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TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I CAPÍTULO 1 REV. 29.4.08 S. ENRIQUE PULIAFITO

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL MENDOZA

APUNTES DE CÁTEDRA DE TEORÍA DE LOS CIRCUITOS I

Prof. Dr. Ing. S. Enrique Puliafito E-mail [email protected]

CAPÍTULO 1: RÉGIMEN ESTACIONARIO OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

1. Proveer los fundamentos de los circuitos lineales e interpretar a éstos en el marco de un sistema lineal comprendiendo y aplicando sus principales propiedades

2. Mostrar cómo el análisis y diseño de circuitos eléctricos están íntimamente relacionados con la capacidad del futuro ingeniero para diseñar complejos sistemas electrónicos de comunicaciones, computación y control.

3. Que el alumno aprenda a resolver circuitos lineales simples. 4. Que el alumno adquiera las habilidades para modelar y resolver sistemas lineales tanto

desde el dominio del tiempo como de la frecuencia, y que sea capaz de predecir su comportamiento ante una excitación cualquiera.

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO I: RÉGIMEN ESTACIONARIO

• Proveer los fundamentos de los circuitos eléctricos como sistemas lineales. • Que el alumno aprenda a resolver sistemas simples aplicando los métodos de cálculo

propuestos. PROGRAMA ANALÍTICO DEL CAPÍTULO TEMA A: Propiedades de los circuitos: 1.A.1 Parámetros y variables de los circuitos lineales. 1.A.2 Utilización de modelos en el análisis de los circuitos 1.A.3 Leyes básicas de equilibrio. 1.A.4. Principios fundamentales: principios de dualidad, linealidad y superposición TEMA B: Resolución de circuitos: 1.B.1. Métodos de resolución de circuitos, generalidades.1.B.2. Circuitos resolubles aritméticamente, topología algebraica de los circuitos eléctricos. 1.B.3. El método "2b". 1.B.4. El método de análisis de las corrientes en las mallas (método de Maxwell). 1.B.5 El método de análisis de las tensiones nodales.1.B.6. Resolución de circuitos asistido por computadora, introducción al Pspice. TIEMPO ESTIMADO DE CURSADO: 3 SEMANAS

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 1 FACULTAD REGIONAL MENDOZA


TABLA DE CONTENIDO:

CAPÍTULO I: RÉGIMEN ESTACIONARIO ...................................................................... 3

1. PROPIEDADES Y LEYES FUNDAMENTALES DE LOS CIRCUITOS LINEALES 3

1.1 INTRODUCCIÓN.................................................................................................................. 3 1.2 ESTÍMULO Y RESPUESTA EN LOS SISTEMAS FÍSICOS. .......................................................... 3 1.3. VARIABLES DEL CIRCUITO: CARGA Y ENERGÍA: CORRIENTES Y TENSIONES....................... 4 1.4 PARÁMETROS DEL CIRCUITO: RESISTENCIA, INDUCTANCIA Y CAPACIDAD.......................... 7

1.4.1 Resistencia................................................................................................................. 7 1.4.2 Inductancia................................................................................................................ 8 1.4.3. Capacidad ................................................................................................................ 9 1.4.4. Fuentes ideales....................................................................................................... 10

2. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS. ANÁLISIS DE REDES ........................................... 11

2.1 LEYES BÁSICAS DE EQUILIBRIO........................................................................................ 12 2.1.1 Descripción topológica de los circuitos.................................................................. 12 2.1.2 Ecuaciones de Kirchhoff ......................................................................................... 12

2.2 RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR SERIE-PARALELO........................................................... 14 2.2.1 Conexión serie......................................................................................................... 14 2.2.2. Conexión paralelo .................................................................................................. 14 2.2.3. Conexión serie-paralelo......................................................................................... 15 2.2.4. Ramas con fuentes reales ....................................................................................... 16

2.3 GRÁFICOS TOPOLÓGICOS DE UN CIRCUITO ....................................................................... 19 2.4 RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO 2B .............................................................. 20

2.4.1 Nodo ficticio y malla ficticia ................................................................................... 21 2.5 MÉTODO DE LAS CORRIENTES EN LAS MALLAS Y DE LAS TENSIONES NODALES................ 23

2.5.1 El método de las corrientes de malla. ..................................................................... 24 2.5.2. El método de las tensiones nodales........................................................................ 28

3. PRINCIPIOS DE LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN................................................ 31

BIBIOGRAFÍA:

• R. Scott: “Linear Circuits”, Addison-Wesley Publishing Co., 1960 • Dorf y Svoboda, “Circuitos Eléctricos. Introducción al Análisis y Diseños”,

Alfaomega, 2000 • Cunnigham and Stuller: “Basic Circuit Analysis”, 1995 • 3. M. Van Walkenberg: “Análisis de Redes”, Limusa.,1994 • H. Pueyo y C. Marco: “Análisis de modelos circuitales”,Tomos I y II. Arbó, 1985 • W. Hyat and J. Kemmerly: “Análisis de Circuitos en Ingeniería”, Mc Graw Hill.,

1985




CAPÍTULO I: RÉGIMEN ESTACIONARIO

1. Propiedades y leyes fundamentales de los circuitos lineales

1.1 Introducción El análisis de los circuitos es la disciplina básica de la ingeniería eléctrica que trata la transferencia de energía de un dispositivo a otro, sin preocuparse por la estructura interna del mismo o su posición relativa. Sólo considera la transmisión de energía de un dispositivo a otro. En este estudio se pretende predecir el comportamiento de los dispositivos eléctricos reales interconectados de diversas maneras. Para ello se usan modelos que permitan describir estos dispositivos matemáticamente. El grado de exactitud de una ciencia dependerá del grado de correspondencia entre los modelos y las realidades físicas. Existen dos puntos de vista: a) Los modelos son puramente aproximaciones matemáticas de un dispositivo físico real. Por

ejemplo una rueda es un círculo de radio R. b) El modelo es un dispositivo físico idealizado. Una rueda ideal, por ejemplo, sería

perfectamente circular y sin masa. Ambos aspectos son importantes. La figura 1.1, representa la dependencia entre el dispositivo real y los modelos. Si bien los modelos no representan exactamente el dispositivo físico, estos modelos no serían interesantes si la correspondencia no fuese muy buena. Lógicamente, los modelos o circuitos eléctricos ideales son el resultado de mucha experimentación puesto que debe alcanzar una muy buena correspondencia. Esta mayor correspondencia, se obtiene también complicando cada vez más los modelos, pero luego debe evaluarse si la correspondencia obtenida justifica la complejidad del modelo. Por otra parte, a medida que se van inventando nuevos dispositivos, estos se reducirán a nuevos modelos, por lo que las leyes y relaciones del análisis de circuitos es independiente del dispositivo real y por lo tanto mantiene su actualidad.

1.2 Estímulo y respuesta en los sistemas físicos.

Figura 1.1: Representación de un dispositivo real por un modelo

Aproximaciónma

temática

Dispositivo Real o físico

Modelo ideal


En el análisis de circuitos es posible considerar aisladamente los estímulos o excitación y las respuestas aisladamente y estudiar la relación causa - efecto. Por otra parte los resultados pueden repetirse en tiempos distintos y con personas distintas, a esto de lo denomina test de repetitividad del modelo. Representamos un circuito como el modelo de la figura 1.2.

