UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA · 2021. 7. 26. · problemas en diversos contextos, desarrolla el lenguaje y la madurez de pensamiento que lo prepara al estudio del Cálculo. Desglose

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA Sistema de Educación Media Superior Escuela Preparatoria Regional de Tepatitlán

Av. González Gallo N. 205, C.P. 47600, Tepatitlán de Morelos, Jal. México. Tel: 01 (378) 78 20 965. Fax: 01 (378) 781 02 82

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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA SISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

Planeación didáctica de PRECÁLCULO

1. DATOS GENERALES

Escuela Preparatoria Regional de Tepatitlán Fecha de elaboración 10 de enero de 2020

Departamento Matemáticas Academia Matemática Avanzada

Descripción general del contexto escolar (ambiente externo e interno)

Se cuenta con dos módulos en Tepatitlán y 5 módulos más en poblaciones circundantes. En el módulo Colosio se localizan los grupos correspondientes al BGC, y en el módulo González el BTAP y BGAI. El nivel socioeconómico de los estudiantes es variado, pero predomina uno medio – medio alto. Las edades de los estudiantes varían entre 16 y 23 años. Los estilos de aprendizaje también varían pero predomina el estilo visual y pragmático, en minoría el teórico y kinestésico, por lo menos en el área de matemáticas. A pocos les interesan las ciencias exactas, se orientan más por ciencias sociales o de la salud. Las características particulares de cada grupo de estudiantes se pueden obtener hasta que se está en contacto con ellos, se genera la lista final de asistencia y/o pasan información de orientación educativa.

Unidad de Aprendizaje Curricular Precálculo Grado Quinto Ciclo escolar

2021-B

Perfil de Egreso del Bachillerato General por Competencias (BGC) Competencias Genéricas (y atributos) del Marco Curricular Común (MCC) del Sistema Nacional de Bachillerato (SNB).

Pensamiento lógico matemático Aplica métodos y estrategias de investigación, utilizando los fundamentos del pensamiento científico, para la resolución de problemas de manera innovadora.

Piensa crítica y reflexivamente CG 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. CG 5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. CG 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Competencia(s) específica(s) Competencias Disciplinares básicas y extendidas MCC

PDA-VI



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Modela matemáticamente fenómenos naturales o sociales usando funciones en forma gráfica, analítica y/o numérica para su análisis. Resuelve problemas e interpreta la solución dentro del contexto argumentando los métodos empleados.

CDb y ex-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDb y ex -Mat 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. CDb y ex -Mat 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CDb y ex -Mat 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDb y ex -Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDb y ex -Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Propósito (Objetivo)

El estudiante integra sus conocimientos de álgebra y geometría en el estudio de funciones utilizándolas como herramienta para la solución de problemas en diversos contextos, desarrolla el lenguaje y la madurez de pensamiento que lo prepara al estudio del Cálculo.

Desglose de las Unidades de competencias (módulos). Anotar la totalidad de las Unidades de competencias que integran la UAC y su relación con las Competencias Genéricas (CG), Específicas (CE) y Disciplinares básicas (CDB) y extendidas (CDEx) las cuales se encuentran identificadas en el apartado VIII del programa vigente.

CONTENIDO COMPETENCIAS GENÉRICAS CON SUS ATRIBUTOS; COMPETENCIAS ESPECÍFICAS, DISCIPLINARES BÁSICAS Y EXTENDIDAS (SI LAS HAY)

Introducción a las funciones Funciones y sus gráficas: valor absoluto, lineal, cuadrática, cúbica, constante, parte entera Concepto de función (dominio, rango e imagen) Gráfica de funciones con tecnología Transformaciones gráficas (compresión, elongación, desplazamientos

Específica Modela matemáticamente fenómenos naturales o sociales usando funciones en forma gráfica, analítica y/o numérica para su análisis. Genérica 5.4 y 5.6 Disciplinar básica y extendida



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verticales y horizontales) Propiedades de las funciones: paridad, intersección con los ejes, continuas, discontinuas, crecientes, decrecientes.

1, 5 y 8

Funciones Polinómicas Funciones Polinómicas: Propiedades y raíces Clasificación de polinomios Operaciones con polinomios Productos notables y tipos de factorización Teorema del residuo y teorema del factor División sintética Solución de ecuaciones de grado mayor a dos: Raíces racionales Ecuación reducida ( ley de signos de Descartes) Solución por Factorización de un polinomio Raíces imaginarias Proceso de obtención de todas las raíces racionales. Gráfica de funciones polinómicas con y sin tecnología Operaciones con funciones: suma, producto, cociente, composición e inversa Solución de problemas con funciones polinómicas

Específica Modela matemáticamente fenómenos naturales o sociales usando funciones en forma gráfica, analítica y/o numérica para su análisis. Resuelve problemas e interpreta la solución dentro del contexto argumentando los métodos empleados. Genérica 5, 5.4 y 5.6 Disciplinar básica y extendida 1, 2, 4, 5 y 8

