are ca rezultat un vector

- Definitie

- reprezentare grafica

Inmultirea vectorilor

�⃗�× �⃗�=�̂� ∙|⃗𝐴|∙|⃗𝐵|∙ sin (^⃗𝐴 , �⃗�)

�⃗�

�⃗�

𝐶= �⃗�× �⃗�

− �⃗�=�⃗�× �⃗�

o Produsului vectorial a doi vectori, este un al treilea vector, perpendicular pe planul definit de cei doi vectori.

o Sensul lui se stabileste cu regula burghiului drept.

Proprietati ale produsului vectorial

o Produsul vectorial este necomutativ:

o Produsul vectorial este distributiv fata de adunare

�⃗�× �⃗�=− �⃗�× �⃗�

𝐶× ( �⃗�+ �⃗� )=�⃗�× �⃗�+�⃗�× �⃗�

Produsul vectorial in coordonate carteziene

�⃗�× �⃗�=( 𝐴𝑥 ∙ �⃗�+ 𝐴𝑦 ∙ �⃗�+𝐴𝑧 ∙ �⃗�)×(𝐵¿¿ 𝑥 ∙ �⃗�+𝐵𝑦 ∙ �⃗�+𝐵𝑧 ∙�⃗�)=𝐴𝑥 ∙𝐵𝑦 ∙ �⃗�− 𝐴𝑥 ∙𝐵𝑧 ∙ �⃗�−𝐴𝑦 ∙𝐵𝑥 ∙ �⃗�+ 𝐴𝑦 ∙𝐵𝑧 ∙ �⃗�+𝐴𝑧 ∙𝐵𝑥 ∙ �⃗�− 𝐴𝑧 ∙𝐵𝑦 ∙ �⃗�=�⃗�∙ (𝐴𝑦 ∙𝐵𝑧−𝐴𝑧 ∙𝐵𝑦)+ �⃗� ∙(𝐴𝑧 ∙𝐵𝑥−𝐴𝑥 ∙𝐵𝑧)+�⃗� ∙(𝐴𝑥 ∙𝐵𝑦−𝐴𝑦 ∙𝐵𝑥)=| �⃗� �⃗� �⃗�𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧|¿

�⃗��⃗��⃗�

Produsul vectorial in coordonate carteziene

o Exercitii

1. Se dau vectorii:

Sa se calculezea) Modulul vectorilor celor doi vectori in coordonate cartezieneExemplu: b) Produsul scalar al celor doi vectori in coordonatel carteziene. Se utilizeaza relatia:

c) Unghiul dintre cei doi vectori. Se utilizeaza relatia definitia produsului scalar:

�⃗� ∙ �⃗�=|⃗𝐴|∙|⃗𝐵|∙cos (^⃗𝐴 , �⃗�)

d) Sa se calculeze cosinusii directori pentru cei doi vectori. Se utilizeaza relatiile:

e) Sa se calculeze suma si diferenta dintre cei doi vectori:

f) Sa se calculeze produsul vectorial al celor doi vectori:

𝑐𝑜𝑠𝛼=𝐴𝑧

|⃗𝐴| 𝑐𝑜𝑠 𝛽=𝐴𝑦

|�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝛾=

𝐴𝑥

|�⃗�|

�⃗�

z

y

x

�⃗��⃗��⃗�

α

β

γAx

Ay

Az