Unit 2: Geometric Figures - UAH€¦ · De nici on:Unpol gono de n ladoses una l nea poligonal cerrada de n vertices tal que: a)los lados s olo se cortan en los extremos. b)dos lados

Pedro Ramos. Mathematics II. Primary Education (bilingual track). Universidad de Alcala.

Unit 2: Geometric Figures

∗ This lesson describes elementary geometric figures as :1. Circles.2. Triangles.3. Quadrilaterals.4. Polygons.


The circle (p. 31)

∗ Human brain is very good doing shape recognition. By theend of Kindergarten, kids identify easily the shape circle.

∗ In more advanced courses, we want to progress in the studyand investigate the relation with other geometry objects.At some point we need a precise definition.

∗ An activity to introduce the definition:1. Divide the class in groups.2. Ask each kid to draw (using transparent paper) a point

C and severay points at a given distance from C (forinstance, 6 cm).

3. Put together the drawings of each group (be sure thatC coincides).

∗ Definition: The circle with center C and radius r is the setof points in the plane that are at distance r from point C.


The circle

∗ In Primary 4 or Primary 5, students should practicedrawing with the compass.

∗ Relative position of a circle and a line and relative positionof two different circles:

disjointtangents

one point in commonsecants

two points incommon


Triangles (p. 36)

∗ As with the rest of geometric figures, we can consider twoelementary levels:? in Kindergarten and the firsts years of Primary school,

triangles are recongnized “by their shape”.? at some point a precise definition is convenient.


Levels in Geometry learning (van Hiele)

∗ Level 0: visual. Kids notice thegeneral shape and the relation withother objetcs in the environment.

∗ Level 1: analytic. Kids understand the properties, but notthe relation between them and with the definition .? Do not understand definition ↔ properties.? Make inductive reasoing, but no deductive reasoning.

∗ Leveal 2: abstract. Understad definition and properties, butno formal deductive reasoning.

? Definition of rectangle → squares are also rectangles.

∗ Level 3: deductive. Correct reasoning, proofs.

∗ Level 4: rigorous (abstract geometry).


Triangles (p. 36)

∗ You can find several definitions (for instance, some of theminclude the interior, and others do not). It is important torecognize and to be able to deal with a good definition.

∗ Definition A region of the plane enclosed by 3 non-collinearpoints and the line segments joining them.

? Points are called vertices.? Segments are called the side of the triangle (arista).


Angles of a triangle

∗ Property: The sum of the angles ofevery triangle is 180◦. a

bc

a+ b+ c = 180◦∗ This is a basic geometry fact, and it is

important to give arguments that showwhy it is always true.

∗ Let us consider two different arguments:1. The first one, using materials and easier to understand

for young kids:


Angles of a triangle

2. The second one, abstract. It is already a proof.

Suitable for Primary school?

ab

cab

a + b + c = 180◦

∗ An intermediate proposal:


Angulo exterior

∗ Angle e in the figure is called exterior angle. Can you find arelation between the measure of e and the angles of thetriangle?

ab

c

e


Problems

∗ Find the measure of angle a?

72◦

39◦

a

∗ If we know that AC is the bisectorof ∠BAD, what is the measure of∠BAC. (Points E, A and B arecollinear).

E

?A

B

C

D

75◦

40◦


Triangles and symmetry

∗ Symmetry is an easy (intuitive) concept, that will be usefulin the study of geometric figures.

∗ A line of symmetry divides anobject into two “equal” parts.

∗ Somme suggestions in order to understand the concept:? construct symmetric objects with paper and scissors.? symmetry is “everywhere”.


Symmetry

∗ Typical textbook activity:

∗ Be careful: lines of symmetry are notnecessarily vertical or horizontal.

∗ There are figures with more than a line of symmetry.

? Can you find out a figure with two lines of symmetry?

? Can you find out a figure with four lines of symmetry?

? Can you find out a figure with an infinite number oflines of symmetry?


A formal definition

P

r

P ′

The point symmetric of P withrespect to line r is the point P ′ onthe perpendicular line to r through Pso that the distance from P ′ to line ris the same distance as P to r.


Types of triangles (p. 43)

Classified by their angles

acute triangle

all angles are lessthan 90 o

right triangle

one angle is a rightangle

obtuse tringle

one angle is greaterthan 90 o

Cassified by their edges

scalene

no two equal edges(diferent lengths)

isosceles

at least two edgeshave equal length

equilateral

all edges have equallength


Isosceles and equilateral triangles

∗ They are defined according to their edge lengths.

∗ An isosceles triangle has (at least) a line ofsymmetry.

∗ The converse is also true: a triangle with twoequal angles is an isosceles triangle.

∗ An equilateral triangle has three lines ofsymmetry, thus all three angles are equal.