Funciones Racionales Funciones Racionales Operaciones con fracciones algebraicas Gráficas de funciones racionales y asíntotas Gráficas de funciones racionales con y sin tecnología Noción intuitiva de límites Solución de problemas con funciones racionales




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Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas Medidas angulares (radianes, grados) Valores de ángulos notables Bosquejo de funciones trigonométricas Graficación de funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) Identidades trigonométricas Solución de problemas con funciones trigonométricas


2. ENCUADRE

Propósito (Objetivo) El estudiante integra sus conocimientos de álgebra y geometría en el estudio de funciones utilizándolas como herramienta para la solución de problemas en diversos contextos, desarrolla el lenguaje y la madurez de pensamiento que lo prepara al estudio del Cálculo. Rasgos del Perfil del BGC y su correspondencia con las Competencias genéricas y atributos del MCC Pensamiento lógico matemático Aplica métodos y estrategias de investigación, utilizando los fundamentos del pensamiento científico, para la resolución de problemas de manera innovadora. Piensa crítica y reflexivamente CG 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. CG 5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. CG 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. Competencias específicas y su correspondencia con las competencias disciplinares básicas y extendidas del MCC. Modela matemáticamente fenómenos naturales o sociales usando funciones en forma gráfica, analítica y/o numérica para su análisis. Resuelve problemas e interpreta la solución dentro del contexto argumentando los métodos empleados. Disciplinares básicas y extendidas CDb y ex-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDb y ex -Mat 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. CDb y ex -Mat 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.



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CDb y ex -Mat 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDb y ex -Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDb y ex -Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. EN CADA SEMANA DETERMINADA, LA PLANEACIÓN DE CLASSROOM SE SUBIRÁN VIDEOS SESIONES DE CLASE Y SE DEJARÁN ACTIVIDADES PARA IR AVANZANDO EN LOS TEMAS DEL CRONOGRAMA. Contenido temático 1. Introducción a las funciones

1.1 Funciones y sus gráficas: valor absoluto, lineal, cuadrática, cúbica, constante, parte entera 1.2 Concepto de función (dominio, rango e imagen) 1.3 Gráfica de funciones con tecnología 1.4 Transformaciones gráficas (compresión, elongación, desplazamientos verticales y horizontales) 1.5 Propiedades de las funciones: paridad, intersecciones con los ejes, continuas, discontinuas, crecientes, decrecientes. 2. Funciones Polinómicas 2.1 Funciones Polinómicas: Propiedades y raíces 2.2 Clasificación de polinomios 2.3 Operaciones con polinomios 2.4 Productos notables y tipos de factorización 2.5 Teorema del residuo y teorema del factor 2.6 División sintética 2.7 Solución de ecuaciones de grado mayor a dos 2.8 Gráfica de funciones polinómicas con y sin tecnología 2.9 Operaciones con funciones: suma, producto, cociente, composición e inversa 2.10 Solución de problemas con funciones polinómicas 3. Funciones Racionales 3.1 Funciones Racionales 3.2 Gráficas de funciones racionales y asíntotas 3.3 Gráficas de funciones racionales con y sin tecnología 3.4 Noción intuitiva de límites



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3.5 Solución de problemas con funciones racionales 4. Funciones trigonométricas 4.1 Funciones trigonométricas 4.2 Medidas angulares (radianes, grados) 4.3 Valores de ángulos notables 4.4 Bosquejo de funciones trigonométricas 4.5 Identidades trigonométricas 4.6 Solución de problemas con funciones trigonométricas

Productos y ponderación en la evaluación Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo 30%, actividades integradoras al final de cada unidad de competencia 30%, actitudes y valores, autoevaluación y coevaluación 20%, exámenes 20%.

Avance Atributo Productos(s) % Total

1 5.4 y 5.6 Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo(30), actividades integradoras de unidades de competencia 1 y 2 (30)

30 30

2 5.4 y 5.6 Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo(30), actividades integradoras de unidades de competencia 3 y 4(30)

30 30

Auto evaluación 10 10

Coevaluación 10 10

Evaluación escritos(examen transversal, etc) 20 20

Nota. La evaluación está en apego al Reglamento General de Evaluación y Promoción de Alumnos de la Universidad de Guadalajara (RGEPA), Artículos 5, 20 Y 27 (nota este apartado no borrarlo)

3. SECUENCIA DIDÁCTICA

Unidad de competencia No.1 Introducción a la funciones




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Modela matemáticamente fenómenos naturales o sociales usando funciones en forma gráfica, analítica y/o numérica para su análisis.

CDb y ex-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDb y ex -Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDb y ex -Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Propósito de aprendizaje

El estudiante modela matemáticamente situaciones problema mediante funciones en sus diferentes representaciones para la comprensión matemática de su entorno.

