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Université de Haute AlsaceFaculté des Sciences et Techniques

Licence Sciences et TechnologiesPHYSIQUE ET CHIMIE,

parcours Sciences Physiques

L1-S1Introduction aux Concepts de la Physique

N°3 RelativitéDominique Bolmont

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RELATIVITE“The most beautiful thing we can experience is themysterious. It is the source of all true art and science. Those to whom this emotion is a stranger, . . . are as good as dead; their eyes are closed.”

Albert Einstein"Do not take the lecture too seriously . . . just relax and enjoy it. I am going to tell you what nature behaves like. If you will simply admit that maybe she does behave like this, you will find her a delightful, entrancing thing. Do not keep saying to yourself "But how can it be like that?" because you will get...into a blind alley from which nobody has yet escaped. Nobody knows how it can be like that.”

Richard Feynman

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““No doubt about it Eddington, we’ve mathematically expressed the purpose

of the universe.

Le ou les principes attachés à la Relativité sont de nature essentiellement Physique, bien que déclinés avec un puissant attirail mathématique. En l’occurrence l’ensemble du contenu de l’Univers détermine la forme et la portée de ces principes.

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Jim MuthIntroductionQu’y-a-il de relatif dans la théorie de la Relativité?

les mouvements

l’espace et le temps

Quels sont les principes de la Relativité ?

Que deviennent le temps et les distances dans des référentiels mobiles en translation uniforme ou en accélération ?

Que devient la notion de simultanéité ?

Quelles sont les propriétés de la vitesse de la lumière ?

Que devient la notion de masse ?

A.Einstein a publié deux théories importantes concernant la relativité

en 1905 la théorie de la Relativité Restreinte (Special Relativity)

en 1915 la théorie de la Relativité Générale

Comment se manifestent les conséquences de la Relativité

dans la vie de tous les jours,

dans les différents secteurs de la technologie

dans les différents domaines scientifiques ? “You must unlearn what you

have learned”

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Invariance et covariance

Soit un référentiel espace-temps K (Oxyz;t), supposons que nous procédions à un changement fixe d’origine d’espace et de temps (zéro de l’horloge), et de directions des axes. Ceci définit un nouveau référentiel K’ (O’x’y’z’;t’) immobile par rapport à l’autre. Mathématiquement l’opération de transformation a consisté en une translation et rotation d’espace, une translation des temps. Lors de ce passage d’un référentiel à l’autre les grandeurs scalaires sont restées invariantes : masse, charge, ... un mobile d’énergie 1/2mv2 possède la même énergie cinétique dans ce nouveau repère ... Si l’on mesure les vitesses et autres grandeurs vectorielles, on trouve que les résultats de mesure des composantes sur x’, y’, z’, t’ ne sont pas identiques à celles obtenues sur x, y, z, t ; elles ont varié avec le système d’axe. Connaissant ces valeurs dans un repère on peut passer aux valeurs dans l’autre repère : il s’agit de la covariance (avec les coordonnées), ici pour les expressions vectorielles. Ces notions peuvent être généralisées aux transformations vers des repères mobiles.Les lois de conservation ont une importance extrême pour toute la physique ; elles sont liées aux symétries de l’espace-temps.

K

K’

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Le rasoir d'Occam

Un principe attribué au moine franciscain et penseur du XIVè siècle William d'Occam

"Pluralitas non est ponenda sine neccesitate" "Frustra fit per plura quod potest fieri per pauciora" "Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem"

"les entités ne devraient pas être multipliées sans nécessité"

"quand on a deux théories en compétition qui permettent de prédire exactement les mêmes choses, celle qui est la plus simple est la meilleure"

Sous des formes utiles:

1285-1349

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Lois physiques et covarianceLes lois sont des relations entre des observables, relations déduites d’observations nombreuses.La recherche des lois est régie par ce que l’on pourrait appeler un principe de simplicité et d’économie : lois en nombre le plus petit possible, d’expressions les plus simples possibles entre grandeurs en nombre minimal.Mais la caractéristique d’une bonne loi est la “covariance” lors d’un changement de repère.Le Principe de Covariance stipule que les équations de la Physique doivent être les mêmes dans tout système de coordonnées.Cette invariance lors d’un changement de repère, cette invariance de la forme (de l’expression littérale) de la loi va permettre d’objectiver au maximum et, en principe totalement, la physique.La “Physique”, théorie qui décrit la réalité, ne sera plus liée à l’observateur ni à son espace-temps. La notion de réalité avancée ici comme allant de soi n’a rien de trivial et devrait entre toute rigueur être précisée…..Bien sûr cette covariance sera recherchée pour les transformations de référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres.Un contre-exemple simple : la force entre deux charges constantes q1 et q2 immobiles dans un référentiel ne fait appel dans ce référentiel qu'à la seule théorie de l’électrostatique. Si ce même système est observé d’un référentiel en mouvement par rapport au premier, il faudra décrire l’ensemble à l’aide de la théorie de l’électromagnétisme.

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Relativité d’Aristote

Vision de l’espace-temps chez Aristote

*Chaque corps sensible est par nature quelque part (Physique, livre 3, 205a:10)

*Le temps est la numérotation du mouvement continu (Physique, livre 4, 223b:1)

Aristote pense que la situation de repos est l’état naturel des choses. Si un corps est en mouvement il doit y avoir un agent responsable de ce mouvement. Quand cet agent s’interrompt le mouvement s’arrête.

Il y a un « être » privilégié, le Moteur Primordial, qui joue le rôle de premier agent, responsable du mouvement des objets, qui deviennent à leur tour des causes de mouvements pour les autres objets.

Le Moteur Primordial doit être au repos absolu.

