Universite Paris VII - Denis Diderot´ Th`ese de Doctorat - Math …math.univ-lyon1.fr/~ould/Fiches-papiers/OuldHoucine... · 2016. 4. 9. · existentiellement clos, et un cardinal

Universite Paris VII - Denis Diderot

These de Doctorat - Mathematique

Specialite : Logique Mathematique et Fondements de l’Informatique

Sur Quelques Problemes de Plongement dans lesGroupes

Abderezak OULD HOUCINE

Soutenue le 7 Juillet 2003

Directeur :Gabriel SABBAGH

Rapporteurs :C.F.MILLER IIIJ.S.WILSON

Jury :Zoe CHATZIDAKISPatrick DEHORNOY (President)Michele GIRAUDETAnatole KHELIFFrancoise POINTGabriel SABBAGH

Remerciements

Je tiens tout d’abord a remercier l’Equipe de Logique Mathematique, plus particulierementDaniel Lascar et Gabriel Sabbagh, pour leur aide dans mes demarches administratives au debutde ma these.

Gabriel Sabbagh, en dirigeant mon memoire de D.E.A et ensuite ma these, m’a fait decouvrirdes sujets passionnants en theorie des modeles et en theorie des groupes. Je lui suis reconnaissantpour ses conseils, son soutien, sa disponibilite, qui ont ete tres precieux. Je le remercie pour sesmultiples corrections et critiques qui ont permis a ce travail de prendre forme. Il m’a laisse ungrand champ de liberte et a fait preuve d’une grande patience envers moi.

J’ai ete tres heureux d’apprendre que C.F.Miller III et J.S.Wilson etaient les rapporteurs. Jeles remercie d’avoir accepte cette tache et de l’avoir effectuee en un si bref delai. Je remercieegalement Andrew Glass, Martin Ziegler et Pierre de la Harpe pour l’interet qu’ils ont manifestepour mon travail et pour leurs conseils.

Je remercie les organisateurs du seminaire de theorie des groupes et equivalence elementairede m’avoir invite a exposer les resultats de ma these. Je remercie tous les membres du jury, quim’ont honore en acceptant d’examiner cette these. Je remercie Anatole Khelif pour ses conseilset sa lecture attentive de mon travail. J’ai ete particulierement touche de ce que Francoise Pointait reussi a se liberer, en depit de nombreuses contraintes, pour participer au jury. J’ai ete treshonore que Monsieur Patrick Dehornoy ait accepte de presider le jury. Je remercie egalement ZoeChatzidakis et Michele Giraudet pour avoir bien voulu participer au jury.

Mes remerciements vont aussi a tous les thesards et x-thesards de l’equipe, plus particulierementa Alexandre, Malcolm et Thierry pour les nombreuses discussions que j’ai eues avec eux.

Ces remerciements seraient incomplets si j’oubliais Rene Cori, un enseignant exemplaire, pourses cours de Maıtrise et de DEA ; je le remercie d’avoir pu transmettre sa passion et aussi dem’avoir encourage a faire une these. Merci a tous les enseignants de D.E.A de Logique, de l’avoirrendu inoubliable ; J’adresse un remerciement particulier a Velickovic pour son enseignement surla theorie de Ramsey.

Je remercie tout le personnel administratif, plus particulierement Odile Ainardi, KhadijaBayoud pour leur accueil chaleureux et Michele Wasse pour son efficacite exceptionnelle, sonhumanite et sa disponibilite.

Enfin des pensees particulieres vont a toutes les personnes a l’exterieur de l’universite, qui m’ontbeaucoup aide et sans qui ce travail n’aurait jamais pu voir le jour : je remercie Francois Regnault,Dominique Faure et Christine Saby, Sylvie Da Silva et Guillaume Chenu, Philippe Missote, et jeremercie specialement Aminata Sissoko.

Table des matieres

Introduction 7

Notations 9

1 Preliminaires 11

1.1 Omission des types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Problemes de decidabilite dans les groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Les groupes existentiellement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Les modeles ayant P 19

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Les theories inductives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Les types ayant un nombre denombrable de variables . . . . . . . . . . . . . 222.3 Quelques conditions suffisantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Quasi-varietes et modeles fortement e.c. 31

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Les modeles ayant P dans les quasi-varietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Les modeles fortement existentiellement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Les modeles d-fortement existentiellement clos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5 Les groupes fortement existentiellement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Les proprietes de la classe∑

(Tgp). 49

4.1 Les groupes de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.1 Satisfaction des theories existentielles dans les groupes de presentation finie 504.1.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Les groupes qui ne sont pas forcement de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.1 Les groupes Σ-generiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Les groupes ayant P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1 Quelques proprietes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Les groupes ayant P dans la theorie des groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . 78

5

5 Embeddings which preserve the center 83

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2 Preliminary propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3 Proof of theorem I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4 Proof of theorem II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5 Proofs of corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Bibliographie 107

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Introduction

Le probleme des mots dans les groupes est apparu au debut des annees 1900 avec les travauxde Dehn, et a connu un developpement considerable depuis les annees 1950 avec les resultats deNovikov, Boone, Higman, entre autres.

W.R.Scott (cf. [13], p.689) introduisit en 1951 les groupes existentiellement clos qui sont unanalogue des corps algebriquement clos. Vingt ans plus tard, les travaux de Neumann-Simmons-Macintyre permirent d’obtenir la caracterisation suivante des groupes de type fini ayant un problemedes mots resoluble : Un groupe de type fini a un probleme des mots resoluble si et seulement si ilse plonge dans tous les groupes existentiellement clos.

Cette these comporte deux parties.La premiere partie (chapitre I a IV) est principalement consacree au probleme suivant : quels

sont les groupes G qui verifient : il existe une theorie existentielle Γ consistante telle que G seplonge dans tout groupe qui verifie Γ ? On dira d’un tel groupe qu’il a la propriete (*). Cettequestion a ete motivee par l’observation que les groupes de type fini qui verifient (*) sont exacte-ment ceux qui ont un probleme des mots resoluble. On voit que la propriete (*) peut etre enonceepour n’importe quelle theorie T , par consequent dans les premiers chapitres on s’interessera autraitement de cette question dans un cadre general.

La seconde partie (chapitre V) est consacree a la solution du probleme ouvert suivant, proposepar V.N.Remeslennikov : est-il vrai que tout groupe commutatif denombrable se plonge dans lecentre d’un groupe de presentation finie ?

Nous apporterons une reponse positive a ce probleme.

Au premier chapitre sont rappelees des notions essentielles sur les types et leur omission, leprobleme des mots dans les groupes et les groupes existentiellement clos. Nous y etablissons aussiquelques proprietes des theories existentielles de groupes et des groupes existentiellement clos.

Le chapitre II est consacre a l’etude, dans un cadre general, des modeles qui ont (*). On chercheen particulier a caracteriser les modeles qui se plongent dans tous les modeles existentiellementclos d’une theorie inductive T . On obtient en particulier le resultat suivant : Soit G un groupe quise plonge dans tous les groupes existentiellement clos. Alors il existe une theorie inductive Γ degroupes, telle que G se plonge dans tout modele de Γ.

Nous donnerons aussi quelques conditions suffisantes pour l’existence de modeles de type finiayant (*).

Dans le troisieme chapitre, nous nous interessons aux quasi-varietes, en particulier a celles

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INTRODUCTION

qui ont la propriete du plongement (PP) et la propriete d’amalgamation (PA). Nous introduisonsun renforcement simple de la notion de modele existentiellement clos, i.e les modeles fortementexistentiellement clos, et un cardinal d(T ) qui mesure, dans un certain sens, le degre de complexited’une quasi-variete T . En nous inspirant des resultats de M.Ziegler (cf. [11],[30]), nous obtenonsle resultat suivant (theoreme 3.3.1) : Soit T une quasi-variete recursivement enumerable dans unlangage denombrable ayant la PP et la PA. Soit α = d(T ). Alors il existe au moins α modeles deT , denombrables fortement existentiellement clos et ultrahomogenes, deux a deux non isomorphes.

Nous obtenons aussi la caracterisation suivante des modeles de type fini de T qui se plongentdans des modeles de presentation finie (theoreme 3.3.7) : Soit T une quasi-variete ayant la PP etla PA dans un langage denombrable. Soit F un modele de T de type fini. Alors on a : F se plongedans un modele de presentation finie de T si et seulement si F se plonge dans tous les modelesfortement existentiellement clos et ultrahomogenes de T .

Cela donne en theorie des groupes, en combinaison avec le theoreme de plongement de Higman,une nouvelle caracterisation algebrique des groupes de type fini recursivement presentes : un groupede type fini est recursivement presente si et seulement si il se plonge dans tous les groupes fortementexistentiellement clos.

Cela constitue egalement un analogue du theoreme de Neumann-Macintyre sur les groupes detype fini ayant un probleme des mots resoluble.

Dans le chapitre IV, nous etudions les groupes qui ont (*) et ses variantes. Nous demontronsen particulier le theoreme suivant : Soit T une theorie existentielle consistante et recursivementenumerable. Alors il existe un groupe de presentation finie H tel que T est vraie dans tout quotientnon trivial de H.

Ce theoreme nous permet d’avoir une nouvelle demonstration d’un resultat de B.M.Hurley [14]et de retrouver un resultat de C.F.Miller III [24].

Dans la seconde partie (chapitre V), nous demontrons, en nous inspirant de la demonstrationdu theoreme de plongement de Higman et en utilisant la theorie des petites simplifications (SmallCancellation Theory), le theoreme suivant : Tout groupe de type fini G recursivement presente seplonge dans un groupe de presentation finie H tel que Z(G) = Z(H).

Ce theoreme nous permet de resoudre le probleme de Remeslennikov, precedemment enonce,et aussi de demontrer une proposition annoncee par B.M.Hurley [14] qui est restee jusque la sansdemonstration.

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Notations

FX le groupe libre de base X.G =< S | P (S) > G un groupe engendre par S et de presentation P (S).H ≤ G H est un sous-groupe de G.X−1 l’ensemble des inverses des elements de X.ordre(x) l’ordre de l’element x.G(λ) le produit faible de λ copies de G.⊕iGi le produit faible des Gi.Z(G) le centre de G.Lgp le langage de la theorie des groupes

{e,×, x 7→ x−1

}.

Lω1ω le langage infinitaire autorisant des conjonctions et des disjonctions denombrables.Tgp la theorie des groupes dans le langage Lgp.Tgpc la theorie des groupes commutatifs dans le langage Lgp.T∀∃ l’ensemble des formules ∀∃ qui sont des consequences de T .T∀ l’ensemble des formules universelles qui sont des consequences de T .Th∃(M) l’ensemble des formules existentielles vraies dans M.∑e(T ) la classe des modeles expansifs de T .∑fe(T ) la classe des modeles finiment expansifs de T .∑∗(T ) la classe des modeles ayant (*) de T .∑∗∗(T ) la classe des modeles ayant (**) de T .

Σ0(T ) la classe des modeles de type fini de T qui se plongent dans tousles modeles existentiellement clos de T .

Σ1(T ) la classe des modeles de T qui se plongent dans tous les modelesexistentiellement clos de T .

Σ(T ) la classe des modeles de T tels que toutes leurs sous-structures de type finise plongent dans tous les modeles existentiellement clos de T .

< a1, ..., an >M la structure engendree par a1, ..., an dans M.|X| le cardinal de X.|a| la longueur de la suite a.Age(M) la classe des sous-structures de type fini de M.φ :A ∼= B φ est un isomorphisme entre les deux structures A et B.M1 ∗M2 le produit libre de M1 et M2.M1 ∗A,BM2 le produit libre de M1 et M2 amalgamant A et B.M =< S | P (S) > M un modele engendre par S et de presentation P (S).

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NOTATIONS

4+(a,M) l’ensemble des formules atomiques ϕ(x) telle que M |= ϕ(a).4−(a,M) l’ensemble de formules ϕ(x) qui sont des negations de formules atomiques

telle que M |= ϕ(a).4(a,M) l’ensemble des formules primitives sans quantificateurs ϕ(x) telle que M |= ϕ(a).4∀(a,M) l’ensemble des formules universelles ϕ(x) telle que M |= ϕ(a).4∃(a,M) l’ensemble des formules existentielles ϕ(x) telle que M |= ϕ(a).4∀∨∃(a,M) l’ensemble des formules universelles ou existentielles ϕ(x) telle que M |= ϕ(a).4(M) le diagramme de M i.e l’ensemble des formules sans quantificateurs a parametres

dans M vraies dans M.ab la concatenation des deux suites a et b.N ↪→M N se plonge dans M i.e il existe un isomorphisme de N sur

une sous-structure de M.ω,N l’ensemble des entiers naturels.Z l’ensemble des entiers relatifs.Q l’ensemble des rationnels.Z [p∞] la composante p-primaire du groupe Q/Z.[ω]<ω l’ensemble des sous-ensembles finis de ω.P(ω) l’ensemble des parties de ω.≤1, ≤e, ≡1, ≡e voir la definition page 30.d(X) la classe de X par rapport a la relation ≡e, ou X designe un

ensemble d’entiers naturels.d(H) pour un groupe H, voir page 35.d(T ) pour une theorie T , voir page 35.Resψ voir page 56 ou 67.χ0 le premier cardinal infini.χ1 le premier cardinal infini non denombrable.� fin d’une demonstration ou fin d’une demonstration a l’interieur

d’une autre ou proposition qui ne necessite pas de demonstration.

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Chapitre 1

Preliminaires

Nous esperons etre lus par des logiciens (resp. des algebristes) connaissant un minimum d’algebre(resp. de logique).

Nous supposons connues les notions de base de la theorie des modeles (langage du premier ordre,theorie, modele, variable libres, theoreme de compacite...) et de la theorie combinatoire des groupesinfinis (groupes libres, groupes de presentation finie, produit libre, produit libre amalgame, HNN-extension...). Pour la theorie des groupes notre reference est le livre de R.C.Lyndon et P.SchuppCombinatorial Group Theory [17]. Pour les groupes existentiellement clos le travail fondamental estcelui de M.Ziegler [30] mais le lecteur non germanophone pourra consulter l’ouvrage de G.Higmanet E.Scott Existentially Closed Groups [11]. Pour le probleme des mots dans les groupes notrereference est C.F.Miller III Decision problems for groups-survey and reflections [23]. Pour la theoriedes modeles nous renvoyons au livre de W.Hodges, Model Theory [13], mais pour nous un modelen’est jamais vide.

Nous rappelons dans la premiere section le theoreme classique d’omission des types et letheoreme d’omission des types pour les theories ∀∃. Dans la seconde section nous rappelons desdefinitions et resultats classiques pour le probleme des mots dans les groupes (Theoreme de plon-gement de Higman, Theoreme de Boone-Higman, Theoreme de Boone-Rogers). Enfin pour ter-miner, nous rappelons dans la troisieme section quelques proprietes des groupes existentiellementclos et leurs liens avec les groupes de type fini ayant un probleme des mots resoluble (Theoremede Neumann-Macintyre). Nous exposerons aussi quelques proprietes des theories existentielles degroupes. Nous attirons l’attention du lecteur sur la proposition 1.3.5 qui, quoique tres simple,semble nouvelle.

1.1 Omission des types

Tout au long de cette these nous designons par L un langage du premier ordre, par M uneL-structure et par x un uplet fini de variables (sauf mention contraire). Dans toute la suite on nefera pas de distinction entre une L-structure M et son ensemble de base M .

Definitions.

(1) Soit p(x) un ensemble de formules qui ont x comme variables libres. Soit T une theorie de

11

12 CHAPITRE 1. PRELIMINAIRES

L. On dit que p(x) est un type par rapport a T , ou un type s’il n’y a pas de confusion, s’il existeun modele M de T , et a∈M tel que M|=p(a). On dit que p est universel si toutes les formulesqui appartiennent a p sont universelles.

(2) Soit p(x) un type et soit M une L-structure. On dit que M omet p si pour tout a ∈M,M2p(a), ce qui signifie qu’il existe au moins une formule ϕ(x) dans p(x) telle que M2 ϕ(a). Dansle cas contraire on dit que M realise p.

(3) Soient K une classe de L-structures et M dans K. On dit que M est K-existentiellement

clos (en abrege K-e.c.) si toute formule existentielle ψ(a), ou a est un uplet fini de parametresde M, satisfaite dans une extension de M qui est dans K, est satisfaite dans M. Soit M unmodele d’une theorie T . On dit que M est existentiellement clos (en abrege e.c.) s’il est K(T )-existentiellement clos ou K(T ) est la classe des modeles de T .

(4) Une theorie T est dite inductive si elle admet un ensemble d’axiomes de la forme ∀∃.

Theoreme d’omission des types classique [6][13][16].

Soient L un langage denombrable et T une theorie consistante. Soit (pn(xn))n∈ω une suite detypes. Si chaque pn verifie : il n’existe pas de formule ψ telle que :

- T ∪ {∃xnψ(xn)} est consistante ;- T ` (∀xn(ψ(xn)⇒ φ(xn)), pour toute formule φ ∈ pn.

Alors il existe un modele denombrable de T qui omet chaque pn.

Theoreme d’omission des types pour les theories inductives [13].

Soient L un langage denombrable et T une theorie inductive consistante. Soit (pn(xn))n∈ωune suite de types universels. Si chaque pn verifie : il n’existe pas de formule existentielle ψ

telle que :- T ∪ {∃xnψ(xn)} est consistante ;- T ` (∀xn(ψ(xn)⇒ φ(xn)), pour toute formule φ ∈ pn.

Alors il existe un modele denombrable de T , existentiellement clos, qui omet chaque pn.

Il existe plusieurs versions du theoreme d’omission des types pour des theories plus generales[7].

1.2 Problemes de decidabilite dans les groupes

Tout au long de cette these FX designera le groupe libre de base X. Soit G un groupe. Lanotation G =< S | P (S) > est usuelle et elle signifie que G est engendre par S et que P (S) est unepresentation de G en fonction de S. Si S est fini ou denombrable alors on peut coder les mots en leselements de S et de leurs inverses, et definir les ensembles recursivement enumerables et recursifs.On dit que G est recursivement presente s’il est engendre par un ensemble S denombrablerecursivement enumerable et s’il possede une presentation P (S) recursivement enumerable. Ilest bien connu que cela equivaut a l’existence d’un ensemble generateur U recursif et d’unepresentation P (U) recursive. Pour plus de precision sur ce sujet on pourra consulter [12].

12

1.2. PROBLEMES DE DECIDABILITE DANS LES GROUPES 13

On dit que G est de type fini si S est fini. On dit que G est de presentation finie si S et P (S)sont finis.1

Definition. Soit G =< S | P (S) > un groupe denombrable. On dit que G a un probleme des

mots resoluble par rapport a S si S est recursif et si l’ensemble des mots w en les elements deS et de leurs inverses tel que w = e dans G est recursif.

Cela revient a dire qu’il existe un algorithme A qui pour tout mot w en les elements de S etde leurs inverses, renvois 1 si w = e dans G et renvois 0 dans le cas contraire.

On a la propriete suivante pour les groupes de type fini : soit G un groupe de type fini etsoient S1 et S2 deux ensembles de generateurs finis de G. Si G a un probleme de mots resolublepar rapport a S1, alors G a un probleme des mots resoluble par rapport a S2.

L’analogue de cela n’est pas vrai pour un groupe qui n’est pas de type fini.Pour plus de precisions sur les definitions ci-dessus, nous renvoyons a [12][17][23].

Novikov (1954 ) et Boone (1959) demontrerent independamment le theoreme suivant :

Theoreme de Novikov-Boone [17][23]. Il existe un groupe de presentation finie ayant unprobleme des mots non resoluble.

En 1961, G.Higman demontra un theoreme remarquable reliant la notion de recursivite et lesgroupes de presentation finie :

Theoreme de plongement de G.Higman [12].

(1) Soit G un groupe de type fini, alors on a :G est recursivement presente si et seulement si G se plonge dans un groupe de presentation

finie.(2) Soit G un groupe denombrable, alors on a :Si G est recursivement presente alors G se plonge dans un groupe de presentation finie.

Le theoreme de G.Higman permet de remontrer facilement l’existence de groupes de presentationfinie ayant un probleme des mots non resoluble.

Le theoreme suivant, aussi du a G.Higman (1961), est un corollaire du theoreme de plongementprecedent :

Theoreme 1.2.1. Il existe un groupe de presentation finie H tel que tout groupe de presentationfinie se plonge dans H.

En 1967, C.R.J.Clapham demontra que la construction utilisee dans la demonstration dutheoreme de plongement de Higman preserve le degre d’insolubilite du probleme des mots ; enparticulier on a :

1Il est bien connu que si G est un groupe ayant une presentation finie < S | P (S) >, alors G admet pour toutsysteme fini de generateurs T une presentation finie de la forme < T | Q(T ) >.

13


Theoreme 1.2.2 (C.R.G.Clapham)[9]. Soit G un groupe denombrable ayant un probleme desmots resoluble. Alors G se plonge dans un groupe de presentation finie ayant un probleme des motsresoluble.

En ce qui concerne les groupes ayant un probleme des mots resoluble, Boone et Higman ontpu obtenir en 1973 la caracterisation algebrique suivante :

Theoreme de Boone-Higman [3].

(1) Soit G un groupe de type fini, alors on a :G a un probleme des mots resoluble si et seulement si G se plonge dans un groupe simple ayant

un probleme des mots resoluble, qui se plonge a son tour dans un groupe de presentation finie.(2) Soit G un groupe denombrable. Si G a un probleme des mots resoluble, alors G se plonge

dans un groupe simple ayant un probleme des mots resoluble, qui se plonge a son tour dans ungroupe de presentation finie.

En combinant le theoreme 1.2.2 et le theoreme de Boone-Higman on obtient :

Theoreme 1.2.3. Soit G un groupe denombrable. Si G a un probleme des mots resoluble, alorsG se plonge dans un groupe simple, qui se plonge a son tour dans un groupe de presentation finieayant un probleme des mots resoluble.

R.J.Thompson a ameliore ce resultat en demontrant en 1980 le :

Theoreme de R.J.Thompson [29]. Soit G un groupe denombrable. Si G a un probleme desmots resoluble alors G se plonge dans un groupe simple de type fini , qui se plonge a son tourdans un groupe de presentation finie ayant un probleme des mots resoluble.

Ce resultat laisse ouverte la conjecture suivante : Tout groupe denombrable ayant un problemedes mots resoluble se plonge dans un groupe de presentation finie simple.

En 1966, Boone et Rogers demontrerent le resultat suivant :

Theoreme de Boone-Rogers [4]. Soit K l’ensemble des presentations finies des groupesde presentation finie ayant un probleme des mots resoluble. Alors K n’est pas recursivementenumerable et il n’existe pas d’algorithme uniforme qui resout le probleme des mots de tous lesgroupes de presentation finie ayant un probleme des mots resoluble.

1.3 Les groupes existentiellement clos

L’axiomatisation de la theorie des groupes dans les langages du premier ordre qui sera adopteedans la suite est usuelle. On considere le langage Lgp =

{e,×, x 7→ x−1

}, ou un groupe est une

Lgp-structure ou e est interprete par l’element neutre, × par la multiplication et x 7→ x−1 par lafonction qui associe a chaque element son inverse. Tout au long de cette these on designera par

14

1.3. LES GROUPES EXISTENTIELLEMENT CLOS 15

Tgp la theorie (du premier ordre) des groupes. On peut aussi considerer la theorie des groupescommutatifs Tgpc qui est axiomatisee dans le meme langage Lgp. On voit que les theories Tgp etTgpc sont des theories universelles.

Definition. Soit G un groupe. On dit que G est e.c. s’il est existentiellement clos comme Lgp-structure par rapport a la theorie Tgp.

Cela revient a dire que tout systeme fini d’equations et d’inequations :

{wi(a, x) = e, vj(a, x) 6= e, i = 1, ..., n ; j = 1, ...,m}

ou a est un uplet fini de G, qui possede une solution dans une extension de G, possede une solutiondans G.

On definit de meme les groupes commutatifs existentiellement clos ( par rapport a la theorieTgpc).

Definitions.

(1) SoitM une L-structure. Soient a1, ..., an des elements deM. On designe par< a1, ..., an >M

la L-structure engendree par a1, ..., an dans M.(2) On dit que M est algebriquement-ω-homogene si pour tout {a1, ..., an, b} ⊆ M et pour

tout plongementϕ :< a1, ..., an >M↪→M

il existe un plongement φ :< a1, ..., an, b >M↪→M qui prolonge ϕ.Tout au long de cette these, pour alleger les ecritures, les modeles algebriquement-ω-homogenes

seront dit ω-homogenes. Notre terminologie differe donc de la terminologie generalement en vi-gueur, en particulier dans [13].

(3) On dit que M est ultrahomogene si pour tout {a1, ..., an} ⊆ M et pour tout plongement

ϕ :< a1, ..., an >M↪→M

il existe un automorphisme φ : M→M qui prolonge ϕ.Remarquons qu’un modele ultrahomogene est ω-homogene. Il est bien connu et immediat qu’un

modele denombrable ω-homogene est ultrahomogene.(4) Soit ψ(x) une formule sans quantificateurs de L. On dit que ψ(x) est primitive si elle est

de la forme :(

∧i=1,...,n

νi(x) ∧∧

j=1,...,m

τj(x))

ou les νi(x) sont des formules atomiques et les τj(x) des negations de formules atomiques.Dans la theorie des groupes cela revient a

(∧

i=1,...,n

wi(x) = e ∧∧

j=1,...,m

vj(x) 6= e)

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ou les wi(x) et les vj(x) sont des mots en fonctions des x et de leurs inverses.Soit ψ une formule existentielle de L. On dit que ψ est existentielle primitive si ψ est de la

forme ∃xϕ(x) ou ϕ(x) est une formule sans quantificateurs primitive.

Remarque. Soit H un groupe de presentation finie W (a1, ..., an). Soit K un groupe ayant deselements b1, ..., bn tels que W (b1, ..., bn) = e. Il existe alors un homomorphisme ϕ de H dans Ktel que ϕ(ai) = bi. Cela justifie le fait suivant qui sera utilise constamment dans cette these : unenonce de la forme

∃x1...∃xn(W (x1, ..., xn) ∧∧

j=1,...,m

vj(x1, ..., xn) 6= e)

est consistant avec la theorie des groupes si et seulement si H |=∧j=1,...,m vj(a1, ..., an) 6= e.

En particulier tout enonce existentiel consistant avec la theorie des groupes, est satisfait dansun groupe de presentation finie.

Compte tenu du Theoreme 1.2.1 nous pouvons conclure que toute theorie existentielle consis-tante avec la theorie des groupes a pour modele un groupe de presentation finie.

Theoreme 1.3.1. Soit G un groupe e.c., alors on a :(1) G est ultrahomogene.(2) (B.H.Neumann) [11][13] G verifie l’enonce : ∀u∀v∃x∃y(u 6= e ⇒ x−1uxy−1uy = v), par

consequent G est simple.(3) (B.H.Neumann) [11][13] G n’est pas de type fini.(4) Si ψ est un enonce existentiel consistant alors G |= ψ. Par consequent tous les groupes e.c.

verifient les memes enonces existentiels qui ne sont que les enonces existentiels consistants (avecla theorie des groupes). Tout enonce de la forme ∀∃ vrai dans un groupe e.c. est vrai dans tous lesgroupes e.c.

On a la caracterisation suivante des groupes de type fini ayant un probleme des mots resolublequi decoule des travaux de Neumann, Simmons, Macintyre :

Theoreme de Neumann-Macintyre. Un groupe de type fini a un probleme des mots resolublesi et seulement si il se plonge dans tous les groupes e.c.

Nous finissons ce chapitre par quelques propositions, qui decoulent assez facilement des theoremesprecedents :

Proposition 1.3.2.

La theorie existentielle des groupes existentiellement clos n’est pas recursivement enumerable.

Demonstration. Cela resulte aisement du theoreme 1.3.1 (4), de la remarque precedente1, etde l’existence d’un groupe de presentation finie ayant un probleme des mots non resoluble.

�1 Lignes 3 a 10 de cette page.

16

1.3. LES GROUPES EXISTENTIELLEMENT CLOS 17

Proposition 1.3.3. Soit Γ l’ensemble des enonces existentiels ψ tels que ψ est vrai dans ungroupe ayant un probleme des mots resoluble. Alors Γ n’est pas recursivement enumerable.

Demonstration. On va raisonner par l’absurde. Supposons le contraire et demontrons qu’ ilexiste un algorithme uniforme qui resout le probleme des mots de tous les groupes de presentationfinie ayant un probleme des mots resoluble. Comme Γ est recursivement enumerable alors l’en-semble

A = {(W (x), w(x)) | ∃x(W (x) ∧ w(x) 6= e) ∈ Γ}

ou W (x) est une conjonction finie de formules atomiques et w un mot, est recursivementenumerable.

Soit W (a1, ..., an) une presentation finie d’un groupe H ayant un probleme des mots resolubleet soit w un mot en fonction des generateurs de H. Pour savoir si w = e ou non dans H on enumeretous les mots qui sont egaux a e et en meme temps l’ensemble B suivant qui est recursivementenumerable :

B = {w(x) | (W (x), w(x)) ∈ A}

Si w apparaıt dans la premiere liste alors w = e et si w apparaıt dans la seconde liste alorsw 6= e. Par consequent il existe un algorithme uniforme qui resout le probleme des mots de tousles groupes de presentation finie ayant un probleme des mots resoluble. Cela contredit le theoremede Boone-Rogers.

Remarques.

(1) C.F.Miller III [17] a demontre le resultat suivant : si G est un groupe e.c. alors G n’estpas recursivement presente. Voici une version plus precise de ce resultat :

Proposition 1.3.4.

Soit Γ la theorie ∀∃ des groupes e.c. Alors Γ n’admet pas de modele denombrable recursivementpresente. Plus precisement aucun modele denombrable de Γ ne se plonge dans un groupe depresentation finie.

Demonstration. Supposons qu’il existe un groupe de presentation finie H ayant comme sous-groupe un modele denombrable M de Γ. Il resulte du theoreme 1.3.1 (2) que M est un groupesimple. Soit H =< a | P (a) > une presentation finie de H. Soit s(a) un element non trivial de Mecrit en fonction de a. La formule ψ = ∃x(P (x) ∧ s(x) 6= e) verifie :

Tgp ∪ {ψ} ` Γ0

Ou Γ0 est l’ensemble des enonces existentiels consistants. Par consequent Γ0 est recursivementenumerable, ce qui contredit la proposition 1.3.2.

�

17


(2) A titre d’illustration de l’utilisation du theoreme d’omission des types on a la propositionsuivante :

Proposition 1.3.5.1 Il existe un groupe e.c. tel que tous ses sous-groupes de presentation finieont un probleme des mots resoluble.

Demonstration. Soit Hn la suite des groupes de presentation finie ayant un probleme desmots non resoluble. Pour chaque Hn soit ∆n(xn) le diagramme de Hn en fonction d’un systemede generateurs fixe de Hn. Alors pour chaque n, il n’existe pas de formule existentielle ψ(xn)consistante avec la theorie des groupes telle que : Tgp ` (∀xn(ψ(xn)⇒ φ(xn)), pour toute for-mule φ ∈ ∆n ; sinon Hn se plongerait dans tout groupe verifiant la formule ∃xnψ(xn) et comme∃xnψ(xn) est vraie dans tous les groupes existentiellement clos alors Hn se plongerait dans tousles groupes e.c. et cela contredirait le Theoreme de Neumann-Macintyre. Par consequent d’apresle theoreme d’omission des types pour les theories inductives il existe un groupe G e.c. qui omet∆n pour tout n. Par consequent G ne contient pas de copie de Hn. Donc si H est un groupe depresentation finie qui se plonge dans G, alors H a un probleme des mots resoluble.

On peut en fait demontrer que tout groupe generique au sens de [16] verifie la meme propriete.Plus precisement on a : il existe 2χ0 groupes generiques (au sens de [16]) tels que tous leurssous-groupes de presentation finie ont un probleme des mots resoluble.

�

On a aussi la proposition suivante :

Proposition 1.3.5. bis Il existe un groupe e.c. tel que tous ses sous-groupes de type finirecursivement presentes ont un probleme des mots resoluble.

Demonstration. Il suffit de remplacer dans la demonstration precedente la suite Hn par lasuite des groupes de type fini recursivement presentes ayant un probleme des mots non resoluble.

�

1 Il est bien connu que tout groupe e.c. contient un sous-groupe de type fini ayant un probleme des mots nonresoluble.

18

Chapitre 2

Les modeles ayant P

Ce chapitre comporte une introduction (2.1) et deux sections principales (2.2 et 2.3). Dans lessections 2.1 et 2.2, on s’interesse aux modeles qui ont P (definie plus bas) dans un cadre generalet plus particulierement dans les theories inductives qui ont la propriete d’amalgamation. Dansla section 2.3, on s’interesse aux conditions suffisantes pour l’existence de modeles verifiant P.

2.1 Introduction

Le point de depart de ce travail est la question suivante : quels sont les groupes G qui verifient :il existe une theorie existentielle Γ consistante telle que G se plonge dans tout groupe qui verifieΓ ? On dira d’un tel groupe qu’il a la propriete (*). Cette question a ete motivee par l’observationque les groupes de type fini qui verifient (*) sont exactement ceux qui ont un probleme des motsresoluble. Le theoreme de Lowenheim-Skolem garantit qu’un groupe verifiant (*) est denombrable.On voit que la propriete (*) peut etre enoncee pour n’importe quelle theorie T . Nous etudieronsles modeles qui ont (*) dans certaines theories qui ont des proprietes particulieres telles que lapropriete d’amalgamation et la propriete du plongement. Il y a plusieurs variantes de (*) et nousallons les definir :

Definitions. Soient T une theorie et M un modele de T .

(1) On dit que M est finiment expansif (relativement a T ) s’il existe un enonce existentielψ (consistant avec T ) tel que M est modele de ψ et tel que M se plonge dans tout modele de Tqui verifie ψ.

(2) On dit que M est expansif (relativement a T ) s’il existe une theorie existentielle Γ(consistante avec T ) telle que M est modele de Γ et telle que M se plonge dans tout modele deT qui verifie Γ.

(3) On dit que M a la propriete (**) (relativement a T ) s’il existe un enonce existentiel ψconsistant avec T tel que M se plonge dans tout modele de T qui verifie ψ. 1

1 Apres avoir acheve notre redaction, nous avons pris connaissance de [5] qui etudie sous le nom de modelefiniment determine les modeles ayant la propriete (**) et qui est en grande partie disjoint de notre travail.

19

20 CHAPITRE 2. LES MODELES AYANT P

(4) On dit que M a la propriete (*) (relativement a T ) s’il existe une theorie existentielleΓ consistante avec T telle que M se plonge dans tout modele de T qui verifie Γ.

Convention. Tout au long de cette these P designera l’une des proprietes precedentes

fixee une fois pour toute.

Remarquons que si M est expansif alors on peut prendre Γ = Th∃(M). Si la theorie T estfixee on omettra la mention “relativement a T”.

Dans la suite on aura aussi besoin des definitions suivantes :

(5) On dit que M est algebriquement premier si M se plonge dans tous les modeles de T .(6) On dit que M est algebriquement universel si M est denombrable et si tout modele

denombrable de T se plonge dans M.Tout au long de cette these les modeles algebriquement universels seront dit universels.

On peut definir plusieurs variantes des proprietes precedentes en remplcant Γ par une theoried’une forme particuliere (par exemple ∀∃). Mais on se limitera aux theories existentielles.

On est amene aussi a introduire les classes suivantes :∑e(T )= la classe des modeles expansifs de T∑

fe(T )= la classe des modeles finiment expansifs de T∑∗(T )= la classe des modeles ayant (*) de T∑∗∗(T )= la classe des modeles ayant (**) de T

Rappelons egalement quelques definitions et resultats classiques :

(1) Soit K une classe de L-structures. On dit que K a la propriete du plongement ( enabrege PP) si : pour tous les modeles M,N ∈ K, il existe S ∈ K tel que M et N se plongentdans S. On dit qu’une theorie T a la PP si la classe des modeles de T a la PP.

