Upload
phamnga
View
221
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Universidad Distrital Francisco Jose deCaldas
Proyecto Curricular de Licenciatura enFısica
SIMULACION Y ANALISIS DE UN
PENDULO INVERTIDO ACOPLADO
A UN RESORTE (PIAR)
Trabajo de monografıa para la obtencion del grado de Licenciado en Fısica
Fredy Alexander Orjuela Lopez.Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica, Universidad Distrital Francisco Jose
de Caldase-mail: [email protected]
Dirigido porEdwin Munevar Espitia
Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica, Universidad Distrital Francisco Josede Caldas
Diciembre, 2016
“Dedico este trabajo a mi madre, por ser este el reflejo de lo que me has ensenado”
Contenido
1. INTRODUCCION 1
1.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. MARCO TEORICO 5
2.1. Introduccion a la mecanica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Formulacion Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Pendulo invertido acoplado a un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Deduccion de la ecuacion de movimiento del PIAR . . . . . . . . . . 9
2.5. Movimiento del colların . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. METODOS CUALITATIVOS 12
3.1. Introduccion a las ecuaciones diferenciales de segundo orden (e.d.s.o) 12
3.2. Clasificacion de la e.d.s.o del PIAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3. Problema de valor inicial PVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4. Sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . 14
i
CONTENIDO ii
3.5. Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6. Estabilidad estatica en sistemas mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. ANALISIS FISICO DEL PIAR 22
4.1. Caso 1: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL = Mg . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2. Caso 2: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL > Mg . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3. Caso 3: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL < Mg . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4. Caso 4: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL > Mg . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5. Caso 5: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL < Mg . . . . . . . . . . . . . . . 30
5. CONCLUSIONES 32
A. EASY JAVA SIMULATIONS 34
A.1. EJS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Lista de figuras
2.1. Pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR),para un tiempo inicial
t=0 (Naranja) y un instante de tiempo t=T (Morado). . . . . . . . . 8
4.1. Pendulo invertido acoplado a un resorte vista en EJS . . . . . . . . . 22
4.2. PIAR CASO 1, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros
k = 2, L = 2, M = 2 y g = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3. PIAR CASO 2, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros
k = 2, L = 3, M = 4 y g = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4. PIAR CASO 3, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros
k = 1, L = 4, M = 5 y g = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5. PIAR CASO 4, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0. rad/s y parametros
k = 0, 1, L = 4, M = 2 y g = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6. PIAR CASO 5, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,4 rad/s y parametros
k = 0, 1, L = 3, M = 5 y g = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A.1. Se fijan las variables θ, ω y t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.2. Se fijan los parametros k, L,Myg y otros que se utilizan en la monografica 35
A.3. Se fijan los valores para el problema de valor inicial . . . . . . . . . . 36
iii
LISTA DE FIGURAS iv
A.4. Se escribe la ecuacion de movimiento de forma desacoplada . . . . . . 36
A.5. Se escriben las relaciones fijas de energıa cinetica y potencial . . . . . 37
A.6. Se escriben las relaciones de transformacion entre coordenadas carte-
sianas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.7. Se definen los parametros λ y β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.8. Se construyen los objetos para la simulacion . . . . . . . . . . . . . . 38
A.9. Se ejecuta EJS para el PIAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Capıtulo 1INTRODUCCION
1.1. Resumen
En esta monografıa se realiza un estudio cualitativo de un pendulo invertido aco-
plado a un resorte (PIAR)a partir de su analisis fısico y de una simulacion desarrollada
en Easy Java; se pretende que este trabajo sirva como recurso educativo a los estu-
diantes de licenciatura en fısica que cursen asignaturas como ecuaciones diferenciales,
vibraciones y ondas o introduccion a la fısica computacional.
1.2. Introduccion
Un sistema dinamico es la representacion o abstraccion de un fenomeno natural
que evoluciona en el tiempo, como es el caso del pendulo que oscila, las reacciones
quımicas, los modelos poblacionales o climaticos, entre otros. Los sistemas dinamicos
permiten “predecir con mayor o menor acierto los acontecimientos futuros”(Campos
e Isaza, 2002). De acuerdo a las variables dependientes o independientes presentes
en el problema el sistema puede ser estudiado desde la fısica, la quımica, la biologıa,
la economıa y muchas otras areas del conocimiento; las oscilaciones de una molecula
triatomica, el circuito de Chua y, en general, los osciladores dependientes del tiempo
1
CAPITULO 1. INTRODUCCION 2
representan ejemplos de sistemas dinamicos en fısica.
Los sistemas fısicos dinamicos se pueden clasificar en lineales y no lineales segun la
ecuacion de movimiento que los describa. Por ejemplo, el oscilador armonico (uno de
los modelos mas utilizados en fısica) se clasifica como sistema dinamico lineal ya que
la ecuacion de movimiento que lo describe, x = −ω2x, contiene unicamente terminos
lineales de la variable dependiente x. Por el contrario, un sistema como el oscilador
de Duffing donde la ecuacion de movimiento esta dada por ΣNn=1Knx
n se clasifica
como dinamico no lineal debido a que los terminos de la variable dependiente x no
son necesariamente lineales n ≥ 1. Diversos ejemplos de sistemas fısicos lineales y no
lineales se pueden encontrar en (Perko, 1993).
Existen sistemas dinamicos lineales que bajo la variacion de ciertos parametros
pueden realizar una transicion al regimen no lineal. Un caso especıfico donde se evi-
dencia esta transicion es el pendulo simple: para amplitudes angulares menores a un
valor de referencia (definido segun el nivel de precision requerido en el experimento)
el pendulo se comporta linealmente pero si las amplitudes angulares son considera-
blemente mayores que dicho valor su comportamiento es de caracter no lineal (Lima
y Arun, 2006). La clasificacion de sistemas fısicos como lineales y no lineales esta ge-
neralmente sujeta a una definicion puramente matematica pero es muy poco el anali-
sis de libros especializados (Perko,1993),(Hubbard y West, 1995) sobre la transicion
lineal-no lineal de sistemas dinamicos desde un punto de vista fısico. El problema
principal que se plantea en este trabajo es precisamente el de llevar a cabo un analisis
fısico de dicha transicion para un sistema fısico especifico.
