UNIVERSIDAD DE SALAMANCA - .Willian Snow Burnside y Arthur Willian Panton. Theory of equations. pp

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  • UNIVERSIDAD DE SALAMANCADEPARTAMENTO DE DIDACTICA DE LA MATEMATICA Y

    DIDACTICA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

    TESIS DOCTORAL

    DESARROLLO CONCEPTUAL DE LOS METODOSITERATIVOS EN LA RESOLUCION DE

    ECUACIONES NO LINEALES: UN ENFOQUEDIDACTICO

    Flor Monserrat Rodrguez Vasquez

    Director: Dr. Modesto Sierra Vazquez

    Salamanca 2010

  • UNIVERSIDAD DE SALAMANCA

    --------------- FACULTAD DE EDUCACIN

    ---------------- DEPARTAMENTO DE DIDCTICA DE LA MATEMTICA Y

    DIDCTICA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

    ----------------

    Dr. Modesto Sierra Vzquez, Profesor Titular de Universidad del

    Departamento de Didctica de la Matemtica y Didctica de las Ciencias

    Experimentales de la Universidad de Salamanca

    HACE CONSTAR:

    Que la presente Memoria titulada Desarrollo conceptual de los mtodos

    iterativos en la resolucin de ecuaciones no lineales: un enfoque

    didctico ha sido realizada bajo mi direccin por Flor Monserrat

    Rodrguez Vsquez y constituye su Tesis para optar al Grado de Doctor.

    Y para que conste y tenga los efectos oportunos ante el Departamento de

    Didctica de la Matemtica y Didctica de las Ciencias Experimentales de

    la Universidad de Salamanca, firmo el presente documento.

    Salamanca, a de de 2010

    Fdo.: Dr. Modesto Sierra Vzquez

  • A mis hijas

    Xochiquetzal y Yoloxochitl

  • A Alan:

    Con el apoyo del programa ALAN, programa de becas de alto nivel de laUnion Europea para America Latina, No. de identificacion E03D21720MX.

  • Agradecimientos

    Agradezco a mi tutor y asesor, Dr. Modesto Sierra Vazquez, por su in-valuable dedicacion, apoyo y paciencia durante el desarrollo de esta investi-gacion. Asimismo, por haber depositado su confianza en mi como estudiante.

    Tambien quiero agradecer a la Dra. Mara Teresa Gonzalez Astudillo, porsus indicaciones y consejos que ayudaron a enriquecer mi trabajo de tesis.

    Del mismo modo, agradezco a mi asesor de tesis de maestra, Dr. RicardoCantoral Uriza, por sus consejos, opiniones y reflexiones acerca de esta in-vestigacion, as como por su apoyo incondicional en el transcurso de la misma.

    Les doy las gracias a mi turma de generacion, Isabel, Ademir, Jesus, Pe-dro Luis, Ana Elisa, Martha, Mara Jose, Jeannette, Manolo, Ana, Domingoy Juan por brindarme su amistad incondicionalmente.

    Agradezco a mi familia por ser la fuente de mi existir. En especial a mimama Luisa y a mi papa Luis. Y claro, a mis otras mamas que tanto adoro.

    Tambien quiero agradecer a cuatro personas muy especiales, pues sin suayuda me hubiera sido muy difcil la estancia en Salamanca, la querida Tita,como le llaman mis hijas, mi ta Sharai, Ale e Ivan.

    Asimismo gratifico a mis colegas de trabajo por su apoyo e impulsoacademico para concluir la tesis.

    Finalmente pero no menos importante, le doy gracias a mi esposo, JesusRomero Valencia, por su amor, su comprension y su impulso para seguir conanimo y terminar esta investigacion.

  • VI

  • Resumen

    Este trabajo de investigacion, centra su atencion en la problematica didac-tica de los saberes, al considerarlos como objetos constituidos sin precedentehistorico. En particular nos enfocamos en el desarrollo historico epistemologi-co de un saber matematico especfico, a saber, los metodos iterativos en laresolucion de ecuaciones no lineales.

    Como referentes teoricos, principalmente enmarcamos a la investigacionen la perspectiva historica epistemologica como lnea de investigacion, y enla transposicion didactica. En consecuencia, hemos recurrido al analisis delibros antiguos y contemporaneos que nos han permitido mirar una perspec-tiva de la evolucion del saber matematico antes mencionado.

