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UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL
ESTUDIO DE GEOMETRIA FRACTAL EN ROCA FRACTURADA Y SERIES DE TIEMPO
MEMORIA PARA OPTAR AL TITULO DE INGENIERO CIVIL
HUMBERTO EDUARDO GUTIERREZ MORALES
PROFESOR GUIA:
LEONEL ARTURO BARRA ORTEGA MIEMBROS DE LA COMISIÓN:
CARLOS ALBERTO ESPINOZA CONTRERAS JAMES PETER MCPHEE TORRES
SANTIAGO DE CHILE 2008
RESUMEN DE LA MEMORIA PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL
POR: HUMBERTO GUTIÉRREZ MORALES FECHA: 19/01/2009
PROF. GUÍA: SR. LEONEL BARRA
“Estudio de Geometría Fractal en Roca Fracturada y Series de Tiempo”
El pronóstico de registros de series hidrológicas, y el mapeo de zonas de fractura son de gran importancia para el balance y modelamiento de cuencas, en las cuales se utiliza una serie de modelos matemáticos que requieren de ciertas condiciones como son los famosos modelos ARIMA, o la idealización del sistema fracturado como medio poroso. El siguiente trabajo se enfoca en métodos no convencionales, específicamente en el uso de herramientas fractales, para la simulación de registros hidrológicos y generación de fracturas sintéticos. Para lograr los objetivos planteados, han sido consideradas 5 estaciones con distintos rangos de registros de diversas variables hidrológicas (caudales, precipitaciones y niveles estáticos) localizados en la cuenca del Río Salado en la región de Antofagasta. Se ha calculado el valor del exponente de Hurst, para determinar si poseen una estructura fractal (0.5 < H< 1), para luego confrontar los dos modelos, que de algún modo utilizan como parámetro la propiedad fractal para su modelamiento. El primero de ellos, el ruido Gaussiano Fraccionario, genera sintéticamente la correlación a largo plazo de la estadística, utilizando como input el exponente de Hurst, para luego simular la serie. El segundo modelo, ARFIMA, consiste en una extensión del clásico modelo ARIMA, que busca "estacionarizar" la serie en base a diferencias de los datos anteriores, hasta lograr que los primeros momentos permanezcan relativamente constantes. Éste utiliza un retardo fraccionario basado en el exponente de Hurst, para luego simular la serie con un número de parámetros que sea parsimonioso. Para roca fracturada, se ha escrito un pequeño código en Matlab, que permite calcular la dimensión fractal del sistema, y generar las fracturas a partir de un objeto inicial, utilizando el sistema de funciones iteradas (IFS), las cuales se demuestra siguen una ley de potencia con dimensión fraccionaria. Este fractal sintético se puede incorporar a una base de datos de fracturas, de distintas dimensiones fractales y diferentes distribuciones, para ser luego ingresado a algún software de simulación hidrogeológica, que permita modelar flujo en medio fracturado, como por ejemplo Feflow, a través de un archivo CAD. Las simulaciones realizadas con los dos modelos, muestran resultados muy distintos según el valor del exponente de Hurst; para valores bajos dentro del espectro fractal, las series poseen un buen ajuste, pero para valores altos de ese exponente, las series simuladas se alejan de los valores observados, aunque sus primeros momentos aún son cercanos. En el caso de la generación sintética de fracturas, éstas muestran ser fractales a través del método del conteo de cajas, pero se requiere de una metodología más idónea para generar los fractales a través de IFS.
AGRADECIMIENTOS Quisiera agradecer en mi primer lugar, al profesor Leonel Barra por haberme dado su
apoyo y guía durante el desarrollo de esta memoria de titulo. La que resulto en muchos
momentos agotadora debido a la cantidad de información recolectada, y los bruscos
cambios que se le tuvieron que realizar en el camino.
A mis padres, por su constante preocupación, que nunca olvidemos que los lazos y el
cariño nunca desaparecen, y que los momentos difíciles de la vida se superan unidos.
Estoy seguro que en un futuro cercano nos reuniremos todos y nos reiremos de los
momentos amargos.
A mi hermano Ricardo, por estar siempre a mi lado y que tenga fuerzas, estoy seguro
que le ira bien en sus estudios.
No puedo dejar de nombrar a personas, a las que les consulte por este trabajo. Uno de
ellos es Anthony Brockwell que de manera desinteresada me respondió prontamente las
dudas, y al profesor Iturbe por responderme los mails acerca del tema de la memoria.
A mis amigos, Hernan Rivas, Franco Morales, Raul Rojas, Jaime Guarda, Pablo Pérez
con los cuales compartimos tantas clases y pichangas durante la Universidad. A mis
amigos hidráulicos Francisco Martínez y Hernán Castro ya recibidos de la carrera. Un
saludo a todos ustedes quienes hicieron mas grato y entretenido mi paso por la
Universidad.
1
Índice
Capitulo 1-Introducción.................................................................................. 3
1.1. Motivación ...................................................................................................... 3
1.1. Historia de los fractales................................................................................. 6
1.2. Definición de fractal ...................................................................................... 7
1.3. Autosimilar, autoafín y estadísticamente autosimilar ............................... 8
1.4. Dimensión fractal ........................................................................................... 9
1.5. Tipo de Fractales .......................................................................................... 11
1.6. Método de conteo de cajas (Box-counting) .......................................... 12
1.7. Objetivos de la Memoria ............................................................................ 13
1.8. Estructura de la Memoria............................................................................ 14
Capitulo 2- Base Conceptual ....................................................................... 15
2.1-Generalidades.................................................................................................... 16
2.2-Acuíferos en Roca Fracturada......................................................................... 17
2.2.1 Definición e importancia ...................................................................... 19
2.2.2 Características roca fracturada.......................................................... 20
2.2.4 Modelación: concepto de placas Paralelas..................................... 22
2.2.5 Desarrollo de modelos conceptuales y matemáticos de medios fracturados ............................................................................................................ 24
2.2.6 Modelos típicos ...................................................................................... 25
2.2.7 Uso de Fractales ..................................................................................... 29
2.3-Sistema de funciones iteradas ......................................................................... 34
2.3.2 Contractivo y Transformación Afín...................................................... 34
2.3.3 Definición ................................................................................................ 35
2.3.4 Tipos de transformaciones afines......................................................... 37
2.4-Análisis de series hidrológicas........................................................................... 40
2.4.1 Modelos estocásticos ............................................................................ 40
2.4.2 El fenómeno de Hurst ............................................................................ 41
2.4.3 Calculo del Análisis de re escalado.................................................... 42
2.4.4 Aleatoriedad y persistencia: Interpretación del exponente de Hurst 44
2.4.5 Relación del exponente de Hurst con Dimensión fractal ................ 45
2.5-Modelos de Memoria Larga............................................................................. 46
2
2.5.1 Ruido Gaussiano Fraccionario ................................................................... 47
2.5.2 ARFIMA........................................................................................................... 50
2.5.3 Análisis Multifractal Wavelet ....................................................................... 53
Capitulo 3- Modelación con uso de fractales............................................ 58
3.1 Generalidades.............................................................................................. 58
3.2 Antecedentes generales ............................................................................ 58
3.3 Estaciones estudiadas ................................................................................. 62
3.4 Registros disponibles .................................................................................... 63
3.5 Exponente de Hurst...................................................................................... 66
3.6 Modelación .................................................................................................. 70
3.7 Análisis Multifractal Wavelet ....................................................................... 80
3.8 Sistemas de funciones iteradas.................................................................. 84
Conclusiones.................................................................................................. 94
Bibliografía...................................................................................................... 98
ANEXO 1: Simulación ARFIMA(p, d, q) ...................................................... 103
Parámetro AIC ........................................................................................................ 119
ANEXO 2: Código Matlab ........................................................................... 120
3
Capitulo 1-Introducción
1.1. Motivación
A comienzos del siglo XX, los matemáticos se dieron cuenta que no es posible
una compresión correcta de lo irregular y los fragmentado a través de la
geometría Euclidiana; la naturaleza no sólo presentaba un grado mayor de
complejidad, sino que se encontraba en un nivel completamente diferente.
Los primeros que comenzaron a demostrar teóricamente esta problemática
fueron Cantor (con su famoso y casi místico conjunto de Cantor) y Peano,
hasta llegar a los años de 1880 con Poincaré, al que se lo conoce como el
padre de la Teoría del Caos.
Los matemáticos creadores de esta “galería de monstruos”, según Henri
Poincare, les concedían importancia por cuanto mostraban que el mundo de
la matemática pura poseía una riqueza de posibilidades que va mucho más
allá de las estructuras sencillas. Con la ayuda de estos trabajos, se concibió y
desarrolló una nueva geometría de la naturaleza, la cual permitía la
descripción de muchos fenómenos naturales, en palabras de Mandelbrot
(1984) "las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son
círculos, como la corteza de un árbol no es plana ni un rayo viaja en línea
recta... La naturaleza no solamente exhibe un grado mayor sino también un
nivel diferente de complejidad”.
Por lo tanto, el concepto clave dentro de los fractales nos dice que la
naturaleza de por si no tiene formas regulares; su análisis correcto está
condicionado a representar de la manera más fiable estas irregularidades.
Como se verá a lo largo de esta memoria, los fractales poseen la particular
propiedad de tener la misma, o estadísticamente la misma forma a toda
escala. Esto nos lleva a preguntarnos si habrá sistemas en la naturaleza que se
comporten o se rigen bajo una ley fractal, en nuestro caso en particular, series
de tiempo y acuíferos en roca fracturada. Si hipotéticamente la respuesta
fuera positiva, nos encontraríamos ante una nueva y fantástica metodología
que implicaría que si obtuviéramos cierta información a una escala reducida
4
(metros, horas, días) sería posible extenderla a la escala que nosotros
deseáramos.
Si los acuíferos de roca fracturada, tuvieran la propiedad de autosimilaridad,
podríamos representar la geometría completa de una zona vasta sin la
necesidad de recurrir a métodos limitados tanto por la metodología como por
los requerimientos computacionales así como la idealización excesiva del
sistema en estudio. Con el mapeo de una pequeña zona tendríamos la
información suficiente, no requeriríamos de la extrapolación de los datos Las
características de un medio fracturado como es su densidad, longitud,
distribución estarían determinadas con exactitud, con lo que podríamos
derivar las propiedades hidráulicas del medio.
Si pensamos ahora en series de tiempo, una de las más importantes
aplicaciones en su análisis es la predicción (o pronóstico). Esta tarea ha sido
desarrollada por una gran cantidad de años asumiendo que la dinámica
intrínseca del proceso es gobernada por modelos lineales (ver Figura 1), los
nuevos métodos rompen esta restricción añadiendo ecuaciones no lineales a
la modelación de los sistemas. Si el sistema está gobernado por ecuaciones no
lineales, como la ecuación logística de la figura 2, entra en juego el concepto
de sensibilidad a las condiciones iniciales lo que implica que no es posible en
muchos sistemas hacer predicciones a largo plazo. Dentro de los modelos no
lineales se encuentran los fractales que serian capaces de modelar tales
sistemas.
5
Modelo Lineal
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Tiempo
Varia
ble
Figura 1: Modelo Lineal ARMA, sin variaciones ante pequeñas perturbaciones
de las condiciones iníciales
Aplicacion Logistica
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo
Vari
able Xo=0,001
Xo=0,00101Xo=0,00099Xo=0,00102
Figura 2: Modelo no Lineal, Ecuación Logística
Si la serie de tiempo fuera fractal, no se requeriría una cantidad considerable
de años para poseer la información adecuada para el posterior
modelamiento de la zona. El cambio de escala permitiría que esos años de
mediciones se transformara en simples mediciones en días, semanas o meses,
no requeriríamos el relleno de los datos restantes a través de métodos
estadísticos, comparación de ciertas características hidrogeológicas de otras
cuencas para el posterior relleno o de estaciones vecinas, tampoco en el
diseño usaríamos para la modelación datos de los últimos años, ya que es
claro que nunca se repetirá con exactitud el mismo comportamiento,
tendríamos datos precisos tan valiosos en el campo de la hidrología.
Esta invarianza de la escala, temporal o geométrica, es la razón fundamental
que hacen a los fractales tan atractivos en áreas tan distintas de la ciencia,
6
que requieren del modelamiento matemático como la meteorología,
medicina, economía, sistemas informáticos e ingeniería.
1.1. Historia de los fractales
No fue hasta el año 1958 en Yorktown Heights, Nueva York, donde Benoit
Mandelbrot ingreso a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis
del ruido y perturbaciones eléctricas. Mientras realizaba dichos estudios
encontró un patrón en su comportamiento y comenzó a descifrar en ellos una
estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuaciones en todas las
escalas. Estas fluctuaciones no podían ser descritas por la matemática
estadística estándar. Mientras seguía adelante con sus tareas empezó ha
imaginar en qué otros sistemas podrían encontrarse patrones similares que no
pudieran ser descritos con exactitud por la matemática existente y que se
comportaran de igual manera.
Esto llevo a Mandelbrot a la publicación de un artículo titulado “Cuán larga es
la costa de Gran Bretaña” (“How long is the coast of Britain?”), publicado en la
revista Science en 1967. En dicho artículo, utilizó la costa británica como
ejemplo para ilustrar que ésta no tenia una longitud determinable. Si deseamos
conocer la longitud de una línea costera cualquiera, una solución simple es
tomar un mapa, llevando un hilo a lo largo de la costa, y deduciendo el
resultado a partir de la escala impresa al pie del mapa. Pero una pequeña
reflexión nos revela que el mapa tiende a simplificar u omitir los detalles por lo
que nuestro resultado no es exacto.
La respuesta entonces está en obtener un mapa más detallado. En este caso,
el hilo se curvará y torcerá alrededor de más detalles. Pero esto significa que la
longitud de la línea costera será mayor, pero podríamos no parar aquí y
obtener mayor precisión si medimos cada 100 metros a lo largo de la costa
con lo que obtendríamos una mayor longitud, lo que deriva a la
desconcertante conclusión de que la verdadera longitud de la línea costera
debe ser infinita.
7
De qué dependerán nuestras mediciones, entonces? Justamente de la escala
que utilicemos para medirlas, y no es para nada una casualidad que estas
deducciones se desprendan de los mismos patrones que encontró Mandelbrot
en sus estudios sobre flujo electrónico, es decir,”jerarquías de fluctuaciones en
todas las escalas”. Esas escalas como Mandelbrot reconoció poseían un
patrón, y ese patrón los relacionaba diciendo que si bien no eran iguales a
diferentes escalas, si lo eran de manera estadísticamente similar.
1.2. Definición de fractal
Probablemente uno de los aspectos más complicados es dar una definición
precisa de que es un fractal. Si vamos al libro “La geometría fractal de la
naturaleza” de Mandelbrot, este nos dice que acuñó el termino fractal a partir
del adjetivo latino fractus. El verbo correspondiente es frangere que significa
“romper en pedazos”. Por lo tanto, además de “fragmentado”, la palabra
fractus significa irregular, lo cual converge en el termino fragmento. Esta
primera definición no parece muy clara ni precisa.
Hacia 1977, el matemático se vio forzado a dar una definición formal que
permitiera distinguir con más claridad una entidad fractal. Para hacerlo
recurrió al antiguo concepto de dimensión de Hausdorff y en respuesta al
pragmatismo definió, en general, todos los fractales como el conjunto de
formas con dimensión fraccional.
Las dos características fundamentales que poseen los objetos fractales son:
a) Autosimilaridad: Es decir, aquellos objetos en los cuales los detalles más
pequeños que lo componen tienen alguna relación estadística con sus
propiedades globales, repitiéndose tales detalles de una manera infinita.
b) Dimensión Fractal o dimensión de Hausdorff: Es considerado el concepto
principal de la Geometría Fractal, ya que los objetos fractales se caracterizan
por poseer dimensión fraccionaria.
8
De esta manera, podemos definir fractales como aquellas formas que poseen
dimensión fraccional, las cuales describen muchos patrones en la naturaleza
que no pueden ser descritos por la Geometria Euclidiana y que no poseen un
tamaño característico, por lo que podemos referirnos a ellos como auto-
similares o independientes de escala.
1.3. Autosimilar, autoafín y estadísticamente autosimilar
Un concepto importante en la geometría fractal es la propiedad de los
fractales de ser autosimilares o autoafines. En el primer caso nos referimos a
formas que se repiten en escala uniforme, mientras que los autoafines las
formas invariantes son a través de transformaciones que escalan las
coordenadas en diferentes cantidades, lo que puede derivar a una
característica anisotrópica. Esta diferencia puede verse en la Figura 3:
Figura 3: Fractal Autosimilar vs Fractal Autoafin
La definición original de fractal está restringida a las formas autosimilares,
aunque las estructuras auto-afines sean más comunes en la naturaleza. Esto es
especialmente cierto en los trazos de fallas (Dershowitz et al., 1992).
Otra categoría de fractales son los denominados “estadísticamente auto-
similares”, estos son formas que conservan sus propiedades en escala
9
estadística, un ejemplo es el movimiento Browniano proyectado en un plano. El
recorrido de la partícula es estadísticamente el mismo, independiente de la
magnitud. Dado un conjunto aleatorio, la autosimilitud estadística se consigue
porque la distribución de una partícula en el movimiento Browniano (Figura 4)
es idéntica a la distribución de todas las partículas (Mandelbrot, 1977).
