Valeat Discreta - Continua

VARIABLE ALEATORIA

Definición. Sea E un experimento aleatorio y el espacio muestral asociado al experimento. Una función que asigna a cada uno de los elementos del espacio muestral ( )un número real X (w), se llama variable aleatoria.

X

Ejemplo De una caja que contiene 5 artículos, de las cuales 3 son buenos y 2 son malos, se selecciona 2 artículos.a. con reposiciónb. sin reposiciónSe observa el estado de cada artículo.

Solución.a. Exp. Acción: Seleccionar dos artículos con reposición. Interesa: Observar el estado en que se encuentra cada artículo seleccionado.

= donde Bi : Artículo bueno en la i-ésima selección, i= 1, 2

Di: artículo defectuoso en la i-ésima selección, i= 1, 2Sea la variable:X: Número de artículos defectuosos.Luego:X = 0

X = X = 1

X = 2 RX: 0, 1, 2 a RX se le llama recorrido de la variable.

De esto tenemos que:Si X = 0 entonces ocurre el evento {(B1,B2 )} X = 1 entonces ocurre uno de cualesquiera de los siguientes eventos:

{(B1,D2), (D1,B2)} X = 2 entonces ocurre el evento {(D1, D2)}

De lo anterior sabemos cuales son los posibles valores que puede tomar la variable, pero antes de llevar a cabo el experimento no sabemos cual va ser el valor que tome la variable, lo

Lic. María A. Zacarías Díaz Página 27

W1

wn

wi

que si podemos saber es la probabilidad con que cada una de los valores de la variable puede ocurrir, así:

P(X = 0) = =(3/5)(3/5)P(X = 1) =

= P(B1)P(D2)+P(D1)P(B2)=3/5x2/5+2/5x3/5=12/25P(X = 2) = = P(D1)P(D2)=2/5x2/5=4/25

Si los resultados anteriores lo presentamos en una tabla, tenemos:

xi p( x i )012

9/2512/254/25

A esta tabla se le denomina distribución de probabilidades y a p( x i ) función de probabilidad o cuantía.

La representación gráfica de la tabla anterior es:

Esta gráfica y la tabla nos indica el comportamiento probabilístico de la variable, o sea nos está indicando que al seleccionar 2 artículos con reposición es más probable que salga 1 artículo defectuoso.

Resumiendo lo anterior y estableciendo Equivalencias

Exp. Exp. Acc. Seleccionar dos artículos = Acc. Seleccionar dos artículosInt. Observar el estado de cada articulo X: Número de artículos defectuosos

= RX : 0, 1, 2La probabilidad de cada evento elemental La probabilidad de cada valor de la es: variable es:


P( X = 0 ) =

P( X = 1 ) =

P( X = 2 ) =

Sea el evento: Sea el evento S: A lo más un artículo es defectuoso S: A lo más un artículo es defectuoso

El símbolo significa equivalente.

Todos los puntos tratados hasta antes de variable aleatoria, ahora van a ser tratados en términos de variable aleatoria, por lo tanto tenemos las siguientes equivalencias:

1. El experimento aleatorio siempre se va a dar.2. Lo que Interesa va ser reemplazado por la variable aleatoria X.3. El espacio muestral va ser reemplazado por el recorrido de la variable aleatoria, RX

4. La probabilidad de cada uno o más eventos elementales, va estar dado por la probabilidad de cada uno de los valores de la variable aleatoria.

5. La probabilidad de cualquier evento, como subconjunto del espacio muestral, va ser la probabilidad de un intervalo, siendo este intervalo un subconjunto del recorrido de la variable aleatoria.

Ejercicio.Obtenga la distribución de probabilidades para la variable Número de artículos defectuosos, cuando la selección de los artículos se hace sin reposición.

Al estudiar variables aleatorias distinguiremos 2 casos importantes:Variables aleatorias discretas.Variables aleatorias continuas.

Variable Aleatoria DiscretaDefinición. Si el número de valores posibles de X es finito o infinito numerable, llamamos a X una variable aleatoria discreta.Es decir los valores posibles de X se pueden anotar como x1, x2,...

Función Probabilidad o CuantíaDefinición. En una variable aleatoria discreta, con cada posible valor de X, asociamos un número p( xi ) = P(X=xi) llamada la probabilidad de xi.


Los números p( xi ) deben satisfacer las siguientes condiciones:a. p( xi ) 0b. p( xi ) = 1La función P se llama función de probabilidad de la variable aleatoria X.La colección de pares (xi, p( xi )) i=1,2... se le llama distribución de probabilidades de X.

Variable Aleatoria Continua.

Supongamos que el recorrido de X está formado por un gran número de valores, xi, i = 1, 2, 3, …., N, como por ejemplo 0; 0.01; 0.02; 0.03; 0.04; …, 0.96, 0.97; 0.98; 0.99; 1.00. Con cada uno de estos valores está asociado un número no negativo p(xi)= P(X= xi), i = 0 1, 2, 3, … , N cuya suma es igual a 1.La representación grafica de esta situación es:

La anterior descripción probabilística de X, podría ser matemáticamente idealizada, al suponer que X puede tomar todos los valores posibles, 0 < = x < = 1, al hacer esto, puesto que los valores posibles de X no son contables, no se puede hablar del i-esimo valor de X, por lo tanto p(xi) pierde significado. Por lo que se hará es sustituir la función p, definida sólo para x1, x2, x3, … por una función f para todos los valores x, 0 < = x < = 1 y esta función f ,

cumplirá que f(x) >= 0 y .

