Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ci ...bent e Hammersley [4], o modelo de percola˘c~ao concentra-se em descrever o meio poroso visto como uma rede de canais aleat

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciencias Exatas

Departamento de Matematica

Dissertacao de Mestrado

Percolacao Crıtica em Grafos de Cayley

Thaıs Sadala de Brito

Orientador: Bernardo Nunes Borges de Lima

Abril - 2008

ii

iii

Aos meus colegas de mestrado. Turma de 2006.

iv

Resumo

Neste trabalho sera feito um estudo sobre o artigo Critical Percolation on AnyNonamenable Group Has No Infinite Clusters, escrito por Itai Benjamini,Russell Lyons, Yuval Peres e Oded Schramm em 1999. Sera demonstradoque a percolacao independente em qualquer grafo de Cayley de um gruponao-amigavel nao tem componente infinita no ponto crıtico.

v

vi RESUMO

Abstract

In this work a study will be done on the article Critical Percolation on AnyNonamenable Group Has In the Infinite Clusters, written by Itai Benjamini,Russell Lyons, Yuval Peres and Oded Schramm in 1999. It will be demon-strated that the independent percolacao in I write anyone of Cayley of anonamenable group it has no component infinite in the critical point.

vii

viii ABSTRACT

Agradecimentos

Ao termino deste trabalho, deixo aqui os meus sinceros agradecimentos:

A Deus por tudo.

Aos meus familiares pelo carinho e apoio de sempre.

Ao Marco, pelo carinho, companherismo e torcida.

Ao meu orientador Bernardo Nunes Borges de Lima, por acreditar que eurealmente chegaria ate aqui, por sua dedicacao e paciencia.

Aos meus queridos colegas de Mestrado, em especial a Luciana e a Claudia.Meninas, obrigada pelos sabados que passamos juntas estudando Probabili-dade e Mecanica Estatıstica, voces realmente me ajudaram muito. Lu, semvoce o que seria de mim no curso de EDO? Valeu mesmo!!!!

Ao professor Remy de Paiva Sanchis e aos colegas Elisa Fonseca, ThiagoMorais e Viviane Ribeiro, que muito me ajudaram na leitura inicial do artigoestudado nesta dissertacao.

ix

x AGRADECIMENTOS

Sumario

Resumo v

Abstract vii

Agradecimentos ix

Introducao 1

1 Nocoes Basicas de Percolacao 31.1 Definicoes basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Percolacao no grafo de Cayley 152.1 Algumas definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Princıpio do transporte de massa . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Demonstracao do Teorema 2.1.1 273.1 Demonstracao da nao existencia de um unico aglomerado infinito 273.2 Demonstracao de que nao existem infinitos aglomerados infinitos 30

Referencias Bibliograficas 37

xi

xii SUMARIO

Introducao

O conceito de percolacao surge do estudo do fenomeno de transporte de flu-ido atraves de um meio poroso, por exemplo, o petroleo fluindo atraves deuma rocha, ou a agua em um filtro de areia. O modelo de percolacao foiformulado na decada de 50 pelos matematicos Broadbent e Hammersley [4].este modelo concentra-se em descrever o meio poroso visto como uma redede canais aleatorios por onde escoa um fluido.

O meio poroso pode ser modelado como um substrato solido em cujo interiorexiste um certo numero de pequenos canais e poros em pontos escolhidos aoacaso. Se o numero de canais for suficientemente grande entao eles estaraointerligados e o meio se tornara permeavel a passagem de fluido. Neste casodizemos que houve a percolacao do fluido. Para simular a passagem do fluidoatraves dos poros, diremos que cada canal esta aberto com probabilidade pe fechado com probabilidade 1− p, com 0 ≤ p ≤ 1.

O objetivo desse trabalho e dissertar sobre o artigo Critical Percolation onAny Nonamenable Group Has No Infinite Clusters, publicado por Itai Ben-jamini, Russell Lyons, Yuval Peres e Oded Schramm em 1999.

No Capıtulo 2 serao apresentados os principais resultados de teoria de per-colacao. No Capıtulo 3 sera definida a percolacao em um grafo de Cayleye tambem sera apresentado o Princıpio do Transporte de Massa, ferramentaque sera usada na demonstracao do teorema principal dessa dissertacao, quegarante que a percolacao independente em qualquer grafo de Cayley de umgrupo nao-amigavel nao tem componente infinita no ponto crıtico. A de-monstracao deste resultado sera feita no Capıtulo 4.

1

2 INTRODUCAO

Capıtulo 1

Nocoes Basicas de Percolacao

Neste capıtulo serao explicitados alguns dos principais resultados da teoriade percolacao.

1.1 Definicoes basicas

Percolacao e uma parte da teoria da probabilidade que tem recebido muitaatencao nas ultimas decadas. O conceito de percolacao surge do estudo dofenomeno de transporte de um fluido atraves de um meio poroso, por exem-plo, o petroleo atraves de uma rocha, ou a agua em um filtro de areia. Apropagacao de epidemias e de incendios florestais tambem sao aplicacoes domodelo de percolacao. Formulado na decada de 50 pelos matematicos Broad-bent e Hammersley [4], o modelo de percolacao concentra-se em descrever omeio poroso visto como uma rede de canais aleatorios por onde escoa umfluido. Numa situacao simples cada canal pode estar aberto a passagem defluido com probabilidade p, o parametro do modelo, e fechado com probabili-dade complementar. Todos os resultados que serao abordados neste capıtulopodem ser encontrados em [7] e [6].

Formalmente o modelo sera descrito da seguinte maneira. Um grafo e umpar G = (V,E) onde V e um conjunto qualquer nao vazio e E consiste empares nao ordenados de elementos de V . Os elementos de V sao chamadosde vertices e os de E sao chamados de elos.

Podemos representar um grafo G tomando os elementos de V como sendo

3

4 CAPITULO 1. NOCOES BASICAS DE PERCOLACAO

pontos no espaco euclidiano e os elementos de E como segmentos ligandoesses pontos.

Exemplo: Zd = (x1, x2, . . . , xd) ∈ Rd, xi ∈ Z, ∀i = 1, . . . , d. Definimosos elementos de E(Zd) como pares de primeiros vizinhos, ou seja,

[x, y] ∈ E ⇔ ‖x− y‖ = 1, onde ‖x− y‖ =d∑i=1

|xi − yi|.

O grafo (Zd, E(Zd)) e chamado de rede hipercubica d-dimensional. Por simpli-cidade, as vezes escrevemos simplesmente Zd. Vamos modelar o meio porosopela rede hipercubica Zd, onde os vertices da rede representam os poros e oselos representam os canais.

Considermos o grafo Zd. A cada elo de E(Zd) sera atribuıdo aleatoriamenteo status aberto ou fechado como se segue. Seja ω = ωe, e ∈ E(Zd) umafamılia de variaveis aleatorias independentes e identicamente distribuıdascom distribuicao de Bernoulli de parametro p, isto e,

P(ωe = 1) = P(e esta aberto) = p,

P(ωe = 0) = P(e esta fechado) = 1− p.

O espaco de probabilidade e (Ω,F,Pp), onde Ω = 0, 1E(Zd), F e a σ-algebragerada pelos eventos cilındricos e Pp e a medida produto ( Pp =

∏e∈E

Pe),

onde Pe e medida de Bernoulli com parametro p.

Um caminho em Zd ligando os vertices x a y e uma sequencia de elos deE(Zd), e1, . . . , en, n ≥ 1 onde ei = [xi, xi+1], i = 1, . . . , n ;x1 =x e xn+1 = y. Dizemos que um caminho e auto evitante se xi 6= xj ∀i 6= j.

Dada uma configuracao ω ∈ Ω, dizemos que um caminho e aberto se todosos seus elos estiverem abertos em ω. Dois vertices x e y estao conectadosem ω se existe um caminho aberto entre eles. (Notacao: (x ↔ y) = ω ∈Ω;x e y estao conectados em ω.)