Figura 4: Movimiento Browniano
1.4. Dimensión fractal
Anteriormente se discutió la medición de las líneas costeras, concluyendo que
estas eran infinitas. Aun así, ¿Es posible compararlas? La respuesta de
Mandelbrot es que sí, pero ya no se trata de medir la longitud
cuantitativamente sino de una nueva clase de medida cualitativa basada en
escalas: La dimensión fractal.
En general, podemos decir que la dimensión de un objeto se basa en los
grados de libertad asociados, es decir, una curva la podemos definir a través
de un parámetro que es su longitud, así como a un objeto bidimensional lo
podemos caracterizar por su área. Nos referiremos a esta dimensión como
“topológica”, la que puede ser entendida según K. Devlin (1988):
10
“En una curva únicamente podemos movernos en una dirección, adelante o
hacia atrás. En una superficie podemos ir adelante, atrás, a derecha, a
izquierda. En un volumen podemos movernos, además, hacia arriba, hacia
abajo. La curva tiene una dimensión, la superficie tiene dos dimensiones y el
volumen tiene tres dimensiones.”
Si llamamos D a la dimensión, L a escala lineal y S al incremento podemos
generalizar la definición como:
DLS = (1.1)
Un ejemplo ilustrativo seria en el caso tridimensional, donde S serie el volumen,
L la longitud y D simplemente tres. Felix Hausdorff definió en 1919 una nueva
manera el concepto dimensión como la capacidad que tiene un objeto de
rellenar el espacio que lo contiene, por lo que puede tomar valores continuos
en el espacio de los números reales, entre 0 y 3. Se define como sigue:
plND
log
log=
(1.2)
Donde, N cantidad de unidades que forma el objeto, l Altura del objeto, p
altura de las unidades que forman el objeto. El procedimiento de calculo se
esquematiza a continuación:
Figura 5: Ejemplo de cálculo de la dimensión de Hausdorff
11
Ahora apliquemos el mismo procedimiento a un objeto fractal, por ejemplo la
curva de Von Koch (Figura 6), para generarla simplemente partimos de un
segmento simple de línea el cual se divide en tres y el segmento del medio es
reemplazado por dos segmentos iguales formando parte de un triangulo
equilátero. Al reemplazar en la formula se obtiene:
26.1
314==
Log
LogD
Figura 6: Caculo de la dimensión de la curva de Von Koch, la cantidad de
elementos N=4 y la altura del objeto p=1/3
Lo cual deriva en otra manera de definir los fractales, esto es, aquellos objetos
tales que su dimensión de Hausdorff es mayor que su dimensión topológica.
Esta manera tan sencilla de calcular la dimensión fractal tiene el inconveniente
de conocer a priori el segmento padre y la formula recursiva; por ello para un
objeto cualquiera requerimos de un cálculo aproximado que cuando tiende a
infinito converja a la dimensión de Hausdorff. En este trabajo nos abocaremos
al método más difundido y utilizado que es el llamado “método de conteo de
cajas”.
1.5. Tipo de Fractales
Podemos hablar de dos tipos de fractales, estos son los lineales y los no lineales.
Los lineales son aquellos que se construyen en base a un simple cambio de
escalas. Esto es sumamente relevante ya que debido a esto, este tipo de
figuras son exactamente idénticas en todas sus escalas hasta el infinito. El
12
triángulo y la alfombra de Sierpinski, y la curva de Koch (Figura 7) son ejemplos
de fractales lineales.
En cambio, los fractales no lineales se generan a partir de distorsiones
complejas o no lineales. La mayoría de los objetos fractales que se pueden ver
en la naturaleza son del tipo no lineal (Mandelbrot, 1983). Ejemplos de ellos son:
el conocido Conjunto de Mandelbrot o el Conjunto de Julia (Figura 8).
Figura 7: Curva de Von Koch
Figura 8: Conjunto de Julia
1.6. Método de conteo de cajas (Box-counting)
13
Existen más de veinte posibles estimaciones para la descripción de la
dimensión fractal de un objeto (Dershowitz et al., 1992). Es posible obtener
varias dimensiones fractales distintas, es por eso que siempre es importante
indicar el método utilizado, de lo contrario el fractal se convierte en un
elemento con una dimensión sin sentido, La dimensión fractal se basa en una
relación de ley de potencia, por ello los fenómenos naturales que tengan esta
distribución diremos que tienen un comportamiento fractal.
El método de conteo de cajas es esencialmente una grilla cartesiana
bidimensional (Figura 9), el procedimiento para obtener la dimensión fractal es
el siguiente: Se parte de una grilla con celdas de tamaño LxL, a continuación
se cuenta el numero de celdas necesarias para cubrir el objeto a una escala r,
luego se divide la grilla y se cuenta nuevamente la cantidad de celdas que
cubran al objeto, este procedimiento se realiza la cantidad de veces que sea
necesario. Luego se grafica en un grafico log-log A vs r, donde A es la
cantidad de celdas cubiertas para una cierta escala r. La pendiente de la
recta da como resultado la dimensión fractal del objeto
Figura 9: Grilla para triangulo de Sierpinsky
En la figura 9, se muestra un paso del método de Box-counting obteniéndose
51 celdas cubiertas por el objeto.
1.7. Objetivos de la Memoria
14
Esta memoria tiene como objetivo general establecer las bases para la
aplicación en recursos hídricos (hidrología e hidrogeología) de la geometría
fractal de modo de proporcionar una nueva metodología a partir de los
diversos estudios que se han hecho tanto en este campo, como en ciencias
afines: economía, geofísica y meteorología. Para que sea el punto de partida
de una serie de trabajos para su aplicación en distintos sistemas alrededor del
país.
Entre los objetivos específicos de este trabajo cabe mencionar:
Revisión de los fundamentos de geometría fractal y estadística de
Fractal
Revisión bibliográfica de la aplicación en sistemas acuíferos de roca
fracturada de la geometría fractal en la literatura.
Revisión bibliográfica de la aplicación en series de tiempo de geometría
fractal en la literatura.
Recopilación de las distintas metodologías utilizadas para modelación
autosemajente de series de tiempo.
Metodología de modelación de sistemas de rocas fracturada a través
de la geometría fractal.
1.8. Estructura de la Memoria
La estructura del informe se divide en los siguientes capítulos.
El capitulo 1 es una introducción a la memoria, en él se habla sobre la
motivación de este trabajo, historia del desarrollo de los fractales, los
conceptos básicos que deben ser definidos (esenciales para la total
15
comprensión de esta trabajo), objetivos generales, y específicos de este
trabajo, y estructura del informe
El capitulo 2 corresponde a una revisión bibliográfica acerca de los fractales,
se ha realizado un resumen de los trabajos de muchos autores a lo largo de los
últimos años, los cuales han verificado la presencia de fractales en series de
tiempo y acuíferos de roca fracturada, así como los métodos actuales más
conocidos en el estudio de cada una de estas áreas.
Además, se describe el marco teórico de los métodos fractales de simulación
de series de tiempo y como poder representar la geometría del acuífero con
fractales, a partir de datos de campo.
En el capitulo 3 se hace un análisis de series de tiempo de variables como nivel
de agua subterránea, precipitaciones y caudales a través de métodos que
utilicen la geometría fractal. Las estadísticas corresponden a registros del
sector Norte del país, en la región de Antofagasta. Además, se muestra la
generación de acuíferos de roca fracturada a través de un pequeño
programa escrito en Matlab derivado de las ecuaciones del capitulo anterior,
él cual puede ser exportado a algún Software comercial, como Feflow.
Finalmente, se presentan las conclusiones del trabajo realizado, así como las
pautas que se recomiendan para los siguientes trabajos tanto en series de
tiempo, como en acuíferos de roca fracturada utilizando la metodología
fractal.
Capitulo 2- Base Conceptual
16
2.1-Generalidades
La geometría fractal proporciona una herramienta para el estudio de cómo las
distribuciones espaciales y las respuestas temporales, se comportan a
diferentes escalas, en espacio y tiempo respectivamente. Existe una multitud
de campos de estudio que han aplicado los conceptos de la geometría
fractal para el análisis de sistemas complejos. En hidrología, en el análisis de las
cuencas hidrológicas se han hallado nuevas relaciones, tanto en el plano
como en la altitud, que abarca un gran rango de escalas en la forma de leyes
de potencia. Rosso (1991) dedujo que los ríos son fractales con una dimensión
fractal basada en la autosemejanza descrita por los cuocientes de
elongación y superficie de cauces, como sigue:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
A
L
RRd
loglog,1max
(2.1)
La relación entre la longitud del cauce principal L y la superficie total A,
conocida como ley de Gray (1961 citado en Roth, 1996), presenta una
interpretación fractal. Se ha demostrado (La Barbera y Roth, 1994) que el valor
de d se ajusta a 1.136, como ha presentado Mandelbrot (1999, págs. 110-111).
En base a la autosemejanza descrita por los cocientes de bifurcación y
elongación, La Barbera y Rosso (1989) deducen la dimensión fractal de la
estructura dendrítica de la red de desagüe D como:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
A
L
RR
Dloglog
,1max,2min (2.2)
A partir de la ecuación anterior, la dimensión fractal D de la red de drenaje
puede adquirir valores desde 1 a 2 para los intervalos de RA y RL observados en
la naturaleza (Rodriguez-Iturbe, 2001).
17
En hidrogeología, varios investigadores han utilizado la dimensión fractal para
clasificar la geometría de los poros, incluyendo a Katz y Thomson (1985), Krohn
y Thomson (1986). Los fractales como concepto también han sido utilizados
para modelar el movimiento del flujo en fracturas (Barker, 1988). Los patrones
de fractura típicamente han sido descritos a través de la dimensión fractal, la
cual cuantifica el grado que una curva o superficie llena un espacio a una
escala.
Las propiedades microscópicas de las rocas como el área de la superficie
especifica, tamaño de la garganta, tamaño de los granos y tortuosidad, son
comúnmente usadas en relacionar permeabilidad con la dimensión fractal.
Existen una gran cantidad de estudios usando distintos tipos de areniscas o
medios porosos sintéticos para desarrollar o verificar la correlación de
permeabilidad fractal.
El mapeo de trazas de fracturas y alineamiento es probablemente el campo
con mayor aplicación directa para rocas fracturadas en hidrogeología.
Muchas aplicaciones han sido reportadas a través de la medición de la
dimensión fractal obtenidas desde trazas de fallas en la superficie y pozos.
Scholz y Aviles (1986) digitalizaron trazados de fracturas desde la falla de San
Andrés y encontraron una dimensión fractal espectral entre 1.1 y 1.5. Okuba y
Aki (1987) usaron el método de conteo de cajas en trazas del área de San
Andrés, intentando relacionar la tensión con la geometría de las trazas.
2.2-Acuíferos en Roca Fracturada
El flujo de las aguas subterráneas sucede, inevitablemente, a través de
formaciones geológicas. Por lo tanto, el conocimiento detallado de los
materiales que forman la corteza terrestre es algo, importante para el estudio
de la hidrogeología.
Desde el punto de vista más amplio, cabe distinguir dos tipos de formaciones
geológicas bien diferenciadas por sus características hidrogeológicas:
18
a) Las formaciones de sedimentos no consolidados, es decir, los que se
relacionan con depósitos dominados por arenas, gravas, arcosas,
areniscas, conglomerados, etc.
b) Las formaciones rocosas o consolidadas.
El estudio de la hidrogeología de rocas fracturadas (Figura 10) es de gran
importancia en diversos lugares del planeta donde no existen otras
formaciones geológicas capaces de desarrollar acuíferos.
La característica común de todas estas formaciones es que, debido a su
rigidez, presentan un comportamiento mecánico frágil que se traduce en el
desarrollo de sistemas de fracturas cuando son sometidas a un campo de
esfuerzos determinado.
Figura 10: Formacion rocosa, donde es apreciable su fracturamiento.
Los acuíferos superficiales fracturados suelen presentar valores de
conductividad hidráulica similares a las arenas finas y las arenas limosas. Estos
acuíferos, aunque no presenten espesores muy elevados, pueden ser
aprovechados por numerosos pozos que, en general, no requieran caudales
elevados. Las explotaciones de aguas subterráneas en los acuíferos profundos
19
fracturados pueden llegar a dar caudales de agua muy elevados cuando se
captan las grandes “zonas de fractura”, que actúan como zonas de flujo
preferente.
2.2.1 Definición e importancia
Las fracturas son rupturas en mecánica de rocas. Su origen se deriva de
tensiones concentradas alrededor de defectos, heterogeneidad y
discontinuidades físicas. Se forma en respuesta a tensiones tectónicas, térmicas
y altas presiones del fluido. Esto ocurre desde la escala microscópica a la
macroscópica. Estas fracturas son importantes en ingeniería, geología e
hidrología ya que proveen vías para el paso del flujo. Ya que generan
reservorios para el abastecimiento de agua o barreras, afectan la estabilidad
de estructuras de ingeniería y excavaciones.
Cada fractura es un conducto donde pasa el flujo y están conectadas unas a
otras hasta formar un sistema o red. La conductividad de la red fracturada
puede ser de una gran actividad hidráulica o ser sólo una limitada proporción
del total de las fracturas.
Los modelos numéricos son utilizados para obtener una estimación cuantitativa
del flujo y transporte en el sistema fracturado. Estos modelos describen las
principales características geológicas e hidrológicas que controlan el flujo y el
transporte.
Los modelos conceptuales desarrollados en sistemas fracturados son de
notable importancia para la modelación numérica. La dificultad subyacente
en ellos es la determinación de la geometría y la física del flujo debido a la
complejidad geométrica del sistema de fractura. De hecho, la mayor parte de
los errores en la predicción del flujo con modelos numéricos reflejan carencias
en los modelos conceptuales.
Una gran variedad de modelos han sido desarrollados, todos ellos subdividen
el medio dentro de un conjunto de elementos conductivos discretos. Los
métodos difieren principalmente en la manera que se definen los elementos
(representando las fracturas por unidades o grupo), y cómo los modelos
20
parametrizan, es decir, como los parámetros desconocidos son estimados a
través de pruebas de campo (estadística, datos o interpretación de test
hidráulicos).
2.2.2 Características roca fracturada
2.2.2.1 Morfología de roca fracturada
Se pueden caracterizar las propiedades de fractura de la roca de dos
maneras o escalas:
• Fractura: Ya que un fractura no es sólo un par de planos paralelos
achatados, como ha sido asumido en varios modelos. La superficie
interior de una fractura es usualmente rugosa, y su rugosidad está
altamente influenciada por las propiedades del flujo.
• Red interconectada de fracturas: Las cuales poseen una alta
complejidad topológica. En particular, la orientación de las fracturas no
es completamente aleatoria y a veces existe una correlación entre la
orientación de algunas fracturas con respecto a sus vecinas.
2.2.2.2 Características de una fractura
• Rugosidad de la superficie fracturada: Importante en la modelación
como reservorio, porque controla la variación de apertura, y por lo
tanto los canales de flujo entre las paredes fracturadas. Ha sido
mostrado por varios autores (Brown y Scholz, 1985; Brown, 1987; Power et
al., 1987; Schmittbuhl et al, 1993)que la superficie de la roca fracturada
posee características fractales
• Apertura: Es un patrón crucial que determina la permeabilidad. El
caudal medio a través de una fractura es proporcional a su espesor, 3bQ ≈ .
• Largo del trazado de la fractura: Este otro parámetro importante, su
distribución es uno de los más importantes factores en la conectividad
de una red fracturada, la frecuencia con la cual las fracturas se
intersectan una con otra, e incluso las propiedades del flujo en la red.
21
• Orientación: Usualmente cuantificado por los ángulos Dip, ángulo que
forma la superficie de la falla con un plano horizontal, y strike, ángulo que
forma una línea horizontal contenida en la falla con la línea norte-sur.
2.2.3 Geometría de la fractura
La forma y dimensión de fracturas naturales no son bien conocidas, en parte
porque la completa extensión de una fractura en extremadamente difícil de
observar en tres dimensiones y porque no se ha dedicado un esfuerzo
importante en ello (Cook, 2003).
El conjunto de fracturas puede ser descrito por la extensión o su área,
espaciamiento o densidad y la orientación. Las fracturas existen en un gran
rango de escalas, desde las rocas hasta la tectónica de placas.
Para describir características similares que aparecen en distintas escalas, el
análisis fractal se adaptaría bien para caracterizar de alguna manera las
discontinuidades, esto hace atractivo el análisis fractal para examinar
fracturas. Los fractales como concepto también han sido aplicado para
modelar el movimiento del flujo en fracturas (Barker, 1988). Los patrones de
fractura típicamente han sido descritos usando fractales a través de la
dimensión fractal, la cual cuantifica el grado en que una curva o superficie
llena el espacio, sobre una escala con valores no enteros.
Aun así el uso de métodos fractales para describir patrones de fractura siguen
en controversia por varias razones, por ejemplo existen distintas técnicas que
entregan distintas dimensiones fractales para una serie de datos (Cox y Wang,
1993). Incluso una misma técnica es más sensible a la orientación de la grilla
(Barton y Hsieh, 1989) y que cambia significativamente con la escala. Incluso
hay un debate del beneficio de reducir a un único valor la variabilidad de los
datos. Quizás uno de los aspectos más difíciles es probar su rigurosidad, incluso
conjuntos individuales de datos a distintas escalas pueden compartir una
dimensión común y el conjunto completo, no hacerlo.