Entre los diversos sistemas fısicos posibles para estudiar, el pendulo invertido re-
presenta un sistema de gran interes por su amplio campo de aplicacion. En robotica
se utiliza para simular el movimiento de las piernas del ser humano. En geofısica,
los instrumentos que permiten medir las vibraciones de la tierra son conocidos como
sismometros; algunos disenos de sismometros estan basados en el sistema compues-
to por un pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR). Dado el cambio de su
1.2. INTRODUCCION 3
movimiento respecto al tiempo y la posibilidad que presenta de hacer la transicion
lineal-no lineal (analogo al pendulo simple), el PIAR es el sistema seleccionado en este
trabajo para ser estudiado desde las teorıas cualitativas desarrolladas en los sistemas
dinamicos, siempre enfocado desde un punto de vista fısico.
Ası la situacion problema, por tanto, a validar es: ¿Como ensenar la transicion
lineal y no lineal del pendulo invertido acoplado a un resorte desde el punto de vista
fısico?
Este problema se sugiere con la intencion de hacer que “el estudiante entienda
que la actitud cientıfica consiste en ir mas alla de las apariencias, en no quedarse en
lo evidente” (Camargo,1997).
Por tanto el objetivo de esta monografıa es hacer un estudio cualitativo de la
transicion lineal y no lineal del pendulo invertido acoplado a un resorte mediante
una simulacion en Easy Java realizando el analisis desde un punto de vista fısico. Se
realiza una breve descripcion de los capıtulos:
1. El primer capıtulo describe el objetivo general de la monografıa.
2. En el segundo capıtulo se establece el marco teorico utilizado para obtener la
ecuacion diferencial de movimiento que describe al PIAR.
3. En el tercer capıtulo se clasifica el sistema fısico como lineal o no lineal de
acuerdo a los criterios que se describe en el estudio de las ecuaciones diferen-
ciales, ademas se consideran aspectos cualitativos para el estudio de sistemas
dinamicos.
4. En el cuarto capıtulo se realiza el analisis fısico del sistema utilizando teorıas
cualitativas propias de los sistemas dinamicos, como : graficas de energıa cinetica-
potencial, posicion vs tiempo y representacion de los diagramas de fase. Se
determina la transicion lineal y no lineal del PIAR a partir de la simulacion
desarrollada en Easy Java ası como criterios de estabilidad del sistema.
CAPITULO 1. INTRODUCCION 4
5. El ultimo capıtulo concluye con la descripcion del sistema fısico estudiado a
partir de la simulacion computarizada y el marco teorico desarrollado.
Capıtulo 2MARCO TEORICO
Se realiza una breve descripcion de la mecanica lagrangiana cuya formulacion permite
deducir la ecuacion que rige el movimiento del sistema: pendulo invertido acoplado a
un resorte (PIAR).
2.1. Introduccion a la mecanica Lagrangiana
En mecanica el estado de un sistema fısico consiste en determinar la posicion, veloci-
dad y aceleracion en un instante de tiempo t a partir de una ecuacion de movimiento,
para ello se recurre a diferentes formulaciones.
[1] La mecanica newtoniana tiene un caracter vectorial, describe el movimiento
de un sistema fısico a partir de una ecuacion que se obtiene mediante cantidades
fısicas vectoriales como lo son la posicion, el momentum y la fuerza.
[2] La formulacion lagrangiana se fundamenta en el calculo variacional y consiste
en plantear una funcion L llamada lagrangiano que depende de las coordenadas
generalizadas, velocidades generalizadas y posiblemente del tiempo. Para un
sistema de N partıculas libres se requieren 3N coordenadas independientes o
5
CAPITULO 2. MARCO TEORICO 6
vectores que describen el sistema,si se consideran r restricciones geometricas
o cinematicas que limiten el movimiento del sistema entonces el numero de
coordenadas independientes se reduce a S = 3N − r donde S es el numero de
grados de libertad (Larranaga,2012)
Se define el funcional J [q(t)] como una funcion que a la vez depende de otras funcio-
nes,adoptando la siguiente forma:
J [q(t)] =
∫ tf
to
L(t, q1(t), ..., qn(t), q1(t), ..., qn(t))dt (2.1)
donde qn(t) y qn(t) son las coordenadas y velocidades generalizadas respectivamente.
El problema consiste en maximizar o minimizar el funcional a partir de extremales
sujetos a condiciones dadas (Chiang, 1992). En fısica la solucion a la ec.(2.1) esta
dada por:
d
dt
(∂L∂qn
)− ∂L∂qn
= 0 (2.2)
se conoce como ecuacion de Euler-Lagrange. Esta ecuacion representa N-ecuaciones
diferenciales de segundo orden las cuales se determinan por coordenadas generalizadas
; que la ec. (2.2) esta igualada a 0 es consecuencia de no incluir fuerzas generalizadas
Qk que no provienen de potenciales por tanto: (Qk 6= −∇Uk) = 0, este hecho implica
que las fuerzas son de tipo conservativo.
La funcion lagrangiana L en coordenadas y velocidades generalizadas se define como
la diferencia entre la energıa cinetica T y potencial U , la cual se expresa como:
L =N∑i=1
1
2mivi
2 −N∑i=1
Ui (2.3)
El problema consiste:
2.2. FORMULACION HAMILTONIANA 7
1. En escribir la funcion lagrangiana L del sistema fısico a partir de sus coordena-
das y velocidades generalizadas.
2. Hallar las N-ecuaciones diferenciales de segundo orden a partir de la ecuacion
de Euler-Lagrange ec.(2.2), las cuales describen el movimiento del sistema.
2.2. Formulacion Hamiltoniana
Esta formulacion permite obtener 2N ecuaciones diferenciales de primer orden asocia-
das a la posicion y al momentum lineal de cada N-partıcula que conforma el sistema
respectivamente. Se define una funcion hamiltoniana H en funcion del lagrangiano
como :
H =n∑
α=1
pnqn − L (2.4)
la cantidad pn se conoce como el momentum generalizado; H se expresa en funcion
de las coordenadas y momentos generalizados ademas del tiempo es decir:
H(p1, ..., pn, q1, ..., qn, t) (2.5)
Las ecuaciones de movimiento pueden escribirse en funcion del hamiltoniano:
pn = −∂H∂qα
(2.6)
qn = −∂H∂pα
(2.7)
las anteriores expresiones se conocen como ecuaciones canonicas de Hamilton o ecua-
ciones de Hamilton. En un sistema mecanico conservativo la funcion hamiltoniana
puede expresarse como la suma de la energıa cinetica y potencial del sistema es decir
H = T + V (Campos e Isaza, 2002).