(2) Soit K une classe de L-structures. On dit que K a la propriete d’amalgamation ( enabrege PA) si : pour tous les modeles M,N ,A ∈ K, tels que A ⊆ M, A ⊆ N il existe S ∈ K etdeux plongements ϕ1 : M ↪→ S et ϕ2 : N ↪→ S tels que pour tout x ∈ A on ait ϕ1(x) = ϕ2(x).On dit qu’une theorie T a la PA si la classe des modeles de T a la PA.

(3) Si une theorie T est inductive et qu’elle a la PP alors tous les modeles e.c. de T verifientles memes formules ∀∃. (Voir W.Hodges [13]).

(4) Si une theorie T est inductive et qu’elle a la PP alors toute formule existentielle consistanteest vraie dans tous les modeles e.c. de T (Immediat).

Proposition 2.1.1. Soient T une theorie et M un modele de T . Soit K(M) la classe desmodeles N de T tels que M se plonge dans N . Alors on a :

(1) K(M) est axiomatisable modulo T si et seulement si M est expansif.(2) K(M) est finiment axiomatisable modulo T si et seulement si M est finiment expansif, et

dans ce cas K(M) et Th∃(M) sont axiomatisables modulo T par un meme enonce existentiel.

20

2.2. LES THEORIES INDUCTIVES 21

Demonstration.

(1) Supposons que M est expansif. Alors tout modele N de T ∪ Th∃(M) est dans K(M). SiN ∈ K(M) alors N |= T ∪ Th∃(M). Donc K(M) est axiomatisable par T ∪ Th∃(M).

Supposons que K(M) est axiomatisable. Soit Γ l’ensemble des enonces vrais dans tous lesmodeles qui sont dans K(M), montrons que Γ est equivalente a T ∪ Th∃(M).

On a Γ ` T ∪ Th∃(M). Si N |= T et si U ∈ K(M) avec U ↪→ N alors N ∈ K(M). Donc Γest equivalente modulo T a une theorie existentielle Υ. Mais M ∈ K(M) donc M |= Υ. DoncTh∃(M) ` Υ. Par consequent si N |= T ∪ Th∃(M) alors N |= T ∪ Υ et donc N |= Γ. D’ouN |= T ∪ Th∃(M) si et seulement si N |= T ∪Υ si et seulement si N |= Γ, par consequent M seplonge dans tout modele de ces theories et est expansif.

(2) Supposons que M est finiment expansif. Alors il existe un enonce existentiel ψ tel que Mest modele de ψ et tel que M se plonge dans tout modele qui verifie ψ. Donc T ∪ {ψ} ` Th∃(M).Comme M est modele de ψ on a Th∃(M) ` ψ. Donc Th∃(M) est finiment axiomatisable moduloT .

Supposons que K(M) est finiment axiomatisable modulo T . Il suffit de refaire la demonstrationde (1) et de voir que Th∃(M) est equivalente modulo T a Υ et par consequent Γ et Th∃(M) sontfiniment axiomatisable modulo T par un meme enonce existentiel.

�

Proposition 2.1.2. Soient T une theorie et M un modele. Alors on a :(1) Si M |= T et M a P relativement a T∀∃ alors M a P relativement a T .(2) Si T est inductive et a la propriete du plongement alors tout modele M ayant P relativement

a T se plonge dans tous les modeles existentiellement clos de T .(3) Si M est expansif ou finiment expansif relativement a T et T est inductive, alors il existe

une theorie Γ de la forme ∀∃ telle que M est un modele algebriquement premier de Γ.

�

La proposition 2.1.2 (2) nous suggere de nous interesser aux modeles qui se plongent danstous les modeles existentiellement clos. Pour cette raison on va “imiter” dans un certain sens lesproprietes verifiees par la theorie des groupes comme la propriete d’amalgamation et la proprietedu plongement. On s’interesse, pour commencer, aux theories inductives qui verifient la proprieted’amalgamation.

2.2 Les theories inductives

D’apres la proposition 2.1.2 (2), si T est inductive et a la propriete du plongement alors toutmodele M ayant P relativement a T se plonge dans tous les modeles existentiellement clos de T .On s’interessera dans cette section a la reciproque : est-ce que tout modele de T qui se plonge danstous les modeles e.c. de T a la propriete (*) relativement a T ? On verra dans le chapitre IV quedans le cas de la theorie des groupes la reponse est negative, autrement dit : il existe un groupe quine verifie pas (*) et qui se plonge dans tous les groupes e.c. (corollaire 4.2.3 (1)). On verra aussi

21


que la reponse est negative dans le cas de la theorie des groupes commutatifs et on determinerala forme generale des groupes commutatifs qui ont la propriete (*).

Cela dit on peut avoir des proprietes interessantes dans le cas general et c’est l’objet de cettesection.

Pour parler des plongements de modeles on doit considerer les diagrammes des modeles. Parconsequent on peut voir le diagramme d’un modele comme un type ayant un nombre infini devariables. Pour cette raison on va s’interesser aux types ayant un nombre infini de variables (maisdenombrable) et a leur omission dans des modeles existentiellement clos.

2.2.1 Les types ayant un nombre denombrable de variables

La question posee est la suivante : soit 4(x) un type universel consistant avec une theorieT tel que |x| ≤ ω, (donc ici |x| peut etre denombrable), sous quelles conditions peut-on affirmerl’existence d’un modele denombrable qui omet 4(x) ?

Posons x = (xi; i ∈ ω) , on definit

4n(x0, ..., xn) = {ϕ ∈ 4(x) | les variables libres

qui apparaissent dans ϕ sont parmi x0, ..., xn}

On voit que s’il existe un modele e.c. qui omet 4n pour un certain n alors ce meme modeleomet aussi 4. Par consequent la condition precedente est suffisante pour affirmer l’existence d’unmodele qui omet 4. Le probleme devient plus interessant quand on suppose que tous les 4n sontrealises dans tous les modeles e.c.

Definition. Soit4(x) un type universel tel que |x| ≤ ω. On dit que4 est sans quantificateurs

complet , (en abrege s.q.complet), si :pour toute formule ϕ atomique dont les variables libre sont dans x ( il n’y a qu’un nombre fini

de variables qui apparaissent dans ϕ ), on a ϕ ∈ 4 ou ¬ϕ ∈ 4.On remarque que 4n est s.q.complet si 4 est s.q.complet.On a le theoreme suivant :

Theoreme 2.2.1. Soit T une theorie inductive dans un langage denombrable telle que T∀ a lapropriete d’amalgamation. Soit 4(x) un type universel tel que |x| ≤ ω et s.q.complet. Supposonsque pour chaque n tout modele e.c. de T realise 4n. Alors il existe une theorie Γ inductiveverifiant :

- T ∪ Γ est consistante et vraie dans tous les modeles e.c. de T .- Pour tout M si M |= T ∪ Γ, alors M realise 4.

En particulier on voit que 4 est realise dans tous les modeles e.c. de T .

Demonstration.

Comme il n’existe pas de modele e.c. de T qui omet 4n pour tout n ∈ ω alors d’apres letheoreme d’omission des types pour les theories inductives, pour tout 4n il existe une formuleψn(x0, ..., xn) existentielle consistante avec T telle que :

22


T ` ψn(x0, ..., xn) =⇒ ϕ(x0, ..., xn), pour tout ϕ ∈ 4n.

Soit Γ la theorie suivante :

∃xψ0(x)∀x(ψ0(x) =⇒ ∃yψ1(x, y))

...

∀x0, ....,∀xn(ψn(x0, ..., xn) =⇒ ∃xn+1ψn+1(x0, ...., xn, xn+1))...

Montrons que Γ verifie les conditions enoncees.

Fait 1. Γ est de la forme ∀∃.Soit ϕ = ∀x0, ...., ∀xn(ψn(x0, ..., xn) =⇒ ∃xn+1ψn+1(x0, ...., xn, xn+1)).Soit ψn(x0, ..., xn) ≡ ∃znφn(x0, .., xn, zn), ou φn est sans quantificateurs. Alors :

ϕ ≡ ∀x0, ....,∀xn(∃znφn(x0, .., xn, zn) =⇒ ∃zn+1∃xn+1φn+1(x0, .., xn+1, zn+1))

On peut supposer sans perte de generalite que zn∩zn+1= ∅.Donc ϕ ≡ ∀x0, ....,∀xn∃zn∃zn+1(φn(x0, .., xn, zn) =⇒ φn+1(x0, .., xn+1, zn+1)). On a bien une

formule ∀∃.

Fait 2. 4 est realise dans tous les modeles de T ∪ Γ.Soit M |= T ∪ Γ, on construit une suite (ai : i ∈ ω) dans M qui verifie 4. La construction est

par recurrence sur n et telle que M |= ψn(a0, ..., an).Pour n = 0 , on a M |= Γ donc M |= ∃xψ0(x). On prend a0 tel que M |= ψ0(a0).Supposons construite (ai : 0 ≤ i ≤ n). Comme M |= Γ on a

M |= ∀x0, ....,∀xn(ψn(x0, ..., xn) =⇒ ∃xn+1ψn+1(x0, ...., xn, xn+1))

et comme M |= ψn(a0, ..., an) on peut prendre an+1 tel que M |= ψn+1(a0, ..., an, an+1).Ainsi on a une suite (ai : i ∈ ω) telle que M |= ψn(a0, ..., an).Grace aux proprietes T ` ψn(x0, ..., xn) =⇒ ϕ(x0, ..., xn) pour tout ϕ ∈ 4n, on voit que

(ai : i ∈ ω) realise 4.

Fait 3. T ∪ Γ est vraie dans tous les modeles e.c. de T ( C’est la qu’on utilise la proprieted’amalgamation et le fait que 4 est s.q.complet) .

Soit M un modele e.c. de T et montrons que M |= Γ. Montrons d’abord que M |= ∃xψ0(x).Comme ∃xψ0(x) est consistante il existe M0 et un b ∈ M0 tel que M0 |= ψ0(b). Puisque Mrealise 40 il existe a ∈M tel que M verifie 40(a). Comme 40 est s.q.complet les sous-structures< a > et sont isomorphes. On voit que < a > et sont des modeles de T∀. CommeT∀ a la PA il existe N |= T∀ qui amalgame M et M0 au-dessus de < a > et . CommeM0 |= ψ0(b), alors N |= ψ0(a). Comme N |= T∀ alors N se plonge dans un modele U de T . DoncU |= ψ0(a). Comme M est e.c alors M |= ψ0(a).

Soient maintenant a0, ...., an des elements de M tels que M |= ψn(a0, ..., an).

23


Comme ∃x0, .., xn+1ψn+1(x0, ..., xn+1) est consistante il existe Mn et une suite b0, ..., bn ∈Mn

telle que Mn |= ∃xn+1ψn+1(b0, ..., bn, xn+1).Puisque 4n est s.q-complet et comme

T ` ∃xn+1ψn+1(x0, ..., xn, xn+1) =⇒ ϕ(x0, ..., xn), pour tout ϕ ∈ 4n,

les sous-structures < a1, ..., an > et < b1, ..., bn > sont isomorphes.On voit que < a1, ..., an > et < b1, .., bn > sont des modeles de T∀. Comme T∀ a la PA il

existe N |= T qui amalgame M et Mn au-dessus de < a1, .., an > et < b1, ..., bn >. CommeN |= T∀ alors N se plonge dans un modele U de T . Comme Mn |= ∃xn+1ψn+1(b0, .., bn, xn+1)alors U |= ∃xn+1ψn+1(a0, ..., an, xn+1). CommeM est e.c. alorsM |= ∃xn+1ψn+1(a0, ..., an, xn+1).

�

Corollaire 2.2.2.

Soit T une theorie inductive dans un langage denombrable telle que T∀ a la PA. Soit M unmodele de T qui se plonge dans tous les modeles e.c. de T. Alors il existe une theorie inductive Γvraie dans tous les modeles existentiellement clos de T et telle que M se plonge dans tout modelede Γ. En particulier M se plonge dans tout modele elementairement equivalent a un modele e.c.de T .

En particulier pour la theorie des groupes on a :

Corollaire 2.2.3.

Soit G un groupe qui se plonge dans tous les groupes e.c. Alors il existe une theorie inductiveΓ vraie dans tous les groupes existentiellement clos et telle que G se plonge dans tout groupe quiverifie Γ. En particulier G se plonge dans tout groupe elementairement equivalent a un groupe e.c.

�

Dans le theoreme qui suit on va voir une condition plus faible (voir la proposition 2.2.6 plusbas) que la propriete d’amalgamation pour avoir presque les memes conclusions que le theoremeprecedent.

Theoreme 2.2.4. Soit T une theorie inductive dans un langage denombrable ayant un modelee.c. et ω-homogene. Soit 4(x) un type universel tel que |x| ≤ ω et s.q.complet. Supposons que pourchaque n, tout modele e.c. de T realise 4n. Alors il existe une theorie Γ inductive verifiant :

- T ∪ Γ est consistante et vraie dans au moins un modele e.c. de T .- Pour tout M si M |= T ∪ Γ alors M realise 4.

Demonstration.

Soient A un modele e.c. et ω-homogene et Υ = T ∪ Th∃(A). Alors on a les deux proprietessuivantes :

(1) Si ψ est un enonce existentiel consistant avec Υ, alors ψ∈Υ.

24


(2) Si N est un modele e.c. par rapport a Υ alors N est e.c. par rapport a T .

Pour demontrer (1) il suffit de considerer la theorie suivante :

4(A) ∪ {ψ}

et de voir par compacite qu’elle a un modele. Donc A se plonge dans un modele qui verifie ψet comme A est e.c. alors A |= ψ, d’ou ψ∈Υ.

Quant a la propriete (2) elle est evidente.Comme pour tout n, 4n est realise dans tous les modeles e.c. de T , alors 4n est realise dans

tous les modeles e.c. de Υ.D’apres le theoreme d’omission des types des theories inductives, pour tout 4n il existe une

formule ψn(x0, ..., xn) existentielle consistante avec Υ telle que :

Υ ` ψn(x0, ..., xn) =⇒ ϕ(x0, ..., xn) , pour tout ϕ ∈ 4n

Soit Γ la theorie suivante :

ϕ existentielle et ϕ ∈ Υ∀x(ψ0(x) =⇒ ∃yψ1(x, y))

...

∀x0, ...., ∀xn(ψn(x0, ..., xn) =⇒ ∃xn+1ψn+1(x0, ...., xn, xn+1))...

Montrons que Γ verifie les conditions enoncees.

Fait 1. Γ est de la forme ∀∃. La demonstration est incluse dans celle du Theoreme 2.2.1

Fait 2. 4 est realise dans tous les modeles de T ∪ Γ.Soit M |= T ∪ Γ, on construit une suite (ai : i ∈ ω) dans M qui verifie 4. Par recurrence sur

n, on construit (ai : i = 0, n) verifiant : M |= ψn(a0, ..., an).Pour n = 0 , on a M |= Γ donc M |= ∃xψ0(x) car ∃xψ0(x) est consistante avec Υ et donc

∃xψ0(x) ∈ Γ. Donc on prend a0 tel que M |= ψ0(a0).Supposons construite (ai : i = 0, n). Comme M |= Γ, alors ;

M |= ∀x0, ...., ∀xn(ψn(x0, ..., xn) =⇒ ∃xn+1ψn+1(x0, ...., xn, xn+1))

et comme M |= ψn(a0, ..., an), on peut prendre an+1 tel que M |= ψn+1(a0, ..., an, an+1).Ainsi on a une suite (ai : i ∈ ω) telle que M |= ψn(a0, ..., an).Grace aux proprietes Υ ` ψn(x0, ..., xn) ⇒ ϕ(x0, ..., xn), pour tout ϕ ∈ 4n, on voit que

(ai : i ∈ ω) verifie 4.

Fait 3. T ∪ Γ est vraie dans au moins un modele e.c. de T .On va montrer que Γ est vraie dans A.Soient a0, ..., an ∈ A tels que A |= ψn(a0, ..., an). Comme A |= ∃x0, .., xn+1ψn+1(x0, ..., xn+1),

il existe une suite b0, ..., bn ∈ A telle que A |= ∃xn+1ψn+1(b0, ..., bn, xn+1).

25


Comme 4n est s.q.complet et puisque Υ ` ψn(x0, ..., xn) ⇒ ϕ(x0, ..., xn), pour tout ϕ ∈ 4n,les sous-structures < a1, ..., an > et < b1, .., bn > sont isomorphes. Comme A est ω-homogene ona A |= ∃xn+1ψn+1(a0, ..., an, xn+1).

Pour finir, il suffit juste de remarquer que comme Γ est vraie dans au moins un modele e.c. deT , alors elle est consistante avec T et donc T ∪ Γ est consistante et pour tout M si M |= T ∪ Γ,alors M realise 4.

�

Remarque. Si T a la PP, alors Γ est vraie dans tous les modeles e.c. En effet dans ce cas tousles modeles e.c. de T verifient les memes formules ∀∃.

Corollaire 2.2.5. Soit T une theorie inductive dans un langage denombrable ayant un modelee.c. et ω-homogene. Soit 4(x) un type universel tel que |x| ≤ ω et s.q.complet. S’il n’existe pas detheorie Γ inductive consistante avec T telle que tout modele de T ∪ Γ realise 4(x), alors il existeun modele e.c. denombrable de T qui omet 4(x).

Demonstration. Supposons que pour chaque n, tout modele e.c. de T realise 4n, alors d’apresle theoreme precedent il existe une theorie Γ inductive consistante avec T telle que tout modele deT ∪Γ realise 4(x). Contradiction. Par consequent il existe un modele e.c. M qui omet un certain4n. D’apres le theoreme de Lowenheim-Skolem descendant il existe un modele N denombrabletel que N ≺M et donc N est e.c. et omet 4n.

�

La proposition qui suit nous eclaire sur le lien entre la PA et la propriete enoncee dans letheoreme 2.2.4.

Proposition 2.2.6. Soit T une theorie inductive telle que T∀ a la PA. Alors tout modeleinfini M de T se plonge dans un modele N existentiellement clos et ω-homogene tel que |N | =sup(|M| , |T |). 1

Lemme 2.2.7. Soit T une theorie inductive telle que T∀ a la propriete d’amalgamation. SoientM un modele infini de T et a, b, c ∈M tels que 4(a,M) = 4(b,M). Alors M se plonge dans unmodele N de T tel que |N |=sup(|M|, |T |) et tel qu’il existe d ∈N tel que 4(a c,N ) = 4(b d,N ).

Demonstration. Soit

Γ = T ∪4(M) ∪ {ψ(b, d) | ψ(x, y) ∈ 4(a c,M)}

Soit S =< α, d > une copie de < a, c >. Comme 4(a,M) = 4(b,M) on a < α >∼=.Soit K amalgamant M et S au-dessus de A = et B =< α >. Alors K est un modelede T∀ par consequent il existe N ′ tel que K ↪→ N ′ et (N ′, d) verifie Γ. Comme M ↪→ N ′,

1 En presence de PP cette propriete equivaut a la propriete d’amalgamation pour T∀.

26


N ′ |= 4(M) et α = b dans N ′ et 4(α d,N ′) = 4(a c,N ′), alors 4(bd,N ′) = 4(ac,N ′).Comme |Γ| = sup(|M| , |T |), alors Γ admet un modele de cardinal sup(|M| , |T |).

�

Lemme 2.2.8. Soit T une theorie inductive telle que T∀ a la propriete d’amalgamation. SoitM un modele infini de T . Alors M se plonge dans un modele ω-homogene N de T tel que|N |=sup(|M| , |T |).

Demonstration. On designe par α le cardinal sup(|M| , |T |).On va construire une suite (Hi)i∈ω verifiant :

(1)

H0 = M Hi |= T, Hi ↪→ Hi+1, |Hi| = α

∀a, b ∈ Hi si 4 (a,Hi) = 4(b,Hi), alors∀c ∈ Hi ,∃d ∈ Hi+1 tel que 4(ac,Hi+1) = 4(bd,Hi+1)

Alors la reunion H = ∪iHi est ω−homogene et est modele de T , et |H| = α.SupposonsHi construit. Soit [(ak, bk, ck)]k∈α la liste de tous les triplets de suites finies extraites

de Hi verifiant : |ak| =∣∣bk∣∣, |ck| = 1, 4(ak,Hi) = 4(bk,Hi).

On construit une suite (Uk)k∈λverifiant :

(2)

U0 = Hi Uk |= T

|Uk| = α ∪i<kUi ↪→ Uk∃d ∈ Uk tel que 4(akck,Uk) = 4(bkd,Uk)

On pose Hi+1 = ∪k∈αUk , on voit que Hi+1 |= T , |Hi+1| = α, Hi+1 satisfait les conditions dela suite (1).

Supposons Ui construit pour i < k . Soit P = ∪i<kUi. D’apres le lemme 2.2.7 il existe V telque P ↪→ V, avec V |= T, |V|=sup(α, |T |) et il existe d ∈V tel que 4(bkd,Uk) = 4(akck,Uk). Ilsuffit de prendre Uk =V.

�

Demonstration de la proposition 2.2.6. On construit une suite (Mk)k∈ωverifiant :{M0 = M, Mk |= T

|Mk| = sup(|M| , |T |), Mk ↪→Mk+1

Avec si k pair non nul Mk ω-homogene et si k impair Mk e.c.

Cela est possible grace au lemme 2.2.8 et au fait que tout modele de cardinal λ se plongedans un modele existentiellement clos ayant le cardinal sup(λ, |T |). Alors N = ∪k∈ωMk estexistentiellement clos et ω-homogene.

�

27


Pour finir cette section on a cette proposition, qui sera constamment utilisee :

Proposition 2.2.9. Soit T une theorie inductive dans un langage denombrable, ayant la PP.Alors pour tout modele M de type fini de T les proprietes suivantes sont equivalentes :

(1) M a (**).(2) M a (*).(3) M se plonge dans tous les modeles e.c. de T .

Demonstration.

(1)⇒(2). Evidente.(2)⇒(3). Comme T a la PP alors tout enonce existentiel consistant avec T est vrai dans tous

les modeles e.c. de T . Par consequent M se plonge dans tous les modeles e.c. de T .(3)⇒(1). PosonsM =< a1, ..., an >. CommeM se plonge dans tous les modeles e.c. de T alors

4(a1, ..., an,M)1 n’est omis dans aucun modele existentiellement clos. Par consequent d’apres letheoreme d’omission des types pour les theories inductives, il existe une formule existentielleψ(x1, ..., xn) telle que :

T ` ψ(x1, ..., xn) ⇒ ϕ(x1, ..., xn), pour tout ϕ∈4(a1, ..., an,M).

Alors il est clair que la formule ∃x1...∃xnψ(x1, ..., xn) verifie la propriete voulue.

�

2.3 Quelques conditions suffisantes

Dans cette section on va voir quelques conditions suffisantes pour affirmer l’existence de modelesayant P. On a la proposition suivante, qui reprend un argument classique en theorie des modeles ;

Proposition 2.3.1. Soit T une theorie dans un langage denombrable et ayant un modele Muniversel 2.

Alors pour toute formule sans quantificateurs ϑ(x1, ..., xn) telle que l’enonce ∃xϑ(x) est consis-tant avec T il existe une formule ϕ(x1, ..., xn) sans quantificateurs verifiant :

(1) ∃x1...∃xnϕ(x1, ..., xn) est consistante avec T .(2) T `ϕ(x1, ..., xn)=⇒ ϑ(x1, ..., xn).(3) Pour toute formule atomique φ(x1, ..., xn) on a :

T `ϕ(x1, ..., xn)=⇒ φ(x1, ..., xn)

ou T `ϕ(x1, ..., xn)=⇒ ¬φ(x1, ..., xn)

1 Voir notations.2 Remarquons que cela implique que T a la PP

28

2.3. QUELQUES CONDITIONS SUFFISANTES 29

Demonstration.

Supposons qu’il n’existe pas de formule sans quantificateurs ξ(x1, ..., xn) qui verifie : pour touteformule atomique φ(x1, ..., xn) on a :

T ` ϑ(x1, ..., xn) ∧ ξ(x1, ..., xn) =⇒ φ(x1, ..., xn)

ou T ` ϑ(x1, ..., xn) ∧ ξ(x1, ..., xn) =⇒ ¬φ(x1, ..., xn)

Soit U l’ensemble des formules atomiques qui ont x1, ..., xn comme variables libres. On vaconstruire un arbre. D’apres notre hypothese il existe une formule atomique α1(x1, ..., xn) telleque : ϑ(x1, ..., xn)∧α1(x1, ..., xn) est consistante avec T et ϑ(x1, ..., xn)∧¬α1(x1, ..., xn) est aussiconsistante (pour alleger l’ecriture on va negliger les variables ). On peut faire de meme pour lesformules ϑ∧α1 et ϑ∧¬α1. Donc on a :

ϑ ∧ α1 ∧ α2 .............

↗ϑ ∧ α1

↗ ↘ϑ ∧ α1 ∧ ¬α2

ϑ .............

ϑ ∧ ¬α1 ∧ α3

↘ ↗ϑ ∧ ¬α1

↘ϑ ∧ ¬α1 ∧ ¬α3

.............

Par consequent on construit 2χ0 diagrammes de structures de type fini, consistants avec T .Donc T∀ a 2χ0 structures de type fini deux a deux non isomorphes, qui sont toutes plongees dansM ce qui contredit la denombrabilite de M.

�

Remarque. Observons que la proposition 2.3.1. reste vraie si on remplace la condition ”T aun modele universel” par la condition ”T∀ a au plus χ0 modeles de type fini”.

Corollaire 2.3.2. Soit T une theorie universelle dans un langage denombrable et ayant unmodele universel. Alors T a des modeles de type fini finiment expansifs et tout modele ayant (**)se plonge dans un modele de type fini finiment expansif. En outre pour tout modele de type fini Mde T les proprietes suivantes sont equivalentes :

(1) M a (**).(2) M a (*).(3) M se plonge dans tous les modeles e.c. de T .(4) M se plonge dans un modele de type fini finiment expansif.

29


Demonstration.

Soit ψ(x1, ..., xn) =∧i=1...,,n xi = xi. Alors ∃x0...∃xnψ(x1, ..., xn) est consistante avec T et

d’apres la proposition 2.3.1, il existe une formule ϕ(x1, ..., xn) sans quantificateurs verifiant :∃x1...∃xnϕ(x1, ..., xn) est consistante avec T , T `ϕ(x1, ..., xn)=⇒ ψ et pour toute formule atomiqueφ(x1, ..., xn) :

T `ϕ(x1, ..., xn)=⇒ φ(x1, ..., xn)

ou T `ϕ(x1, ..., xn)=⇒ ¬φ(x1, ..., xn)

Soit N un modele de T qui verifie ∃y1...∃ymϕ(y1, ..., ym). Soit K la sous-structure engendreepar des elements qui verifient ϕ dans N . Alors on voit que K est un modele finiment expansif.

Soit M un modele de T ayant (**). Soit ψ une formule existentielle consistante avec T etqui verifie : M se plonge dans tout modele de T et de ψ. On peut ecrire ψ sous la forme∃x0...∃xnϑ(x1, ..., xn) ou ϑ est sans quantificateurs. D’apres la proposition 2.3.1 il existe une for-mule ϕ(y1, ..., ym) sans quantificateurs qui verifie les conditions (1)-(2)-(3) de la proposition 2.3.1.Soit N un modele de T qui verifie ∃y1...∃ymϕ(y1, ..., ym). Soit K la sous-structure engendree pardes elements qui verifient ϕ dans N . Alors on voit que K est un modele finiment expansif quicontient une copie de M.

Montrons maintenant les equivalences enoncees.Les implications (1)⇒(2) et (4)⇒(1) sont evidentes.(2)⇒(3). Comme T a un modele universel, T a la PP et donc on applique la proposition 2.2.9.(3)⇒(4). Comme T a la PP on peut appliquer la proposition 2.2.9, et d’apres ce qui precede

M se plonge dans un modele de type fini finiment expansif.

�

Remarque Il est bien connu que la theorie des groupes commutatifs a un modele universel (Onpeut prendre (Q/Z)(χ0)⊕Q(χ0)). Il est egalement bien connu que les modeles e.c. de cette theoriesont les groupes commutatifs divisibles ayant pour tout n ≥ 2 une infinite d’elements d’ordre n.On voit que chacune des proprietes (1) a (4) du corollaire 2.3.2 caracterise les groupes commutatifsfinis parmi les groupes commutatifs de type fini.

30

Chapitre 3

Quasi-varietes et modeles

fortement e.c.

A part la section 3.2 ce chapitre peut etre lu d’une maniere independante des autres chapitres.Nous nous interessons dans la section 3.2 aux modeles ayant P et nous demontrons une proposition(la proposition 3.2.2) qui unifie certains resultats connus en theorie des groupes.

Dans la section 3.3 nous introduisons la notion de modele fortement e.c. et nous etudions larelation qui existe entre le plongement dans des modeles de presentation finie et les plongementsdans les modeles fortement e.c. Si une bonne partie de cette section est une adaptation aux quasi-varietes recursivement enumerables des resultats relatifs aux groupes de ([11][30]), son point forten est une nouvelle caracterisation des groupes de type fini recursivement presentes, analogue acelle du theoreme de Neumann-Macintyre.

3.1 Introduction

Le but de cette introduction est de rappeler les notions de base qui vont etre utilisees par lasuite, en particulier celle de quasi-variete. Pour plus de details nous renvoyons a [11] et [13].

Toute variete etant une quasi-variete, tout ce qui va etre dit ici est valable pour les varietes degroupes.

Definitions et proprietes.

(1) Soit T une theorie dans un langage L. On dit que T est une quasi-variete si T estuniverselle et la classe des modeles de T est close par produit cartesien.

(2) Soient M1, M2 deux modeles de T , A et B deux L-structures telles que A ⊆M1, B ⊆M2

et φ : A ∼= B.On designe par

M1 ∗M2

le modele de T presente par l’ensemble :

P (M1) ∪ P (M2)

31

32 CHAPITRE 3. QUASI-VARIETES ET MODELES FORTEMENT E.C.

ou P (Mi) est une presentation deMi (cf.[13], et ou on a employe des ensembles de generateursdisjoints pour M1 et M2. On ne mentionnera plus les precautions manifestes de ce genre dans lasuite).

On designe parM1 ∗A,BM2

le modele de T presente par l’ensemble :

P (M1) ∪ P (M2) ∪ {φ(a) = a, a ∈ A}

ou P (Mi) est une presentation de Mi.Il est bien connu que M1 ∗M2 et M1 ∗A,BM2 ne dependent pas des presentations choisies et

ont une definition intrinseque que nous ne donnerons pas ici.(3) Soient X,Y ⊆ ω ; on dit que Y est recursivement reductible a X et on ecrit Y ≤e X

(cf. [30] p.483), s’il existe un ensemble recursivement enumerable U ⊆ ω × [ω]<ω tel que :

n ∈ Y ⇐⇒ ∃A ⊆ X et (n,A) ∈ U

(4) Pour X,Y ⊆ ω, on definit X ≤1 Y (cf. [11] p.40 ou [30] p.487) si et seulement si il existeune fonction f : ω → ω, injective recursive telle que n ∈ Y ssi f(n) ∈ X.

(5) La relation (Y ≤1 X et X ≤1 Y ) est une relation d’equivalence notee Y ≡1 X.(6) La relation (Y ≤e X et X ≤e Y ) est une relation d’equivalence notee Y ≡e X.(P(ω)/ ≡e ,≤e) est un treillis de cardinal 2ω. Dans tout ce qui suit on choisit un systeme

representatif (di : i ∈ ω) des classes d’equivalence.(7) Si Y ≤1 X alors Y ≤e X.(8) Soit K une classe de L-structures de type fini. On dit que K a la HP si chaque fois que

M∈ K et N ⊆M, avec N de type fini, alors N ∈ K.

Proposition 3.1.1. Soit T une quasi-variete.i) Les deux assertions suivantes sont equivalentes :(1) T a la PA.(2) Pour tout M1, M2 modeles de T , pour tout A ⊆M1, pour tout B ⊆M2 tel que φ : A ∼= B,

A et B deux L-structures, les applications canoniques de M1 et M2 dans M1 ∗A,BM2 sont desplongements.

ii) Les deux assertions suivantes sont equivalentes :(1) T a la PP.(2) Pour tout M1, M2 modeles de T , les applications canoniques de M1 et M2 dans M1∗M2

sont des plongements.

Demonstration.

On va juste montrer i) , car ii) se traite de la meme maniere.On a (2)⇒(1) est evidente, montrons donc (1)⇒(2).Soient M1 =< X | W1(X) > et M2 =< Y | W2(Y ) >, alors on sait que

M1 ∗A,BM2 = <X,Y | W1(X) ∧W2(Y ), a = φ(a), a ∈ A, >

32

3.2. LES MODELES AYANT P DANS LES QUASI-VARIETES 33

Donc il suffit de montrer que si M1 |= ¬ϕ(a), avec ϕ(a) une formule atomique, alors

M1 ∗A,BM2|=¬ϕ(a)

Cela resulte de ce que la la formule W1(X)∧W2(Y ) ∧¬ϕ(a), a = φ(a) , a ∈ A, est consistantecar elle est vraie dans un modele de T amalgamant M1 et M2 au-dessus de A et B car T a lapropriete d’amalgamation, et de l’adaptation a notre contexte de la remarque de la page 14.

�

3.2 Les modeles ayant P dans les quasi-varietes

Dans le cas des quasi-varietes les modeles ayant P ont certaines proprietes particulieres. Pourune theorie T universelle, on definit les classes suivantes :

Σ0(T ) =la classe des modeles de type fini de T qui se plongent dans tous les modeles e.c. de T

Σ1(T ) =la classe des modeles de T qui se plongent dans tous les modeles e.c. de T

On voit que pour la theorie des groupes Σ0(Tgp) n’est rien d’autre que la classe des groupesde types fini ayant un probleme des mots resoluble. Une etude plus detaillee des classes Σ0(Tgp)et Σ1(Tgp) fera l’objet du chapitre IV.

G. Sabbagh a observe le resultat suivant, (non publie, mais on trouve une bonne partie dutheoreme 3.2.1 dans [5], cf. notre note a la p. 17), qui est implicite dans la litterature (cf. [13],Theoreme 8.2.6 et les remarques historiques de la page 409 qui omettent [7]).

Theoreme 3.2.1. Soit T une quasi-variete ayant la PP dans un langage denombrable sanssymboles de relation et soit M un modele de type fini de T 1. Alors les proprietes suivantes sontequivalentes :

(1) M a la propriete (**).(2) M a la propriete (*).(3) M se plonge dans tous les modeles e.c. de T .(4) Il existe un modele de presentation finie H verifiant les proprietes suivantes :il existe un plongement ϕ : M ↪→ H, une suite (αi, βi)i=1,...,n, αi 6= βi d’elements de H

verifiant : pour tout X modele de T , pour tout homomorphisme φ : H → X, s’il existe a, b ∈ M,a 6= b tels que φϕ(a)=φϕ(b), alors il existe i0 tel que φ(αi0) = φ(βi0).

Demonstration.

(1)⇒(2)⇒(3). Decoule de la proposition 2.2.9.(3)⇒(4).

Posons M =< a1, .., an >, alors tout modele denombrable e.c. de T realise 4(a1, ..., an,M).D’apres le theoreme d’omission des types pour les theories inductives, il existe une formuleχ(x1, .., xn) existentielle telle que T ∪ {∃x1, .., xnχ(x1, ..., xn)} est consistante et

1On peut quitte a alourdir les ecritures travailler dans un langage ayant des symboles de relations. Nous laissonsau lecteur le soin d’enoncer le theoreme correspondant.