Figura 1.2: Elementos de un modelo

Excitación Respuesta Modelo o circuito

El estímulo o excitación es una energía suministrada por una fuente y la respuesta es la utilización de la energía en otro punto extremo. Un sistema idealizado constituye un circuito. En muchos circuitos o redes, la respuesta es directamente proporcional a la señal de entrada. Por ejemplo, si la entrada se duplica, la salida también se duplica. A estas redes se las denomina redes lineales. En estos circuitos es válido el principio de superposición y por ello siempre consideraremos un sólo generador de estímulos. Llamaremos función respuesta al valor por el cual hay que multiplicar el estímulo para obtener la respuesta. Esta función respuesta puede ser una constante o función del tiempo.

1.3. Variables del circuito: carga y energía: corrientes y tensiones. Para el análisis de circuitos interesa, normalmente el flujo de electricidad de un dispositivo a otro, pero no el que hay dentro de los dispositivos. Así por ejemplo, el flujo de vehículos en un país se mide en las rutas y no dentro de las ciudades. Los dispositivos simples tienen un par de terminales o bornes. La electricidad entra por un terminal y sale por el otro. Los terminales es una conexión idealizada, sin dimensiones físicas y sin orientación espacial definida. El efecto del dispositivo físico lo concentramos en un solo elemento ideal como lo muestra la figura 1.3.

Elemento concentrado

Figura 1.3: Idealización de las propiedades de un dispositivo eléctrico

Par de terminales

≡

Dispositivo eléctrico

Las redes eléctricas que analizaremos en este estudio están compuestas de elementos ideales conectados entre sí por conectores también ideales que no absorben ni almacenan energía. Existe sin embargo una limitación a este modelo idealizado, y lo constituye la velocidad de propagación finita de la energía eléctrica. Para la mayoría de los casos, ésta se propagará en la



velocidad de la luz (3 x 1010 cm/seg). A pesar de esta limitación, consideraremos para los circuitos que aquí se estudiarán, la velocidad de propagación infinita. Los circuitos con líneas de transmisión muy largas o propagación a frecuencias muy elevadas se tratarán en otra materia con métodos más generales de la teoría de campo. Como regla simple, puede considerarse la siguiente: si la dimensión del circuito es mucho menor que la longitud de onda de la frecuencia de trabajo, el modelo del análisis de circuito es válido, en el caso contrario, debe tratarse por teoría de campo o propagación de ondas electromagnéticas. En estos primeros puntos introductorios hemos hablado de energía, pero ésta no es una unidad fácil de medir directamente, sino en forma indirecta, por ejemplo para los circuitos eléctricos a través de la corriente y la tensión. En los sistemas mecánicos se usa la masa y la velocidad, etc. Para definir estas variables es necesario introducir el concepto de carga eléctrica, el cual se basa en el esquema atómico de la materia. El átomo se representa como un núcleo cargado positivamente, rodeado de electrones cargados negativamente, así el átomo es neutro. Si se quitan electrones, este quedará cargado positivamente. Si tiene un exceso de electrones el átomo estará cargado negativamente. Desde un punto de vista físico la carga eléctrica unitaria es la carga de un electrón, considerada negativa y que tiene una masa de 9,107 x 10-31 kg. Por su magnitud tan pequeña, la unidad práctica de carga es el Coulomb ( C ) y es de 6,24 x 1018 electrones. Es decir la carga del electrón es de 1,6021 x 10-19 C. La corriente eléctrica es la unidad básica de la teoría o análisis de circuitos, y se la define como el flujo de carga eléctrica por unidad de tiempo:

i dqdt

= (1.1)

donde i es la corriente y se mide en amperes (A), q es la carga y se mide en Coulombs ( C ) y t es la unidad de tiempo en segundos, es decir la transferencia de carga de un punto a otro del circuito. La corriente eléctrica mide la rapidez con que la carga de los electrones libres pasan de un átomo al siguiente. En aquellos materiales donde existen numerosos electrones libres se los denomina conductores. Los materiales que tienen relativamente pocos electrones libres son los llamados aislantes. Existen también otros materiales denominados semiconductores que tienen propiedades especiales muy importantes en la electrónica Debe considerarse, que el flujo de cargas eléctricas circulando por un conductor por unidad de tiempo tiene una dirección determinada. Por convención, se considera como positiva la dirección de las cargas positivas en el sentido que se le asigne a la flecha de referencia en el circuito. Como el efecto magnético que produce un flujo de cargas positivas en una dirección Otro concepto importante en el modelo que se describe es el principio de la conservación de la energía. Este principio establece que ésta no se crea ni se destruye, sino que se transforma. Así la energía eléctrica se obtiene por conversión de otras formas de energía, por ejemplo: a) Conversión de energía electromecánica: Producción de energía eléctrica a partir de la

mecánica de rotación. Esta energía mecánica se obtiene, a su vez, por conversión de energía térmica en mecánica a través de una turbina (combustión fósil o nuclear, hidráulica, etc).

b) Conversión de energía electroquímica: Las baterías eléctricas producen energía por conversión de energía química.

c) Conversión de energía fotovoltaica: Convierten la energía lumínica solar en energía eléctrica.



La función de estas fuentes de energía es la misma en cuanto a los conceptos de energía y carga. Las fuentes no crean cargas, sólo las impulsan a lo largo del circuito. Es decir la energía se gasta en el trabajo de movilizar las cargas alrededor del circuito. Es por ello que se define el concepto de “energía por unidad de carga” o “trabajo por unidad de carga” como el voltaje o la tensión eléctrica. Si a una cantidad diferencial de carga dq se le da un incremento diferencia de energía dw, el potencial de la carga se incrementa por la cantidad:

v dwdq

= (1.2)

donde w es el trabajo o energía (en joules), q es la carga (en Coulombs) y v el voltaje se mide en volts (V). Al voltaje también se lo denomina fuerza electromotriz o Fem. Si el voltaje lo multiplicamos por la corriente:

dwdq

dqdt

dwdt

p× = = (1.3)

el resultado es una rapidez del cambio de energía que llamamos potencia p. Por lo tanto, la potencia es el producto de la tensión por la corriente:

p v i= (1.4) La potencia se mide entonces en

[watts] = [volt] x [ampere] = [joule /coulomb] x [coulomb /seg] = [joule/seg] La energía total en cualquier tiempo dado t es la integral:

p dt wt

−∞∫ = (1.5)

Con respecto al signo del voltaje, ésta no tiene una dirección como la corriente. Pero sí tiene polaridad, ya que un dispositivo puede suministrar energía o consumir energía. Un signo positivo en el terminal por donde entra la corriente, indica que el dispositivo absorbe energía, un signo negativo en el terminal que entra la corriente indica que el dispositivo es una fuente de energía. Recordemos que el voltaje es una función potencial, y puede compararse con los niveles de altura o elevaciones. Para que los signos de la potencia tengan sentido, debe mantenerse la consistencia entre corriente y tensión. Normalmente el signo establecido en un circuito para la corriente es arbitrario, pero el de la caída de tensión o voltaje debe ajustarse correspondientemente. Así, le asignamos el signo positivo al terminal que entra la corriente, esto significará que el dispositivo está consumiendo energía. La figura 1.4 se muestra la convención de signos para un elemento concentrado en un circuito idealizado.