Denotemos por G um subgrafo de Zd. G e dito conexo se quaisquer dois deseus vertices podem ser ligados por um caminho inteiramente contido em G.

1.1. DEFINICOES BASICAS 5

Seja v ∈ V (G). Definimos o grau de v como sendo a cardinalidade do seguinteconjunto:

degG v = ]u ∈ V ; [u, v] ∈ E(G).

O subgrafo G e dito localmente finito se o grau de todos os seus vertices efinito.

Um isomorfismo entre dois grafos G e G′ e uma bijecao

ϕ : V (G) −→ V (G′),

tal que[x, y] ∈ E(G) ⇔ [ϕ(x), ϕ(y)] ∈ E(G′).

Dois grafos sao isomorfos se existe um isomorfismo entre eles. Em outraspalavras, dois grafos sao isomorfos se apresentam as mesmas propriedadesestruturais.

Um automorfismo de grafos e um isomorfismo de G em G. Definimos:

Aut(G) = ϕ : G −→ G;ϕ e um isomorfismo.

O grafo G e quasi-transitivo se existe um numero finito de classes de equiva-lencias de vertices dada pela seguinte relacao:

x ∼ y ⇔ ∃ ϕ ∈ Aut(G) tal que x = ϕ(y).

Um automorfismo ϕ ∈ Aut(G) induz uma funcao ϕ∗ dada por:

ϕ∗ : 0, 1E −→ 0, 1Eω 7−→ ϕ∗(ω)

em que ϕ∗(ω)[x,y] = ω[ϕ−1(x),ϕ−1(y)]. Um evento A e invariante por automor-fismos, se para todo ϕ automorfismo de G temos (ϕ∗)−1(A) = A, onde ϕ∗ e


o automorfismo induzido.

Consideremos um subgrafo de Zd de elos abertos. Uma componente conexadesse subgrafo sera chamada de aglomerado aberto. Escrevemos Cx paraindicar o aglomerado aberto que contem x. O conjunto de vertices deCx(ω) = y ∈ V (Zd);x↔ y em ω e o conjunto de todos os vertices da redeZd conectados a x por um caminho aberto. Pela invariancia por translacaoda rede Zd e da medida de probabilidade, a distribuicao de Cx e independenteda escolha de x. Denotamos por C o aglomerado aberto da origem e por |C| asua cardinalidade. Estamos interessados na distribuicao da seguinte variavelaleatoria:

|C| : Ω −→ N ∪ ∞

Uma questao importante e saber se algomerados abertos infinitos podemocorrer com probabilidade positiva. Definimos a funcao

θ : [0, 1] −→ [0, 1]

θ(p) = Pp(ω ∈ Ω; |C(ω)| =∞).

Em palavras, a funcao θ(p) mede a probabilidade da origem estar conectadaao infinito. Dizemos que a origem percola quando θ(p) e positivo.

1.2 Resultados importantes

Nesta secao serao apresentados alguns dos resultados mais importantes sobrea teoria de percolacao.

O resultado a seguir esta relacionado a monotonicidade da funcao θ(p).

Proposicao 1.2.1. θ(p) e nao decrescente em p.

Demonstracao. Para provarmos este resultado, construiremos um modeloprobabilıstico em que os modelos de percolacao com diversos valores dep possıveis estao acoplados. A cada elo e ∈ E(Zd) associamos variaveisaleatorias independentes e identicamente distribuıdas Xe com distribuicao

1.2. RESULTADOS IMPORTANTES 7

uniforme em [0, 1]. Logo o espaco de probabilidade deste modelo e (Ω,F,Q),

onde Ω = [0, 1]E(Zd), F e a σ-algebra gerada pelos eventos cilındricos e Qe o produto de medidas de Lebesgue no intervalo [0, 1]. Dizemos que o eloe esta p-aberto se Xe ≤ p e p-fechado caso contrario. Vemos assim queQ(ω ∈ Ω;Xe(ω) ≤ p) = Pp(ω ∈ Ω; e esta aberto em ω), e que os eventose esta p-aberto e e ∈ E(Zd) sao independentes. Seja Cp o aglomeradoinfinito de elos p-abertos que contem a origem. Notamos que Q(|Cp| =∞)=θ(p). Por outro lado Cp1 ⊂ Cp2 quando p1 < p2, pois neste caso um elop1-aberto esta necessariamente p2-aberto. Concluımos que

θ(p1) = Q(|Cp1| =∞) ≤ Q(|Cp2| =∞) = θ(p2)

Pela proposicao acima e como θ(0) = 0 e θ(1) = 1, podemos questionar aexistencia de um ponto pc ∈ [0, 1] tal que θ(p) = 0 se p < pc e θ(p) > 0 sep > pc.

pc = pc(d) e chamado de probabilidade crıtica e e definido formalmente por

pc = supp; θ(p) = 0.

Observemos que pc e θ(p) tambem sao funcoes que dependem da dimensaod.

No caso d = 1, o problema e trivial, pois, se p < 1 existem infinitos elosfechados em Z a esquerda e a direita da origem quase certamente, o queimplica que θ(p) = 0. Assim pc(1) = 1. Restringiremo-nos ao caso d ≥ 2.

O teorema a seguir foi um dos primeiros resultados nao-triviais sobre atransicao de fase, provado por Hammersley em 1957.

Teorema 1.2.1. Para d ≥ 2, existe um valor crıtico do parametro p, de-nominado pc, no intervalo aberto (0, 1) tal que

θ(p) = 0, se p < pc e,

θ(p) > 0, se p > pc.


Este teorema garante a existencia do ponto crıtico e divide o modelo de per-colacao em 3 fases: Subcrıtica, Crıtica e Supercrıtica. Na fase subcrıtica,quando p < pc(d), todo vertice esta quase certamente em um aglomeradoaberto finito. Na fase supercrıtica, quando p > pc(d), cada vertice temprobabilidade estritamente positiva de pertencer a um aglomerado abertoinfinito. O teorema nada nos diz sobre a probabilidade de percolacao nafase crıtica, quando p = pc(d).

Um dos principais problemas na teoria de percolacao e mostrar que parad ≥ 2 nao ha aglomerado aberto infinito em p = pc(d). O caso de duasdimensoes foi provado por Kesten [10]; o caso d ≥ 19 foi provado por Harae Slade [8]. Mostrar o que ocorre em 3 ≤ d ≤ 18 e um dos problemas emaberto mais famosos da teoria de percolacao. Neste trabalho sera feito umestudo sobre a nao existencia de aglomerados infinitos no ponto critıco, paraos grafos de Cayley que serao definidos no Capıtulo 2.

A demonstracao do teorema que define a transicao de fase pode ser obtidadiretamente dos seguintes resultados: uma proposicao que diz respeito amonotonicidade de θ(p, d) com relacao a dimensao e dois lemas. Para di-mensoes maiores ou iguais a dois, o primeiro lema garante que se p estiversuficientemente proximo de 0 teremos θ(p) = 0, ja o segundo lema garanteque se p estiver suficientemente proximo de 1 teremos θ(p) > 0.

Proposicao 1.2.2. θ(p, d) e nao decrescente em d.

Demonstracao. Podemos construir um modelo de percolacao em d dimensoesnum hiperplano d-dimensional da rede d+ 1-dimensional contendo a origem,declarando fechados os elos ligando o hiperplano ao restante do espaco eusando ω := ωe, e ∈ E(Zd), famılia de variaveis aleatorias definidas noinıcio deste capıtulo, para os demais elos. Denotando por C ′ o aglomeradoda origem neste modelo, temos claramente que C ′ ⊂ C e logo

θ(p, d) = Pp,d+1(|C ′| =∞) ≤ Pp,d+1(|C| =∞) = θ(p, d+ 1).