Contenidos temáticos

CONTENIDO COMPETENCIAS GENÉRICAS CON SUS ATRIBUTOS; COMPETENCIAS ESPECÍFICAS, DISCIPLINARES BÁSICAS Y EXTENDIDAS (SI LO HAY)

Concepto de función (dominio, rango e imagen) CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Funciones y sus gráficas: valor absoluto, lineal, cuadrática, cúbica, constante, parte entera

CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Gráfica de funciones con tecnología CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Transformaciones gráficas (compresión, elongación, desplazamientos verticales y horizontales)


Propiedades de las funciones: paridad, intersección con los ejes, continuas, discontinuas, crecientes, decrecientes.


Tipos de saberes

Conocimientos (saber). Conceptual Habilidades (saber hacer). Procedimental

Habilidades socioemocionales Actitudes y valores (saber ser). Actitudinal



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Concepto de función (dominio, rango) Gráfica de una función Evaluación de funciones Propiedades de las funciones y de sus gráficas

• Construye el grafico de una función a partir de su expresión algebraica y/o tabla de valores. • Modela y analiza situaciones de un contexto determinado mediante una función • Determina las propiedades de una función a partir de su gráfica, de su expresión algebraica o de una tabla de valores. • Calcula el resultado de sumas, productos, cocientes, composiciones e inversas de funciones. • Identifica el tipo de función que modela determinadas situaciones. • Manipula recursos tecnológicos para analizar las funciones • Interpreta el resultado obtenido matemáticamente en el contexto del problema original.

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas. • Confianza para enfrentarse y buscar estrategias de solución a los problemas matemáticos. • Disposición al trabajo colaborativo. • Responsabilidad, tolerancia y respeto a los demás. • Actitud positiva ante el estudio y la aplicación de la matemática. • Atiende a las aportaciones de otros. • Responsable. • Honestidad. • Tolerante. • Autogestión. • Proactiva. • Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar una situación.

Contenidos Temáticos de la Unidad de Competencia.

No. de sesión 1

1.1 Funciones y sus gráficas: valor absoluto, lineal, cuadrática, cúbica, constante, parte entera Apertura Docente mediante preguntas hace recuperación de conocimientos previos de función y tipos de funciones. Desarrollo Mediante descubrimiento guíado el docente lleva a los alumnos a determinar cada tipo de función y a elaborar su gráfica. Docente propone ejercicios para relacionar la función con su nombre y su gráfica. Estudiantes contestan las páginas correspondientes de su libro de texto.

2 hrs.



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CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8

Con estas actividades se desarrolla en los estudiantes la capacidad de analizar la relación entre dos variables, el seguimiento de instrucciones y la interpretación de tablas y gráficas. Cierre Los estudiantes comparan sus resultados con sus compañeros de al lado, docente monitorea la actividad y verifica resultados en el pizarrón.

No. de sesión 2

1.2 Concepto de función (dominio, rango e imagen Apertura Docente organiza lluvia de ideas para recuperar los conocimientos previos de los estudiantes sobre función. Desarrollo Apoyado de alguna analogía, docente explica a los estudiantes el concepto de función haciendo la relación con lo compartido por ellos en la lluvia de ideas y con investigación previa de los estudiantes se presentan la definición de función, dominio y rango. Reunidos en binas los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos, docente monitorea actividad. Con estas actividades el estudiante resuelve problemas, aprende a seguir instrucciones, analiza las relaciones entre variables e interpreta gráficas. Cierre Los estudiantes presentan en el pizarrón las soluciones obtenidas, el docente las corrige si es necesario.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8

No. de sesión 3

1.3 Gráfica de funciones con tecnología Apertura Se retoman las gráficas realizadas en 1.1 y docente semblantea sobre uso de software graficador a los estudiantes. Desarrollo Estudiantes grafican en algún graficador las funciones previamente realizadas a lápiz y papel. Estudiantes corrigen las gráficas de ser necesario. Después realizan gráficas de las páginas correspondientes de su libro. Con esta actividad los estudiantes desarrollan su capacidad para utilizar la tecnología en ámbitos diferentes a los que comúnmente lo hacen, analizan las relaciones entre variables e interpretan gráficas. Cierre Docente finaliza con las dudas que aún queden a los estudiantes.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8

No. de sesión 4

1.4 Transformaciones gráficas (compresión, elongación, desplazamientos verticales y horizontales) Apertura Estudiantes realizan una búsqueda rápida de cada transformación y anotan en su cuaderno lo obtenido. Desarrollo

1 h

CG 5.4, CG



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5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8

Docente propone una serie de funciones para graficar por los estudiantes en binas, después relacionarán y clasificarán las funciones con algún tipo de transformación. Docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes aprenden a seguir instrucciones reflexivamente, resuelven problemas, argumentan su solución e interpretan gráficas. Cierre Docente institucionaliza los conceptos.