22
2.2.4 Modelación: concepto de placas Paralelas
Mientras que la ley de Darcy para flujo saturado fue propuesta alrededor de
150 años atrás (Darcy, 1856), la ecuación de Richards para flujo no saturado
tiene tan sólo 80 años (Richards, 1931) ecuaciones básicas para medios
porosos.
Una fractura natural está limitada entre dos superficies de fractura. Un modelo
conceptual frecuente usado para fracturas consiste en dos placas planas
paralelas (Figura 11). Este puede ser aplicado localmente, manteniendo una
variación en la apertura de la fractura, o asumiendo una apertura constante.
Es bien conocido que esta última aproximación es muy gruesa. Sin embargo,
otros métodos propuestos en la literatura no tienen aún una aceptación
general (Berkowitz, 2002).
Figura 11:Desde fractura natural al concepto de placa paralela.
Utilizando la ecuación de Navier-stokes para un flujo laminar de un fluido
Newtoniano incompresible, la siguiente ecuación entrega la velocidad entre
dos placas paralelas (Snow 1969, White 1999):
( )22
2)( zHz
gp
dxdgzv −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
ρµρ
(2.3)
Fractura natural Placas planas paralelas
Placas paralelas
espesor fractura
23
Figura 12: Flujo laminar ente dos placas paralelas.
La velocidad máxima se alcanza en z=0
( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
gp
dxdHgv
ρµρ *2
2max
(2.4)
Para un perfil de forma parabólica, la velocidad media es derivada de la
velocidad máxima:
( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
gp
dxdHgvv
ρµρ *33
2 2max
(2.5)
Considerando que la distancia entre las placas b (b=2H), la velocidad media
tri-dimensional puede ser escrita como:
ii
idxdhK
gp
dxdhgbv −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ρµρ *
12
2
(2.6)
Donde, la conductividad K y la permeabilidad k tienen la siguiente relación:
µρgkK =
(2.7)
En que 12
2bk = , por lo que la permeabilidad de fractura es proporcional a la
apertura b. El caudal Q se deriva de la integración de la velocidad entre las
placas:
∫+
−=
H
HldzzvQ )(
(2.8)
De lo que se deriva la llamada ley cubica:
dxdhlbgQ
12
3
µρ−
= (2.9)
24
La geometría, física y propiedades geomecánicas de una fractura, detección,
interpretación del test del trazador e hidráulicos deben ser integrados para
desarrollar un modelo matemático que represente el flujo y transporte del
soluto en el medio fracturado. La principal dificultad en modelar el flujo en
roca fracturada es describir su heterogeneidad (Cook, 2003).
Al contrario del medio poroso, las propiedades geométricas e hidráulicas son
erráticas y altamente localizadas por lo que no pueden ser interpoladas
fácilmente entre los puntos de medición.
2.2.5 Desarrollo de modelos conceptuales y matemáticos de medios
fracturados
Bear (1993) divide el escalamiento de los problemas de flujo y transporte de
contaminantes en cuatro tipos de zonas: de campo muy cercano, de campo
cercano, de campo lejano y de campo muy lejano. Los primeros dos tipos
requieren de la determinación geométrica exacta de cada fractura que
forma el sistema, en el tercero el flujo y transporte se considera que tiene lugar
en dos medios continuos superpuestos: uno de las fracturas y otro del medio
poroso. En el último tipo todo se considera como un sólo medio continuo,
semejante al concepto de “caja negra”.
Otros autores hacen la división entre estudios microscópicos y macroscópicos
para clasificar procesos dentro de la zona vadosa. Sin embargo, para el
estudio de zonas (no procesos), la mayoría sigue el criterio de Bear (1993)
(Berkowitz, 2002).
En los modelos conceptuales para describir la conductividad de las fracturas y
su permeabilidad, tres factores juegan un papel transcendental:
• Geología de la roca fracturada: la cual busca identificar y describir las
vías de las fracturas. Estas vías están determinadas por las propiedades
de los materiales, geometría, tensión, e historia geológica de la roca
25
• La escala de interés: Un sistema fracturado puede ser altamente
conectado en una escala de tamaño, pero puede ser dominado por
unas pocas fracturas cuando el sistema es visto a una escala distinta
• El propósito por el cual el modelo es desarrollado: La experiencia sugiere
que la estimación del flujo volumétrico medio puede ser realizado con
modelos conceptuales gruesos. Así una aproximación continua puede
ser utilizada para predecir con una exactitud suficiente incluso una red
de fractura mal conectada.
Los pasos para construir un modelo conceptual del sistema de flujo incluyen: 1)
identificación de las más importantes propiedades del sistema de fractura, 2)
identificación de la localización de las más importantes fracturas en la masa
rocosa, y 3) determinación en qué medida se identifican las estructuras de
conducción del agua. No todas las fracturas tienen igual importancia. La
identificación de vías preferentes del flujo es crucial para el desarrollo de un
modelo conceptual.
2.2.6 Modelos típicos
Conceptualmente, se pueden clasificar en: 1) modelos de fracturas discretas,
2) modelo de doble medio continuo, incluyendo los modelos de doble y
múltiple porosidad, doble permeabilidad o el más general “múltiple
interacción continua” (MINC) (Pruess y Narasimhan, 1985; Kazemi, 1969; Warren
y Root, 1963; Barenblatt et al., 1960) y 3) el modelo continuo-eficaz (ECM por
sus siglas en inglés [effective-continuum method], Wu, 2000). Aunque capturan
propiedades importantes, su geometría no es capaz de capturar las
características fractales atribuidas a sistemas de fractura naturales (Barton y
Hsieh, 1989).
El enfoque explícito de fracturas discretas es, en principio, un modelo riguroso.
Sin embargo, la aplicación actual de este método es limitada debido a los
requerimientos computacionales involucrados y la falta en el conocimiento
detallado de la geometría de las fracturas y matriz consideradas, así como su
distribución espacial en un sitio dado. Por otro lado, el modelo de doble medio
continuo es conceptualmente más simple, requiere menos recursos
26
computacionales y es capaz de incluir más fácilmente la interacción entre las
fracturas y la matriz circundante (Wu y Pruess, 2005). Como caso particular del
modelo de doble medio continuo, en los modelos de doble porosidad no se
requiere el conocimiento de la geometría verdadera y de las características
hidrogeológicas de la red de fracturas, pero sí las propiedades típicas, tales
como su apertura promedio. (Zimmerman et al., 1993).
Un estudio comparativo de los resultados obtenidos aplicando tres de los
modelos descritos a una misma zona, básicamente arrojan las mismas
conclusiones (Selroos et al., 2002). Esto ilustra que el obtener resultados acordes
a la realidad, no depende necesariamente de emplear el modelo más robusto
y complejo. A continuación se resume las características de cada uno de los
modelos en roca fracturada (ver figura 13):
• Medio poroso equivalente: En esta aproximación, las fracturas
individuales no son explícitamente tratadas en los modelos, pero la
heterogeneidad de los sistemas de roca fracturada es modelado
usando un pequeño número de regiones, cada uno es modelado
como un medio poroso equivalente. Este modelo requiere la definición
de valores efectivos de conductividad hidráulica, almacenamiento
específico y porosidad, donde el modelo resultante es sólo valido en la
escala en que el volumen elemental ha sido definido. El modelo
MODFLOW es un buen ejemplo de esta implementación para
simulación de flujo de agua subterránea, y ha sido aplicado con éxito a
acuíferos de roca fracturada donde la respuesta hidráulica son
importantes. Sin embargo, el modelo está limitada a la anisotropía. La
simulación de de transporte es significativamente más complicado que
el del flujo, en este caso el medio poroso equivalente adopta una
aproximación basada en la formula de adveccion-dispersion que ha
generado resultados más inciertos.
• Modelo de doble Porosidad: En el caso que la matriz que contiene la
red de fractura tenga una porosidad significativa, el modelo de doble
porosidad puede ser implementado. Esta situación puede ser
importante en sistemas con matriz de alta porosidad como pueden ser
27
encontrados en algunas secuencias de fracturas sedimentarias como la
areniscas o fracturas arcillosas. El sistema de roca fracturada es tratado
como una superposición de dos continuos y ambos son tratados como
medios porosos. La red de fractura es representada por una ecuación
de flujo y el bloque de matriz por otra ecuación de flujo. Este método
cuenta el intercambio de agua entre la matriz y las fracturas usando un
término de acoplamiento que representa la razón de transferencia de
masa y la geometría de la red de fractura es representada por un
pequeño número de parámetros geométricos. La mayor ventaja de
este modelo reside en la modelación del flujo transiente donde la
demora en la respuesta hidráulica de una roca fracturada causada por
el flujo residente en la matriz menos permeable puede ser modelado.
• Modelo de red de fractura discreta: El modelo de red de fractura
entrega una explícita caracterización de las propiedades incluyendo la
apertura, orientación y longitud. Este modelo es considerado el más
realista para representar el flujo fracturado. El flujo a través de cada
fractura es tratado como un flujo equivalente entre dos placas paralelas
con una separación equivalente a la apertura de la fractura.
Lamentablemente esta aproximación está limitada por la disponibilidad
de datos en las fracturas como la habilidad de extrapolar propiedades
desde la pequeña escala de prueba a la región de interés
(precisamente es esto lo que debe ser abordado con fractales). Como
los patrones de fractura son complejos, gran cantidad de cálculos para
simular redes de fractura discreta y requiere de inevitables
simplificaciones de los detalles. La clave para usar este modelo es en el
continuo avance de la comprensión conceptual de la dinámica del
flujo y transporte en acuíferos de rocas fracturada.
• Modelos estocásticos: En los anteriores modelos, los parámetros
relacionados al flujo del fluido y transporte se asumían conocidos con
certeza o que los valores utilizados en los modelos son los más cercanos.
Estos modelos son por tanto deterministicos. Sin embargo, en muchos
casos no se conocen todas las características que controlan al flujo
apropiado a la escala espacial y se acepta que una completa
simulación del flujo o transporte no es un objetivo realista del modelo.
28
En la aproximación estocástica (Neuman, 1987), el sistema es descrito
en términos de parámetros físicos que son descritos por una variable
aleatoria en el terreno que se desea caracterizar por una función de
densidad de probabilidad. El flujo y transporte es resuelto utilizando un
modelo para cada realización y un análisis estadístico es utilizado en el
resultado de la simulación. Muchas herramientas han sido desarrolladas
para análisis geoestadisticos de sistemas heterogéneos y métodos
estadísticos han sido empleados en numerosos estudios de
heterogeneidad hidrológica. En el modelo equivalente continuo y el
modelo fracturado discreto pueden ser aplicados también estos
conceptos estadísticos.
• Soluciones analíticas: Las soluciones analíticas ofrecen soluciones simples
a sistemas altamente idealizados. En esta solución, el espacio y tiempo
son variables continuas, mientras que los modelos numéricos son
discretizados en pasos finitos. Sin embargo, las simplificaciones son
necesarias y típicas que implican la necesidad de geometrías muy
regulares, propiedades uniformes del material y simplificaciones iníciales
y condiciones de borde; lo que en muchos casos puede limitar la
aplicación de soluciones analíticas. Sin embargo, son muy útiles en
entregar rapidez y económicas soluciones.
29
Figura 13: Diferentes modelos a)Red de fractura actual, b)Modelo poroso
equivalente, c)Modelo poroso equivalente, con zonas de alta permeabilidad,
d)Modelo doble porosidad, e)Modelo fractura discreta, en el cual las fracturas
mayores son modeladas
2.2.7 Uso de Fractales
La relación de la modelación de fracturas con el uso de fractales data de
1985 con estudios de depósitos de residuos nucleares (Barton y Hsieh, 1989). Ese
estudio revelo que los patrones de fractura en la montaña de Yucca, Nevada,
eran autosimilares en un gran rango de escalas. Varios trabajos sustentan la
característica fractal de redes de fractura, entre los que se encuentran
estudios de patrones de fractura en la formación de Monterrey (Garrison,
1981), campos geotérmicos (Sammis, 1991), acuífero de Atlas en Marruecos
(Mohamed Rouai, 2006).
2.2.4.1. Propiedades de un medio fractal
La propiedad clave de los fractales es su densidad de masa o volumétrica que
decrece siguiendo una ley de potencia cuando aumenta la región a
considerar (Mandelbrot, 1983; Feder, 1988). En general, para un fractal con
una dimensión fractal D dentro de una dimensión d, la densidad obedece la
siguiente relación de escala:
)(rρ α dDr − (2.10)
Tal que M α Dr y V α dr . En el caso de una red homogénea, la densidad de
masa es constante (D=2, d=2), mientras la red fractal tiene una densidad
másica que decrece con la distancia, con 1<D<2 y d=2.
Si ahora, consideramos una red fractal de fracturas junto con una matriz
impermeable rocosa, el valor de la porosidad en un cierto punto será 0 o 1
dependiendo si la localización del punto está en la matriz o en la fractura,
respectivamente. La porosidad de la fractura macroscópica está definida
sobre un volumen de tamaño r, en el caso de una red Euclidiana este valor es
30
constante. Para un objeto fractal, sin embargo, este decrece con la distancia
siguiendo una relación de escala (Acuna y Yortsos, 1995):
dD
oo rrr −= )/()( φφ (2.11)
Donde )(rφ es la porosidad macroscópica de una región, y or es la escala
inferior (bloque de menor de tamaño en la red de fractura la cual obedece
una relación fractal). Mientras la porosidad está relacionada con la
capacidad de almacenamiento, otro parámetro importante que describe el
movimiento del flujo a través de la red de fractura es la permeabilidad.
Considerando la permeabilidad en régimen permanente en un objeto fractal,
si hay una caída en la presión en una región de tamaño r, la permeabilidad no
será constante, sino que sigue la relación (Sahimi y Yortsos, 1990):
θ−−= dD
oo rrKrK )/()( (2.12)
Donde θ es un exponente de transporte. Para una red de percolación, θ se
calcula como νβµθ /)( −= , donde µ , β y ν son la conductividad,
probabilidad de percolación y la correlación de longitud respectivamente. En
una red de percolación 3-D, 784.1=θ (Isichenko, 1992).
Todos estos estudios han derivado en aplicaciones en acuíferos generados a
través del método IFS, en el análisis de soluciones analíticas de difusión de
objetos fractales desarrollado O’Shaughnessy and Procaccia’s (1985), y en el
modelo de flujo radial generalizado para pruebas hidráulicas en roca
fracturada por J.A. Barker. (1988).
2.2.4.2. Estudios de patrones de fractura fractal
Como ya se ha mencionado, varios estudios han demostrado que la cantidad
de fracturas obedecen una ley de distribución, ver figuras 14 a 19, que sigue
una ley de potencia (Scholz & Cowie, 1990; Davy, 1993). La relación con los
fractales se ha utilizado para la investigación de la aplicación al transporte de
fluido a través de medios fracturados naturales. Estos estudios se enfocan en
dilucidar las propiedades que poseen estos medios fractales fracturados
31
(Chang and Yortsos, 1990; Acuna and Yortsos, 1995; Park et al., 1998; Dyah et
al., 1999; Dengke and Qinlei, 1999; Krisanto et al., 2000; Park et al., 2000, 2001).
Figura 14: Mapa de fracturas de la zona de Kizildere, Turquia extraido del trabajo de Tayfun Babadagli del Dept. of Petroleum and Min, Turquia.
Red de fractura, Area de Kizildere. Turquia y = 83093x-1,683
R2 = 0,9984
0,1
1
10
100
1000
10000
100000
1 10 100 1000 10000
r, tamaño de la caja
n(r),
num
ero
de c
ajas
Figura 15: Box counting de la zona de Kizildere, D=1.68
32
Figura 16: Mapa de fracturas de la zona de Germencick, Turquia extraido del trabajo de Tayfun Babadagli del Dept. of Petroleum and Min, Turquia.
Red de fractura, Area de Germencik. Turquia y = 71499x-1,6582
R2 = 0,9986
0,1
1
10
100
1000
10000
100000
1 10 100 1000 10000
r, tamaño de la caja
n(r)
,num
ero
de c
ajas
Figura 17: Box counting de la zona de Germencik, D=1.66
Figura 18: Mapa de fracturas extraido del trabajo de E.Bonnet y O.Bour.
33
Mapa de Red de fractura y = 46623x-1,5692
R2 = 0,9959
0,1
1
10
100
1000
10000
100000
1 10 100 1000 10000
r, tamaño de la caja
n(r)
,num
ero
de c
ajas
Figura 19: Box counting del trabajo de E.Bonnet y O.Bour, D=1.57
La fracturación de medios desordenados, como las rocas naturales, pueden
ser modelados utilizando fractales (Turcotte 1986, Herrmann y Roux, 1990). Las
estructuras fractales han sido relacionadas a la resistencia de las fracturas en
materiales y a procesos particulares de fracturación (Turcotte, 1986). Además
varios estudios han demostrado que la cantidad de fracturas obedecen una
distribución según una ley de potencia:
cllN −> α)( (2.13)
Donde N es el numero de fracturas que tienen un largo igual o mayor que l, y c
un exponente que varía entre 1 y 2. El exponente c relaciona la cantidad de
fracturas pequeñas y grandes. Y tiene una importante consecuencia en
propiedades de la conexión entre las fracturas (Bour y Davy, 1997).