Lema 1.2.1. Para d ≥ 2 e p suficientemente proximo de 0 temos θ(p) = 0.

Demonstracao. Como |C|(ω) =∑x∈Zd

I0↔x(ω) onde IA e a funcao indicadora

do evento A, isto e,


IA(w) =

1, se w ∈ A,0, caso contrario,

e logo

Ep|C| =∑x∈Zd

Pp(0↔ x). (1.1)

Temos que

Pp(0↔ x) = Pp(⋃γ

γ esta aberto ),

onde a uniao e sobre caminhos γ que conectam 0 a x. Temos entao de (1.1)e da subaditividade que

Ep|C| ≤∑x∈Zd

∑γ

Pp(γ esta aberto ) =∑n≥0

∑γ;|γ|=n

Pp(γ esta aberto )

onde a segunda soma e sobre os caminhos γ partindo da origem e de com-primento n. Assim

∑|γ|=n

Pp(γ esta aberto ) = pn. Portanto temos que :

Ep|C| =∑n≥0

σ(n)pn,

onde σ(n) denota o numero de caminhos partindo da origem e de compri-mento n. Queremos encontrar uma cota superior para σ(n). Para isso fare-mos o seguinte argumento combinatorio: o primeiro passo do caminho decomprimento n tem 2d possıveis vertices de destino, enquanto que a partirdo segundo ate o final, cada passo tem no maximo 2d − 1 possıveis verticesde destino (isto e, contando caminhos que nao tem retorno imediato). Logopara n ≥ 1,

σ(n) ≤ 2d(2d− 1)n−1.

Entao,

Ep|C| ≤∑n≥1

2dp[(2d− 1)p]n−1 + 1

e para esta serie ser convergente, basta termos p < 1(2d−1)

. Assim esta provado

que Ep|C| <∞ para p proximo de 0. Por outro lado temos que

Ep|C| =n∑k=1

Pp(|C| = k) +∞.Pp(|C| =∞) <∞


e portanto concluimos que θ(p) = Pp(|C| =∞) = 0.

Lema 1.2.2. Para d = 2 e p suficientemente proximo de 1 temos queθ(p) > 0.

Demonstracao. Consideremos a rede bidimensional dual de Z2,

Z2∗ = Z2 + (

1

2,1

2)

Z2∗ e uma translacao de Z2 pelo vetor (1

2, 1

2). Existe uma correspondencia en-

tre os elos da rede Z2 e os elos da rede dual, que associa a cada elo da primeirarede o unico elo secante da rede dual. Dizemos que o elo da rede dual estaaberto ou fechado se o elo secante da rede Z2 esta aberto ou fechado respec-tivamente. Dessa forma definimos um modelo de percolacao em Z2

∗ induzidopelo modelo em Z2. Pode-se afirmar que o aglomerado da origem de elosabertos em Z2 e finito se e somente se existe um circuito fechado na rededual envolvendo a origem. De fato, se o algomerado da origem for finito, oselos da fronteira do aglomerado (isto e elos ligando vertices do aglomeradoa vertices fora do aglomerado), obviamente fechados, estao sempre dispostosde tal forma que os elos correspondentes do dual formam um circuito quesera entao fechado. (Para uma prova rigorosa deste fato ver [11]).

Queremos mostrar que a probabilidade do aglomerado da origem ser finitoe estritamente menor que 1 para p suficientemente proximo de 1. Pelo queacabamos de argumentar basta mostrar que a probabilidade de haver algumcircuito fechado na rede dual ao redor da origem e estritamente menor que1 para p suficientemente proximo de 1. Mas,

Pp(ha um circuito fechado na rede dual ao redor da origem) ≤

≤∑γ

Pp(γ esta fechado),

onde a soma e sobre todos os circuitos γ ao redor da origem. Reordenandoesta soma temos: ∑

n≥4

∑|γ|=n

Pp(γ esta fechado),


onde a segunda soma e sobre os circuitos γ ao redor da origem de compri-mento n. Como

∑|γ|=n

Pp(γ esta fechado) = (1− p)n temos que:

∑n≥4

∑|γ|=n

Pp(γ esta fechado) =∑n≥4

λ(n)(1− p)n,

onde λ(n) denota o numero de circuitos na rede dual ao redor da origem decomprimento n.

Qualquer circuito de comprimento n na rede dual ao redor da origem devecruzar um elo da rede original da forma ((0, k), (0, k+ 1)), para algum −n

2≤

k ≤ n2. A partir deste elo secante, cada um dos n − 1 elos subsequentes

pode ser colocado de no maximo 3 maneiras diferentes. Assim produzimos aseguinte cota superior para λ(n),

λ(n) ≤ n3n−1.

Daı, ∑n≥4

λ(n)(1− p)n =∑n≥4

n

3[3(1− p)n],

que e uma funcao contınua e decrescente em p quando p > 23, anulando-se

quando p = 1. Segue que existe p0 ∈ (23, 1) tal que a expressao acima e

estritamente menor do que 1 para p > p0.

Considere o seguinte evento Ik = existem k aglomerados abertos infinitos ,onde k = 1, 2, ...,∞. Este e claramente um evento invariante por translacao(que e um automorfismo). O lema a seguir nos dira que Pp(Ik) = 0 ou 1. Ademonstracao deste fato pode ser encontrada em [3].

Lema 1.2.3. Seja G um grafo localmente finito, quasi-transitivo e seja A ∈ F

um evento invariante por automorfismos. Entao Pp(A) = 0 ou Pp(A) = 1.

A seguir temos um teorema devido a Newman e Schulman, que diz que comprobabilidade 1, existem 0,1 ou ∞ aglomerados abertos infinitos.

Teorema 1.2.2. Seja G um grafo infinito, localmente finito, quasi-transitivoe 0 < p < 1. Entao:

Pp(I0) = 1 ou Pp(I1) = 1 ou Pp(I∞) = 1.


Demonstracao. Suponhamos por contradicao que Pp(Ik) > 0 para algum2 ≤ k <∞. Consideremos x0 ∈ V (G) fixo e seja Tn,k o evento onde Ik ocorree cada aglomerado infinito contem um vertice na fronteira de Bn(x0)(bolade centro x0 e raio n). Como a bola Bn(x0) intercepta todos os algomeradosintinitos de G , temos que Ik =

⋃n

Tn,k e assim, Pp(Tn,k) Pp(Ik). Entao

existe um n tal que Pp(Tn,k) > 0. Mudando o estado de todos os elos deBn(x0) para aberto vemos que P (I1) > 0, mas entao Pp(Ik) = Pp(I1) = 1pelo Lema 1.2.3, o que e uma contradicao pois Ik ∩ I1 = ∅.

Outro resultado muito importante na teoria de percolacao e a unicidade doaglomerado infinito em Zd. A demonstracao deste fato foi dada por Aizen-man, Kesten e Newman [1] em 1987. Uma prova mais simples foi dada porBurton e Keane [5] em 1989, que pode ser encontrada em [7]. A definicao aseguir sera utilizada mais adiante, no Capıtulo 4.

Definicao 1.2.1. Seja G um subgrafo infinito de elos abertos. Um verticev ∈ V (G) e um ponto de encontro triplo se existem tres ou mais vizinhos dev que pertencem a distintas componentes conexas de G \ v.

Figura 1.1: um ponto de encontro triplo

Consideremos Y o seguinte conjunto aleatorio:

Y (ω) = v ∈ G; v e ponto de encontro triplo na configuracao ω

Seja N a variavel aleatoria:

N : Ω −→ N ∪ ∞que conta o numero de aglomerados abertos infinitos.


Lema 1.2.4. Seja G um grafo invariante por automorfismos. Suponhamosque o conjunto ω ∈ Ω; 2 ≤ N(ω) ≤ +∞ em ω tem probabilidade positiva.Entao o conjunto Y dos pontos de encontro triplos de G e nao vazio quasecertamente.