No. de sesión 5

1.5 Propiedades de las funciones: paridad, intersección con los ejes, continuas, discontinuas, crecientes, decrecientes Apertura Se retoman las gráficas anteriores y los conocimientos previos sobre el plano cartesiano. Desarrollo Docente presenta las condiciones para determinar cada una de las propiedades de las funciones y guiando a los estudiantes mediante análisis de la función y la gráfica construyen la interpretación de lo que representan éstas. Estudiantes reunidos en binas trabajan en una serie de ejercicios propuestos por el docente y en las gráficas realizadas previamente en software señalan sus propiedades. Con estas actividades fortalece su capacidad de analizar las relaciones entre variables, de seguir instrucciones de manera reflexiva y de resolver problemas Cierre Los estudiantes comparan sus resultados con otra bina, docente monitorea la actividad y verifica resultados en el pizarrón.

2 hrs.

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8

4. RECURSOS Y MATERIALES (DIDÁCTICOS)

Graficador, diapositivas, celular con graficador instalado, internet, computadora, calculadora, cuaderno de papel cuadriculado, lápiz, instrumentos de coevaluación y autoevaluación. Lovepdf para pegar sus actividades de evidencia (internet), CamScanner, etc. Plataforma google classroom.

5. PRODUCTOS QUE EVIDENCIAN EL LOGRO DE LAS COMPETENCIAS

PRODUCTO ATRIBUTOS DE LA CG, COMPETENCIAS ESPECÌFICAS, DISCIPLINARES

BÀSICAS Y EXTENDIDAS.

Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo, actividades en el cuaderno, actividad integradora al final de la unidad de competencia, examen parcial, autoevaluación y coevaluación

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8



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contestadas.

6. EVALUACIÓN En este apartado se anotará el sistema de evaluación acordado de manera colegiada en la academia. Se podrá tomar como base lo señalado en el programa de estudios.

Diagnóstica Cuestionario con ejercicios y problemas para resolver. Lluvia de ideas. Organizadores gráficos.

Formativa Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo, actividades en el cuaderno, actividad integradora al final de la unidad de competencia, examen parcial, autoevaluación y coevaluación contestadas.

Sumativa Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo 20%, actividades integradoras al final de cada unidad de competencia 20%, actitudes y valores, autoevaluación y coevaluación 20%, exámenes 40%, examen transversal 5% (extra)

7. BIBLIOGRAFÍA PARA EL ALUMNO

Prado, M. (2018). PRECALCULO. México: Editorial Umbral.

8. BIBLIOGRAFÍA PARA EL MAESTRO

Prado, M. (2018). PRECALCULO. México: Editorial Umbral. Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica. 12ª Edición. Cengage Learning: México.

9. ANEXOS

Listas de cotejo en todos los contenidos de la unidad de competencia.

Unidad de competencia No.2 Funciones Polinómicas



CDb y ex-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDb y ex -Mat 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el



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lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDb y ex -Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDb y ex -Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


El estudiante modela matemáticamente situaciones problema mediante funciones polinómicas en sus diferentes representaciones para la solución de problemas en diversos contextos.



Funciones Polinómicas: Propiedades y raíces CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Clasificación de polinomios CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Operaciones con polinomios CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Productos notables y tipos de factorización CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Teorema del residuo y teorema del factor CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

División sintética CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Solución de ecuaciones de grado mayor a dos CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Gráfica de funciones polinómicas con y sin tecnología CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Operaciones con funciones: suma, producto, cociente, composición e inversa

CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Solución de problemas con funciones polinómicas CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Tipos de saberes



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Concepto de función (dominio, rango) Gráfica de una función Evaluación de funciones Operaciones aritméticas (suma, producto y sus recíprocos) y funcionales (composición e inversa) Propiedades: raíces o ceros de la función.

• Construye el grafico de una función a partir de su expresión algebraica y/o tabla de valores. • Modela y analiza situaciones de un contexto determinado mediante una función • Determina las propiedades de una función a partir de su gráfica, de su expresión algebraica o de una tabla de valores. • Calcula el resultado de sumas, productos, cocientes, composiciones e inversas de funciones. • Identifica el tipo de función que modela determinadas situaciones. • Manipula recursos tecnológicos para analizar las funciones • Interpreta el resultado obtenido matemáticamente en el contexto del problema original.

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas. • Confianza para enfrentarse y buscar estrategias de solución a los problemas matemáticos. • Disposición al trabajo colaborativo. • Responsabilidad, tolerancia y respeto a los demás. • Actitud positiva ante el estudio y la aplicación de la matemática. • Atiende a las aportaciones de otros. • Responsable. • Honestidad. • Tolerante. • Autogestión. • Proactiva. • Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar una situación.


No. de sesión 1

2.1 Funciones Polinómicas: Propiedades y raíces Apertura Mediante lluvia de ideas se recuperan los conocimientos previos de los estudiantes sobre función, tipos y grado. Desarrollo Docente guía a los estudiantes para la elaboración de un diagrama en el que plasmen todas las relaciones de las propiedades y raíces de las funciones Estudiantes contestan las páginas correspondientes de su libro de texto en equipos.