Dans cet espace temps le Moteur Primordial a une ligne d’univers verticale.

x

y

z(x,y,z)

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Le Principe de Relativité remonte a Galilée qui écrit en 1632 dans son Dialogo :

« Enfermez-vous avec un ami dans la plus grande cabine sous le pont d'un navire et prenez avec vous des mouches, des papillons et d'autres petites bêtes qui volent ; munissez-vous aussi d'un grand récipient rempli d'eau avec de petits poissons ; accrochez aussi un petit seau dont l'eau coule goutte à goutte dans un autre vase à petite ouverture placé en dessous. Quand le navire est immobile, observez soigneusement comme les petites bêtes qui volent vont à la même vitesse dans toutes les directions de la cabine, on voit les poissons nager indifféremment de tous les côtés, les gouttes qui tombent entrent toutes dans le vase placé dessous ; si vous lancez quelque chose à votre ami, vous n'avez pas besoin de jeter plus fort dans une direction que dans une autre lorsque les distances sont égales ; si vous sautez à pieds joints, comme on dit, vous franchirez des espaces égaux dans toutes les directions. Quand vous aurez soigneusement observé cela, bien qu'il ne fasse aucun doute que les choses doivent se passer ainsi quand le navire est immobile, faites aller le navire à la vitesse que vous voulez pourvu que le mouvement soit uniforme, sans balancement dans un sens ou l'autre, vous ne remarquerez pas le moindre changement dans tous les effets qu'on vient d'indiquer ; aucun ne vous permettra de vous rendre compte si le navire est en marche ou immobile. »

Relativité de Galilée

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Relativité de Galilée

Galilée a été persécuté par l’église, pour certaines de ses idées avancées sur la manière dont le Monde était constitué, mais pas particulièrement pour sa conception de la mécanique et des lois du mouvement. Ces conceptions de l’espace temps restaient dans la ligne orthodoxe, sans danger pour l’idéologie régnante (qui probablement devait n’y rien comprendre). A ce sujet, les positions hétérodoxes de Giordano Bruno sentaient beaucoup plus le fagot (ce qui n’a pas manqué d’arriver arriva…..)

Introduite au lycée dans les programmes de terminale scientifique, la notion de référentiel galiléen a été revue dans la leçon sur L’Espace-Temps.

Il y est dit qu’un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel les lois de Newton sont applicables. Or les travaux de Galilée étant antérieurs à ceux de Newton, il est fort douteux que celui-là ait eut à connaître les travaux de celui-ci pour proposer un modèle mécanique à partir duquel il puisse être possible de construire un modèle de référentiel.

Pour Galilée, les lois de la mécanique sont les mêmes (invariantes) dans tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux autres. Ces référentiels sont dits galiléens, ou d’inertie, hypothèse faite qu’il existe quelque part un référentiel fixe absolu, ou quasiment fixe, permettant de définir la constante de la vitesse de tout autre référentiel galiléen.

Cette construction d’un référent absolu comme transportable a été un pas conceptuel de géant que l’idéologie tant régnante qu’ignorante de l’époque n’a pas vu venir.

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Transformations de Galilée Soit un référentiel espace-temps d’inertie S, pour simplifier considéré comme fixe. Un autre référentiel d’inertie S’, d’axes parallèles à ceux de S, en translation uniforme par rapport à S avec une vitesse suivant x.

Le pendule reste vertical dans les deux référentiels d’inertie

Les coordonnées d’espace et de temps se transforment suivant les formules simples.

Il n’y a qu’un seul pendule car le temps est le même

t t'z z'y y'

tv- x 'x

v

De telles transformations conduisent à la composition classique des vitesses Vv 'v

1.5c !

La loi de composition des vitesses ne s’applique pas avec des vitesses voisines de celle de la lumière.

z

x

(x,y,z)

z'

x'

(x',y',z')

y' vy

S S’

v

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Galilée et le Principe d’Équivalence

Galilée est à l’origine d’un principe très important, celui de l’équivalence réduit à l’équivalence des masses d’inertie mI et de gravitation mG. Il a pratiqué entre autres de nombreuses expériences sur la chute des corps et le mouvement pendulaire avec des corps de même masse mais de compositions différentes.

Bien que ne disposant pas de la relation fondamentale de la dynamique de Newton entre force, masse d’inertie et accélération, il a très nettement pressenti l’équivalence entre m I et mG.

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Mécanique de NewtonLes lois de la mécanique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens (référentiels d’inertie)

les lois de Newton sont valables dans de tels référentiels

un objet soumis à une somme de forces nulle se meut à vitesse constante.

La mécanique de Newton s’applique dans le cadre de la relativité de Galilée.

Observateur au repos par rapport à l’avion

Mouvement rectiligne vertical Mouvement parabolique

Observateur au repos par rapport au sol

L’observateur dans l’avion à la vitesse constante ne voit pas la même trajectoire que celui fixe au sol, bien que les deux soient d’accord sur la loi de Newton à appliquer : 'am'F am F

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Les lois de l’électricité et la Relativité

Les lois de la mécanique de Newton se satisfont de la Relativité de Galilée et des transformations associées dont le résultat le plus probant est la composition classique des vitesses.

L’écriture des lois de l’Électricité sous leur forme la plus élaborée, ce que l’on appelle les Équations de Maxwell, n’est pas invariante dans le cadre des transformations de Galilée.

Il faut inventer d’autres transformations.

Un des problèmes posé par l’Électricité est celui des Ondes Électromagnétiques qui, se propageant à la vitesse de la lumière, ne peuvent satisfaire la loi de composition des vitesses. Mais ce n’est pas le seul écueil du couplage Relativité de Galilée-Électromagnétisme.

Par exemple, la force électrique qui s’exerce entre la charge électrique ponctuelle q, fixe dans S, constante, et le fil très long chargé (fixe dans S, charge constante) de λ coulombs par mètre placé à la distance y1 est de la forme FE = 2kq/y1 pour les observateurs de S et S’

S’S v

En ce qui concerne la force magnétique FB = -oqv2/2y1 elle n’a cette forme que pour l’observateur de S’. L’observateur de S’ voit la densité de charges λ mobile équivalente à un courant, origine de la force magnétique, alors que cette charge est fixe pour S et ne crée pas de force magnétique.

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+ +

S S’

qq

+q

EF

v

+q

EF

v

BF

Force électrique

Force dite magnétique

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Transformations de Lorentz

Les transformations attendues qui permettent de conserver aux équations de l’électricité, les équations de Maxwell, une identité de forme dans deux repères en translation uniforme l’un par rapport à l’autre sont les transformations de Lorentz.

Il n’est pas question d’en étudier ici leur fondement, mais nous en donnons l’expression mathématique afin de les mettre en vis-à-vis des transformations de Galilée et de montrer en quoi elles en diffèrent.

z

x

(x,y,z)

z'

x'

(x',y',z')

y' vy

2cv.x-t t'

z z'y y'

tv-x 'x

2

2

cv

1

1

Élément important : l’intervention de la vitesse de la lumière comme un paramètre universel des relations entre l’espace et le temps.