33


T |= χ(x1, .., xn) ⇒ ϕ(x1, ..., xn), pour toute formule ϕ ∈ 4(a1, ..., an,M)

Posons χ(x1, .., xn) = ∃yϑ(x1, ..., xn, y) avec ϑ sans quantificateurs. On peut supposer, sansperte de generalite, que ϑ(x, y) est primitive, donc de la forme (V (x, y) ∧N(x, y)), ou V est uneconjonction de formules atomiques et N est une conjonction de negations de formules atomiques.Soit H le modele de T de type fini engendre par c, b presente par V (c, b). Alors on voit que H verifieV (c, b) ∧N(c, b), par consequent H verifie ∃yϑ(x1, ..., xn, y). Il en resulte qu’il y a un plongementϕ : M ↪→ H, tel que ϕ(ai) = ci. Comme le langage ne contient pas de symboles de relations onpeut ecrire N(x, y) =

∧i=1,...,m ui(x, y) 6= υi(x, y) ou ui et vi sont des termes. Posons αi = ui(c, b)

et βi = ui(c, b).Si φ : H → X est un homomorphisme tel que pour tout i = 1, ..., n, on a φ(αi) 6= φ(βi),

alors l’homomorphisme φϕ preserve χ et est donc un plongement de M dans X. Par consequentsi φ : H → X est un homomorphisme et s’il existe a, b ∈M, a 6= b tels que φϕ(a)=φϕ(b), alors onvoit qu’il existe i0 tel que φ(ui0) = φ(vi0), car sinon φϕ serait un plongement.

(4)⇒(1). Posons H =< a |W (a) >. Il existe des termes ui(x) et vi(x) tels que αi = ui(a)et βi = vi(a). Soit X un modele de T contenant b et qui verifie (W (b) ∧

∧i ui(b) 6= vi(b)), il en

resulte qu’il y a un homomorphisme φ : H → X tel que φ(ai) = bi. Alors d’apres (4) on voit quel’homomorphisme φϕ : M → X est un plongement. Par consequent M se plonge dans tous lesmodeles de ∃x(W (x) ∧

∧i ui(x) 6= vi(x)), d’ou M a la propriete (**).

�

Proposition 3.2.2. Soit T une quasi-variete dans un langage denombrable. Supposons que T ala PA. Soient (1), (2), (3), (4), (5) les proprietes suivantes :

(1) Σ0(T ) n’a pas la propriete d’amalgamation.(2) Il n’existe pas de modele e.c. de T qui se plonge dans tous les modeles e.c. de T .(3) Tout modele e.c. de T contient un modele de type fini de T qui n’est pas dans Σ0(T ).(4) Il existe un enonce existentiel ψ consistant avec T tel que tout modele de Σ0(T ) verifie ¬ψ.(5) Il existe un modele de presentation finie de T qui n’est pas dans Σ0(T ).

Alors pour tout i, 1 ≤ i ≤ 4, (i) =⇒ (i+ 1).Cependant la theorie des groupes commutatifs verifie (5) et ne verifie pas (4).

Lemme 3.2.3. Soit T une theorie inductive. Soit M un modele denombrable e.c. de T qui seplonge dans tous les modeles e.c. de T . Si T∀ a la PA alors M est ω-homogene.

Demonstration. Soient a1, ..., an ∈ M et b1, ..., bn ∈ M tels que < a1, ..., an >∼=< b1, ..., bn >

et soit b ∈ M. Comme 4(b1, ..., bn, b,M) n’est omis dans aucun modele e.c. il existe une formuleexistentielle ψ(x1, ..., xn, y) telle que :

T ` ∀x1...∀xn∀y(ψ(x1, ..., xn, y) =⇒ ϕ(x1, ..., xn, y)), pour tout ϕ∈ 4(b1, ..., bn, b,M)

Etant donne que T∀ a la PA il existe N modele de T∀ qui amalgame M et M au-dessus de< a1, ..., an > et < b1, ..., bn >. Comme N est modele de T∀, on peut plonger N dans un modeleN ′ de T dans lequel on identifiera les ai et les bi.

34

3.2. LES MODELES AYANT P DANS LES QUASI-VARIETES 35

CommeM|=∃yψ(b1, ..., bn, y) alorsN ′|=∃yψ(b1, ..., bn, y) et doncN ′|=∃yψ(a1, ..., an, y). CommeM est e.c. alorsM |=∃yψ(a1, ..., an, y). Par consequent il existe d ∈M, tel queM |=ψ(a1, ..., an, d)et donc 4(b1, ..., bn, b,M)=4(a1, ..., an, d,M).

�

Lemme 3.2.4. Soit T une theorie inductive telle que T∀ a la PA. S’il existe un modele e.c.tel que toutes ses sous-structures de type fini appartiennent a Σ0(T ), alors Σ0(T ) a la proprieted’amalgamation.

Demonstration. Soit M un modele e.c. de T tel que toutes ses sous-structures de type finiappartiennent a Σ0(T ). D’apres le theoreme 2.2.1 M se plonge dans tous les modeles e.c. de T .Comme T∀ a la PA alors d’apres le lemme 3.2.3M est ω-homogene et on voit que Age(M)=Σ0(T ),ce qui implique que Σ0(T ) a la propriete d’amalgamation.

�

Demonstration de la proposition 3.2.2.

(1)⇒(2). On raisonne par l’absurde et on applique le lemme 3.2.4.(2)⇒(3). On peut se borner aux modeles e.c. denombrables. On raisonne par l’absurde et on

applique le theoreme 2.2.1.(3)⇒(4).

D’apres le theoreme d’omission des types pour les theories inductives, pour chaque m ∈ Σ0(T )tel que m =< a1, ..., an > il existe une formule existentielle ψm(x) telle que T ` ψm(x) ⇒ ϕ(x),pour tout ϕ∈4(a,m). Soit Γn(x) = {¬ψm(x) | |x| = n et m ∈ Σ0(T ) }. Supposons que pourtout n ∈ ω, il n’existe pas de formule existentielle χ(x) telle que ∃xχ(x) est consistante avec Tet T ` χ(x) ⇒ ϕ(x), pour tout ϕ∈ Γn(x). Alors d’apres le theoreme d’omission des types destheories inductives, il existe un modele M e.c. de T qui omet chaque Γn(x). D’apres (3) il existem0 /∈ Σ0(T ) et m0 ⊆ M. Soit m0 =< a1, ..., ar >. Comme M omet Γr alors il existe ¬ψl ∈ Γrtel que M |= ψl(a1, ..., ar). Comme T ` ψm(x) ⇒ ϕ(x), pour tout ϕ∈4(a,m0) alors m0

∼= l etl ∈ Σ0(T ) et donc m0 ∈ Σ0(T ). Contradiction.

Donc il existe n0 ∈ ω tel qu’il existe une formule existentielle ϕ consistante avec T telle queT ` ϕ(x) ⇒ ¬ψm(x) pour tout ¬ψm ∈ Γn0 . Montrons que ∃x(ϕ(x)) n’est vraie dans aucun modelede Σ0(T ). On peut ecrire ϕ(x) ≡ ∃yϑ(x, y). On raisonne par l’absurde ; supposons le contraireet soit m ∈ Σ0(T ) telle que m |= ∃x∃y(ϑ(x, y)), alors il existe a, b ∈ m tels que m |= ϑ(a, b).Soit l =< a > et m0 =< a, b >, alors on a l,m0 ∈ Σ0(T ). Alors il existe ¬ψm0 ∈ Γn0telle queT ` ψm0(x, y) ⇒ ϕ(x, y), pour tout ϕ∈4(a b,m0). Soit χ(x) la formule ∃yψm0(x, y), alors on voitque T ` χ(x) ⇒ φ(x), pour tout φ∈4(a, l). On voit aussi que χ(x) ∧ ϕ(x) est consistante. MaisT ` ϕ(x) ⇒ ¬ψm(x) pour tout ¬ψm ∈ Γn0 et donc T ` ϕ(x) ⇒ ¬χ(x) car ¬χ(x) ∈ Γn0 , d’ou unecontradiction.

(4)⇒(5).

Soit ∃xϕ(x) qui verifie les conditions de (4) avec ϕ sans quantificateurs. Alors ϕ(x) est equivalentea une formule de la forme : ∨

i=1,...,n

(Vi(x) ∧Ni(x))

35


ou Vi est une conjonction de formules atomiques et Ni est une conjonction de negations deformules atomiques. Comme ∃x(ϕ(x)) est consistante il existe k tel que ∃x(Vk(x) ∧ Nk(x)) estconsistante. Soit H la structure de type fini engendree par a et presentee par Vk(a). Alors on voitque H verifie Vk(a) ∧Nk(a), par consequent H verifie ∃x(ϕ(x)). Donc H /∈ Σ0(T ).

Rappelons que la classe Σ0(Tgpc) est la classe des groupes commutatifs finis (cf. la remarquede la page 28). La theorie des groupes commutatifs satisfait (5) car Z est un modele infini depresentation finie. Il est bien connu que tout enonce existentiel consistant avec la theorie desgroupes commutatifs est vrai dans un groupe commutatif fini, par consequent la theorie des groupescommutatifs ne satisfait pas (4).

�

Remarque. La demonstration montre que (3)⇒(4) est vraie dans toute theorie universelle.

Proposition 3.2.5. Soit T une quasi-variete ayant un modele universel. Alors T a des modelesfiniment expansifs de presentation finie et tout modele de T ayant (**) se plonge dans un modelede presentation finie finiment expansif.

Demonstration. Il suffit d’adapter la demonstration du corollaire 2.3.2.

�

3.3 Les modeles fortement existentiellement clos

Definition. Soient T une theorie et M un modele de T . On dit que M est fortement exis-

tentiellement clos s’il verifie :tout ensemble de formules de la forme :

{ϕ1(x, a), ...., ϕn(x, a), ¬φi(x, a) ; i ∈ ω, ϕi, φj des formules atomiques, a ∈M,|a| <∞,|x| <∞}

qui possede une solution dans une extension de M, qui est modele de T , possede une solutiondans M.

Remarque. Il est clair que tout modele fortement existentiellement clos est existentiellementclos.

Dans tout le reste de ce chapitre le langage L est denombrable et on fixe un codage des formulesde L. On ne fera pas de distinction entre un ensemble de formules et son ensemble de codes.

Definitions.

(1) Si X est un ensemble de formules, d(X) designera la classe d’equivalence de X par rapporta la relation ≡e.

(2) Soit T une theorie dans un langage denombrable et soit H |= T avec H de type fini ;H =< a1, ..., an > . Soit

36

3.3. LES MODELES FORTEMENT EXISTENTIELLEMENT CLOS 37

4+(a1, ..., an,H) = {ψ(x1, .., xn) | H |= ψ(a1, .., an), ψ(x1, .., xn) atomique}

Soit d(a1, ..., an,H) la classe d’equivalence de 4+(a1, ..., an,H) par rapport a la relation ≡e.On verra plus loin (corollaire 3.3.3) que d(a1, ..., an,H) ne depend pas du systeme generateur deH, donc on le designe par d(H). Pour une theorie T , on definit d(T ) par :

d(T )=le cardinal de {d(H) |H |= T, H de type fini }

Exemples.

D’apres le theoreme 4.12 dans [11], pour tout di il existe un groupe de type fini telle qued(G) = di, par consequent on voit que d(Tgp) = 2χ0 . Il est bien connu que tout groupe commutatifde type fini a un probleme des mots resoluble par consequent on voit que d(Tgpc) = 1. Cela montrebien la difference de complexite qui existe entre la theorie des groupes et la theorie des groupescommutatifs.

Le but de cette section est la demonstration du theoreme suivant :

Theoreme 3.3.1.

Soit T une quasi-variete recursivement enumerable dans un langage denombrable ayant la PPet la PA. Soit α = d(T ). Alors il existe au moins α modeles de T , denombrables, fortementexistentiellement clos et ultrahomogenes, deux a deux non isomorphes.

Lemme 3.3.2. Soit H un modele de type fini engendre par a1, ..., an. Soient b1, ..., bm ∈ H etK =< b1, ..., bm >. Alors 4+(b1, ..., bm,K) ≤1 4+(a1, ..., an,H).

Demonstration. Soit W (x1, ..., xn) l’ensemble des formules atomiques ecrites en fonction desvariables x1, ..., xn. De meme soit W (y1, ..., ym) l’ensemble des formules atomiques ecrites en fonc-tion des variables y1, ..., ym. Alors on voit que les ensembles W (x1, ..., xn) et W (y1, ..., ym) sontrecursivement enumerables. Avec un codage approprie, on peut identifier W (x1, ..., xn) a ω etW (y1, ..., ym) a ω d’une maniere recursive. Comme b1, ...bm ∈ H, il existe des termes t1, ..., tm telsque : t1(a1, .., an) = b1, ...., tm(a1, ..., an) = bm.

Soit f : W (y1, ..., ym) →W (x1, ..., xn) definie par :

f(ψ(y1, ..., ym)) = ψ(t1(x1, .., xn), ...., tm(x1, ..., xn))

Alors f est injective, car deux formules sont identiques si tous les symboles qui apparaissent sontidentiques.

Si ψ ∈4+(b1, ..., bm,K), alors il est clair que f(ψ) ∈ 4+(a1, ..., an,H), car K |= ψ(b1, .., bm)et donc H |= ψ(b1, .., bm) et donc H |= ψ(t1(a1, .., an), .., tm(a1, .., an)).

Si f(ψ) ∈ 4+(a1, ..., an,H), on aH |= ψ(t1(a1, .., an), .., tm(a1, .., an)) et doncK |= ψ(b1, .., bm),car ψ est atomique. Donc 4+(b1, ..., bm,K) ≤1 4+(a1, ..., an,K).

�

37


Corollaire 3.3.3.

Si H =< a1, ..., an >=< b1, ..., bm >, alors 4+(b1, ..., bm,H) ≡1 4+(a1, ..., an,H). Donc on aaussi 4+(b1, ..., bm,H) ≡e 4+(a1, ..., an,H) (cf. la propriete (7) a la page 30 de cette these). Parconsequent cela justifie la definition donnee plus haut.

�

Rappelons un theoreme classique de Fraısse :

Theoreme (Fraısse) [13]. Soit L un langage denombrable et K une classe denombrable deL-structures de type fini ayant la PP, la PA et la HP. Alors il existe une unique L-structuredenombrable D ultrahomogene telle que Age(D) = K. Ce modele sera appele la limite de Fraısse

de la classe K.

Proposition 3.3.4. Soit T une theorie universelle. Soit K une classe denombrable de modelesde T de type fini, ayant la PP, la PA et la HP. Supposons en plus que K verifie :

(AC) Pour tout F ∈ K, pour tout systeme fini δ de formules primitives sans quantificateurs,a parametres dans F , si δ est satisfaisable dans une extension de F qui est modele de T , alors δest satisfaisable dans une extension F ′ de F , telle que F ′ ∈ K.

Alors D, la limite de Fraısse de la classe K, est un modele e.c. de T .

Demonstration. Etant donne que T est universelle, il est clair que D |= T . Soient D′ |= T ,et δ(a, x) un ensemble fini de formules primitives sans quantificateurs a parametres dans D, telsque D ↪→ D′ et D′ |= ∃x(δ(a, x)). D’apres (AC), il existe F ′ ∈ K et b ∈ F ′ tel que F ′ |= δ(a, b)et < a >⊆ F ′. Comme F ′ ∈ K et Age(D) = K il existe F ′′ ⊆ D tel que F ′ ∼= F ′′. Donc il existec, d ∈ D tel que : < a > ∼=< c > et D |= δ(c, d). Comme D est ultrahomogene, on peut completerla suite a par des elements e tels que D |= δ(a, e).

�

Proposition 3.3.5.

Soit T une quasi-variete recursivement enumerable dans un langage denombrable, ayant PP etla PA. Soit J un ideal de (P(ω)/ ≡e ,≤e), et soit H(J) la classe des modeles de type fini K de Ttels que d(K) ∈ J .

Alors H(J) satisfait HP, PP, PA et AC.

Lemme 3.3.6. Soient K =< a1, .., an > un modele de T et P (a1, .., an) une presentation de K.Alors 4+(a1, ..., an,K) ≤e P (a1, .., an).

Demonstration.

On a ψ(x1, ..., xn) ∈ 4+ si et seulement si il existe un ensemble fini de formules ϕ1, .., ϕm deP (a1, ..., an) telles que T ` ϕ1 ∧ ... ∧ ϕm =⇒ ψ

Comme T est recursivement enumerable alors l’ensemble

U = {(ψ, {ϕ1, .., ϕm}) | T ` ϕ1 ∧ ... ∧ ϕm =⇒ ψ}

38


est recursivement enumerable.Donc

ψ(x1, ..., xn) ∈ 4+

si et seulement si

il existe ϕ1, .., ϕm∈ P (a1, ..., an) telles que (ψ, {ϕ1, .., ϕm}) ∈ U .

Donc 4+(a1, ..., an,K) ≤e P (a1, .., an).

�


(I) H(J) a la HP.On a si H =< a1, ..., an > et b1, ...bm ∈ H, K =< b1, ..., bm > alors d’apres le lemme 3.3.2,

4+(b1, ..., bm,K) ≤1 4+(a1, ..., an,H). Donc cela implique4+(b1, ..., bm,K) ≤e 4+(a1, ..., an,H).Comme J est un ideal on a K ∈ H(J).

(II) H(J) a la PP.Soient H1,H2 ∈ H(J) avec H1 =< a1, ..., an > et H2 =< b1, ..., bm >. On a H1 ∗ H2 est

presente par 4+(a1, ..., an,H1) ∪4+(b1, ..., bm,H2), donc d’apres le lemme 3.3.6 on a

d(H1 ∗H2) ≤e 4+(a1, ..., an, b1, ..., bm,H1 ∗H2) ≤e 4+(a1, ..., an,H1) ∪4+(b1, ..., bm,H2)

On a aussi

4+(a1, ..., an,H1) ∪4+(b1, ..., bm,H2) ≤e d(H1) ∨ d(H2)

D’ou d(H1 ∗ H2) ≤e d(H1) ∨ d(H2) et comme J est un ideal alors d(H1 ∗ H2) ∈ J , doncH1 ∗H2 ∈ H(J).

(III) H(J) a la PA.Soient H1,H2 ∈ H(J), avec A ⊆ H1, B ⊆ H2 et φ : A ∼= B, A et B de type fini. Le modele

H1 ∗A,B H2 est presente par 4+(H1) ∪4+(H2) ∪{a1 = φ(a1), ..., an = φ(an)}.Donc d’apres le lemme 3.3.6, on a4+(H1 ∗A,B H2) ≤e 4+(H1) ∪4+(H2) ∪{a1 = φ(a1), ...an = φ(an)}On a 4+(H1),4+(H2) ∈ J, comme J est un ideal alors 4+(H1) ∨ 4+(H2) ∈ J . Comme

4+(H1) ≤e 4+(H1) ∨4+(H2) et 4+(H2) ≤e 4+(H1) ∨4+(H2), alors

4+(H1) ∪4+(H2) ≤e 4+(H1) ∨4+(H2)

Comme {a1 = φ(a1), ...an = φ(an)} est fini, il est recursif, et donc on a

{a1 = φ(a1), ...an = φ(an)} ≤e X, pour tout X ⊆ ω,

donc en particulier {a1 = φ(a1), ...an = φ(an)} ≤e 4+(H1) ∨4+(H2).Donc finalement on a 4+(H1) ∪ 4+(H2)∪{a1 = φ(a1), ...an = φ(an)}≤e 4+(H1) ∨ 4+(H2).

Donc on a d(H1 ∗A,B H2) ≤e d(H1) ∨ d(H2).Puisque J est un ideal et d(H1)∨d(H2)∈ J , alors d(H1 ∗A,BH2) ∈ J , d’ou H1 ∗A,BH2 ∈ H(J).

39


(IV) H(J) verifie AC.Soient H ∈ H(J) avec H =< a > et δ(a, x) un ensemble fini de formules primitives sans

quantificateurs a parametres dans H, satisfaisable dans une extension de H qui est modele de T .Alors le modele R =< a, b | δ+(a, b),4+(a,H) >, satisfait δ−(a, b) ou δ+(a, b) designe l’en-

semble des formules atomiques qui sont dans δ(a, x) et δ−(a, b) designe l’ensemble des negationsdes formules atomiques qui sont dans δ(a, x). On voit aussi que H se plonge dans R.

D’apres le lemme 3.3.6 on a 4+(a, b, R) ≤e δ+(a, b) ∪4+(a,H).Comme δ+(a, b)∪4+(a,H) ≡e 4+(a,H) car δ+(a, b) est fini et comme d(H) ∈ J , et J est un

ideal, alors d(R) ∈ J , d’ou R ∈ H(J).

�

Proposition 3.3.6.

Soit J un ideal denombrable de (P(ω)/ ≡e ,≤e), tel que H(J) n’est pas vide. Alors il existe ununique modele D denombrable de T e.c. et ultrahomogene tel que Age(D) = H(J).

Demonstration. Il suffit de montrer que H(J) est denombrable et d’appliquer la proposi-tions 3.3.5, le theoreme de Fraısse et la proposition 3.3.4. Comme toute classe d’equivalence estdenombrable et J est denombrable alors H(J) est denombrable.

�

Demonstration du theoreme 3.3.1.

Soit γ = d(T ) le cardinal de X ={d(H) | H |= T et H de type fini }. Soit β ∈ X et soit Jβl’ideal principal engendre par β. Alors H(Jβ) n’est pas vide et il est denombrable donc d’apresla proposition 3.3.4 il existe un unique modele Dβ denombrable de T , e.c. et ultrahomogene telque Age(D) = H(Jβ). Soient α, β ∈X, tel que ¬(α ≡e β). Supposons que Dα

∼= Dβ , alorsAge(Dα) = Age(Dβ). Comme il existe H1 et H2 tels que d(H1) = α, et d(H2) = β, alorsH1,H2 ↪→ Dα et H1,H2 ↪→ Dβ . Donc α ≤e β et β ≤e α, dou α ≡e β. Contradiction.

Pour conclure il suffit de montrer que Dβ est fortement existentiellement clos. Soit M tel queDβ ⊆M et M verifie un systeme de la forme

(S) {ϕ1(x, a), ...., ϕn(x, a), ¬φi(x, a) ; i ∈ ω, ϕi, φj des formules atomiques, a ∈ Dβ ,|x| <∞}

ou a est un uplet fini de Dβ . Il existe d dans M qui verifie le systeme (S). Soit A =< a > lastructure engendree par a. Donc M verifie le systeme :

(S*) T∪{ϕ1(d, a), ...., ϕn(d, a), ¬φi(d, a) ; i ∈ ω }∪{ϕ(a) |ϕ ∈ 4(a,A)}

Comme < a >⊆ Dβ , alors d(A) ≤ β, d’ou :

d({ϕ1(d, a), ...., ϕn(d, a)} ∪{ϕ(a) |ϕ ∈ 4+(a,A)} )≤β

Soit K le modele de T presente par {ϕ1(b, c), ...., ϕn(b, c)}∪{ϕ(c) |ϕ ∈ 4+(a,A)}.Alors K ⊆ Dβ . Comme (S*) est consistant alors < a >∼= et K verifie :

(S**) T∪{ϕ1(b, c), ...., ϕn(b, c), ¬φi(b, c) } ∪{ϕ(c) |ϕ ∈ 4(a,A)}

40


Comme Dβ est ultrahomogene on peut completer la suite a par des elements f de telle sortequ’on ait :

{ϕ1(a, f), ...., ϕn(a, f), ¬φi(a, f) }

D’ou (S) possede une solution dans Dβ .

�

Nous nous proposons maintenant de demontrer le theoreme suivant :

Theoreme 3.3.7. Soit T une quasi-variete ayant la PP et la PA dans un langage denombrable.Soit F un modele de T de type fini. Alors on a : F se plonge dans un modele de presentationfinie de T si et seulement si F se plonge dans tous les modeles fortement existentiellement clos etultrahomogenes de T .

On aura besoin de la proposition suivante :

Proposition 3.3.8. Soit T une quasi-variete dans un langage denombrable ayant la PP et laPA. Soit K un ensemble de representants des classes d’isomorphisme de tous les modeles de typefini de T qui se plongent dans un modele de presentation finie de T . Alors K est denombrable etverifie HP, PP, PA, AC.

Demonstration.

(I) K est denombrable.L’ensemble des sous-structures de type fini d’un modele de type fini est denombrable. Donc K

est denombrable.(II) K verifie par definition HP.(III) K verifie PP.Soient A1, A2 ∈ K, alors il existe H1,H2 ∈ K de presentation finie tels que A1 ↪→ H1 et

A2 ↪→ H2. Comme T a la PP alors H1 ↪→ H1 ∗H2 et de meme H2 ↪→ H1 ∗H2 et H1 ∗H2 est depresentation finie. Donc finalement on a A1 ↪→ H1 ∗H2 et A2 ↪→ H1 ∗H2.

(IV) K verifie PA.La demonstration est analogue a la precedente.(V) K verifie AC.Soient F ∈ K et δ(a, x) un ensemble fini de formules atomiques et de negations de formules

atomiques a parametres dans F , possedant une solution dans une extension F1 de F qui est modelede T . Comme F ∈ K alors F se plonge dans un modele de presentation finie H de T . Consideronsle diagramme

F → H

↓F1

41


et appliquons la propriete d’amalgamation. Nous sommes ramener a prouver que si H est unmodele de T et de presentation finie < a, b | w(a, b) > et si δ(a, z) est un ensemble fini de formulesatomiques et de negations de formules atomiques :

{ϕ1(a, z), ...., ϕn(a, z), ¬φ1(a, z),..., ¬φm(a, z) ; ϕi, φj des formules atomiques}

a parametres dans H satisfaisable dans une extension K de H, qui est un modele de T , alorsδ(a, z) est satisfaisable dans une extension H1 de H, de presentation finie, qui est modele de T .

On obtientH1 en prenant le modele de presentation finie< c, d, g | w(c, d), ϕ1(c, g), ...., ϕn(c, g) >.Comme H1 |= w(c, d), il existe un homomorphisme π : H → H1 tels que π(ai) = ci et

π(bi) = di.Comme δ(a, z) est satisfait dans K et comme le plongement de H dans K se factorise a travers

H1, on voit (c’est essentiellement l’adaptation a notre contexte de la remarque de la page 14) queπ est un plongement et que l’on a H1 |= δ(c, g).

�

Demonstration du Theoreme 3.3.7.

Soit M un modele de type fini de T qui se plonge dans un modele de presentation finie de T .Alors il est clair qu’il se plonge dans tous les modeles fortement e.c. de T .

Montrons la reciproque.Montrons qu’il existe un modele D denombrable de T verifiant les proprietes suivantes :(1) D |= T et D ultrahomogene.(2) Si F ⊆ D, avec F de type fini alors F ⊆ P ⊆ D, avec P de presentation finie.Soit K la classe de representants des classes d’isomorphisme de tous les modeles de type fini

de T qui se plongent dans un modele de presentation finie de T . Alors d’apres la proposition 3.3.8,K est denombrable et verifie HP, PP, PA et AC. D’apres la proposition 3.3.4 il existe D modelede T ultrahomogene et e.c. tel que Age(D) = K. Montrons donc la propriete (2).

Soit F =< a >⊆ D, avec F de type fini, alors F ↪→ H avec H de presentation finie et H ∈ K.Donc il existe H ′ ∼= H tel que H ′ ⊆ D. Comme D est ultrahomogene alors, il existe H ′′ ⊆ D etF ⊆ H ′′ et H ′′ ∼= H ′. Donc H ′′ et aussi de presentation finie.

Montrons maintenant que D est fortement existentiellement clos.Soit M tel que D ⊆M et M verifie un systeme de la forme

(S) {ϕ1(x, a), ...., ϕn(x, a), ¬φi(x, a) ; i ∈ ω, ϕi, φj des formules atomiques, a ∈ D,|x| <∞}

Ou a est un uplet fini de parametres de D.D’apres la propriete (2) la sous-structure< a > se plonge dans un modele de T de presentation

finie P =< a, b | W (a, b) > . Il existe d dans M, qui verifie le systeme (S). Donc M verifie lesysteme :

(S*) {ϕ1(d, a), ...., ϕn(d, a), ¬φi(d, a) W (a, b)| i ∈ ω, ϕi, φj des formules atomiques, a ∈ D }Il existe un modele H de T de presentation finie {ϕ1(c, α), ...., ϕn(c, a),W (α, e) }. Montrons

que < a >↪→ H, par l’application a → α. Soit χ une formule atomique telle que < a >|= χ(a),alors χ(a) est une consequence de W (a, b). Comme H |= W (α, e), alors H |= χ(α). Donc a → α

42

3.4. LES MODELES D-FORTEMENT EXISTENTIELLEMENT CLOS. 43

est un homomorphisme. Soit χ atomique telle que < a >|= ¬χ(a), alors (S*)∧¬χ(a) est consistantdonc {ϕ1(c, α), ...., ϕn(c, a),W (α, e) }∧¬χ(a) est aussi consistant d’ou H |= ¬χ(α). On a aussi queH verifie le systeme (S) (en remplacant a par α ).

Comme H est de presentation finie, alors H ↪→ D. Donc il existe H ′ ∼= H tel que H ′ ⊆ D.Comme < a >∼=< α > et D ultrahomogene, il existe H ′′ ⊆ D et < a >⊆ H ′′ et H ′′ ∼= H ′ . CommeH ′′ verifie (S), alors D verifie aussi (S).

Si M est un modele de type fini qui se plonge dans tous les modeles fortement e.c. et ul-trahomogene de T alors il se plonge dans D et par consequent il se plonge dans un modele depresentation finie de T .

�

3.4 Les modeles d-fortement existentiellement clos.

Dans cette section on s’interesse a une generalisation des modeles fortement existentiellementclos.

Definition. Soit M un modele de T . On dit que M est d-fortement existentiellement clos sitout ensemble de formules de la forme

{ϕi(x, a), ¬φi(x, a) ; i ∈ ω, ϕi , φj des formules atomiques, a ∈M ,|a| <∞, |x| <∞}

avec d({ϕi(x, a) : i ∈ ω}) ≤e d, qui possede une solution dans une extension de M, qui estmodele de T , possede une solution dans M.

On suppose qu’il existe au moins un modele de type fini H de T tel que d(H) ≤ d.Alors on a :

Theoreme 3.4.1.

Soit T une quasi-variete recursivement enumerable dans un langage denombrable, ayant la PPet la PA. Soit M un modele de type fini de T alors on a : d(M) ≤e d si et seulement si M seplonge dans tous les modeles d-fortement existentiellement clos de T .

Demonstration.

Si d(M) ≤e d alors il est clair que M se plonge dans tous les modeles d-fortement existentiel-lement clos de T car T a la PP.

Supposons que M se plonge dans tous les modeles d-fortement existentiellement clos de T . SoitJd l’ideal principal engendre par d. Alors d’apres la definition precedente H(Jd) n’est pas vide. Parconsequent d’apres la proposition 3.3.6 il existe un modele D denombrable e.c. et ultrahomogenetel que Age(D) = H(Jd).

Montrons que D est d-fortement existentiellement clos. La demonstration est presque identiquea celle du theoreme 3.3.1. Soit N tel que D ⊆ N et N possede une solution d’un systeme de laforme

43


(S) {ϕi(x, a) ¬φi(x, a) ; i ∈ ω, ϕi, φj des formules atomiques, a ∈ D,|x| <∞}

avec d({ϕi(x, a) : i ∈ ω}) ≤e d et a est un uplet fini de D. Il existe d dans N qui verifie lesysteme (S). Soit A =< a > la structure engendree par a. Donc N verifie le systeme :

(S*) T∪{ϕi(d, a), ¬φi(d, a) ; i ∈ ω }∪{ϕ(a) |ϕ ∈ 4(a,A)}

Comme < a >⊆ D, alors d(A) ≤ d et comme d({ϕi(x, a) : i ∈ ω}) ≤e d, alors

d({ϕi(d, a) : i ∈ ω} ∪ {ϕ(a) |ϕ ∈ 4+(a,A)})≤ed

Soit K le modele de T presente par {ϕi(b, c) : i ∈ ω} ∪ {ϕ(c) |ϕ ∈ 4+(a,A)}. Alors K ⊆ D.Comme (S*) est consistant alors < a >∼=< c > et K verifie :

(S**) T∪{ϕi(b, c), ¬φi(b, c) ; i ∈ ω }∪{ϕ(c) |ϕ ∈ 4(a,A)}

Comme D est ultrahomogene on peut completer la suite a par des elements f de telle sortequ’on ait :

{ϕi(f, a), ¬φi(f, a) ; i ∈ ω }∪{ϕ(a) |ϕ ∈ 4(a,A)}

D’ou (S) possede une solution dans D.Comme M se plonge dans tous les modeles d-fortement e.c., alors M se plonge dans D et par

consequent d(M) ≤e d.

�

3.5 Les groupes fortement existentiellement clos

Nous revenons maintenant sur les groupes fortement e.c. Donnons tout de suite le resultatannonce dans l’introduction de ce chapitre. La combinaison du theoreme de plongement de Higmanet du theoreme 3.3.7 donne :

Proposition 3.5.1. Soit G un groupe de type fini, alors on a :G est recursivement presente si et seulement si il se plonge dans tous les groupes fortement

e.c.

Demonstration Les groupes e.c. sont ultrahomogenes.

�

Definition. Soient G et H deux groupes de type fini avec G ≤ H. On dit que H est finiment

presente au-dessus de G si H possede une presentation qui peut s’obtenir en ajoutant un nombrefini de relations a celle de G.

44

3.5. LES GROUPES FORTEMENT EXISTENTIELLEMENT CLOS 45

Proposition 3.5.2. Soit G un groupe, les assertions suivantes sont equivalentes :(1) G est fortement e.c.(2) G est d-fortement e.c. ou d designe la classe des ensembles recursivement enumerable par

rapport a la relation ≡e.(3) Tout diagramme de la forme :

A → P

↓G

avec A de type fini, P finiment presente au-dessus de G, et les fleches designent des plonge-ments, peut etre complete de la facon suivante :

A → P

↓ ↙G

ou la nouvelle fleche designe aussi un plongement.

Demonstration.

(1)⇒(2). Soit G un groupe fortement e.c. Soit a une suite finie d’elements de G. Soit (S) unsysteme de la forme

{ϕi(x, a), ¬φj(x, a) ; i, j ∈ ω , ϕi , φj des formules atomique, |x| <∞},

avec {ϕi(x, a) : i ∈ ω} recursivement enumerable, ayant une solution dans une extension de G.Soit A =< a >. Soit R le groupe engendre par b, d et de presentation

{ϕi(d, b) | i ∈ ω }∪{ϕ(b) | ϕ ∈ 4+(a,A)

}Comme le systeme suivant

{ϕi(d, b) , ¬φj(d, b)| i, j ∈ ω }∪{ϕ(b) | ϕ ∈ 4(a,A)

}est consistant alors l’homomorphisme f canonique de A dans B =, qui verifie f(ai) = bi,

est un plongement et R |= ¬φj(d, b), pour tout j ∈ ω.On va utiliser la version generale du theoreme de plongement de Higman. (voir [11] p. 71 ou

[21] p. 145).Comme {ϕi(x, a) : i ∈ ω} est recursivement enumerable, d’apres ce theoreme R est un sous-

groupe d’une groupe F de type fini engendre par b, d, g et ayant une presentation de la forme{υi(d, b, g) | i = 1, ..., n

}∪

{ϕ(b) | ϕ ∈ 4(a,A)

}Soit M = G∗A,B F . Alors on voit que M |= υi(d, a, g), i = 1, ..., n, et M |= ¬φj(d, a) pour tout

j ∈ ω.Comme G est fortement e.c., il existe dans G des suites d’elements h, k telles que G verifie{

υi(h, a, k) | i = 1, ..., n}∪

{¬φj(h, a) | j ∈ ω

}45


Comme

Tgp∪{υi(d, b, g) | i = 1, ..., n

}∪

{ϕ(b) | ϕ ∈ 4(a,A)

}` ϕi(d, b), pour tout i ∈ ω

alors G |= ϕi(h, a) et par consequent le systeme (S) a une solution dans G.(2)⇒(1) : il n’y a rien a demontrer.(1)⇒(3). Soient A un groupe de type fini et P un groupe finiment presente au-dessus de G

tels queA → P

↓G

Posons A =< a > et P =< a, b | {ϕ(a) | ϕ ∈ 4+(a,A)}∪W (a, b) > ou W (a, b) est un ensemblefini de relations. Soit M = G ∗A P . Alors M verifie le systeme

W (a, b) ∪{v(a, b) 6= e | v(a, b) 6= e ∈ 4−(a b, P )

}Comme G est fortement e.c., alors G a une suite finie d’elements d telle que G verifie

W (a, d) ∪{v(a, d) 6= e | v(a, d) 6= e ∈ 4−(a b, P )

}Par consequent il existe un plongement canonique f de P dans < a, d > tel que f(ai) = ai.(3)⇒(1). La demonstration est simple et est laissee au lecteur.