1 h



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CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

Con estas actividades los alumnos siguen instrucciones de manera reflexiva y resuelven problemas desde diferentes enfoques. Cierre Los estudiantes comparan sus resultados con otro equipo, presentan sus resultados en el pizarrón y el docente verifica resultados

No. de sesión 2

2.2 Clasificación de polinomios Apertura Estudiantes contestan actividad de inicio y se revisan las respuestas en plenaria. Desarrollo Docente con apoyo de un organizador gráfico, presenta la clasificación de los polinomios, mediante lluvia de ideas se completan las características y ejemplos de éstos. Reunidos en binas los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes fortalecen su capacidad de análisis de relaciones y de seguimiento de instrucciones de manera reflexiva. Cierre Alumnos presentan resultados en el pizarrón, docente verifica resultados.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 3

2.3 Operaciones con polinomios Apertura Docente recupera conocimientos previos sobre términos semejantes, reglas de los signos, leyes de los exponentes y algoritmos de la multiplicación y división comunes, de los estudiantes. Desarrollo Docente guía a los alumnos para que recuerden el proceso de la suma y resta de polinomios, así como para construir el algoritmo algebraico para la división y la multiplicación de polinomios aplicando las leyes de los exponentes. En binas resuelven los ejercicios correspondientes del libro. Con estas actividades los alumnos siguen instrucciones de manera reflexiva y resuelven problemas desde diferentes enfoques. Cierre Docente finaliza con las dudas que aún queden a los estudiantes.

2 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 4

2.4 Productos notables y tipos de factorización Apertura Estudiantes realizan una búsqueda rápida de cada producto notable y tipo de factorización, anotan en su cuaderno lo obtenido. Desarrollo Docente propone una serie de polinomios para que los estudiantes, reunidos en binas relacionen el polinomio con el tipo de factorización, así mismo identifiquen cada producto notable. Docente monitorea actividad, una vez correcta la relación, los

5 hrs.

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8



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estudiantes inician el desarrollo de productos y la factorización de polinomios apoyados por el docente. Con estas actividades los alumnos siguen instrucciones de manera reflexiva y resuelven problemas desde diferentes enfoques. Cierre Los estudiantes comparan sus resultados con otra bina, docente verifica resultados en el pizarrón y resuelve dudas si es necesario.

No. de sesión 5

2.5 Teorema del residuo y teorema del factor Apertura Se retoman partes de la división, se enfatiza en el residuo y lo que sucede cuando el residuo es cero. Desarrollo Docente presenta los teoremas y relaciona, mediante preguntas, el residuo y el concepto de factor con estos. Estudiantes trabajan en una serie de ejercicios propuestos por el docente. Con estas actividades los alumnos siguen instrucciones de manera reflexiva y resuelven problemas desde diferentes enfoques. Cierre En plenaria se dan las respuestas a los ejercicios propuestos.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 6

2.6 División sintética Apertura Se retoman partes de la división, se enfatiza en el residuo y el cociente. Desarrollo Docente presenta proceso de la división sintética. Estudiantes trabajan en una serie de ejercicios propuestos por el docente. Con estas actividades los alumnos siguen instrucciones de manera reflexiva y resuelven problemas desde diferentes enfoques. Cierre En plenaria se dan las respuestas a los ejercicios propuestos.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 7

2.7 Solución de ecuaciones de grado mayor a dos Apertura Mediante lluvia de ideas se recuperan los métodos conocidos por los estudiantes Desarrollo Por equipos de trabajo los estudiantes presentan los métodos de solución de ecuaciones de grado superior a dos. Estudiantes trabajan en una serie de ejercicios propuestos por el docente. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para resolver problemas de forma innovadora, siguen procedimientos de manera reflexiva, explican, interpretan y argumentan resultados, analizan las relaciones entre variables e interpretan gráficas utilizando las TIC y aplicando modelos para probar su validez.

4 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8



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Cierre En plenaria se dan las respuestas a los ejercicios propuestos.

No. de sesión 8

2.8 Gráfica de funciones polinómicas con y sin tecnología Apertura Mediante organizador gráfico se recuperan los procedimientos para elaborar gráficas con y sin tecnología. Desarrollo Docente propone una serie de funciones para que las grafiquen sin tecnología y con algún graficador, que servirá de comprobación de la gráfica realizada a mano. Docente apoya a los estudiantes resolviendo sus dudas. Estudiantes trabajan en una serie de ejercicios propuestos por el docente. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para resolver problemas de forma innovadora, siguen procedimientos de manera reflexiva, explican, interpretan y argumentan resultados, analizan las relaciones entre variables e interpretan gráficas utilizando las TIC y aplicando modelos para probar su validez. Cierre Los estudiantes comparan su gráfica con la de sus compañeros de al lado, el docente verifica lo obtenido.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 9

2.9 Operaciones con funciones: suma, producto, cociente, composición e inversa Apertura Mediante organizador gráfico se recuperan los procedimientos para operar polinomios. Desarrollo Docente presenta métodos para éstas operaciones y se relaciona con lo que ya conocían. Los estudiantes resuelven en su cuaderno y en equipo ejercicios propuestos por el docente y de su libro. Docente apoya a los estudiantes resolviendo sus dudas. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para resolver problemas de forma innovadora, siguen procedimientos de manera reflexiva, explican, interpretan y argumentan resultados, analizan las relaciones entre variables e interpretan gráficas utilizando las TIC y aplicando modelos para probar su validez. Cierre Se verifican resultados e institucionalizan procesos.