Elemento concentrado

Par de terminales

Fuente

i+ v -

Figura 1.4: Convención de signos para los elementos eléctricos




1.4 Parámetros del circuito: resistencia, inductancia y capacidad. La energía asociada a un dispositivo se representa a través de una corriente que circula por él y al voltaje o caída de tensión entre sus bornes. La relación corriente - tensión está dada por la naturaleza del dispositivo en cuestión. Existen tres tipos básicos de elementos circuitales lineales: una resistencia, es un elemento que disipa energía, una inductancia almacena energía por la corriente que circula por él, y un capacitor que almacena energía debido al voltaje existente a través de sus bornes. Las fuentes que suministran una cantidad de Coulomb por segundos (corriente constante), independientemente de la energía requerida se denominan fuentes de corrientes. Las fuentes que suministran una tensión constante (carga con una energía dada) independientes de la cantidad de Coulomb requerida, se llaman fuentes de tensión. A continuación expresaremos las relaciones volt-ampere o tensión-corriente para cada elemento básico de un circuito.

1.4.1 Resistencia. Los electrones que pasan a través de un material chocan con partículas atómicas, al ser este choque inelástico pierden energía en cada choque. La pérdida de energía por unidad de carga se manifiesta como una caída de tensión. El físico alemán Georg Simon Ohm (1787-1854), descubrió experimentalmente en 1826 la relación corriente - caída de tensión para los materiales. Ohm demostró que le flujo de corriente en un circuito, formado por una batería y un alambre conductor de sección uniforme es:

LeAi

ρ=

donde A es le área transversal del conductor, ρ es la resistividad, L la longitud y e la tensión a través del alambre. Luego, definió R como:

ALR ρ

=

quedando indicado que la corriente es proporcional a la tensión aplicada: e R i= (1.6)

donde, e es la tensión a través del elemento en volts, i es la corriente que atraviesa el elemento en amperes y R es la resistencia medida en ohms. Una ecuación alternativa es:

i eR

G e= = (1.7)

donde G = 1/R es la conductancia medida en mhos. La potencia disipada por la resistencia será, de acuerdo a (1.6) y (1.7) y la figura 1.5,

p e i i R eR

= = =22

(1.8)

de acuerdo con la convención de signos, una potencia positiva significa disipación.

Figura 1.5: Símbolo de un elemento resistor de resistencia R


1.4.2 Inductancia. El inductor es un elemento que almacena energía en forma de campo magnético dependiente de la corriente eléctrica que circula en ella. La inductancia fue descubierta por Michael Faraday en 1831. Hans Christian Oersted (1777-1851) de Copenhague descubrió el campo magnético asociado a una corriente eléctrica. Para los mismos años, en Estados Unidos, Joseph Henry estudiaba también el electromagnetismo. En el circuito idealizado de la inductancia, la tensión es proporcional, no a la corriente misma, como en la resistencia, sino al cambio de la corriente. La constante de proporcionalidad se la llama inductancia y se la simboliza con L. La relación volt -ampere para un inductor es:

dtdiLe = (1.9)

donde L es la inductancia, medida en henry, e es la tensión entre sus bornes y di/dt es la velocidad de cambio de la corriente en amperes por segundo. Un inductor ideal es una bobina con N vueltas de alambre sin resistencia. Si enrollamos una bobina en formal helicoidal, en una sola capa, y suponiendo que la longitud l de la bobina es mayor que el diámetro d de la misma; entonces su inductancia será:

22

0

450kN

d.lAN

L =+μ

= (1.10)

Donde, A es el área transversal de la bobina y μ0=4π×10-7 Hy/m, es una constante de permeabilidad del espacio libre. En general los núcleos de hierro tienen mayor permeabilidad que el aire, y por lo tanto concentran más el flujo magnético. Por lo tanto una bobina con núcleo de hierro tiene mayor inductancia que una con núcleo de aire.

Figura 1.6: Ejemplo de un inductor y su símbolo equivalente

Para obtener la corriente que circula por una inductancia, conocida la tensión e como función del tiempo, es

∫∞−

=t

dteL

i 1

La potencia entrante al inductor será

dtdiiLiep == (1.11)

Cuando la corriente permanece constante no existe un almacenamiento adicional de energía, pero si la corriente aumenta, la derivada de la corriente es positiva, la potencia es positiva y finalmente aumenta la energía. La energía total almacenada en el inductor será:



∫ ∫ ∫∞− ∞−

====t t I

L LIdiLidtdtdiLidteiW

0

2

21 (1.12)

donde WL es la energía almacenada en el instante t, en joules, e I es la corriente circulante en el instante t. Nótese que el valor de la energía en el instante t, depende solamente de la corriente instantánea I circulante y no de la historia pasada de la inductancia. En la ecuación (1.10) puede escribirse también como

∫

∫∫∫

+=

+==∞−∞−

t

tt

dteL

Ii

dteL

dteL

dteL

i

00

0

0

1

111

(1.13)

El segundo término representa la corriente inicial para el instante t = 0, y sintetiza la historia pasada de la inductancia. La figura 1.6 representa la convención de signos para la inductancia.

1.4.3. Capacidad El capacitor es un elemento que almacena energía en forma de campo eléctrico en su dieléctrico por efecto de una tensión aplicada, e independiente de la corriente circulante. En 1745 Pieter van Mussenbrock de Leyden fue el primero en realizar un experimento de almacenar campo eléctrico, en 1762 construyó el primer capacitor de placas paralelas. Otros científicos de la época trabajaron en la sistematización y desarrollo del concepto del capacitor y almacenamiento de energía eléctrica, entre ellos Charles Agustín Coulomb, Henry Cavendish y Michael Farady. En 1812 Simon Poisson describió matemáticamente la energía almacenada por un capacitor.