CAPITULO 2. MARCO TEORICO 8
Figura 2.1: Pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR),para un tiempo inicial t=0 (Naranja)y un instante de tiempo t=T (Morado).
2.3. Pendulo invertido acoplado a un resorte
El sistema fısico a describir es un pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR) ,el
cual consiste de una varilla rıgida ligera de masa “M”localizado en el extremo aco-
plado al resorte, el cual se mantiene perpendicular al vector peso de “M”. El segundo
extremo gira en torno a un punto fijo.
El resorte mantiene esta relacion debido a un colların cuyo movimiento es igual a
la componente vertical de la velocidad del pendulo, es decir en la direccion “y” del
plano cartesiano indicado en la FIGURA 2.1 .
2.4. DEDUCCION DE LA ECUACION DE MOVIMIENTO DEL PIAR 9
2.4. Deduccion de la ecuacion de movimiento del
PIAR
La ec. (2.3) se modifica cuando se considera un movimiento traslacional y rotacio-
nal(Larranaga,2012),ası:
L =N∑i=1
1
2mivi
2 +N∑i=1
1
2Iiωi
2 −N∑i=1
Ui (2.8)
Donde Ii es el momento de inercia generado alrededor de varios puntos de pivote o
giro, para el caso del PIAR solo se tiene un pivote y ya que la varilla es de masa
despreciable se ignora el termino a la derecha de la ec.(2.7) asociado con el momento
de inercia.
Se utilizaran las coordenadas polares R y θ para describir las coordenadas generali-
zadas de la masa “M”. Al ser R = L una cantidad constante se considera a θ como
unica coordenada generalizada, ya que las ligaduras geometricas del sistema son:
[1] Restriccion a la coordenada cartesiana z ya que z − c = 0 donde c es una
constante.
[2] Considerar que R− L = 0
por tanto el PIAR posee un grado de libertad de acuerdo a la ecuacion 3N − r.
El angulo θ se mide desde el eje y positivo y sera negativo −θ si se cuenta en sentido
contrario del movimiento de las manecillas del reloj. Ası, las coordenadas polares y
cartesianas se relacionan mediante:
x = Lsen(−θ) = −Lsenθ
y = Lcos(−θ) = Lcosθ
CAPITULO 2. MARCO TEORICO 10
de las anteriores relaciones se deduce la energıa cinetica T del sistema:
T =1
2ML2
(dθ
dt
)2
(2.9)
y energıa potencial , la cual tiene dos contribuciones :
1. Ug = MgLcos(θ) de origen gravitacional
2. Ue = (k/2)(Lsenθ)2 debida al resorte de constante k y donde Lsenθ es la
elongacion del resorte a partir de su posicion de equilibrio.
Se observa facilmente que estas funciones son pares a partir del criterio F (θ) =
−F (θ), por tanto la funcion lagrangiana ec.(2.3) queda definida como:
L =1
2ML2
(dθ
dt
)2
−(
1
2kL2sen2θ +MgLcosθ
)(2.10)
donde w = dθdt
es la velocidad angular del sistema.
Las fuerzas del sistema son conservativas ya que pueden ser representadas me-
diante funciones potenciales escalares. Dichas fuerzas son:
1. El peso del objeto de masa M.
2. La fuerza ejercida por el resorte, la cual solo posee una componente horizontal.
Utilizando la ecuacion de Euler-Lagrange para la ec.(2.9) se obtiene:
θ + λsen(−θ)cos(−θ)− βsen(−θ) = 0
θ − λsen(θ)cos(θ) + βsen(θ) = 0 (2.11)
2.5. MOVIMIENTO DEL COLLARIN 11
con λ = kM
y β = gL
, esta ecuacion de segundo orden no lineal (Capitulo 3) describe
el movimiento del PIAR deducida a partir de la formulacion lagrangiana.
2.5. Movimiento del colların
La posicion del colların esta dada por la relacion y = Lcosθ , ası la velocidad y
aceleracion se definen respectivamente como :
y = −Lsen(θ)θ
y = −Lcos(θ)(θ)2 − Lsen(θ)θ
por lo que se describe el movimiento del colların en funcion del angulo y ademas
se obtienen las ecuaciones de movimiento que describen la configuracion del pendulo
invertido acoplado a un resorte (PIAR).
Capıtulo 3METODOS CUALITATIVOS
Se clasifica la ecuacion diferencial que rige el movimiento del pendulo invertido aco-
plado a un resorte PIAR desde un punto de vista fısico-matematico siguiendo los
respectivos criterios.
3.1. Introduccion a las ecuaciones diferenciales de
segundo orden (e.d.s.o)
La formulacion lagrangiana permite deducir una ecuacion diferencial de segundo or-
den la cual describe el movimiento del PIAR;ahora el problema consiste en solucionar
dicha ecuacion a partir de la teorıa de los sistemas dinamicos utilizando metodos
cualitativos.
Se considera la ecuacion diferencial general de segundo orden:
d2θ
dt2= F (θ, dθ/dt, t) (3.1)
θ = F (θ, θ, t) (3.2)
donde F (θ, θ, t) es una funcion que depende de la variable θ,θ y t. En general esta
12
3.2. CLASIFICACION DE LA E.D.S.O DEL PIAR 13
funcion no es necesariamente lineal en la variable θ, esto significa que la funcion
F (θ, θ, t) se puede expresar como una serie respecto a θ; si se tiene una expansion en
series hasta primer orden la funcion se llamara lineal y asi la e.d.s.o sera lineal.
Si F = F (θ, θ) no depende explicitamente de la variable independiente t la e.d.s.o
se llama autonoma. Si la funcion depende explicitamente de t la ecuacion se conoce
como no-autonoma.