2 hrs

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 10

2.10 Solución de problemas con funciones polinómicas Apertura Docente presenta problema detonador. Desarrollo

1 h

CG 5.4, CG



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5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

Los estudiantes resuelven en su cuaderno y en equipo, docente apoya a los estudiantes resolviendo sus dudas. Se presenta solución en el pizarrón y estudiantes resuelven en equipo los problemas de su libro, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para resolver problemas de forma innovadora, siguen procedimientos de manera reflexiva, explican, interpretan y argumentan resultados, analizan las relaciones entre variables e interpretan gráficas utilizando las TIC y aplicando modelos para probar su validez. Cierre Se presentan en plenaria las soluciones, corrigen si es necesario.


Graficador, diapositivas, celular con graficador instalado, internet, computadora, calculadora, cuaderno de papel cuadriculado, lápiz, instrumentos de coevaluación y autoevaluación. Lovepdf para pegar sus actividades de evidencia(internet), CamScanner. Plataforma google classroom.




Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo, actividades en el cuaderno, actividad integradora al final de la unidad de competencia, examen parcial, autoevaluación y coevaluación contestadas.

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8




Sumativa Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo 20%, actividades integradoras al final de cada unidad de competencia 20%, actitudes y valores, autoevaluación y coevaluación 20%, exámenes 40%, examen transversal 5%



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(extra)





9. ANEXOS


Unidad de competencia No.3 Funciones Racionales



CDb y ex-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDb y ex -Mat 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDb y ex -Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDb y ex -Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


El estudiante modela matemáticamente situaciones problema mediante funciones racionales en sus diferentes representaciones para la solución de problemas en diversos contextos.



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Funciones Racionales CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Gráficas de funciones racionales y asíntotas CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Gráficas de funciones racionales con y sin tecnología CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Noción intuitiva de límites CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Solución de problemas con funciones racionales CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Tipos de saberes



Funciones Racionales Operaciones con fracciones comunes y algebraicas Asíntotas, periodicidad, continuidad y modificación de sus gráficas.

• Construye el grafico de una función a partir de su expresión algebraica y/o tabla de valores. • Modela y analiza situaciones de un contexto determinado mediante una función • Determina las propiedades de una función a partir de su gráfica, de su expresión algebraica o de una tabla de valores. • Calcula el resultado de sumas, productos, cocientes, composiciones e inversas de funciones. • Identifica el tipo de función que modela determinadas situaciones. • Manipula recursos tecnológicos

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas. • Confianza para enfrentarse y buscar estrategias de solución a los problemas matemáticos. • Disposición al trabajo colaborativo. • Responsabilidad, tolerancia y respeto a los demás. • Actitud positiva ante el estudio y la aplicación de la matemática. • Atiende a las aportaciones de otros. • Responsable. • Honestidad. • Tolerante. • Autogestión. • Proactiva.



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para analizar las funciones • Interpreta el resultado obtenido matemáticamente en el contexto del problema original.

• Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar una situación.


No. de sesión 1

3.1 Funciones racionales Apertura Docente mediante preguntas hace recuperación de conocimientos previos fracciones y fracciones algebraicas. Desarrollo Mediante descubrimiento guíado el docente presenta a los alumnos el concepto de las funciones racionales, la relación con las fracciones. Así mismo, ayuda a los estudiantes a relacionar las operaciones de fracciones comunes con las algebraicas. Estudiantes contestan las páginas correspondientes de su libro de texto. Docente monitorea actividad. Con estas actividades se desarrolla en los estudiantes la capacidad de analizar la relación entre dos variables, el seguimiento de instrucciones y la interpretación de tablas y gráficas. Cierre Comparan sus resultados con sus compañeros de al lado, docente verifica sus resultados.

6 hrs.

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 2

3.2 Gráficas de funciones racionales y asíntotas Apertura Docente organiza lluvia de ideas para recuperar los conocimientos previos de los estudiantes sobre función racional y asíntotas. Desarrollo Estudiantes grafican en algún programa tres funciones racionales proporcionadas por el docente, a las cuales les dibujarán las asíntotas que alcancen a distinguir. Docente solicita a los estudiantes determinar la ecuación de las asíntotas. Docente presenta teoremas para la determinación de las asíntotas y algunos ejemplos. Reunidos en binas los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para procesar e interpretar información utilizando las TIC, para seguir instrucciones y procedimientos reflexivamente, de analizar relaciones entre variables e interpretar gráficas para resolver problemas desde diferentes enfoques. Cierre Los estudiantes comparan sus resultados con otra bina.