�

3.6 Remarques

(1) La proposition 3.2.2 suggere le probleme suivant :

Probleme. La classe des groupes de type fini ayant un probleme des mots resoluble a-t-elle lapropriete d’amalgamation ?

L’exemple suivant montre qu’il faut se restreindre au cas ou le sous-groupe amalgame estde type fini : soient < a, b | > et < c, d | > deux copies du groupe libre F2. Soient X,Y deuxensembles recursivement enumerables et creatifs (pour la definition voir [11]). Soit A le sous-groupeengendre par

{a−ibai, a−jb2aj |i ∈ X, j ∈ Y

}dans < a, b | > et soit B le sous-groupe engendre

par{c−idci, c−jdcj |i ∈ X, j ∈ Y

}dans < c, d | >. Alors on voit que les ensembles precedents

sont des bases de groupe libre. Soit K =< a, b | > ∗A,B < c, d | >. S’il existe un groupe quiamalgame < a, b | > et < c, d | > au-dessus de A et B ayant un probleme des mots resoluble, alorsil existerait un sous-groupe normal N de K tel que K/N ait un probleme des mots resoluble ettel que N∩ < a, b >= N∩ < c, d >= {e}. Soit R =

{k

∣∣a−kbak = c−kdck dans K/N}. Alors on

voit que X ⊆ R. Soit l ∈ Y ∩R, alors on a :

a−lbal = c−ldcl

a−lb2al = c−ldcl

46

3.6. REMARQUES 47

dans K/N . Il en resulte que b appartient a N , ce qui est une contradiction. D’ou Y ∩R = Ø.CommeK/N a un probleme des mots resoluble il est clair que R est recursif. Mais cela contredit

le fait que X,Y sont creatifs.Par consequent tout quotient de K a un probleme des mots non resoluble.(2) Dans [5], O.Belegradek a pose le probleme suivant : si V est une variete de groupes telle

que tous ses groupes qui ont (*) sont fini, est-il vrai que tout groupe finiment presente dans V estresiduellement fini ?

Observons, a ce sujet, le fait suivant : tout groupe finiment presente dans V est residuellementfini si et seulement si V possede un groupe V-e.c. localement fini. (µ).

On peut demontrer cette propriete en utilisant le corollaire 2.4 dans [16] et le fait que toutmodele generique dans ce cas est e.c.

On a la proposition plus generale suivante :

Proposition 3.6.1. Soit T une theorie universelle ayant la PP dans un langage denombrable.Alors les proprietes suivantes sont equivalentes :

(1) Tout enonce existentiel consistant avec T est vrai dans un modele de Σ0(T ).(2) T a un modele e.c. tel que toutes ses sous-structures de type fini sont dans Σ0(T ).

Demonstration.

(1)⇒(2). Cela decoule de la remarque qui suit la demonstration de la proposition 3.2.2.(2)⇒(1). Cela decoule de ce que T a la PP.

�

La propriete (µ) decoule de la proposition 3.6.1 de la facon suivante : si tout groupe finimentpresente dans V est residuellement fini alors tout enonce existentiel consistant avec V est vrai dansun groupe fini de V. Par consequent les groupes de type fini de V qui se plongent dans tous lesgroupes V-e.c. sont finis. Comme V est close par produit cartesien V a la PP et par consequent lesgroupes finis de V se plongent dans tous les groupes V-e.c. Il en resulte que la classe des groupesde type fini de V qui se plongent dans tous les groupes V-e.c. est la classe des groupes finis de V.D’ou d’apres la proposition 3.6.1 il existe un groupe V-e.c. localement fini.

Si V possede un groupe V-e.c. localement fini G, comme V a la PP, alors tout enonce existentielconsistant avec V est vrai dans G et donc tout enonce existentiel consistant avec V est vrai dansun groupe fini de V.

47


48

Chapitre 4

Les proprietes de la classe∑

(Tgp).

Ce chapitre contient 4 sections. Dans la premiere section nous etudions les groupes de type finiayant un probleme des mots resoluble et nous donnons quelques nouvelles proprietes. La secondesection est consacree a l’etude des groupes qui se plongent dans tous les groupes e.c., en fait onetudie une classe plus generale definie plus bas et les groupes e.c. de cette classe. Nous donnonsquelques proprietes des modeles e.c. de cette classe et montrons qu’ils sont simples et ressemblentaux groupes e.c. habituels.

Quelques proprietes des groupes ayant P sont donnees dans la section 3. Dans la section 4 nousetudions les groupes ayant P relativement a la theorie des groupes commutatifs. Nous caracterisonssimplement ces groupes.

Dans ce chapitre theorie signifie theorie de groupes dans le langage des groupes.

4.1 Les groupes de type fini

Le but de cette section est de demontrer le theoreme suivant :

Theoreme 4.1.1. Soit G un groupe de type fini. Les proprietes suivantes sont equivalentes :(1) G a un probleme des mots resoluble.(2) G se plonge dans tous les groupes e.c.(3) G a la propriete (*).(4) G a la propriete (**).(5) Il existe une formule ψ (pas necessairement existentielle) consistante avec la theorie des

groupes telle que G se plonge dans tout groupe qui verifie ψ.(6) Il existe un groupe de presentation finie H SQ-universel1 et ayant un probleme des mots

resoluble tel que G se plonge dans tout quotient non trivial de H.(7) Il existe un groupe denombrable K recursivement presente tel que G se plonge dans tout

quotient non trivial de K.(8) Il existe un groupe de presentation finie H verifiant les proprietes suivantes :

1Rappelons qu’un groupe G est dit SQ-universel si tout groupe denombrable se plonge dans un quotient de G.

49

50 CHAPITRE 4. LES PROPRIETES DE LA CLASSE∑

(TGP ).

il existe un plongement ϕ : G ↪→ H, une suite finie (αi)i=1,...,n, αi 6= e, d’elements de H

verifiant : pour tout groupe X pour tout homomorphisme φ : H → X, s’il existe a ∈ G, a 6= e, telque φϕ(a)=e, alors il existe i0 tel que φ(αi0) = e.

(9) Il existe un groupe de presentation finie H verifiant les proprietes suivantes :il existe un plongement ϕ : G ↪→ H, une suite (αi)i∈ω recursivement enumerable, αi 6= e,

d’elements de H verifiant : pour tout groupe X, pour tout homomorphisme φ : H → X, s’il existea ∈ G, a 6= e tel que φϕ(a)=e, alors il existe i0 tel que φ(αi0) = e.

Bien sur l’equivalence (1) ⇐⇒ (2) n’est rien d’autre que le theoreme de Neumann-Macintyre.Pour commencer nous allons etudier la satisfaction des theories existentielles dans les groupes

de presentation finie. Les resultats obtenus sont intrinsequement interessants et seront utilises pouretablir que la condition (1) entraıne la condition (6).

4.1.1 Satisfaction des theories existentielles dans les groupes de presentation

finie

On demontre facilement, et nous avons deja utilise le fait, vrai dans toutes les quasi-variete,que pour toute formule existentielle consistante ψ il existe un groupe de presentation finie H telque ψ est vraie dans H. Dans le cas des groupes on a un resultat plus fort :

Theoreme 4.1.1.1. Pour toute theorie existentielle Γ consistante et recursivement enumerableil existe un groupe de presentation finie H, SQ-universel, tel que Γ est vraie dans tout quotientnon trivial de H.

La demonstration se base sur les 8 lemmes suivants :

Lemme 4.1.1.2. Pour tout groupe G et pour toute suite d’elements αi, i = 1, ..., n de G et toutelement g de G, les deux propositions suivantes sont equivalentes :

(1) G |=∧i=1,...,n αi = e =⇒ g = e).

(2) Les equations t−1i αitiz

−1i αizi = g sont resolubles dans une extension de G.

Demonstration.

(1)⇒(2). Par recurrence sur n. Pour n = 1, le lemme n’est rien d’autre que le lemme 1.5 page4, du livre de Higman-Scott Existentially closed groups [11].

Pour n + 1, les equations t−1i αitiz

−1i αizi = g, i = 1, ..., n, sont resoluble dans une extension

Gn de G. Le groupe Gn verifie aussi (αn+1 = e =⇒ g = e), donc d’apres le cas n = 1 l’equationt−1n+1αn+1tn+1z

−1n+1αn+1zn+1 = g est resoluble dans une extension de Gn donc de G.

(2)⇒(1). Evidente.

�

50

4.1. LES GROUPES DE TYPE FINI 51

Lemme 4.1.1.3. Soit Γ une theorie existentielle consistante et recursivement enumerable. Alorsil existe une theorie Γ∗ recursivement enumerable consistante et existentielle primitive telleque Tgp ∪ {Γ∗} ` Γ.

Demonstration.

Soit Γ = {ψi | i ∈ ω}. Il est clair qu’on peut determiner de maniere effective une forme normaledisjonctive de ψi. Comme Γ est r.e, l’ensemble Γ0 =

{ψ0i | i ∈ ω

}est aussi r.e, ou ψ0

i est une formenormale disjonctive de ψi. On a aussi Tgp ` Γ0 ⇐⇒ Γ.

L’idee de la demonstration sera claire a travers un exemple simple. Supposons que ψ est de laforme :

(w1(x) = e ∧ v1(x) 6= e)∨

(w2(y) = e ∧ v2(y) 6= e)

Ou wi et vi sont des mots. On introduit des nouvelles variables t1, z1, y1 et t2, z2, y2 et onconsidere la formule ψ∗

(w1(x) = e ∧ t−11 v1t1z

−11 v1z1 = y1) ∧ (w2(y) = e ∧ t−1

2 v2t2z−12 v2z2 = y2) ∧ (y1.y2 6= e)

Alors on voit que ψ∗ est primitive. Nous laissons au lecteur le soin de verifier que ψ∗ estconsistante et que Tgp ` ψ∗ ⇒ ψ.

Revenons au cas general.On peut ecrire ψ0

i comme suit :

ψ0i =

∨j=1,...,ni

∃xi,j [∧

w∈W ij

w(xi,j) = e ∧∧

k=1,...,pij

vi,j,k(xi,j) 6= e]

On peut supposer sans perte de generalite que xi,j ∩ xi,l = Ø, pour j 6= l et j, l ∈ {1, ..., ni}.S’il existe j tel que le morceau

∧k=1,...,pij

vi,j,k(xi,j) 6= e ne figure pas alors on poseψ∗i = ∃x(x = x).Sinon soient

(yi,j , j = 1, ..., ni),

(ti,j,k , j = 1, ..., ni , k = 1, ..., pij),

(zi,j,k , j = 1, ..., ni , k = 1, ..., pij)

des suites de nouvelles variables. Soit :

ϕi,j(xi,j) = [∧

w∈W ij

w(xi,j) = e ∧∧

k=1,,...,pij

t−1i,j,kvi,j,kti,j,kz

−1i,j,kvi,j,kzi,j,k = yi,j ]

Et soit :

ψ∗i = ∃j=1,...,nixi,j∃j=1,...,ni;k=1,...,pij ti,j,k∃j=1,...,ni;k=1,...,pijzi,j,k[∧

j=1,...,ni

ϕi,j(xi,j)∧yi,1...yi,ni 6= e]

Alors ψ∗i est existentielle primitive. Comme Γ0 est r.e, alors la theorie Γ∗ = {ψ∗i | i ∈ ω} estaussi r.e. Il suffit de montrer que Γ∗ est consistante et que Tgp ` ψ∗i ⇒ ψ0

i . Comme Tgp a la PP,pour montrer que Γ∗ est consistante il suffit de montrer que pour tout i, ψi est consistante.

51


(TGP ).

Comme ψ0i est consistante il existe un groupe G |= ψ0

i . Par consequent il existe j0 et a ∈ G

tels que :G |=

∧w∈W i

j0

w(a) = e ∧∧

k=1,...,pij0

vi,j0,k(a) 6= e

Soit g ∈ G tel que g 6= e. D’apres le lemme 4.1.1.2, il existe une extension H de G telle que :

H |=∧

k=1,pij0

t−1i,j0,k

vi,j0,k(a)ti,j0,kz−1i,j0,k

vi,j0,k(a)zi,j0,k = g

Donc on a :H |= ϕi,j0(a)

Si on pose : xi,j0 = a, yi,j0 = g , et xi,j = ti,j,k = zi,j,k = yi,j = e pour j 6= j0, alors on voitque H |= ψ∗i .

Montrons maintenant que Tgp ` ψ∗i ⇒ ψ0i . Soit G |= ψ∗i . Donc il existe yi,j0 ∈ G tel que

yi,j0 6= e et aussi xi,j0 ∈ G tel que G |=∧w∈W i

j0w(xi,j0) = e. D’apres le lemme 4.1.1.2, on a

finalement :G |=

∧w∈W i

j0

w(xi,j0) = e ∧∧

k=1,...,pij0

vi,j0,k(xi,j0) 6= e

Donc G |= ψ0i .

�

Lemme 4.1.1.4. Soit Γ une theorie existentielle primitive consistante et recursivement enumerable.Alors il existe une formule existentielle ψ consistante telle que Tgp ∪ {ψ} ` Γ.

Demonstration. Soit Γ = {ψi | i ∈ ω}. On peut ecrire ψi comme suit :

ψi = ∃xi[∧

w∈Wi

w(xi) = e ∧∧

k=1,...,pi

vi,k(xi) 6= e]

On peut supposer sans perte de generalite que xi ∩ xj = Ø, pour j 6= i.Soient y, (ti,k , k = 1, ..., pi), (zi,k , k = 1, ..., pi) des suites de nouvelles variables. Soit :

ϕi(xi, y, ti,1, ..., ti,pi , zi,1, ..., zi,pi) = [∧

w∈Wi

w(xi) = e ∧∧

k=1,...,pi

t−1i,kvi,kti,kz

−1i,k vi,kzi,k = y]

Et soit :P = {ϕi(xi, y, ti,1, ..., ti,pi , zi,1, ..., zi,pi) | i ∈ ω}

Comme Γ est r.e, alors P est r.e . Il est clair que P ∧ y 6= e est consistante. Soit G le groupepresente par P . D’apres le theoreme de Higman G se plonge dans un groupe H de presentationfinie V (a). Donc y ∈ H, donc soit y = w0(a). Soit ψ=∃x(V (x) ∧ w0(x) 6= e), alors il est clair queTgp ∪ {ψ} ` Γ.

�

52


Lemme 4.1.1.5. (Voir par exemple Combinatorial group theory [17])Soient G1, G2 deux groupes, A ≤ G1, B ≤ G2, avec φ : A ∼= B . Si les conditions suivantes,

sont satisfaites :(1) G1 et G2 ont un probleme des mots resoluble.(2) A (resp. B) a un probleme generalise des mots resoluble dans G1(resp. G2) .(3) φ et φ−1 sont calculables.Alors le groupe G1 ∗A,B G2 a un probleme des mots resoluble.

Les demonstrations des deux lemmes qui suivent sont semblables. Le lecteur presse pourra allerdirectement au lemme 4.1.1.7.

Lemme 4.1.1.6. Soit F2 le groupe libre de rang 2 et de base {b, c}. Soit C le groupe engendrepar : b, c−1b−1cbc, c−2b−1cbc2, c−3bc3, c−(3+i)bc(3+i), i ∈ N∗.

Alors C est libre sur les generateurs indiques et C a un probleme generalise des mots resolubledans F2.

Demonstration.

Posons X ={b, c−1b−1cbc, c−2b−1cbc2, c−3bc3, c−(3+i)bc(3+i), i ∈ N∗

}. Pour chaque x ∈F2,

soit |x| la longueur de x par rapport a la base {b, c} (la longueur de la suite reduite qui representex). On dit d’une suite (x1, ..., xn) de X ∪ X−1 qu’elle est X-reduite si elle verifie xixi+1 6= e,xi 6= e. Alors on voit que X verifie : si (x1, x2) est X-reduite alors |x1x2| > |x1| , |x2|. Celaimplique, en utilisant les resultats de [18], que si (x1, ..., xn) est X-reduite, alors |x1...xn| ≥ |xi| et|x1...xn| =

∑i=1,n |xi|−2

∑i=1,n−1 d(xi, x

−1i+1), ou d(x, y) = 1

2 (|x|+ |y|−∣∣xy−1

∣∣). D’ou finalementon a les proprietes :

|x1...xn| ≥ |xi| , |x1...xn| ≥ n

Par consequent si (x1, ..., xn) est une suite X-reduite, alors x1...xn 6= e. Donc C est libre debase X.

On a : si w ∈< X >, alors il existe une suite X-reduite (x1, ..., xn) telle que w = x1...xn

et avec n ≤ |w| et |xi| ≤ |w|. On voit que la fonction w 7→ |w| est calculable et que l’ensemble{x ∈ X ∪X−1 | |x| ≤ |w|

}est fini. Par consequent pour savoir si w ∈< X > ou non, on calcule

|w| et toutes les suites (x1, ..., xn) X-reduites qui verifient |xi| ≤ |w| et n ≤ |w| et on regarde s’ilen existe une telle que son produit est egal a w. S’il y en a une alors w ∈< X >, sinon w /∈< X >.

�

Lemme 4.1.1.7. Soit K un groupe denombrable engendre par {xi | i ∈ N∗}. Supposons que Ka un probleme des mots resoluble par rapport au systeme {xi | i ∈ N∗}. Soit F2 le groupe libre derang 2 et de base {a, b}. Soit M =K ∗ F2 et soit w ∈ K non trivial. Considerons le groupe Aengendre par b , a−1ba, a−2b−1aba2, a−3[w, b]a3, a−(3+i)xiba

(3+i) i ∈ N∗.Alors A est libre sur les generateurs indiques et A a un probleme generalise des mots resoluble

dans M .

53


(TGP ).

Demonstration.

La demonstration est presque identique a celle du lemme precedent.Posons X =

{b, a−1ba, a−2b−1aba2, a−3[w, b]a3, a−(3+i)xiba

(3+i) i ∈ N∗}.

Pour chaque x ∈M , soit |x| la longueur de x par rapport a la structure du produit libre de M(la longueur de la suite reduite qui represente x). On dit d’une suite (x1, ..., xn) de X∪X−1 qu’elleest X-reduite si elle verifie xixi+1 6= e, xi 6= e. Alors, comme dans le lemme precedent, il n’est pastres difficile de voir que X verifie : si (x1, x2) est X-reduite alors |x1x2| > |x1| , |x2|. Cela implique,en utilisant toujours les resultats de [18], que si (x1, ..., xn) est X−reduite, alors |x1...xn| ≥ |xi| et|x1...xn| =

∑i=1,n |xi|−2

∑i=1,n−1 d(xi, x

−1i+1), ou d(x, y) = 1

2 (|x|+ |y|−∣∣xy−1

∣∣). D’ou finalementon a les proprietes principales suivantes :

|x1...xn| ≥ |xi| , |x1...xn| ≥ n

Par consequent si (x1, ..., xn) est une suite X-reduite, alors x1...xn 6= e. Donc A est libre debase X.

On a : si w ∈< X >, alors il existe une suite X-reduite (x1, ..., xn) telle que w = x1...xn etavec n ≤ |w| et |xi| ≤ |w|. On voit que la fonction w 7→ |w| est calculable car M a un probleme desmots resoluble, et que l’ensemble

{x ∈ X ∪X−1 | |x| ≤ |w|

}est fini. Par consequent pour savoir si

w ∈< X > ou non, on calcule |w| et toutes les suites (x1, ..., xn) X-reduites qui verifient |xi| ≤ |w|et n ≤ |w| et on regarde s’il en existe une telle que son produit est egale a w (cela est possibleaussi car M a un probleme des mots resoluble). S’il y en a une alors w ∈< X >, sinon w /∈< X >.

�

On trouve, pour l’essentiel, le lemme suivant dans C.F.Miller III Decision problems for groups-survey and reflections [23] (Main Technical Lemma). On le redemontre ici car les proprietes (3)et (5) ne sont pas explicites dans [24].

Lemme 4.1.1.8. Soit K un groupe denombrable avec K =< x1, x2, ..... | R1 = e,R2 = e, ...... >.Pour tout mot w ecrit en fonction des generateurs x1, x2, ... le groupe L(K,w) qui a comme systemede generateurs x1, x2, ...;a, b, c et comme presentation la presentation de K et les relations :

a−1ba = c−1b−1cbc

a−2b−1aba2 = c−2b−1cbc2

a−3[w, b]a3 = c−3bc3

a−(3+i)xiba(3+i) = c−(3+i)bc(3+i), i = 1, 2, ...

verifie les proprietes suivantes :

(1) Si K |= w 6= e alors K se plonge dans L(K,w) par xi −→xi.(2) La cloture normale de w dans L(K,w) est tout L(K,w) ; en particulier si L(K,w) |= w = e

alors L(K,w) ∼= 1.

54


(3) Si K |= w 6= e alors : soit B un sous-groupe distingue de K tel que w /∈ B, et soit N(B)le sous-groupe distingue engendre par B dans L(K,w), alors on a L(K/B,w) ∼= L(K,w)/N(B).

(4) L(K,w) est engendre par b, ca−1.(5) Si K a un probleme des mots resoluble par rapport au systeme de generateur x1, x2, ... alors

L(K,w) a un probleme des mots resoluble.

Demonstration.

Soit F2 le groupe libre de base {b, c}. Soit C le groupe engendre par : b, c−1b−1cbc, c−2b−1cbc2,c−3bc3, c−(3+i)bc(3+i), i = 1, 2, ..

D’apres le lemme 4.1.1.6, C est un groupe libre ayant comme base l’ensemble des generateursprecedents.

D’une maniere similaire, dans le produit libre K∗ < a, b |>, considerons le groupe A engendrepar b , a−1ba, a−2b−1aba2, a−3[w, b]a3, a−(3+i)xiba

(3+i) i = 1, 2, ...Comme w 6= e, d’apres le lemme 4.1.1.7A est libre ayant comme base l’ensemble des generateurs

precedents.Par consequent la presentation exhibee dans le lemme n’est rien d’autre que la presentation du

produit amalgame : (K∗ < a, b |> ∗A=C < b, c |>) . Donc si K |= w 6= e alors K se plonge dansL(K,w) par xi −→xi. Cela prouve l’assertion (1).

Soit Nw la cloture normale de w dans L(K,w). On a [w, b] ∈ Nw, donc par la relationa−3[w, b]a3 = c−3bc3, on a b ∈ Nw. Les relations a−1ba = c−1b−1cbc, a−2b−1aba2 = c−2b−1cbc2,nous montrent que a, c ∈ Nw. Finalement les relations a−(3+i)xiba

(3+i) = c−(3+i)bc(3+i), i = 1, 2, ..., nous montrent que xi ∈ Nw. Donc Nw = L(K,w). Cela prouve l’assertion (2).

SoitB un sous-groupe distingue deK tel que w /∈ B. Alors L(K,w)/N(B) a comme presentationla presentation de L(K,w) union l’ensemble {b = e | b ∈ B}, qui est une presentation du groupeL(K/B,w). Donc L(K/B,w) ∼= L(K,w)/N(B). Cela prouve l’assertion (3).

Soit M le sous-groupe engendre par b, ca−1. La relation a−1ba = c−1b−1cbc peut etre ecritesous la forme b(ca−1)b(ca−1)−1b−1 = c donc c ∈M . Comme ca−1 ∈M , on deduit a ∈M . Commeles xi s’ecrivent en fonction de a, b, c on voit que M = L(K,w). Cela prouve l’assertion (4).

Si K a un probleme des mots resoluble par rapport au systeme de generateur x1, x2, ... alorsd’apres le lemme 4.1.1.7, A a un probleme generalise des mots resoluble dans K∗ < a, b | >.D’apres le lemme 4.1.1.6, C a un probleme generalise des mots resoluble dans F2. D’ou d’apres lelemme 4.1.1.5, L(K,w) a un probleme des mots resoluble. Cela prouve l’assertion (5).

�

Lemme 4.1.1.9. Pour toute formule existentielle ψ consistante il existe un groupe de presentationfinie H, SQ-universel, tel que ψ est vraie dans tout quotient non trivial de H. Si ψ est vraie dansun groupe ayant un probleme des mots resoluble alors on peut choisir H ayant un probleme desmots resoluble.

55


(TGP ).

Demonstration.

Soit ψ une formule existentielle consistante. On peut supposer sans perte de generalite que ψest primitive. Posons ψ ≡

∧i=1,...,m pi(x1, ..., xn) = e ∧

∧i=1,...,r αi(x1, ..., xn) 6= e.

Soit M =< x1, ..., xn | pi(x1, ..., xn) = e, i = 1, ...,m >. Soit w0 ∈ M non trivial. On aM |=

∧i=1,...,r αi(x1, ..., xn) 6= e. D’apres le lemme 4.1.1.2, les equations t−1

i αitiz−1i αizi = w0 sont

resolubles dans une extension de M . Soit M0 le groupe qui a comme generateurs x1, ..., xn, ti, zi,i = 1, ..., r et comme presentation :

pi(x1, ..., xn) = e, i = 1, ...,m, t−1j αjtjz

−1j αjzj = w0, j = 1, ..., r

Il est clair que M se plonge dans M0 et par consequent M0 |= ψ. Soit K = M0 × F2 ou F2 estle groupe libre de rang 2.

On applique la construction du lemme 4.1.1.8 au groupe K qui est de type fini et on obtientun groupe L(K,w0) de presentation finie dans lequel K se plonge. La cloture normale de w0

dans L(K,w0) est tout L(K,w0). Montrons que L(K,w0) verifie la propriete voulue. Soit N unsous-groupe distingue propre de L(K,w0). On a w0 /∈ N , par consequent αi 6= e, i = 1, ..., r.Donc L(K,w0)/N |= ψ. Montrons maintenant que L(K,w0) est SQ-universel. Soit G un groupedenombrable, comme F2 est SQ-universel, alors il existe un groupe distingue B de F2 tel que Gse plonge dans F2/B. On voit que w0 /∈ B, et que B est distingue dans K. D’apres le lemme4.1.1.8, on a L(K/B,w0) ∼= L(K,w0)/N(B). Comme K/B se plonge dans L(K/B,w0) et commeK/B = M0×(F2/B), le groupe G se plonge dans L(K/B,w0) et donc G se plonge dans un quotientde L(K,w0).

Si ψ est vraie dans un groupe ayant un probleme des mots resoluble G, alors d’apres letheoreme de Boone-Higman G ↪→ S ↪→ H, avec S simple et H de presentation finie. Soit W (x)une presentation finie de H et α(x) ∈ S avec α(x) 6= e.

Alors on voit que Tgp ` ∃x(W (x)∧α(x) 6= e) ⇒ ψ. Soit K = H×F2. De la meme facon on voitque L(K,α(x)) verifie les proprietes voulues et d’apres le lemme 4.1.1.8 L(K,α(x)) a un problemedes mots resoluble.

�

Demonstration du Theoreme 4.1.1.1.

Soit Γ une theorie existentielle consistante et recursivement enumerable. D’apres le lemme4.1.1.3, il existe une theorie Γ∗ consistante et existentielle primitive et recursivement enumerabletelle que Tgp ∪{Γ∗} ` Γ. D’apres le lemme 4.1.1.4, il existe une formule existentielle ψ consistantetelle que Tgp ∪ {ψ} ` Γ∗, par consequent Tgp ∪ {ψ} ` Γ. D’apres le lemme 4.1.1.9, il existe ungroupe de presentation finie H, SQ-universel, tel que ψ est vraie dans tout quotient non trivial deH. Par consequent Γ est vraie dans tout quotient non trivial de H.

�

56


Demonstration du Theoreme 4.1.1. Le schema de la demonstration est le suivant :

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (1) ⇒ (6) ⇒ (7) ⇒ (1) ⇒ (8) ⇒ (9) ⇒ (1)

(1)⇒(2). (Theoreme de Neumann)(2)⇒(3). Decoule du theoreme 3.2.1.(3)⇒(4). Evidente.(4)⇒(5). Evidente.(5)⇒(1). Soit Γ = Tgp ∪ {ψ}. Posons G =< a1, .., an >, alors tout modele denombrable de Γ

realise 4(a1, .., an, G).D’apres le theoreme classique d’omission des types, il existe une formule χ(x1, .., xn) telle

que Γ ∪ {∃x1, .., xnχ(x1, ..., xn)} est consistante et Γ |= χ(x1, .., xn) ⇒ ϕ(x1, ..., xn), pour toutϕ ∈ 4(a1, .., an, G). Donc Γ∪{χ(c1, ..., cn} ` ϕ(c1, ..., cn) ou Γ∪{χ(c1, ..., cn} ` ¬ϕ(c1, ..., cn), pourtout ϕ ∈ 4+(a1, .., an, G). Comme Γ∪{χ(c1, ..., cn} est une theorie recursive, alors 4(a1, .., an, G)est recursif. Donc G a un probleme des mots resoluble.

(1)⇒(6). Avec la meme methode que celle utilisee a la fin de la demonstration du lemme4.1.1.9, il existe une formule existentielle ϕ vraie dans un groupe ayant un probleme des motsresoluble telle que G se plonge dans tout groupe qui verifie ϕ. D’apres le lemme 4.1.1.9, il existeun groupe de presentation finie SQ-universel ayant un probleme des mots resoluble tel que ϕ estvraie dans tout quotient non trivial de H. Par consequent G se plonge dans tout quotient nontrivial de H.

(6)⇒(7). Evidente.(7)⇒(1). Posons G =< a1, .., an >. Soit P (xi | i ∈ ω) une presentation recursivement

enumerable de K avec x1 6= e. Alors on voit que G se plonge dans tout modele denombrablede la theorie Γ = T ∪ {P (xi | i ∈ ω)} ∪ {x1 6= e}. Par consequent d’apres le theoreme d’omissiondes types classique il existe une formule χ(x1, .., xn) telle que Γ ∪ {∃x1, .., xnχ(x1, ..., xn)} estconsistante et Γ |= χ(x1, .., xn) ⇒ ϕ(x1, ..., xn), pour tout ϕ ∈ 4(a1, .., an, G). Donc

Γ ∪ {χ(c1, ..., cn} ` ϕ(c1, ..., cn) ou Γ ∪ {χ(c1, ..., cn} ` ¬ϕ(c1, ..., cn), pour toutϕ ∈ 4+(a1, .., an, G)

Comme Γ ∪ {χ(c1, ..., cn)} est une theorie recursivement enumerable, alors 4(a1, .., an, G) estrecursif. Par consequent G a un probleme des mots resoluble.

(1)⇒(8). On a (1) ⇒ (2), par consequent d’apres le theoreme 3.2.1, on a (1)⇒(8).(8)⇒(9). Evidente.(9)⇒(1). Soit H =< a | w(a) >, on peut supposer sans perte de generalite que G ⊆ H. Soit

αi = wi(a) et supposons que G =< b1, ..., bn > avec bi = ti(a). Il suffit alors de montrer quel’ensemble des mots s(v1, ..., vn) tels que s(b1, ..., bn) est distinct de e dans G est recursivementenumerable. Or s(b1, ..., bn) 6= e dans G si et seulement si dans le groupe finiment presente obtenuen adjoignant a la presentation de H la relation s(t1(a), ..., tn(a)) = e l’un des wi(a) vaut e.

�

Remarque. Le theoreme 4.1.1 reste vrai si on supprime de la condition (6) les mots ” SQ-universel” et ” ayant un probleme des mots resoluble”.

57


(TGP ).

4.1.2 Remarques

(I) On ne peut pas supprimer la condition “Γest recursivement enumerable “ dans le theoreme4.1.1.1. En effet, soit Γ l’ensemble des formules existentielles consistantes. Supposons qu’il existeun groupe H de presentation finie W (a), a = (a1, ..., an), tel que Γ est vraie dans tout quotientnon trivial de H. Alors la formule ψ = ∃a(W (a) ∧ (a1 6= e ∨ ... ∨ an 6= e)) verifie Tgp ∪ {ψ} ` Γ,par consequent Γ serait recursivement enumerable et cela contredit la proposition 1.3.2.

(II) Dans [14], B.M.Hurley a demontre le theoreme suivant : soit G un groupe de type finirecursivement presente, alors G a un probleme des mots resoluble si et seulement si il existe ungroupe de presentation finie H tel que G se plonge dans tout quotient simple non trivial de H.

En lisant la demonstration on decouvre que B.M.Hurley a demontre les deux proprietes sui-vantes

(i) Si G a un probleme des mots resoluble alors il existe un groupe de presentation finie H telque G se plonge dans tout quotient non trivial de H.

(ii) Si G =< a > et s’il existe un groupe de presentation finie H tel que G se plonge dans toutquotient simple non trivial de H, alors 4−(a,G) est recursivement enumerable ou 4−(a,G) estl’ensemble {w(x1, ..., xn) | G |= w(a1, ..., an) 6= e}.

Pour demontrer la propriete (i), Hurley utilise la theorie des petites simplifications. (SmallCancellation Theory).

Nous avons obtenu une autre demonstration de cette propriete. (cf. la remarque a la fin dela demonstration du theoreme 4.1.1). Aussi, on a pu ajouter a la conclusion que le groupe depresentation finie en question a un probleme des mots resoluble.

B.M.Hurley a pose le probleme suivant : peut-on enlever l’hypothese que G soit recursivementpresente du theoreme precedent ?

Nous presentons dans ce qui suit un resultat qui est proche de la thematique precedente.

Proposition 4.1.2.1. Soit G un groupe de type fini engendre par a. Si4−(a,G) est recursivementenumerable alors il existe un groupe de presentation finie H verifiant :

(1) G se plonge dans un quotient de H.(2) Pour tout sous-groupe N distingue de H, il existe un sous-groupe < b1, ..., bn >⊆ H/N , et

un homomorphisme surjectif ϕ :< b1, ..., bn >−→ G.

On va utiliser le theoreme suivant :

Theoreme de M.Ziegler [13][30]. Soit Φ(x) un ensemble recursivement enumerable de for-mules sans quantificateurs et de Horn. Alors il existe une formule existentielle positive primitiveψ(x) telle que Φ(x) est equivalente a Resψ modulo la theorie des groupes.

Ou :(1) Resψ est l’ensemble des formules universelles ϕ(x) telle que Tgp ` ψ(x) ⇒ ϕ(x).(2) Une formule sans quantificateurs ϕ(x) est dite de Horn si elle est equivalente a une formule

de la forme ((∧i=1,...,n τi(x)) ⇒ υ(x)) ou τi(x), υ(x) sont des formules atomiques.

(3) Une formule existentielle ψ(x) est dite positive primitive si elle est de la forme ∃yϕ(x, y)ou ϕ(x, y) est une conjonction de formules atomiques.

58


Lemme 4.1.2.2.

Soit G un groupe de type fini engendre par a et tel que 4−(a,G) est recursivement enumerable.Alors il existe une formule ψ(x1, ..., xn, xn+1) existentielle positive primitive verifiant les deuxconditions suivantes :

(1) Tgp ` (ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e⇒ w(x1, ..., xn) 6= e) pour tout w ∈ 4−(a,G).(2) {ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e} ∪ {w(x1, ..., xn) = e | w ∈ 4+(a,G) } est consistante.

Demonstration. Soit xn+1 une nouvelle variable et considerons l’ensemble suivant :

Φ(x1, ..., xn, xn+1) = {(w(x1, ..., xn) = e⇒ xn+1 = e) | w ∈ 4−(a,G) }

Etant donne que4−(a,G) est recursivement enumerable, Φ est aussi recursivement enumerable.Comme Φ est un ensemble de formules sans quantificateurs et de Horn, on peut appliquer letheoreme de Ziegler, par consequent il existe une formule ψ(x1, ..., xn, xn+1) existentielle positiveprimitive telle que Φ(x1, ..., xn, xn+1) est equivalente a Resψ modulo la theorie des groupes.