Demonstracao. Sejam B um conjunto finito de vertices e EB = [x, y] ∈E; x, y ∈ B, o conjunto de elos da rede Zd que conectam os vertices de B.

Definimos MB a seguinte variavel aleatoria:

MB : Ω −→ N ∪ ∞

que conta o numero de aglomerados abertos infinitos que intersectam B.Claramente, MB e uma funcao nao decrescente em B, e MB → N quandoB ↑ Zd. Tomemos B como sendo o diamante B(n) = x ∈ Zd; ‖x‖ ≤ n.

Denotaremos por Tx o evento Tx = ω ∈ Ω; x e ponto de encontro triplo em ω.Como Pp(Tx) tem a mesma distribuicao para todo x, temos que Pp(Tx) =Pp(T0), ∀x ∈ Zd. Seja T =

⋃x∈Zd

Tx, ou seja T e o evento: ∃ um

ponto de encontro. Claramente T e invariante por automorfismos, portantoPp(T ) = 0 ou 1. Como T ⊃ T0, temos que Pp(T ) ≥ Pp(T0). Portanto bastamostrar que Pp(T0) > 0.

Seja MB(0) a variavel aleatoria que conta o numero de aglomerados aber-tos infinitos que intersectam B quando todos os elos de EB estao fechados.Como MB(0) ≥MB, temos que

Pp(MB(n)(0) ≥ 3) ≥ Pp(MB(n) ≥ 3)→ Pp(N ≥ 3) = 1 quando n→∞,

pois, por hipotese, o conjunto das configuracoes onde ha mais de um aglom-erado infinito tem probabilidade positiva, logo segue do Lema 1.2.3 quePp(N ≥ 3) = 1. Portanto, vamos tomar um n grande o suficiente tal que

Pp(MB(n)(0) ≥ 3) ≥ 1

2.

Considerando que B = B(n), observemos que :


1. o evento MB(0) ≥ 3 nao depende do estado dos elos em EB.

2. se o evento MB(0) ≥ 3 ocorrer, existem x, y, z ∈ ∂B pertencendoa aglomerados abertos infinitos distintos de E(Zd) \ EB.

Seja ω ∈ MB(0) ≥ 3, e tome x = x(ω), y = y(ω), z = z(ω). Podemosafirmar que existem em EB tres caminhos ligando a origem a x, y e z, e queestes caminhos podem ser escolhidos da seguinte forma:

1. a origem e o unico vertice em comum a qualquer dois caminhos;

2. cada caminho intersecta ∂B em apenas um vertice.

Seja Jx,y,z o evento em que todos os elos destes tres caminhos estao abertos,e todos os outros elos de EB estao fechados.

Como B e finito,

Pp(Jx,y,z|MB(0) ≥ 3) = pA(1− p)R−A ≥ (minp, 1− pR) > 0,

onde A e o numero de elos abertos de EB e R e o numero de elos em EB.

Portanto,

Pp(0 e um ponto de encontro) ≥ Pp(Jx,y,z ∩MB(0) ≥ 3) =

= Pp(Jx,y,z|MB(0) ≥ 3)Pp(MB(0) ≥ 3) ≥ 1

2(minp, 1− pR) > 0,

o que mostra Pp(T0) > 0. Logo Pp(T0) = 1, isto e, x e ponto de encontrotriplo quase certamente. Assim concluımos que o conjunto Y dos pontos deencontro triplo e nao vazio quase certamente.

Capıtulo 2

Percolacao no grafo de Cayley

Neste capıtulo vamos enunciar o resultado que garante que a percolacaoindependente em qualquer grafo de Cayley de um grupo nao-amigavel naotem componente infinita no ponto crıtico. Este resultado foi provado deforma mais simples por Itai Benjamini, Russell Lyons, Yuval Peres e OdedSchramm no artigo Critical Percolation on Any Nonamenable Group Has NoInfinite Clusters .

2.1 Algumas definicoes

Definicao 2.1.1. Seja Γ um grupo finitamente gerado. Dado um conjuntosimetrico finito de geradores S = g±1

1 , . . . , g±1n de Γ, o Grafo de Cayley

de (Γ, S) e o grafo X(Γ, S) := (V,E) com V := Γ e [g, h] ∈ E ⇔ g−1h ∈ S.

Assim, o grafo X(Γ, S) depende do conjunto de geradores.

Para entendermos a estrutura do grafo, notemos que para que [g, h] seja umelo de X(Γ, S), devemos ter g−1h = s para algum s ∈ S, ou seja, h = gs.Conforme a Figura 2.1, o grafo de Cayley parece ser uma arvore, o que nemsempre e verdade pois pode haver auto-intersecao, como mostra o exemploque segue.

Exemplo: Considere o grupo finitamente gerado como sendo Z2. Dado umconjunto simetrico finito de geradores S = (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0,−1) deZ2 a Figura 2.2 representa o grafo de Cayley (Z2, S) e a Figura 2.3 representa

15

16 CAPITULO 2. GRAFOS DE CAYLEY

Figura 2.1: Grafo de Cayley (X, S)

o mesmo grafo visto de outra forma.

Figura 2.2: Grafo de Cayley (Z2, S)

Definicao 2.1.2. Sejam (Λ, d) e (Λ′, d′) , espacos metricos, a funcao φ :Λ→ Λ′ e dita ser uma quasi-isometria se existem constantes λ ≥ 1 e C ≥ 0tais que:

1

λd(x, y)− C ≤ d′(φ(x), φ(y)) ≤ λd(x, y) + C

Note que quaisquer dois grafos de Cayley do mesmo grupo sao quasi-isometricos. Provaremos esse fato a seguir.

Sejam Γ um grupo finitamente gerado, S = g±11 , . . . , g±1

n o conjuntosimetrico de geradores de Γ. Todo elemento de Γ pode ser escrito comocombinacao dos elementos de S. Assim se x ∈ Γ entao x = gα1

i1gα2i2...g

αpip

onde

2.1. DEFINICOES 17

Figura 2.3: Grafo de Cayley (Z2, S)

ij ∈ 1, ...., n com ij 6= ij+1 e αi ∈ N .

O comprimento dessa combinacao ep∑i=1

αi.

Definimos a distancia d entre dois elementos do grupo Γ da seguinte forma:Se x, y ∈ Γ entao d(x, y) = menor comprimento da combinacao que repre-senta o elemento x−1y.

Sejam S1 = g±11 , . . . , g±1

n e S2 = h±11 , . . . , h±1

k conjuntos de geradoressimetricos distintos de Γ. Sejam X1(Γ, S1) e X2(Γ, S2) os grafos de Cayleydo grupo Γ e d1, d2 suas respectivas distancias. Queremos mostrar que existeuma funcao

ϕ : (X1(Γ, S1), d1) −→ (X2(Γ, S2), d2)

que e uma quasi-isometria. De fato, se [x, y] ∈ E(Xi) entao di(x, y) = 1para i = 1, 2. Se x e y estao ligados por um caminho de comprimentom, sendo este o menor deles em X1 ou X2, entao podemos expressar x−1ycomo combinacao de comprimento m em S1 ou S2, assim di(x, y) = m parai = 1 ou 2. Consideremos ϕ como sendo a aplicacao identidade.

Vamos escrever todos gi ∈ S1 como combinacao dos elementos de S2, edefiniremos como λ1 como sendo o maior desses comprimentos. Da mesmaescrevemos todos os hi ∈ S2 como combinacao dos elementos de S1, e definire-mos como λ2 como sendo o maior desses comprimentos.Consideremos x, y ∈ Γ, entao o elemento x−1y pode ser escrito como com-binacao dos elementos de S1:


x−1y = gα1i1gα2i2...gαmim ,

agora vamos escrever cada gi como combinacao dos elementos de S2.

x−1y = hβ1

j1...hβnjn︸︷︷︸gα1i1

... hγ1j1 ...hγqjq︸︷︷︸

gαmim

,

onde βi, γi ∈ N e jk ∈ 1, ...., n.Assim, temos:

d2(x, y) ≤ λ1.m∑i=1

αi = λ1.d1(x, y).

