Unidad 5 – Estudio gráfico de funciones PÁGINA 84

SOLUCIONES

Representar puntos en un eje de coordenadas.

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Evaluar un polinomio.

a) P(-1) = 1 + 2 + 1 – 1 = 3 b) P(0) = -1c) P(-2) = 8 + 8 + 2 – 1 = 17d) P(1) = -1 + 2 – 1 – 1 = -1 e) P(2) = -8 + 8 – 2 – 1 = -3

Escribir intervalos.a) , 3 2, + b) 1, + c) ,3

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SOLUCIONES

1.a) Sí corresponden a una función, definida a trozos.

b) No corresponde a la gráfica de una función porque existen valores de la variable independiente “x” que tienen asignados dos valores de la dependiente “y”

2. No puede porque para el valor de la variable independiente 2 hay varios valores de la dependiente.

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SOLUCIONES

3.a) ( ) 2 3 f x x 2b) ( ) 2 1 g x x x 2c) ( ) 2h x x x

x y x y x y

0 3 0 1 0 0

0 1 0 0

1 1 -3 16 1 -1

-1 5 -1 5 -1 3

2 -1 2 1 2 0

-2 7 -2 9 -2 8

3 -3 3 4 3 3

Puntos de corte OX:

2 030 2 3 0 ( 1) 1 0 ( 2)22

3 ,0 1,0 0,0 , 2,02

xx x x x x x

x

246

Puntos de corte OY(0) 3 (0) 1 (0) 0

0,3 0,1 0,0f g h

4.a) La gráfica representa una parábola con ecuación 2 2y x

x y

0 2

-2

-2

2 2

b) Es una recta cuya ecuación es 1 12

y x

x y

0 1

-2 0

1 1/2

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SOLUCIONES

5.a) ( ) 7, 1 1,6 Im ( ) 4, 1 1,3

b) ( ) 7, 4 4,2 3,7 Im ( ) 3,1 2,4

Domf x f x

Domf x f x

6.a) Dado que “0” es el único valor de x que anula el denominador, el dominio es:

( ) 0Domf x

b) En este caso el denominador se anula para 3, luego el dominio es: ( ) 3Domg x

c) 2 2 8 ( 4) ( 2)x x x x , entonces el denominador se anula para 2 valores, luego el dominio es: ( ) 2, 4Domh x

248

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SOLUCIONES

7.a) Hay dos valores para analizar, x = -5 y x = -2. En el primer caso es claramente una discontinuidad evitable, pues con tan sólo cambiar la imagen de x = -5 para que sea y = -2 la función sería continua. En el caso de x = -2 es una discontinuidad de salto finito .

b) En x = -4 y de x = 4 la función parece no estar definida por lo que en ambos casos hay una discontinuidad de salto infinito.

249

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SOLUCIONES

8.a) La función es creciente en ( , 5) ( 2,3) (5, ) Máximos relativos: ( 5,2), (3,5) La función es decreciente en ( 5, 2) (3,5) Mínimos relativos: ( 2, 3), (5,1)

b) La función es creciente en ( , 5) ( 2,0) (2,3) Máximos relativos: ( 5, 1), (0,3) La función es decreciente en ( 5, 2) (0,3) Mínimos relativos: ( 2,1), (3,5)

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PÁGINA 91

SOLUCIONES

9.Para analizar la concavidad o convexidad sígase el criterio expuesto en la página 91 del libro de texto.

a) La función es convexa en: ( , 2) (0,2) La función es cóncava en: ( 2,0) ( 2, )

b) La función es convexa en: ( ,0) La función es cóncava en: (0, )

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SOLUCIONES

10.a) ( ) 3 ( ) 3f x x f x x La función no tiene simetría par ni impar respecto al origen. Tiene simetría impar respecto al punto (0, -3) , que puede comprobarse haciendo el cambio de variable 3x x tb) 3 3( ) 3 ( ) 3 ( )g x x x g x x x g x La función tiene simetría impar respecto al origen

c) 1 1( ) ( ) ( )h x h x h xx x

La función tiene simetría impar respecto al origen

d) 2 2

2 2( ) ( ) ( )4 4

x xi x i x i xx x

La función tiene simetría impar respecto al origen

e) 2 2

2 2( ) ( ) ( )4 4

j x j x j xx x

La función tiene simetría par respecto al origen

f)2 21 1( ) ( ) ( )x xk x k x k xx x

La función tiene simetría impar respecto al origen

252

PÁGINA 93

SOLUCIONES

11.