3 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8



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No. de sesión 3

3.3 Gráficas de funciones racionales con y sin tecnología Apertura Se retoman las gráficas realizadas en 3.2 y docente semblantea sobre uso de software graficador a los estudiantes. Desarrollo Estudiantes grafican en algún graficador las funciones previamente realizadas a lápiz y papel. Estudiantes comprueban los resultados obtenidos en las actividades anteriores Después realizan gráficas de las páginas correspondientes de su libro reunidos en equipo. Docente resuelve las dudas de los estudiantes por equipo, de ser necesario, lo hace de forma grupal. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para procesar e interpretar información utilizando las TIC, para seguir instrucciones y procedimientos reflexivamente, de analizar relaciones entre variables e interpretar gráficas para resolver problemas desde diferentes enfoques. Cierre Estudiantes presentan sus resultados en el pizarrón.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 4

3.4 Noción intuitiva de límites Apertura Docente recupera las gráficas obtenidas en 3.2 y 3.3, mediante lluvia de ideas recupera conocimientos previos sobre concepto de límite. Desarrollo Estudiantes realizan la tabulación de 3 funciones racionales de las ya graficadas con tecnología, los valores de la tabla serán cercanos al valor en los que la función tiene las asíntotas. Docente mediante descubrimiento guíado lleva a los alumnos a relacionar el concepto de límite con el concepto de asíntota y lo que sucede con dicho valor en la función. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para procesar e interpretar información utilizando las TIC, para seguir instrucciones y procedimientos reflexivamente, de analizar relaciones entre variables e interpretar gráficas para resolver problemas desde diferentes enfoques. Cierre Docente institucionaliza los conceptos.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 5

3.5 Solución de problemas con funciones racionales Apertura Docente presenta problema detonador. Desarrollo

1 hrs.

CG 5.4, CG



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5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

Los estudiantes resuelven en su cuaderno y en equipo, docente apoya a los estudiantes resolviendo sus dudas. Se presenta solución en el pizarrón y estudiantes resuelven en equipo los problemas de su libro, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para resolver problemas de forma innovadora, siguen procedimientos de manera reflexiva, explican, interpretan y argumentan resultados, analizan las relaciones entre variables e interpretan gráficas utilizando las TIC y aplicando modelos para probar su validez. Cierre Se presentan en plenaria las soluciones, corrigen si es necesario.


Graficador, diapositivas, celular con graficador instalado, internet, computadora, calculadora, cuaderno de papel cuadriculado, lápiz, instrumentos de coevaluación y autoevaluación. Lovepdf para pegar sus actividades de evidencia (internet),CamScanner. Plataforma google classroom.





CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8




Sumativa Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo 20%, actividades integradoras al final de cada unidad de competencia 20%, actitudes y valores, autoevaluación y coevaluación 20%, exámenes 40%, examen transversal 5%



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(extra)





9. ANEXOS


Unidad de competencia No.4 Funciones Trigonométricas



CDb y ex-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. CDb y ex -Mat 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. CDb y ex -Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. CDb y ex -Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


El estudiante modela matemáticamente situaciones problema mediante funciones trigonométricas en sus diferentes representaciones para la solución de problemas en diversos contextos.



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Funciones trigonométricas CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Medidas angulares (radianes, grados) CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Valores de ángulos notables CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Bosquejo de funciones trigonométricas CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Identidades trigonométricas CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Solución de problemas con funciones trigonométricas CG5.4, CG5.6, CDb y ex. 1, CDb y ex. 4, CDb y ex. 5 y CDb y ex. 8

Tipos de saberes


Habilidades socioemocionales Funciones trigonométricas Actitudes y valores (saber ser). Actitudinal

Concepto de función trigonométrica Gráficas de funciones trigonométricas Medidas angulares, período y amplitud Identidades trigonométricas

• Construye el grafico de una función a partir de su expresión algebraica y/o tabla de valores. • Modela y analiza situaciones de un contexto determinado mediante una función • Determina las propiedades de una función a partir de su gráfica, de su expresión algebraica o de una tabla de valores. • Calcula el resultado de sumas, productos, cocientes, composiciones e inversas de funciones. • Identifica el tipo de función que

• Perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas. • Confianza para enfrentarse y buscar estrategias de solución a los problemas matemáticos. • Disposición al trabajo colaborativo. • Responsabilidad, tolerancia y respeto a los demás. • Actitud positiva ante el estudio y la aplicación de la matemática. • Atiende a las aportaciones de otros. • Responsable. • Honestidad. • Tolerante.



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modela determinadas situaciones. • Manipula recursos tecnológicos para analizar las funciones • Interpreta el resultado obtenido matemáticamente en el contexto del problema original.

• Autogestión. • Proactiva. • Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar una situación.