Analogamente escrevemos o elemento x−1y como combinacao de S2, depoiscada hjk como combinacao dos elementos de S1, daı temos tambem que:

d1(x, y) ≤ λ2.

p∑i=1

βi = λ2.d2(x, y)

Tomando λ = maxλ1, λ2 e C = 0 temos que:

1

λd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ λd1(x, y)

Logo provamos que X1 e X2, grafos de Cayley do mesmo grupo Γ sao quasi-isometricos.

Definicao 2.1.3. Um grafo X e chamado transitivo se para quaisquer doisvertices x, y existe um automorfismo de grafos que leva x a y.

Qualquer grafo de Cayley e transitivo sob acao do seguinte automorfismo:

ϕ : X −→ Xa 7−→ (yx−1)a

Para tanto, basta que [a, b] ∈ E ⇒ [ϕ(a), ϕ(b)] ∈ E. De fato:

ϕ(a)−1ϕ(b) = (yx−1a)−1yx−1b

= a−1xy−1yx−1b

= a−1b ∈ S, pois [a, b] ∈ E.

Analogamente, [ϕ(a), ϕ(b)] ∈ E ⇒ [a, b] ∈ E.

2.1. DEFINICOES 19

Definicao 2.1.4. A constante elo-isoperimetrica iE(X) de X (ou constantede Cheeger) e definida da seguinte forma:

iE(X) := inf|∂EK||K|

; K ⊂ V e K e finito,

onde ∂EK sao os elos da fronteira de K, ou seja, os elos [u, v] com u ∈ K ev ∈ V \K.

Definicao 2.1.5. Um grupo finitamente gerado e nao-amigavel se para al-gum conjunto gerador finito, a constante elo-isoperimetrica de seu grafo deCayley e positiva.

Na percolacao de elos p-Bernoulli em um grafo X = (V,E), os elos estao aber-tos com probabilidade p independentemente. Os elos que nao estao abertos,estao fechados com probabilidade complementar. O espaco de probabili-dade e (Ω,F,Pp), onde Ω = 0, 1E, F e a σ-algebra gerada pelos even-tos cilındricos e Pp e a medida produto de Bernoulli com parametro p.Dada uma configuracao ω, um subgrafo de percolacao e o grafo aleatoriocujos vertces sao V (X) e os elos estao abertos, ou seja E(ω) = [u, v] ∈E(X); [u, v] e aberto em ω. Seja K(v, ω) = u ∈ V (X);u ↔ v em ω oaglomerado de v, ou seja, a componente conexa de v em um subgrafo per-colacao.

Definimosθv(p) := Ppω ∈ Ω;K(v, ω) e infinito.

Em um grafo transitivo, em particular no grafo de Cayley, o valor θv(p) eindependente da escolha de v. Dessa forma, denotamos simplesmente porθ(p), a probabilidade da origem pertencer ao um aglomerado infinito.Seja

pc := infp; θ(p) > 0

o ponto crıtico da percolacao.

Dadas as definicoes, podemos enunciar o principal teorema desta dissertacao,que foi provado por Itai Benjamini, Russell Lyons, Yuval Peres e Oded


Schramm no artigo Critical Percolation on Any Nonamenable Group HasNo Infinite Clusters . Este resultado garante que a percolacao independenteem qualquer grafo de Cayley de um grupo nao-amigavel nao tem componenteinfinita no ponto crıtico.

Teorema 2.1.1. Seja X um grafo de Cayley de um grupo nao-amigavel fini-tamente gerado e consideremos a percolacao de elos em X. No ponto crıticonao existe aglomerado infinito quase certamente, isto e θ(pc) = 0.

Novamente seja Ik = ω ∈ Ω; existem k aglomerados infinitos em ω. Sabe-mos que Ik e invariante pela acao de Γ, uma vez que X e transitivo. Usandoo Lema 1.2.3 e o Teorema 1.2.2 podemos concluir que o numero de algomer-ados infinitos deve ser 0, 1 ou ∞ quase certamente.

Observe que podemos usar esses resultados na demonstracao do Teorema2.1.1. Por ser transitivo, o Grafo de Cayley possui somente uma classede equivalencia. Alem disso, pela construcao do grafo temos que todos osvertices tem o mesmo grau, a saber, o numero de elementos do gerador. Por-tanto, concluımos que o grafo e localmente finito.

No capıtulo 4, provaremos o Teorema 2.1.1 excluindo as hipoteses em quepodem ocorrer I1 ou I∞ no ponto crıtico, utilizando a ferramenta que intro-duziremos a seguir.

2.2 Princıpio do transporte de massa

Nesta secao sera apresentada uma ferramenta que sera utilizada na demons-tracao do Teorema 2.1.1.

Consideremos um processo Γ-invariante (Γ, grupo finitamente gerado), ouseja, a medida de probabilidade P e invariante sob a acao de Γ.

2.2. TRANSPORTE DE MASSA 21

Consideremos uma funcao do seguinte tipo:

m : Γ× Γ× 0, 1E(X) −→ [0,∞)

(x, y, ω) −→ m(x, y, ω)

Dizemos que m e invariante pela a acao diagonal, quando

m(γx, γy, γω) = m(x, y;ω), ∀γ ∈ Γ.

Observe que γω e a configuracao onde o estado do elo [x, y] e o estado do elo[γ−1x, γ−1y] na configuracao ω.

Essa funcao representa intuitivamente a massa transportada de x para y naconfiguracao ω. Dessa forma, pretende-se que haja “conservacao de massa”,ou pelo menos, da sua esperanca. Ou seja, esperanca da massa que sai dequalquer vertice x e igual a esperanca da massa que chega a x. Este e oprincıpio do transporte de massa que sera enunciado a seguir.

Princıpio do transporte de massa (T.M.):

Seja m(x, y, ω) ∈ [0,∞) uma funcao de x, y ∈ Γ e ω e um subgrafo depercolacao de X. Suponhamos que m seja invariante pela acao da diagonal.Entao temos que

∀x ∈ V∑y∈V

M(x, y) =∑y∈V

M(y, x), (2.1)

onde M(x, y) := Em(x, y;ω), que tambem e invariante pela acao da diagonalde Γ.

De fato, ∀g, h ∈ Γ, temos queM(gx, gy) = Em(gx, gy;ω) = Em(x, y; g−1ω) =

∫Ωm(x, y; g−1ω)dPω

=︸︷︷︸γ=g−1ω

∫Ωm(x, y; γ)dP(gγ) =︸︷︷︸

P Γ−invariante

∫Ωm(x, y; γ)dP(γ) =︸︷︷︸

γ=ω

∫Ωm(x, y;ω)dPω

= Em(x, y;ω) = M(x, y)

Exemplo:

m(x, y;ω) =

1, se [x, y] ∈ E e esse elo esta aberto em ω;0, caso contrario.