En el caso de 13

aproximaremos con valores cercanos a 13

por la izquierda, es decir, menores:

- f(0’33) = -200 - f(0’333) = -2 000 - f(0’3333) = -20 000 - f(0’33333) = -200 000 - …

La tendencia es hacia infinito negativo:

13

( ) x

f x

En el caso de por la derecha, aproximaremos con valores mayores:

- f(0’34) = 100 - f(0’334) = 1 000 - f(0’3334) = 10 000 - f(0’33334) = 100 000 - …

La tendencia es hacia infinito positivo:

13

( )x

f x

12. Para comprobar las tendencias se tomarán los valores 1010 :

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10 10

10 10

a) (10 ) 10 , luego 0

( 10 ) 10 , luego 0 x

x

f f

f f

10 1010 10

10 1010 10

2 2b) (10 ) 2 10 , luego g 010 3 10

2 2( 10 ) 2 10 , luego g 0 10 3 10

x

x

g

g

10 1010 10

10 1010 10

3 3c) (10 ) 3 10 , luego g 010 5 10

3 3( 10 ) 3 10 , luego g 0 10 5 10

x

x

h

g

254

PÁGINA 96

255

SOLUCIONES

Concepto de función.

13. a) Es función, pues se conserva la relación unívoca: un solo valor de la variable dependiente para cada valor de la variable independiente.b), c), d) No son funciones pues existen valores de la variable independiente que tienen varios valores de la dependiente.

14. a) f(-2) = -11 f(-1) = -5 f(0) = -1 f(3) = -1 b) g(-2) = 2/5 g(-1) = 1/3 g(0) = 0 g(3) = 3/5

c) h(-2) = 1 h(-1) = 2 h(0) = 3 h(3) = 6

d) 2 ( )Dom i x ( 2) ( 1) 6 (0) 3 (3) 2 i i i i

Gráfica de una función.

15. a) b)

x y x y

0 -5 0 2

2 -3 3 1

-2

-3 6 0

-3 0 -

3 3

3 0 -6 4

256

16.

a) ( ) 2 1 f x x 2 b) ( ) 6 g x x x 3 c) ( ) 2 h x x 2 d) ( )3 1

i xx

x y x y x Y x y

0 1 0 -6 0 -2 0 -2

1 -1 1 -6 1 -1 -1 1

-1 3 2 -4 -1 -3 1/3 -1

2 -3 -2 0 2 6 1 -1/2

17.a) b)

x y x y

4 0 0 2

0 2 3 0

-2 4 -

5 0

2 0 4 2

3 1 2 -2

18.16a)

Eje OX: 1 10 2 1 ,02 2

x x

Eje OY: (0) 1 0,1f

16b)

Eje OX: 2 20 6 ( 2,0), (3,0)

3x

x xx

Eje OY: (0) 6 0, 6g

257

16c)

Eje OX: 3 3 30 2 2 2,0x x

Eje OY: (0) 2 0, 2h

16d)

Eje OX: 20 Sólo corta al eje OX en el infinito.3 1x

Eje OY: (0) 2 0, 2i

17a)Eje OX: (4,0), (2,0)Eje OY: (0,2)

17b)Eje OX: la naturaleza periódica de la gráfica hace que corte el eje OX infinitas veces: 1 2 ,0k k

Eje OY: (0,2)

19.

a) Eje OX: 4 40 3 4 ,03 3

x x

Eje OY: (0) 4 0, 4f

b) Eje OX: 2 10 5 6 ( 1)( 6) ( 1,0), (6,0)

6x

x x x xx

Eje OY: (0) 6 0, 6g

c) Eje OX: 20 Sólo corta al eje OX en el infinito.3x

Eje OY: 2 2(0) 0,3 3

h

d)Eje OX: 2 1 1 10 ,03 2 2

x xx

Eje OY: 1 1(0) 0,5 5

i

258

Dominio e imagen de una función.