Montrons d’abord que ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e est consistante. Supposons le contraire.Alors Tgp ` (ψ(x1, ..., xn, xn+1) ⇒ xn+1 = e). Donc la formule (xn+1 = e) ∈ Resψ. Soit g ∈ G

tel que g 6= e, alors G verifie Φ(a1, ..., an, g) car G |= w(a1, ..., an) 6= e pour tout w ∈ 4−(a,G).Comme Φ est equivalente a Resψ, alors G verifie Resψ.

Comme (xn+1 = e) ∈ Resψ, alors G |= g = e, contradiction.Il est clair que

Tgp ` (ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e⇒ w(x1, ..., xn) 6= e), pour tout w ∈ 4−(a,G)

D’ou la condition (1).Montrons maintenant la condition (2).De la meme facon supposons que l’ensemble

{ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e} ∪ {w(x1, ..., xn) = e |w ∈ 4+(a,G) }

n’est pas consistant.Donc il existe w0, ..., wm ∈ 4+(a,G), tels que

Tgp ` (ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e⇒∨i wi(x1, ..., xn) 6= e).

Par consequent Tgp ` (ψ(x1, ..., xn, xn+1) ⇒ [∧i wi(x1, ..., xn) = e⇒ xn+1 = e]).

Donc la formule [∧i wi(x1, ..., xn) = e ⇒ xn+1 = e] appartient a Resψ. De la meme maniere

soit g ∈ G tel que g 6= e, alors G verifie Φ(a1, ..., an, g) et comme Φ est equivalente a Resψ, alorsG verifie Resψ.

Comme [∧i wi(x1, ..., xn) = e ⇒ xn+1 = e] ∈ Resψ, alors G |=[

∧i wi(a1, ..., an) = e ⇒ g = e],

contradiction. D’ou (2).

�

59


(TGP ).

Demonstration de la proposition 4.1.2.1. Soit ψ(x1, ..., xn, xn+1) la formule trouvee dansle lemme precedent. Comme ψ est existentielle positive primitive on peut ecrire

ψ(x1, ..., xn, xn+1) = ∃y1, ...,∃ymV (x1, ..., xn, xn+1, y1, ..., ym)

ou V est une conjonction de formules atomiques.Soit K =< c1, ..., cn, cn+1, d1, ..., dm > le groupe presente par V .Comme ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e est consistante alors K |= ψ(c1, ..., cn, cn+1) ∧ cn+1 6= e.Par consequent K |= w(c1, ..., cn) 6= e, pour tout w ∈ 4−(a,G).Soit L le sous-groupe distingue engendre par { w(c1, ..., cn) | w(x1, ..., xn) ∈ 4+(G) }. D’apres

la condition (2) du lemme 4.1.2.2 l’ensemble :

{ψ(x1, ..., xn, xn+1) ∧ xn+1 6= e} ∪ {w(x1, ..., xn) = e | w ∈ 4+(a,G)}

est consistant. Donc L 6= K et K/L |= ψ(c1, ..., cn, cn+1) ∧ cn+1 6= e, ou ci designe la classede ci. Par consequent K/L |= w(c1, ..., cn) 6= e, pour tout w ∈ 4−(a,G). Comme pour toutw(x1, ..., xn) ∈ 4+(a,G), w(c1, ..., cn)∈ L, alors K/L |= w(c1, ..., cn) = e, donc on a finalement< c1, ..., cn >∼= G.

D’apres un theoreme classique de P.Hall, tout groupe denombrable se plonge dans un groupede type fini simple S. Donc soit S un groupe simple de type fini tel que (K/L) ↪→ S.

Ecrivons S =< c1, c2, ..., cn, cn+1, d1, ..., dm, g1, ..., gl >, avec < c1, ..., cn >∼= G et

< c1, c2, ..., cn, cn+1, d1, ..., dm >∼= (K/L)

Soit (βi(c, d, g))i∈ω une presentation de S. Comme S est simple on a :

Tgp |= [∧i∈ω

βi(c, d, g) = e ∧ (∨

i=1,...,n+1

ci 6= e ∨∨

i=1,...,m

di 6= e ∨∨

i=1,...,l

gi 6= e))

=⇒ ψ(c1, ..., cn, cn+1) ∧ cn+1 6= e]

D’apres le theoreme de compacite il existe r ∈ ω tel que :

Tgp |= [∧i=1,r

βi(c, d, g) = e ∧ (∨

i=1,...,n+1

ci 6= e ∨∨

i=1,...,m

di 6= e ∨∨

i=1,...,l

gi 6= e))

=⇒ ψ(c1, ..., cn, cn+1) ∧ cn+1 6= e]

Finalement soit H le groupe presente par∧i=1,...,r βi(c, d, g) = e. H verifie les proprietes

enoncees.En effet soit M un sous-groupe distingue de H tel que (H/M) est non trivial. On a :

H/M |=∧

i=1,..,r

βi(c, d, g) = e ∧ (∨

i=1,...,n+1

ci 6= e ∨∨

i=1,...,m

di 6= e ∨∨

i=1,...,l

gi 6= e))

avec la notation : α designe une classe d’equivalence et α designe un uplet de classes d’equivalences.On a donc H/M |= ψ(c1, ..., cn, cn+1) ∧ cn+1 6= e, par consequent pour tout w ∈ 4−(a,G),

H/M |= w(c1, ..., cn) 6= e.

60

4.2. LES GROUPES QUI NE SONT PAS FORCEMENT DE TYPE FINI 61

�

(III) Nous donnons ici la premiere demonstration que nous avons trouvee de la proprietesuivante : pour toute formule existentielle consistante ψ il existe un groupe de presentation finieH telle que ψ est vraie dans tout quotient non trivial de H.

Demonstration. Il existe un groupe denombrable G qui verifie ψ. D’apres le theoreme deP.Hall, tout groupe denombrable se plonge dans un groupe de type fini simple S. Par consequentS verifie ψ. Ecrivons S =< a1, ..., an | (βi(a))i∈ω > ou (βi(a))i∈ω une presentation de S. CommeS est simple on a :

Tgp ` [∧i∈ω

βi(a) = e ∧ (∨

i=1,...,n

ai 6= e) =⇒ ψ]

D’apres le theoreme de compacite il existe r tel que :

Tgp ` [∧

i=1,...,r

βi(a) = e ∧ (∨

i=1,...,n

ai 6= e) =⇒ ψ]

Soit H le groupe engendre par a et ayant comme presentation∧i=1,...,r βi(a) = e. Alors on

voit que ψ est vraie dans tout quotient non trivial de H.

�

Ce resultat combine avec la proposition 3.2.1 et un resultat de Ziegler permet de retrouver leresultat suivant, du a C.F.Miller III [24] : il existe un groupe de presentation finie H tel que toutquotient non trivial de H a un probleme des mots non resoluble.

En effet d’apres un resultat de Ziegler [30] le groupe G e.c. ayant comme Age(G) la classe desgroupes de type fini recursivement presente est minimal, i.e. tout groupe e.c. qui se plonge dansG est isomorphe a G. S’il existe un groupe K e.c. qui se plonge dans tous les groupes e.c. alors Kserait isomorphe a G et par consequent tout groupe de presentation finie aurait un probleme desmots resoluble et cela contredirait le theoreme de Novikov-Boone. Donc il n’existe pas de groupee.c. qui se plonge dans tous les groupes e.c. et d’apres la proposition 3.2.2 ((2)⇒(4)), il existe unenonce existentiel ψ consistant avec la theorie des groupes tel que si M |= ψ alors M a un problemedes mots non resoluble. D’apres la propriete precedente il existe un groupe de presentation finieH non trivial tel que ψ est vrai dans tout quotient non trivial de H. Par consequent tout quotientnon trivial de H a un probleme des mots non resoluble.

4.2 Les groupes qui ne sont pas forcement de type fini

Dans cette partie, nous allons etudier quelques proprietes de la classe des groupes qui seplongent dans tous les groupes existentiellement clos d’une maniere generale. Soit Σ(Tgp) la classedes groupes tels que tous leurs sous-groupes de types finis ont un probleme des mots resoluble.Dans la suite Σ(Tgp) sera notee Σ, Σ1(Tgp) sera notee Σ1 et Σ0(Tgp) sera notee Σ0.

La classe Σ est strictement plus large que la classe des groupes qui se plongent dans tous lesgroupes existentiellement clos. On s’interesse aussi aux groupes Σ-e.c. Le but de cette section estla demonstration des theoremes suivants :

61


(TGP ).

Theoreme 4.2.1.

Σ a les proprietes suivantes :(1) Σ (resp. Σ1) est close par reunion croissante (resp. reunion denombrable croissante).(2) Pour tout G ∈ Σ, il existe G′ ∈ Σ tel que :

G′ est Σ-e.c., G ↪→ G′ et |G| = max(χ0, |G′|)(3) Σ (resp. Σ1) est close par produit libre (resp. produit libre denombrable).(4) Σ et Σ1 sont close par produit cartesien fini.(5) Σ et Σ1 n’ont pas la propriete d’amalgamation.(6) Il existe une formule ϕ ∈ Lω1ω telle que : G ∈ Σ si et seulement si G |= ϕ.

Theoreme 4.2.2.

Soit G un modele Σ-e.c., alors G a les proprietes suivantes :(1) Tout groupe ayant un probleme des mots resoluble se plonge dans G.(2) G verifie la formule

∀u∀v∃x∃t(u 6= e ∧ v 6= e⇒ t−1ux−1uxt = vx−1ux)

Par consequent G est simple.(3) Pour tout g ∈ G, si g est d’ordre fini alors pour tout n l’equation (xn = g) a une

solution dans G.(4) Deux elements de meme ordre fini sont conjugues.(5) G ne se plonge dans aucun groupe de presentation finie.

Avant de demontrer ces theoremes, deduisons-en un corollaire :

Corollaire 4.2.3.

(1) Il existe un groupe denombrable qui se plonge dans tous les groupes e.c. mais qui n’a pasla propriete (*).

(2) Pour tout cardinal infini λ il existe un groupe simple de cardinal λ qui contient une copiede chaque groupe de type fini ayant un probleme des mots resoluble et tel que tous ses sous-groupesde type fini ont un probleme des mots resoluble.

(3) Tout groupe qui se plonge dans tous les groupes e.c. se plonge dans un groupe simple quise plonge dans tous les groupes e.c. et qui contient une copie de chaque groupe de type fini ayantun probleme des mots resoluble.

Demonstration.

(1) SoitG un groupe denombrable Σ-e.c., alorsG se plonge dans tous les groupes e.c. Supposonsque G a (*). Alors G se plonge dans un groupe de presentation finie et cela contredit la propriete5 du theoreme 4.2.2.

(2) Il suffit de prendre un groupe Σ-e.c. de cardinal λ.(3) Si G se plonge dans tous les groupes e.c. alors il est denombrable et est dans Σ, d’apres la

propriete (2) du theoreme 4.2.1 G se plonge dans un groupe denombrable S qui est Σ-e.c. et doncS se plonge dans tous les groupes e.c. et est simple d’apres la propriete (2) du theoreme 4.2.2.

�

62


Remarque. Nous remercions A.Khelif qui nous a indique l’article [1] dans lequel on trouve unexemple d’un groupe denombrable simple qui se plonge dans tous les groupes e.c. mais qui ne seplonge pas dans un groupe de presentation finie. L’etude cet article nous a ete tres utile.


Nous ne montrerons pas la propriete (5), cette propriete sera demontree a la fin de la section.(1) Soit (G)i∈λ une suite croissante de Σ, pour montrer que (∪i∈λGi )∈ Σ il faut (et il suffit)

de montrer que tout sous-groupe de type fini de (∪i∈λGi) appartient a Σ0. Mais cela decoule dufait que pour chaque groupe de type fini H de (∪i∈λGi), il existe i0 tel que : H ⊆ Gi0 . CommeGi0 ∈ Σ, alors H ∈ Σ0. Donc (∪i∈λGi)∈ Σ.

(2) Soit G ∈ Σ, et soit (ψi)i∈λ la liste de toutes les formules existentielles a parametres dansG ou λ = |G|. On construit un groupe C(G) ∈ Σ par recurrence sur i, de la maniere suivante :

(i) G0 = G

(ii) S’il existe un groupe K ∈ Σ, tel que Gi ↪→ K et K |= ψi, alors on pose Gi+1 =< Gi, a >

ou a est un uplet qui verifie ψi, sinon on pose Gi+1 = Gi.(iii) Si i est un ordinal limite on pose Gi = ∪l<iGl.Alors on pose C(G) = ∪iGi, et on voit que C(G) ∈ Σ, car Σ est close par reunion croissante

et il est clair que |C(G)| = max(χ0, |G|). On refait la meme chose pour C(G) et on construitC(C(G)), qu’on note C2(G). On aboutit finalement a un groupe M = (∪nCn(G)). Alors M estΣ-e.c. et |M| = max(χ0, |G|).

(3) Soit G = ∗i∈λGi, avec Gi ∈ Σ. Pour montrer que G ∈ Σ il faut (et il suffit) de montrerque tout sous-groupe de type fini est dans Σ0. Soit H ≤ G de type fini, alors il existe n tel queH ≤ ∗i=1,nGi . Par recurrence on est ramene a demontrer que si G1 ∈ Σ, G2 ∈ Σ alors G1∗G2 ∈ Σ.De meme il faut (et il suffit) de montrer que tout sous-groupe de type fini de G1 ∗ G2 est dansΣ. Soit H ≤ G1 ∗ G2, alors il existe deux sous-groupes de type fini A ⊆ G1, B ⊆ G2, tels queH ⊆K =<A,B >. On a A∩B = {e} et A∪B engendre K. Soit g1, ..., gn avec n > 0, une sequencereduite de K, alors c’est une sequence reduite de G1 ∗G2, donc g1...gn 6= e. Donc toute sequencereduite de K est non nulle. Alors K ∼= A ∗B. Comme A et B sont de type fini et sont dans Σ0 carG1, G2 ∈ Σ, alors ils ont un probleme des mots resoluble, donc A ∗B ∈ Σ0. Comme H ↪→ A ∗B,alors H a aussi un probleme de mots resoluble. Donc H ∈ Σ0. Donc G1 ∗G2 ∈ Σ.

(4) Soit G = G1×G2× ....×Gn, avec Gi ∈ Σ. De la meme facon il faut (et il suffit) de montrerque tout sous-groupe de type fini de G appartient a Σ0. Soit H ≤ G1 × G2, alors il existe deuxsous-groupes de type fini A ⊆ G1, B ⊆ G2, tels que H ⊆K =A×B ; comme A et B sont de typefini et sont dans Σ0, car G1, G2 ∈ Σ, alors ils ont un probleme des mots resoluble.

Donc A×B ∈ Σ0. Comme H ↪→ A×B, alors H a aussi un probleme de mots resoluble. DoncH ∈ Σ0. Donc G1 ×G2 ∈ Σ.

(6) Pour chaque groupe de type fini G =< a1, ..., an > de Σ0, soit

4(G,n) = {φ(x1, ..., xn) primitive| G |= φ(a1, ..., an)}

Alors l’ensemble

Λ = {(G,n)| ∃a1, ...∃an tels que G =< a1, ..., an > et G a un probleme de mots resoluble }

63


(TGP ).

est denombrable.Soit

ϕ = Tgp ∧ (∧n∈ω[∀x1, ...∀xn(

∨(G,n)∈Λ(

∧φ∈4(G,n) φ(x1, ..., xn))])

Donc ϕ ∈ Lω1ω et on voit que pour Σ on a G ∈ Σ ssi G |= ϕ et donc pour Σ1 on a G ∈ Σ1 ssiG |= ϕ et |G| ≤ ω.

�

La demonstration du theoreme 4.2.2 et de la propriete (5) du theoreme 4.2.1 se base sur letravail preliminaire suivant :

Definition. Soit w ∈ A ∗ B, ecrit sous-forme normale g1, ..., gn. On dit que w est cycliquementreduit, si g1 et gn sont dans des facteurs differents.

Theoreme 4.2.4. (Combinatorial group theory [17])Tout element w ∈ A ∗ B est conjugue a un element cycliquement reduit. Si u = g1, ..., gn et

v = h1, ..., hm sont cycliquement reduit et conjugues, alors m = n, et les deux suites g1, ..., gn eth1, ..., hm s’obtiennent l’une a partir de l’autre par permutation cyclique.

Lemme 4.2.5.

Soit G un groupe de type fini ayant un probleme des mots resoluble. Soient a, b ∈ G, ou a 6= e,b 6= e. Alors le groupe G∗ =< G, x, t | t−1ax−1axt = bx−1ax > a un probleme des mots resoluble.

Demonstration.

D’apres le lemme 4.1.1.5, il suffit de verifier les conditions suivantes :(i) < ax−1ax > et < bx−1ax > ont un probleme generalise de mots resoluble dans G.(ii) Les fonctions φ et φ−1 sont calculables.Il est clair que la derniere condition est satisfaite. On va demontrer que < ax−1ax > a un

probleme generalise des mots resoluble, le cas < bx−1ax > se traite de la meme facon. Il est clairque ax−1ax et bx−1ax ont un ordre infini, donc la HNN extension est legitime.

Posons G =< a, a1, ..., an > et soit w un element de G∗ < x | >. Comme G∗ < x | > a unprobleme des mots resoluble alors on peut calculer d’une maniere recursive la forme normale dew. Soit donc w = g1....gm la forme normale de w. On a alors w = g−1

m .gm.g1.....gm−1gm et onvoit que gm.g1.....gm−1 est cycliquement reduit puisque gm et gm−1 ne sont pas dans le memefacteur. Si w appartient a < ax−1ax > il existe p ∈ ω tel que w = (ax−1ax)p. Donc gm.g1.....gm−1

est cycliquement reduit et conjugue a (ax−1ax)p qui est aussi cycliquement reduit. D’apres letheoreme 4.2.4, on a : n = 4p et les suites gm.g1.....gm−1, (ax−1ax)p s’obtiennent l’une a partirde l’autre par permutation. Comme que le probleme de savoir si a = gi est resoluble car G a unprobleme des mots resoluble, alors on peut savoir d’une maniere recursive si gm.g1.....gm−1 est unepermutation de (ax−1ax)p ou non. Donc < ax−1ax > a un probleme generalise de mots resolubledans G.

�

64


Remarque. Ce lemme n’est que la demonstration d’une affirmation dans le livre Combinatorialgroup theory [17], page 216, dans la demonstration de la proposition 7.4.

Lemme 4.2.6.

Soit G∗ =< G, t | t−1at = b > une HNN-extension. Soit K ≤ G tel que a, b ∈ K.Alors le sous-groupe engendre par K ∪ {t} est isomorphe a K∗ =< K, s | s−1as = b >.

Demonstration. Le resultat decoule du lemme de Britton (cf. [17]).

�

Lemme 4.2.7. Soit G ∈ Σ. Soient a, b ∈ G avec a 6= e, b 6= e.Alors le groupe G∗ =< G, x, t | t−1ax−1axt = bx−1ax > appartient a Σ.

Demonstration. Il suffit de montrer que tout sous-groupe de type fini de G∗ appartient a Σ0.Soit H ≤ G∗ de type fini, alors il existe K ⊆ G∗ < x > de type fini tel que H ⊆< K, t > etax−1ax ∈ K, bx−1ax ∈ K.

D’apres le lemme 4.2.6, < K, t >∼= K∗ =< K, s | s−1ax−1axs = bx−1ax >. Comme K ∈ Σ0,car G∗ < x >∈ Σ, d’apres le lemme 4.2.5, K∗ ∈ Σ0, donc le groupe H appartient a Σ.

�

Lemme 4.2.8. Soit G un groupe de type fini.Soit G∗ =< G, t | t−1at = b > une HNN-extension ou les elements a et b ont le meme ordre

fini. Si G ∈ Σ0, alors G∗ ∈ Σ0.

Demonstration. En utilisant le lemme 4.1.1.5, il suffit de montrer que les groupes < a > et ont un probleme generalise des mots resoluble dans G. Or w ∈< a > si et seulement si ilexiste k, 0 ≤ k ≤ ordre(a) tel que wa−k = e. Comme G a un probleme des mots resoluble on aimmediatement le resultat cherche.

�

Lemme 4.2.9. Soit G un groupe denombrable.Soit G∗ =< G, t | t−1at = b > une HNN-extension, a et b ont le meme ordre fini. Si G ∈ Σ,

alors G∗ ∈ Σ.

Demonstration. Il faut (et il suffit) de montrer que tout sous-groupe de type fini de G∗

appartient a Σ0. Soit H ≤ G∗ de type fini, alors il existe K ⊆ G de type fini tel que H ⊆< K, t >

et a ∈ K, b ∈ K. D’apres le lemme 4.2.6, < K, t >∼= K∗ =< K, s | s−1as = b >. Mais K ∈ Σ0,car G ∈ Σ. Donc d’apres le lemme 4.2.8, K∗ ∈ Σ0, donc H ∈ Σ0.

�

65


(TGP ).


1. Soit G0 un groupe de type fini ayant un probleme des mots resoluble. D’apres le theoremede Boone-Higman, il existe un groupe S simple et un groupe P de presentation finie ayant unprobleme des mots resoluble tels que G0 ↪→ S ↪→ P . Soient P =< a | W (a) >, et α(a) ∈ S, avecα(a) 6= e, alors la formule ψ =∃x(W (x) ∧ α(x) 6= e) verifie : pour tout groupe G si G |= ψ alorsG0 ↪→ G. Soit G1 un groupe Σ-e.c., alors G1×P ∈ Σ. Comme P |= ψ, alors G1×P |= ψ, et commeG1 est Σ-e.c., alors G1 |= ψ. Donc G0 ↪→ G1.

2. Soit G un groupe Σ-e.c. et soient a, b ∈ G avec a 6= e, b 6= e. Alors d’apres le lemme 4.2.7 legroupe G∗ =< G, x, t | t−1ax−1axt = bx−1ax > appartient a Σ. Comme G se plonge dans G∗ etG est Σ-e.c alors G verifie ∃x∃t(t−1ax−1axt = bx−1ax). Par consequent on voit que b appartientau sous-groupe distingue engendre par a. D’ou G est simple.

3. Soit G un groupe Σ-e.c. et soit a ∈ G avec ordre(a) = p.Soit n ∈ N∗ et soit A = . Comme A a un probleme des mots resoluble d’apres le

theoreme 4.2.1 (3) le groupe K = G ∗A est dans Σ.D’apres le lemme 4.2.8 le groupe K∗ =< K, t | t−1bnt = a > est dans Σ. Comme G se plonge

dans K∗ et G est Σ-e.c alors G verifie ∃t(t−1bnt = a). Par consequent G verifie (t−1bt)n = a, d’oul’equation xn = a a une solution dans G.

4. Soit G un groupe Σ-e.c. et soient a, b des elements de G de meme ordre fini. D’apres lelemme 4.2.8 le groupe G∗ =< K, t | t−1bt = a > est dans Σ. Comme G se plonge dans G∗ et G estΣ-e.c alors G verifie ∃t(t−1bt = a).

5. Soit G un groupe Σ-e.c. et supposons que G se plonge dans un groupe de presentationfinie H. La demonstration est presque identique a celle de la proposition 1.3.3. Demontrons qu’ ilexiste un algorithme uniforme qui resout le probleme des mots de tous les groupes de presentationfinie ayant un probleme des mots resoluble. Comme G est Σ-e.c alors d’apres la propriete (1) ilcontient une copie de tout groupe de presentation finie ayant un probleme des mots resoluble.Soit H =< a | P (a) > une presentation finie de H. Soit s(a) un element non trivial de G ecrit enfonction de a. Soit ψ = ∃x(P (x) ∧ s(x) 6= e) et soit Γ la theorie suivante :

{ϕ existentiel tel que Tgp ∪ {ψ} ` ϕ}

On voit que Γ est recursivement enumerable et que si ϕ est un enonce existentiel vrai dans ungroupe de presentation finie ayant un probleme des mots resoluble alors ϕ∈Γ. Alors on voit quel’ensemble

A = {(W (x), w(x)) | ∃x(W (x) ∧ w(x) 6= e) ∈ Γ}

ouW (x) est une conjonction de formules atomiques et w un mot, est recursivement enumerable.Soit W (a1, ..., an) une presentation finie d’un groupe K ayant un probleme des mots resoluble

et soit w un mot en fonction des generateurs de K. Pour savoir si w = e ou non dans K on enumeretous les mots qui sont egaux a e et en meme temps l’ensemble B suivant qui est recursivementenumerable :

B = {w(x) | (W (x), w(x)) ∈ A}

Si w apparaıt dans la premiere liste alors w = e et si w apparaıt dans la seconde liste alorsw 6= e. Par consequent il existe un algorithme uniforme qui resout le probleme des mots de tout

66


les groupes de presentation finie ayant un probleme des mots resoluble. Cela contredit le theoremede Boone-Rogers.

�

Demonstration de la propriete (5) du theoreme 4.2.1.1

(5) Supposons que Σ a la PA. Soit G =< ai ; i ∈ ω > un groupe denombrable de Σ. Soit<α, b > et <c, d > deux copies du groupe libre F2. Soit K = G∗ < a, b >, alors d’apres lapropriete (3) du theoreme 4.2.1 K ∈ Σ. Le groupe A =< c, d−ncdn;n ∈ ω > et le groupeB =< b, anα

−nbαn;n ∈ ω > sont isomorphes et sont dans Σ. Comme Σ a la PA, il existe ungroupe L ∈ Σ qui amalgame K et < c, d > au-dessus de A et B.

K

↗ ↘A ∼= B L

↘ ↗< c, d >

Soit D =< α, b, c, d > dans L. Alors G ↪→ D et D est de type fini et est dans Σ0. Donc D aun probleme de mots resoluble. Donc tout groupe denombrable G ∈ Σ, se plonge dans un groupede type fini ayant un probleme des mots resoluble, par consequent d’apres le theoreme 1.2.2 dansun groupe de presentation finie. Cela contredit la propriete (5) du theoreme 4.2.2.

On voit que cette demonstration est aussi valable pour Σ1.

�

Remarque. On a la version plus generale suivante des lemmes 4.2.5 et 4.2.7, qui est un analoguedu lemme 1.5 de [11] pour la classe Σ :

Proposition 4.2.10. Soient G un groupe de Σ et a, b deux elements de G. Alors les proprietessuivantes sont equivalentes :

(1) G |= (a = e =⇒ b = e).(2) L’equation t−1ax−1axt = xax−1bx−1ax est resoluble dans une extension de G, qui est

dans Σ.

Demonstration. Il est clair que (2)⇒(1) est vraie.(1)⇒(2). Si a = e alors b = e et donc on peut prendre x = t = e et l’equation precedente est

resoluble.Supposons donc a 6= e. Soit L un sous-groupe de type fini de G contenant a et b et soit

K = L∗ < x |>, alors K est dans Σ. L’element xax−1bx−1ax est d’ordre infini independammentdu fait que b = e ou non. On voit aussi, en utilisant la meme methode que celle utilisee dans lademonstration du lemme 4.1.1.7, que le sous-groupe < xax−1bx−1ax > a un probleme generalisedes mots resoluble dans K. Par consequent la HNN-extension suivante

1Remarquons que le contre-exemple donne a la page 44 montre aussi que Σ n’a pas la propriete d’amalgamation.

67


(TGP ).

L∗ =< L, x, t | t−1ax−1axt = xax−1bx−1ax >

a un probleme des mots resoluble.D’ou tout sous-groupe de type fini du groupe

G∗ =< G, x, t | t−1ax−1axt = xax−1bx−1ax >

a un probleme des mots resoluble. D’ou G∗ ∈ Σ et donc l’equation est resoluble dans uneextension de G qui est dans Σ.

�

Remarque. Remarquons que Σ n’est pas axiomatisable par une theorie de Lgp. Supposons lecontraire et soit Γ une theorie qui axiomatise Σ. Comme Σ est close par sous-groupe alors Γ estequivalente a une theorie universelle et par consequent elle est equivalente a la theorie suivante :

Γ0 = {ψ | ψ universelle vraie dans tout groupe de Σ}

Mais il existe un groupe de type fini qui verifie Γ0 ayant un probleme des mots non resoluble.En effet il suffit de prendre

G =< a, b, c, d | a−nban = c−ndcn, n ∈ X >

Ou X est un ensemble non recursif d’entiers naturels. On laisse au lecteur le soin de verifierque G est modele de Γ0.

4.2.1 Les groupes Σ-generiques

Dans cette section nous allons etudier les groupes Σ-generiques. L’etude de ces groupes eteprincipalement motivee par la question de connaıtre le nombre des groupes Σ-e.c. Mais cela peutapporter des eclairages sur la question de savoir si la classe Σ0 a la propriete d’amalgamation ounon, car on a :

Proposition 4.2.1.1. Si Σ0 a la propriete d’amalgamation alors Σ a un unique groupe Σ-e.c.denombrable. Ce modele est ultrahomogene.

Demonstration.

Comme Σ0 a la PP, HP et la PA, alors d’apres le theoreme de Fraısse, il existe G ultrahomogene,tel que Σ0 = Age(G). Montrons que G est Σ-e.c. Soit G‘ ∈ Σ tel que G ↪→ G‘ et G‘ satisfait uneformule existentielle ψ(a) ou a sont des parametres dans G. Alors ψ est vraie dans un sous-groupeK de type fini de G‘ contenant le sous-groupe < a > et par consequent ψ est vraie dans un groupede type fini ayant un probleme des mots resoluble contenant < a >. Comme Σ0 = Age(G) ilresulte que G contient une copie de K et comme G est ultrahomogene alors on peut trouver uneextension de < a > dans G qui satisfait ψ(a). Par consequent G est Σ-e.c.

Comme pour tout groupe K, Σ-e.c., on a Σ0 = Age(K), et G est ultrahomogene alors toutgroupe Σ-e.c. denombrable se plonge dansG. Il suffit donc de montrer que tout groupe denombrableΣ-e.c. est ω-homogene. Donc supposons pour simplifier que K ⊆ G. Soient a1, ..., an ∈ K et

68


b1, ..., bn ∈ K tels que < a1, ..., an >∼=< b1, ..., bn > et soit b ∈ K. Comme < b1, ..., bn, b > a unprobleme des mots resoluble il se plonge dans un groupe simple S qui se plonge a son tour dansun groupe de presentation finie H ayant un probleme des mots resoluble. Soit W (c1, ..., cn, c, d)une presentation de H et α ∈ S non trivial. Donc dans G il existe une copie de H contenant<c1, ..., cn, c, d > avec < b1, ..., bn, b >∼=<c1, ..., cn, c >.

Comme G est ultrahomogene il existe f tels que G |=W (b1, ..., bn, b, f) ∧ α 6= e. Comme G estultrahomogene il existe h, an+1 tels que G |=W (a1, ..., an, an+1, h) ∧ α 6= e. Comme K est Σ-e.c.on a K |= ∃xn+1∃yW (a1, ..., an, xn+1, y) ∧ α 6= e. Par consequent il existe dans K un element dtel que < a1, ..., an, d >∼=< b1, ..., bn, b >.

�

Notations et definitions.

Soit K une classe de modeles.(1) K |= (ψ(x) ⇒ ϕ(x)) signifie pour tout M ∈ K, M |= (ψ(x) ⇒ ϕ(x)).(2) K ∪ {∃xψ(x)} est consistante signifie qu’il existe M ∈ K tel que M |= ∃xψ(x).(3) Soit ψ(x) une formule existentielle, on note Resψ(x) l’ensemble

{φ(x), φ universelle |K |= (ψ(x) ⇒ φ(x)) }

(5)∧Resψ(x) signifie

∧ϕ∈Resψ(x) ϕ(x).

Preliminaires.

(1) On utilise les meme notations que celles utilisees dans [16]. Etant donne que les modelesgeneriques dependent de trois parametres : une classe K, un fragment LA de Lω1ω et une proprietede forcing P , au lieu de dire que M est generique, on explicitera les parametres en question et ondira M est (K,LA, P )-generique.

(2) On a vu que pour chaque groupe G =< a > ayant un probleme des mots resoluble, ilexiste une formule existentielle ψG(x) vraie dans un groupe ayant un probleme des mots resolubletelle que Tgp `ψG(x)⇒ ϕ(x), pour tout ϕ ∈4(a,G). Soit Λn l’ensemble des groupes de type finiengendre par n elements ayant un probleme des mots resoluble. Soit pour chaque G ∈ Λn,

Λ(G) = {ψ existentielle consistante avec Σ |Tgp `ψ(x)⇒ ϕ(x), pour tout ϕ ∈ 4(a,G)}

Soit Ξn = ∪G∈ΛnΛ(G). Soit Ψn ≡ ∀x(∨ψ∈Ξn

ψ(x)). Alors il existe un fragment LA contenantles formules Ψn. Soit Φ l’ensembles des formules atomiques et de negations de formules atomique.On considere P l’ensemble des ensembles finis p ⊂ Φ(C) de Σ comme ensemble de conditions. Ona le theoreme suivant, qui decoule du theoreme 2.1 (General form), page 107, de [16] :

Theoreme 4.2.1.2 [16]. Soit φ = ∀xϕ(x) un enonce ∀ ∨ ∃ sur Φ, dans LA, |x| = m. L’enonceφ est vrai dans tous les modeles (Σ, LA, P )-generiques si et seulement si pour toute conditionp ⊂ Φ(C) satisfaisable dans Σ, et pour tout c ∈ Cm, la formule p ∧ ϕ(c) est satisfaisable dans Σ.

Convention. Soit G ∈ Σ, on dit que G est Σ-generique s’il existe un fragment LA contenantles formules Ψn, tel que G est (Σ, LA, P )-generique. ( par consequent G est denombrable).

Le but de ce qui va suivre est la demonstration des deux propositions suivantes :

69


(TGP ).

Proposition 4.2.1.3 ( Un theoreme d’omission des types pour Σ ).

(1) Soit p(x) un type universel, alors on a : p est realise dans tous les groupes Σ-e.c. si etseulement si il existe une formule existentielle ψ consistante avec Σ telle que Σ |= (ψ(x) ⇒ ϕ(x)),pour toute formule ϕ ∈ p.

(2) Soit (pn)n∈ω une suite de types universels. Si chaque pn verifie : il n’existe pas de formuleexistentielle ψ telle que : Σ∪{∃xψ(x)} est consistante ; Σ |= (∀x(ψ(x)⇒ φ(x))), pour toute formuleφ ∈ pn, alors il existe un groupe de Σ, Σ-e.c. denombrable qui omet chaque pn. ( le groupe enquestion est Σ-generique).

Proposition 4.2.1.4. Une des deux proprietes suivantes est vraie :(1) Il existe un groupe Σ-generique qui se plonge dans tous les groupes Σ-generiques.(2) Σ a 2χ0 groupes Σ-e.c. denombrables (Gi : i ∈ 2χ0 ) deux a deux non isomorphes et qui

verifient, pour toute formule existentielle ψ, Gi |= ∀x(ψ(x) ⇐⇒∧Resψ(x)).

Tout en regrettant de n’avoir pu preciser cette proposition, nous en inclurons une demonstrationqui peut s’appliquer a d’autres situations. (cf. la proposition 4.2.1.9)

Proposition 4.2.1.5. Soit LA un fragment contenant les formules Ψn. Soit M un modele(Σ, LA, P )-generique, alors : M est un groupe, M∈ Σ et M est Σ-e.c.

Demonstration.

(1) Rappelons qu’un fragment contient les formules du langage L, donc LA contient Tgp. QueM soit un groupe se verifie de facon classique. (cf.[16]).

(2) Soit p(c, d) une condition de Σ, alors elle est vraie dans un groupe ayant un probleme desmots resoluble G engendre par a ,b tels que G |=p(a, b).

On a G ⊆ S ⊆ P , avec P =< a, b, e | W (a, b, e) > de presentation finie ayant un probleme desmots resoluble et S simple. Soit α ∈ S, α 6= e ; alors la formule β(z) =∃x∃y(W (z, x, y) ∧ α 6= e)verifie Tgp `β(z)⇒ ϕ(z), pour tout ϕ ∈4(a,< a >). La formule p(c, d)∧β(c) est consistante avecΣ, donc p(c, d)∧(

∨ψ∈Ξn

ψ(c)) est consistante avec Σ, avec |c| = n. Donc d’apres la theoreme 4.2.1.2M |= Ψn, donc tout sous-groupe de type fini de M a un probleme des mots resoluble.