Observe que [x, y] ∈ E ⇐⇒ [gx, gy] ∈ E ⇐⇒ (gx)−1gy = x−1g−1gy =x−1y ∈ S, pois [x, y] ∈ E. Alem disso, [x, y] aberto em ω ⇐⇒[gx, gy] aberto em gω pois o processo e Γ -invariante , a medida P e in-variante sob a acao de Γ. Logo,

m(gx, gy; gω) = m(x, y;ω)

Podemos verificar o T.M. para qualquer grafo de Cayley. De fato, ∀x ∈ V

∑y∈V

M(x, y) =∑g∈Γ

M(x, gx) =∑g∈Γ

M(g−1x, x) =∑y∈V

M(y, x)

Seja S um conjunto finito de geradores de um grupo nao-amigavel Γ e sejaX(Γ, S) seu grafo de Cayley. Para um subgrafo finito K ⊂ X, defina

αK :=1

|V (K)|∑

x∈V (K)

degK(x),

onde degK(x) e o grau de x como vertice de K. Pode-se dizer que αK(x) euma especie de grau medio do vertice x no subgrafo finito K. Seja

α(X) := supαK ;K ⊂ X e K e finito

Uma vez que o grafo e transitivo, cada vetice de X tem o mesmo grau. Logo,segue que:

α(X) + iE(X) = degX(o), (2.2)

em que o ∈ V (X) e a identidade de Γ. De fato,

∑x∈V (K)

[degK(x) + |∂EK(x)|] =∑

x∈V (K)

degX(x) = degX(o).|V (K)|,

onde ∂EK(x) = y /∈ V (K)/[x, y] ∈ E(X) e chamada fronteira externa deK conectada a x. Daı,

αK =1

|V (K)|∑

x∈V (K)

degK(x) = degX(o)− 1

|V (K)||∂EK(x)|,


tomando o supremo na igualdade acima temos:

α(X) = supK⊂X;|K|<∞

αK = supK⊂X;|K|<∞

(degX(o)− 1

|V (K)||∂EK(x)|)

= degX(o)− infK⊂X;|K|<∞

|∂EK(x)||V (K)|

= degX(o)− iE(X).

O teorema a seguir garante que se para um subgrafo aleatorio de X cujadistribuicao e um modelo invariante de percolacao de elos em X tivermosque, a esperanca do grau de um vertice o em ξ for maior que o supremodos graus medios de X, entao ξ tera componente infinita com probabilidadepositiva.

Teorema 2.2.1. Seja X o grafo de Cayley de um grupo nao-amigavel Γ comrelacao a um conjunto finito de geradores. Seja o ∈ V (X) a identidade de Γ.Suponha que ξ e um subgrafo aleatorio de X cuja distribuicao e um modeloinvariante de percolacao de elos em X. Se Edegξ(o) > α(X), entao ξ temcomponente infinita com probabilidade positiva.

Demonstracao. Para cada v ∈ V (X), seja K(v) a componente conexa de ξcontendo v. Defina:

m(v, u; ξ) =

degξ(v)

|K(v)| , se K(v) for finita e u ∈ K(v);

0, caso contrario.

Observe que a funcao assim definida e nao negativa e invariante pela acao dadiagonal, uma vez que o processo e Γ-invariante . Assim, se K(u) e finita,temos que

∑u∈V (X)

m(u, o; ξ) =∑

u∈V (X);K(u)e finito e o∈K(u)

degξ(u)

|K(u)|=

1

|K(o)|∑

u∈V (X);K(u)e finito e o∈K(u)

degξ(u)

=1

|K(o)|∑

u∈K(o),K(o)e finito

degξ(u) = αK(o) ≤ α(X),

onde a segunda igualdade se deve ao fato de que |K(u)| e uma constante,pois |K(u)| = |K(o)| ∀u ∈ K(o).


Se K(u) e infinita, temos que∑

u∈V (X) m(u, o; ξ) = 0 ≤ α(X). Por outrolado,∑u∈V (X)

m(o, u; ξ) =∑

u∈K(o),K(o)e finito

degξ(o)

|K(o)|= |K(o)|

degξ(o)

|K(o)|= degξ(o),

quando K(o) e finita. Caso contrario∑

u∈V (X)m(o, u; ξ) = 0.

Assim, temos

E[∑

u∈V (X)

m(u, o, ξ)] = E[∑

u∈V (X)

m(u, o, ω)I|K(o)|<∞] + E[∑

u∈V (X)

m(u, o, ω)I|K(o)|=∞]

= P(|K(o)| <∞).E(∑

u∈V (X)

m(u, o, ω) | |K(o)| <∞)

= P(|K(o)| <∞).E[αK(o) | |K(o)| <∞]

≤ P(|K(o)| <∞).α(X) (2.3)

e

E[∑

u∈V (X)

m(o, u, ξ)] = E[∑

u∈V (X)

m(o, u, ω)I|K(o)|<∞] + E[∑

u∈V (X)

m(o, u, ω)I|K(o)|=∞]

= P(|K(o)| <∞).E(∑

u∈V (X)

m(o, u, ω) | |k(o)| <∞)

= P(|K(o)| <∞).E[degξ(o) | |K(o)| <∞] (2.4)

Pelo princıpio do transporte de massa temos que (2.3) e (2.4) sao iguais.Portanto,

P(|K(o)| <∞).E[degξ(o) | |K(o)| <∞] ≤ P(|K(o)| <∞).α(X)

Entao, se P(K(o) < ∞) = 1, temos que E(degξ(o)) ≤ α(X). Portanto,α(X) < E(degξ(o)) implica que ξ tem componente infinita com probabilidadepositiva, provando o teorema.

Corolario 2.2.1. Sob as mesmas hipotese do teorema, se P(e /∈ ξ) <iE(X)/ degX(o), ∀e ∈ E(X), entao ξ tem uma componente infinita comprobabilidade positiva.


Demonstracao. Por hipotese,

P(e /∈ ξ) <iE(X)

degX(o)= 1− α(X)

degX(o)

onde a igualdade segue por (2.2). Dessa forma, temos:

P(e ∈ ξ) > α(X)

degX(o)⇒ P(e ∈ ξ). degX(o) > α(X)

Entao pelo teorema 2.2.1, basta mostrar que P(e ∈ ξ). degX(o) = E(degξ(o)).De fato,E(degξ(o)) = E(

∑e↔o

1e∈ξ) =∑e↔o

E(1e∈ξ) =∑e↔o

P(e ∈ ξ) = degX(o).P(e ∈ ξ),

onde e↔ o significa que e ∈ E(X) e o e um dos vetices terminais.


Capıtulo 3

Demonstracao do Teorema2.1.1

Como ja foi comentado no capıtulo 2, o numero de aglomerados infinitose quase certamente uma constante igual a 1, 0 ou ∞. Na secao 3.1 serademonstrado que o aglomerado infinito nao pode ser unico. Na secao 3.2sera descartada a hipotese de que a percolacao crıtica produz mais de umaglomerado infinito.

3.1 Demonstracao da nao existencia de um

unico aglomerado infinito

Definicao 3.1.1. Seja dX a distancia no grafo X definida da seguinte forma:

dX = d(x, y) = inf|β|; β e o caminho que conecta x a y.

Consideremos um processo de percolacao de elos pc-Bernoulli no grafo X.Seja ω uma configuracao desse processo. Suponhamos que com probabili-dade 1 exista um unico algomerado infinito U em ω. Definiremos um outroprocesso de percolacao de elos ε-Bernoulli no grafo X independente do ante-rior. Seja γε uma configuracao desse processo.

Usaremos γε para definir um outro processo de percolacao de elos ξε, comose segue. Para cada v ∈ V , seja U(v) ⊂ U o conjunto de vertices u ∈ Utais que dX(v, u) = dX(v,U); isto e, U(v) e o conjunto dos vertices de U que

27

28 CAPITULO 3. DEMONSTRACAO DO TEOREMA 2.1.1

estao mais proximos de v. Assim, se v ∈ U entao U(v) = v. Dados doisvizinhos u e v ∈ V (X), dizemos que [u, v] ∈ ξε se as tres condicoes abaixosao satisfeitas:

1. dX(u,U) < 1/ε

2. dX(v,U) < 1/ε

3. U(u) ∪ U(v) esta contido na mesma componete conexa de ω\γε.

Observe que ξε e um processo invariante, pois X e invariante, ω e um pro-cesso de percolacao independente e invariante, γε e tambem um processo depercolacao independente(e independente de ω) e invariante.