3.2. Clasificacion de la e.d.s.o del PIAR
Un caso particular de la ec.(3.2) se da cuando la e.d.s.o es autonoma, ella se expresa
como:
θ = F (θ) (3.3)
esta ecuacion diferencial es propia de los sistemas mecanicos. A partir de la formu-
lacion lagrangiana se obtienen las N-ecuaciones diferenciales de segundo orden que
obedecen una estructura identica a la ec. (3.3).
De la ec.(3.3), si F (θ) = a0 + a1θ donde an son coeficientes , entonces la e.d es lineal.
Ahora si F (θ) = a0 + a1θ+ a2θ2 + ... implica que las funciones se expanden como una
serie de potencias, ejemplo de estas funciones son las trascendentes, trigonometricas
y otras que se expandan por encima del orden lineal, luego la ec.(3.3) en general es
no-lineal. El sistema fısico PIAR esta caracterizado por la ecuacion de movimiento:
θ − λsen(θ)cos(θ) + βsen(θ) = 0 (3.4)
con λ = kM
y β = gL
. Esta ecuacion es no-lineal y autonoma de acuerdo a lo discuti-
do anteriormente (Perko,1992). Si se consideran pequenos desplazamiento angulares
donde senθ ≈ θ y cos θ ≈ 1, se obtiene la siguiente e.d.s.o lineal:
CAPITULO 3. METODOS CUALITATIVOS 14
θ + λθ − β = 0 (3.5)
El problema consiste en solucionar la ec.(3.4). Para ello se utilizan criterios relacio-
nados con condiciones iniciales,caracter conservativos de los sistemas, diagramas de
fase y estabilidad.
3.3. Problema de valor inicial PVI
Solucionar la ec.(3.4) bajo un PVI consiste en buscar el numero de condiciones que
satisfagan la e.d ; para el PIAR se necesitan dos condiciones debido a que la e.d es
de segundo orden. En mecanica el estado de un sistema se determina mediante su
posicion y velocidad por lo que las condiciones iniciales para un tiempo inicial t0 en
la posicion es θ(t0) = θ0 y en la velocidad ω(t0) = ω0, es decir:
θ − λsen(θ)cos(θ) + βsen(θ) = 0
θ(t0) = θ0, ω(t0) = ω0 (3.6)
Una posible condicion inicial al problema es que la posicion sea θ(t0) = π/2 rad y la
velocidad ω(t0) = 0,1 rad/s, por tanto se fijan las condiciones iniciales del problema y
se varıan parametros fısicos como la constante del resorte, aceleracion de la gravedad
y masa de la barra. Este PVI es fundamental en la simulacion y posterior analisis
numerico del PIAR.
3.4. Sistemas conservativos y no conservativos
Los sistemas fısicos se pueden caracterizar a partir del teorema de conservacion de la
energıa, implica que la energıa mecanica del sistema para diferentes estados respecto
3.4. SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS 15
al tiempo t permanece constante. A partir del calculo vectorial se tienen algunos cri-
terios de suficiencia para mostrar la conservacion de la energıa.
1) El trabajo WAB hecho por una fuerza externa para mover una partıcula desde un
punto A a un punto B se define mediante la expresion:
WAB =
∫ B
A
~F · d~r (3.7)
Si el campo de fuerzas es tal que la integral alrededor de un camino cerrado se hace
cero WAB =∮ BA~F · d~r = 0 se dice que la fuerza descrita es conservativa, es decir, que
el trabajo depende solo de los puntos A y B mas no de la trayectoria, utilizando el
teorema de Stokes se tiene:
∮ B
A
~F · d~r =
∫∫D
(~∇× ~F )~ndS (3.8)
donde ~n es un vector perpendicular a la superficie S , y D es el dominio de integracion
de dicha superficie, por tanto :
~∇× ~F = 0 (3.9)
2) La anterior ecuacion es una condicion suficiente para definir fuerzas conservativas.
Si ~∇× ~F = 0 implica que ~∇× (~∇Φ) = 0 y al definir Φ = −U se tiene una condicion
necesaria :
F = −~∇U (3.10)
se concluye que las fuerzas conservativas provienen del gradiente de funciones escala-
res U .(Pita, 1998)
CAPITULO 3. METODOS CUALITATIVOS 16
Las anteriores condiciones implican que la energıa se conserva en todo instante de
tiempo t, donde E = T + U(θ). Visto como una razon de cambio, la derivada de la
energıa respecto al tiempo es cero dE/dt = 0, el anterior hecho se enuncia como:
La energıa total de un punto moviendose conforme a θ = F (θ) para θ ε R se conserva,
donde E[θ(t), θ(t)] es independiente de t.
Demostracion (Arnold ,1988):
dE
dt=
d
dt(T + U)
d
dt(T + U) = θθ +
dU
dθθ
= θ(θ − F (θ))
θ = F (θ) (3.11)
En un sistema con un grado de libertad (con F (θ) = −dU/dθ) se satisface la ecuacion
θ = F (θ) donde la energıa mecanica es constante en todo instante de tiempo t, ası la
energıa se conserva.
En la seccion 2.4 se definio la energıa cinetica y potencial del sistema como:
T =1
2ML2
(dθ
dt
)2
Ug = MgLcosθ
Uk = (k/2)(Lsenθ)2
Si las fuerzas que se obtienen son conservativas se debe obtener la misma e.d.s.o
de acuerdo al teorema descrito anteriormente, para ello se calculan los gradientes de
los respectivos potenciales de acuerdo a la ec. (3.10):
3.5. DIAGRAMA DE FASE 17
Fg = −~∇[MgLcos(θ)] = MgLsenθ
Fk = −~∇[(k/2)(Lsenθ)2] = −kL2senθcosθ
Ası la fuerza total obtenida es:
Fg + Fk = MgLsenθ − kL2senθcosθ
Y remplazando en la ec.(3.11) obtenemos la expresion θ−λsenθcosθ+βsenθ = 0
donde se cuenta con los criterios de imparidad o paridad de una funcion, por tan-
to se obtiene la ecuacion de movimiento la cual se hallo mediante la formulacion
lagrangiana.