De acuerdo a simulaciones numéricas (Bour y Davy, 1997), la conectividad del
medio fracturado depende del exponente de la ley de potencia y la densidad
de fractura. Las fracturas de mayor y menor longitud contribuirán a la
conectividad en una conectividad o razón dependiente del exponente c.
Berkowitz (2000) analizo la conectividad de fracturas y su relación del
exponente c con respecto a la dimensión fractal D, para c>D la conectividad
no depende de la escala. La caracterización fractal de redes de fractura
reales ofrece una prometedora alternativa a la solución de problemas
transientes de presión. Investigadores han analizado la respuesta hidráulica de
redes de fractura utilizando la teoría fractal (Beier, 1990; Chang y Yortsos, 1990)
34
La simulación numérica es particularmente importante debido a que en los
sistemas reales fractales exhiben tamaños finitos que no pueden ser
capturados analíticamente (Acuna y Yortsos, 1995). Los primeros estudios
numéricos representaron el sistema fracturado a través del uso de la alfombra
de Sierpinski y redes de percolación (Polek, 1990)
2.3-Sistema de funciones iteradas En esta sección, se muestra la base matemática necesaria para la generación
de patrones de fractura por medio de sistemas de funciones iteradas, las
cuales puede generar tanto los fractales más clásicos como lo mencionados
en el capitulo 1, como objetos de mayor complejidad, todos los cuales deben
verificar su ley de potencia.
Las ideas fundamentales de la base matemática de IFS fue desarrollada por
Hutchinson en 1981 (aunque el termino IFS sólo fue introduce en 1985 por
Barnsley y Demko). Antes de introducir los conceptos de IFS, es necesario
definir que se entiende por espacio métrico, contracción y transformaciones
afines.
2.3.1 Espacio Métrico
Un espacio métrico, denotado como (X,d) es definido como un conjunto X
asociada a una función de la distancia (métrica d) en la cual, para todo par
de puntos x,y pertenecientes a X, dada la distancia entre ellos como un
numero real positivo d(x,y) satisface las siguientes tres propiedades,
z)d(x,),(),(),(),(
0),(
≥+==
zydyxdxydyxd
yxd (2.14)
2.3.2 Contractivo y Transformación Afín
35
Se dice que una transformación es contractiva si la distancia entre
cualesquiera dos puntos de la estructura en un determinado paso es menor o
igual que la distancia entre dichos puntos en el paso anterior. Esto quiere decir
que, tras aplicar la transformación, la estructura no crecerá.
Matemáticamente, dado dos espacios métricos (X, d1) y (Y, d2), y una
transformación w: X -> Y se dice que es contractiva si existe un numero real s,
con 0< s < 1, tal que:
d2(w(x1), w(x2)) >s d1(x1, x2), Para x1, x2 en X. (2.15)
Donde s es el factor contractivo para w. Cabe señalar que cuando los dos
espacios métricos son los mismos, la transformación w son dos puntos juntos.
Una transformación afín se define como una matriz A de N×N en RN y un vector
b Nx1 en RN, tal que
w(x) = Ax+b, x1, x2 en X (2.16)
2.3.3 Definición
Se denomina Sistema de Funciones Iteradas a un conjunto de
transformaciones afines contractivas, representándose cada una de ellas por
la letra Wk. Todas estas transformaciones deben aplicarse a la estructura
original y posteriormente unir los resultados. En matemáticas, este proceso lo
realiza el operador de Hutchinson:
nWWWW UUU ...21= (2.17)
La sucesiva aplicación del operador de Hutchinson en cada una de las
iteraciones aproxima la estructura, cuando el número de iteraciones tiende a
infinito, al atractor del sistema.
En particular, un mapa dado por una transformación lineal afín es de la forma:
W(x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f), (2.18)
36
Donde a, b, c, d, e, y f son números reales. Las transformaciones usadas en
cada iteración son seleccionadas aleatoriamente con una probabilidad pi,
donde i = 1,...N (El valor de esta fracción puede ser relacionado a la
probabilidad de fracturación (Turcotte, 1986)). Esto define un proceso
dinámico siempre y cuando las transformaciones lineales afines cumplan con
la condición de contracción, este proceso convergerá a un fractal (Barnsley,
1985). Para que la ecuación (2.18), cumpla con las condiciones de
contracción debe cumplirse que:
a2 + c2 < 1
b2 + d2 < 1 (2.19)
a2 + b2 + c2 + d2 < 1 + (ad - cb)2
Un ejemplo sencillo para ilustrar el uso del IFS es elegir como semilla inicial un
triangulo. A continuación, se crean tres copias reducidas de 1/3 del tamaño
original y se colocan de la forma que se muestra en la figura 20. A medida que
se va iterando, el sistema se aproxima cada vez más al Triangulo de Sierpinski.
Este resultado de sucesivas iteraciones recibe el nombre de atractor del
sistema. Lo verdaderamente curioso es que si la semilla inicial hubiese sido
cualquier otra figura, el resultado final seguiría siendo el mismo atractor.
Figura 20: Triangulo de Sierpinski con IFS
37
El sistema de ecuaciones que permiten crear esta figura es una simple rotación
y contracción:
⎜⎜⎝
⎛=
⎜⎜⎝
⎛=
⎜⎜⎝
⎛=
05.0
05.0
05.0
3
2
1
W
W
W
Cyx
Byx
Ayx
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
5.00
5.00
5.00
(2.20)
Donde A, B, C son los puntos de los vértices iníciales. De manera análoga, es
posible crear una red fractal utilizando esta misma técnica. El iniciador (o
semilla) es una fractura rectilínea simple que divide el cuadrilátero en dos
piezas, para crear este patrón fractal, siguiendo la técnica IFS, dos
transformaciones son necesarias, una rotación seguida por una reducción de
la figura inicial. Cada vez que las dos transformaciones son aplicadas para
crear una nueva generación de fracturas, el doble de las fracturas y
fragmentos que la anterior generación es creada.
2.3.4 Tipos de transformaciones afines
A continuación se listan los tipos de transformaciones que se pueden aplicar a
una estructura, en el caso de un objeto bidimensional. Las cuales pueden ser
fácilmente extendidas a una figura tridimensional.
• Traslación
38
Figura 21: Traslación del objeto por un factor α y β , para el eje x e y
respectivamente.
• Rotación
Figura 22: Rotación del objeto por un ángulo ϕ .
• Simetría con respecto a un eje
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
βα
yx
yxf1001
),(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
yx
sensen
yxfϕϕϕϕ
coscos
),(
39
Figura 23: Simetría con respecto al eje x del objeto por un factor 1 y -1, para el
eje x e y respectivamente.
• Re-escalado
Figura 24: Reescalado del objeto por un factor r, tanto el eje x como el eje y.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=yx
yxf10
01),(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yx
rr
yxf0
0),(
40
2.4-Análisis de series hidrológicas
Los modelos de series de tiempo han cobrado fuerza en las últimas décadas
en aplicaciones de series hidrológicas. La filosofía de estos modelos estadísticos
se basa en el hecho de que la gran mayoría de las series temporales, que
derivan de procesos del ámbito de la física y la economía, muestran una
fuerte correlación con sus valores en instantes pasados. La metodología
propuesta por Box y Jenkins en el epílogo de la década del setenta, para el
análisis y modelación de series de tiempo, se convirtió en una de las
herramientas más difundidas para el análisis de series cronológicas, cuando se
cuenta con un número grande de muestras.
Los principales problemas de estos modelos derivan del hecho de que los
registros estadísticos de caudales afluentes suelen ser de mala calidad debido
a la existencia de períodos de relleno. Otro aspecto a considerar es que estos
modelos, al ser modelos estadísticos, serán tanto mejores mientras más grande
sea el registro estadístico disponible para ajustar sus parámetros.
2.4.1 Modelos estocásticos
Lo que Box y Jenkins (1976) plantearon no fue un único modelo de serie
temporal, sino toda una familia de ellos que pudiesen ajustarse para explicar la
evolución de una variable a lo largo del tiempo. Son los denominados modelos
ARIMA:
tit
q
iiiti
p
it eexx ++∆=∆ −
=−
=∑∑
11
γφ (2.21)
Donde te es un ruido blanco idénticamente distribuido N(0, 2εσ ) , los
parámetros de la serie son φ e γ , mientras que tx es una muestra normal.
Partiendo de la definición de esta familia de modelos, la metodología Box-
Jenkins sigue un proceso que consta de cuatro fases:
41
1. Identificación: Se trata de elegir uno o varios modelos ARIMA como
posibles candidatos para explicar el comportamiento de la serie.
2. Estimación: Se realiza la estimación de los parámetros de los modelos
seleccionados.
3. Diagnóstico: Se comprueba la adecuación de cada uno de los
modelos estimados y se determina cuál es el más idóneo.
4. Predicción: Si el modelo elegido es satisfactorio se realizan las
predicciones de la variable.
Se trata pues de un procedimiento iterativo de prueba y error, hasta lograr
encontrar un modelo que nos satisfaga plenamente. La condición que
requiere esta familia de modelos es la condición de estacionareidad débil de
la serie, es decir los dos primeros momentos de la serie son constantes en el
tiempo y la autocorrelación de los datos decae exponencialmente a cero. Si
esto no ocurre se debe diferenciar la serie 1−−=∆ ttt xxx ó las veces que sea
necesaria para cumplir la condición.
¿Cuáles son las ventajas de este método frente a los métodos tradicionales?
Pankratz (1983) señala tres ventajas que justifican y aconsejan la utilización de
los modelos ARIMA: En primer lugar, los métodos tradicionales son, en su mayor
parte, modelos "ad hoc" o intuitivos, sin un fundamento sólido de estadística
matemática y teoría de la probabilidad. En segundo lugar, los modelos ARIMA,
como hemos dicho, no son un único modelo sino una familia completa de
posibles modelos. Por último, se puede demostrar que un modelo ARIMA
adecuado produce las predicciones óptimas, es decir, ningún otro modelo
univariante consigue predicciones con menor error medio cuadrático.
2.4.2 El fenómeno de Hurst
42
Pero qué sucede si el sistema no es independiente e idénticamente
distribuido? Para ello se requiere de métodos no paramétricos. Un método así
fue desarrollado por Hurst (1951), hidrólogo británico, quien estaba
particularmente interesado en los requerimientos a largo plazo del Rio Nilo.
Hurst extendió sus estudios a muchos sistemas naturales disponiendo de
alrededor de 690 series anuales de caudales, niveles de lagos, temperatura,
precipitación, entre otros. Con ello propuso una metodología estadística para
distinguir la aleatoriedad y la no aleatoriedad de un sistema basado en el
método tradicional de Rippl .
2.4.3 Calculo del Análisis de re escalado
H.E.Hurst (1900-1978) se dedicaba al diseño de presas. A mediados del siglo XX,
el trabajó en el proyecto de una presa en el rio Nilo. Él estudio el Nilo de forma
tan minuciosa que los egipcios le dieron el apodo del “Padre del Nilo”. El Río
Nilo posee un interesante problema para Hurst como hidrólogo. Cuando
diseñamos una presa, estamos interesados en la capacidad de
almacenamiento. La que depende del flujo entrante y la regulación debida a
la demanda de los distintos cultivos, por lo tanto la capacidad de
almacenamiento se estima por el flujo entrante y la demanda.
Muchos estudios comienzan asumiendo que la entrada del flujo es un proceso
aleatorio, un supuesto razonable debido a la complejidad del ecosistema.
Hurst, sin embargo estudio los registros de 847 años que poseían los Egipcios,
desde el año 622 A.C. al 1469 D.C, él observo que estos registros no parecían
ser aleatorios. Es más, las mayores crecidas parecían ser seguidas de otras
mayores. Abruptamente, el proceso podía cambiar a sequías seguidas de más
sequías. En el corto plazo, esto parecía ser cíclico, pero a la larga no era
periódico. El análisis convencional revelaba que no existía una correlación
estadística significativa entre las observaciones, por lo que Hurst desarrollo su
propia metodología.
Hurst tenía conocimiento de los trabajos de Einstein acerca del movimiento
Browniano (el camino errático que sigue una partícula suspendida en un
43
fluido). El movimiento Browniano es el modelo para procesos de camino
aleatorio, el cual dice que la distancia que una partícula aleatoria cubre se
incrementa con la raíz de tiempo usada como medida.
5.0TR = (2.22)
Donde R es la distancia cubierta y T es un índice temporal. Hurst sintió que
podía utilizar esta propiedad para analizar la supuesta aleatoriedad del Río
Nilo. Dada una serie de tiempo ordenada x= x1,…, xn. Se define el valor medio
xm:
( ) nxxx nm /...1 += (2.23)
La desviación estándar, se estima como:
( )∑=
−=
n
r
nrn n
xxs1
2
(2.24)
El rango re escalado se realiza primero estandarizando la serie en la media:
( )nrr xxz −= (2.25)
Si la serie x fuese normal, z tendría media cero. El siguiente paso es crear una
serie acumulada Y:
( )jj zzzY +++= ...21 (2.26)
Dado esta definición, el ultimo valor de la serie acumulada Y siempre será cero
debido a que z tiene media cero. El rango Rn se define como:
( ) ( )nnn YYYYR ++−++= ...min...max 11 (2.27)
Debido a que Y ha sido ajustado para una media cero, el máximo valor de Y
siempre será mayor o igual a cero, y el mínimo siempre será al menos igual a
cero. Por lo tanto, el rango R siempre será no negativo.
El rango R, es la distancia que el sistema viaja a través del tiempo. Si el
conjunto n=T, es posible aplicar la ecuación del movimiento Browniano,
siempre que la serie, x, sea independiente con media cero y varianza igual a
44
uno. Sin embargo, para aplicar esta ecuación a series de tiempo que siguen
un movimiento Browniano, es necesario generalizar la ecuación y tomar en
cuenta que el sistema no es independiente. Hurst encontró la siguiente
generalización de la ecuación:
( ) hn ncSR */ = (2.28)
Donde c es una constante. RS es el rango reescalado debido a que posee
media cero y esta expresada en términos de la desviación estándar. Si el
proceso de oferta (caudales entrantes) está formado por valores normales
independientes se puede demostrar que el valor de h es 0.5, Mandelbrot llamo
a este coeficiente como el “exponente de Hurst”.
Hurst encontró que para 837 series largas de eventos tales como
escurrimientos, precipitaciones, temperaturas, anillos de árboles, niveles de ríos
y lagos, presión atmosférica, capas de sedimentos lacustres y otros, la
constante h se distribuye normalmente con valor medio 0.73 y desviación
típica 0.092 (Hurst, 1951). El hecho de que H fuera distinto de 0.5 y 1.0 en series
geofísicas, fue denominado posteriormente por Lloyd (1967) como el
“fenómeno de Hurst”. Este es el primer contacto del fenómeno de Hurst con la
geometría fractal, recordando que todo escalamiento fractal se basa en una
ley de potencia.
2.4.4 Aleatoriedad y persistencia: Interpretación del exponente de
Hurst
De acuerdo a la teoría original, H=0.5 implicaría que un proceso es
independiente. Es importante recalcar que el análisis R/S no implica que el
proceso sea Gaussiano, sólo independiente. De hecho incluye distribuciones
normales, pero también puede incluir procesos independiente no Gaussiano
como la t-Student o Gamma, o cualquier otra forma. El análisis R/S es no
paramétrico, es decir, no requiere un tipo de forma de la distribución.
Mandelbrot (1975) demostró que el valor de H se encuentra acotado entre 0 y
1, explicando que este fenómeno ocurría debido a un síntoma de invarianza al
45
cambio de escala, que es la característica clave de las series de tiempo
fractales.
15.0 ≤Hp Implica una serie de tiempo persistente, y una serie persistente está
caracterizada por efectos de larga memoria. Teóricamente, los sucesos que
ocurren hoy impactan los sucesos futuros por siempre. Lo que puede ser
interpretado como sensible a las condiciones iníciales. Esta larga memoria
ocurre independiente de la escala de tiempo. Todos los cambios diarios están
correlacionados con todos los cambios diarios futuros, todos los cambios
semanales están correlacionados con todos los futuros cambios semanales.
5.00 pH≤ Implica anti persistencia. La anti persistencia consiste en la
tendencia de regresar constantemente al lugar de procedencia, y por tanto a
difundirse más lentamente que sus homólogos brownianos/aleatorios
(Mandelbrot, 1977).
Finalmente en el último tiempo pareciera haber decrecido el interés del
fenómeno de Hurst en los modelos hidrológicos, en parte luego de haberse
demostrado que corresponde a un fenómeno asintótico que se hace
constante cuando tiende a infinito, pero es función de la muestra para valores
finitos, situación que no corresponde a la realidad de los desarrollos hidráulicos
que presentan una vida útil de 50 años o menos ( Fernández, 1990).
2.4.5 Relación del exponente de Hurst con Dimensión fractal
Las series de tiempo que están en el rango de Hurst entre 0.5 y 1 se dicen
persistentes. Mandelbrot (1977) propuso un proceso estocástico continuo
denominado ruido Browniano fraccionario, el cual tiene la particularidad de
poseer “memoria infinita”, es decir, existen correlaciones en cualquier escala. Si
bien este modelo posee muchas dificultades, éstas pueden ser soslayadas a
través de un ruido Gaussiano Fraccionario (Mandelbrot, 1977).