Podemos interpretar o processo de percolacao de elos ε − Bernoulli comosendo o seguinte: os elos abertos da configuracao ω sao apagados com prob-abilidade ε.

P((γε)e = 1) = P(e esta apagado) = ε

P((γε)e = 0) = P(e nao esta apagado) = 1− ε

Podemos observar que os elos de ω \ γε, sao os elos abertos de ω que naoforam apagados pelo processo ε-Bernoulli.

Seja β um caminho ligando U(u) e U(v) em ω.

P([u, v] ∈ ξε|ω) ≥ (1− ε)|β| −−→ε→0

1,

ou seja a probabilidade do elo [u, v] pertencer ao modelo ξε e maior ou igualque a probabilidade do caminho β em ω nao ter nenhum elo apagado peloprocesso de percolacao ε-Bernoulli. Entao

limε→0

P[[u, v] ∈ ξε|ω] = 1.

Este limite tambem pode ser interpretado da seguinte forma: quando ε e bempequeno as condicoes 1 e 2 acima sao facilmente satisfeitas, pois dX(v,U) edX(u,U) sao sempre finitas. Alem disso quando ε → 0 praticamente ne-nhum elo esta sendo apagado pelo processo de percolacao ε-Bernoulli, assim,a condicao 3 tambem e satisfeita, e portanto, [u, v] ∈ ξε.

Logo podemos afirmar que fixada uma configuracao ω temos:

limε→0

P[[u, v] /∈ ξε|ω] = 0.

3.1. O AGLOMERADO NAO E UNICO 29

Usaremos a seguir uma propriedade de esperanca condicional que pode serencontrada na referencia [9]:∫

Ω

E(Z|X = ω)dP(ω) = E(Z), (3.1)

onde X e Z sao variaveis aleatorias. Pelo Teorema da Convergencia Domi-nada e pela igualdade (3.1) temos:

limε→0

P([u, v] /∈ ξε) = limε→0

E(I[u,v]/∈ξε) =︸︷︷︸(3.1)

limε→0

∫Ω

E(I[u,v]/∈ξε|X = ω) dP(ω) =

=︸︷︷︸T.C.D

∫Ω

limε→0

E(I[u,v]/∈ξε|X = ω) dP(ω) =

∫Ω

limε→0

P([u, v] /∈ ξε|X = ω) dP(ω) =

=

∫Ω

0 dP(ω) = 0.

Observe que a convergencia acima e uniforme. De fato, considere [u, v] = e,entao concluımos que limε→0 P(e /∈ ξε) = 0 ⇐⇒ ∀η > 0, ∃ ε(e) > 0 tal queP (e /∈ ξε) < η. Vamos dividir o conjunto de elos da seguinte forma:

dizemos que E =2n⋃i=1

Ei, onde Ei = [x, y]; x−1y = gi, e gi ∈ S, onde

S e o conjunto simetrico de geradores de Γ, que contem 2n elementos.Se e, f ∈ Ei, pela invariancia temos que ε(e) = ε(f) = εi. Tomandoε = minεi; i = 1, ..., 2n, teremos:

∀η > 0, ∃ ε > 0 tal que P (e /∈ ξε) < η, ∀e ∈ E.Logo a convergencia e uniforme. Pelo Corolario 2.2.1 temos que, para ε > 0suficientemente pequeno, existe uma componente infinita de ξε com proba-bilidade positiva.

Entretanto, quando existe uma componente infinita em ξε devemos ter umacomponente infinita em ω\γε. De fato, basta observar que todos os elosda forma [u, v] ∈ ξε sao construıdos se U(u) ∪ U(v) estao em uma mesmacomponente conexa de ω \ γε. Portanto se tivermos infinitos elos em ξε,teremos infinitos vertices no conjunto U(u)∪ U(v) que estao na componenteconexa de ω \ γε. Este fato tambem pode ser observado a partir da seguinterelacao: e; e ∈ ω \ γε ⊃ e; e ∈ ξε, isto e ωe = 1 e γε = 0, portanto seexiste um aglomerado infinito em ξε, existe tambem um aglomerado infinitoem ω \ γε.


Como os processos de percolacao pc-Bernoulli e ε-Bernoulli sao independentestemos que fixada uma configuracao ω:

P([x, y] ∈ ω \ γε) = P(ω[x,y] = 1; (γε)[x,y] = 0) = P(ω[x,y] = 1).P((γε)[x,y] = 0)

= pc.(1− ε)

Portanto ω\γε e um modelo (1−ε)pc-Bernoulli, isto que contradiz a definicaode ponto crıtico. Concluımos que o aglomerado infinito, caso exista, nao podeser unico.

3.2 Demonstracao de que nao existem infini-

tos aglomerados infinitos

Dando continuidade a prova do Teorema 2.1.1, vamos tratar do caso em quea percolacao crıtica produz mais de um aglomerado infinito. Para tanto, us-aremos a Definicao 1.2.1 de ponto de encontro e o Lema 1.2.4.

Suponha que com probabilidade positiva, ω tem mais de um aglomerado in-finito. Entao pelo Lema 1.2.1 o conjunto Y dos pontos de encontro triplos enao vazio quase certamente.

Seja C um conjunto de vertices. Dizemos que C tem um ω-vizinho de v seexistir algum x ∈ C com [x, v] ∈ ω.

Lema 3.2.1. Consideremos um processo de percolacao de elos p-Bernoulliem um grafo de Cayley com p ≥ pc. Dada uma configuracao ω, temos quecom Pp-probabilidade 1, para todo ponto de encontro triplo v de ω e todacomponente infinita C de ω\v que possuir um ω-vizinho de v, existe algumponto de encontro de ω em C.

Demonstracao. Sejam u, v ∈ V . Definimos:

m(u, v;ω) =

1, se u e v pertencem ao mesmo aglomerado infinito de ω e v e o

unico ponto de encontro de ω com distancia mınima a u;0, caso contrario.

Observe que a funcao assim definida e nao negativa e invariante pela acao dadiagonal, uma vez que o grafo de Cayley e invariante pela acao de Γ.

3.2. O NUMERO DE AGLOMERADOS NAO E INFINITO 31

Entao∑

u∈V m(v, u;ω) ≤ 1, uma vez que u e o unico ponto de encontro comdistancia mınima ate v. Assim,

∑u∈V Em(v, u;ω) ≤ 1. Pelo Princıpio do

Transporte de Massa, temos:∑u∈V

Em(u, v;ω) =∑u∈V

Em(v, u;ω) ≤ 1

Logo,∑

u∈V m(u, v;ω) <∞, ∀v ∈ V quase certamente.

Suponhamos, por absurdo, que nao exista outro ponto de encontro de ω emC. Entao, para todo u, o v sera o unico ponto de encontro com distanciamınima ate u. Logo, m(u, v;ω) = 1, ∀u. Assim,

∑u∈V m(u, v;ω) = ∞.

Absurdo. Portanto, existe outro ponto de encontro.

Construiremos agora, uma floresta (conjunto de grafos do tipo arvore) in-variante ξ cujo conjunto de vertices e Y , os pontos de encontro triplos de ω.Os elos de ξ nao estarao necessariamente em E(X). Para cada v ∈ V , sejax(v) uma variavel aleatoria com distribuicao uniforme em [0, 1] tal que ω etodas as x(v) sao mutuamente independentes.

Suponha v ∈ Y . Para cada componente conexa infinita Z de ω\v que temum ω-vizinho de v, seja Y (Z, v) ⊂ Y ∩ Z o conjunto dos pontos de encontrotriplos de ω em Z que estao mais proximos (em ω) de v. Seja u(Z, v) overtice u ∈ Y (Z, v) tal que x(u) = minx(w);w ∈ Y (Z, v), isto e, o verticeu e o que minimiza x(u). Seja ξ o conjunto de todos os elos [v, u(Z, v)] emque v ∈ Y e Z e uma componente conexa infinita de ω\v que possui umω-vizinho de v. Percebe-se que ξ e um grafo invariante em V . Pelo Lema3.2.1 para cada v ∈ Y , o grau de v em ξ e pelo menos tres.