La anterior descripción probabilística de X, podría ser matemáticamente idealizada, al suponer que X puede tomar todos los valores posibles, 0 < = x < = 1, al hacer esto, puesto que los valores posibles de X no son contables, no se puede hablar del i-esimo valor de X, por lo tanto p(xi) pierde significado. Por lo que se hará es sustituir la función p, definida sólo para x1, x2, x3, … por una función f para todos los valores x, 0 < = x < = 1 y esta función f ,

cumplirá que f(x) >= 0 y .


Formalizando lo anterior tenemos:

Definición. Se dice que X es una variable aleatoria continua si existe una función f, llamada función de densidad de probabilidad (fdp) de X, que satisface las siguientes condiciones:

f (x) , es decir la función es no negativa.

El área bajo la curva es igual a 1, es decir:

Para cualquier a, b tal que tenemos:

P(a < X < b) =

La variable, X, su recorrido, y su función de densidad de probabilidad f (x) recibe el nombre de Distribución de Probabilidades.

Una consecuencia de la descripción probabilística de X, que para cualquier valor especifico

de X, por ejemplo x0, es que tenemos P(X = x0) = 0, puesto que P(X = x0) = ,

sin embargo, debemos notar que sí permitimos que X tome todos los valores en un intervalo, entonces la probabilidad cero no es equivalente con la imposibilidad. Por lo tanto, en el caso continuo, P(A) = 0 no implica A = , el conjunto vacio. En vista de estas consideraciones, las siguientes probabilidades son todas iguales, si X es una variable aleatoria continua:

Ejemplo Considere la siguiente función:

1. ¿Es esta una función de densidad de probabilidad asociada a la variable aleatoria X?2. Si lo es, muestre el comportamiento probabilístico de la Variable aleatoria y halle la P(X > 0.7)

Solución.1.

a. luego f(x) > = 0

b.

Cumple las 2 condiciones, por lo tanto f(x) es una función de densidad de probabilidad.

2. Comportamiento probabilístico.


P(X > 0.7) =

Ejemplo Considere la siguiente función:

a. Halle el valor de k para que f sea una función de densidad.b. Muestre el comportamiento probabilístico de la variable.c. Calcule: P(X<1.2), P(X>= 2.5), P(1 < X < 3), P(X = 0.5)

Solución.

a.

luego:


Área bajo la curva

es 1

P(X>0.7)

b.

c. i. P(X<1.2) =

ii. P(X>=2.5) = 1 - = 0.2825

iii. P(1<X<3) = = 0.75

iv. P( X = 0.5) = 0

Función de Distribución Acumulativa

Definición. Sea X una variable aleatoria, discreta o continua.La función de distribución acumulativa (fda) para una variable aleatoria X, denotada por

tal que:a. El dominio de es la línea completa de los realesb. Para toda “ ” real

Se puede notar que la fda, expresa la probabilidad de que X tome uno más valores en el intervalo que va desde hasta “ ”. Por tanto, no es posible que decrezca conforme crece “ ”

Teorema.a. Si X es una variable aleatoria discreta, con función de cuantía p(xj), entonces

= , en donde la suma se toma sobre todos los subíndices j que satisfacen

b. Si X es una variable aleatoria continua con fdp f, entonces .


La debe satisfacer los siguientes cuatro requisitos:1.

es una probabilidad y está limitada por 0 y 1.2.3.Si a < b, tenemos 4. o sea es continua desde la derecha, en todos los puntos

Ejemplo La distribución de probabilidades de la Variable aleatoria, X. Número de artículos defectuosos, donde la selección de los artículos es con reposición es:

xi p( x i )012

9/2512/254/25


Su función de distribución acumulativa es:Si

Ejemplo La función de distribución acumulativa para la siguiente distribución de probabilidades:

Si a < = 0 F(a) = P(X a) =

0 < a < 1 F(a) = P(X a) =

a 1 F(a) = P(X a) =

Resumiendo:

Halle la P(X > 0.7) = 1- P(X 0.7) = 1 – F(0.7) = 1 – (0.7)2 = 0.51

Ejemplo La función de distribución acumulativa para la siguiente distribución de probabilidades

es:

Si a < 0 F(a) = P(X a) =

0 a <2 F(a) = P(X a) =


2 a <4 F(a) = P(X a) =

a 4 F(a) = P(X a) =

Resumiendo:

Utilizando esta función se puede calcular la probabilidad de los eventos propuestos.P(X 1.2) = F(1.2) = (1.2 )2 / 8 = 0.18

P(X >0 2.5) = 1 – F(2.5) = 0.2825

P(1 < X < 3) = F(3) – F(1) = = 0.75


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