El exponente de Hurst describe la posibilidad de que dos sucesos consecutivos
sucedan, lo que quiere decir que a mayor valor de este parámetro es mayor la
46
probabilidad de ocurrencia. El exponente de Hurst puede ser convertido a
dimensión Fractal usando la formula siguiente:
HD −= 2 (2.29)
Una serie de tiempo persistente resultaría una dimensión fractal más cercana a
una línea. Eso es, una línea más suave, con menos picos que una caminata
aleatoria. Una serie anti persistente arrojaría una dimensión fractal mayor, más
puntiaguda que una caminata aleatoria, o sea, un sistema sujeto a más
reveses lo que representa la anti persistencia.
2.5-Modelos de Memoria Larga En la presente sección se presentan los dos modelos de series de tiempo que
de alguna forma utilizan la geometría fractal, a través del calculo del
exponente de Hurst o análogamente la dimensión fractal, haciendo una
pequeña introducción del origen de cada uno de ellos, junto con el análisis
multifractal que consiste en una generalización del exponente de Hurst
basado en las wavelet.
47
2.5.1 Ruido Gaussiano Fraccionario Un modelo de larga memoria como la FGN fue introducido en la literatura
hidrológica por Mandelbrot y Wallis para explicar el fenómeno de Hurst, en el
que la ligazón entre ellos es el parámetro H. A través de los años se han
desarrollado avances con respecto a su estimación. Este incluye una
estimación eficiente de los parámetros, chequeo del modelo, pronóstico y
simulaciones precisas (Handbook of hidrology, 1993).
En el desarrollo de la FGN, Mandelbrot considero un proceso de tiempo
continuo BH(t) que satisface las propiedades de auto-similaridad para todo τ y
ε mayor que cero, BH(t+τ )-BH (t) tiene exactamente la misma distribución que
[BH(t+τ )-BH (t)]/ ε H, donde t es el tiempo y H es el parámetro del modelo.
Mandelbrot y Wallis derivaron una serie de propiedades para la FGN. Primero el
parámetro H debe estar entre 0 y 1. La media de la muestra y la varianza de
una FGN son estimadores consistentes de la media y varianza real. Cuando el
proceso BH(t) es Gaussiano, este es llamado movimiento Browniano fraccional.
Para un tiempo discreto es conocido como ruido Gaussiano fraccional que
puede ser definido de manera análoga utilizado para un tiempo continuo
(Saupe, 1988), específicamente una FGN puede ser definida como un proceso
que satisface la condición:
( ) ( )µµ lZ
lkkZ l
j
Hdk
i −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=− )()(
(2.30)
En que la simbología d= se refiere a igualdad en distribución y H es el
exponente de Hurst. La ecuación es válida para cualquier entero i y j (esto es,
el proceso es estacionario) y para cualquier escala k y l. Puede demostrarse
que para cualquier escala de tiempo k, la función de autocovarianza es
independiente de k, es decir (Koutsoyiannis, 2002):
( )HHHj
kj jjj 222)( 2)1()1(5.0 −−++== ρρ (2.31)
48
En el siguiente grafico se puede ver el descenso del autocorrelograma, para
distintos valores de H por lo que es posible apreciar la relación entre el
parámetro de Hurst y los procesos de memoria larga:
Correlograma FGN
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Retardo
Cor
rela
cion
H=0.50 H=0.55 H=0.60 H=0.65 H=0.70 H=0.75 H=0.80 H=0.85 H=0.90
H=0.95 H=1.0
Figura 25: Función de autocorrelación para un ruido Gaussiano Fraccional.
La matriz de correlación de NxN para la FGN está dada por:
[ ]jiN HC −= ρ)(
(2.32)
La descomposición de Cholesky está determinada como:
T
N MMHC =)( (2.33)
Donde M es una matriz triangular inferior de NxN con elemento mij. La FGN
puede estimarse a través de tres parámetros, la media, la varianza y el
exponente de Hurst.
49
Dada una serie de tiempo histórica z1, z2,.., zn el estimador de máxima
verosimilitud esta dado por:
( ) ooNo NHSHCLogHLogL γµγγµ log)2/(,)2()(*5.0),,( 1 −−−= −
(2.34)
La función ( )HS ,µ es igual a:
( ) ( ) ( )1)(1, µµµ −−= zHCzHS NT
(2.35)
Donde zT = (z1, z2,…, zn) es un vector de 1xN y 1T = (1, 1,…,1). La MLE para µ y
oγ , respectivamente son:
( )1)(1/)1)(( 11^
−−= HCHCz NT
NTµ (2.36)
( )HS
No ,1^µγ =
(2.37)
La función de máxima verosimilitud para H es:
( ) NHSNHCLogHLogL N /,log)2/()(*5.0)(max µ−−= (2.38)
Dada una serie FGN con parámetros µ , oγ y H a ser simulados. Primero, se
genera un ruido blanco Gaussiano ei NID(0,1). A continuación, se calcula la
matriz de correlaciones CN(H). Luego, se obtiene la descomposición de
Cholesky, para obtener:
( ) ∑
=
+=t
iitiot emz
1
5.0γµ (2.39)
Para comparar este modelo con otro, el AIC es un modelo parametrico útil
para discriminar entre ellos, el que posea el mínimo AIC será el mejor modelo:
50
4)(2 max +−= HLogLAIC (2.40)
Es reconocido por varios autores que la mayor complejidad de la hipótesis
fractal en series de tiempo lo constituye la carencia actual de herramientas de
análisis y modelado que faciliten predicciones adecuadas en mayor o menor
grado (E.E.Peters). No obstante, la investigación en ruido fraccional ofrece
perspectivas alentadoras.
2.5.2 ARFIMA Dentro de los modelos de memoria larga, el más utilizado es una variante al
clásico ARIMA. Es el llamado ARFIMA (autoregresivo integrado fraccional de
media móvil) el cual se comporta como un proceso de memoria larga y tiene
estructura fractal (Felix R.Doldan). Este modelo se caracteriza por ser flexible y
parsimonioso. Para definir un ARFIMA se debe extender el concepto de
diferenciación, para agregar todo el espectro de los números reales.
Granger y Joyeux (1980), observaron que muchas series que aparentemente
no eran estacionarias en media, al aplicar el análisis de Box-Jenkins, esto es,
diferenciar la serie para que sea estacionaria se producía un claro indicio de
sobrediferenciación. En forma análoga series que son doblemente
diferenciadas, no ocurre un cambio significativo de sus propiedades con
respecto a la primera diferenciación. Por lo tanto, para modelar este tipo de
series, la diferenciación parece “excesiva” pero la no diferenciación tampoco
es adecuada, ya que no cumplen con la hipótesis de estacionareidad débil.
Para cubrir este vacío entre los casos extremos de modelos ARIMA con raíces
unitarias (estacionario a la primera diferencia), típicamente utilizados para
modelar series no estacionarias cuyo nivel evoluciona temporalmente, y
modelos ARMA estacionarios donde el nivel medio es constante y la serie
vuelve relativamente rápido a dicho nivel, Granger (1980), Granger y Joyeux
(1980) y Hosking (1981) proponen una clase de procesos intermedios en los que
el orden de integración es fraccional.
51
Para definir el modelo ARFIMA el concepto de diferenciación debe ser
generalizado por medio de:
( )∑
∞
=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−=∇
0)1(
k
kdd BkdBB
(2.41)
Donde B es el operador de retardo. Para un modelo ARIMA, el valor de d es un
valor entero positivo cuando la serie debe ser diferenciada para remover la no
estacionaridad y nulo en el caso contrario. Un modelo ARFIMA (p,d,q) para
modelar una serie de tiempo se expresa como:
ttd aBzB )()( θφ =∇ (2.42)
Donde pp BBBBB φφφφφ ...1)( 3
32
21 −−−= corresponde al operador
autorregresivo de orden p, y qq BBBBB θθθθθ ...1)( 3
32
21 −−−= es el operador de
media móvil de orden q; y ta es un ruido blanco que es idénticamente
independiente distribuido con media cero y varianza 2σ . Además existe una
relación directa entre el exponente de Hurst y el operador diferencial
fraccional:
5.0−= Hd (2.43)
Hosking entrego el siguiente procedimiento para identificar y estimar un
modelo ARFIMA (p, d, q):
1- Estimación d en el modelo ARIMA(0,d,0) ttd ay =∆
2- Definir td
t yu ∆=
3- Utilizar un procedimiento de modelación Box-Jenkings, identificar
y estimar los parámetros en el modelo ARFIMA(p,0,q)
4- Definir )**(*)*( 1tt yBBx φθ −=
5- Estimar d en el ARFIMA(0,d,0) ttd ax =∆
52
6- Chequear la convergencia de los parámetros; sino convergen ir
al paso 2.
Hosking específicamente sugiere utilizar el análisis R/S para estimar d en los
pasos 1 y 5.
Una manera alternativa es utilizando el método de máxima verosimilitud que
se basa en que la serie a modelar, al igual como ocurre en el modelo ARMA,
debe ser normal de media µ y varianza ∑ junto con un procedimiento para
calcular las autocovarianzas:
)])([()( 1 µµ −−= −tt yyEic (2.44)
Donde ∑ corresponde a la matriz de varianzas:
.
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
=∑
)1(..
)2()1()0(
Tc
ccc
)2(
.)1()0()1(
−Tc
ccc
)2(
.)0()1()2(
c
ccc
..................
)0()1(
.
.)2()1(
cc
TcTc−−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
(2.45)
El Logaritmo de la verosimilitud es (donde el vector de datos a maximizar
estandarizado es z):
zzTdLogL e
12 '21log
21)2log(
2),,,,( −∑−∑−−= πσθφµ
(2.46)
El valor de la media es aproximado al promedio de la muestra, d se fijara al
valor obtenido del análisis R/S y el valor con respecto a la varianza del error se
obtiene analíticamente.
El valor de AIC se estima como:
KLAIC 2)log(*2 +−= (2.47)
Donde L representa la máxima verosimilitud del modelo estudiado, y k es el
numero de parámetros libre del modelo, más un parámetro adicional para la
varianza del error de la serie, es decir, ARMA(p, q) es k=p+q+1 y ARFIMA(p, d,
q) es k=p+q+2 (Kjerstein, 2007).
53
2.5.3 Análisis Multifractal Wavelet El concepto de multifractal surge para incluir en el esquema a conjuntos aún
más complejos, que presentan ley de escalado múltiple y que en su versión
más actual, la de los multifractales universales estocásticos, permite modelar
una gran variedad de procesos no lineales. Pueden encontrarse aplicaciones
físicas de estos objetos en campos como la física de altas energías, la
meteorología, las ciencias medioambientales y otros muchos en los que
actualmente se trabaja activamente con ellos (D. Eduardo Faleiro Usanos,
1998).
Los que a veces denominados fractales deterministas regulares, como la curva
de Von Koch o el triángulo de Sierpinsky, poseen una imagen en la que se
identifica de manera inmediata la autosimilaridad. En cambio, en los fractales
no regulares, como por ejemplo un perfil costero, no es fácil detectar esta
propiedad a menos que utilicemos algún procedimiento que revele el tipo de
dependencia de las propiedades del objeto con la escala de observación del
mismo.
Qué significado preciso tiene decir que un objeto real, tal como una costa es
un fractal? Lo que se afirma con ello es que puede definirse un modelo
matemático fractal que aproxima satisfactoriamente el objeto real, en toda
una franja de escalas limitada por ciertos valores máximo y mínimo que
llamaremos corte superior e inferior, según Mandelbrot. Mediante esta
precisión queda claro lo que significa que un objeto real posee determinada
dimensión de Haussdorf- Besikovich.
Con ello se alude a las correspondientes propiedades del modelo matemático
que aproxima al modelo real. Según esto, en el mundo real no existen fractales
como tampoco existen rectas ni esferas. Hablar de la dimensión fractal de una
costa no es más absurdo que hablar del radio de la tierra. Para estimar la
validez de un modelo fractal de un objeto real hay que tener en cuenta el
corte inferior de escalas, r, y el corte superior de escalas, R, que marcan los
54
límites entre los cuales existe una adaptación aceptable entre modelo
matemático y objeto real.
Mientras que para los conjuntos fractales el objetivo es la caracterización
geométrica de los mismos en términos del parámetro denominado dimensión
fractal, el cual, como se ha visto, admite una gran variedad de definiciones
según sea el tipo de análisis que se realice, las llamadas medidas multifractales
están relacionadas con el estudio de la distribución de cantidades físicas o de
cualquier otra naturaleza sobre un soporte geométrico.
Dicho soporte puede ser una recta, un plano o un volumen ordinarios o podría
ser también un fractal. Este concepto fue inicialmente introducido por
Mandelbrot dentro del contexto del estudio de la turbulencia y fue
desarrollado y extendido por él mismo a muchos otros campos. La aplicación
a la turbulencia fue desarrollada posteriormente por Frisch y Parisi y Benzi. El
posterior desarrollo teórico y conceptual, que abarca los que denominaremos
multifractales deterministas, fue llevado a cabo por Badii y Politi, Frisch y Parisi y
Jensen et al. (1985) los cuales pudieron asimismo contrastar el acuerdo entre
las observaciones experimentales y los modelos teóricos sencillos basados en
estas ideas. La aplicación de los multifractales a los procesos de agregación
por difusión limitada (DLA) ha sido llevada a cabo por Meakin et al.
(1985,1986), Meakin (1987b,c) y Halsey et al.
Por lo tanto, el simple conocimiento de la dimensión fractal de un objeto es
insuficiente para caracterizar su geometría, así como también cualquier
propiedad física inherente a dicho objeto. La dimensión fractal describe
objetos uniformes o sistemas homogéneos, pero no ofrece información alguna
a cerca de las bajas o altas distribuciones irregulares dentro del sistema. Por
ejemplo, el método fractal no hace distinción entre los dos cuadrados que se
muestran en la figura 26, a pesar de la notable diferencia en la proporción de
negro que cada uno de ellos contiene. Con la finalidad de obtener
información de este tipo, una generalización del concepto, “Los
Multifractales”, deberá ser usado.
55
Figura 26: Dos imágenes que poseen la misma dimensión fractal
El concepto de multifractales contempla un número infinito de dimensiones
fractales y por lo tanto puede ser más apropiado para la descripción de
propiedades físicas. Un proceso multifractal se caracteriza por eventos
extremos y más o menos aislados, asociados a una medida µ que representa
la “materia” contenida en cada píxel de la imagen (Chhabra, et al., 1989).
El análisis Wavelet es una técnica poderosa, para la compresión de
características complejas que existen en el mundo real como las propiedades
de multifractalidad, dependencia de largo plazo, no estacionariedad,
oscilaciones y tendencias. Utilizando el análisis wavelet es posible revelar las
características fractales de una serie de tiempo
La transformada wavelet es un producto convolucion de la secuencia de
datos (una función f(x), donde x es una variable espacial o temporal) por un
escalamiento y traslación dada por la wavelet madre )(xϕ . Los cambios de
escala y traslaciones dependen de dos parámetros; el parámetro de escala s
que aumenta (o comprime) la wavelet madre a la resolución requerida,
mientras el parámetro de traslación b mueve el análisis wavelet a la posición
deseada:
∫+∞
∞−
−= dx
sbxxf
sbsWf )(*)(1),)(( ϕ (2.48)
56
Donde s, b son reales, s>0 en el caso continuo del wavelet (CWT) y *ϕ es el
complejo conjugado ϕ . Por lo tanto, la transformada wavelet actúa como un
microscopio que revela más y más detalles mientras se avanzan de escalas
mayores a menores, la señal de la transformada puede ser representada
gráficamente por un mapeo de los coeficientes.
La wavelet madre usualmente sólo requiere que tenga media cero, pero para
los propósitos particulares del análisis multifractal, también requiere que sea
ortogonal para un cierto número de polinomios de orden bajo (Bogdan
Enescu, 2004), es decir:
∫+∞
∞−
= 0)( dxxxmϕ (2.49)
Una wavelet clásica que cumple con estas dos condiciones, es dada por una
sucesiva derivación de la función Gaussiana:
2/)( 2
)( xN
Nn e
dxdx −=ϕ (2.50)
La característica del wavelet es que puede revelar características de la
función f en un punto xo. Más precisamente, tenemos la siguiente relación de
potencia:
)()( ),( xoho
n sxsfW ≈ (2.51)
Donde h es el exponente de Hoelder, el símbolo (n), muestra que la wavelet
usada es ortogonal a polinomio de grado n.
Cuando analizamos una serie de tiempo utilizando técnicas “monofractales” el
exponente de Hurst es una medida media global de la auto-similaridad de la
serie, por lo que intrínsecamente se asume que este parámetro no es función
en esta caso del tiempo, sino es así hay que buscar un modelo que considere
múltiples exponentes de hurst y múltiples dimensiones fractales. El exponente
57
de Hoelder puede ser considerado una versión local (es decir, describe una
auto-similaridad local) del exponente de Hurst.