3.5. Diagrama de fase
Se considera la ecuacion diferencial (3.3), esta ecuacion puede ser reducida a dos
ecuaciones diferenciales de primer orden realizando el siguiente ajuste: θ = ω. Se
genera entonces un sistema equivalente dado por:
θ =dθ
dt= ω (3.12)
ω =dω
dt= F (θ) (3.13)
Para el sistema de ecuaciones mencionado es posible eliminar el parametro tiempo
entre las dos ecuaciones ya que son autonomas y escribirse como:
dω
dθ=F (θ)
ω(3.14)
CAPITULO 3. METODOS CUALITATIVOS 18
La ec. (3.14) es de gran importancia ya que genera una curva geometrica sin
ninguna referencia a lo que ocurra en el tiempo, esta curva geometrica es conocida
como diagrama de fase y eventualmente se describe en terminos de ω como funcion
de θ , esto representa el estado del sistema y se conoce como espacio de fase. Por
otro lado las ec.(3.12) y (3.13) describen el comportamiento de esta curva y su di-
reccion mediante un punto representativo R = R[θ(t), ω(t)] que especifica el estado
temporal instantaneo del sistema fısico,por ejemplo, las graficas de posicion vs tiempo
(Minorsky, 1968).
Se expresa la ec.(3.4) mediante las ec.(3.12) y (3.13):
θ = ω
ω = βsenθ − λsenθcosθ
Finalmente eliminado el parametro t de las anteriores ecuaciones a partir de la
ec.(3.14) se obtiene:
dω
dθ=βsenθ − λsenθcosθ
ω(3.15)
La anterior ecuacion diferencial de primer orden no lineal describe el diagrama de
fase del PIAR, este metodo proporciona informacion cualitativa del sistema fısico.
3.6. Estabilidad estatica en sistemas mecanicos
En general considerese una fuerza de la forma F (θ, ω, t)que actua sobre una
partıcula y la cual se puede descomponer como:
F (θ, ω, t) = −~∇U(θ, t) + Fo(θ, ω, t)
3.6. ESTABILIDAD ESTATICA EN SISTEMAS MECANICOS 19
El primer termino de la derecha representa fuerzas provenientes de una funcion po-
tencial , para este caso el potencial sera independiente del tiempo de tal manera que
se simplifica a −~∇U(θ), el termino Fo(θ, ω, t) representa fuerzas que no se pueden
escribir como el gradiente de una funcion potencial.
Considere el caso particular F (θ, ω, t) = −~∇U(θ), ahora el problema consiste en
calcular las posiciones que correspondan a un extremo (mınimo, maximo o punto de
inflexion) ası como a estados de equilibrio estables o inestables del sistema (Caice-
do,2002)
La estabilidad del sistema depende solamente de U(θ), para ello se utilizan los si-
guientes criterios del calculo diferencial (Caicedo,2002):
Calcular los puntos crıticos θc de U(θ) para los cuales:
U ′θc =
∂U(θ)
∂θ
∣∣∣∣θ=θc
= 0 (3.16)
1. U(θc) es un mınimo relativo y θc es estable si U ′′(θc) > 0
2. U(θc) es un maximo relativo y θc es inestable si U ′′(θc) < 0
3. Si U ′′(θc) = 0 se requiere de otra tecnica, esta consiste en utilizar el criterio de
la tercera derivada:
a) Se halla U ′(θ), U ′′(θ) y U ′′′(θ)
b) Se iguala U ′′(θ) = 0 y se hallan los valores de U(θc)
c) Se sustituyen los valores de U(θc) en U ′′′(θ) donde obtenemos los siguientes
casos:
1) Si U ′′′(θc) se tiene un punto de inflexion en P [θc, U(θc)]
2) Si U ′′′(θc) = 0 se sustituyen los θc en la n-esima derivada hasta que
esta sea distinta de cero, entonces :
a ′ Si la derivada es impar, se tiene un punto de inflexion.
CAPITULO 3. METODOS CUALITATIVOS 20
b ′ Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexion y se
debe analizar la concavidad o convexidad de la funcion de acuerdo
a criterios establecidos en el calculo diferencial (Caicedo,2002).
Se considera la funcion potencial U(θ) del pendulo invertido a un resorte::
U(θ) =
(1
2kL2sen2θ +MgLcosθ
)Y se determinan los puntos crıticos ası como su estabilidad, para ello se calculan las
siguientes cantidades:
U ′(θ) =∂U(θ)
∂θ= −MgLsenθ + kL2senθcosθ (3.17)
U ′′(θ) =∂2U(θ)
∂θ2= −MgLcosθ + kL2cos(2θ) (3.18)
Ası los puntos crıticos de U(θ)c segun la ec. (3.17) son:
senθ = 0 donde θc1 = nπ con nεZ
cosθ =Mg
kLconduce θc2 = arccos
(Mg
kL
)donde θεR si Mg ≤ kL
Ahora se determina la estabilidad o inestabilidad de los puntos crıticos, primero se
considera θc1 en este caso n = 0, ası:
U ′′(θc1) = MgL
(kL
Mg− 1
)(3.19)
donde el punto es estable si kL > Mg y es inestable si kL < Mg. Para el caso θc2 se
obtiene:
3.6. ESTABILIDAD ESTATICA EN SISTEMAS MECANICOS 21
U ′′(θc2) = MgL
(Mg
kL− kL
Mg
)(3.20)
donde θc2 es estable si Mg > kL e inestable si Mg < kL, notese que si Mg = kL
entonces U ′′(θc2) = 0 por tanto se necesita una expresion que determine la tercera
derivada como:
U ′′′(θ) =∂3U(θ)
∂θ3= MgLsenθ − kL2sen(2θ) (3.21)
en esta ecuacion se remplazaran las raıces de la ec. (3.18), estas raıces estan dadas
por:
θc3 = 0
θc4 =2π
3
Tomando θc4 = 2π3
y remplazando en la ec. (3.18) se tiene un punto de inflexion
segun el criterio 3Ca. Para el caso en que θc3 = 0 se tiene que utilizar la ec. (3.18)
U ′′(θc3) = 0 , por lo que se debe derivar U(θ) n-veces tal que al reemplazar θc3 en las
respectivas n-esimas derivadas esta sea distinta de cero. Tal condicion se cumple al
realizar la cuarta derivada :
U ′′′′(θ) =∂4U(θ)
∂θ4= MgLcosθ − 4kL2cos(2θ) (3.22)
que U ′′′′(θc3) 6= 0, donde se utiliza el criterio establecido, por lo tanto este punto
no es de inflexion, ni un maximo o un mınimo, se conoce como punto indiferente
(Marion, 2000).