20. En todos los casos las funciones son polinómicas, luego su dominio de definición es el conjunto de los números reales: Dom (f) = Dom (g) = Dom (h) = Dom (i) =

21.a) Esta función presenta únicamente un problema para x = -1, pues el denominador se hace 0. Por tanto, su dominio es:

( ) 1Dom f x

b) Comprobamos, igualmente, los posibles valores para los que el denominador se anula: 3 32 3 0 ( )2 2

x x Dom g x

c) Igualmente buscamos los valores que anulen el denominador:

2 30 5 6 ( 3)( 2) ( ) 2,3

2x

x x x x Dom h xx

d) Buscamos los valores que anulen el denominador

20

30 2 3 (2 3) ( ) 0,3 22

xx x x x Dom i x

x

22. En este caso los valores problemáticos serán aquellos que fuercen radicandos menores que cero, luego habrá que resolver una inecuación para encontrar el dominio de definición.

a)

b) En este caso el intervalo requiere analizar el comportamiento de la función

En primer lugar buscaremos los puntos con el eje de abscisas:

Por último comprobaremos evaluando en cuales de los tres posibles intervalos la función está por encima del eje OX, es decir, es mayor que 0:

Por tanto, Nota: -5 y 0 están incluidos porque la función vale 0 en ambos casos.

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c) Nos encontramos ante la misma situación del apartado b). Tenemos una ecuación cuadrática en el radicando, luego procedemos de la misma manera:

El análisis de los tres posibles intervalos revela que el radicando es mayor que cero en el caso de y luego el dominio de definición es:

d) En este caso tendremos que analizar igualmente el radicando, pues el otro sumando es un polinomio y no presenta ningún problema.

Así pues el dominio de definición es:

260

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261

SOLUCIONES

23.a) En este caso la función presenta una doble problemática. Por una lado, el radicando siempre tendrá que ser mayor o igual a 0 y, por otro, habrá que prestar atención a posibles valores que anulen el denominador:

excluimos el -5 del dominio.

Para resolver esta inecuación vamos a analizar algunos intervalos en los que la función puede cambiar de signo. Los extremos de dichos intervalos serán, evidentemente, los puntos en los que la función corte al eje OX pero también aquéllos en los que la función tenga una discontinuidad:

Luego el dominio de definición es:

b) En este caso tenemos que asegurar que el radicando sea mayor o igual que 0:

Conviene hacer el cambio de variable y analizarlo como si fuera una ecuación de segundo grado:

Igualando a 0 para ver los puntos en los que cambia de signo:

Deshaciendo el cambio de variable:

262

Descartamos las que pertenecen al conjunto de los complejos y nos quedamos con las reales, estableciendo los intervalos a evaluar:

Luego, finalmente, el dominio queda como:

c) Vamos a analizar, como en el resto de los apartados, el signo del radicando, forzándolo a que sea positivo o nulo:

Ahora buscaremos los intervalos a analizar, obteniendo los puntos en los que la función corta el eje de abscisas:

Analizamos los intervalos:

El domino de definición es, por tanto:

d) En este caso hay que analizar que el denominador sea distinto de 0 pero también que el radicando no sea menor que 0.

En primera instancia el dominio será pues hay una raíz cuadrada con radicando x. En segundo lugar vamos a ver para qué valores el denominador se anula:

263

Después de comprobar que verifican la ecuación, exponemos finalmente el dominio:

24.a) Dominio: Recorrido:

b) Dominio: Recorrido:

c) Dominio: Recorrido:

Continuidad.

25.a) En es una discontinuidad evitable En es una discontinuidad esencial de salto finito

b) Tanto en y son discontinuidades esenciales de salto infinito (asíntotas verticales)

Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.