∗ The converse is also true: triangles that havethree equal angles are equilateral triangles.

The angles defined by the base and the the other twosides are equal (the base angles are equal) (losangulos sobre la base son iguales).


Exercises

A

B

C D?

∗ In the figure,|AB| = |AC| = |BC| = |CD|.Find the value of ∠BDC.

A

B

C

40◦∗ Find the value of ∠BCA in the

figure.


Cuadrilateros (p. 45)

∗ La idea intuitiva ya esta clara en el primer ciclo.

∗ ¿Son cuadrilateros?

∗ Un cuadrilatero esta formado por 4 puntos distintos A, B,C, D (no hay 3 colineales) y cuatro segmentos AB, BC,CD, DA, que no tienen puntos en comun, excepto losextremos.

∗ Dependiendo del contexto, el interiortambien puede considerarse parte delcuadrilatero.

A

B

C

D


Tipos especiales de cuadrilateros

∗ Una diagonal es un segmento entrevertices no consecutivos.

∗ Un cuadrilatero es convexo si sus dos diagonales estan en elinterior del polıgono. En otro caso, se dice que elcuadrilatero es no convexo.

convexoA

BC

D

A

B

C

D

no convexo

A

BC

D

∗ Obs: La suma de los angulos de un cuadrilatero es 360◦


Tipos especiales de cuadrilateros

∗ Un paralelogramo es un cuadrilatero enel que los lados opuestos son paralelos.

A

BC

D

∗ Un trapecio es un cuadrilatero con doslados paralelos (y los otros dos no).

A

BC

D

∗ Un trapezoide es un cuadrilatero sin lados paralelos (puedeser convexo o no).

∗ Si los dos lados no paralelos tienen la misma longitud, eltrapecio es isosceles.


Terminologıa

∗ La terminologıa en EGT (que es la usual en EEUU) es unpoco diferente.

Un trapecio se llama en el libro trapezoid, y no existe untermino especial para el trapezoide espanol.

∗ Definen ademas otro tipo de cuadrilatero, que llaman kite(cometa). Nosotros lo introduciremos en la hoja deproblemas.

A

B

C

D


Paralelogramos

a

∗ Un paralelogramo es un cuadrilatero enel que los lados opuestos son paralelos.

A

BC

D

Angulos de un paralelogramo

∗ Demuestra que en cualquier paralelogramo los angulosopuestos son iguales y los angulos consecutivos sonsuplementarios.

m

nab b a + b = 180◦

rs


Clasificacion de los paralelogramos

∗ Un cuadrado es un paralelogramo quees a la vez un rectangulo y un rombo.

∗ Un romboide es un paralelogramo queno es ni rectangulo ni rombo.

∗ Un rectangulo es un paralelogramo enel que sus cuatro angulos son rectos.

∗ Un rombo es un paralelogramo con loscuatro lados iguales.


Cuadrilateros: clasificacion

Cuadro resumen

∗ Obs: Esta no es la clasificacion que se utiliza normalmenteen primaria (aunque esto es algo que seguramente deberıacambiar ...).

trapezoidesrectangulos cuadrados rombos

paralelogramos

trapecios


Polıgonos (p. 67)

∗ La idea de polıgono de n lados es sencilla de introducir demanera informal.

polıgono (de 9 lados) NO es un polıgono

∗ Definicion: Dados n ≥ 3 puntos distintos P1, P2, . . . , Pn,una lınea poligonal cerrada es el conjunto de segmentos

P1P2, P2P3, . . . , Pn−1Pn, PnP1

Los puntos son los vertices y los segmentos los lados oaristas.


Polıgonos

∗ Definicion: Un polıgono de n lados es una lınea poligonalcerrada de n vertices tal que:a) los lados solo se cortan en los extremos.b) dos lados consecutivos no son colineales.

∗ En algunos contextos, polıgono incluyetambien el interior.Lo importante es ser claro en cadamomento. Podemos llamarle al interiorregion poligonal.


Polıgonos regulares

∗ Se dice que un polıgono es regular si todos sus angulos soniguales y todos sus lados son iguales.

trianguloequilatero

cuadrado pentagonoregular

hexagonoregular

dodecagonoregular


Polıgonos convexos

∗ Una diagonal es un segmento entrevertices no consecutivos.

∗ Un polıgono es convexo si todas sus diagonales estan en elinterior del polıgono. En otro caso, se dice que el polıgonoes no convexo.

∗ La definicion que vimos para cuadrilateros convexos seextiende de forma inmediata a polıgonos de cualquiernumero de lados.

convexo no convexo


Angulos de un polıgono

∗ ¿Cuanto vale la suma de los angulos de un polıgono de nlados (un n-gono)? n = 3: 180◦

n = 4: 360◦

∗ Propiedad: Utilizando diagonales, cualquier polıgono de nlados se puede descomponer en n− 2 triangulos.