No. de sesión 1

4.1 Funciones trigonométricas Apertura Docente mediante preguntas hace recuperación de conocimientos previos de las razones trigonométricas. Desarrollo Estudiantes realizan búsqueda de las propiedades de las funciones trigonométricas y como lluvia de ideas se completa un organizador gráfico de las mismas. Reunidos en equipos resuelven los triángulos rectángulos en las páginas correspondientes de su libro. Con estas actividades se desarrolla en los estudiantes la capacidad de analizar la relación entre dos variables, el seguimiento reflexivo de instrucciones. Cierre En plenaria los estudiantes presentan sus resultados, docente verifica.

1 hrs.

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 2

4.2 Medidas angulares (radianes, grados) Apertura Docente propicia una lluvia de ideas para recuperar conocimientos previos de los estudiantes respecto a las medidas angulares. Desarrollo Docente guía a los estudiantes para obtener la relación entre las medidas angulares auxiliándose de la circunferencia y la calculadora. Reunidos en binas los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para procesar e interpretar información utilizando las TIC, para seguir instrucciones y procedimientos reflexivamente, de analizar relaciones entre variables e interpretar gráficas para resolver problemas desde diferentes enfoques. Cierre Los estudiantes comparan sus resultados con otra bina.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de 4.3 Valores de ángulos notables



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sesión 3 Apertura Se recuperan conocimientos de la sesión anterior. Desarrollo Docente guía a los estudiantes para obtener los valores de los ángulos notables auxiliándose de las razones trigonométricas, la calculadora y las medidas angulares. Reunidos en binas los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para procesar e interpretar información utilizando las TIC, para seguir instrucciones y procedimientos reflexivamente, de analizar relaciones entre variables e interpretar gráficas para resolver problemas desde diferentes enfoques. Cierre Los estudiantes comparan sus resultados con otra bina.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 4

4.4 Bosquejo de funciones trigonométricas Apertura Mediante lluvia de ideas se recuperan los valores de ángulos notables. Desarrollo Con las medidas de los ángulos notables, el docente orienta a los estudiantes en el bosquejo de una función trigonométrica y ellos grafican las restantes, primero a lápiz y papel y, luego en algún graficador. Reunidos en binas los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para procesar e interpretar información utilizando las TIC, para seguir instrucciones y procedimientos reflexivamente, de analizar relaciones entre variables e interpretar gráficas para resolver problemas desde diferentes enfoques. Cierre Docente institucionaliza los conceptos.

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8

No. de sesión 5

4.5 Identidades trigonométricas Apertura Mediante lluvia de ideas docente recupera conocimientos previos sobre identidades en su concepto general. Desarrollo Basado en lo anterior docente presenta concepto de identidad trigonométrica, los estudiantes realizan una búsqueda rápida y comparten las identidades trigonométricas encontradas. Docente muestra para qué son útiles éstas resolviendo un ejemplo. Reunidos en binas los estudiantes resuelven los ejercicios propuestos, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes aportan a su capacidad de analizar relaciones entre variables y para argumentar su solución a

1 h

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8



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problemas. Cierre Por equipos presentan la solución a uno de los ejercicios, se coteja con los demás y docente verifica el resultado.

No. de sesión 6

4.6 Solución de problemas con funciones trigonométricas Apertura Docente presenta problema detonador. Desarrollo Los estudiantes resuelven en su cuaderno y en equipo, docente apoya a los estudiantes resolviendo sus dudas. Se presenta solución en el pizarrón y estudiantes resuelven en equipo los problemas de su libro, docente monitorea actividad. Con estas actividades los estudiantes desarrollan su capacidad para resolver problemas de forma innovadora, siguen procedimientos de manera reflexiva, explican, interpretan y argumentan resultados, analizan las relaciones entre variables e interpretan gráficas utilizando las TIC y aplicando modelos para probar su validez. Cierre Se presentan en plenaria las soluciones, corrigen si es necesario.

1 hrs.

CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 4, 5 y 8


Graficador, diapositivas, celular con graficador instalado, internet, computadora, calculadora, cuaderno de papel cuadriculado, lápiz, instrumentos de coevaluación y autoevaluación.





CG 5.4, CG 5.6, CDb y ex. 1, 5 y 8




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Sumativa Actividades de inicio, desarrollo y cierre del libro de trabajo 20%, actividades integradoras al final de cada unidad de competencia 20%, actitudes y valores, autoevaluación y coevaluación 20%, exámenes 40%, examen transversal 5% (extra)





9. ANEXOS


ATENTAMENTE “PIENSA Y TRABAJA”

Tepatitlán de Morelos, Jalisco, 10 de Agosto de 2021

César Eduardo Aceves Aldrete Martín Prado Guevara



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Marisol Ramírez Castellanos Magdalena López Cantero

Rocío Muñoz Yñiguez Juan Pérez Mata

José Antonio Gómez Delgadillo



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Vo. Bo.

Mtro. César Eduardo Aceves Aldrete Ing. Martín Prado Guevara

Jefe de departamento Responsable de academia

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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA · 2021. 7. 26. · problemas en diversos contextos, desarrolla el lenguaje y la madurez de pensamiento que lo prepara al estudio del Cálculo. Desglose