Ces relations entre les coordonnées de l’espace-temps conduisent à des formules de composition des vitesses qui diffèrent totalement de celles de Galilée.

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Si la composition des vitesses au sens de Galilée était valide l’observateur fixe S devrait mettre en évidence une vitesse v+c, ce qui n’est pas le cas. Les transformations de Lorentz permettent de rectifier cette vision en donnant une vitesse composée inférieure à celle de la lumière.

Les concepts endormis par l’éther

Au XIXème siècle, la comparaison du mécanisme ondulatoire de propagation de la lumière à celui des ondes mécaniques conduit à l’introduction d’un milieu support : l’éther

présent partout, même dans la matière où la lumière peut se propager

sans masse, mais doté d’une certaine rigidité

ne doit pas avoir d’effet sur le mouvement des corps solides, en particulier les planètes

est associé à un repère absolu, par rapport auquel les objets se meuvent

si la Terre se meut par rapport à l’éther, il doit être possible de mettre en évidence son mouvement.

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Maxwell: There can be no doubt that the interplanetary and interstellar spaces are not empty, but are occupied by a material substance or body, which is certainly the largest, and probably the most uniform body of which we have any knowledge.

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vitesse de l’éther ν

Miroir 2

Source lumineuse

vitesse de l’éther ν

Miroir 1

lameséparatrice

Bras 1

Bras 2

Lunette de visée

Expérience de Michelson et Morley

L’éther étant toujours présent il s’agissait d’en faire la preuve expérimentale.

Si la lumière se propageait grâce à la vibration de l’éther, son support, la composition du mouvement d’un instrument lié à la Terre (30 km/s) avec la vitesse de la lumière, devrait permettre de déceler quelques différences en changeant les conditions de composition des vitesses. Utilisation d’un interféromètre

un des bras est dirigé suivant le mouvement de la Terre

l’autre lui est perpendiculaire

aucune différence observée sur les interférences quand l’appareil est tourné de 90°

première expérience en 1881

répétée sous diverses conditions ensuite

construite pour détecter de faibles variations de la lumière en mesurant la vitesse de la Terre par rapport à celle de l’éther.

Conclusions tirées

abandon de l’éther devenu plus une charge conceptuelle qu’une nécessité physique

la lumière est comprise comme un phénomène électromagnétique qui peut se propager dans le vide

les lois de l’électricité et du magnétisme deviennent identiques dans les référentiels d’inertie.

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Miroir 2vitesse de l’éther ν

Miroir 1

Bras 1

Bras 2

Miroir 1vitesse de l’éther ν

Bras 1

Bras 2Miroir 2

Position 1 : Bras 1 dans le sens du mouvement Position 2 : Bras 1 ┴ au sens du mouvement

Différence entre les temps de parcours (L1=L2=L)

Durée du parcours ↔ du bras 1

Durée du parcours ↔ du bras 2

cL

cLt1

222c

L2t

Dans la position tournée de 90° les durées de parcours des bras sont inversées.

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Postulats

1-Toutes les lois de la Physique (et pas uniquement de la Mécanique) sont les mêmes dans tout référentiel d’inertie

o      généralisation du principe de Galilée de la mécanique à l’ensemble de la Physique

o      il n’y a pas de référentiel d’inertie privilégié

o      il n’est pas possible de détecter un mouvement absolu

2-La vitesse de la lumière dans le vide est constante dans tous les référentiels d’inertie, quelles que soient les vitesses des observateurs ou des sources lumineuses.

o      confirmée dans de très nombreuses expériences

o      explique les résultats négatifs de l’expérience de Michelson

o      la composition classique des vitesses disparaît pour la lumière

o      les notions communes attachées à l’espace et au temps doivent être revisitées.

Conséquences majeures de la Relativité Restreinte :

-         il n’y a pas de longueur absolue

-         il n’y a pas de temps absolu

-         la simultanéité est remise en question

Speed Limit c

Relativité d’Einstein - Relativité Restreinte Résout la contradiction entre la relativité de Galilée et l’électromagnétisme.

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Einstein au travail

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futur

x

ct

passé

A

B

C

Ailleurs

Ligne d’univers

lumièrelumière

Diagramme dit du cône de lumière à une seule dimension d’espace (x)

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Il faut noter que la théorie de la Relativité annonce que tout objet ne peut dépasser la vitesse de la lumière dans le vide.

Il peut se faire que dans certains milieux des objets puissent se déplacer à une vitesse supérieure à celle de la lumière dans le milieu en question si cette dernière vitesse est assez faible, la vitesse de la lumière étant reliée à l’indice optique n du milieu par la formule v = c/n , n 1.

De telles circonstances existent et produisent des radiations de Cherenkov

Pavel Čerenkov1904-1990

La vitesse de la lumière - Effet Cherenkov

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Analogie avec le passage du mur du son

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• Observation d’une lumière bleutée par Mme Curie, 1910• Interprété par le physicien russe P. Cherenkov, prix Nobel en 1958.• se produit lorsqu'une particule se déplace plus vite que la lumière dans le milieu considéré.Elle ne va toutefois pas plus vite que la lumière dans le vide, il n'y a donc rien de contradictoire avec la théorie de la relativité.• Une particule qui atteint la vitesse de la lumière dans le milieu dans lequel elle se déplace émet une lumière intense, de couleur bleue.• Au-delà de la vitesse de la lumière, cette particule constitue la pointe d'un cône lumineux de couleur bleue dont l'angle au sommet dépend de la vitesse de la particule.

lumière

particule

milieu d’indice n

ß= v/c

vt

lumière

lumière

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41.4

m

39.3m

Le Super-Kamiokande (Japon) Super-Kamiokande is a water Cherenkov detector. In water, light travels about 25% slower than it does in a vacuum and it is possible for an energetic particle to travel faster than light. When a particle travels faster than the speed of light in water, it produces a shock wave that is the equivalent of a sonic boom made by a jet travelling faster than the speed of sound in air. This shock wave takes the form of blue light called Cherenkov light, after the Russian physicist Pavel Cherenkov. This light is detected by an array of light sensitive photomultipliers, as illustrated below. The image is in the form of a ring. By measuring the brightness, shape, and direction of the ring we can figure out how much energy the particle had, whether it is a muon or electron, and which way it was going.