∗ Propiedad: La suma de los angulos internos de cualquierpolıgono de n lados es (n− 2)180◦.

Idea: ir insertando diagonales que no se corten,hasta que no se pueda continuar.


Figuras geometricas - Continuacion

∗ El objetivo es presentar relaciones entre los conceptos yobjetos introducidos hasta ahora, y ver como ya podemoshacer problemas variados y razonamientos sencillos.

∗ Problema: sabiendo que r‖s,determina la medida del angulo a.

Indicacion: puedes completar lafigura con algun elemento auxiliar.

r

s

37◦

75◦

a


Geometrıa y razonamiento

a

b

c

d

∗ Demuestra que, en la figura,d = a + b + c.

∗ Sabiendo que el triangulo de lafigura es isosceles, encuentra larelacion entre los angulos x e y.

x y


Triangulos congruentes (p. 82)

∗ Definicion en primaria:Dos triangulos son congruentes (iguales) si “tienen lamisma forma”.

∗ Definicion: Dos triangulos son congruentes si sus lados“correspondientes” tienen la misma longitud y sus angulos“correspondientes” son iguales.

A

B

C U

V

WABC ↔ ∆ABC

ABC ∼= UWV

Notacion:


Criterios de congruencia

∗ Criterio LLL: Si dos triangulos tienen los tres lados iguales(dos a dos) entonces son congruentes.

Idea: construye un triangulo de lados 8 cm, 6 cm y 5 cm.

∗ Esta propiedad (que las longitudes de los lados determinanel triangulo) ya no es cierta para polıgonos de cuatro o maslados.

Ejercicio: dibuja varios cuadrilateros con los cuatro lados delongitud 2 cm.

∗ Esta observacion es muy importante en el diseno (rigidezde estructuras).


Criterios de congruencia

∗ Criterio ALA: Si dos triangulos tienen un lado y los dosangulos adyacentes iguales entonces son congruentes.

Ejemplo: construye un triangulo con un lado de 9 cm y con

angulos adyacentes de 65◦ y 35◦.

∗ Criterio LAL: Si dos triangulos tienen dos lados y el anguloque definen iguales entonces son congruentes.

Ejemplo: construye un triangulo con un lado de 9 cm, otro de 6

cm, y tal que estos dos lados forman un angulo de 55◦.

∗ Hay otros dos criterios para comprobar que dos triangulosson congruentes.


Aplicaciones de la congruencia de triangulos

∗ Bisectriz de un angulo A

BC

R

S

T¿Por que la semirrecta que pasapor B y T es la bisectriz?


Mediatriz de un segmento

∗ Definicion: La mediatriz de un segmento AB es el conjuntode puntos que estan a la misma distancia de A que de B.

∗ Ventajas de definir la mediatriz de esta forma:? como veremos, es esta propiedad la que se usa con mas

frecuencia.? a partir de esta definicion es sencillo proponer una

actividad para que el nino “descubra” el objetogeometrico. Por ejemplo: dibuja un punto a distancia 6cm, de A y de B, luego otro a distancia 8, ...


Mediatriz de un segmento

∗ Propiedad: La mediatriz de un segmento AB es la rectaperpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

∗ Construccion de la mediatriz: Ahoraque sabemos que es una recta, essuficiente determinar dos de suspuntos.

BA

BA

X Demuestra que |XA| = |XB|.

m(A,B) (mediatriz del segmento AB)


Circunferencia que pasa por tres puntos

∗ Dados tres puntos no alineados,existe una unica circunferenciaque pasa por ellos.

AB

C

∗ La circunferencia que pasa por lostres vertices de un triangulo sellama circunferencia circunscrita.


Problemas

∗ Dibuja la circunferencia masgrande que pasa por los puntos Ay B y que tiene el centro dentrodel polıgono P .

∗ En el parque de la figura haypapeleras en los puntos A, B y C.Dibuja la region de puntos cuyapapelera mas cercana es la situada enel punto A.

A

B

C

A

BP


Congruencias y cuadrilateros (p. 96)

∗ Un paralelogramo es un cuadrilatero en el quelos lados opuestos son paralelos.

∗ Hasta ahora, propiedadesde los angulos:

∗ Otras dos propiedades. En cualquier paralelogramo:

(1) los lados opuestos son iguales.(2) las diagonales se cortan en su punto medio.

a + b = 180◦

a

ab b


Demostraciones

∗ Demuestra que si ABCD es unparalelogramo, entonces|AB| = |CD| y |BC| = |DA|.

A B

CD

∗ Demuestra que las diagonales deun paralelogramo se cortan ensu punto medio.

A B

CD

M


Congruencias y cuadrilateros

∗ Estas propiedades tambien caracterizan a losparalelogramos. En concreto, supongamos que tenemos uncuadrilatero ABCD.