Se definen por tanto los criterios cualitativos con los que se describe al PIAR,
dados por, diagramas de fase, criterios de estabilidad y problema de valor inicial.
Capıtulo 4ANALISIS FISICO DEL PIAR
Se realiza el analisis del pendulo invertido acoplado a un resorte PIAR a partir de los
criterios vistos en los anteriores capıtulos, en este caso se usa EJS ( Easy Java Simu-
lations) (Esquembre,2016) como programa determinado, a continuacion se muestra
la ventana de la simulacion que se realizo para este trabajo:
Figura 4.1: Pendulo invertido acoplado a un resorte vista en EJS
22
4.1. CASO 1: θ0 = 0 , ω0 = 0,1RAD/S Y KL = MG 23
Se considera la longitud del pendulo L, la constante del resorte k, la aceleracion de
la gravedad g y la masa del pendulo M como los parametros fısicos que se varıan en
la simulacion, ademas de los criterios vistos en la estabilidad de sistemas mecanicos
donde se consideraron tres casos kL = Mg,kL > Mg y kL < Mg; adicionalmente se
tiene un problema de valor inicial (pvi) con θ0 = 0 , ω0 = 0,1 rad/s y ω0 = 0,4 rad/s,
por tanto se analizan cinco posibles casos a partir de las graficas de energıa potencial
vs posicion, energıa cinetica vs velocidad,velocidad vs posicion (diagrama de fase) y
finalmente posicion vs tiempo las cuales se generan con EJS.
4.1. Caso 1: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL = Mg
En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,1 rad/s y se definen valores para
los parametros k = 2, L = 2, M = 2 y g = 2 tal que kL = Mg. A partir de la figura
4.2 se obtiene la siguiente informacion:
[1.]Energıa Potencial .
Se aplican los criterios vistos en la subseccion (3.6), cuando kL = Mg se tienen
dos valores crıticos en la segunda derivada dados por θc3 = 0 y θc4 = ±2π donde
este ultimo es un punto de inflexion sobre la region de dominio 0 ≤ θ ≤ 2π para
el sistema fısico mecanico, y para θ(c3)=0. De la grafica de energıa potencial se
observa una region valle aproximada por −0,1 ≤ θ ≤ 0,1 (rad) donde el punto
cero pertenece al intervalo y se concluye que no es un punto maximo, mınimo o
de inflexion; es un punto indiferente. En esta zona se encuentra la mayor energıa
potencial gravitacional del sistema ya que el desplazamiento horizontal en esta
region es pequena y por tanto la contribucion elastica es menor en comparacion
con la gravitacional.
[2.]Energıa Cinetica .
En este caso el maximo valor se alcanza cuando la posicion esta dada por θ = 0
y es mınima en sus extremos donde vale cero, esto se deriva de la grafica del
CAPITULO 4. ANALISIS FISICO DEL PIAR 24
diagrama de fase.
[3.]Diagrama de fase.
Para la region −0,1 ≤ θ ≤ 0,1 la energıa total no varia significativamente y por
tanto el sistema no permanece en equilibrio, sin embargo al ser desplazado el
PIAR una pequena cantidad este no divergira mucho de la posicion inicial de
equilibrio. Este diagrama muestra la conservacion de la energıa total, debido a
su trayectoria cerrada ya que se pueden tener fuerzas disipativas que generen
un foco o atractor (Minorsky, 1968).
[4.]Posicion.
Esta grafica muestra el comportamiento periodico del sistema, ademas de ser
armonico ya que se mantiene la misma amplitud a medida que evoluciona el
PIAR.
1.1.1.1.
Figura 4.2: PIAR CASO 1, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros k = 2, L = 2, M = 2y g = 2
4.2. CASO 2: θ0 = 0 , ω0 = 0,1RAD/S Y KL > MG 25
4.2. Caso 2: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL > Mg
En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y se definen valores para
los parametros k = 2, L = 3, M = 4 y g = 1 tal que kL > Mg. A partir de la figura
4.3 se obtiene la siguiente informacion:
[1.]Energıa Potencial .
En este caso se tiene un sistema con dos puntos crıticos determinados por θc1 = 0
y por θc2 = arccos(Mg/kL), se define el primer punto como estable y el segundo
como inestable segun lo visto en la seccion de estabilidad para sistemas mecani-
cos. Para el ultimo punto crıtico se obtienen dos puntos inestables como se
muestra en la figura 4.3 (esto debido a la paridad de la funcion U(θ) = U(θ)
por lo que este sistema se alejara mas del punto de equilibrio θ = 0 y aproxi-
madamente en los puntos ±0,26π se encuentra la maxima energıa potencial del
sistema debido a la contribucion gravitacional y elastica, sin embargo el primer
punto describe un sistema que tiende a oscilar alrededor del punto de equilibrio
θ = 0 de ahı que la superposicion de estos dos estados generen la grafica poten-
cial mostrada, para θ = 0 energıa potencial solamente debe su contribucion a
la componente gravitacional.
[2.]Energıa Cinetica .
En este caso el maximo valor se alcanza cuando la posicion esta dada por los
segundos puntos crıticos y es mınima en sus extremos a tal punto de valer cero,
esto se deriva de la grafica del diagrama de fase.
[3.]Diagrama de fase.
El sistema es conservativo al tener una trayectoria cerrada, se observa que la
energıa cinetica es mınima en los extremos de posicion angular. Para la posicion
inicial θ = 0 se tiene una velocidad angular inicial ω = 0,1 rad/s el cual corres-
ponde al problema de valor inicial y se ve reflejado en esta grafica, ademas se
alcanza la mayor velocidad en los puntos en los cuales se alcanza θc2.
CAPITULO 4. ANALISIS FISICO DEL PIAR 26
[4.]Posicion.
Se tiene un movimiento armonico y periodico,se observa de la grafica que para
θ ≥ 0 se tiene una funcion convexa y para θ ≤ 0 se comporta la funcion
concavamente, por tanto se tienen varios puntos para una funcion θ(t) donde
existe una inflexion por pasar de un tipo de concavidad a otra.