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Observation d’un muon

Observation d’un électron

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Champ d’étoiles au repos

Effet de la vitesse des objets sur les conditions de leurs observations

Champ d’étoiles à 0.99c

Réseau au repos Réseau à 0.99c

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SimultanéitéLa simultanéité de deux événements étant, par définition, liée à l’observation de ces événements, il faut s’attendre à ce que la finitude et la constance de la vitesse de la lumière remette en question cette notion.

Deux événements sont simultanés dans un référentiel et pas dans un autre en mouvement par rapport au premier.

Éclairs

Deux éclairs arrivent au même instant dans le référentiel fixe O, aux deux points A et B à la même distance de O, qui coïncident à cet instant avec les deux points A’ et B’ du référentiel mobile O’ attaché au wagon de vitesse v.

L’observateur en O voit les deux éclairs au même instant après qu’ils aient parcouru les distances AO et OB égales.

Compte tenu de sa vitesse il semble à l’observateur de O’ que la lumière arrive en B’ avant d’arriver en A’.

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v

Éclairs 2Éclairs 1

O (1 et 2 même instant)

O’ (2 avant, 1 après)

v

v

passager

32

La source lumineuse est fixe au point O dans le repère fixe S (blanc). À t = 0 elle envoie un photon sur y positif. Ce dernier est réfléchi à t1 sur le miroir en A, avec OA = d et retourne en O à t2. La vitesse de la lumière étant c, nous avons

cd2 t2 Dans le repère mobile S’ (rouge), à la vitesse v suivant la

direction des x positifs, le photon semble parcourir la distance IJ en bleu, puis la distance JO. Sur ces deux parcours la vitesse de la lumière, constante universelle dans le vide, est c. La distance IJ est telle que

Avec et

Il vient facilement O

O

O

x

x

x

A

A

A

d

d

d

O’

v

O’

v

O’

v

I

I

J

I

J

222 IOd IJ

'1ct IJ '1vt IO 2

'1

cv1c

d t

Par symétrie le temps du parcours JO est le même. Soit au total le temps entre l’émission et la réception du photon vu dans S’

22

2'2

cv1

t

cv1c

d2 t

Le temps pour l’observateur en mouvement par rapport à la source est plus long que le temps propre à la source.

Le temps étant plus long dans le repère mobile, par rapport au temps propre, les phénomènes physiques de toute nature y sont ralentis.

Dilatation du temps

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Vu depuis la Terre

Vu depuis les muons

Vérification avec la décroissance du flux de muons

Les muons П+ sont des particules instables ayant la même charge que les électrons mais avec une masse 207 fois plus importante.

Ils peuvent être créés dans l’atmosphère par des rayons cosmiques.

 

Ces muons ont une demi-vie de qui est leur temps propre, donc mesuré dans un repère dans lequel ils sont fixes.

s 2,2T '2/1

Par rapport à la Terre ils ont une demi-vie donnée par

Pour une vitesse v = 0,995 c, cette demi-vie terrestre devient égale à 20 μs.

Pendant leur demi-vie propre les muons parcourent une distance de 600 m de leur point de vue.

Du point de vue de la Terre ils parcourent 6000 m, soit beaucoup plus.

2

2

'2/1

2/1

cv

1

TT

34

Distribution des muons en fonction du temps

Muons à la vitesse 0,9994 c

Muons au repos

Fraction de muons restante

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Vérification: Le « paradoxe » des jumeaux

Expérience de pensée.

Au début de l’expérience Speedo et Resta, deux jumeaux, ont 40 ans. Speedo part pour un voyage dans la constellation X située à 20 années lumière, à la vitesse de 0,95 c. Dès qu’il a atteint X, il se languit de sa sœur et retourne instantanément vers la Terre où l’attend Resta qui n’a pas voyagé. Vu de la Terre le voyage de Speedo à duré 42 ans, alors que dans le référentiel mobile attaché à la fusée de Speedo le temps a été de 13 années.

Conclusion : Quand les deux « jumeaux » se retrouvent, Speedo a 53 ans, alors que Resta a 82 ans.

Si les voyages ne forment pas la jeunesse ils la conservent !Le paradoxe vient du fait que le raisonnement symétrique conduit au résultat opposé.

Si la fusée est considérée comme fixe et la Terre animée d’un mouvement inverse au précédent, alors en fin de compte Speedo devrait avoir plus vieilli que Resta.

Comme les deux occurrences ne peuvent pas être concomitantes, à ce niveau les lois de la physique étant déterministes, il y a un défaut dans le raisonnement. En fait le mouvement de la fusée de Speedo n’est pas uniforme puisque différentes phases d’accélération et de décélération sont nécessaires pour boucler le voyage à la vitesse de 0,95 c. Une interprétation correcte des différentes phases du mouvement doit se faire en Relativité Générale.

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0.96 c

Composition des vitessesLa composition des vitesses en relativité change profondément nos intuitions premières bien que les différences avec le comportement classique de la somme algébrique ne soient perceptibles qu’aux vitesses approchant celle de la lumière.

Le repère du référentiel S’ est en mouvement de translation uniforme par rapport au repère du référentiel S, à la vitesse v, suivant Ox.

La vitesse suivant x’ dans S’, est reliée à la vitesse suivant x dans S, par la relation

*Par exemple si le phénomène qui se produit dans S est la propagation de la lumière la vitesse dans S’ est donnée par

La vitesse de la lumière est bien conservée quelle que soit la vitesse v.

2x

x'x

cvu1

vuu

cux cu '

x

OO’

x

y

z

y’

z’

x’

S’

S

v

Il est à remarquer que les vitesses suivant y et z sont aussi changées suivant des expressions différentes.

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Contraction des longueursLa mesure de la distance entre deux points dépend du référentiel dans lequel est faite la mesure.

Pour une règle rigide de longueur L’ dans son référentiel propre S’, là où elle est fixe, placée le long de O’x’, confondu avec Ox, en mouvement à la vitesse v suivant cet axe par rapport au référentiel d’inertie S, la longueur de cette règle apparaît dans S avec une longueur plus courte

 

Les autres dimensions de la règle, perpendiculaires à Ox, ne sont pas modifiées.

Il en résulte qu’un solide se déforme en se contractant dans la direction de propagation, quand il est vu dans un autre repère, avec une contraction d’autant plus importante que la vitesse se rapproche de celle de la lumière.

Il n’y a donc pas conservation des volumes, et non conservation de toutes les grandeurs qui impliquent les volumes comme les densités volumiques.