Figura 1.7 Ejemplo de un capacitor de placas paralelas

Un capacitor es un elemento formado por dos placas conductoras separadas por un material aislante. La carga eléctrica se almacena en las placas, siendo su valor de capacidad proporcional a la constante dieléctrica ε del material aislante, del área A de las placas e




inversamente proporcional a la distancia d entre las placas. En base a estos datos, la capacidad de un capacitor (en faradios), como el de la figura 1.7 es:

dAC ε

= (1.14)

La permitividad del espacio vacío ε0= 8.85×10-12 Faradios / metro. La permitividad de otros materiales se definen a través de una constate eléctrica relativa εr como una relación εr=ε/ ε0. Por ejemplo el vidrio tiene un εr=7; la baquelita un εr=5, etc. En el modelo del capacitor ideal, la tensión es proporcional a la carga, es decir la integral de la corriente. Esta constante de proporcionalidad es la inversa de la capacitancia (o elastancia D=1/C). La carga actual del capacitor es la suma de todas las cargas presentes en el capacitor, por lo tanto:

∫∞−

==t

dtiC

QC

e 11 (1.14)

donde e es la tensión a través del capacitor en volts; Q es la carga de la capacidad en coulombs, i es la corriente en amperes (o coulomb por segundos), y C capacidad en faradios. La relación volt-ampere alternativa será:

dtdeCi = (1.15)

La potencia entrante a la capacidad en cualquier tiempo es

dtdeeCiep == (1.16)

Si la tensión es constante, la derivada es cero, y la potencia será cero. Sólo si hay cambios en la tensión, se incrementará la energía en el capacitor. La energía total en la capacidad será:

∫ ∫ ∫∞− ∞−

====t t E

C CEdeCedtdtdeCedteiW

0

2

21 (1.17)

1.4.4. Fuentes ideales Las fuentes son elementos ideales que suministran energía a los circuitos. Hay dos tipos de fuentes, de tensión y de corriente. Estas fuentes suministran idealmente infinita potencia. Fuentes de tensión: Suministran una cantidad de cargas (coulomb) constantes. Proporcionan energía al circuito manteniendo una tensión constante independiente de la corriente que se genera (figura 1.8-a-). Fuentes de corrientes: Suministran energía para una cantidad de cargas (coulomb) por segundo específica independientemente de la energía requerida. Producen una corriente fija independientemente del circuito conectado a ella (figura 1.8-b-)

Figura 1.8: Símbolo de fuentes ideales independientes


Fuentes controladas: Estas fuentes no son fijas, sino que dependen de la tensión o de la corriente en otro par de terminales del circuito. Cada fuente (de corriente o tensión) puede ser controlada por corriente o tensión, apareciendo entonces cuatro tipo de fuentes controladas. La figura 1.9 (a) superior representa el caso de una fuente de tensión controlada por tensión. La salida de la fuente es v2=µv1 y la señal de control es v1, donde µ es el parámetro de control. En la superior (b), en cambio muestra una fuente de corriente controlada por corriente. La corriente de salida i2 = αi1. . La parte inferior (a) representa una fuente de tensión controlada por corriente y en inferior (b) una fuente de corriente controladas por tensión.

Figura 1.9: Fuentes controladas

2. Resolución de circuitos. Análisis de redes El análisis de un circuito o de una red consiste en encontrar todas las corrientes y tensiones en cada uno de los elementos de esa red, conocidas las fuentes o excitaciones del circuito. Una red, en general, está compuesta por elementos, es decir, resistencias, inductancias o capacitores y fuentes conectadas de alguna manera. La síntesis de circuito, en cambio, consiste en diseñar una red, de manera tal que a una señal de entrada conocida produzca una señal de salida esperada. La metodología para proceder en el análisis de circuito consiste en plantear un conjunto o sistema de ecuaciones en función de las incógnitas o variables y los datos conocidos. En un circuito eléctrico, las incógnitas son las corrientes y tensiones en cada elemento. Para formular estas ecuaciones se usarán las relaciones volt-ampere de cada elemento y las ecuaciones de Kirchhoff, que se verán más abajo.




2.1 Leyes básicas de equilibrio.

2.1.1 Descripción topológica de los circuitos Un sistema de ecuaciones tendrá solución única si se encuentran tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tenga. La topología es un método para encontrar un juego de ecuaciones independiente a partir de un circuito eléctrico. Para aplicar la topología deben definirse los conceptos de rama, nodo y malla: Rama: una rama será un elemento (resistencia, inductancia o capacidad) o un elemento en serie con un generador de tensión. Nodo: son las uniones de dos o más ramas Malla: es un camino cerrado independiente en una red

2.1.2 Ecuaciones de Kirchhoff Gustav Kirchhoff en 1845 estableció las leyes que gobiernan la interconexión de los circuitos eléctricos. Estas son consecuencias de dos principios físicos generales:

• el principio de conservación de la energía • el principio de conservación de la carga

Estas leyes relacionan la suma algebraica de las tensiones alrededor de una malla y las corrientes que salen y entran en un nudo:

a) La corriente que llega a un nudo debe inmediatamente salir de ella, pues en el nudo no pueden crearse o destruirse cargas eléctricas. Por lo tanto

∑ = 0i (1.18)

Ejemplos de ramas

+ -

nodo

Ejemplo de nodo

+ _

Ejemplo de circuito con dos mallas

Figura 1.10: Elementos topológicos de un circuito


i2

i1

i3 i4

Figura 1.11: Primera ley de Kirchhoff

Si en el gráfico de la figura 1.11 consideramos a las corrientes que entran al nudo positivas y a las salientes negativas, entonces la suma será:

04321 =−−+ iiii b) La segunda ley de Kirchhoff se apoya en el principio de la conservación de la energía.

La tensión o voltaje en un punto es la energía que necesita una carga para moverla desde un punto a otro. Igualmente si retornamos la carga eléctrica a un nivel de tensión igual al anterior, éste entrega la misma energía ganada. En forma similar a lo que ocurre con la energía potencial en un campo gravitatorio. Por lo tanto, la suma de las tensiones en un malla es igual a cero

∑ = 0e (1.19)

2314 eeee +=+

Figura 1.12

Figura 1.12: Segunda ley de Kirchhoff

O si analizamos la suma de tensiones respecto a una referencia (normalmente llamado tierra), como en la figura 1.12, tenemos que

123211 ;; eeeeeeeee abC ++=+== Por cada rama existe 1 elemento y por lo tanto 2 incógnitas: la corriente que circula por ese elemento y su caída de tensión. Si un circuito tiene b ramas, entonces el número de incógnita será 2b. Para resolver este circuito deberemos plantear 2b ecuaciones independientes. Estas ecuaciones se forman con las relaciones volt-ampere para cada rama, y con las ecuaciones de Kirchhoff de corriente y tensión.




2.2 Resolución de circuitos por serie-paralelo Una rama en un circuito eléctrico está formado por un elemento o un elemento y una fuente asociada, cómo ya se explicó más arriba. Los elementos o ramas pueden estar conectados de diversas maneras, pero las variables eléctricas serán siempre la corriente y la tensión. Dependiendo si la tensión o la corriente es común a dos ramas, éstas estarán conectadas en paralelo o en serie. Se define una conexión serie de varios elementos cuando éstos tienen la corriente en común. Y la conexión será en paralelo cuando todos los elementos tienen la misma tensión.

2.2.1 Conexión serie En la figura 1.13, se presenta una conexión de varias resistencias en serie. Visto desde el par de terminales a-b, todo el efecto de esta colección puede representarse por una única resistencia equivalente.

La caída de tensión en cada resistencia (relación volt-ampere para cada rama) será:

L;iRe;iRe;iRe 332211 === La tensión en los bornes a-b, será la suma de todas las tensiones, según la segunda ley de Kirchhoff. Siendo la corriente común, puede extraerse como factor común, entonces:

eqiRRRRiiRiRiRe =+++=+++= )( 321321 LL (1.20) La resistencia equivalente de una conexión serie de resistencias es la suma de todas las resistencias.