26.a) Crecimiento: Decrecimiento:

b) Crecimiento:

264

Decrecimiento:

c) Crecimiento: Decrecimiento:

27.a) Crecimiento: Decrecimiento: Extremos relativos en:

b) Crecimiento:

Decrecimiento:

Extremos relativos en:

c) Crecimiento: (-1,2) Decrecimiento: (- ,-1)U (2,+ )

Extremos relativos en: (0,-1) hay un mínimo relativo, y (2,3) un máximo relativo.

265

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266

SOLUCIONES

Concavidad y convexidad.

28.a) Convexa: Cóncava: b) Convexa: Cóncava:

c) Convexa: Cóncava:

Simetría y Periodicidad.

29.a) Presenta simetría impar respecto al origen, pues b) Tiene simetría par respecto al eje c) Tiene simetría par respecto al eje de ordenadas d) Presenta simetría impar respecto al origen

30.a) , por lo que, respecto al sistema de referencia inicial, no es ni par ni impar, no obstante, si se hace el cambio de variable presentará simetría impar. Podría considerarse con simetría impar respecto al punto b) , es decir, presenta simetría par. c) luego presenta simetría impar

d) , es decir, simetría par.

31.a) y luego, a priori, no presenta simetría ni par ni impar. No obstante, haciendo el cambio de variable presentará simetría impar respecto al nuevo origen. En este caso, la gráfica es una hipérbola equilátera que tiene múltiples simetrías: - Respecto a su centro - Respecto a sus asíntotas - Respecto a sus ejes

b) luego presenta simetría impar respecto al origen.

c) , es decir, simetría impar respecto al origen

d) presenta simetría par respecto al eje de ordenadas.

267

Tendencia de las funciones.

32.

a)

…

b)

…

c)

…

d)

…

33.En este caso, al disponer de la gráfico es mucho más sencillo obtener las tendencias, basta con interpretar la gráfica: a)

b)

c)

d)

34.

Se analizan las tendencias para

268

269

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270

SOLUCIONES

35.Crecimiento: Decrecimiento:

36.a) Aproximadamente 2’3 metros b) Aproximadamente 35 km/h

1. a) Al ser un polinomio el dominio es el conjunto de los números reales:

b)

2. La única condición es que el radicando sea mayor o igual a 0:

La función corta el eje de abscisas en , luego los intervalos a estudiar son:

Así pues el dominio de la función es:

3. a) Eje OX:

Eje OY:

b) Eje OX:

Eje OY:

4. Dominio: Recorrido:

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5. a) Crecimiento: Decrecimiento:

b) Extremos relativos en:

c) Eje OX: Eje OY:

6. a) función par

b) función impar

7. Discontinuidades para Función continua en:

8. a)

b)

9. a)

…

b)

272

…

c)

…

d)

…

10. Se analizan las tendencias para

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SOLUCIONES

El hexágono es un polígono regular que se puede dividir en 6 triángulos equiláteros. El área de cada uno de estos triángulos en el hexágono inscrito es:

Observando la figura se deduce trivialmente que el lado de cualquiera de los triángulos del hexágono inscrito coincide con la apotema del hexágono circunscrito o con la altura de cualquiera de los triángulos del mismo.

Según la fórmula del área del triángulo, aplicada a los triángulos del hexágono inscrito:

En la que la altura “h” se puede poner en función de la base utilizando el teorema de Pitágoras y sabiendo que los triángulos son equiláteros (fácilmente demostrable observando los ángulos):

Por tanto la fórmula del área queda:

Despejando el lado y utilizando el valor obtenido del área de cada triángulo inscrito obtenemos el valor del lado de los triángulos:

274

Aplicando el teorema de Pitágoras esta vez a los triángulos del hexágono circunscrito, obtenemos la siguiente relación que nos permite encontrar la longitud del lado:

Utilizando la relación anterior en la fórmula del área aplicada a los triángulos del hexágono circunscrito:

Así pues el área del hexágono circunscrito será seis veces el área de uno de sus triángulos.

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