O proximo passo para a demonstracao e verificar que ξ e, quase certamente,uma floresta, isto e, cada componente conexa de ξ e um grafo do tipo arvore,ou seja, ξ nao contem ciclos. Suponha por contradicao que C e um ciclo sim-ples em ξ de comprimento pelo menos tres. Quando u = u(Z, v) considereelos em ξ da forma [v, u] como sendo dirigido de v para u. Seja v um verticeem C e note que C\v esta contido em alguma componente conexa Z deω\v, pois v aparece somente uma vez em C. Isso mostra que o numero deelos em C que saem de v e apenas 1. Uma vez que o numero de elos em C eigual ao seu numero de vertices, todo vertice deve ter um elo que sai e outro


que chega nele.

Se [a, b] e [b, c] sao elos dirigidos em C, a distancia em ω de b ate c naopode ser maior que a distancia de a a b. De fato, suponha que isso aconteca.Entao, pela forma com que os elos estao definidos, terıamos que o vertice aseria o ponto de encontro mais proximo de b. Logo, nao existiria o elo [b, c]e sim o elo [b, a]. Absurdo. Como C e um ciclo, segue que estas distanciastem que ser iguais.

Seja z o vertice em C que maximiza x(z). Entao devem existir vertices a, bem C tais que [a, b] e [b, z] sao elos dirigidos de C e a 6= z. Mas a e z estao amesma distancia de b e x(a) < x(z). Isto contradiz a existencia do elo [b, z]em C e essa contradicao prova que ξ e uma floresta.

Seja ε > 0 e γε uma configuracao do processo de percolacao de elos ε-Bernoulliindependente de ω. Como foi feito na secao 3.1, podemos interpretar o pro-cesso de percolacao de elos ε − Bernoulli como sendo o seguinte: os elosabertos da configuracao ω sao apagados com probabilidade ε. Portanto, oselos de ω \γε, sao os elos abertos de ω que nao foram apagados pelo processoε-Bernoulli.

Uma vez que ω e uma configuracao do processo de percolacao de elos noponto crıtico, quase certamente ω \ γε possui apenas componentes finitas.

Definiremos, entao, um modelo de percolacao invariante de elos, ξε ⊂ ξ comose segue.

Para qualquer elo [v, u] ∈ ξ, dizemos que [v, u] ∈ ξε se, e somente se, u e vestao na mesma componente conexa de ω \ γε. Entao, quase certamente, ξεtem apenas componentes finitas.

Definido o modelo, vamos usar o Transporte de Massa em V (X). Para qual-quer v ∈ V (X), sejam:

1. K(v): componente conexa de v em ξε.

2. K∂(v): conjunto de vertices u ∈ K(v) que possuem algum ξ -vizinhofora de K(v).


Defina:

m(v, u; ξ) =

1/|K∂(v)|, se v ∈ Y e u ∈ K∂(v);

0, caso contrario.

Observe que a funcao assim definida e nao negativa e invariante pela acao dadiagonal, uma vez que os processos ω,γε e x(v) sao Γ-invariantes e portantoξ e tambem Γ-invariante.

Entao:∑u∈V

m(u, v; ξ) =∑

u∈Y,v∈K∂(u)

1

|K∂(u)|=

∑u∈Y,u∈K(v)

1

|K∂(v)|=|K(v)||K∂(v)|

se v ∈ Y ∩K∂(v).

Observemos que a segunda igualdade se deve ao fato de que:

v ∈ K∂(u)⇒ v ∈ K(u)⇒ u ∈ K(v), e |K(u)| = |K(v)|.

Logo: ∑u∈V

m(u, v; ξ) =

|K(v)|/|K∂(v)|, se v ∈ Y ∩K∂(v);

0, caso contrario.(3.2)

Alem disso, pelo transporte de massa, sabemos que:∑u∈V

E[m(v, u; ξ)] =∑u∈V

E[m(u, v; ξ)] (3.3)

Como ξ e uma floresta e cada vertice em Y tem grau em ξ pelo menos tres,segue que 2.|K∂(v)| ≥ |K(v)|. De fato, observe que para qualquer arvoreT = (V,E) temos que |V | = |E| + 1. Considerando K(v), a componeteconexa de v em ξε, temos que o grau de um vertice z e 1 se z ∈ K∂(v) e pelomenos 3 se z ∈ K(v)−K∂(v). Deste modo temos que:

|K(v)| = |E(K(v))|+1 ≥ 1.|K∂(v)|+ 3.(|K(v)| − |K∂(v)|)2

+1 =3.|K(v)|

2−|K∂(v)|+1

Ou seja,|K(v)| ≤ 2.|K∂(v)| − 2 ≤ 2.|K∂(v)|

Consequentemente, por (3.2),∑

u∈V m(u, v; ξ) ≤ 2 quase certamente. Poroutro lado, se v ∈ Y temos:∑

u∈V

m(v, u; ξ) =∑

u∈Y,u∈K∂(v)

1

|K∂(v)|=|K∂(v)||K∂(v)|

= 1


Portanto, ∑u∈V

m(v, u; ξ) =

1, se v ∈ Y ;0, caso contrario.

Logo, por (3.2) e (3.3), temos que:

∑u∈V

E[m(u, v; ξ)] =|K(v)||K∂(v)|

P(v ∈ Y, v ∈ K∂(v))∑u∈V

E[m(v, u; ξ)] = 1.P(v ∈ Y )

Pelo transporte de massa, temos:

P(v ∈ Y ) =|K(v)||K∂(v)|

P(v ∈ Y, v ∈ K∂(v))

Como 2|K∂(v)| ≥ |K(v)|, temos:

P(v ∈ Y ) ≤ 2P(v ∈ Y, v ∈ K∂(v)) (3.4)

Se fixarmos ω, ξ e um elo e ∈ ξ, a probabilidade de e /∈ ξε tende a zeroquando ε→ 0, ou seja,

limε→0

P[e /∈ ξε|ω] = 0

De fato, quando ε → 0 praticamente nenhum elo esta sendo apagado peloprocesso de percolacao ε-Bernoulli, portanto e ∈ ξε.

Pelo Teorema da Convergencia Dominada e pela igualdade (3.1) temos:

limε→0

P(e /∈ ξε) = limε→0

E(Ie/∈ξε) =︸︷︷︸(3.1)

limε→0

∫Ω

E(Ie/∈ξε|X = ω) dP(ω) =

=︸︷︷︸T.C.D

∫Ω

limε→0

E(Ie/∈ξε|X = ω) dP(ω) =

∫Ω

limε→0

P(e /∈ ξε|X = ω) dP(ω) =

=

∫Ω

0 dP(ω) = 0.

Segue, portanto que para qualquer vertice v ∈ V , a probabilidade de v teralgum elo em ξ\ξε tende a zero quando ε→ 0.


Como Pp(v ∈ Y, v ∈ K∂(v)) = Pp(e /∈ ξε), onde e e o elo [u, v], e u e umξ-vizinho de v, que esta fora de K(v).

Daı,

limε→0

Pp(v ∈ Y ) ≤ 2 limε→0

Pp(v ∈ Y, v ∈ K∂(v)) = 2 limε→0

Pp(e /∈ ξε) = 0

Assim, Pp(v ∈ Y ) ≤ 0⇒ Pp(v ∈ Y ) = 0. Isto contradiz o Lema(1.2.4), umavez que P(v ∈ Y ) e positiva e nao depende de ε. Portanto, esta completa ademonstracao do Teorema 2.1.1.


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Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ci ...bent e Hammersley [4], o modelo de percola˘c~ao concentra-se em descrever o meio poroso visto como uma rede de canais aleat