321 RRRReq ++= (1.21)

2.2.2. Conexión paralelo Un grupo de resistencias están en paralelo si todas están conectadas a la misma tensión.

Las relaciones volt-ampere para cada rama se escriben en función de la tensión común:

Figura 1.13: Circuito serie

Figura 1.14: Circuito paralelo



L;;;3

32

21

1 Rei

Rei

Rei ===

La corriente en los terminales a-b es la suma de las corrientes en cada rama (suma de corrientes en un nodo de Kirchhoff):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=+++=+++= LLL

321321321

111RRR

eRe

Re

Reiiii (1.22)

En el terminal a-b, la relación volt-ampere para la resistencia equivalente será:

eqRei 1

= (1.23)

Comparando las ecuaciones (1.22) y (1.23) se obtiene la expresión de la resistencia equivalente para una conexión paralelo.

L+++=

321 /1/1/11

RRRReq (1.24)

La resistencia equivalente puede expresarse en función de las conductancias G. Siendo G=1/R, entonces:

L;1;1;1

33

22

11 R

GR

GR

G ===

L+++= 321 GGGGeq (1.25)

Para el caso particular de dos resistencias en paralelo, la resistencia equivalente es:

sumaproducto

RRRR

RRReq ;

/1/11

21

21

21 +=

+=

2.2.3. Conexión serie-paralelo Para calcular la resistencia equivalente de un circuito con combinación de resistencias en serie y paralelo puede resolverse mediante la aplicación sucesiva de cálculos de resistencias equivalentes series y paralelos. En la figura 1.16 se da un ejemplo al respecto.

Figura 1.15: Ejemplo de paralelo de dos resistencias


Figura 1.16: Conexión serie-paralelo

La R1 es la resistencia equivalente a la serie entre las dos resistencias de 1 ohm de la derecha. La resistencia R2 será el paralelo entre R1 y la primera resistencia de 1 en paralelo. La R3 será la serie entre 1 y R2, R4 será el paralelo entre 1 y la R3. Finalmente la Req es la suma serie entre 1 y la R4.

paraleloRRR

serieR

;32

11

;211

1

12

1

=+×

=

=+=

paraleloRRR

serieRR

;85

11

;351

3

34

23

=+×

=

=+=

8131

8514 =+=+= RReq

2.2.4. Ramas con fuentes reales Las fuentes reales de tensión o corriente se representan como un generador ideal de tensión en serie con una resistencia, figura 1.17 (a), o como un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia, figura 1.17 (b), respectivamente.

Figura 1.17 : Fuentes reales

Fuente real de tensión. La representación más simple del dispositivo físico es el de un generador ideal de tensión en serie con una resistencia. Esta resistencia representa las



pérdidas internas por disipación del dispositivo. La relación volt-ampere en los bornes a-b del dispositivo será:

iREe += (1.26) Si la tensión de la fuente es 0 (enmudecer el generador de tensión), entonces el circuito equivalente es un corto circuito en serie con la resistencia interna R. Fuente real de corriente. La relación volt-ampere en los terminales a-b del circuito equivalente de la fuente de corriente real, figura 1.17 (b), es

iRIRe += (1.27) De aquí se desprende que si se enmudece el generador (la corriente I=0), la relación 1.27 expresa que el circuito equivalente será un circuito abierto en paralelo con la resistencia interna R Fuentes equivalentes: Desde el punto de vista del par de terminales a-b, ambas fuentes son equivalentes, pudiéndose pasar de un modelo a otro fácilmente igualando las expresiones 1.26 y 1.27. La figura 1.18, representa estas equivalencias. El sentido de los signos o de la flecha deberán ser tales de manera de producir el mismo sentido de corriente y polaridad en el par de terminales a-b.

Figura 1.18: Fuentes reales equivalentes

La figura 1.19, presenta dos casos de conexiones en que el circuito se resuelve en forma práctica por inspección. Así, cualquier resistencia conectada en paralelo con un generador ideal de tensión, no produce ningún efecto desde el punto de vista del par de terminales externos a-b y su circuito equivalente es el de un generador de tensión únicamente. Esto es así, por la definición de generador ideal. Por otra parte la corriente que circula en cada resistencia se conoce directamente haciendo E/R. Análogamente una o varias resistencias en serie con un generado ideal de corriente no influye en nada la corriente del circuito en el par de terminales externos a-b. Las tensiones en cada resistencia serán simplemente IR.



Figura 1.19: Resolución de casos por inspección

2.2.5 Divisor de tensión y divisor de corriente

Existen otros dos conexiones particulares que merecen ser atendidos, estos son el divisor de tensión y el divisor de corriente. Así como un generador de tensión en paralelo con varias resistencias no tenía ninguna influencia en el resto del circuito, por el contrario un generador de tensión en serie con varias resistencias produce una caída de tensión proporcional a cada resistencia. En forma análoga varias resistencias en paralelo con un generador ideal de corriente produce la división proporcional de la corriente en cada rama, figura 1.21. Divisor de tensión: Aplicando los principios del circuito serie, reduciendo a una resistencia equivalente, la corriente del circuito serie I será, figura 1.20:

321 RRR

EREIeq ++== (1.28)

Figura 1.20: Divisor de tensión

La caída de tensión, por ejemplo, en la resistencia R1, será, proporcional a E, proporcional a R1 e inversamente proporcional a la suma de las resistencias.

321

111 RRR

REIRe++

== (1.29)



Divisor de corriente: Las resistencias en paralelo pueden reducirse de acuerdo a los cálculos de resistencia equivalente paralelo. La tensión del paralelo será, figura 1.24:

321 /1/1/11

RRRIIRE eq ++

== (1.30)

La corriente, por ejemplo en la rama R1 será la tensión del paralelo dividido la resistencia R.,

Figura 1.21: Divisor de corriente

Para el caso particular de dos resistencias en paralelo, la corriente en una rama será proporcional al generador de corriente I, proporcional a la otra resistencia e inversamente proporcional a la suma de las dos:

21

2

21

11 /1/1

/1RR

RIRR

RIi+

=+

=

2.3 Gráficos topológicos de un circuito La topología algebraica de un circuito se usa para encontrar el número de ecuaciones independientes para resolver las incógnitas o variables del circuito que son las corrientes y tensiones en cada rama. Una rama topológica se define a los elementos (resistencias) que quedan conectadas en el circuito cuando las fuentes se hacen cero (o se enmudecen). Una fuente de tensión cero se representa por un corto circuito y una fuente de corriente cero significa un circuito abierto. Toda resistencia en paralelo con un una fuente de tensión desaparece, y toda resistencia en serie con una fuente de corriente queda desconectada. Esto es consecuencia de lo expuesto en la figura 1.19. Las resistencias (elementos) restantes se representan como una línea. En la figura 1.22 se representa un circuito eléctrico con su gráfico topológico equivalente, allí podemos identificar cinco ramas topológicas, tres nudos y tres mallas. Las mallas tienen siempre al menos una rama distinta. En este gráfico podemos llamar a las ramas con la letra b (“branches”) a los nudos con n (nodos o “nodes”) y las ramas con la letra l (“loops”). La ecuación básica de la topología nos indica la siguiente relación:

)1( −+= nlb (1.31)



Figura 1.22: Gráficos topológicos

Si existen b ramas entonces habrá 2b incógnitas (b corrientes y b tensiones). Por lo tanto se deberán encontrar 2b ecuaciones independientes. Estas ecuaciones se escriben 1) usando b ecuaciones volt-ampere, esto es b relaciones de tensión y corriente por cada rama topológica. 2) escribiendo l relaciones de Kirchhoff de tensiones para cada malla topológica y 3) usando las ecuaciones de Kirchhoff de corrientes para (n-1) nodos, por ejemplo se omite el nodo de referencia 0. Esto es

)1(2 −++= nlbb (1.32) En cada circuito sólo podemos encontrar b ecuaciones independientes volt-ampere de ramas, l ecuaciones independientes de ∑ y (n-1) ecuaciones independientes de ∑ . = 0e = 0i

2.4 Resolución de circuitos por el método 2b La descripción topológica de los circuitos permite inmediatamente plantear un sistema de 2b ecuaciones independientes con 2b incógnitas. Resolvamos el siguiente circuito de la figura 1.23. Allí encontramos que b=3, n=2, l=2. El sistema de ecuaciones independiente queda formado por el siguiente sistema:

Figura 1.23: Resolución de circuitos por el método 2b.



1) b ecuaciones volt-ampere

33

22

11

63

102

ieieie

==

+=

2) (n-1) ecuaciones ∑ = 0i

0321 =++ iii 3) l ecuaciones ∑ = 0ee1=e2 ; e2=e3 Solución Las incógnitas son i1,i2,i3,e1,e2,e3 .Reemplazamos las relaciones 1) en la ecuación 2), es decir

0632

10 321 =++− eee

Aplicando las identidades de 3)

5561

31

21

5632

11

111

=∴=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=++

ee

eee

e1=e2 =e3=5

65

6

35

3

25

210

33

22

11

==

==

−=−

=

ei

ei

ei

2.4.1 Nodo ficticio y malla ficticia Desarrollemos otros ejemplos en donde aparezcan fuentes ideales de tensión o corriente. Ejemplo. Resolver el circuito de la figura 1.24 Figura 1.24: Ejemplo de nodo ficticio



Solución: Este circuito, cuando se enmudecen los generadores, tiene 4 ramas topológicas, tres mallas y dos nodos. El nodo 1 y el nodo 1’ resultan ser el mismo, pues el generador de tensión es un corto circuito. Sin embargo si unimos 1 y 1’ en un solo nodo desaparece la fuente de tensión. En este caso debemos usar el concepto de nodo ficticio o nodo virtual. Para el planteo de la solución, se mantiene lo dicho anteriormente, esto es, se plantean el número de ecuaciones de acuerdo a las mallas, ramas y nodos topológicos. El circuito de la figura 1.28 tendrá b =4 ramas, l =3 mallas y (n-1) =1 nodo topológico. Por el método del nodo ficticio aparecen b =4 ramas, l =3 mallas y (n-1) =2 nodos. Por ello las ecuaciones serán: 1) b=4 relaciones volt-ampere

44

33

22

11

1111

ieieieie

====

2) l=2 relaciones ∑ = 0e

1023

43

21

=−==

eeeeee

Esta última ecuación no es propiamente topológica, sino que vincula los nodos con el generador de tensión. 3) (n-1)=2 relaciones ∑ = 0i

021 =++ Siii 043 =++− iiiS

Solución del sistema. De 3) puede rescribirse 04321 =+++ iiii , que representa la verdadera relación topológica. Reemplazando 1) en esta última queda:

04321 =+++ eeee Usando las relaciones 2) en la ecuación anterior, puede escribirse:

10022

32

32

=+−=+

eeee

Resolviendo se obtiene 4312 5;5 eeee ===−= Ejemplo. Resolver el circuito de la figura 1.25. Este circuito es similar al anterior, en la que aparece un generador ideal, pero esta vez de corriente. Según el gráfico topológico, el circuito tiene b =4 ramas, l =2 mallas y (n-1) =2 nodos topológicos. Pero si plantea de este modo, la información de la fuente no aparece. Es por ello que definimos a la malla central (no topológica) como una malla virtual o ficticia. En este caso quedan b =4 ramas, l =3 mallas y (n-1) =2 nodos.



Figura 1.25: Ejemplo de malla virtual

El sistema de ecuaciones será: 1) b=4 relaciones volt-ampere

44

33

22

11

1111

ieieieie

====

2) l=3 relaciones ∑ = 0e

023

43

21

=++==

Seeeeeee

Esta última ecuación corresponde a la malla ficticia. 3) (n-1)=2 relaciones ∑ = 0i

1021 −=+ ii 1043 =+ ii

Reemplazando el juego de ecuaciones 2) en 3) da:

1055510

510

2343

43

21

21

=+=−=∴===+−==−=+

eeeeeeeeeee

S

2.5 Método de las corrientes en las mallas y de las tensiones nodales El método 2b antes desarrollado, permite resolver cualquier tipo de circuitos lineales. Sin embargo es necesario ser muy ordenados en el planteo del sistema de ecuaciones, y puede



llegar a ser muy laborioso para circuitos muy complejos. Es por ello que se han desarrollado otros métodos que planteando un número de ecuaciones menores y en forma más sencilla y eficiente permite reducir la complejidad de la solución. El resto de las incógnitas se obtendrán a partir de estas variables intermedias. Dos son los métodos comúnmente usados, uno llamado de las corrientes de malla o método de Maxwell y el otro de las tensiones nodales.

2.5.1 El método de las corrientes de malla. Como se planteara en el método 2b, se necesitan 2b ecuaciones ya que ésta es la cantidad de incógnitas que tiene el circuito. Si bien esto es cierto, no es necesario plantear todas las ecuaciones en forma explícita. Así se pueden plantear sólo las tensiones en cada rama como incógnitas, y las corrientes se calculan posteriormente en cada rama por inspección, y con esto ya se reducen el número de incógnitas a b. Si se escriben las ecuaciones de corriente en las ramas, de tal forma que se satisfagan la ley de Kirchhoff de las corrientes en cada uno de los (n-1) nodos independientes, entonces es necesario plantear b-(n-1)=l ecuaciones con corrientes de mallas. Si estas corrientes de mallas circular por caminos independientes, entonces es posible plantear l ecuaciones independientes. La ley de Kirchhoff me permite encontrar las l ecuaciones independientes. ∑ = 0e En el circuito de la figura 1.26 quedan definidas dos mallas, la malla (1) y la malla (2). La corriente de malla i1 circula por la rama 1 (R1), la corriente de malla i2 es equivalente a la corriente en la rama 3 (R3). En cambio en la rama 2 (R2) la corriente de la rama será la diferencia entre la corriente de malla 1 menos la corriente de malla 2 (i1-i2). Para el circuito de la figura las ecuaciones serán:

l=2 relaciones ∑ = 0e

0)()(

21232

22111

=−−=−+

iiRRiERiiRi

estas ecuaciones pueden rescribirse como:

⎩⎨⎧

=++−=−+

0)()()()(

32221

22211

RRiRiERiRRi

(1.33)

Figura 1.26: Resolución por corrientes en las mallas

El método en general será: 1) Dibujar el gráfico topológico del circuito. En este gráfico quedan explícitas la

cantidad de mallas o ecuaciones independientes a plantear. 2) Establecer el sentido de las corrientes de malla en una sola dirección para todas las

mallas, por ejemplo en sentido horario. 3) Escribir las ecuaciones de Kirchhoff de tensión para cada malla, en función de las

corrientes de mallas. 4) Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de las corrientes de

malla. 5) El resto de las 2b variables se pueden obtener a partir de las corrientes de malla.