2

2

cv

-1L' L

Augmentation de la vitesse

Longueur propre

Longueur plus courte

v

S’

S

38

Déplacement ver le bleu

Déplacement ver le rouge

Effet Doppler relativiste 

Nous avons vu dans la leçon sur l’espace-temps comment était reçue une vibration quand la source était en mouvement relativement a l’observateur.

si la source se rapproche de l’observateur la fréquence des vibrations est décalée vers les hautes fréquences « Blue shift »

si la source s’éloigne de l’observateur la fréquence des vibrations est décalée vers les basses fréquences « Red shift »

sourcerobservateu f

cv1

cv1

f

Pour une source à la vitesse v, la relativité donne le résultat

 expression dans laquelle v est algébrique :

-   positive si la source s’approche de l’observateur

-   négative si la source s’éloigne de l’observateur

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red shiftred shiftblue shiftblue shift

Le paramètre zLe paramètre z

zz=0: pas de mouvement=0: pas de mouvementzz=2: =2: vv=0.8=0.8cczz==: : vv==cc

cvcvz

/1/11

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Masse relativiste - Énergie relativiste 

Einstein modifie les lois de la mécanique de Newton à partir des transformations de l’espace et du temps mises en place en cinématique relativiste.

 Pour une particule de masse mo au repos mais animée de la vitesse v, l’énergie cinétique de la particule est

L’énergie au repos est donnée par la fameuse formule

 

Pour les faibles vitesses, v << c, il est facile de montrer que

Pour une vitesse de 50 km/h, la formule approximative est valable à 10-30 près.

Pour 50 000 km/h la formule approximative est encore valable à 10-18 près.

 

La formule donne la correspondance entre masse et énergie, deux entités physiques qui peuvent alors s’échanger, tout particulièrement au niveau des particules nucléaires et sub-nucléaires.

22

2o2

oc/v1

cmcγmE

2ocm E

2o2o vm2

1cmE

2ocm E

2

20

cv1

mm

Sa masse en mouvement est

41

42

Fission 

 

La masse des noyaux produits est légèrement inférieure à celle noyaux de départ.

 

 

 

 Fusion

 

Il s’agit de “coller” ensemble plusieurs atomes légers pour en fabriquer un plus lourd.

Ce processus est de la plus grande importance en astronomie. C’est la source d’énergie des étoiles. C’est aussi un mécanisme à la base de l’explosion de certaines supernovae. C’est également le phénomène à la base du projet international ITER: International International Thermonuclear Thermonuclear Experimental ReactorExperimental Reactor

BaKrn3n.1U 14489235

2e2HeH 4 41

Neutron d’énergie de l’ordre

de 1 eV

U-236avec un noyau

instable

Rayongamma

++

+

+

+

++

+

+

+

++

+ ++

+++ ++ +

++

+

++ +

++ +

+++

+++++

+

+++

++

++

+ +

+++

+++++

+

+++

+

+ +

+++

++

+

U23592 U236

92 Kr8936

Ba14456

n

nn

n

43

Special Relativity:

observers in relative motion have different notions of Space & Time intervals.

General Relativity:

accelerated observers have different notions of the geometry of Space(time).

44

Principe d’Équivalence des masses

Galilée est à l’origine d’un principe très important, celui de l’équivalence réduit à l’équivalence des masses d’inertie mI et de gravitation mG. Il a pratiqué entre autres de nombreuses expériences sur la chute des corps et le mouvement pendulaire avec des corps de même masse mais de compositions différentes.

Bien que ne disposant pas de la relation fondamentale de la dynamique de Newton entre forces, masse d’inertie et accélération, il a très nettement pressenti l’équivalence entre m I et mG.

45

Expérience de Eötvös (Baron Roland Eötvös-1889)Supposons que des objets faits de matériaux différents réagissent différemment en présence de la gravitation , c’est-à-dire que les constantes de proportionnalité entre accélération et gravitation ne soient pas les mêmes.

)1(inertm

)1(gravm

gmamF )1(grav

)1()1(inert

)1(

gmamF )2(grav

)2()2(inert

)2(

)1()1(

inert

)1(grav

)2(inert

)2(grav)2( ag

mm

gmm

a

Il serait alors possible de détecter, avec une expérience assez sensible la différence d’accélération de la pesanteur, jusque-là supposée la même pour toutes sortes de masses. La différence relative entre les masses d’inertie et gravitationnelle a été trouvée à l’époque plus petite que 1/20 000 000. Des mesures plus récentes donnent 10-11.

Il y aurait donc équivalence entre les deux natures de la masse, inertielle et gravitationnelle, renforcement s’il en est du principe d’équivalence accélération-gravitation.

g Im m

46

Force de gravitation rGegmG

Force d’inertie m2

I ecosRmI Terre

re

me

2,1I

2,1G

Rayon R

mG : masses gravitationnelles

mI : masses inertielles

CoriolisGravité

Fil de torsion

Masse 1

Masse 2

Mesures à deux positions opposées de 180° et comparaison des deux équilibres.

47

Quelques résultats de mesure

Si l’on note le rapport des masses

)1(I

)1(G)1(

mm

)2(I

)2(G)2(

mm

On détermine la grandeur relative

)2()1(

)2()1(

2

Des résultats récents donnent

32

I

GI 10m

mm

Anderson & Williams:

Analyses of laser ranges to the Moon provide increasingly stringent limits

on any violation of the equivalence principle (EP); they also enable several very accurate tests of relativistic gravity. These analyses give an EP test of Δ(MG/MI)EP = (-1.0±1.4)×10-13.

48

Tests de la validité du principe d’équivalence

49

Tests de la validité de la constance de la vitesse de la lumière

En unité normalisée 1co

50

On ne peut distinguer de différence entre l’accélération et la gravitation

Relativité Générale 1916

Ascenseur à vitesse constante

Sans pesanteur

Sans pesanteur

Ascenseur en accélération

Comportement de chutte identique à celui de l’habituelle pesanteur

51

Relativité Générale

En Relativité Restreinte : L’espace et le temps ne sont pas universels, mais dépendent de l’état de mouvement de l’observateur.

 

En Relativité Générale : L’espace et le temps sont des grandeurs dynamiques qui répondent (sont distordues) à la présence de masse-énergie. Cette distorsion est ce que l’on appelle la Gravitation.

 

En Relativité Restreinte : Les observateurs sont animés de mouvements relatifs à vitesses constantes. Les observateurs ne peuvent distinguer le repos des mouvements à vitesses constantes.