Tal que:
)()())(( qqqqf ταα −= (2.52)
dq
qdq )()( τα = (2.53)
qDqq )1()( −=τ (2.54)
δ
δδ
δ ln
ln
11lim
)(
1
0
∑=
→ −=
N
i
qDq (2.55)
Donde )(qα , ))(( qf α es el exponente de Hoelder y el espectro multifractal
respectivamente; mientras δ y )(δN son los parámetros del Box-counting,
longitud del cuadrado y la cantidad que cubre el objeto respectivamente. Los
espectros multifractales nos ayudan por tanto a distinguir con mayor claridad
dos objetos que tienen una dimensión fractal muy cercana, pero que se
puede apreciar notoriamente en ocasiones la diferencia en la distribución de
sus elementos.
58
Capitulo 3- Modelación con uso de fractales
3.1 Generalidades Con el propósito de corroborar, y utilizar la hipótesis de dependencia de largo
plazo que entregan los fractales en datos hidrológicos, se han seleccionado 5
series hidrológicas las que se encuentran en el rango de Hurst entre 0.5 y 1,
ubicadas en la subcuenca del río Salado en Turi, en la segunda región de
Antofagasta. A partir de los registros se han realizado las simulaciones con
modelos de memoria larga, y se ha calculado el parámetro Akaike para poder
realizar una comparación entre ellas.
Aunque no se cuenta con información del mapa de fracturas de la zona, se
darán las pautas ha seguir para que dado un mapeo, se genere
sintéticamente el sistema a través del uso de fractales sintéticos comparando
ambos sistemas por medio de la dimensión fractal. Esta información es posible
exportarla a un archivo CAD para que sea incorporado ha algún software
comercial como Feflow, para el estudio de la zona no saturada.
3.2 Antecedentes generales
59
La zona de estudio se ubica aproximadamente a 12 Km. al Este de la Cordillera
Andina (ver figura 27), entre los paralelos 22º06’ – 22º17’ y los meridianos 68º30’
-22º17, abarcando las aldeas de Cupo, Caspana y Ayquina.
La ubicación de la cuenca dentro de la Segunda Región se presenta en la
figura:
Figura 27: Ubicación de la cuenca Río Salado
El clima se caracteriza por una gran amplitud térmica diaria, fuertes vientos y
poca precipitación en las partes mas bajas.
El rango de precipitación anual es de 50mm en el sector SW de la cuenca y
más de 200 mm en los volcanes del sector NE.
La evaporación potencial, es aproximadamente de 8 mm/dia, aunque en los
volcanes del sector NE la evaporación es muy poca debido a que la
temperatura promedio anual es bajo los 0° C.
Delimitación de la cuenca e hidrografía
60
La región de estudio, forma parte de la subcuenca del río Salado (ver figura
28), que pertenece al sistema hidrográfico del río Loa. Este recorre por la parte
occidental del área, donde recibe el aporte del río Salado.
Figura 28: cuenca Río Salado El drenaje superficial es muy desarrollado en parte SE del área, por la presencia
de los ríos Toconce, Ojalar, Salado, Talicuna y Caspana, proviniendo todos de
la región de El Tatio, o desde los volcanes al Norte de éste.
Mientras que el agua subterránea entra a las zonas de descarga en la región
de Turi por tres vías principales; una desde la parte NNE, a través de sedimentos
aluviales; otra desde la NE, a través de un flujo de la lava andesitica, y la
tercera desde el E por sedimentos aluviales
Geomorfología La morfología de la zona se caracteriza por la presencia de una vasta llanura
suavemente inclinada hacia el Suroeste, formada por capas de rocas
eruptivas y estratos de sedimentos aluviales y lacustres.
61
La zona esta limitada al Norte y Este por una serie de volcanes pertenecientes
a la Cadena de los Andes, mientras que el río Loa constituye el límite Oeste.
La elevación media de la parte central del area está comprendida entre los
3000 y 3300 m.s.n.m., mientras que los volcanes alcanzan alturas de hasta 6000
m.
En la parte central se encuentra un área casi horizontal (la pendiente es de
aproximadamente 1%), donde se ubica un deposito salino aparentemente mal
desarrollado, denominado Playa de Turi. La costra de sal formada sobre los
depósitos aluviales y de las rocas piroclásticas es delgada, debido al hecho
que la Playa está drenada al Oeste por las quebradas Cupo y Turi. Dicha Playa
esta bordeada por vegas donde se presentan formas freatófiras de tipo
halófiras.
Tectónica La característica tectónica de mayor importancia de la zona, derivada de la
existencia de sistemas de fallas y diaclasas verticales que se presentan
principalmente en la parte central, al Oeste de Turi.
El sistema mas pronunciado está formado por las fallas verticales con rumbo
NNW. Fracturas y fallas pertenecientes a este sistema se encuentra desde las
ignimbritas, en el Norte, hasta las rocas riolíticas de los Cerros de Ayquina. En la
parte central estas fallas tienen un considerable desplazamiento. El efecto del
movimiento producido ppor las fallas es menor para los estratos ignimnríticos y
sedimentarios superiores que para los estratos subyacentes.
Otro sistema de fallas y fracturas tienen rumbo NE. También se trata de
fracturas casi verticales cuyo salto provoca la desviación de la Quebrada de
Turi, Quebrada Divisoco y Río Salado. También el curso del Río Loa está dirigido
por este sistema.
62
Es probable que la llanura de Chiu-Chiu se haya formado por hundimiento de
un bloque fallas del sistema principal NNW. Igualmente, un área baja, al Oeste
de la Cuesta Divisoco, probablemente representa un bloque hundido,
provocado por el callamiento de los dos sistemas.
3.3 Estaciones estudiadas Se cuenta con una serie de estaciones con distintos parámetros de medición
(caudal, niveles estáticos y precipitación) a nivel mensual, ubicados en la
cuenca de Río Salado. Sobre cada una de ellas se calcula el exponente de
Hurst para verificar su comportamiento fractal.
Figura 29: Ubicación de las estaciones estudiadas en la cuenca Las características de las estaciones analizadas se muestran en la Tabla 3.1:
Tabla 3.1: Estaciones analizadas en la cuenca Salado
63
Coordenadas UTM Longitud de registro
Este Norte Cota Estación [m] [m] [m]
PARAMETRO Inicio Termino
Turi 7 575,104 7,540,382 3088 Piezómetro 1994 2006 Río Salado Junta Río Curti 578,206 7,536,439 3100 Fluviómetro 1975 2006 Río Salado Sifón Ayquina 567,699 7,535,357 3031 Fluviómetro 1975 2006 Río Salado Junta Río Loa 536,875 7,526,674 2500 Fluviómetro 2002 2006
Salado Embalse 582,269 7,535,748 3200 Pluviómetro 1974 2007
3.4 Registros disponibles En las Tablas 3.2 a 3.6, se presentan las estadísticas de cada una de las
estaciones estudiadas:.
Tabla 3.2: Registro de precipitaciones en Salado Embalse Año enero febrero marzo abril mayo junio julio agosto septiembre octubre noviembre diciembre
1974 - - - - - - - - - 0,0 0,9 1,2
1975 11,5 0,6 0,0 0,5 2,0 0,0 0,2 5,1 0,0 0,0 0,0 0,5
1976 69,5 13,0 0,0 0,0 2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1977 5,0 161,0 9,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1978 2,0 21,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1979 7,5 0,0 9,3 0,0 0,0 5,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1980 0,0 3,0 8,8 0,0 0,5 0,0 2,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1981 2,7 53,5 0,0 3,9 0,0 0,0 0,0 0,3 2,0 0,0 0,0 0,0
1982 0,0 0,0 4,0 0,0 4,0 0,0 0,0 0,0 5,0 0,0 0,0 0,5
1983 1,5 1,3 6,0 0,4 4,5 2,4 0,5 0,0 9,0 0,0 0,0 9,4
1984 121,2 30,7 3,9 0,0 0,0 17,5 0,0 0,0 0,0 8,0 0,0 0,0
1985 0,0 50,2 18,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 4,0
1986 78,8 21,0 0,4 0,0 0,0 0,6 0,0 16,0 0,0 0,0 2,0 14,0
1987 31,0 25,2 33,5 0,0 0,0 5,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1988 2,0 0,0 20,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1989 0,0 101,8 0,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1990 3,5 4,0 13,5 0,0 0,0 6,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 18,6
1991 1,0 0,0 1,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1992 9,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5,8
1993 31,5 0,7 47,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1994 0,0 0,0 36,5 0,0 0,0 0,0 0,0 1,5 1,0 0,0 0,0 4,5
1995 41,5 0,0 7,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,0 0,0 0,0
1996 0,9 2,5 6,9 0,0 0,0 0,0 0,0 17,5 0,0 0,0 0,0 9,0
1997 17,0 28,0 8,8 0,0 3,2 0,0 0,0 16,0 1,5 0,0 0,0 0,0
64
1998 6,5 27,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1999 0,0 45,7 22,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,3
2000 113,5 0,0 3,0 0,0 0,0 0,2 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2001 9,1 125,7 189,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2002 0,0 19,7 57,5 0,0 0,0 0,0 2,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2003 0,0 8,8 0,0 0,0 5,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2004 0,0 18,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2005 74,5 1,5 5,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,2 0,0
2006 7,0 47,9 1,6 0,1 0,8 3,6 0,0 2,1 0,4 0,1 0,0 1,5
2007 1,9 3,7 0,0 0,0 0,4 4,2 - - - - - -
Tabla 3.3: Registro de caudales en Salado antes junta Río Curti Año Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
1975 - - - - - - - - - - - 1,5
1976 2,8 2,0 1,7 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4 1,5 1,5
1977 1,6 12,6 2,0 1,6 1,6 1,6 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,5
1978 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4
1979 1,6 1,4 1,5 1,4 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4
1980 1,5 1,7 1,6 1,5 1,4 1,5 1,5 1,4 1,7 1,7 1,5 1,5
1981 1,5 2,0 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1982 1,4 1,5 2,0 2,0 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,5
1983 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,5 1,4 1,5 1,4 1,4 1,4
1984 2,9 1,8 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1985 1,4 1,8 2,4 1,4 1,4 1,4 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1986 1,5 1,6 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,5
1987 2,1 1,5 1,6 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1988 1,4 1,4 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1989 1,4 2,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1990 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1991 1,6 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1992 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1993 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1994 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1995 2,1 1,5 1,5 1,4 1,4 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4
1996 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1997 1,4 2,5 1,7 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1998 1,7 1,6 1,4 1,4 1,4 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
1999 1,4 2,4 2,8 1,5 1,6 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4
2000 4,0 1,7 1,6 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4
2001 1,5 7,5 7,7 1,7 1,7 1,7 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,5
2002 1,4 1,5 2,2 1,6 1,6 1,5 1,6 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4
65
2003 1,4 1,5 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5
2004 1,5 4,7 1,4 1,4 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4
2005 2,3 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4
2006 1,6 3,1 1,7 1,5 1,5 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 2,2
Tabla 3.4: Registro de caudales en Salado en Sifón Ayquina Año Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
1975 - - 2,4 2,3 2,2 2,3 2,2 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8
1976 2,8 2,3 2,1 2,0 2,0 2,0 2,0 1,9 2,0 1,8 2,1 2,1
1977 2,3 2,3 2,4 2,1 2,0 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8
1978 1,9 1,9 1,8 1,9 1,9 2,0 2,0 2,0 1,8 1,8 1,8 1,8
1979 2,1 1,8 1,9 1,9 2,0 2,0 1,9 2,0 1,9 1,8 1,8 1,9
1980 1,8 1,9 2,0 1,9 1,9 1,9 2,0 1,9 2,0 1,9 1,9 1,9
1981 1,9 2,6 1,9 2,2 3,2 1,9 1,9 2,0 2,0 1,8 1,8 1,8
1982 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,7 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1983 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 2,0 1,9 1,7 1,8
1984 2,7 2,2 2,0 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8
1985 1,8 2,4 2,4 1,8 1,8 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1986 1,8 2,0 1,8 1,8 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,7 1,7 1,7
1987 1,7 1,8 2,0 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,7 1,9 1,8 1,8
1988 1,9 1,8 2,2 1,8 1,7 1,8 1,8 1,8 1,9 1,8 1,8 1,8
1989 1,8 3,0 1,8 1,8 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1990 1,7 1,8 1,8 1,8 1,8 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1991 2,0 1,8 1,8 1,7 1,8 1,8 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1992 1,8 1,8 1,8 1,7 1,8 1,8 1,8 1,7 1,8 1,7 1,7 1,7
1993 1,8 1,7 1,7 1,7 1,7 1,8 1,8 1,9 1,8 1,8 1,7 1,7
1994 1,7 1,7 1,8 1,8 1,8 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1995 2,4 1,9 1,9 1,8 1,9 2,0 1,9 2,0 1,9 1,9 1,8 1,8
1996 1,8 1,8 1,8 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1997 1,8 2,8 2,1 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1998 2,0 2,0 1,8 1,8 1,8 2,0 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
1999 1,9 2,2 2,7 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8
2000 3,8 2,2 2,0 1,8 1,9 1,9 1,8 1,8 1,9 1,9 1,8 1,7
2001 1,9 4,0 4,6 2,3 2,0 1,9 2,0 2,0 2,0 1,9 1,9 1,8
2002 1,8 1,9 3,7 1,9 1,9 2,0 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8
2003 1,8 2,0 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 2,0 1,9 1,9 1,8 1,9
2004 1,8 3,7 1,8 1,9 1,9 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8
2005 2,6 1,8 1,8 1,8 1,9 2,0 1,9 1,9 1,9 1,9 1,8 1,9
2006 2,1 4,0 2,6 1,8 1,9 2,0 1,9 1,9 1,9 1,8 1,8 1,8
66
Tabla 3.5: Registro de caudales en Salado junta en Río Loa Año Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre2002 - - - - - - - 2.1 2.0 2.0 1.9 1.9 2003 1.9 2.0 2.0 2.1 2.1 2.1 2.1 2.0 2.0 1.9 1.9 2.0 2004 1.9 2.6 2.0 2.0 2.1 2.2 2.2 2.1 2.1 2.0 2.0 1.9 2005 3.0 2.1 2.1 2.1 2.2 2.3 2.3 2.3 2.1 2.0 2.0 2.1 2006 2.1 4.1 2.3 2.1 2.2 2.3 2.2 2.2 2.1 2.1 2.0 1.9
Tabla 3.6: Registro de niveles estáticos en Turi Año Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre1994 - - 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.8 16.9 16.9 16.9 16.9 1995 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 1996 16.9 16.9 16.9 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 1997 17.0 17.0 17.0 17.0 16.9 16.9 17.0 17.0 16.9 16.9 16.9 16.8 1998 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.8 16.8 16.9 16.8 16.8 16.8 16.8 1999 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 2000 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 16.8 2001 16.8 16.8 16.7 16.7 16.7 16.7 16.8 16.8 16.7 16.8 16.8 16.8 2002 16.8 16.8 16.8 16.7 16.7 16.7 16.8 16.7 16.7 16.7 16.7 16.7 2003 16.7 16.8 16.8 16.8 16.8 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 16.9 2004 16.9 16.9 16.9 16.9 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 16.9 17.0 17.0 2005 17.0 17.0 16.9 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 16.9 17.0 2006 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0 17.0
3.5 Exponente de Hurst
El exponente de Hurst se obtiene a partir de la pendiente de la recta del
método de Re escalado, el cálculo se realizo desde los primeros 20 datos hasta
la serie completa:
67
Precipitacion Salado Embalse
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000
Ln(n)
Ln(R
S)
Figura 30: Método reescalado Precipitación Salado Embalse
EL análisis RS en la serie de precipitaciones se ajusta bien a una línea recta,
aunque existen ciertos tramos con tendencias que difieren del ajuste global.
Salado antes junta Rio Curti
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000
Ln(n)
Ln(R
S)
Figura 31: Método reescalado Salado Antes junta rio Curti
En el análisis RS en la serie de caudales se aprecian dos tramos con
tendencias bien marcadas.
68
Salado en Sifón Ayquina
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000
Ln(n)
Ln(R
S)
Figura 32: Método reescalado Sifón Ayquina
De la figura 32 se puede apreciar que existen varios tramos correlacionados,
pero si se toman todos los datos del registro se ajusta bien a una línea recta.
Río Salado Junta Río Loa
0.000
0.500
1.000
1.500
2.000
2.500
0.000 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500
Ln(n)
Ln(R
S)
Figura 33: Método reescalado río Salado junta río Loa
Aunque el análisis RS en la serie de caudales se ajusta a una línea recta, se
puede apreciar claramente la existencia de tendencias locales en varios
tramos de la serie.
69
Niveles Estaticos Turi 7
-0,500
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
4,500
0,000 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000
Ln(n)
Ln(R
S)
Figura 34: Método reescalado Niveles Estáticos Turi 7.
EL análisis RS en la serie de niveles estáticos se ajusta bien a una línea recta,
con pequeñas oscilaciones en los primeros tramos.
El método RS en general se ajusta bien en cada una de las series individuales
analizadas, aunque en la figura 32 Y 33, es posible apreciar ciertas oscilaciones
y correlaciones lo que puede interpretarse como un comportamiento
multifractal, es decir, mas de una dimensión característica a nivel mensual,
pero que no difieren de manera importante con las estimadas cuando se
toma la serie completa. A continuación se resume el valor del parámetro de
Hurst para cada una de las series:
Tabla 3.7: Resumen exponente de Hurst
Estación Hurst
Precipitación Salado Embalse 0,595
Salado antes junta Río Curti 0,627
Salado Junta Río Loa 0,722
Salado en Sifón Ayquina 0,758
Niveles Estáticos Turi 7 0,912
En la Tabla 3.7, se aprecia que las estaciones seleccionados abarcan el rango
de memoria larga, el cual posee una estructura fractal (Mandelbrot, 1983).