Figura 1.27: Corrientes en las mallas y gráfico topológico

Resolvamos el ejemplo de la figura 1.27. El sistema de ecuaciones de malla queda formado por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++−−=−−+++−=

−−++=−

)RRR(iRiRiERi)RRR(iRiE

RiRi)RRR(iEE

534352413

536522212

4322241121

(1.34)

donde las corrientes de mallas, pueden resolverse, por ejemplo a través de los siguientes determinantes:

53454

56522

42241

53453

56522

4221

1

RRRRRRRRRRRRRRR

RRRRERRRRERREE

i

++−−−++−−−++++−−

−++−−−

= ;

53454

56522

42241

53433

522

421241

2

RRRRRRRRRRRRRRR

RRRERRERREERRR

i

++−−−++−−−++++−−

−−−−++

= ;



53454

56522

42241

353

26522

212241

3

RRRRRRRRRRRRRRRERR

ERRRREERRRR

i

++−−−++−−−++−−−

++−−−++

= .

Nótese que la matriz de los coeficientes, (mostrada como determinante del denominador de las corrientes), es una matriz simétrica respecto de la diagonal principal, siendo los elementos de esta diagonal todos positivos, y los demás elementos negativos. Hasta aquí hemos visto el caso de circuitos alimentados con generadores reales de tensión. Existen dos casos importantes a analizar, cuando hay generadores de corrientes y cuando hay generadores ideales conectados al circuito. Es decir, cómo deben plantearse las ecuaciones de malla en estos casos.

a) Generadores ideales de tensión En el método de corrientes en las mallas, la conexión de un generador ideal de tensión no es un problema, siempre que consideremos a uno de sus contactos como un nodo virtual. Éste producirá una malla virtual, y debe tratarse de igual manera que una corriente de malla topológica. Si bien en muchos casos es preferible resolverlo por tensiones nodales, como ya veremos más adelante. Por ejemplo en el circuito de la figura 1.28, las ecuaciones se escribirán de la siguiente manera:

Figura 1.28: Corrientes en las mallas y generador ideal de tensión

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−=−++−=

−+=

)RR(iRiRi)RR(iRiE

Ri)RR(i

43332

3332221

22211

0

0 (1.35)

En este caso la malla 2 no es propiamente topológica, ya que 1 y 1’ representan un mismo nodo y el generador ideal E no es estrictamente una rama y por lo tanto tampoco lo es la segunda ecuación del sistema de ecuaciones. Nótese, sin embargo, que no existe otra forma de incorporar la tensión E dentro del sistema de ecuaciones (1.35). Otro caso sería, por ejemplo



el circuito de la figura 1.29, que es una modificación del circuito 1.27, pero haciendo E2 un generador ideal.

Figura 1.29: Generador ideal de tensión y nodos virtuales

Este sistema se resuelve igual que el caso de la figura 1.27, pero haciendo R2=0. Así el sistema de ecuaciones 1.34, se convierte en:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++−−=−−+=−+=−

)RRR(iRiRiERi)RR(iERi)RR(iEE

534352413

536522

4341121

(1.36)

b) Generadores de corrientes

En el método de las corrientes en las mallas, los generadores de tensión se incluyen fácilmente en las ecuaciones. En cambio, para incorporar los generadores de corrientes deben tenerse en cuenta algunos detalles. Existen dos caminos para ello, el primero es simplemente convertir el generador real de corriente en un generador real de tensión, y luego proseguir, según lo visto más arriba. Sin embargo, este procedimiento trae aparejado un cambio en el circuito, que no siempre es posible. Esto puede hacerse cuando las incógnitas buscadas no se encuentran en las ramas afectadas por tal conversión de fuentes. Para evitar este problema, el segundo camino es considerar el caso de la malla virtual.

Figura 1.30: Corrientes en las mallas y generador ideal de corriente




Para resolver según la malla virtual, se construye el gráfico topológico como en la figura 1.30 (a). Sólo existe una malla topológica, la correspondiente a la corriente i2; la corriente i1, es sólo virtual. Luego si sólo existe, en este caso una malla virtual, entonces, sólo es necesario una ecuación de Kirchhoff. La segunda ecuación en 1.37, no es de tensiones de Kirchhoff sino sólo una ecuación adicional de equivalencia de corrientes.

⎩⎨⎧

=++−=

Ii)RR(iRi

1

212110 (1.37)

Por lo tanto IRR

Ri21

12 += , que representa a un divisor de corriente.

Si resolvemos por conversión de fuentes queda

21

12

2121

RRIRi

)RR(iIR

+=

+=

En la figura 1.31 se analiza un caso similar, pero con el generador de corriente dentro de la malla topológica. En este caso, también aparece una única ecuación de tensiones de Kirchhoff, pues es un sola malla, pero se agrega una ecuación adicional de corriente.

⎩⎨⎧

−=−+=+=+=

21

21121210iiI

RiRiRiRi)RR(i uuu (1.38)

En este caso hemos tratado a i1 e i2 como corrientes topológicas, sin embargo, nótese el signo positivo de ambas, esto es similar a definir una única corriente de malla iu, pero con designación diferente para cada resistencia. Si hubiese una malla vecina, entonces continuaría con signo menos por la resistencia común, según el método general. Entonces: a) se define las corrientes en las mallas virtuales y en las topológicas, b) se escriben las ecuaciones de tensión sólo para las mallas topológicas y c) luego se escribe una ecuación adicional por cada malla virtual.

2.5.2. El método de las tensiones nodales. En forma análoga al método anterior, se pueden calcular todas las variables del circuito a partir de las tensiones nodales. Esto es, las tensiones en los nodos topológicos. Estas tensiones están referidas a un potencial o nodo de referencia, en general el nodo elegido como tierra. De

Figura 1.31: Generador ideal de corriente.


las 2b ecuaciones necesarias, usamos las n-1 ecuaciones de corrientes de Kirchhoff en los nodos topológicos. Las tensiones en cada rama se determinan luego como diferencia entre las tensiones entre los nodos.

Figura 1.32: Tensiones nodales

En la figura 1.32, las tensiones nodales son las referidas a tierra o nodo g, esto es ea, eb, y ec las tensiones en las ramas eab y ebc, quedan definidos por cbbcbaab eee;eee −=−= ; siendo por convención, la primera letra del subíndice la indicada por el terminal positivo.