(1) si las dos parejas de angulos opuestos son iguales,entonces el cuadrilatero es un paralelogramo.

(2) si las dos parejas de lados opuestos son iguales, entoncesel cuadrilatero es un paralelogramo.

(3) si las diagonales se cortan en el punto medio, entoncesel cuadrilatero es un paralelogramo.

(4) si dos lados opuestos son iguales y paralelos, entonces elcuadrilatero es un paralelogramo.

∗ No se trata de aprenderse esto de memoria, sino de razonar sobre ello.Veremos alguna de estas propiedades en la hoja de problemas.


Angulos en la circunferencia

C

A

B∗ Consideremos puntos A y B en unacircunferencia de centro C. El angulo∠ACB se llama angulo central.

∗ Consideremos ahora un punto P en lacircunferencia. El angulo ∠APB sellama angulo inscrito.

Siempre se verifica

∠APB =1

2∠ACB

C

A

B

P

(El angulo inscrito es la mitad del central correspondiente)


Angulo central - Angulo inscrito

C

A

B

P

∗ Como ∠APB =1

2∠ACB, el angulo

∠APB es el mismo para cualquier puntoP en el arco de la figura. Este arco sellama arco capaz del segmento AB.

Q

∗ Ejercicio:1. dibuja el conjunto de puntos X para

los que ∠AXB = 60◦

2. dibuja el conjunto de puntos Y paralos que ∠AY B = 40◦.

A

B

El primer apartado debes hacerlo solo con regla(sin graduar) y compas. Para el segundonecesitaras el transportador.


Angulo central - Angulo inscrito

∗ Vamos a demostrar que siempre

∠APB =1

2∠ACB

? Caso 1: PA es un diametro.

? Caso 2:

C

A

B

P

C

A

BP(a) (b)

A

P

B

C

C

A

B

P


Problemas

AB

P∗ Sabiendo que AB es un diametro de lacircunferencia, determina el angulo∠APB de la figura.

∗ Demuestra que si los 4 vertices de uncuadrilatero estan en una circunferencia,entonces los angulos opuestos sonsuplementarios.

P

Q

R

C

∗ Sabiendo que ∠PCQ = 150◦, determinala media del angulo ∠QRP .


Movimientos (p. 101)

∗ Un movimiento es una transformacion del plano queconvierte cualquier figura en otra congruente (es decir, conla misma “forma”).

∗ Ejemplos de movimientos:

(1) traslaciones

(2) giros

(3) simetrıas


Movimientos

∗ El estudio de los movimientos se sale de los objetivos deeste curso. Pero desarrollar cierta intuicion sobre ellosayuda a entender una parte del temario de primaria.

∗ Los movimientos conservan angulos y distancias.

∗ Se puede demostrar que los ejemplos anteriores(traslaciones, giros, simetrıas) son, en cierto sentido, losunicos movimientos. En concreto:

Todo movimiento es una traslacion, un giro, una simetrıa,o una composicion de estas transformaciones.


Movimientos

∗ Los movimientos se utilizan para dar una definicion correcta(desde el punto de vista matematico) de la idea de “forma”o “figuras congruentes”. La secuencia es la siguiente:

(1) se definen angulos y distancias.

(2) se definen los movimientos: son las transformacionesque conservan angulos y distancias.

(3) se define la “forma” (figuras congruentes): dos figurasA y B son congruentes si existe un movimiento quetransforma A en B.


Ejemplos de actividades

∗ http://tinyurl.com/qy2wxed


Mosaicos (teselaciones)

∗ Un mosaico (teselacion) es un conjunto deregiones poligonales cuya union es todo elplano y cuyos interiores no tieneninterseccion.

∗ Los mosaicos son un recurso perfecto para disenaractividades de ampliacion.

∗ Un mosaico es regular si esta formado por polıgonosregulares congruentes.

∗ ¿Cuantos mosaicos regulares hay?


Mosaicos

∗ Solo existen estos tres mosaicos regulares.

∗ Una propuesta de actividad:

Empezando por un mosaico regular, sepueden crear infinidad de disenos con lasiguiente idea: se modifica una de lasteselas (polıgonos), y se traslada esamodificacion al resto.


Mosaicos no regulares

∗ Cualquier triangulo sirve para teselar el plano.

∗ Cualquier cuadrilatero sirve para teselar el plano.

Ejemplos en la practica.

∗ Mosaicos semirregulares: estan formados por diferentespolıgonos regulares y todos los vertices son “iguales” (encada vertice la secuencia de polıgonos es la misma).

Notacion: (4, 8, 8) (3, 4, 6, 4)


Algunos ejemplos

∗ Otros ejemplos

∗ http://tinyurl.com/ox9ekh4

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