Además, el valor del exponente de Hurst es el mas bajo comparativamente en
70
la estación de precipitaciones, mientras que los niveles estáticos es el mas alto.
Lo cual puede interpretarse como la dependencia que poseen estos
parámetros a nivel del sistema, es decir, los niveles estáticos dependen tanto
de las precipitaciones como de la infiltración en los estratos de suelo, en
cambio las precipitaciones es una variable independiente.
3.6 Modelación Ruido Gaussiano Fraccionario
La simulación de las series de tiempo requiere la generación sintética de los
valores de correlación de la serie a partir del cálculo del exponente de Hurst. A
continuación se presentan las correlaciones sintéticas derivadas de la
ecuación (2.31):
Autocorrelograma Precipitacion Salado Embalse
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 50 100 150 200 250
Desfase
Cor
rela
cion
SerieFGN
Figura 35: Autocorrelograma de la serie de Precipitaciones vs la sintética
generada por el ruido Gaussiano Fraccionario
De la figura 35, se aprecia que la dependencia de valores desaparece a los 12
datos y la estimación del Correlograma a través del FGN modela bien la
tendencia, pero no así la varianza de los datos.
71
Autocorrelograma Salado antes junta Río Curti
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Desfase
Cor
rela
cion
SerieFGN
Figura 36: Autocorrelograma de la serie Salado Antes junta rio Curti vs la
sintética generada por el ruido Gaussiano Fraccionario
La correlación de los datos para la serie de caudales en Salado junta río Curti
desaparece a los 3 datos. Mientras que el correlograma sintético se ajusta
bastante bien al de la serie de caudales.
Autocorrelograma Salado en Sifón Ayquina
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Desfase
Cor
rela
cion
SerieFGN
Figura 37: Autocorrelograma de la serie Sifón Ayquina vs la sintética generada
por el ruido Gauusiano Fraccionario
La dependencia de los valores, en la figura 37, desaparece rápidamente en la
serie de caudales. Mientras que el correlograma sintético también pierde su
dependencia en el mismo paso, si se asume que bajo un valor 0.2.
72
Autocorrelograma Salado junta Río Loa
-0.400
-0.200
0.000
0.200
0.400
0.600
0.800
1.000
1.200
0 10 20 30 40 50 60
Desfase
Cor
rela
cion
Serie
FGN
Figura 38: Autocorrelograma de la serie Río Salado Junta Río Loa vs la sintética
generada por el ruido Gauusiano Fraccionario
En la figura 38, la serie de caudales se independiza en los primeros valores al
igual que la serie sintética, asumiendo un valor de independencia de 0.2, pero
no logra reproducir los saltos del correlograma de la serie.
Autocorrelograma Niveles Estaticos Turi 7
-1,00
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Desfase
Cor
rela
cion
SerieFGN
Figura 39: Autocorrelograma de la serie Niveles Estáticos Turi 7 vs la sintética
generada por el ruido Gaussiano Fraccionario
De la figura 39, se aprecia que la dependencia de valores no desaparece y la
estimación del Correlograma a través del FGN no representa la tendencia ni
73
se ajusta al comportamiento que tiene la correlación de valores a lo largo del
tiempo.
Simulación
A partir de los correlogramas sintéticos del apartado anterior, se utiliza la
ecuación (2.39) para la simulación de cada una de las series, y se calcula su
parámetro de Akaike correspondiente
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse
R2 = 0,9113
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Figura 40: Simulación Ruido Gaussiano Fraccional Precipitación Salado Embalse
La simulación a través de FGN en la estación de precipitaciones logra un buen
ajuste de los datos, mientras los datos simulados presentan diferencias
considerables para las precipitaciones máximas medidas en la cuenca.
74
Caudales Mensuales, Estacion Salado antes junta Río Curti
R2 = 0,9387
1,50
3,50
5,50
7,50
9,50
11,50
13,50
1,50 3,50 5,50 7,50 9,50 11,50 13,50
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Figura 41: Simulación Ruido Gaussiano Fraccional Salado Antes junta rio Curti.
La línea de tendencia de la FGN en la estación del Salado logra un buen
ajuste de los datos, mientras los datos simulados presentan pequeñas
diferencias en los valores mínimos se muestran diferencias considerables con
los valores máximos.
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifón Ayquina
R2 = 0,9298
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Figura 42: Simulación Ruido Gaussiano Fraccional Salado en Sifon Ayquina.
75
En la estación en Ayquina, la simulación a través de la FGN, logra un buen
ajuste de los datos, simulando correctamente los valores medios medidos con
diferencias apreciables en los valores extremos.
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa
R2 = 0.4252
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Figura 43: Simulación Ruido Gaussiano Fraccional Salado Junta Río Loa.
La línea de tendencia de la FGN en la estación en Salado Junta Río Loa es
muy deficiente tanto en el ajuste de los datos como la coincidencia entre los
datos medidos y observados.
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7
R2 = 0,0012
16,65
16,70
16,75
16,80
16,85
16,90
16,95
17,00
17,05
17,10
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
Niveles Observadas
Niv
eles
est
imad
as
Linea de coincidencia
76
Figura 44: Simulación Ruido Gaussiano Fraccional Niveles Estáticos Turi 7.
La simulación a través de FGN de los niveles estáticos es muy deficiente en el
ajuste de los datos, se aprecia que la simulación puede ser una buena medida
de los valores medios de la serie, pero no de los valores altos.
Se puede inferir que el nivel de coincidencia de los valores simulados v/s
observados está altamente condicionado a la generación sintética de las
correlaciones del modelo, pero no así al grado de ajuste del coeficiente de
Hurst. En general el modelo presento un buen ajuste para los valores mínimos
de cada una de las series, pero fue bastante deficiente a la hora de estimar los
valores máximos.
Tabla 3.8: Parámetro AIC de las series simuladas
Estación AIC
Salado Embalse 5,73
Salado en Sifón Ayquina -86,21
Salado antes junta Río Curti -8,25
Salado Junta Río Loa 3.30
Niveles Estáticos Turi 7 -152,30
Los valores de la tabla 3.8, fueron calculados a través de la ecuación 2.40. Los
mejores ajustes se presentaron para los valores menores del AIC en modulo.
ARFIMA
A continuación se presentan las simulaciones de las series para los mejores
valores del AIC, para distintos números de parámetros que mantengan una
parsimonia con los datos. Se ha utilizando el software Cronos desarrollado por
Anthony Brockwell del Departamento de Estadística de la Carnegie Mellon, el
77
resto de las simulaciones para distintos número de parámetros se pueden
encontrar en el anexo 1:
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse(3,0,095,1)
R2 = 0,5597
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Figura 45: Simulación Precipitación Salado Embalse a través del modelo
ARFIMA(p, d, q)
La línea de tendencia en el modelo ARFIMA en la estación de precipitaciones
no posee un buen ajuste. Es posible apreciar en el grafico, que mientras mas
altos son los valores de la serie es más alta la diferencia entre la simulación y lo
observado.
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti(3,0,127,3)
R2 = 0,554
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
78
Figura 46: Simulación Salado antes junta Rio Curti a través del modelo
ARFIMA(p, d, q)
La simulación a través del modelo ARFIMA en la estación del Salado posee
una mala correlación entre sus datos, existe una muy baja coincidencia en
todos los valores medidos v/s observados.
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina(3,0,258,1)
R2 = 0,8244
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Figura 47: Simulación Salado en sifón Ayquina a través del modelo ARFIMA(p,
d, q)
La línea de tendencia del modelo ARFIMA en la estación Ayquina posee un
buen ajuste, en general existe una buena calibración de los datos, pero los
valores más altos no son simulados de manera correcta.
79
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa (1,0,222,1)
R2 = 0.8204
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Figura 48: Simulación Salado Junta Río Loa a través del modelo ARFIMA(p, d, q)
La simulación a través del modelo ARFIMA en la estación del Salado posee
una mala correlación entre sus datos, los valores medios presentan un buen
ajuste entre los datos medidos v/s observados no así los mínimos y máximos de
la serie.
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7(2,0.412,2)
R2 = 0,2351
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
17,40
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
Niveles Observadas
Niv
eles
est
imad
as
Linea de coincidencia
Figura 49: Simulación Niveles Estáticos Turi 7 a través del modelo ARFIMA(p, d,
q)
80
Los valores de la serie simulada en la figura 49 no pudieron reproducir ninguno
de los valores de la serie observada, aunque las diferencias no son muy altas.
La línea de tendencia tampoco posee un buen ajuste.
La simulación a través del modelo ARFIMA en todas las series analizadas fue
muy deficiente, tanto en el ajuste de los datos como el pronostico de valores
extremos, esto se puede deber al grado de incerteza originado de maximizar
la verosimilitud o que el parámetro d no sea el mas correcto para poder lograr
que la serie sea estacionaria.
Tabla 3.9: Parámetro AIC de las series simuladas
Estación AIC
Precipitación Salado Embalse 354,26
Salado antes junta Río Curti 811,13
Salado en sifón Ayquina 127,85
Salado Junta Río Loa 38.98
Niveles Estáticos Turi 7 -422,68
Los valores de la tabla 3.9, fueron calculados a través de la ecuación 2.47. Los
mejores ajustes se presentaron para los valores menores del AIC en modulo.
3.7 Análisis Multifractal Wavelet
Aunque el análisis Wavelet es recomendable realizarlo para sistemas más
complejos, se ha añadido al análisis de la serie para poder encontrar patrones
comunes o diferenciadores que puedan no hallarse del análisis del método de
Re escalado. El Mapeo de los coeficientes ϕ para las distintas estaciones se ha
realizado a partir de la ecuación (2.50) y el uso del paquete de Matlab
llamado FracLab:
81
Figura 50: Mapeo de los Coeficientes Wavelet, Precipitación Salado Embalse
El análisis wavelet sobre la estación de precipitaciones muestra zonas de alta
ajuste de los coeficientes, lo que se puede interpretar que la serie posee
propiedades multifractales.
Figura 51: Mapeo de los Coeficientes Wavelet, Salado antes junta rio Curti
82
En la estación del Salado el análisis wavelet muestra zonas de alta ajuste de los
coeficientes en ciertas frecuencias, lo que se puede interpretar que la serie
posee propiedades multifractales.
Figura 52: Mapeo de los Coeficientes Wavelet, Salado Sifón Ayquina
El análisis wavelet sobre la estación en Ayquina muestra zonas de alta ajuste
de los coeficientes en ciertas frecuencias, lo que se puede interpretar que la
serie posee propiedades multifractales.
83
Figura 53: Mapeo de los Coeficientes Wavelet, Salado Junta Río Loa
En la estación en Salado Junta Río Loa el análisis wavelet muestra zonas de
alta ajuste de los coeficientes en ciertas frecuencias, lo que se puede
interpretar en que la serie posee propiedades multifractales.
Figura 54: Mapeo de los Coeficientes Wavelet, Niveles Estáticos Turi 7
84
El análisis wavelet sobre los niveles estáticos muestra poco ajuste de los
coeficientes de las waveletes, lo que se puede interpretar que la serie no
posee propiedades multifractales como lo muestra el análisis RS.
3.8 Sistemas de funciones iteradas
En el siguiente apartado se muestra la configuración de distintos mapas de
fracturas, generados a partir del método IFS junto con el cálculo de su
dimensión fractal respectiva. Se incluye una tabla para cada uno de ellos con
las transformaciones utilizada, junto con el cálculo de las condiciones de
contracción.
Figura 55: Mapa de fractura sintético a través de IFS
En la figura 55, se puede visualizar el mapa de fracturas generado
simplemente con traslaciones de una fractura.
Tabla 3.10: Coeficientes Transformaciones
a b c d e f
1.00 0.00 0.00 1.00 0.50 0.00
1.00 0.00 0.00 -1.00 0.00 0.50
La tabla 3.10, se pueden apreciar las transformaciones realizadas a la fractura.
Se realizaron transformaciones de traslación unitaria en cada uno de los ejes.
85
Tabla 3.11: Condiciones de Contracción
Condición 1º Transformación 2º Transformación
1 1.00 1.00
2 1.00 1.00
3 1.00 1.00
La tabla 3.11, muestra las condiciones se contracción. Se puede apreciar que
no son cumplidas, pero aun así el mapa de fracturas sintéticas converge.
Figura 56: Box counting del mapa de fracturas
En la figura 56, se realizo el conteo de cajas del mapa de fracturas sintético
obteniéndose un valor de D igual a 1.09.
86
Figura 57: Mapa de fractura sintético a través de IFS
En la figura 57, se genero el mapa de fracturas con distintas transformaciones
a partir de una fractura simple.
Tabla 3.12: Coeficientes Transformaciones
a b c d e f
-0.50 0.86 0.75 0.50 0.10 0.00
-0.70 0.71 0.57 0.70 0.00 0.10
La tabla 3.12, se pueden apreciar las transformaciones realizadas a la fractura.
Se realizaron transformaciones de traslación y de rotación de la figura inicial.
Tabla 3.13: Condiciones de Contracción
Condición 1º Transformación 2º Transformación
1 0.81 0.82
2 0.99 0.99
3 1.00 1.00
La tabla 3.13, muestra las condiciones de contracción. Se puede apreciar que
no todas cumplen, pero aun así el mapa de fracturas sintéticas converge.
87
Figura 58: Box counting del mapa de fracturas
En la figura 58, se realizo el conteo de cajas del mapa de fracturas sintético
obteniéndose un valor de D igual a 1.44.
Figura 59: Mapa de fractura sintético a través de IFS
En la figura 59, se puede visualizar el mapa de fracturas generado a partir de
distintas transformaciones, obtenido de una fractura simple.
88
Tabla 3.14: Coeficientes Transformaciones
a b c d e f
-0.50 0.86 0.75 0.50 0.50 0.00
-0.70 0.71 0.57 0.70 0.00 0.50
La tabla 3.14, se pueden apreciar las transformaciones realizadas a la fractura.
Se realizaron transformaciones de traslación y de rotación de la figura inicial.
Tabla 3.15: Condiciones de Contracción
Condición 1º Transformación 2º Transformación
1 0.81 0.82
2 0.99 0.99
3 1.00 1.00
La tabla 3.15, muestra las condiciones se contracción. Se puede apreciar que
no todas cumplen, pero aun así el mapa de fracturas sintéticos converge.
89
Figura 60: Box counting del mapa de fracturas
En la figura 60, se realizo el conteo de cajas del mapa de fracturas sintetico
obteniéndose un valor de D igual a 1.13.
3.9 Metodología propuesta para roca fracturada
A partir de la información entregada por un especialista en el área geológica,
que identifique zonas homogéneas, se obtiene el mapa de fracturas de cada
una de las zonas a analizar. Se debe corroborar que el sistema siga una ley de
potencias con dimensión fraccionaria (ver figura 61).
90
Figura 61: Corroboración del comportamiento autosimilar de la zona de fractura.
Luego se genera un mapa de fracturas sintético ajustando el modelo de
dimensión fractal equivalente con el código Matlab del anexo 1, como se
muestra en la Figura 62:
91
Figura 62: Generación sintética de fracturas en Matlab Una vez generado el fractal sintético, se debe calcular su dimensión para
confrontar su valor con respecto al valor obtenido del mapa real. Con el fin de
asegurar que la distribución del sintético se ajuste al mapeado real, debido a
las limitaciones de la dimensión fractal (ver sección 2.5.3), se grafica el ajuste
del conteo de cajas:
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000
N observado
N si
ntet
ico
Figura 63: conteo de cajas del fractal sintético y línea de coincidencia con la zona homogénea.
92
Este mapa sintético puede ser incorporado en algún software comercial que
posea el modelo de red de fractura. En el caso del software Feflow, el mapa
de fracturas es leído en un archivo CAD (ver figura 65). Para ello, se debe
importar el mapa de fracturas de Matlab, archivo de dibujo, a .dxf por medio
de algún software, como se muestra en la figura 64
Figura 64: Exportación de la fractura sintética a archivo CAD
93
Figura 65: Imagen del mapa de fracturas vista en algún Software CAD El elemento que contiene el mapa de fracturas (archivo .dfx), se carga a
través del Map manager de Feflow, para hacer el estudio respectivo de la
zona:
Figura 66: Visualización del mapa sintético en Feflow.
94
Conclusiones Lo que quedo patente desde el comienzo de esta memoria, es que los
conceptos de la geometría fractal están establecidos y aceptados por una
gran cantidad de especialistas, pero su desarrollo y aplicación dista mucho de
la gran cantidad de literatura que se puede encontrar. La mayor parte de los
trabajos están enfocados, en particular en series de tiempo e hidrogeología,
en descubrir patrones autosimilares en su estructura, y no generar nuevas
metodologías o pautas de trabajos para derivar nueva información a partir de
las propiedades fractales. Esto hizo realmente difícil a lo largo de esta memoria
encontrar fuentes útiles, y no simplemente textos de difusión, que ayudaran al
término de esta tesis y que los objetivos planteados fueran cumplidos
satisfactoriamente. De lo que se deriva la necesidad de explotar esta nueva
geometría, a partir de éste y de memorias futuras.