El método general, entonces es el siguiente:

1) Se realiza el gráfico topológico y se selecciona un nodo de referencia 2) Se escriben las ecuaciones de corrientes de Kirchhoff (∑ = 0i ) para cada nodo

topológico excepto para el de referencia (son n-1 ecuaciones de corrientes, siendo n el número de nodos topológicos).

3) Se resuelve el sistema de ecuaciones conformado. 4) Se calculan el resto de las 2b variables por simple inspección.

Ejemplo: Resolver el circuito de la figura 1.33.

Figura 1.33: Tensiones nodales y gráfico topológico



Resolución: La corriente en el nodo (a) será:

021

21 =−

−−+R

)ee(ReII baa

La corriente en el nodo (b) será:

032

2 =−−

+−Re

R)ee(I bba

Cada una de las ecuaciones representa las sumatorias de las corrientes en cada nudo. Así,

1Rea es la corriente que circula por la resistencia R1,

3Reb es la corriente en la resistencia R3, y

2R)ee( ba − es la corriente en R2. Reordenando ambas expresiones queda

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=−

−+=+

)RR

(e)R

(eI

)R

(e)RR

(eII

ba

ba

3222

22121

111

111

(1.39)

En el sistema de ecuaciones 1.39, se escribe a la izquierda de la igualdad las corrientes entrantes y salientes al nodo (a), si es entrante con signo positivo y si es saliente con signo negativo. A la derecha de la igualdad con signo positivo la tensión del nodo a describir multiplicado por las conductancias conectadas a ese nodo, menos la tensión del nodo vecino multiplicado por la conductancia común. Se escribe una ecuación por nodo, sin incluir el de referencia. En forma análoga al método de las corrientes en las mallas, en el método de las tensiones nodales, la inclusión de generadores de corrientes es natural, pues se describen ecuaciones de corrientes. Sin embargo la inclusión de generadores de tensión, exige un poco más de precaución al escribir las ecuaciones del circuito. Cuando aparecen generadores de tensión, también cabe la alternativa de realizar un cambio de fuente, pero, como se dijo anteriormente, esto significa modificar el circuito original. La otra alternativa es definir un nodo virtual o un supernodo según corresponda. En el siguiente ejemplo se describen estos casos.

a) Nodos virtuales.

Figura 1.34: Nodos virtuales y tensiones nodales



En este caso, el nodo ea no es un nodo topológico, sino un nodo virtual. Para escribir las ecuaciones, lo hacemos sobre el nodo topológico, esto es, eb, y al nodo virtual, lo tratamos como un nodo vecino, luego agregamos una ecuación de tensión adicional de equivalencia:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−+=

a

ab

eE

)R

(e)RR

(e121

1110

Haciendo conversión de fuente, como en la parte (b) de la figura, se resuelve normalmente como lo dicho anteriormente. Como sólo existe un nodo topológico, además del de referencia, la ecuación queda:

)RR

(eRE

b211

11+=

b) Supernodo En la figura 1.35 se incluye el caso de un generador de tensión, en la posición de supernodo. En este caso, el nodo ea y ea’ son un mismo nodo, por lo que se escribe una única ecuación de corriente. Luego se adiciona una ecuación de equivalencia de tensiones.

Figura 1.35: Tensiones nodales y supernodo

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

+++=

'aa

'aa

eeE

)RR

(e)RR

(e4321

11110 (1.40)

Nótese nuevamente que en la primera ecuación en (1.40), se adicionan las corrientes, ya que ambas corresponden a un único nodo topológico (o supernodo). El análisis es análogo al realizado para la ecuación 1.38.

3. Principios de linealidad y superposición La resolución de circuitos por el método de corrientes en las mallas o por tensiones nodales permite una generalización a n mallas o n nodos. De hecho los programas computacionales existentes usados en la resolución numérica de los circuitos utilizan algunos de estos métodos. Esta forma de expresar el circuito como un sistema de ecuaciones da la oportunidad además de discutir relaciones teóricas importantes en los circuitos. Los teoremas más importantes son sin dudas el de linealidad y el de superposición.



El principio de linealidad expresa que la respuesta en cualquier punto de la red es proporcional a la excitación de entrada que produce el estímulo. El principio de superposición no es más que una extensión del principio anterior, pero aplicable a una excitación múltiple. Cuando se aplica este principio, la respuesta en cualquier parte de la red a una suma de estímulos, es la suma de las respuestas individuales. La definición matemática de la linealidad es también por extensión la de superposición y se escribe:

⎩⎨⎧

+=+=

)y(f)x(f)yx(f)x(af)ax(f

(1.41)

Para la demostración en el caso de los circuitos, usaremos una generalización de un sistema de ecuaciones usando el método de corrientes en las mallas (bien puede usarse el de tensiones nodales). Supondremos un circuito con k mallas, cuyas excitaciones han sido convertidas a generadores de tensión. La forma general será: [compare con (1.34)]

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−−−

=−−+−=−−−

kkkkkk

kk

ikk

E)r(i)r(i)r(i

E)r(i)r(i)r(iE)r(i)r(i)r(i

L

M

L

L

2211

22222211

1122111

(1.42)

donde i1, i2,...,ik, son las k corrientes de mallas, r11,r22,...,rkk, son la suma de las resistencias de las mallas, y rik, i ≠ k son las resistencias comunes de las mallas vecinas. Si la respuesta analizada es por ejemplo, la corriente de malla i1, ésta tendrá la forma [ver solución de (1.34)]:

kkkk

k

k

kkkk

k

k

rrr

rrrrrr

rrE

rrErrE

i

L

MM

L

L

L

MM

L

L

21

22221

11211

2

2222

1121

1

−−

−−−−

−

−−−

= ; (1.43)

Resolviendo por el método de la expansión de Laplace, queda:

;

rr

rrrr

)E(

rr

rrE

i

kkk

k

k

kkk

k

L

L

MM

L

L

L

M

L

+

−

−−−−

Δ−

+−

Δ=

2

332

112

2

2

2221

1 (1.44)

donde Δ es el denominador de (1.43). Cada término de (1.44) representa el valor de la corriente i1, si sólo una fuente estuviese presente. Es decir si se hacen ceros todas las fuentes, menos E1, entonces i1 sería igual a sólo el primer término, si sólo la fuente E2 está presente, entonces i1, es el segundo término, y así sucesivamente con cada fuente. La respuesta total en cada parte del circuito será la suma de las contribuciones producida por cada fuente. Con esto se demuestra la validez del teorema de la superposición, método que se usará ampliamente más adelante. La linealidad se demuestra haciendo ver la corriente (la respuesta) es



directamente proporcional al valor de cada fuente (el estímulo). Si duplicamos, por ejemplo E1, entonces, el primer término se duplica, ya que los determinantes numerador y denominador de cada término se mantienen constantes. Enmudecer una fuente significa hacer cero el valor de esa fuente, lo que implica para un generador de tensión poner un corto circuito entre ese par de terminales, hacer cero una fuente de corriente, significa abrir el circuito entre ese par de terminales.


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