 

En Relativité Générale : Un observateur animé d’un mouvement non uniforme, donc accéléré, ne peut distinguer une accélération uniforme des effets locaux de la gravitation (Principe d’Équivalence)

La gravitation suivant Newton et Einstein :

Newton :

-   la gravitation est une force exercée par un corps massif sur un autre corps massif

-   un cops soumis à une force s’accélère

Einstein :

-   la gravitation est un effet de courbure de l’espace-temps au voisinage d’un corps massif ou par toute autre forme d’énergie

-   un corps suit le plus court chemin dans un espace-temps courbé.

52

En guise d’illustration du Principe d’Équivalence:

 *Dans un ascenseur, si on lâche un objet il tombe. Si l’ascenseur accélère vers le haut, on se sent plus lourd.

Si on lâche un objet il atteint le plancher de l’ascenseur plus tôt. Deux éventualités

L’ascenseur accélère

La gravitation est plus importante

Sans savoir ce qui se passe à l’extérieur de l’ascenseur, il est impossible de distinguer entre les deux causes du mouvement.

Dans le même esprit, mais en mouvement contraire, si l’ascenseur est en chute libre, on n’y ressent aucune accélération (avant d’atteindre le fond de la cage!).

*Expérience de pensée (gedanken expérience)

Un faisceau laser décrit une trajectoire horizontale dans une fusée au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

Si la fusée accélère vers le haut (dessin), ou soumise à une gravitation vers le bas, le spot du laser sur le mur opposé à l’émission est un peu plus bas, avec une apparence de courbure du faisceau. Il est impossible de distinguer entre les deux causes de cet effet de courbure : accélération ou gravitation.

Vitesse constante

53

Courbure de la lumière

La lumière est émise à to = 0 par la source S attachée à l’ascenseur, suivant une direction horizontale vue de l’extérieur.

A l’instant t = L/c la lumière atteint le côté opposé de l’ascenseur. Vu de l’extérieur le trajet de la lumière est horizontal. Vu de l’intérieur il est courbé de h

2 2

cLg

21gt

21h

S

L

to = 0t = L/c

h

S

gg

Ascenseur en accélération vers le haut.g

S

g

Vu de l’intérieur, tout se passe comme si l’ascenseur était au repos mais soumis à la gravitation

54

La lumière est émise à to = 0 par la source S attachée au plafond de l’ascenseur à vitesse nulle, suivant une direction verticale, à la fréquence fh.

A l’instant t la lumière atteint le détecteur D au plancher de l’ascenseur. Vu de l’extérieur l’ascenseur a parcouru la hauteur qui est très petite devant la hauteur totale d.

h

Ascenseur en accélération vers le haut.gVariation gravitationnelle du temps

S

d

to = 0

v = 0g

D

t

h

Sg

D

55

Nous avons les équations très simples suivantesc

hdt 2gt21h

D’où l’on tire (trinôme du second degré)

1

cgd21

gct 2

La vitesse de la lumière étant très grandecdt

La vitesse atteinte à cet instant par l’ascenseur est alors puisque la vitesse de départ est nulle c

dgv

La formule de l’effet Doppler relativiste

donne pour l’observateur dans l’ascenseur avec c très grande

hsourcebdétecteur f cv1cv1

f cv1cv1

ff

A partir des données de l’expérience précédente procédons, une fois n’est pas coutume, à quelques calculs simples.

cv1f f hb

Soit dans le cas de notre expérience mais également

2hb c

gd1f f

2bh c

gd1f f

La longueur d’onde est ainsi augmentée entre le bas et le haut c’est le Red-Shift gravitationnel.

2bh c

gd1

Le principe d’équivalence conduit à considérer que le résultat serait identique dans un champ de pesanteur inverse à l’accélération de l’ascenseur. Il y a donc Red-Shiht lorsque la lumière veut s’échapper de la gravitation.

56

Lorsqu'un signal lumineux est émis d'un corps très massif, le champ gravitationnel dont il va devoir s'extraire produit un décalage vers le rouge (sa fréquence diminue). C'est ce qu'on appelle le Décalage Gravitationnel vers le rouge. Son origine est la dilatation du temps (donc de la période du signal lumineux) prédite par la Relativité Générale.

L’expérience ci-dessus permet de comprendre ce qui suit.

Cet effet a d'abord été mis en évidence en 1925 en observant le décalage de raies émises par l'atmosphère du Soleil, puis mesuré plus précisément sur Terre en 1960 par Pound et Rebka en vérifiant le décalage de fréquence de raies atomiques entre leur émission au sol et leur réception au sommet d'une tour.

http://wwwlapp.in2p3.fr/SF2004/RELATIVITE/posterRG_v4.ppt

57

Expérience de la tour de HarvardEn vertu du principe d’équivalence l’effet de l’accélération étant le même que celui de la gravitation, pour une gravitation à la surface de la Terre le shift fréquentiel relatif est de 10-16 par mètre.

En plaçant un émetteur et un récepteur de photons distant de 22.6 mètres, à chaque extrémité de la tour Jefferson à Harvard, Pound et Rebka ont mesuré un décalage relatif de fréquence de l’ordre de 2.10-15 entre les photons montants et ceux descendants. Cette différence extrêmement petite est en accord à 10% avec les prédictions de la relativité générale.

Cette expérience a été reproduite et améliorée par Pound et Snider en 1964 pour obtenir des résultats en accord à 1% avec la théorie.

58

Une autre manière de raisonner peut être la suivante.

Soit un photon émis par un laser verticalement vers le haut à la fréquence υo. Son énergie de départ est

donnée par la formule , h étant la constante de Plank. En équivalence masse énergie cela

lui confère une masse fictive donnée par soit

A une hauteur d au-dessus de la source l’énergie du photon est la somme de son énergie propre à

laquelle s’ajoute l’énergie potentielle de pesanteur soit par conservation

Le photon est reçu à la fréquence

2ooo cmhE

2o

o chm

oo hE

h

gdmo gdc

hhgdmhh 2o

oo

)cgd1( 2o

L’interprétation de cette expérience est des plus fondamentale. Nous apprendrons que l’énergie d’une particule comme le photon est quantifiée: elle ne peut varier que par sauts quantiques déterminés. Dans le cas de cette expérience, afin de permettre un glissement continu de l’énergie en fonction de l’altitude, la nature a trouvé un moyen très élégant, faire varier le temps local, donc la fréquence de l’onde associée au photon. Tous les moyens sont bons pour satisfaire le principe de conservation de l’énergie.