(3) M est Σ-e.c., cela se demontre comme dans [16], page 115.

�

Demonstration de la proposition 4.2.1.3.

(1) Soit p(x) un type universel. Soit LA un fragment contenant la formule ∀x(∨ϕ∈p ¬ϕ(x)),

et les formules Ψn. Supposons que p est realise dans tous les groupes Σ -e.c. , alors il est realisedans tous les groupes (Σ, LA, P )-generiques et donc aucun groupe (Σ, LA, P )-generique ne verifie∀x(

∨ϕ∈p ¬ϕ(x)). D’apres le theoreme 4.2.1.2, il existe une piece finie p(c, d) de Σ, c ∈ Cm, telle

que la formule p(c, d) ∧ (∨ϕ∈p ¬ϕ(c)) n’est pas satisfaisable dans Σ, donc pour tout G ∈ Σ si

G |= ∃yp(a, y), alors G |=∧ϕ∈p ϕ(a), donc il existe une formule existentielle ψ consistante avec Σ

telle que Σ |= ψ(x) ⇒ ϕ(x), pour tout ϕ ∈ p.Supposons qu’il existe une formule existentielle ψ consistante avec Σ telle que

70


Σ |= (ψ(x) ⇒ ϕ(x)), pour tout ϕ ∈ p

Donc ψ est vraie dans un groupe ayant un probleme de mots resoluble G. Comme G se plongedans tous les groupes Σ-e.c. alors tout groupe e.c. realise p.

(2) Soit (pn)n∈ω une suite de types universels. Supposons que chaque pn verifie : il n’existepas de formule existentielle ψ telle que : Σ ∪ {∃xψ(x)} est consistante ; Σ |= (∀x(ψ(x)⇒ φ(x)),pour tout φ ∈ pn... (µ). Soit LA un fragment contenant les formules Φn = ∀x(

∨ϕ∈pn ¬ϕ(x)) et

les formules Ψn. D’apres le theoreme 4.2.1.2, et la propriete (µ), tout groupe (Σ, LA, P )-generiqueverifie Φn. Donc tout groupe (Σ, LA, P )-generique omet pn et comme tous les groupes (Σ, LA, P )-generiques sont Σ-e.c. on a ce qu’il faut.

�

Lemme 4.2.1.6. Soient G un groupe Σ-generique et ψ(x) une formule existentielle.Alors G |= ∀x(ψ(x) ⇐⇒

∧Resψ(x))

Demonstration. Comme G ∈ Σ, on a G |= ∀x(ψ(x) ⇒∧Resψ(x)). Soit a ∈ G tel que

G |=∧Resψ(a). Supposons que G |= ¬ψ(a). Soit LA un fragment contenant les formules Ψn

tel que G est un modele (Σ, LA, P )-generique. Donc il existe A ⊆ P un ensemble generique quiengendre G. Comme G = (ci : i ∈ ω), il existe c tel que G |= c = a. Par consequent G |= ¬ψ(c).Donc il existe une condition p(c, d) ∈ A telle que p ¬ψ(c). Soit ϕ(x) = ∃yp(x, y). Commep ∃yp(c, y), alors G |= ϕ(c), par consequent G |= ϕ(a). Montrons que Σ |= ∀x(ϕ(x) ⇒ ¬ψ(x)).Soit M ∈ Σ tel que M |= ϕ(r) et supposons que M |= ψ(r). Donc p(c, d) ∧ψ(c) est consistantedans Σ. Soit ψ0(c) une partie primitive de ψ telle que p(c, d) ∧ψ0(c) est consistante dans Σ.Donc q = p(c, d) ∪{ψ0(c)} ∈ P et on a p ≤ q et q ψ(c), contradiction avec p ¬ψ(c). D’ouΣ |= ∀x(ϕ(x) ⇒ ¬ψ(x)).

On a ¬ϕ(x) /∈ Resψ(x), car G |=∧Resψ(a) et G |= ϕ(a), donc ∃x(ψ(x)∧ϕ(x)) est consistante

dans Σ, et cela est une contradiction avec Σ |= ∀x(ϕ(x) ⇒ ¬ψ(x)). On a donc G |= ψ(a).

�

Lemme 4.2.1.7. Soit K1(Σ) la classe suivante :

{G ∈ Σ,|G| ≤ χ0 |pour toute formule existentielle ψ, G |= ∀x(ψ(x) ⇐⇒∧Resψ(x))}

Alors il existe une formule φ ∈ Lω1ω telle que : (G ∈ K1(Σ)) si et seulement si G |= φ et|G| ≤ χ0.

Demonstration. On remarque d’abord que tout G ∈ K1(Σ) est Σ-e.c. En effet si G ↪→ G′,avec G′ |= ψ(a), ψ existentielle et a ∈ G, alors G |= Resψ(a). Donc G |= ψ(a).

D’apres le theoreme 4.2.1 (6) il existe une formule ϕ∈ Lω1ω telle que : (G ∈ Σ1 ) si et seulementsi G |= ϕ et |G| ≤ χ0.

Soit Λ l’ensemble des formules existentielles, alors Λ est denombrable. Soit φ la formule :

ϕ ∧ [∧σ∈Λ

(∀x(σ(x) ⇐⇒∧Resσ(x)))]

71


(TGP ).

Alors φ ∈ Lω1ω et il est clair que (G ∈ K1(Σ)) si et seulement si G |= φ et |G| ≤ χ0.

�


Soit K(Σ) la classe des groupes Σ-generiques.Soit p(x) un type universel. On dit que p est compatible avec K(Σ) s’il existe M ∈ K(Σ) et

a ∈M tels que 4∀(a,M) = {ϕ(x) | ϕ universelle et M |= ϕ(a) } = p(x).Soient Γ1 et Γ2 les deux ensembles suivants :Γ1 = {p | p un type universel compatible avec K(Σ) }Γ2 = {p | p un type universel compatible avec K(Σ) et realise dans tous les modeles de K(Σ)}

Fait 1. Une des deux proprietes suivantes est vraie :

P1. Il existe une formule existentielle ψ(x) consistante avec Σ telle que si M ∈ K(Σ) et a ∈Mavec M |= ψ(a), alors 4∀(a,M) /∈ Γ2.

P2. Il existe un groupe Σ-generique qui se plonge dans tous les groupes Σ-generiques. (Enrealite il se plonge dans tous les groupes de K1(Σ)).

Demonstration.

On remarque que Γ2 est denombrable. Soit Γn2 = {p(x) | p ∈ Γ2 et |x| = n}. Supposons qu’ilexiste n ∈ ω tel que Γn2 = ∅, alors la propriete P1 est vraie pour toute formule existentielle ψ(x)consistante avec Σ telle que |x| = n. Donc on peut supposer que ∀n ∈ ω, Γn2 6= ∅.

Pour chaque p ∈ Γ2, d’apres le theoreme d’omission des types de Σ (proposition 4.2.1.3), ilexiste une formule existentielle ϕp consistante avec Σ telle que Σ |= (ϕp ⇒ ϕ), pour tout ϕ∈ p.Soit αn = {¬ϕp(x) | |x| = n et p ∈ Γ2 }. Alors αn est un type universel non vide. Deux cas sontpossibles :

1. Il existe n ∈ ω tel que αn verifie : il existe une formule existentielle ψ(x) consistante avecΣ telle que Σ |= ψ(x) ⇒ ϕ(x), pour tout ϕ ∈ αn. Montrons que ψ verifie la propriete P1.Soient M ∈ K(Σ) et a ∈ M avec M |= ψ(a). Comme M |= ∀x(ϕp(x) ⇐⇒

∧Resϕp(x)), si

4∀(a,M)=p(x), avec p ∈ Γ2, alors Resϕp(x) ⊆ p(x) et donc M |= ϕp(a), contradiction avecΣ |= ψ(x) ⇒ ¬ϕp(x). Donc on a P1.

2. Pour tout n ∈ ω, αn verifie : il n’existe pas de formule existentielle ψ telle que : Σ∪{∃xψ(x)}est consistante ; Σ |= (∀x(ψ(x)⇒ φ(x))), pour toute formule φ ∈ pn.

D’apres le theoreme d’omission des types de Σ (proposition 4.2.1.3), il existe M0 ∈ K(Σ)qui omet chaque αn. Autrement dit pour tout a ∈ M0, avec |a| = n, il existe p ∈ Γn2 telque M0 |= ϕp(a). Montrons d’abord que 4∀(a,M0)=p(x). Comme M0 |= ϕp(a), on voit quep(x) ⊆4∀(a,M0). Comme p est compatible avec K(Σ), il existe un modele M ∈ K(Σ) etb ∈ M tels que 4∀(b,M0)=p(x). Soit ψ ∈ 4∀(a,M0) telle que ψ/∈ p. Alors M |= ¬ψ(b), et

72


donc Res¬ψ(x) ⊆ p(x). D’ou M0 |= Res¬ψ(a) et comme M0 ∈ K1(Σ), alors M |= ¬ψ(a) d’oucontradiction avec ψ ∈ 4∀(a,M0). Par consequent pour tout a ∈ M0, 4∀(a,M) est realise danstous les modeles e.c. denombrable de Σ. Montrons que M0 ↪→M , pour tout M ∈ K(Σ). On utilisela methode de va. Ecrivons M0 = (ai : i ∈ ω) ; et soit M ∈ K1(Σ). On a a0 ∈M0 et M0 |= ϕp0(a0).On a p0(x) =4∀(a0,M0) est realise dans M donc ∃b0 ∈M tel que |= p0(b0), donc < a0 >∼=< b0 >.On a a0, a1 ∈M0 et M0 |= ϕp1(a0, a1). On a donc M0 |= ∃yϕp0(a0, y).

Soit H ={ ϕ universelle | Σ ` ∃yϕp0(x, y) ⇒ ϕ }, alors H ⊆4∀(a0,M0). Comme M ∈ K1(Σ)(car d’apres le lemme 4.2.1.6, K(Σ) ⊆ K1(Σ) ), alors M |= ∃yϕp0(b0, y). Par cette methode onconstruit une copie de M0 dans M . Donc on a bien P2.

�

Fait2. Dans le cas ou on a P1 , soit ψ(x) la formule qui verifie la propriete enoncee dans P1 etsoit n = |x|. Soit

Γn = {p(x) ∈ Γ1 | il existe M ∈ K(Σ), et a ∈M tel que 4∀(a,M)= p(x) et M |= ψ(a)}

Alors |Γn| ≥ χ1.

Demonstration. On remarque d’abord que Γn n’est pas vide car ψ est consistante avec Σ.Supposons que Γn est denombrable. Soit LA un fragment contenant les formules Φp = (

∨ϕ∈p ¬ϕ),

p ∈ Γn, et les formules Ψm. On a pour tout p ∈ Γn, p /∈ Γ2. Donc il existe un modele M qui est(Σ, LA, P )-generique tel que M omet tout les p ∈ Γn. Mais M est Σ-e.c., donc M |= ∃xψ(x), doncil existe b ∈ M , tel que M |= ψ(a), soit p0 =4∀(a,M), alors p0 ∈ Γn et il est realise dans M .Contradiction. D’ou |Γn| ≥ χ1.

�

Si T est une theorie de Lω1ω, on designe par Sn(T ) l’ensemble des n-types complets de Tresalises dans des modeles denombrables de T . Pour plus de details nous renvoyons a [25].

D’apres le lemme 4.2.1.7, il existe une formule φ ∈ Lω1ω telle que : (G ∈ K1(Σ) ) si et seulementsi G |= φ et |G| ≤ χ0. Posons Π = {φ}. Comme |Γ| ≥ χ1 on voit que Sn(Π) ≥ χ1. On va utiliserle theoreme suivant :

Theoreme 4.2.1.8 ( Corollary 2.4 dans [25]). Si T est une theorie denombrable de Lω1ω,alors Sn(T ) est ou bien denombrable ou bien de cardinal 2χ0 .

Par consequent on voit que Sn(Π) = 2χ0 . Comme chaque modele denombrable realise au plusun nombre denombrable de types, alors K1(Σ) a 2χ0 groupes deux a deux non isomorphes et doncces groupes verifient pour toute formule existentielle ψ, G |= ∀x(ψ(x) ⇐⇒

∧Resψ(x)).

�

73


(TGP ).

Remarque. Observons que les raisonnements precedents sont applicable a des classes pluslarges de modeles.

Rappelons qu’un enonce φ de Lω1ω est dit ∀∨∃ s’il est de la forme ∀x∨i∈ω ϕi(x) ou ϕi sont

des formules existentielles primitives.Une theorie T de Lω1ω est dite ∀∨∃ si tout enonce de T est ∀∨∃.Alors on a la proposition suivante :

Proposition 4.2.1.9. Soit T une theorie ∀∨∃ denombrable de Lω1ω et ayant la PP. Soit K1(T )la classe suivante :

{M |= T ,|M | ≤ χ0 |pour toute formule existentielle ψ, M |= ∀x(ψ(x) ⇐⇒∧Resψ(x))}

Alors une des deux proprietes suivantes est vraie :(1) Il existe un modele denombrable e.c. de T qui se plonge dans tous les modeles de K1(T ).(2) T a 2χ0 modeles e.c. denombrables deux a deux non isomorphes et qui appartiennent a

K1(T ).

Schema de demonstration. Soit M(T ) la classe des modeles de T . Soit LA un fragmentcontenant la theorie T . Soit Φ l’ensembles des formules sans quantificateurs. On considere P

l’ensemble des ensembles finis p ⊂ Φ(C) de K(T ) comme ensemble de conditions.Dans ce cas la proposition 4.2.1.5 reste vraie i.e. tout modele (K(T ), LA, P )-generique est un

modele de T et il est e.c. (corollaire 2.2. dans [16]).Comme T a la PP alors la proposition 4.2.1.3 est aussi valable pour K(T ).Quant au lemme 4.2.1.6 on voit clairement qu’il reste vrai. De meme pour le lemme 4.2.1.7, il

suffit de remplacer ϕ par T .Alors il n’est pas tres difficile de voir que la demonstration de la proposition 4.2.1.4 reste vraie.

�

4.3 Les groupes ayant P

Cette section traite quelques proprietes generales des groupes ayant P.

4.3.1 Quelques proprietes simples

Proposition 4.3.1.1.

(1) Soit G un groupe expansif commutatif, alors G est fini.(2) Un groupe residuellement fini expansif est localement fini, en particulier un groupe libre

non trivial n’est pas expansif.(3) Soit G un groupe ayant P alors on a :

i) G se plonge dans un groupe de presentation finie.ii) G se plonge dans tous les groupes e.c.

(4) La theorie existentielle d’un groupe qui verifie (*), de type fini, est recursivement enumerable.(5) Soit G0 un groupe finiment expansif. Alors il existe un groupe G1 finiment expansif de type

fini tel que G1 ↪→ G0 ↪→ G1.

74

4.3. LES GROUPES AYANT P 75

(6) Tout groupe finiment expansif se plonge dans un groupe de presentation finie ayant unprobleme des mots resoluble.

(7) Soit G un groupe expansif. Alors G = ∗i∈ωGi ou Gi se plonge dans un groupe de type finiayant (**).

(8) Le produit cartesien de deux groupes ayant la propriete (**) a la propriete (**).

Lemme 4.3.1.2. Pour tout n,m ∈ N∗ il existe une formule existentielle ϕ(x1, ..., xn, y1, ..., ym)verifiant la propriete suivante :

Pour tout groupe G et pour toute suite a1, ..., an, b1, ..., bm de G, si G0 =< a1, ..., an >, G1 =<b1, ..., bm > et G2 =< a1, ..., an, b1, ..., bm >, alors on a :

G2 = G0 ×G1 si et seulement si ϕ(a1, ..., an, b1, ..., bm) est satisfaite dans une extension de G.

Demonstration. Soit Γ(x1, ..., xn, y1, ..., ym) l’ensemble des formules suivantes :

xiyj = yjxi

w(x1, ..., xn) = w(y1, ..., yn) ⇒ w(x1, ..., xn) = w(y1, ..., yn) = e

Alors on voit que Γ est recursivement enumerable.Il est clair aussi que si G verifie Γ(a1, ..., an, b1, ..., bm) alors G2 = G0 ×G1.D’apres le theoreme de Ziegler il existe une formule existentielle primitive ϕ(x1, ..., xn, y1, ..., ym)

telle que Resϕ est equivalente a Γ(x1, ..., xn, y1, ..., ym).Il est clair que si ϕ(a1, ..., an, b1, ..., bm) est satisfaite dans une extension de G alors G2 =

G0 ×G1.Soit maintenant G un groupe tel que G2 = G0×G1. Comme G satisfait Γ(a1, ..., an, b1, ..., bm)

alorsG satisfaitResϕ. Par consequent dans le langage L = L(x1, ..., xn, y1, ..., ym), (G; a1, ..an, b1, ..., bm)est modele de Resϕ(a1, ..., an, b1, ..., bm) ( qui n’est que l’ensemble des consequences universellesmodulo Tgp de ϕ(a1, ..., an, b1, ..., bm)). Par consequent d’apres une propriete bien connue en theoriedes modeles (G; a1, ..an, b1, ..., bm) se plonge dans un modele de Tgp ∪ {ϕ(a1, ...an, b1, ..., bm}. Parconsequent il existe une extension de G qui verifie ϕ(a1, ..., an, b1, ..., bm).

�


(1) Soit G un groupe commutatif expansif. Alors il existe une theorie existentielle Γ vraie dansG telle que G se plonge dans tout groupe qui verifie Γ. Toute formule ψ de Γ est vraie dans G,donc dans un groupe de type fini commutatif, donc dans un groupe fini commutatif, alors Γ estvraie dans un produit libre ?iGi ou Gi est fini commutatif. D’apres le theoreme de Kurosh (cf.[17])G est produit libre de groupes finis commutatifs avec un groupe libre. Par consequent on voit queG est forcement fini.

75


(TGP ).

(2) En raisonnant comme dans (1) et comme G est residuellement fini on voit que Γ est vraiedans K = ⊕i∈ωGi ou Gi est fini. Donc G se plonge dans K et comme K est localement fini alorsG l’est aussi. 1

(3) i) On voit qu’un groupe ayant P a (*). Soit G un groupe ayant (*) alors il existe unetheorie existentielle Γ telle que G se plonge dans tout groupe qui verifie Γ. La remarque de la page14 entraıne que G se plonge dans un groupe de presentation finie.

(3) ii) Decoule de la proposition 2.1.2 (2).(4) Un groupe G de type fini ayant (*) a un probleme des mots resoluble (cf. theoreme 4.1.1).

Soit a1, ..., an un systeme de generateur de G . Etant donne que G a un probleme des mots resolublel’ensemble suivant de formules : ∧i=1,...,m

Wi(w1(a1, ..., an), ..., wl(a1, ..., an)) = e ∧∧

j=1,...,p

Vj(w1(a1, ..., an), ..., wq(a1, ..., an)) 6= e

est recursivement enumerable. Par consequent l’ensemble :∃x1...∃xn

∧i=1,...,m

Wi(x1, ..., xl) = e ∧∧

j=1,...,p

Vj(x1, ..., xq) 6= e

est recursivement enumerable. Par consequent l’ensemble des formules existentielles est recursivement

enumerable.(5) CommeG0 est finiment expansif, alors il existe une formule existentielle ∃x1...∃xnψ(x1, ..., xn)

vraie dans G0 telle que : si G |= ∃x1...∃xnψ(x1, ..., xn) ou ψ est sans quantificateurs, alors G0 ↪→ G.Donc il y a des elements a1, ..., an ∈ G0 tels que G0 |= ψ(a1, ..., an). Soit G1 =< a1, ..., an >.

Alors d’un cote on a G1 ↪→ G0 et de l’autre comme G1 |= ∃x1...∃xnψ(x1, ..., xn), alors G0 ↪→ G1.Il clair que G1 est finiment expansif, puisque si G |= ∃x1...∃xnψ(x1, ..., xn), alors G0 ↪→ G, doncG1 ↪→ G.

(6) Cela decoule de (5), (3) et du theoreme de Neumann-Macintyre.(7) Soit G un groupe expansif. Alors il existe une theorie existentielle Γ vraie dans G telle que

G se plonge dans tout groupe qui verifie Γ et G est denombrable. Comme toute formule ψ de Γ estvraie dans G par consequent dans un sous-groupe de type fini de G, Γ est vraie dans un produitlibre ?iGi ou Gi parcourt l’ensemble de sous-groupes de type fini de G. Comme G se plonge danstous les groupes e.c., alors les Gi ont un probleme des mots resoluble. On voit donc que G seplonge dans ?iGi et d’apres le theoreme de Kurosh, G ∼= F ∗ (∗i∈ωKi) ou F est un groupe libre(denombrable), et Ki est l’intersection de G avec un conjugue d’un certain Gj . Par consequenton voit que Ki (ainsi que F)se plongent dans un groupe de type fini ayant un probleme des motsresoluble.

(8) Soient G1 et G2 deux groupes ayant (**) et soient ψ1 et ψ2 deux enonces existentielsconsistants (qu’on peut supposer primitifs) tels que Gi se plonge dans tout groupe qui verifieψi. Ecrivons ψ1 = ∃x1...∃xnϕ1(x1, ..., xn) et ψ2 = ∃y1...∃ymϕ2(y1, ..., ym) ou ϕ1 et ϕ2 sont sansquantificateurs. Soit φ(x1, ..., xn, y1, ..., ym) la formule que donne le lemme 4.3.1.2. Posons

ψ = ∃x1...∃xn∃y1...∃ym(ϕ1(x1, ..., xn) ∧ ϕ2(y1, ..., ym) ∧ φ(x1, ..., xn, y1, ..., ym))

1On designe par ⊕i∈ωGi le produit faible des Gi.

76

4.3. LES GROUPES AYANT P 77

Alors il est clair que ψ est consistante et qu’elle verifie les proprietes desirees.

�

Remarque. On ne peut avoir un lemme analogue au lemme 4.3.1.2 ou on remplace le produitcartesien par le produit libre. Plus precisement il existe n ∈ N tel que pour tout m ∈ N, il n’existepas de formule existentielle φ(x1, ..., xn, y1, ..., ym) qui verifie les conclusions du lemme 4.3.1.2 enremplacant le produit cartesien par le produit libre.

Cela decoule du theoreme 8.1 de [11]. En effet, d’apres ce theoreme, il existe un groupe e.c. Met un groupe de type fini G tel que G ∈ Age(M) et tel que G ∗H /∈ Age(M) pour tout groupe nontrivial H.

Comme G est de type fini alors il existe n tel que G est engendre par n elements a1, ...an.Supposons qu’il existe une formule existentielle φ(x1, ..., xn, y1, ..., ym) qui verifie les conclusionsdu lemme 4.3.1.2 en remplacant le produit cartesien par le produit libre. Soit H un groupede type fini ayant un probleme des mots resoluble engendre par m elements. Soit ϑ(y1, ..., ym)existentielle consistante telle que si K verifie ϑ(b1, ..., bm) alors < b1, ..., bm > est isomorphe aH. Soit K = M ∗ L avec L |= ϑ(b1, ..., bm) ou b1, ..., bm sont des elements de L. Alors la for-mule φ(a1, ..., an, b1, ..., bm) est satisfaite dans une extension de K et par consequent la formule∃y1...∃ymφ(a1, ..., an, y1, ..., ym) ∧ ϑ(y1, ..., ym) est satisfaite dans une extension de M . Comme Mest e.c. alors M |= ∃y1...∃ymφ(a1, ..., an, y1, ..., ym)∧ϑ(y1, ..., ym) et par consequent G∗H se plongedans M , contradiction.

4.3.2 Exemples

Proposition 4.3.2.1.

(1) Tout groupe fini est finiment expansif.(2) Tout groupe de presentation finie simple est finiment expansif.(3) Tout groupe abelien denombrable a la propriete (**).(4) Le produit cartesien d’un groupe finiment expansif avec un groupe de presentation finie

simple est finiment expansif.(5) Le produit libre denombrable de groupes finis a la propriete (**).(6) Le produit faible d’une famille denombrable de groupes finis a la propriete (**).

Lemme 4.3.2.2. Il existe un groupe K denombrable commutatif ayant un systeme de generateurrecursif par rapport auquel il a un probleme des mots resoluble et tel que tout groupe commutatifdenombrable se plonge dans K.

Demonstration. Soit π : ω −→ ω, la fonction recursive qui associe a chaque n ∈ ω le n-iemenombre premier πn. Soit L = (Q)(χ0) ⊕ [⊕i∈ω(Z[π∞i ])(χ0)]. Il n’est pas difficile de voir que L a unprobleme des mots resoluble.

Soit G un groupe commutatif denombrable, alors G se plonge dans un groupe commutatifdivisible G1. D’apres un resultat bien connu de la theorie des groupes commutatifs le groupe G1

est isomorphe a un sous-groupe de L et donc le groupe G se plonge dans L. Comme L a unprobleme des mots resoluble la demonstration est terminee.

77


(TGP ).

�


(1) Evidente.(2) Soit H un groupe simple de presentation finie W (a). Alors la formule ∃x(W (x) ∧ x1 6= e)

est vraie dans H et tout groupe qui la verifie contient une copie de H, car H est simple.(3) D’apres le lemme 4.3.2, tout groupe abelien denombrable G se plonge dans un groupe K

denombrable ayant un probleme des mots resoluble. D’apres le theoreme de Boone-Higman K seplonge dans un groupe simple S qui se plonge a son tour dans un groupe de presentation finie H.Soit W (a) une presentation finie de H et s un element non nul de S. Alors on voit que tout groupequi verifie l’enonce ∃x(W (x) ∧ s 6= e) contient une copie de K et par consequent une copie de Get donc G a la propriete (**).

(4) Soit G un groupe finiment expansif et H un groupe de presentation finie W (a) et simple.Soit ψ = ∃x1...∃xnϕ(x1, ..., xn) ou ϕ est sans quantificateurs, vraie dans G, et telle que tout groupequi verifie ψ contient une copie de G. Soit

φ(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = (ϕ1(x1, ..., xn) ∧ (W (y1, ..., ym) ∧ y1 6= e)∧i,j xiyj = yjxi)

On voit que l’enonce ϑ = ∃x∃yφ(x1, ..., xn, y1, ..., ym) est vrai dans G × H. Montrons queG × H se plonge dans tout groupe qui verifie ϑ. Soit K un groupe qui verifie ϑ, alors il existedes elements a1, ..., an, b1, ..., bm ∈ K tels que K |= φ(a1, ..., an, b1, ..., bm), par consequent on voitque le sous-groupe < b1, ..., bm > est isomorphe a H. Soit α ∈< b1, ..., bm > ∩ < a1, ..., an >,comme aibj = bjai on voit que α ∈ Z(H) et comme H est simple alors α = e. Il en resulte que< a1, ..., an, b1, ..., bm >∼=< a1, ..., an > ⊕ < b1, ..., bm >. Comme < a1, ..., an > verifie ψ il contientune copie de G par consequent on voit que G×H se plonge dans K.

(5) Le produit libre denombrable de groupes finis a la propriete (**). Soit (Gi)i∈ω une listerecursivement enumerable de tous les groupes finis. Alors on voit que le groupe K = ∗i∈ωGi aun probleme des mots resoluble. D’apres le theoreme de Boone-Higman K se plonge dans ungroupe simple S qui se plonge a son tour dans un groupe de presentation finie H. Soit W (a) unepresentation finie de H et s un element non nul de S. Alors on voit que tout groupe qui verifiel’enonce ∃x(W (x) ∧ s 6= e) contient une copie de K donc K a la propriete (**).

(6) La demonstration est identique a celle de (5) en remplacant ∗i∈ωGi par ⊕i∈ωGi.

�

4.4 Les groupes ayant P dans la theorie des groupes com-

mutatifs

Dans cette section la propriete P est relative a la theorie des groupes commutatifs.

78

4.4. LES GROUPES AYANT P DANS LA THEORIE DES GROUPES COMMUTATIFS 79

Proposition 4.4.1. Soit G un groupe commutatif de type fini. Les proprietes suivantes sontequivalentes :

(1) G est fini.(2) G est finiment expansif.(3) G est expansif.(4) G a la propriete (*).(5) G a la propriete (**).(6) G se plonge dans tous les groupes commutatifs e.c.

Demonstration.

(1)⇒(2) Evidente.(2)⇒(3) Evidente.(3)⇒(4) Evidente.(4)⇒(5) Decoule du Corollaire 2.3.2.(5)⇒(6) Evidente.(6)⇒(1) Si G se plonge dans tous les groupes commutatifs e.c., alors G est de torsion (cf. la

remarque de la page 28). Mais un groupe commutatif de torsion et de type fini est fini.

�

Proposition 4.4.2. Soit G un groupe commutatif denombrable. Les proprietes suivantes sontequivalentes :

(1) G est somme directe de groupes cycliques finis.(2) G est expansif.(3) G a la propriete (*).

Lemme 4.4.3. Soient m,n ∈ ω, m ≥ 1, n ≥ 1. Alors il existe r(m,n) ∈ ω tel que : pour toutensemble X tel que |X| = r(m,n) et pour toute suite de 2-coloriages χ1, ....., χm de X il existe unensemble Y ⊆ X tel que |Y | = n et χi|Y est constant pour tout i = 1, ...,m.

Demonstration. Nous nous fixons un entier n ≥ 1 et demontrons le lemme par recurrence surm.

Pour m = 1 c’est le principe des tiroirs, on peut prendre r(1, n) = 2n− 1.Pour m+1 : Soient l = 2r(m,n)−1, un ensemble X tel que |X| = l et une suite de 2-coloriages

χ1, ....., χm, χm+1. D’apres le principe des tiroirs il existe Y tel que |Y | = r(m,n) et tel queχm+1|Y est constant. D’apres l’hypothese de recurrence il existe Y ′ ⊆ Y tel que |Y ′| = n et χi|Yest constant pour tout i = 1, ...,m. Donc |Y ′| = n et χi|Y est constant pour tout i = 1, ...,m+1.

�


(1) ⇒(2). Soit G un groupe commutatif denombrable qui s’ecrit comme somme directe degroupes cycliques finis. Pour tout entier premier p on designe par D(p) la composante p-primaire

79


(TGP ).

de G. Soit H |= Th∃(G). Pour montrer que G ↪→ H, il suffit de montrer que toute composanteprimaire D(p) se plonge dans H.

On peut ecrire D(p) = ⊕i∈αAi avec Ai un groupe de la forme Zpn et ou on peut supposer queα est infini denombrable i.e α= ω. Soit I et J les deux ensembles suivants :

I = {i ∈ ω | l′ensemble {j | Ai ↪→ Aj} est fini}

J = {i ∈ ω | l′ensemble {j | Ai ↪→ Aj} est infini}

Alors on a I ∪ J = ω et I ∩ J = ∅. Par consequent D(p) = (⊕i∈IAi)⊕ (⊕j∈JAj).

Fait 1. I est fini.Supposons que I est infini. Soit l = min{nk | Ak = Zpnk , k ∈ I }. Soit j0 tel que Aj0 = Zpl .

Alors j0 ∈ I et on a Aj0 ↪→ Ak pour tout k ∈ I. Comme I est infini alors j0 ∈ J , contradictionavec I ∩ J = ∅.

�

Fait 2. Soit H un groupe commutatif tel que H |= Th∃(G), alors ⊕i∈IAi ↪→ H.

Comme I est fini et les Ai sont finis alors le groupe ⊕i∈IAi est fini et donc finiment expansif.

�

Fait 3. Soient n, k ∈ ω, n ≥ 1, k ≥ 1. Alors il existe une formule existentielle ψn,k =∃x1....∃xnϕn,k(x1, ..., xn) telle que pour tout groupe commutatif K et a1, ..., an ∈ K on a :

K |= ϕn,k(a1, ...an) si et seulement si (< a1, ...., an >= ⊕i=1,n < ai >) ∧∧

i=1,...,n

(ordre(ai) = k)

En effet il suffit de prendre pour ϕn,k(x1, ..., xn) la formule :

(∧

0<|αi|<k

(∑

αixi 6= 0)) ∧∧

i=1,...,n

(xki = e ∧ xk−1i 6= e ∧ .... ∧ x2

i 6= e ∧ xi 6= e)

�

Soit H |= Th∃(G), donc on a ⊕i∈IAi ↪→ H, pour simplifier supposons que ⊕i∈IAi ⊆ H. PosonsJ = {jt | t ∈ ω}. Pour montrer que D(p) ↪→ H, il suffit de montrer que H contient une suite(Bt :t ∈ ω ) de sous-groupes verifiant :

1. Bt ∼= Ajt .

2. Pour tout n ∈ ω, <B0, ...., Bn,⋃i∈I Ai >= (⊕t=0,nBt)⊕ (⊕i∈IAi).

Pour cela, on raisonne par recurrence sur t en utilisant le lemme 4.4.3.

80

4.4. LES GROUPES AYANT P DANS LA THEORIE DES GROUPES COMMUTATIFS 81

Pour t = 0.Comme j0 ∈ J , alors {j |Aj0 ↪→ Aj} est infini. Le groupe (Aj0)

(χ0) est isomorphe a un sous-groupe de G. On considere les enonces ψn,k du fait 3 avec k = |Aj0 |, fixe une fois pour toute dansce paragraphe. Alors pour chaque n ∈ ω, il existe des elements x1, ..., xn dans G tels que

((< x1, ..., xn >= ⊕i=1,...,n < xi > ∧∧i=1,n ordre(xi) = k)

Donc G |= (∃x1....∃xnϕn,k(x1, ..., xn)). Donc H |= (∃x1....∃xnϕn,k(x1, ..., xn)).Soit n = |I|. Soit m =

∣∣{(α1, ..., αn, β) ∈ Zn+1 | 0 < |αi| , |β| < k}∣∣. Alors G |= ψr(m,2). (r(m, 2)

est le nombre trouve au lemme 4.4.3). Donc H |= ψr(m,2). Donc H contient une suite b1, ..., br(m,2)telle que

< b1, ...., br(m,2) >= ⊕i=1,r(m,2) < bi > ∧∧i=1,r(m,2)(ordre(bi) = k)

Posons pour chaque i ∈ I, Ai =< ai >.Soit pour chaque (α, β) ∈{(α1, ..., αn, β) ∈ Zn+1 | 0 < |αi| , |β| < k}, le 2-coloriage suivant,

defini sur l’ensemble X ={b1, ..., br(m,2)

}, par :

χα,β(bi) =

{1 si

∑αiai + βbi 6= 0

0 si non

Alors d’apres le lemme 4.4.3. il existe dans X un sous-ensemble homogene Y = {bi1 , bi2}.Supposons qu’il existe α, β tels que χα,β(bi1) = 0, χα,β(bi2) = 0. Alors

∑αiai + βbi1 = 0 et∑

αiai + βbi2 = 0. Il en resulte βbi1 = βbi2 et comme 0 < |β| < k alors βbi2 6= 0 et donc< bi1 > ∩ < bi2 >6= {e}, contradiction. Donc ∀α, ∀β, χα,β(bi1) = 1. Donc < bi1 > ∩⊕i∈IAi = {e}.Alors on pose B0 =< bi1 >.

�

Pour t+ 1.Soit B0, ...., Bt la suite deja construite. Soit n = |I|+t+1. On considere, comme precedemment,

les enonces ψn,k du fait 3 avec k =∣∣Ajt+1

∣∣, fixe une fois pour toute dans ce paragraphe.Soit m =

∣∣{(α1, ..., αn, β) ∈ Zn+1 | 0 < |αi| , |β| < k}∣∣. De la meme facon on a G |= ψr(m,2).