    Para el desarrollo del trabajo, nos basamos para las consideraciones me-todologicas esencialmente en Ruiz Berrio (1976), y en cuanto a estructura,nos fue de gran importancia la tesis doctoral Gonzalez (2002) y los trabajosde Sierra, M., Gonzalez, M.T. y Lopez, C. (1999; 2003). Del primer traba-jo, retomamos las etapas del metodo historico en la investigacion histori-ca: heurstica, la crtica, la hermeneutica y la exposicion. Del segundo, re-tomamos el modelo de analisis de libros historicos que permite caracterizarla informacion, estructura y (en nuestro caso) el tratamiento de los metodositerativos. Y del tercer y cuarto trabajo, extrajimos la valiosa metodologapara el analisis de libros modernos.

    Fundamentalmente nuestro interes es mostrar el tratamiento de dichosmetodos, a partir del estudio de su desarrollo conceptual, con el objetivode profundizar sobre su epistemologa y de esta forma tener una vision masamplia de su introduccion en la ensenanza, tanto teorica como metodologica.

    VII

  • VIII

  • Abstract

    This research work focuses its attention on the didactic problems of know-ledge, when they are considered as objects formed without historical prece-dent. In particular we focus on the historical epistemological developmentof a specific mathematical knowledge, namely, the recursive methods in theresolution of non-linear equations.

    As theoretical referents, we mainly base our research on the historicalepistemological perspective line of research, and on didactic transposition.Accordingly, we have resorted to the analysis of old and current books, whichhave allowed us to look at the perspective of the evolution of mathematicalknowledge mentioned above.

    For the development of the work, we based our methodological conside-rations essentially on Ruiz Berrio (1976), and in terms of structure, it was ofgreat importance to us the doctoral thesis Gonzalez (2002) and Sierra, M.,Gonzalez, M.T. y Lopez, C. (1999; 2003) researches. From the first work, weretook the stages of the historical method in the historical research: heuris-tic, criticism, the hermeneutics and exposure. From the second, we retookthe analysis model of textbooks to characterize the information, structureand (in our case) the treatment of the iterative method. And from the thirdand fourth work, we extracted the valuable methodology for the analysis ofmodern books.

    Our main interest is to show the treatment of such methods, from thestudy of conceptual development, with the aim to further its epistemology,and in this way, to have a broader vision of its introduction in education,both theoretical and methodological.

    IX

  • X

  • Indice general

    A ALAN III

    Agradecimientos V

    Resumen VII

    Abstract IX

    Introduccion XIX

    1. Marco teorico 11.1. La Investigacion Historica en Didactica de la Matematica . . . 2

    1.1.1. Corrientes en la investigacion historico-epistemologica . 31.1.2. La didactica a partir de la historia y el analisis de textos 7

    1.2. La transposicion didactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Pensamiento Matematico Avanzado (PMA) . . . . . . . . . . . 161.4. La visualizacion en educacion matematica . . . . . . . . . . . 181.5. Utilizacion de recursos tecnologicos en la educacion matematica 221.6. La nocion de metodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.6.1. Preliminares historicos de los metodos iterativos en laresolucion de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.6.2. Metodos iterativos para resolver ecuaciones de una va-riable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2. Diseno de la investigacion 452.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.1.1. Investigaciones en nuestro campo acerca de los meto-dos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.2. El problema de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.2.1. Objetivos de la investigacion . . . . . . . . . . . . . . . 842.2.2. Hipotesis de la investigacion . . . . . . . . . . . . . . . 85

    2.3. Metodologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    XI

  • XII INDICE GENERAL

    2.3.1. Metodologa para el analisis de libros historicos y librosde ensenanza contemporanea . . . . . . . . . . . . . . . 97

    3. Libros historicos 1053.1. De analysi per quationes numero terminorum infinitas . . . 107

    3.1.1. El autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.1.2. El De Analysi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    3.2. Traite de la resolution des equations numeriques de tous lesdegres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.2.1. El autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.2.2. Sur la Resolution des equations numeriques. . . . . . . 1433.2.3. NOTA V. Sobre el metodo de aproximacion dado por

    Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.3. The theory of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

    3.3.1. Los autores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.3.2. The theory of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.3.3. Metodo de aproximacion de Newton . . . . . . . . . . . 1783.3.4. Metodo de Horner para resolver ecuaciones numericas . 1803.3.5. Metodo de aproximacion de Lagrange . . . . . . . . . . 190

    3.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

    4. Libros de texto. Ecuaciones no lineales de una variable en laensenanza contemporanea 1954.1. De la inclusion de la ensenanza de la matematica en el nivel

    superior (1934) y de los programas de estudio en matematicas 1984.1.1. Perspectiva historica de la educacion superior en Mexico1984.1.2. Los programas de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    4.2. Analisis de libros de text