59

Écoulement du temps dans un champ de gravitation

Chaque année, il s'écoule 16 millisecondes de plus en haut de l'Everest qu'au niveau de la mer. Ce décalage est une conséquence du ralentissement du temps dans un champ de gravitation. Celui-ci peut aussi être directement mesuré en comparant des horloges atomiques restées au sol et des horloges atomiques placées à haute altitude (avions ou satellites).

60

Vérification avec des horloges atomiques en mouvement autour de la Terre (Hafele and Keating Experiment 1971)

Voyages des avions depuis Washington DC.

Une horloge est restée au sol, les deux autres en avion dans des sens différents. Les trois horloges synchronisées avant le départ.

La différence d’altitude entre l’horloge au sol et celles embarquées conduit à un red-shif, auquel se combinent les effets de différence des vitesses.

Mouvement vers l’Est

Mou

vem

ent v

ers l

’Oue

st

Rot

atio

n de

la T

erre

Voyage Durée Écart prédit Écart mesuré

Vers l’Est 41,2 h - 40 ± 23 ns -59 ± 10 ns

Vers l’Ouest 48,6 h 275 ± 21 ns 273 ± 7 ns

Les écarts sont mesurés par rapport à l’horloge fixe, écarts qui intègrent les effets gravitationnels et de vitesse.

Eastward Westward

Gravitational 144 +/- 14 179 +/- 18

Kinematic -184 +/- 18 96 +/- 10

Net effect -40 +/- 23 275 +/- 21

Observed: -59 +/- 10 273 +/- 7

61

Tc

GG 4

8

Relativité Générale et Cosmologie - Cosmogonie

L’entièreté de l’Univers en une formule

Terme représentant la géométrie de l’espace-temps

Terme représentant la distribution de la masse-énergie dans l’Univers

General Relativity: a tool for astronomy

62

Les Trous Noirs - une vieille histoire ?

Dark stars• Rev. John Michell (1783)

“If there really should exist in nature any bodies whose density is not less than that of the sun, and whose diameters are more than 500 times the diameter of the sun… their light could not arrive at us.”

• Pierre Simon Laplace (1796)

“There exist in the heavens therefore dark bodies, as large as and perhaps as numerous as the stars themselves.”

63

Trou noir

Horizon duTrou noir

Les Trous NoirsLes trous noirs sont des régions de l’espace où règne une extrême gravitation qui provoque une forte courbure de l’espace-temps. La vitesse d’échappement de la matière est plus grande que la vitesse de la lumière et rien ne peut s’échapper du trou noir, même la lumière d’où le nom de « trou noir ».

A une certaine distance du centre du trou noir il y a une surface imaginaire que l’on nomme « l’horizon des événements » dont le rayon est le rayon de Schwarzschild RS = 2GM/c2

Sur cette surface la vitesse d’échappement est c, supérieure en dessous, inférieure au-delà.

Étoile Étoileà neutrons

Étoileà neutrons

Trounoir

64

Il est possible d’approcher la valeur du rayon de Schwarzschild par un calcul dans la mécanique de Newton.

La masse équivalente du photon de fréquence étant donnée par son énergie potentielle à la

distance r d’une masse à symétrie sphérique M sera égale à son énergie propre par soit

Ce calcul diffère d’un facteur deux d’un calcul relativiste, ce qui ne justifie en rien le résultat classique puisque totalement inadapté à des objets comme les photons, particules relativistes par excellence.

Pour un trou noir de la masse du Soleil

le rayon de Schwarzschild est de 3 km.

Les trous noirs ne peuvent être détectés

que par des effets gravitationnels

2o

o chm

2o

o rcGMhh 2c

GMr

o

Il est aussi possible de faire un calcul classique qui donne le bon résultat avec un photon de masse m, de vitesse c, d’énergie cinétique

qui égale l’énergie potentielle de pesanteur

2c mc21E

RGMmEp

65

Disque de poussière de 3 700 années lumière de diamètre autour d’un trou noir de 300 millions de masses solaires au centre de la galaxie elliptique NGC 7052.

66

Le centre de la Galaxie MCG-6-30-15 est supposé avoir un Trou Noir massif en rotation sur lui-même

67

Ondes de gravitation (GW)

Les ondes électromagnétiques, radio, TV, sont émises par des antennes dans lesquelles des électrons sont accélérés. Une représentation classique est celle d’un dipôle oscillant : , qui ne représente pas autre chose que la projection d’un mouvement de rotation uniforme sur un axe vu dans la direction perpendiculaire du même plan.

Plusieurs phénomènes astronomiques peuvent être la source d’onde de gravitation. Il s’agit de trouver des systèmes avec des masses très importantes en accélération. L’accélération d’une planète sur son orbite n’est pas suffisante.

)tsin(z)t(z o

Un exemple qui s’apparente au schéma précédent est celui du système binaire d’étoile à neutrons en rotation rapide.

-

O

z(t)

-

zz

x

z(t)

O

zo

68

Hulse Taylor

Russell Hulse et Joseph Taylor (prix Nobel 1993) découvrent en 1974 le remarquable système d’étoile double en rotation rapide sur leurs axes: Pulsar. Ce système a permis de mettre indirectement en évidence les ondes gravitationnelles. L’émission de ces ondes gravitationnelles, donc perte d’énergie du système, se traduit par un rétrécissement de la dimension des orbites, accessible à la mesure par la durée de révolution orbitale. Les résultats sont en accord avec la théorie d’Einstein.

Émission radio du pulsar

Émission d’ondes gravitationnelles du système double depuis la zone centrale

69

La figure montre les écarts cumulés de la variation de la période orbitale mesurée (points) et calculée avec la Relativité Générale (courbe continue)

Système binaire d’étoiles à neutrons

70

La collision entre deux trous noirs pourrait être une bonne source d’ondes gravitationnelles. Pour détecter ce type d’ondes dues à des trous noirs de qq masses solaires dans une galaxie voisine (1023 m) il faut être capable d’apprécier des variations de longueur de 10-18 m, 100 millions de fois plus petite que le diamètre d’un atome d’hydrogène

71

Détection des ondes de gravitation

Le passage d’une telle onde provoque une décroissance oscillatoire de la distance entre deux objets dans une direction transverse à la direction de propagation et une croissance oscillatoire dans la direction perpendiculaire

Expérience LIGO : Interféromètre gravitationnel de très grande sensibilité

LIGO: Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory

72

Courbure de la lumière par les étoiles massives

Arthur Eddington (expériences en 1919)

Position réelle

Position apparente

La courbure des rayons lumineux dans le champ de gravitation est faible mais parfaitement visible dès 1919, époque à laquelle Arthur Eddington a mesuré les déplacements apparents d’une étoile durant une éclipse du Soleil.