En la bibliografía se han incluido varios trabajos muy interesantes, es de
destacar los trabajos de John Barker y Jorge Acuna, que están enfocados en
una línea de aplicación de la geometría fractal en roca fracturada más
concreta, a partir de los trabajos de Barnsley. En el caso de series de tiempo,
95
pareciera que no existe una línea de trabajo clara, sólo los conceptos de
memoria larga y exponente de Hurst están aceptados, pero no se aprecia un
avance a partir de las investigaciones de Mandelbrot.
En el análisis de series de tiempo, los fractales se traducen en procesos donde
existe una alta correlación entre los valores de la serie, o memoria de largo
plaza, que puede ser medido por el exponente de Hurst. Una vez estimado el
exponente de Hurst podemos relacionarlo con la dimensión fractal del objeto.
En el caso del ruido Gaussiano fraccionario, las correlaciones sintéticas
propuestas por la metodología, reprodujeron el comportamiento general de
la serie bajo un Hurst de 0.8, pero no así sus fluctuaciones. Al ir aumentando el
valor del exponente, las simulaciones poseían menor coincidencia entre los
valores simulados v/s observados, en particular para los datos máximos. Por lo
que este modelo, es poco recomendable para Hurst altos,
El modelo ARFIMA, da una alternativa interesante con respecto a los típicos
modelos ARMA que requieren de normalización, pero puede ser de mayor
complejidad su implementación. Comparativamente con el modelo FGN, se
aprecio una menor coincidencia entre los datos, aunque se probaron una
gran serie de configuraciones con los parámetros (p,d,q). Por lo que modelo
tampoco da muy buenos resultados.
Comparativamente, utilizando el AIC, el modelo FGN es más recomendable
con valores de Hurst entre 0.5 y 0.8. Mientras que para valores más altos, no se
encontró un buen nivel de ajuste para ninguno de los dos modelos en la
estadística con Hurst de 0.92. Aunque se aleja de los propósitos de esta
memoria, seria interesante poder comparar ambos modelos con el modelo
ARIMA típico.
Por otra parte, los coeficientes del análisis Wavelet mostraron que para todas
las series (excepto para los niveles estáticos con dimensión 0.92) hay un buen
ajuste, y representan lo que ocurre con el análisis RS. Esto implicaría que para
series de pocos años seria posible hacer un estudio del comportamiento
96
multifractal para saber que tan correcto es asignar una pura dimensión fractal
a la serie analizada.
La simulación de acuíferos de roca fracturada a través de un sistema de
funciones iteradas, entrega un método sencillo y flexible para trazar el mapa
de fracturas que pudo ser escrito en un pequeño código con las principales
variables. La orientación y cambios de escala pueden ser reproducidas a
través de un número reducido de transformaciones, mientras la densidad del
mapa de fracturas pueden ser simulados con las probabilidades asociadas a
las transformaciones. Mientras la condición de contracción es suficiente, pero
no necesaria, para garantizar la convergencia del mapeado.
Otras características del medio, como es la anchura de la fractura no es
posible entregarlo directamente por este método, aunque es posible que a
cada una de las transformaciones se le asocie un valor del espesor. Otro
aspecto importante es que no existe una recomendación del número de
transformaciones e iteraciones que se requieren para una buena
representación del medio fracturado, ni la condición de contracción nos
entrega una idea de los coeficientes que deben ser utilizados para representar
un acuífero de roca fracturada.
Los mapas simulados cumplieron con la condición de ley de potencias al
calcular su dimensión fractal a través del método de Box-counting. Las
dimensiones obtenidas se encuentran en un rango de valores similares a los
mapas de trazados de fracturas reales de las figuras 14 a 19 La condición de
contracción permite que a través de un número limitado de iteraciones (entre
200 a 250) se llegue a la convergencia del mapa trazado.
Como punto final de esta memoria, se debe aclarar los pasos a seguir de cada
uno de los temas presentados. En el caso de acuíferos de roca fracturado, se
debe aplicar los conceptos de este trabajo a una zona en particular. Para este
fin se requiere de un especialista en el área geológica que identifique zonas
estructuralmente homogéneas, y sobre cada una de esas áreas caracterizar,
en un sector, la red de fracturas. Evaluar esta red mediante el método de box
97
counting, y a partir de la estructura y dimensión fractal observadas,
seleccionar un modelo fractal teórico o sintético, con el que se caracteriza la
red global de cada zona homogénea.
En el caso de series de tiempo, el fin es de generar series sintéticas a partir del
registro de estaciones de medición de variables hidrológicas, verificando su
comportamiento autosemejante, y a partir de ello con alguna metodología
creada o acomodada para estos fines, generar series de todas las variables
hidrogeológicas que sean de interés. Este registro base en tiempo real debe
planearse bajo la coordinación de un especialista en instrumentación, que
garantice máxima calidad y representatividad en la información generada.
98
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99
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103
ANEXO 1: Simulación ARFIMA(p, d, q) Precipitación Salado Embalse
104
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse(1,0,095,1)
R2 = 0,5028
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse
(2,0,095,1)
R2 = 0,4711
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse
(1,0,095,2)
R2 = 0,4749
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
105
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse(2,0,095,2)
R2 = 0,4749
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse
(1,0,095,3)
R2 = 0,5158
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse
(2,0,095,3)
R2 = 0,5207
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
106
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse(3,0,095,2)
R2 = 0,4883
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Pronostico de Lluvias Mensuales, Estacion Precipitación Salado Embalse
(3,0,095,3)
R2 = 0,5621
-50
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Precipitaciones Observadas
Prec
ipita
cion
es e
stim
adas
Linea de coincidencia
Salado antes junta Río Curti
107
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti(1,0,127,1)
R2 = 0,6392
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti
(2,0,127,1)
R2 = 0,5937
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti
(1,0,127,2)
R2 = 0,5601
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
108
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti(2,0,127,2)
R2 = 0,5794
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti
(3,0,127,1)
R2 = 0,6161
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti
(1,0,127,3)
R2 = 0,5713
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
109
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti(2,0,127,3)
R2 = 0,6185
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Salado antes junta Río Curti
(3,0,127,2)
R2 = 0,6187
1,35
1,55
1,75
1,95
2,15
2,35
2,55
2,75
1,35 1,55 1,75 1,95 2,15 2,35 2,55 2,75
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
110
Salado en Sifón Ayquina
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina(1,0,258,1)
R2 = 0,7898
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
asLinea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina
(2,0,258,1)
R2 = 0,8181
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina
(1,0,258,2)
R2 = 0,8047
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
111
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina(2,0,258,2)
R2 = 0,7863
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina
(1,0,258,3)
R2 = 0,8021
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina
(2,0,258,3)
R2 = 0,7684
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
112
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina(3,0,258,2)
R2 = 0,8016
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado en Sifon Ayquina
(3,0,258,3)
R2 = 0,8161
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
4,10
4,60
5,10
1,60 2,10 2,60 3,10 3,60 4,10 4,60 5,10
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
113
Salado Río Salado junta Río Loa
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa (2,0,222,1)
R2 = 0.7944
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
asLinea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa
(1,0,222,2)
R2 = 0.7903
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
114
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa (2,0,222,2)
R2 = 0.7855
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa
(3,0,222,1)
R2 = 0.3293
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa
(1,0,222,3)
R2 = 0.8693
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
115
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa (2,0,222,3)
R2 = 0.635
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa
(3,0,222,2)
R2 = 0.4928
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
Caudales Mensuales, Estacion Salado Junta Río Loa
(3,0,222,3)
R2 = 0.7851
1.80
2.00
2.20
2.40
2.60
2.80
3.00
1.80 2.00 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00
Caudales Observadas
Cau
dale
s es
timad
as
Linea de coincidencia
116
Niveles Estáticos Turi 7
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7(1,0.412,1)
R2 = 0,1054
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7
(2,0.412,1)
R2 = 0,0278
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7
(1,0.412,2)
R2 = 0,1054
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
117
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7(2,0.412,2)
R2 = 0,2351
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
17,40
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7(3,0.412,1)
R2 = 0,2233
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7
(1,0.412,3)
R2 = 0,2802
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
17,40
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
118
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7(2,0.412,3)
R2 = 0,3245
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7
(3,0.412,2)
R2 = 0,245
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
Niveles Estaticos Mensuales, Turi 7
(3,0.412,3)
R2 = 0,3904
16,60
16,70
16,80
16,90
17,00
17,10
17,20
17,30
16,60 16,65 16,70 16,75 16,80 16,85 16,90 16,95 17,00 17,05 17,10
N iveles Ob servadas
Linea de coincidencia
119
Parámetro AIC
Precipitación salado Embalse
Salado en junta Río Loa
Salado en Sifón Ayquina
Salado antes junta rio Curti
Niveles Estáticos Turi 7
(p, q) AIC (p, q) AIC (p, q) AIC (p, q) AIC (p ,q) AIC 1,1 3455,23 1,1 38.98 1,1 201,90 1,1 877,97 1,1 -435,22 2,1 3455,23 2,1 40.98 2,1 165,52 2,1 879,83 2,1 -423,61 1,2 3443,00 1,2 40.99 1,2 168,83 1,2 876,10 1,2 -431,14 2,2 3432,83 2,2 41.00 2,2 172,06 2,2 867,61 2,2 -423,9 3,1 354,26 3,1 42.76 3,1 127,85 3,1 866,94 3,1 -422,68 1,3 3399,36 1,3 42.82 1,3 132,37 1,3 832,5 1,3 -431,23 2,3 3445,41 2,3 40.15 2,3 181,36 2,3 856,05 2,3 -439,07 3,2 3393,33 3,2 51.36 3,2 164,13 3,2 834,85 3,2 -467,26 3,3 3347,67 3,3 45.26 3,3 195,56 3,3 811,13 3,3 -481,19
120
ANEXO 2: Código Matlab
121
Box-counting function [n,r] = boxcount(c,varargin) %BOXCOUNT Box-Counting % [N, R] = BOXCOUNT(C), Donde C es un arreglo o una imagen, % se cuenta el numero N de cajas de dimension D necearias para cubrir % %el elemento C. La caja es de tamaño 2, es decir, R=1, 2,4,8,2^P, % donde %P es el entero menor tal que MAX(SIZE(C)) <= 2^P. %--------------------------------------------ejemplo------------------------------------------------ %Cargar imagen como C=imgread(‘direccion o ubicación ’) %[n,r]= boxcount(c) error(nargchk(1,2,nargin)); % Se verifica el color del arreglo. if ndims(c)==3 if size(c,3)==3 && size(c,1)>=8 && size(c,1)>=8 c = sum(c,3); end; end; warning off c = logical(squeeze(c)); warning on dim = ndims(c);%Dimensión es 2 para un vector o una matriz, 3 para un %cubo if dim>3 error('Maximum dimension is 3.'); end % Transpone el vector a un vector de 1 por n if length(c)==numel(c) dim=1; if size(c,1)~=1 c = c'; end end width = max(size(c)); % tamaño máximo de la caja p = log(width)/log(2); % numero de generaciones % Remapea el arreglo si el tamaño no son todos iguales, % o no sigue una ley de potencia de valor 2 if p~=round(p) || any(size(c)~=width)
122
p = ceil(p); width = 2^p; switch dim case 1 mz = zeros(1,width); mz(1:length(c)) = c; c = mz; case 2 mz = zeros(width, width); mz(1:size(c,1), 1:size(c,2)) = c; c = mz; case 3 mz = zeros(width, width, width); mz(1:size(c,1), 1:size(c,2), 1:size(c,3)) = c; c = mz; end end n=zeros(1,p+1); % pre-asigna el numero de cajas de tamaño r. switch dim case 1 %------------------- 1D boxcount ---------------------% n(p+1) = sum(c); for g=(p-1):-1:0 siz = 2^(p-g); siz2 = round(siz/2); for i=1:siz:(width-siz+1) c(i) = ( c(i) || c(i+siz2)); end n(g+1) = sum(c(1:siz:(width-siz+1))); end case 2 %------------------- 2D boxcount ---------------------% n(p+1) = sum(c(:)); for g=(p-1):-1:0 siz = 2^(p-g); siz2 = round(siz/2); for i=1:siz:(width-siz+1) for j=1:siz:(width-siz+1) c(i,j) = ( c(i,j) || c(i+siz2,j) || c(i,j+siz2) || c(i+siz2,j+siz2) ); end end n(g+1) = sum(sum(c(1:siz:(width-siz+1),1:siz:(width-siz+1)))); end case 3 %------------------- 3D boxcount ---------------------% n(p+1) = sum(c(:));
123
for g=(p-1):-1:0 siz = 2^(p-g); siz2 = round(siz/2); for i=1:siz:(width-siz+1), for j=1:siz:(width-siz+1), for k=1:siz:(width-siz+1), c(i,j,k)=( c(i,j,k) || c(i+siz2,j,k) || c(i,j+siz2,k) ... || c(i+siz2,j+siz2,k) || c(i,j,k+siz2) || c(i+siz2,j,k+siz2) ... || c(i,j+siz2,k+siz2) || c(i+siz2,j+siz2,k+siz2)); end end end n(g+1) = sum(sum(sum(c(1:siz:(width-siz+1),1:siz:(width-siz+1),1:siz:(width-siz+1))))); end end n = n(end:-1:1); r = 2.^(0:p); % box size (1, 2, 4, 8...) if any(strncmpi(varargin,'slope',1)) s=-diff(log(n))./diff(log(r)); semilogx(r(1:end-1), s, 's-'); a=axis; axis([a(1) a(2) 0 dim]); xlabel('r, box size'); ylabel('- d ln n / d ln r, local dimension'); title([num2str(dim) 'D box-count']); elseif nargout==0 || any(strncmpi(varargin,'plot',1)) loglog(r,n,'s-'); xlabel('r, box size'); ylabel('n(r), number of boxes'); title([num2str(dim) 'D box-count']); end if nargout==0 clear r n end Sistema de funciones iteradas function IFS=test(trans,shape,n,transs,probabilidad) % % trans – lista de transformaciones afines % shape – objeto inicial (pto, fractura, triangulo,etc…) % n – número de iteraciones % transs - matriz de transformaciones no lineales % probabilidad – vector de probabilidades asociado a las transformaciones % % %---------------------- ejemplo--------------------------------------- % n = 10; % trans = {[0.4194 0.3629 0; 0.0376 0.3306 0; 0 0 1],[0.5645 -0.2903 0; 0.0699 0.1855 0; 0.8500 0.8250 1]};
124
% *Siempre la transformada en su columna 3 debe ser de la forma [0;0;1] % % shape = [0 0 1; 1 2 1]; % *El shape en su tercera columna debe ser de la forma [1;1;1] % % transs =[0 0 0; 0 0 0] % *Debe ser de la forma [0;0;0] en su tercera columna, con todas sus % filas iguales % % probabilidad=[0.65 0.25] temp = shape; [iw,ik] = size(temp); transformaciones = size(trans,2);%numero de transformaciones temp1=[];%Matriz de matrices vacia A=[];%valores inversos temp1 = [temp1 (temp(:,1:3))];%Primera matriz es la condicion inicial col_prob=size(probabilidad,2); aleatorio=rand A=arreglo(temp(:,1:3)); for i=1:col_prob if prob(probabilidad,i)<aleatorio & aleatorio<prob(probabilidad,i+1) temp1 = [temp1 (temp(:,1:3) * trans{i}+A.*temp(:,1:3).*transs)];%matriz inicial, y sus transformaciones end end a=3; b=size(temp1,2); for iteraciones=2:n inicio=a+1; final=a+3; for j=1:(b-a)/3 A=arreglo(temp1(:,inicio:final)); aleatorio=rand for k=1:col_prob if prob(probabilidad,k)<aleatorio & aleatorio<prob(probabilidad,k+1) temp1 = [temp1 (temp1(:,inicio:final) * trans{k}+A.*temp1(:,inicio:final).*transs)]; end end inicio=inicio+3; final=final+3;
125
end a=b; b=size(temp1,2); end IFS=temp1; hold on; %axis on; axis equal; m = size(temp1,2); if size(shape,1) > 1 fill(temp1(:,1:ik:m),temp1(:,2:ik:m),'.b'); else plot(temp1(:,1:ik:m),temp1(:,2:ik:m),'.b','MarkerSize',1); end hold off; %esta función crea un arreglo de tamaño (1,n+1) de la probabilidad %original, de la %forma [0,p(1),p(1)+p(2),p(1)+p(2)+p(3),...,1], donde p(i) es el valor de %la Probabilidad en el lugar i. function y=prob(A,i) col=size(A,2); probabilidad=zeros(1,col+1); probabilidad(2)=A(1); probabilidad(col+1)=1; for j=3:col probabilidad(j)=A(j-1)+probabilidad(j-1); end y=probabilidad(i); %Esta funcion es para la multiplicación de la transformada no lineal, lo %que hace es cambiar la columna 1 por la 2, 4 por 5 y asi sucesivamente %conservando la 3,6,9,… function B=arreglo(A) [fila,columna]=size(A); valor=columna/3; temporal=ones(fila,columna); j=0; for i=1:valor temporal(:,i+j)=A(:,i+j+1); temporal(:,i+j+1)=A(:,i+j);
126
j=j+2; end B = temporal;