Donc H |= ψr(m,2). Donc H contient une suite b1, ..., br(m,2) telle que

< b1, ..., br(m,2) >= ⊕i=1,r(m,2) < bi > ∧∧i=1,r(m,2)(ordre(bi) = k)

Posons pour chaque Li ∈ {B0, ..., Bt} ∪ {Ai | i ∈ I}, Li =< ai >.Soit pour chaque (α, β) ∈{(α1, ..., αn, β) ∈ Zn+1 | 0 < |αi| , |β| < ordre(Ajt+1)}, le 2-coloriage

suivant, defini sur X ={b1, ..., br(m,2)

}, par :

χα,β(bi) =

{1 si

∑αiai + βbi 6= 0

0 si non

Alors d’apres le lemme 4.4.3 il existe dans X un sous-ensemble homogene Y = {bi1 , bi2}.Supposons qu’il existe α, β tels que χα,β(bi1) = 0, χα,β(bi2) = 0. Alors

∑αiai + βbi1 = 0 et∑

αiai + βbi2 = 0. Il en resulte βbi1 = βbi2 et comme 0 < |β| < ordre(Ajt+1) alors βbi2 6= 0et donc < bi1 > ∩ < bi2 >6= {e}, contradiction. Donc ∀α,∀β, χα,β(bi1) = 1. Donc < bi1 >

∩(⊕l=1,tBl)⊕k∈I Ak) = {e}.

81


(TGP ).

�

(2)⇒(3). Evidente.(3)⇒(1). SoitG un groupe commutatif ayant (*). Donc il existe une theorie Γ existentielle telle

que G se plonge dans tout groupe commutatif qui verifie Γ. On voit comme dans la demonstrationde la proposition 4.3.1.1(1) que G est sous-groupe d’une somme directe de groupes commutatifsfinis, donc que G est somme directe de groupes commutatifs cycliques finis.

�

Remarques.

(1) A.Khelif a donne une autre demonstration de l’implication (1)⇒(2) de la proposition4.4.2.

(2) En utilisant la meme methode que celle utilisee dans la demonstration de (1)⇒(2) on peutdemontrer la proposition suivante :

Proposition 4.4.4. Soit (Ai)i∈ω une suite de groupes finis. Alors il existe une theorie existen-tielle T verifiant : tout groupe G qui verifie T contient une suite de sous-groupes (Bi)i∈ω verifiant :Bi ∼= Ai et Bi ∩Bj = {e}.

(3) Les proprietes de la proposition 4.4.2 ne sont pas equivalentes a la propriete suivante : Gse plonge dans tous les groupes e.c. commutatifs. En effet on a :

Proposition 4.4.5. Il existe un groupe commutatif qui se plonge dans tous les groupes e.c.commutatifs mais qui n’a pas (*).

Demonstration. Il suffit de considerer le groupe Q/Z : il est bien connu que les groupescommutatifs e.c. sont les groupes commutatifs divisibles contenant une copie de (Q/Z)(χ0). (cf.[13]ou notre remarque de la page 28).

�

82

Chapitre 5

Embeddings which preserve the

center

V.N.Remeslennikov proposed in 1976 the following problem : is any countable abelian group asubgroup of the center of some finitely presented group ? The problem is listed recently (cf. [10][31])as open. However in 1980, B.M.Hurley [14] announced, without proof, the following propositionwhich yields a positive answer to the above problem : a necessary and sufficient condition foran abelian group to be the center of some finitely presented group is that it should be recursivelypresentable. In this chapter we prove various results on embeddings in finitely presented groupswhich preserve the center, including the proposition stated by B.M.Hurley and the fact that thereexists a finitely presented group H with soluble word problem such that every countable abeliangroup is embeddable in the center of H. This gives of course a positive answer to the questionraised by V.N.Remeslennikov.

The main results of this chapter are :

Theorem I Let G be a countable group. Then G is embeddable in a finitely generated group Ksuch that Z(G) = Z(K) and :

(1) If G is recursively presented and Z(G) is recursively enumerable in G, then we can takeK recursively presented.

(2) If G has a soluble word problem and Z(G) has a generalized soluble word problem in G

then we can take K with soluble word problem.

Theorem II Let G be a finitely generated recursively presented group. Then G is embeddablein a finitely presented group K such that Z(G) = Z(K) and if G has a soluble word problem thenwe can take K with soluble word problem.

Corollary 1 An abelian group is the center of a finitely presented group if and only if it isrecursively presentable.

83

84 CHAPITRE 5. EMBEDDINGS WHICH PRESERVE THE CENTER

Corollary 2 An abelian group is the center of a finitely presented group with soluble wordproblem if and only if it has a presentation admitting a soluble word problem.

Corollary 3 There exists a finitely presented group H with soluble word problem such that everycountable abelian group is embeddable in the center of H.

5.1 Introduction

The goal of this introduction is to fix definitions that are going to be used and to present thesmall cancellation theory over amalgamated free products to make the paper accessible to nonexperts. We work in the following context. Let G1, G2 be groups and A a common subgroup ofG1 and G2. One considers the free product of G1 and G2 amalgamating the subgroup A and onenotes it F = G1 ∗A G2. We call G1 and G2 the factors of F . Then for every element w ∈ F suchthat w /∈ A there exists a sequence (g1, ..., gn) of elements of G1 ∪G2 such that w = g1...gn and :

(i) gi, gi+1 come from different factors.(ii) gi /∈ A.A sequence which satisfies the conditions (i)-(ii) is called reduced. It well known that if

(g1, ..., gn), (h1, ..., hm) are reduced sequences such that g1...gn = h1...hm then m = n. Thenfor every element w ∈ F we define the length of w denoted |w| by : |w| = 0 if w ∈ A and |w| = n

(if w /∈ A) where n is the length of some reduced sequence (g1, ..., gn) such that w = g1...gn.Let w ∈ F . A normal form of w is a sequence (g1, ..., gn) such that if w ∈ A then n = 1 and

w = g1 otherwise (g1, ..., gn) is reduced and w = g1...gn.Let g = g1...gn.We say that g = g1...gn is in normal form if (g1, ..., gn) is a normal form of g.A normal form (g1, ..., gn) of a word w is cyclically reduced if n = 1 or if gn and g1 are in

different factors. Then a normal form of w is cyclically reduced if and only if all normal forms ofw are cyclically reduced, which allows us to define cyclically reduced words.

A normal form (g1, ..., gn) of a word w is weakly cyclically reduced if n = 1 or if gng1 /∈ A.Then a normal form of w is cyclically reduced if and only if all normal forms of w are cyclicallyreduced, which allows us to define weakly cyclically reduced words.

A subset W of F is symmetrized if :

(i) Every element of W is weakly cyclically reduced.(ii) If w ∈W then w−1 ∈W .(iii) Every weakly cyclically reduced conjugate of every element of W is in W .

Let R be a subset of F such that every element of R is weakly cyclically reduced. The symme-

trized closure of R, denoted by W (R), is the smallest symmetrized subset of F which containsR. We denote by W0(R) the set of cyclically reduced conjugate of elements of R ∪R−1.

One has the following lemma that summarizes some properties of normal forms and symme-trized sets :

84

5.1. INTRODUCTION 85

Lemma 5.1.1. Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation.(1) Let R be a subset of F such that every element of R is weakly cyclically reduced. Then

the symmetrized closure of R is the set of all weakly cyclically reduced conjugates of elements ofR ∪R−1.

(2) If (g1, ..., gn), (h1, ..., hn) are normal forms such that g1...gn = h1...hn, then there existsa sequence (a1, ..., an, an+1) of elements of A such that a1 = an+1 = e and for every i = 1, ..., n,gi = aihia

−1i+1.

�

Let u, v ∈ F with normal form (u1, ..., un) and (v1, ..., vm) respectively. Let g = uv. We saythat g is in semi-reduced form (u, v) if unv1 /∈ A. We say that g is in reduced form (u, v) ifun, v1 are in different factors.

The object of small cancellation theory is to see, when we have a normal subgroup N ofF , what conditions insure that N does not have ”short” elements and in particular guaranteeN ∩G1 = N ∩G2 = {e}, so that in the quotient F/N ”short” elements are not ”hurt”.

Let W be a subset of F . An element b ∈ F is said to be a piece (relative to W ) if there existsdistinct elements w1, w2 ∈W such that w1 = bc1 and w2 = bc2 in semi-reduced form. This meansthat b is cancelled in the product w−1

2 .w1.

For a positive real number λ we define the following condition :

C ′(λ) : if w ∈W is in semi-reduced form (b, c) where b is a piece then |b| < λ |w|. Furthermore,for every w ∈W , |w| > (1/λ).

In practice, to verify that a set W with W = W−1satisfies C ′(λ), one takes two elements w1,w2 of W such that w1w2 6= e and one proves that the length of the word which is cancelled inthe product w1w2 is smaller than λ |w1| and λ |w2|. Using normal forms this is equivalent to thefollowing :

if w1 = am.am−1...a1 and w2 = b1...bn are in normal forms and ai...a1.b1...bi ∈ G1 ∪G2 theni < λm, i < λn. (Of course also the condition for every w ∈W , |w| > (1/λ)).

We will use the following principal theorem :

Theorem 5.1.2 [17]. Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation, W be a symme-trized subset of F and let N be the normal closure of W in F . Suppose that W satisfies C ′(λ) withλ ≤ 1

6 . If w ∈ N , with w 6= e, then w = usv in reduced form where there is a cyclically reducedr ∈W , with r = st in reduced form and |s| > (1− 3λ) |r|.

In particular, the natural map π: F → F/N embeds each factor of F .

�

85


We need also the following theorem which will be used frequently :

Theorem 5.1.3 [17] ( The conjugacy Theorem ). Let F = G1 ∗A G2 be a free product withamalgamation. Let u = u1...un be a cyclically reduced element of F where (u1, ..., un) is a normalform and n ≥ 2. Then every cyclically reduced conjugate of u can be written as ava−1 where a ∈ Aand v is the product of some cyclic permutation of (u1, ..., un).

�

Lemma 5.1.4. Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation. Let λ,α be positive realnumbers such that λ≤ α. Let R be a subset of F which satisfies :

(1) Every element of R is cyclically reduced.(2) For every r ∈ R, λ|r|+ 1 ≤ α |r|, and |r| > 1

α .If W0(R) satisfies C ′(λ) then W (R) satisfies C ′(α).

Proof. Observe that since every element of R is cyclically reduced and for every r ∈ R, |r| > 1α ,

then every element w of W (R) satisfies |w| > 1α .

By lemma 5.1.1, we know that the elements of W (R) are the weakly cyclically reduced conju-gates of elements of R∪R−1. Let w1, w2 ∈W (R) such that w1w2 6= e. We are going to prove thatif some word is cancelled in the product w1w2 then its length is smaller than α |w1| and α |w2|.

We have to consider two cases : w1,w2 are not cyclically reduced, and the second case w1

cyclically reduced and w2 is not cyclically reduced. The other cases can be reduced to the previouscases or they are obvious as the case where w1, w2 are cyclically reduced.

Let w1 = a1...an and w2 = b1...bm in normal form. Since w1 and w2 are weakly cyclicallyreduced we have an.a1 /∈ A and bm.b1 /∈ A.

Case (1) w1 and w2 are not cyclically reduced. We can write w1 = a−1n .(ana1).a2...an−1an

and w2 = b−1m .(bmb1).b2...bm−1bm. Since an.a1 /∈ A and bm.b1 /∈ A, and an, a1 are in the same

factor, bm, b1 are in the same factor the elements (ana1).a2...an−1, (bmb1).b2...bm−1 are in reducedform and are cyclically reduced and we see that they are conjugates of elements of R ∪R−1. Nowconsider how there can be cancellation in the product w1.w2. If there is no cancellation we havethe result. If |an.b1| ≤ 1 then we see that the length of any piece is smaller than 1, and since1 < α |w1|, 1 < α |w2|, we have the result. Now suppose that an.b1 ∈ A and let γ = an.b1. Wealso see that b2...bm−1.(bmb1) and γb2...bm−1.(bmb1)γ−1are cyclically reduced conjugates of someelement of R ∪R−1. Then :

w1.w2 = a−1n .((ana1).a2...an−1)γ.b2...bm−1.(bmb1).b−1

1 =

a−1n .((ana1).a2...an−1)γ.b2...bm−1.(bmb1).γ−1.an

We denote r1 the product (ana1).a2...an−1 and by r2 the product γ.b2...bm−1.(bmb1).γ−1. Thenr1 and r2 are in W0(R). It is enough to look at pieces in the product r1r2.

86

5.1. INTRODUCTION 87

But w1.w2 6= e, then r1r2 6= e and by hypothesis W0(R) satisfies C ′(λ). If d is a piece inthe product of r1 and r2 then |d| < λ |r1| and |d| < λ |r2|. But it is not difficult to see that thecorresponding piece in the product of w1 and w2 is of length |d|+ 1. Then we have :

|d|+ 1 < λ |r1|+ 1, |d|+ 1 < λ |r2|+ 1

also :|d|+ 1 < α(|r1|+ 1), |d|+ 1 < α(|r2|+ 1)

But |w1| = |r1|+ 1 and |w2| = |r2|+ 1. We have the result.

Case (2) w1 is not cyclically reduced and w2 cyclically reduced. The proof is similar tothe previous one. In this case we see that w1 = a−1

n .(ana1).a2...an−1an and w2 = b1.b2...bm−1bm

. As before since an.a1 /∈ A and an, a1 are in the same factor then the element (ana1).a2...an−1

is in reduced form and is a cyclically reduced conjugate of an element of R ∪R−1. If there existscancellation in the product of w1 and w2 then an.b1 ∈ A . As before put γ = an.b1 . We have :

w1.w2 = a−1n .((ana1).a2...an−1)γ.b2...bm−1.bm.b1.b

−11 =

a−1n .((ana1).a2...an−1)γ.b2...bm−1.bm.b1.γ

−1.an

We see also that γb2...bm−1.bm.b1γ−1 is a cyclically reduced conjugate of some element r of

R ∪R−1.As in the previous case we see that if d is a piece in the product of r1 = (ana1).a2...an−1 and

r2 = γ.b2...bm−1.bm.b1.γ−1 then |d| < λ |r1| and |d| < λ |r2|. But it is not difficult to see that the

corresponding piece in the product of w1 and w2 is of length |d|+ 1. Then we have :

|d|+ 1 < λ |r1|+ 1, |d|+ 1 < λ |r2|+ 1

also :|d|+ 1 < α(|r1|+ 1), |d|+ 1 < α |r2|

But |w1| = |r1|+ 1 and |w2| = |r2|.Hence W (R) satisfies C ′(α).

�

Lemma 5.1.5. Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation such that G1 6= A andG2 6= A. Then Z(F ) ⊆ Z(A).

Proof. Let g ∈ Z(F ) and suppose that |g| ≥ 2. Let (g1, ..., gn) be a normal form of g. Sinceg ∈ Z(F ) we have g.g−1

n = g−1n .g , hence g1...gn−1.g

−1n ...g−1

2 .g−11 .gn = e. Since gn−1 and gn are in

different factors and n ≥ 2, we see that∣∣g1...gn−1.g

−1n ...g−1

2 .g−11 .gn

∣∣ ≥ 1, which is a contradiction.Suppose |g| = 1. If g ∈ G1, since G2 6= A there exists g′ ∈ G2 −A, then g.g′.g−1.g′−1 = e which isa contradiction because the sequence (g, g′, g−1, g′−1) is reduced. The same thing holds if g ∈ G2.Hence |g| = 0. Hence Z(F ) ⊆ A and therefore Z(F ) ⊆ Z(A).

87


�

We finish this introduction with some properties (and definitions) of recursively presentedgroups and groups with soluble word problem. Let G be a countable group. We say that G isrecursively presented if it is isomorphic to some group of the form G′ =< xi : i ∈ ω | P > whereP is a recursively enumerable set of words over the set X = {xi : i ∈ ω}. We say that G has asoluble word problem if G is isomorphic to some group of the form G′ =< xi : i ∈ ω | P > whereP is a recursively enumerable set of words over the set X = {xi : i ∈ ω} and such that the groupG′ has soluble word problem relative to (X,P ).

Let G =< xi : i ∈ ω | P > and A be a subgroup of G. We say that A is recursively enumerablein G if the set of words w(xi1 , ..., xin) such that w(xi1 , ..., xin) ∈ A is recursively enumerable. Wesay that A has a generalized soluble word problem in G if the set of words w(xi1 , ..., xin) such thatw(xi1 , ..., xin) ∈ A is recursive.

Lemma 5.1.6. Let G be a finitely generated group.(1) If G is recursively presented, then Z(G) is recursively presented and Z(G) is recursively

enumerable in G.(2) If G has a soluble word problem, then Z(G) has a soluble word problem and also a gene-

ralized soluble word problem in G.

Proof.

(1). Suppose that G is generated by {a1, ..., an}. Let W (y1, ..., yn) be the set of words over theset {y1, ..., yn}. Let :

V = {w(y1, ..., yn) ∈W (y1, ..., yn) | w(a1, ..., an) ∈ Z(G)}

Since G is recursively presented the set :

M = {w(y1, ..., yn) ∈W (y1, ..., yn) | w(a1, ..., an) = e}

is recursively enumerable. Hence the set :

N ={w(y1, ..., yn) ∈W (y1, ..., yn) | w(a1, ..., an)aiw−1(a1, ..., an)a−1

i = e, i = 1, ..., n}

is recursively enumerable and N = V . Then Z(G) is recursively enumerable. Now let us showthat Z(G) is recursively presented. Let (vi(y1, ..., yn) :i ∈ ω) be a enumeration of V . Let L be theset of words on {vi | i ∈ ω}, while looking at it like a set of variables.

It is then easy to see that the set :

K = {w(vi1 , ..., vim) | w(vi1(a1, ..., an), ..., vim(a1, ..., an)) = e}

is recursively enumerable.Let X = {xi : i ∈ ω}. If w(vi1 , ..., vim) is a word in L, let w(xi1 , ..., xim) denote the word

obtained by replacing each vij by xij .

88

5.2. PRELIMINARY PROPOSITIONS 89

Let :P = {w(xi1 , ..., xim) ∈ L | w(vi1 , ..., vim) ∈ K}

and let H =< xi : i ∈ ω | P >. Then we see that H is recursively presented and it is clear thatit is isomorphic to Z(G). Indeed, we have :

H |= w(xi1 , ..., xin) = e if and only if w(xi1 , ..., xin) ∈ P if and only if G |= w(vi1 , ..., vim) = e

(2). The proof is similar to the previous one. Since G has a soluble word problem the set

V = {w(y1, ..., yn) ∈W (y1, ..., yn) | w(a1, ..., an) ∈ Z(G)}

is recursive and then Z(G) has a generalized soluble word problem in G.Similarly the set P = {w(xi1 , ..., xim) | w(vi1 , ..., vim) ∈ K} is recursive and then the group

H =< xi : i ∈ ω | P > has a soluble word problem because w(xi1 , ..., xim) = e in H if and onlyif w(vi1 , ..., vim) ∈ K if and only if w(vi1(a1, ..., an), ..., vim(a1, ..., an)) = e in G if and only ifw(xi1 , ..., xim) ∈ P .

�

We are going to use a particular case of some results of C.R.J.Clapham [8][9]. For this we willneed the following definition : let G be a finitely generated group and H a subgroup of G. We call Hstrongly benign (A-strongly benign in the vocabulary of C.R.J.Clapham) if the HNN-extensionG∗ =< G, t | t−1ht = h, h ∈ H > can be embedded in a finitely presented K with soluble wordproblem such that G and < G, t > have a generalized soluble word problem in K.

Lemma 5.1.7 (Corollary 3.8.1 in [8]). Let G be a finitely generated group with soluble wordproblem and ϕ an recursive isomorphism of a subgroup A into G such that A and ϕ(A) havegeneralized soluble word problem in G. Then the subgroup < G, t−1Gt > has a generalized solubleword problem in G∗ =< G, t | t−1at = ϕ(a), a ∈ A >.

Lemma 5.1.8 (Lemma 11.2 in [9]). A subgroup of finitely generated free group is stronglybenign if and only if it is recursive.

5.2 Preliminary propositions

Notation. Let (u1, ..., un) and (v1, ..., vm) be a sequences. The notation (u1, ..., un)≤ (v1, ..., vm)means that there exists p such that (u1, ..., un) = (vp, ..., vp+n−1).

Proposition 5.2.1. Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation and R a subset ofF which satisfies :

(i) Every element of R is cyclically reduced and every r ∈ R, satisfies |r| > 12.(ii) For every r ∈ R and for every normal form (g1, ..., gn) of r there are no i, j, i 6= j and

α, β ∈ A such that g−1i = αgjβ.

(iii) The symmetrized set W (R) satisfies C ′(λ) with λ ≤ 19 .

Let N be the normal closure of R in F and π : F → (F/N) the natural map.Then π(Z(F )) = Z(F/N).

89


Remark. We see that if r ∈ R and if there exists a normal form (g1, ..., gn) of r which satisfiesthe condition of (ii), then every other normal form (h1, ..., hn) of r satisfies also the conditionof (ii). It is not difficult to see also that the same property is true for any cyclic permutation of(g1, ..., gn) and for any normal form for the inverse of r.

Lemma 5.2.2. Let F = G1∗AG2 be a free product with amalgamation. Let g = g1...gn in normalform, n ≥ 2 and t ∈ F such that |t| ≤ 1. Suppose that

∣∣g.t.g−1∣∣ ≥ 3. Then there exists i ∈ {1, ..., n}

and α∈ F such that |α| = 1 and g.t.g−1 = g1...gi.α.g−1i ...g−1

1 , is in normal form.

Proof. By induction on n.We start with n = 2.If

∣∣g2.t.g−12

∣∣ = 0 then∣∣g.t.g−1

∣∣ ≤ 1 which is a contradiction. Therefore∣∣g2.t.g−1

2

∣∣ ≥ 1. If∣∣g2.t.g−12

∣∣ = 3 then we put α = t and we have the result. If∣∣g2.t.g−1

2

∣∣ = 1 then we put α = g2.t.g−12

and we have the result.We go from n to n+ 1.If

∣∣gn+1.t.g−1n+1

∣∣ = 3 then we put α = t and we have the result. If∣∣gn+1.t.g

−1n+1

∣∣ = 1 then weput α = gn+1.t.g

−1n+1 and we have the result. If

∣∣gn+1.t.g−1n+1

∣∣ = 0 then we put t‘ = gn+1.t.g−1n+1

and g‘ = g1...gn and we have∣∣g.t.g−1

∣∣ =∣∣g‘.t‘.g‘−1

∣∣ ≥ 3 and |t‘| ≤ 1. By the induction hypothesis,there exists i ∈ {1, ..., n} and α∈ F , |α| = 1 such that g‘.t‘.g‘−1 = g1...gi.α.g

−1i ...g−1

1 , in normalform. Therefore we have the result.

�

Proof of proposition 5.2.1. We suppose π(Z(F )) 6= Z(F/N), and we prove that there existsr ∈ R that does not satisfy the condition (ii).

Let π(g) ∈ Z(F/N) such that π(g) /∈ π(Z(F )). Let g0 ∈ π(g) of minimal length.Since π(g0) ∈ Z(F/N), we have for every t ∈ F such that |t| ≤ 1, g0.t.g−1

0 .t−1 ∈ N . Sinceg0 /∈ Z(G) there exists t0 ∈ F , such that |t0| ≤ 1 with g0.t0.g−1

0 .t−10 6= e.

By theorem 5.1.2 there exists w ∈W (R), cyclically reduced such that∣∣g0.t0.g−10 .t−1

0

∣∣ > (1− 3λ) |w|

We have∣∣g0.t0.g−1

0

∣∣ ≥ ∣∣g0.t0.g−10 .t−1

0

∣∣− 1 > (1− 3λ) |w| − 1. Since λ ≤ 19 and |w| > 9 a simple

count gives us (1−3λ) |w| > 23 .9 = 6, hence

∣∣g0.t0.g−10

∣∣ ≥ 3. We have also∣∣g0.t0.g−1

0 .t−10

∣∣ ≤ 2 |g0|+2,and

∣∣g0.t0.g−10 .t−1

0

∣∣ > (1 − 3λ) |w|, hence∣∣g0.t0.g−1

0 .t−10

∣∣ > 6 and hence 2 |g0| + 2 ≥ 6 therefore|g0| ≥ 2.

Let (a1, ..., an) be a normal form of g0, then n ≥ 2. By lemma 5.2.2 there exists i ∈ {1, ..., n}and α∈ F , such that |α| = 1 and g0.t0.g−1

0 = a1...ai.α.a−1i ...a−1

1 , is in normal form.We have three cases to consider :

∣∣a−11 .t−1

0

∣∣ = 0,∣∣a−1

1 .t−10

∣∣ = 1,∣∣a−1

1 .t−10

∣∣ = 2. We are going totreat just the case

∣∣a−11 .t−1

0

∣∣ = 0, the other cases can be treated similarly.Let γ = a−1

1 .t−10 . We remark that i ≥ 2 because

∣∣g0.t0.g−10 .t−1

0

∣∣ > (1 − 3λ) |w|> 6. Then thesequence (a1, ..., ai, α, a

−1i , ..., a−1

2 γ) is a normal form of h = g0.t0.g−10 .t−1

0 . To simplify notationswe denote the previous normal form by (v1, v2, ..., vm).

By theorem 5.1.2, there exists a normal form (u1, ..., um) of h, there exists a normal form(w1, ..., wq) of w, there exists l > (1− 3λ) |w| and there exists p ∈ {1, ...,m} such that

90

5.2. PRELIMINARY PROPOSITIONS 91

(up, ..., up+l−1) = (w1, ..., wl).

By theorem 5.1.3 there exists a ∈ A and r where r is the product of a cyclic permutation ofsome r′ ∈ R ∪R−1, such that w = a−1ra.

Let (r1, ..., rq) be a normal form of r. Then (a−1r1, ..., rqa) is normal form of w and by lemma5.1.1, there exists a sequence (α1, ...αq+1) of A such that

wj = αjrjα−1j+1 for j 6= 1, j 6= q, and w1 = α1a

−1r1α−12 , wq = αqrqaα

−1q+1

Similarly there exists a sequence (β1, ..., βm+1) of A such that uj = βjvjβ−1j+1. Then we have :

(βpvpβ−1p+1, ...., βp+l−1vp+l−1β

−1p+l) = (α1a

−1r1α−12 , ..., αlrlα

−1l+1) (∗)

Let us show that : (vp, ..., vp+l−1) � (a1, ..., ai, α) and (vp, ..., vp+l−1) � (α, a−1i , ..., .., a−1

2 γ).Suppose that (vp, ..., vp+l−1) ≤ (a1, ..., ai, α) or that (vp, ..., vp+l−1) ≤ (α, a−1

i , ..., .., a−12 γ).

Then for some k, x we have (vp+1, ..., vp+l−2) = (ak, ..., ax). By (*) we have :

(ak, ..., ax) = (vp+1, ...., vp+l−2) = (β−1p+1α2r2α

−13 βp+2, ..., β

−1p+l−2αl−1rl−1α

−1l βp+l−1)

Then we have

g0 = a1...ak−1.(β−1p+1(α2r2α

−13 )βp+2β

−1p+2.....βp+l−2β

−1p+l−2(αl−1rl−1α

−1l )β−1

p+l−1).ax+1...an =

a1...ak−1.(β−1p+1(α2r2...rl−1α

−1l )β−1

p+l−1).ax+1...an

Since π(r2...rl−1) = π(r−11 r−1

q ...r−1l ) we have :

π(g0) = π(a1...ak−1.(β−1p+1(α2r

−11 r−1

q ...r−1l α−1

l )β−1p+l−1).ax+1...an)

Let

d = a1...ak−1.(β−1p+1(α2r

−11 r−1

q ...r−1l α−1

l )β−1p+l−1).ax+1...an

Since l > (1− 3λ) |r|, and λ ≤ 19 then l − 2 > (1− 3λ) |r| − 2 > 2

3 |r| − 2 and since |r| > 12 asimple count shows us 2

3 |r| − 2 > 12 |r|, hence l − 2 > 1

2 |r|.Therefore we have

∣∣r−11 r−1

q ...r−1l

∣∣ ≤ q − l + 2 < 12 |r|. Then we have

|d| =∣∣∣a1...ak−1.(β−1

p+1(α2r−11 r−1

q ...r−1l α−1

l )β−1p+l−1).ax+1...an

∣∣∣ ≤ (k − 1) + (q − l + 2) + (n− x)

< (k − 1) + 12 |r|+ (n− x)

Since |g0| = (k − 1) + (l − 2) + (n− x) and l − 2 > 12 |r| we have |d| < |g0|.

We have π(d) = π(g) = π(g0) and |d| < |g0|. This contradicts the fact that the length of g0 isminimal.

Hence there exist k, j such that (vp, ..., vp+l−1) = (ak, ...., ai, α, a−1i , ..., a−1

j ). Therefore we seethat there exist i1, i2 and δ, µ ∈ A such that δri1µ = r−1

i2, which contradicts condition (ii).

�

91


Definitions.

Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation and R a subset of F .

(1) Let C be a set of normal forms. We say that C defines explicitly R or that R is explicitly

defined by C if :(i) If (c1, ..., cn) ∈ C, then c1...cn ∈ R ∪R−1.(ii) For every r ∈ R ∪R−1, there exists a normal form (c1, ..., cn) ∈ C such that r = c1...cn.

(2) For every set C of normal forms we denote by C the set of all cyclic permutation of elementsof C.

(3) Let C be a set of normal forms and λ a positive real number such that λ ≤ 16 . We define

L(C, λ) to be

L(C, λ) ={(g, c, l) ∈ F × C × N | c = (c1, ..., cn), (1− 3λ)n < l ≤ n,

∃α, β ∈ A, such that αgβ = c1...cl}

Proposition 5.2.3. Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation such that :

(i) G1 and G2 have a soluble word problem.(ii) A has generalized soluble word problem in both G1 and G2.

Let R be a subset of F , explicitly defined by C, such that :

(1) Every element of R is cyclically reduced.(2) The symmetrized set W (R) satisfies C ′(λ) with λ ≤ 1

6 .(3) For every n ∈ N∗, the set {c ∈ C | |c| ≤ n} is finite.(4) The map defined by : ϕ(n) = {c ∈ C | |c| ≤ n} is recursive.(5) The set L(C, λ) is recursive.(6) There exists an algorithm which for every (g, c, l) ∈ L(C, λ) produces (α, β) ∈ A2 such that

αgβ = c1...cl.

Let N be the normal closure of R in F . Then (F/N) has a soluble word problem.

Lemma 5.2.4. Let F = G1 ∗A G2 be a free product with amalgamation and R a subset of F ,explicitly defined by C, and such that every element of R is cyclically reduced. Suppose that W (R),the symmetrized closure of R, satisfies C ′(λ) with λ ≤ 1

6 . Let N be the normal closure of R in F .Let w ∈ N , with w 6= e, and let (g1, ..., gn) be a normal form of w. Then there exists i, 1 ≤ i ≤ n,c ∈ C and l ∈ N, such that : (gi...gi+l−1, c, l) ∈ L(C, λ).

We call c a witness of w.

92

5.3. PROOF OF THEOREM I 93

Proof. By theorem 5.1.2 there exists r ∈W (R) cyclically reduced such that r = s.t in reducedform and w = usv in reduced form and |s| > (1−3λ) |r|. To simplify notations we write w = u1...un,r = v1...vm where (u1, ..., un) and (v1, ..., vm) are normal forms and (ui, ..., ui+l−1) = (v1, ..., vl),l > (1−3λ) |r|. By lemma 5.1.1 there exists a sequence (α1, ..., αn+1) of A such that gi = αiuiα

−1i+1.

Since r ∈ W (R) is cyclically reduced by the conjugacy theorem (theorem 5.1.3) there exists r0 acyclic permutation of an element of R ∪ R−1 and γ∈ A such that : r = γr0γ

−1. Since C definesexplicitly R, there exists c = (c1, ..., cm)∈ C such that (c1, ..., cm) is a normal form of r0. Thereforewe see that the sequence (γc1, ..., cmγ−1) is a normal form of r, hence by lemma 5.1.1 there existsa sequence (β1, ..., βm+1) of A such that vi = βiciβ

−1i+1, for i 6= 1 and i 6= m, v1 = β1γc1β

−12 and

vm = βmcmγ−1β−1

m+1. A simple count shows us that :

gi...gi+l−1 = αiui....ui+l−1α−1i+l = αiβ1γc1....clβ

−1l+1α

−1i+l.

Therefore (gi...gi+l−1, c, l) ∈ L(C, λ).

�

Proof of proposition 5.2.3. In this proof the natural map π : F → F/N is written π(w) = w .Let w ∈ (F/N) written as a word in the generators of (F/N). Since F has a soluble word problem,one can determine if w = e or no. If it is the case, then w = e. Otherwise, since A has a generalizedsoluble word problem, one can calculate a normal form (g1, ..., gn) of w. If w ∈ N, then by lemma5.2.4, there exists i, 1 ≤ i ≤ n, c ∈ C and l ∈ N, such that (gi...gi+l−1, c, l) ∈ L(C, λ). We see thatwe must have : |c| < |w|

(1−3λ) . Since the map ϕ(n) = {c ∈ C | |c| ≤ n} is recursive we compute the set

K ={c ∈ C | |c| ≤ |w|

(1−3λ)

}which is finite. Then we compute all cyclic permutations of elements

of K. For every a ∈K, for every l such that 1 ≤ l ≤ |a| , l > (1− 3λ) |a|, and for every i such thati+ l− 1 ≤ n, let us check whether (gi...gi+l−1, a, l) ∈ L(C, λ). Since L(C, λ) is recursive the aboveprocedure is recursive. If at every stage the answer to the question (gi...gi+l−1, a, l) ∈ L(C, λ) is no,then w /∈ N and hence w 6= e. If at some stage the answer to the question (gi...gi+l−1, a, l) ∈ L(C, λ)is yes, by (6), there exists an algorithm which produces α, β ∈ A such that gi...gi+l−1 = αa1...alβ.Put w1 = g1...gi.α

−1a−1m ...a−1

l+1β−1.gl+1...gn. Then we see that w = w1 and |w1| < |w|. Then we

will redo the same thing for w1.At the end of the process we have (w,w1, ..., wt), such that |wt| < |wt−1| <...|w1| < |w| and wt

does not have any witness in C. If wt = e, then w ∈ N , otherwise w /∈ N .

�

5.3 Proof of theorem I

Let G be a countable group generated by {ai | i ∈ N∗}.Let G1 = G× < x | > and G2 = Z(G)× < y | > where < x | > and < y | > are two copy of

the free group on one generator. Let F = G1 ∗Z(G) G2. By lemma 5.1.5, we have Z(F ) ⊆ Z(G),and since Z(F ) ⊇ Z(G), we have Z(F ) = Z(G).

Let x1, x2 ∈< x |>, such that x1 6= x2, x1x2 6= e, x1 6= e and x2 6= e. Let for every i ∈ N∗ :

wi = a−1i .(x1y)80(i−1)+1(x2y)(x1y)80(i−1)+2(x2y)(x1y)80(i−1)+3(x2y)......(x1y)80i(x2y) (∗)

93


It is clear that wi is cyclically reduced.Let W (R) be the symmetrized closure of R = {wi | i ∈ ω}. Let W0(R) be the set of cyclically

reduced conjugates of elements of R ∪R−1. Now we show that W0(R) satisfies C ′( 110 ).

Let α1, α2 ∈W0(R) such that α1.α2 6= e, then by theorem 5.1.3, there exists r1, r2∈R∪R−1 anda, b ∈ Z(G) such that α1 = a.r′1.a

−1 and α2 = b.r′2.b−1 where r′1, (resp. r′2) is a cyclic permutation

of r1 (resp. r2). Since a, b ∈ Z(G), we have α1 = r′1, and α2 = r′2. Since α1.α2 6= e, we haver

′

1.r′

2 6= e. An classical argument like the one used in the book of R.C.Lyndon and P.E.Schupp([17], p. 283 or p. 290) shows that W0(R) satisfies C ′( 1

10 ). By lemma 5.1.4, W (R) satisfies C ′(1/9).Hence by theorem 5.1.2 F/N embeds G.We see that F/N is finitely generated. We see also that if G is recursively presented and Z(G)

is recursively enumerable in G then F/N is recursively presented. It is not difficult to see that Rsatisfies the assumption of proposition 5.2.1, hence Z(F/N) = π(Z(F )) = π(Z(G)).