1.1.1.1.
Figura 4.3: PIAR CASO 2, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros k = 2, L = 3, M = 4y g = 1
4.3. Caso 3: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL < Mg
En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,1 rad/s y se definen valores para
los parametros k = 1, L = 4,M = 5 y g = 10 tal que kL < Mg. A partir de la figura
4.4 se obtiene la siguiente informacion:
[1.]Energıa Potencial .
En este caso se tiene un punto crıtico para θ = 0 y por tanto es estable, esto
significa que el sistema se mueve dentro de un pozo de potencial,es decir,acotado
4.3. CASO 3: θ0 = 0 , ω0 = 0,1RAD/S Y KL < MG 27
con retorno a izquierda y derecha del punto de equilibrio, donde el aporte gra-
vitacional es mayor para θ = 0 en tanto que la elastica es maxima en los puntos
donde genera el retorno del sistema y mınima para la potencial.
[2.]Energıa Cinetica .
Se obtiene un valor maximo y mınimo tal como se muestra en la figura 4.4 por
tanto en los valores extremos de retorno esta velocidad angular se hace cero
y cuando pasa por el punto de equilibrio se tiene una velocidad maxima que
corresponde al problema de valor inicial.
[3.]Diagrama de fase.
Se tiene un sistema cuyo comportamiento se asemeja al del pendulo simple lineal
(Campos e Isaza, 2002), donde una elipse define el comportamiento energetico
del sistema en tanto se alcanza el maximo valor de la velocidad cuando la
posicion es cero,y el mınimo cuando se tiene la posicion maxima.
[4.]Posicion.
Esta grafica muestra el comportamiento periodico del sistema, caracterıstico
de un movimiento armonico simple con una amplitud constante ası como un
perıodo especıfico.
CAPITULO 4. ANALISIS FISICO DEL PIAR 28
1.1.1.1.
Figura 4.4: PIAR CASO 3, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros k = 1, L = 4, M = 5y g = 10
4.4. Caso 4: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL > Mg
En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,4 rad/s y se definen valores
para los parametros k = 0,1, L = 4, M = 2 y g = 0,1 tal que kL > Mg. A partir de
la figura 4.5 se obtiene la siguiente informacion:
[1.]Energıa Potencial .
En este caso se tiene un sistema como el caso 2 con dos puntos crıticos θc1 = 0 y
por θc2 = arccos(Mg/kL), donde el primero responde a estabilidad y el segundo
a inestabilidad. Se tienen varios puntos de inestabilidad que corresponden a un
ciclo que se repite cada 2π , en estos puntos el sistema se alejara aun mas del
punto de equilibrio θ = 0, en terminos de las contribuciones gravitacionales y
elasticas se determina como el caso 1.
[2.]Energıa Cinetica .
4.4. CASO 4: θ0 = 0 , ω0 = 0,4RAD/S Y KL > MG 29
En este caso se tiene una grafica que muestra un regimen en donde la velocidad
nunca se hace cero, esto se soporta en el hecho de que el sistema tiene un
movimiento de rotacion debido a que el problema de valor inicial cambio en su
velocidad angular inicial.
[3.]Diagrama de fase.
En este caso el sistema tiene energıa suficiente para abandonar el pozo de po-
tencial y tener un comportamiento no lineal, esto implica que la trayectoria no
es cerrada y por tanto no esta acotado como sucede en los anteriores sistemas.
Esta region abierta representa el movimiento de rotacion del PIAR, el sistema
se conserva ya que aun cuando no es cerrado se considerara abierto en el infi-
nito, esto se logra al considerar un pvi con ω = 0,4 rad/s y superponer los dos
estados del PIAR para aproximar la region a una cerrada. Este caso refleja la
complejidad del sistema no lineal el cual puede ser analizado por estas tecnicas
cualitativas cuya transicion se hace al pasar de una trayectoria cerrada a una
abierta para este caso, la separatriz es quien determina la transicion oscilatoria
a una rotacional y por tanto no lineal, para garantizar la existencia de dicha
transicion se fija un pvi tal que permitiera este cambio de estado a partir de la
simulacion desarrollada en EJS, sin embargo hallar analıticamente la separatriz
se vuelve complejo ya que se debe resolver la ecuacion de movimiento del PIAR
para hallar θ(t), por ello se recurre a la simulacion computarizada.
[4.]Posicion.
El angulo aumenta de manera indefinida al dar n-vueltas el PIAR sobre el eje
fijo, sin embargo el ciclo se repite cada 2π sea que el movimiento de rotacion se
haga en la direccion de las manecillas del reloj o en sentido contrario el cual se
especifica en esta grafica.
CAPITULO 4. ANALISIS FISICO DEL PIAR 30
1.1.1.1.
Figura 4.5: PIAR CASO 4, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0. rad/s y parametros k = 0, 1, L = 4,M = 2 y g = 0, 1
4.5. Caso 5: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL < Mg
En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,4 rad/s y se definen valores
para los parametros k = 0,1,L = 3 ,M = 5 y g = 0,1 tal que kL < Mg. A partir de
la figura 4.6 se obtiene la siguiente informacion:
[1.]Energıa Potencial .
Se obtiene un sistema similar al caso 3 con n- puntos crıticos caracterizados por
θc1 = 0 los cuales responderıan a estabilidad, esto se observa en el diagrama de
fase. La energıa potencial gravitacional es maxima cuando θ = 0, mientras que
la energıa potencial elastica es maxima cuando θ = π/2
[2.]Energıa Cinetica .
En este caso se tiene una grafica que muestra un regimen en donde la velocidad
nunca se hace cero y corresponde al mismo analisis del caso 4.
4.5. CASO 5: θ0 = 0 , ω0 = 0,4RAD/S Y KL < MG 31
[3.]Diagrama de fase.
El sistema tiene energıa suficiente para obtener un movimiento rotatorio y poder
abandonar el pozo de potencial. Este caso es similar a la rotacion del pendulo
matematico no-lineal y corresponde a una aproximacion del mismo (Campos e
Isaza, 2002) vista desde el PIAR, en tanto su descripcion es la misma realizada
que en el anterior caso.
[4.]Posicion.
El movimiento de rotacion se hace a favor o en contra de las manecillas del reloj
y se sigue el analisis del caso 4.