73

Comment des photons de masse nulle pourraient-ils subir la gravitation ? C’est là le génie d’une théorie constitutive lorsqu’elle restaure le sens physique ! Ce n’est pas le rayon lumineux qui est déformé par une "force" de gravité, c’est l’espace-temps qui est déformé par la présence de matière. La gravité est une propriété de l’espace-temps lui-même. Selon une synthèse fameuse de J. A. Wheeler :

L’espace-temps courbe indique aux particules comment se mouvoir et la matière indique à l’espace-temps comment se courber.

Par cette réciprocité, le contraste est frappant avec la vision Newtonienne où tel n’est pas le cas.

74

Lentilles gravitationnellesManifestation de la courbure des rayons lumineux, issus d’une galaxie lointaine, par un amas (cluster) de galaxies créant une forte gravitation sur le parcours de la lumière vers l’observation. Cet amas de galaxies se comporte comme une lentille optique, mais ici gravitationnelle qui courbe la lumière, donnant une image souvent multiple de la galaxie éloignée.

75

Effet de lentille gravitationnelle par un cluster de galaxies.

Toutes les galaxies en bleu sont bien plus éloignées que le cluster. Une galaxie en bleu donne au moins cinq images sur cette photographie.

La croix d’Einstein

76

From web site ofNed Wright (UCLA)

Micro-lentilles gravitationnelles

Des étoiles individuelles peuvent également produire des effets de courbures gravitationnelles dits micro-lentilles gravitationnelles

Supposons que nous observions une étoile de notre galaxie et qu’au cours de cette observation une autre étoile massive, mais invisible (noire), passe entre nous et l’étoile visible

Il apparaît un accroissement de la taille de l’étoile observée, ceci par une déformation du trajet des rayons lumineux visibles.

77

78

Avance du périhélie des planètes en particulier Mercure

Très ancien problème d’astronomie du système solaire.

Dans le modèle de Kepler, les planètes décrivent des orbites stables autour du Soleil. En fait l’observation montre que le périhélie, point le plus rapproché du Soleil n’est pas stable, mais tourne autour du Soleil. Il précesse. L’orbite de Mercure, comme celles de toutes les autres planètes a un mouvement de précession, dont la cause principale est l’effet gravitationnel des autres planètes. Ce n’est pas la seule cause, 43’’ d’arc par siècle sont dues aux effets relativistes qu’il faut introduire dans la mécanique de Newton. Bien que l’effet soit faible par rapport aux 574’’ d’arc (1,56°) par siècle de précession totale, ce petit écart est calculable si on retranche tous les effets connus dus à la présence, la forme, l’inhomogénéité des autres astres, le caractère non inertiel des repères liés à la Terre.

79

THE CLASSICAL TESTS:MERCURY’S PERIHELION ADVANCE

Predicted within newtonian celestial mechanics: 278 “/century due to Venus153 “/century due to Jupiter90 “/century due to Earth10 “/century due to all other planetstotal: 531 “/century … which is about 43”/century too small!!!

Observed: 574 “/century

Vulcan?

Ring?

1/r2.0000001574 ?

….. NO

80

Effet Shapiro

En 1964, Shapiro démontra qu'un rayon lumineux n'était pas seulement dévié en passant près d'une masse, mais également que la durée de son trajet était allongée par rapport à une géométrie euclidienne. La gravitation influence le temps de propagation de la lumière. En effet, juste avant que la planète Mars ne passe derrière le Soleil, le temps que met un signal pour faire l’aller-retour entre la Terre et Mars augmente brutalement de 200 microsecondes et diminue tout aussi brutalement quand la planète réapparaît. La masse du soleil a ralenti le temps...

Ces mesures ont tout d’abord été réalisées avec des échos radar envoyés vers Mars, Vénus ou Mercure, avec une précision de 20%.

On a ensuite utilisé les liaisons radio avec les sondes spatiales Mariner 6, 7 et 9. Finalement, avec les réflecteurs des sondes Viking qui se sont posées sur Mars en 1976, la précision atteint 0.1%

81

Mesure du retard du signal radar lors de l’approche et de l’éloignement de Vénus avec un passage par un maximum au plus près de la planète. Ce retard est dû à la gravitation qui modifie le temps « d’extraction » de l’onde électromagnétique en voyage en direction de la Terre. La courbe en continu correspond au calcul en Relativité Générale.

82

Pour déterminer sa position, le GPS reçoit les signaux des satellites qui le renseignent sur le temps exact de la communication. L’incertitude de la position provient de l’imprécision temporelle du signal reçu, donc de l’horloge atomique et de la position du satellite. Pour obtenir une précision d’un mètre sur la position, les horloges atomiques doivent être synchronisées à mieux que 4 nanosecondes près. Ce qui nécessite une stabilité meilleure que 10-13.

Ces horloges de l’espace se baladent à 14 000 Km/h (environ 4 km/s). La dilatation du temps qui en résulte implique un retard d’environ 7 microsecondes par jour.

De plus, ces mêmes horloges se trouvent à 20 000 Km de la Terre. À cet endroit, la gravité terrestre diminue d’un facteur quatre, d’où une contraction temporelle ayant pour conséquence une avance de 45 microsecondes par jour.

Le calcul prédit donc une avance de 38 microsecondes par jour, soit une dérive totale de plus de 11 kilomètres par jour ! Si ces effets relativistes n’étaient pas corrigés, le système GPS serait totalement inutilisable.

102

2

10cv

ff

Relativité et technologie : GPS

83

Montre pour la gravitation

Le temps va moins vite à cause de la

vitesse

Montre pour la vitesse

Le temps va plus vite à cause de la

gravitation

Correction totale nécessaire au

satellite

Montre au sol

Force gravitationnelle

Satellite GPS

Vitesse

84

La mesure de la phase venant d’au-moins quatre satellites permet de calculer quatre grandeurs: trois positions (X,Y,Z) et le temps GPS (T)

85

D

Triangulation

86