Now suppose that G has a soluble word problem and Z(G) has a generalized soluble wordproblem in G.

Then we see that Z(G) has soluble generalized soluble word problem in G2 = Z(G)× < y | >.Hence F has a soluble word problem.

Let us show that W (R) satisfies the conditions of the proposition 5.2.3. Let C0 be the set ofnormal forms given in (*). Let C be the set obtained by adding to C0 the set of normal forms ofthe inverses of the elements of C0. Then it is clear that C defines explicitly R. It is clear that Rsatisfies the conditions (1)-(4) of proposition 5.2.3.

It is sufficient now to show that L(C, λ) is recursive and that there is an algorithm which forevery (g, c, l) ∈ L(C, λ) produces (α, β) ∈ Z(G)2 such that αgβ = c1...cl.

Let (g, c, l) ∈ F ×C ×N. Then it easy to see that we can calculate a sequence (g0, ..., gn) suchthat g = g0...gn and :

(i) g0 ∈ Z(G), (g1, ..., gn) is a normal form.(ii) if gi ∈ G1 then gi = αi.x

ni , ni ∈ Z, αi ∈ G− Z(G) or αi = e.(iii) if gi ∈ G2 then gi = ypi , pi ∈ Z.

Let us prove the following claim :

Claim. Let (g0, ..., gn) be a sequence which satisfies the conditions (i)-(iii) and let (c, l) ∈ C×Nwith c = (c1, ..., cm). Then the following properties are equivalents :

(1) There exist α, β ∈ Z(G), such that αgβ = c1...cl.(2) n = l and one of the following conditions is satisfied :

(a) If there exists q such that cq = a−1i x1 then :

- For every k such that ck ∈{x1, x2, x

−11 , x−1

2

}, αk = e and gk = ck.

- For every k such that ck ∈{y, y−1

}, gk = ck.

- αqai ∈ Z(G), and xnq = x1.(b) If there exists q such that cq = x−1

1 ai then :- For every k such that ck ∈

{x1, x2, x

−11 , x−1

2



}, gk = ck.

- αqa−1i ∈ Z(G), and xnq = x1.

94

5.3. PROOF OF THEOREM I 95

(c) If there is no q such that cq = a−1i x1 or cq = x−1

1 ai then :- For every k such that ck ∈

{x1, x2, x

−11 , x−1

2



}, gk = ck.

If (a) is satisfied then if we take α = e and β = a−1i α−1

k g−10 then αgβ = c1...cl.

If (b) is satisfied then if we take α = e and β = aiα−1k g−1

0 then αgβ = c1...cl.If (c) is satisfied then if we take α = e and β = g−1

0 then αgβ = c1...cl.Observe that there is at most one k such that ck = a−1

i x1 or ck = x−11 ai.

Proof. (1)⇒(2).Let α, β ∈ Z(G), such that αgβ = c1...cl. Since α, β ∈ Z(G), we have αgβ = αβg. Then we

have :(αβg0g1).g2...gn.c−1

l ...c−11 = e

Since the sequence (αβg0g1, g2, ..., gn) is a normal form we must have n = l.It is not difficult to see, by induction, that : gkc−1

k ∈ Z(G) for k = 1, ..., n.We only treat the case (a), the other cases can be treated similarly.

(a) If there exists q such that cq = a−1i x1 then :

- Let k such that ck ∈{x1, x2, x

−11 , x−1

2

}. Since gkc−1

k ∈ Z(G), we have gk = αk.xnk = a.ck

where a ∈ Z(G). Hence we must have αk = e and gk = ck.- Let k such that ck ∈

{y, y−1

}. Since gkc−1

k ∈ Z(G), gk = ypk = a.ck where a ∈ Z(G).Then this implies that : a = e and gk = ypk = ck.

- Since gqc−1q ∈ Z(G) then gq = αq.x

nq = a.a−1i x1 where a ∈ Z(G). Hence we have

xnq = x1 and αq.ai = a ∈ Z(G).

(2)⇒(1)

It is sufficient to calculate. We treat only the case (a), the other cases can be treated similarly.Suppose that (a) is satisfied then we have : g1...gnc−1

n ...c−11 = αqai. Let α = e and β =

a−1i α−1

k g−10 . Then we have :

αg0g1...gnc−1n ...c−1

1 β = g0αqaiβ = e.

Hence αgβ = c1...cl.

�

Since F has a soluble word problem and Z(G) has a generalized soluble word problem in F wesee that the procedures (a) (b) (c) are recursive. Therefore we see that L(C, λ) is recursive andthat there is an algorithm which for every (g, c, l) ∈ L(C, λ) produces (α, β) ∈ Z(G)2 such thatαgβ = c1...cl.

�

95


5.4 Proof of theorem II

The proof is in two stages. In the first stage, we prove the first part of the theorem (let G befinitely generated recursively presented group. Then G is embedable in a finitely presented groupK such that Z(G) = Z(K)). In the second stage, we prove the second part of the theorem (if Ghas a soluble word problem then we can take K with soluble word problem).

Stage 1. 1 Let G be a finitely generated and recursively presented group. Let {a1, ..., an} be agenerating set of G. Let :

G0 =< G, z | z−1gz = g, g ∈ Z(G) >

SinceG is recursively presented, we can apply lemma 5.1.6 and then Z(G) is recursively enumerablein G. Hence G0 is recursively presented. It is easy to see that Z(G0) = Z(G). The group G0 isgenerated by the set {a1, ..., an, z}. Hence there is an isomorphism ν : FX/R ∼= G0, where FX isthe free non-abelian group of rank n + 1 with basis X = {x1, ..., xn, xn+1}, and R is the normalclosure of the presentation ( which is recursively enumerable) of G0 and ν satisfies : ν(xi) = ai,for i = 1, ..., n and ν(xn+1) = z where xi is the class of xi relative to the subgroup R. Let :

FR =< FX , d | d−1rd = r, r ∈ R >

By Higman’s embedding theorem FR is embeddable in a finitely presented group say H. Wi-thout loss of generality we can assume that x1, ..., xn, xn+1 are included among the generatingsymbols of the given presentation of H. If w is a word in the generators of FX , let w denote theword of G0 obtained by replacing each xi by ai for i = 1, ..., n and xn+1 by z.

In FR the subgroup L generated by FX and d−1FXd is the free product of FX and d−1FXdwith R amalgamated.

Define a homomorphism : φ : L→ G0 by φ(w) = w and φ(d−1wd) = e. Since the two definitionsagree on the amalgamated part, φ is well-defined.

Consider the group H × G0. We shall use the ordered pair notation to denote elements ofthis group. Viewing L as a subgroup of H, we consider the subgroup L × Z(G0). Define a mapψ : L×Z(G0) → H×G0 by ψ((l, g)) = (l, φ(l).g). Let us show that ψ is an injective homomorphism.We have :

ψ((l1, g1).(l2, g2)) = ψ((l1.l2, g1.g2)) = (l1l2, φ(l1l2).g1.g2)

ψ((l1, g1)).ψ((l2, g2)) = (l1, φ(l1).g1).(l2, φ(l2).g2) = (l1l2, φ(l1).g1φ(l2).g2)

Since g1, g2 ∈ Z(G0) we have φ(l1).g1φ(l2).g2 = φ(l1).φ(l2).g1.g2, and since φ is an homomor-phism we have φ(l1).φ(l2) = φ(l1.l2). Hence ψ((l1, g1).(l2, g2)) = ψ((l1, g1)).ψ((l2, g2)). Hence ψ isan homomorphism and it is clear that ψ is injective.

Hence we can form the HNN-extension :

K =< H ×G0, s | s−1(l, g)s = (l, φ(l).g), l ∈ L, g ∈ Z(G0) >

1The beginning of the proof of this stage is inspired by the proof of Higman’s embedding theorem.

96

5.4. PROOF OF THEOREM II 97

Viewing G as a subgroup of G0 and hence as a subgroup of H ×G0 we can form the followingfree product with amalgamation :

Γ = K ∗G G× < t | >

Let :r = (s−1z).t.z.t2.z.t3.z...z.t80

Let N be the normal closure of {r} in Γ. Let us show that Γ/N can be finitely presented. A set ofdefining relations for Γ/N can be obtained by taking the union of the following relations :

1. The defining relations for H.

2. The relation : s = z.t.z.t2.z.t3.z...z.t80.

3. The relations saying that the generators of G0 commute with the generators of H.

4. The relations saying that the generators of G commute with t.

5. The defining relations for G0.

6. The relations : s−1(l, g)s = (l, φ(l).g), for a set of generators of L, and for every g ∈ Z(G0).

It is clear that Γ/N is finitely generated.We now introduce a set of relations denoted by (7) :

(7) s−1(l, e)s = (l, φ(l)), where l belongs to a finite generating set of L.

We are going to prove that the relations (5)-(6) follow from the relations (1)-(4) and (7), andthis will show that Γ/N is finitely presented since (1)-(4) are finite as well as (7).

First we prove that the relations (5) follow from the relations (7) and (1)-(4).Let w be a word on the generators of G0 such that w = e. Then the corresponding word w on

the generators of FX is in R. Now from (7) we have :

s−1(w, e)s = (w, φ(w))

By definition of φ we have s−1(w, e)s = (w,w). Since d−1wd = w (which is a consequence of(1)) we have :

(w, e) = (d−1wd, e)

But by the definition of φ and from (7),

s−1(d−1wd, e)s = s−1(w, e)s = (w, φ(d−1wd)) = (w, e) = (w,w)

Hence w = e follows.Now let us show that the relations (6) follow from the relations (7) and (1)-(5).By (5) we have : every g ∈ Z(G0) satisfies g.z = z.g. And by (4) we have : every g ∈ Z(G0)

satisfies g.t = t.g. Hence by (2) ( s = z.t.z.t2.z.t3.z...z.t80) we have : every g ∈ Z(G0) satisfies

97


g.s = s.g which can be written : (e, g).s = s.(e, g) in the ordered pair notation. Now

s−1(l, g)s = s−1(l, e)(e, g)s

Hences−1(l, g)s = s−1(l, e)s(e, g)

And by the relations (7),s−1(l, g)s = (l, φ(l)).(e, g)

Hence s−1(l, g)s = (l, φ(l).g), for a set of generators of L, and for every g ∈ Z(G0).This completes the proof of the fact that Γ/N is finitely presented.

Now we show that the natural map π : Γ → Γ/N embeds G0 and that one has Z(Γ/N) =π(Z(G0)). Since Z(G) = Z(G0) and G ⊆ G0 this completes the proof.

We first prove the following claim :

Claim 1. Let a, b ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}and α, β ∈ G then :

aαb = β in Γ if and only if a = b−1 and α = β ∈ Z(G)

Proof.

If a = b−1 and α = β ∈ Z(G) then it is clear that aαb = β.We see that if aαb = β then α = a−1βb−1 and so it is sufficient to prove the above property

for a ∈{z, s−1z

}.

If a = z and b = s−1z ( resp b = z−1s) this implies that the sequence (zα, s−1, zβ−1), (resp(zαz−1, s, β−1)) is not reduced in the HNN-extension K, which is clearly a contradiction. So ifa = z then b ∈

{z, z−1

}. Now if b = z, the sequence (z, α, z, β−1) is not reduced in the HNN-

extension G0 which is a contradiction. So if a = z then b = z−1. Hence the sequence (z, α, z−1, β−1)is not reduced in the HNN-extension G0, so α ∈ Z(G), and hence α = β.

Now if a = s−1z and b = z ( resp b = z−1) the sequence (s−1, zαzβ−1), (resp (s−1, zαz−1β−1))is not reduced in the HNN-extension K, which is clearly a contradiction. So if a = s−1z thenb ∈

{s−1z, z−1s

}. Now if b = s−1z, the sequence (s−1, zα, s−1, β−1) is not reduced in the HNN-

extension K , which is a contradiction. So if a = s−1z then b = z−1s. Hence the sequence(s−1, zαz−1, s, β−1) is not reduced in the HNN-extension K, so zαz−1 ∈ L×Z(G). So there exists(l, g) ∈ L × Z(G) such that zαz−1 = l.g. So we must have l = e and α = g ∈ Z(G). Sinces−1zαz−1s = β we have α = β. This completes the proof.

�

By lemma 5.1.5, we have Z(Γ) ⊆ Z(G). Let g ∈ Z(G), then we see that g commute with t.It is also clear that g commute with s and all the generators of H. Hence we have Z(G) ⊆ Z(Γ).Therefore we have Z(G) = Z(Γ). Let R0 = {r}, then we see easily, using the above claim, that R0

satisfies the conditions (i)-(ii) of proposition 5.2.1. Therefore by proposition 5.2.1 and theorem5.1.2, it is sufficient to show that the symmetrized closure of R0 satisfies C ′( 1

10 ).

98


We view Γ as a free product with amalgamation and not as an HNN-extension. Hence we seethat |r| = 160. By lemma 5.1.4, it is sufficient to show that the set W0(R0) of cyclically reducedconjugates of the elements of {r} ∪

{r−1

}satisfies C ′( 1

70 ).Let w1, w2 ∈ W0(R0) such that w1.w2 6= e. By the conjugacy theorem (theorem 5.1.3)

there exists α, β ∈ G and r1, r2 a cyclic permutations of elements of {r} ∪{r−1

}such that

w1 = α.r1.α−1 and w2 = β.r2.β

−1. We can write r1 = a1....an and r2 = b1...bn where ai, bi ∈{z, z−1, tj , t−i, s−1z, z−1s

}. Now consider how there can be cancellation in the product w1.w2.

Now if there is a cancellation in the product w1.w2 we must have : an and b1 are in the samefactor and

∣∣anα−1βb1∣∣ = 1 or

∣∣anα−1βb1∣∣ = 0. Let us prove that the length of any piece is at most

2.If

∣∣anα−1βb1∣∣ = 1 then it is clear that the length of the piece which was cancelled is 1. So we

consider the case∣∣anα−1βb1

∣∣ = 0, so the case anα−1βb1 ∈ G. Now if an ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}and b1 ∈

{t−i, tj

}, we see that

∣∣anα−1βb1∣∣ = 1. The same thing holds if an ∈

{t−i, tj

}and

b1 ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}. Therefore we have the following two cases to consider :

Case (1) an, b1 ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}. Since anα−1βb1 ∈ G, by claim 1 we have anα−1βb1 =

α−1β, and α−1β ∈ Z(G), b1 = a−1n . So :

an−1anα−1βb1b2 = an−1α

−1βb2

But since an, b1 ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}we must have an−1, b2 ∈

{ti, t−j

}. So :

an−1anα−1βb1b2 = α−1βan−1b2

Now if an−1.b2 = e then we have : r1 = a1....an−1.an and r2 = a−1n .a−1

n−1...bn. But a cyclicpermutation of (s−1z, t, z, t2, z, t3, z, ..., z, t80) or of (t−80, z−1, ..., z−1, t−3, z−1, t−2, z−1, t−1, z−1s)is uniquely determined by the two first of its elements.

(To see what happens we illustrate the situation : if an = z and an−1 = ti then b1 = z−1 andb2 = t−i. Therefore

r1 = ti+1....z.t80.s−1z.t....ti−1.z.ti.z

r2 = z−1.t−i.z−1.t−(i−1)....t−1.z−1s.t−80.z−1....z−1.t−(i+1)

Then we see that r1r2 = e.)So we have r1.r2 = e. Since α−1β ∈ Z(G) we have :

w1w2 = αα−1βr1r2β−1 = e

So w1w2 = e which is a contradiction. So an−1.b2 6= e and hence∣∣an−1α

−1βb2∣∣ = 1. So the

length of the piece which was cancelled is 2 .

Case (2) an, b1 ∈{ti, t−j

}. Since anα−1βb1 ∈ G, we have an.b1 = e and :

an−1anα−1βb1b2 = an−1α

−1βb2

99


Now if an−1α−1βb2 ∈ G, and since we must have an−1, b2 ∈

{z, z−1, s−1z, z−1s

}then by claim

1, we have an−1α−1βb2 = α−1β, and α−1β ∈ Z(G), b2 = a−1

n−1. So as in the previous case we haver1.r2 = e . Since α−1β ∈ Z(G) we have :

w1w2 = αα−1βr1r2β−1 = e

So w1w2 = e which is a contradiction. So an−1.α−1β.b2 /∈ G and hance

∣∣an−1α−1βb2

∣∣ = 1. Sothe length of the piece which was cancelled is 2.

Now since |w1| = |w2| = 160 and the maximal length of the piece which was cancelled is 2, asimple count show that : 2 < 160

70 = 170 |w|. Hence W0(R0) satisfies C‘( 1

70 ).This completes the proof of this stage.

Stage 2. Suppose that G has a soluble word problem. By lemma 5.1.6 Z(G) has a generalizedsoluble word problem in G. So G0 has a soluble word problem. Hence R is a recursive subgroup ofFX . By lemma 5.1.8 R is a strongly benign subgroup. Hence FR is embeddable in finitely presentedgroup H1 such that FX and < FX , d > have a soluble generalized soluble word problem in H1.

It is clear that the proof of the stage 1 is independent of the choice of the finitely presentedgroup H. Therefore we apply the same construction and we assume that H = H1.

Let us show that Γ and R0 satisfy the conditions of proposition 5.2.3.By lemma 5.1.7 the subgroup L =< FX , d−1FXd > has a generalized soluble word problem in

FR =< FX , d | d−1rd = r , r ∈ R >

So it is easy to see that L has a generalized soluble word problem in H. We see also thatL× Z(G) has a generalized soluble word problem in H ×G0.

Let us show that ψ(L×Z(G)) has a soluble generalized soluble word problem in H ×G0. Let(h, g) in H×G0. Since L has a generalized soluble word problem in H, one can determine whetherh ∈ L. If h /∈ L then (h, g) /∈ ψ(L×Z(G)). If h ∈ L then we compute φ(h) (φ is clearly computable).Now if there exists g0 ∈ Z(G) such that φ(h).g0 = g we must have φ(h)−1g ∈ Z(G). Since Z(G)has a generalized soluble word problem in H × G0 we can determine whether φ(h)−1g ∈ Z(G).Then if φ(h)−1g /∈ Z(G) then (h, g) /∈ ψ(L× Z(G)). If φ(h)−1g ∈ Z(G) then we have

ψ(h, φ(h)−1g) = (h, φ(h)φ(h)−1g) = (h, g)

So (h, g) ∈ ψ(L× Z(G)).The maps ψ,ψ−1 are computable and L×Z(G),ψ(L×Z(G)) have a generalized soluble word

problem in H × G0. Therefore K has a soluble word problem and we can calculate the normalform relative to the structure of the HNN-extension of K.

Hence the group G has a generalized soluble word problem in K, it also has a generalizedsoluble word problem in G× < t | >.

So Γ has a soluble word problem and we can calculate the normal form relative to its structureof free product with amalgamation.

100


Therefore, it is sufficient to show that R0 = {r} satisfies the conditions of proposition 5.2.3. LetC =

{((s−1z), t, z, t2, ..., z, t80), (t−80, z−1, ..., t−1, (z−1s))

}. Then we see that C defines explicitly

{r}. We see also that {r} satisfies the conditions (1)-(4) of proposition 5.2.3. Then it is sufficientto show that the set L(C, λ) is recursive and there exists an algorithm which satisfies condition(6) of the proposition 5.2.3. We will need the following claim :

Principal Claim. Let w ∈ Γ with the following normal form (α1a1β1, ..., αnanβn) where αi, βi ∈G and ai ∈

{z, z−1, s−1z, z−1s, t−i, tj

}. Then the following conditions are equivalents :

1. There exist a, b ∈ G such that awb = a1...an.

2. Let I ={i | ai ∈

{z, z−1, s−1z, z−1s

}}. Then for every i, j ∈ I such that i < j :

(βi.αi+1βi+1.αi+2.....βj−1.αj) ∈ Z(G)

If (2) is true then :- if an ∈

{z, z−1, s−1z, z−1s

}, then we can take a = α−1

n .β−1n−1....β

−11 α−1

1 and b = β−1n ,

- if an ∈{t−i, tj

}, and n = 1 then we can take a = α−1

1 and b = β−11 ,

- if an ∈{t−i, tj

}, and n ≥ 2 then we can take a = α−1

n−1.β−1n−2....β

−11 α−1

1 and b = (βn−1αnβn)−1.

Proof.

(1)⇒(2). By induction on n . We consider two cases :

an ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}and an ∈

{t−i, tj

}.

Case (I) an ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}. For n = 1, we have :

awba−11 = aα1a1β1ba

−11 = e

In this case we have I = {1} and the property is true. It is not difficult to see that we can takea = α−1

1 and b = β−11 .

We go from n to n+ 1 . We have :

awba−1n+1a

−1n ...a−1

1 = aα1a1β1....αnanβnαn+1an+1(βn+1b)a−1n+1a

−1n ...a−1

1 = e

Hence we must have an+1(βn+1b)a−1n+1 ∈ G therefore by claim 1 we have βn+1.b ∈ Z(G). Since

an ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}then an ∈

{t−i, tj

}and we have :

aα1a1β1....an−1(βn−1αnβnαn+1βn+1b)a−1n−1...a

−11 = e

Then we have (βn−1αnβnαn+1βn+1b) ∈ Z(G).We have an−1 ∈

{z, z−1, s−1z, z−1s

}.

We see that the sequence (α1a1β1, ..., αn−1an−1(βn−1αnβnαn+1βn+1)) satisfies the same condi-tion hence by induction hypothesis we have : for every i, j ∈ I such that i < j≤ n− 1 :

βi.αi+1...βj−1.αj ∈ Z(G)

101


Hence βi.αi+1...βn−1−1.αn−1 ∈ Z(G).Since βn+1.b ∈ Z(G) and (βn−1αnβnαn+1βn+1b) ∈ Z(G) then βn−1αnβnαn+1 ∈ Z(G).Hence : for every i ∈ I such that i < n+ 1 we have :

βi.αi+1...βn−1−1.αn−1βn−1.αnβnαn+1 ∈ Z(G)

It is not hard to see that we can take a = α−1n .β−1

n−1....β−11 α−1

1 and b = β−1n .

Case (II) an ∈{t−i, tj

}. For n = 1, we have :

awba−11 = aα1a1β1ba

−11 = aα1β1b = e

In this case I = Ø and the property is true.It is not hard to see that we can take a = α−1

1 and b = (β1α2β2)−1.We go from n to n+ 1. We have :

awba−1n+1a

−1n ...a−1

1 = aα1a1β1....αnanβnαn+1an+1(βn+1b)a−1n+1a

−1n ...a−1

1 = e

awba−1n+1a

−1n ...a−1

1 = aα1a1β1....αnan(βnαn+1βn+1b)a−1n ...a−1

1 = e

Hence we must have βnαn+1βn+1.b ∈ Z(G).We see that the sequence (α1a1β1, ..., αnan(βnαn+1βn+1)) satisfies the conditions of the case

(I) and hence for every i, j ∈ I such that i < j≤ n :

βi.αi+1...βj−1.αj ∈ Z(G)

And the result follows.We easily see that we can take a = α−1

n−1.β−1n−2....β

−11 α−1

1 and b = (βn−1αnβn)−1.

(2)⇒(1).

The proof is a straightforward calculation.

�

Claim 2. Let A(z) = {g ∈ K | ∃α, β ∈ G such that g = αzβ}. Then A(z) is recursive and thereexists an algorithm which for every g ∈ A(z) produces α, β ∈ G such that g = αzβ.

Proof.

Let g ∈ K. Then one can effectively calculate a normal form (in the HNN-extension K) of gsay b1sε1b2...bnsεnbn+1 where εi = ±1 and bi ∈ H ×G0. If n ≥ 1 , then it is clear that g /∈ A(z) .Hence we suppose g ∈ H ×G0. Hence g = h.g0 where h ∈ H and g0 ∈ G0. If h 6= e then g /∈ A(z).Hence g ∈ G0. Then one can effectively calculate a normal form (in the HNN-extension G0) of gsay b1zε1b2...bnzεnbn+1 where εi = ±1 and bi ∈ G. If n ≥ 2 , then g /∈ A(z) and if ε1 = −1 theng /∈ A(z). Hence we suppose g = b1zb2 hence g ∈ A(z). And we see that the above procedure iseffective and produces α, β ∈ G such that g = αzβ.

�

102


Claim 3. Let :

Q ={(h1, h2, g1, g2) | hi ∈ H, gi ∈ G0, ∃α, β ∈ G such that h1g1s

−1h2g2 = αs−1zβ}

Then Q is recursive and there exists an algorithm which for every (h1, h2, g1, g2) ∈ Q producesα, β ∈ G such that h1g1s

−1h2g2 = αs−1zβ.

Proof .Let us show that the following properties are equivalent :

(1) (h1, h2, g1, g2) ∈ Q.(2) h1.h2 = e, h1, h2 ∈ L, g1.φ(h2) ∈ G, g2 ∈ A(z), g2 = γ1zγ2, γ1 ∈ Z(G) and one can take

α = g1.φ(h2).γ1, β = γ−12 .

(1)⇒(2). Let α, β ∈ G such that h1g1s−1h2g2 = αs−1zβ.

Then the sequence (h1g1, s−1, h2.g2β

−1z−1, s, α−1) is not reduced in the HNN-extension K

and hence h2.g2.β−1z−1 ∈ L× Z(G). So h2 ∈ L and g2.β

−1z−1 ∈ Z(G). Hence g2 = δzβ ∈ A(z),and δ∈ Z(G). Hence :

h1g1s−1h2g2β

−1z−1sα−1 = h1g1h2φ(h2)δα−1 = e

So h1.h2 = e and g1φ(h2) = αδ−1 ∈ G.(2)⇒(1) Let β = γ−1

2 . Then,

h1g1s−1h2g2β

−1z−1s = h1g1s−1h2γ1zγ2γ

−12 z−1.s =

= h1g1s−1h2γ1.s

= h1g1h2φ(h2)γ1 = g2φ(h2)γ1 = α ∈ G

Since L has a generalized soluble word problem in H, and A(z) is recursive and there exists analgorithm which for every g ∈ A(z) produces α, β ∈ G such that g = αzβ, the conclusion followsfrom the above equivalence.

�

Claim 4.

For every a ∈{z, z−1, s−1z, z−1s

}, the set A(a) = {g ∈ K | ∃α, β ∈ G such that g = αaβ}

is recursive and there exists an algorithm which for every g ∈ A(a) produces α, β ∈ G such thatg = αaβ. Also for every a ∈

{t−i, tj

}, the set

A(a) = {g ∈ G× < t |> | ∃α, β ∈ G such that g = αaβ}

is recursive and there exists an algorithm which for every g ∈ A(a) produces α, β ∈ G such thatg = αaβ.

103


Proof. We see that g ∈ A(a) if and only if g−1 ∈ A(a−1) and g = αaβ if and only if g−1 =β−1a−1α−1. Therefore it is sufficient to show that the above properties are true for a ∈

{z, s−1z

}.

For the case a = z this was proved in claim 2.Let g ∈ K. Then one can effectively calculate a normal form (in the HNN-extension K)

b1sε1b2...bns

εnbn+1 where εi = ±1 and bi ∈ H×G0. If n ≥ 2 then g /∈ A(s−1z). Hence we must haven = 1, ε1 = −1 and hence g = b1s

−1b2. Then one can effectively calculate h1, h2 ∈ H, g1, g2 ∈ G0

such that b1 = h1.g1 and b2 = h2.g2. We see that g ∈ A(s−1z) if and only if (h1, h2, g1, g2) ∈ Q.Since Q is recursive we see that A(s−1z) is recursive. By the claim 3 there exists an algorithmwhich for (h1, h2, g1, g2) ∈ Q produces α, β ∈ G such that h1g1s

−1h2g2 = αs−1zβ. Hence thereexists an algorithm which for every g ∈ A(s−1z) produces α, β ∈ G such that g = αs−1zβ.

For a ∈{t−i, tj

}, the conclusion is obvious.

�

Let us prove that the set :

L(C, λ) ={(g, c, l) ∈ Γ× C × N | c = (c1, ..., cn), (1− 3λ)n < l ≤ n,

∃α, β ∈ G, such that αgβ = c1...cl}

is recursive and that there exists an algorithm which for every (g, c, l) ∈ L(C, λ) produces(α, β) ∈ G2 such that αgβ = c1...cl.

Let (g, c, l) ∈ Γ× C × N. Then one can effectively calculate a normal form (g1, ..., gm) of g inΓ.

If l ≤ (1− 3λ) |c| then (g, c, l) /∈ L(C, λ). Otherwise we have :If (g, c, l) ∈ L(C, λ), we must have : ∃α, β ∈ G, 1 ≤ l ≤ m, l > (1−3λ) |c| such that αgβ = c1...cl

and m = l. Then we must have a sequence (γ1, ..., γm, γm+1) of G such that g1 = α−1γ1c1γ−12 ,

gi = γiciγ−1i+1, gm = γmcmγ

−1m+1β

−1. Hence one has gi ∈ A(ci). Then it is sufficient to verifywhether gi ∈ A(ci).

If there is some i such that gi /∈ A(ci) then (g, c, l) /∈ L(C, λ).If for every i, gi ∈ A(ci) then by the above claim 4, one can effectively calculate two sequences

(α1, ..., αm), (β1, ..., βm) of G such that gi = αiciβi.By the principal claim we must have : for every i, j ∈ I such that i < j :

βi.αi+1...βj−1.αj ∈ Z(G) (*)

If for some i, j ∈ I such that i < j, (*) does not hold then (g, c, l) /∈ L(C, λ).If for every i, j ∈ I such that i < j, (*) holds then, by the principal claim, (g, c, l) ∈ L(C, λ)

and we can take α = α−1m .β−1

m−1....β−11 α−1

1 , β = β−1m if cm ∈

{z, z−1, s−1z, z−1s

}, and we can take

α = α−1m−1.β

−1m−2....β

−11 α−1

1 and β = (βm−1αmβm)−1 if cm ∈{t−i, tj

}.

Hence L(C, λ) is recursive and we see, by the above method, that there exists an algorithmwhich for every (g, c, l) ∈ L(C, λ), produces (α, β) ∈ G2 such that αgβ = c1...cl.

�

104

5.5. PROOFS OF COROLLARIES 105

5.5 Proofs of corollaries

Proof of corollary 1. By lemma 5.1.6 if H is finitely presented then Z(H) is recursivelypresented.

Conversely, let G be a countable recursively presented abelian group. By theorem I G is em-beddable in a finitely generated and recursively presented group K such that G = Z(G) = Z(K).By theorem II K is embeddable in finitely presented group H such that Z(K) = Z(H), henceZ(H) = G and the result follows.

�

Proof of corollary 2. By lemme 5.1.6 if H is finitely presented with soluble word problem thenZ(H) is recursively presented and with soluble word problem.

Conversely, let G be a countable abelian group with soluble word problem. By theorem I G isembeddable in a finitely generated group with soluble word problem K such that G = Z(G) =Z(K). By theorem II K is embeddable in finitely presented group H with soluble word problemsuch that Z(K) = Z(H), hence Z(H) = G and the result follows.

�

Proof of corollary 3. It follows from corollary 2 and from the following lemma :

Lemma 5.5.1. There exists a countable abelian group K with soluble word problem such thatevery countable abelian group can be embedded in K.

Proof. Let (πn)n∈ω be the sequence of prime numbers. Let K = (Q)(χ0) ⊕ [⊕i∈ω(Z[π∞i ])(χ0)].Then it is not difficult to see that K has a soluble word problem.

Let G be a countable abelian group. By a classical result G is embeddable in a divisibleand countable abelian group say G1. It is also well-known that every divisible abelian group isisomorphic to a direct sum of groups each of which is isomorphic to Q or a group of the formZ(π∞n ). Hence the groups G1 and G are embeddable in K. Since K has a soluble word problemthe result follows.

�

105


106

Bibliographie

[1] G.Baumslag, F.B.Cannonito, C.F.Miller III, Infinitely generated subgroups of finitely presen-ted groups, I, Math. Zeit, 153 (1977), 117-134.

[2] G.Baumslag, F.B.Cannonito, C.F.Miller III, Infinitely generated subgroups of finitely presen-ted groups, II, Math. Zeit, 172 (1980), no.2, 97-105.

[3] W.W.Boone, G.Higman, An algebraic characterization of groups with soluble word problem,J.Aust.Math.Soc, 18 (1974), 41-53.

[4] W.W.Boone, Rogers, On a problem of J.H.C. Whitehead and a problem of Alonzo Church,Math. Scand, 19 (1966), 185-192.

[5] O.Belegradek, Finitely determined members of varieties of groups and rings, Journal of Al-gebra, 228 (2000), 586-602.

[6] C.C.Chang, H.J.Keisler, Model theory, North-Holland, Amsterdam, 1973.

[7] C.C.Chang, Omiting types of prenex formulas, J.Symbolic Logic, 32 (1967), 61-74.

[8] C.R.J.Clapham, Finitely presented groups with word problems of arbitrary degrees of insolu-bility, Proc.London.Math.Soc, (3) 14 (1964) 633-76.

[9] C.R.J.Clapham, An embedding theorem for finitely presented groups, Proc.Lond.Math.Soc.(3) 17 (1967), 419-430.

[10] P. de la Harpe, Topics in geometric group theory, The University of Chicago Press, 2000.

[11] G.Higman, E.Scott, Existentially closed groups, Clarendon Press, Oxford, 1988.

[12] G.Higman, Subgroups of finitely presented groups, Proc.Royal.Soc.Ser.A, 262 (1961), 455-475.

[13] W.Hodges, Model theory, Cambridge University Press, 1993.

[14] B.M.Hurley, Small cancellation theory over groups equipped with an integer-valued lengthfunction, dans Word problems II, (North Holland Publishing Co., Amsterdam, 1980), 157-214.

[15] D.L.Johnson, Presentations of groups, Cambridge University Press, 1990.

[16] H.J.Keisler, Forcing and the omitting types theorem, dans Studies in Model Theory, edited byM.Morley (Math. Assoc. Am., Buffalo, NY), (1973), 96-133.

[17] R.G.Lyndon, P.E.Schupp, Combinatorial group theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,New York, 1977.

[18] R.G.Lyndon, Length functions in groups, Math.Scand, 12 (1963), 209-234.

[19] A.Macintyre, Omitting quantifier-free types in generic structures, J.Symbolic Logic, 37 (1972),no. 3, 521-520.

107

108 BIBLIOGRAPHIE

[20] A.Macintyre, On algebraically closed groups, Annals of Math, 96 (1972), 53-97.

[21] A.Macintyre, K.Hickin, Algebraically closed groups : embeddings and centralizers, dans Wordproblems II, (North Holland Publishing Co., Amsterdam, 1980), 141-155.

[22] A.Macintyre, Model completeness, dans : J.Barwise, ed., Handbook of Mathematical Logic(North-Holland, Amsterdam, 1977), 139-180.

[23] C.F.Miller III, Decision problems for groups-survey and reflections, dans : Algorithms andClassification in combinatorial group theory, MSRI Publications No. 23, edited by G.Baumslagand C.F.Miller III, Springer-Verlag (1991), 1-59.

[24] C.F.Miller III, The word problem in quotients of groups, in Aspects of Effective Algebra, ed.J.N.Crossley, Proceedings of a conference at Monash University, 1979, Upside Down A BookCompany, Steel’s Creek, (1981), 246-250.

[25] M.Morley, The number of countable models, J.Symbolic logic, 35 (1970), 14-18.

[26] B.Poizat, Cours de theorie des modeles, Nur al-Mantiq wal-Ma’rifah, Villeurbanne, 1985.

[27] H.Simmons, Large and small existentially closed structures, J.Symbolic Logic, 41 (1976), no.2,379-390.

[28] H.Simmons, Counting countable e.c. structures, Logique et Analyse, 18 (1975), no. 71-72,309-357.

[29] R.J.Thompson, Embedings into finitely generated simple groups which preserve the word pro-blem, dans Word problems II, (North Holland Publishing Co., Amsterdam, 1980), 395-441.

[30] M.Ziegler, Algebraisch abgeschlossene Gruppen, dans Word problems II, (North Holland Pu-blishing Co., Amsterdam, 1980), 449-576.

[31] Kourovka Notebook, edition 1999, probleme 5.47.

108

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