1.1.1.1.
Figura 4.6: PIAR CASO 5, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,4 rad/s y parametros k = 0, 1, L = 3,M = 5 y g = 0, 1
Capıtulo 5CONCLUSIONES
A partir del analisis realizado del PIAR se obtienen las siguientes conclusiones:
[1.] La formulacion lagrangiana permite obtener la ecuacion diferencial de se-
gundo orden a partir de las energıas cinetica y potencial del sistema , la cual
describe el movimiento del pendulo invertido acoplado a un resorte y consi-
derando un problema de valor inicial el cual es fundamental en el problema
numerico asociado a cada caso analizado para el sistema fısico mecanico.
[2.] La funcion de la energıa potencial brinda una descripcion cualitativa del
PIAR a partir de su grafica y permite describir la estabilidad e inestabilidad
del sistema considerando los criterios vistos en el capıtulo tres. Se describe la
energıa cinetica del sistema para poder realizar la comparacion de estas energıas
a medida que el sistema evoluciona temporalmente y en diferentes casos.
[3.] Los diagramas de fase permiten considerar un movimiento oscilatorio cuando
la trayectoria es cerrada y por tanto definir al sistema como lineal, cuando el
movimiento del PIAR es rotativo se obtiene una region abierta y el sistema deja
de ser lineal. Esta transicion se fija a traves de una curva frontera conocida como
separatriz (Campos e Isaza, 2002) la cual determina el movimiento oscilatorio y
rotativo del PIAR y se determina analıticamente, en esta situacion la simulacion
32
33
realizada en EJS proporciona una excelente herramienta para modelar los dos
movimientos a a partir de la exploracion de un pvi.
[4.] La posicion del pendulo describe un sistema con movimiento armonico sim-
ple cuando el sistema se modela de manera lineal, la transicion al movimiento
rotativo genera un aumento indefinido del angulo en funcion del tiempo, θ se
define negativo o positivo cuando el giro se da a favor de las manecillas del reloj
o en contra respectivamente.
[5.] EJS permite obtener informacion cualitativa del sistema a partir de las grafi-
cas de energıas, diagrama de fase y posicion, las cuales permiten caracterizar
el sistema a traves de diferentes problemas de valor inicial, definiendo un mo-
delo sobre el sistema fısico y estructurando el problema como se muestra en el
apendice de manera amable por su lenguaje y permitiendo obtener una vista al
problema generando una buena simulacion sobre los sistemas fısicos a describir,
en especial los mecanicos no lineales ya que a partir de la simulacion se pueden
conocer muchas caracterısticas de sistemas no lineales que antes no podıan ser
descritas como ejemplo de ello se tiene el PIAR.
Apendice AEASY JAVA SIMULATIONS
A.1. EJS
En esta seccion se muestran una secuencia de imagenes que corresponden a los
pasos que se siguieron hasta obtener la simulacion del PIAR, sin embargo cabe aclarar
que esta monografia no busca el manejo de Easy Java Simulations ya que como se
cita: “Esta herramienta puede ser utilizada por personas sin conocimientos previos
de programacion en este lenguaje”(Esquembre, 2016) , en esta misma referencia se
encuentran los pasos para construir, modelar y ejecutar EJS ademas de contar con
los trabajos citados en la bibliografia (Esquembre, 2016). Sin embargo se sigue una
estructura que consiste en:
1. Definir las variables a estudiar y los parametros a utilizar.
2. Asignar valores al problema de valor inicial.
3. Describir la ecuacion diferencial de segundo orden de forma desacoplada en el
modelo evolucion de EJS.
4. Escribir relaciones correspondientes a ligaduras, energıas u otras relaciones fijas.
5. Generar los objetos en la vista de EJS y asignarles caracterısticas fısicas.
6. Ejecutar EJS y considerar diferentes casos para el sistema fısico.
34
A.1. EJS 35
Figura A.1: Se fijan las variables θ, ω y t
Figura A.2: Se fijan los parametros k, L,Myg y otros que se utilizan en la monografica
APENDICE A. EASY JAVA SIMULATIONS 36
Figura A.3: Se fijan los valores para el problema de valor inicial
Figura A.4: Se escribe la ecuacion de movimiento de forma desacoplada
A.1. EJS 37
Figura A.5: Se escriben las relaciones fijas de energıa cinetica y potencial
Figura A.6: Se escriben las relaciones de transformacion entre coordenadas cartesianas y polares
APENDICE A. EASY JAVA SIMULATIONS 38
Figura A.7: Se definen los parametros λ y β
Figura A.8: Se construyen los objetos para la simulacion
A.1. EJS 39
Figura A.9: Se ejecuta EJS para el PIAR
Bibliografıa
[1] R. Camargo, C. y Paez. Una interesante aproximacion historica al estudio del
pendulo compuesto. Momento, 16:15, 1998.
[2] P. Lima, F.M.S. y Arun. An accurate formula for the period of a simple pendulum
oscillating beyond the small angle regime. Am. J. Phys., 74, May 2006.
[3] L. Perko. Differential Equations And Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1993.
[4] B.H. Hubbard, J.H. y West. Differential Equations: A Dynamical System Ap-
proach. Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag, 1997.
[5] J.F. Campos, D. y Isaza. Prolegomenos a los sistemas dinamicos. Universidad
Nacional de Colombia, 2002.
[6] A. Larranaga. Mecanica Analıtica.Notas de clase. Universidad Nacional de Co-
lombia, 2012.
[7] N. Minorsky. Nonlinear Oscillations. Van Nostrand, 1962.
[8] C. Lanczos. The variational principles of mechanics. Toronto Press, 1970.
[9] A. C. Chiang. Elements of dynamic optimization. McGraw-Hill, 1992.
[10] J. B. Marion. Dinamica clasica de las partıculas y sistemas. Reverte, 2003.
40
BIBLIOGRAFIA 41
[11] C. Pita. Calculo Vectorial. Prentice Hall, 1995.
[12] J. F. Caicedo. Calculo Avanzado. Universidad Nacional de Colombia, 2005.
[13] F. Esquembre. What is ejs?. http://www.um.es/fem/ejswiki/main/whatisejs?,
acceso 6-12-2016 2016.