44
HAL Id: inria-00073184 https://hal.inria.fr/inria-00073184 Submitted on 24 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des équations de Maxwell en milieu hétérogène Malika Remaki, Loula Fezoui To cite this version: Malika Remaki, Loula Fezoui. Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des équations de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184

Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

HAL Id: inria-00073184https://hal.inria.fr/inria-00073184

Submitted on 24 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolutiondes équations de Maxwell en milieu hétérogène

Malika Remaki, Loula Fezoui

To cite this version:Malika Remaki, Loula Fezoui. Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des équationsde Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. �inria-00073184�

Page 2: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

ISS

N 0

249-

6399

ap por t de r ech er ch e

THÈME 4

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Une méthode de Galerkin Discontinu pour larésolution des équations de Maxwell en milieu

hétérogène

Malika Remaki et Loula Fézoui

N° 3501

Septembre 1998

Page 3: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME
Page 4: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles, B.P. 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Téléphone : 04 92 38 77 77 - International : +33 4 92 38 77 77 — Fax : 04 92 38 77 65 - International : +33 4 92 38 77 65

������� ��� ��������� ��������������� ����� �!�"�#������$ %&�'$��(������)�*�'��$����+�'� � �)�,�)-�$ �.�����"� �/����0 �21435�)���6�)� � �������)$

��� �����"7�8)���

9;:=<?>?@A:CB�DFEG:=@*>HDJILK!M=NO<P:CQSRUTVMWNX>

Y�Z\[�]#^"_a` bdce]'f\gihkjlcemJnL^�jSmJopjqci]#cerlhkjqcimsnt ^urwvVrwjq[�]#^�ryx�mJ]#o\ge^+zd^�r

{}|wmk~�^�j��!�y�����2�

�yhsopoWmJ|�j t ^u|q^�x�Z\^�|wx�Z\^�n����U�s�p�2` bd^�opjl^�]'�\|w^����s�J�"` _U��oAhs�J^�r

���V���X��� �a�!^¡jl|qh�¢khscegSx�mJn\rwcir�jl^&£¤hso\o\geci¥Ff\^�|�f\n\^¡]�¦+jlZ\m t ^ t cejq^¨§uhsgi^�|q©Fcen«ª�cer�¬x�mJnUjlcenFf­£#g®h�|q¦�rqmJgefpjlcemJn t f�r�vVrwjl[�]#^ t ^'�¡h¯zV°!^�gig t hsnpryf\nL]#cigece^�f­Z\¦+jl¦�|qmJ�J[�n\^s±=² h]�¦+jlZ\m t ^#^�r�j��Ahsrq¦�^#rqf\|uge^�x�Z\mJc³z tµ´ fpn\^#�Ahsrq^#gemdx�hsge^s¶µ^+j t ^�r.·¸mJ|q]"f\ge^�r t ^#¥FfAh t |qh¯¬jlf\|w^Lo=mJf\|#hko\o\|qmVx�Z\^�|�ge^�r t cº¹W¦�|q^�nUjl^�r�cinUjq¦��J|qhsgi^�r�±¼»2nGmJ�pjlce^�nUj�hscen\rqc�fpn\^ rqmJgefpjlcemJnhso\o\|wmdx�Z\¦�^ t cerqx�mJnUjlcenVfp^s±A�y½\n t ^�¢J¦�|qcº½A^�|�ge^�r�x�mJn t cºjlcemJn\r t ^�jl|qhsn\rw]�cerqrwcimsn t¾´ f\n t mk¬]�hkcin\^�£#f\n�hsfpjl|w^s¶An\msf\rSh�¢smJn\ryfpjlcegicerq¦�f\nLrqx�Z\¦�]�h t ^'§um t f\npm¿¢4oWmsf\|)x�hsgex�f\ge^�|Sge^�rÀ fdz4nVfp]�¦�|qce¥Ff\^�r�±��ymJf\r!h�¢JmJn\r�^�n\rqfpcejq^s¶px�mJ]#oAhs|w¦2gi^�rrqmsgifpjqcimsn\rmJ�pjq^�nFf\^�r�oAhs|!x�^�jwjl^]�¦+jlZ\m t ^�h�¢J^�x"x�^�gegi^�rymJ�djl^�nFf\^�ryo\hs|)f\n\^u]#¦�jlZpm t ^ t ^.Á}mJgef\]#^�ryÂOcen\cer�±ÃÅÄAÆ¿�ÈÇ�ÉUʸ�V���.ËÌgi^�x�jq|qmJ]�hs�Jnp¦�jlcerq]#^̬WËÌ¥Vf\hkjlcemJn\r t ^H�¡h¯zV°H^�gegJ¬¾bdx�Z\¦�]�h t ^H§um t f\npm¿¢¬!§�hsge^�|w©Fcin�ª�cerqx�msnFjqcinFf ¬ÍÌge¦�]#^�nUjqrS½Anpcir�±

Page 5: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

� ����� �!�'��������$��'$ �(��������������� �G��� �È� ���;���)� �)���0 ������� �¯�"�(�*�"���4����7 0 �.1�3 �)���6�����µ� �)� ���

�� ������7"�)�����"$L� � �)�L���

�� ��Æ� ��\ÉsÆU�2� n jlZ\cer#oAhso=^�|�¶¼°H^ ^+zVjl^�n t jqZ\^L§�hkgi^�|q©Fcin ª�cerqx�mJnUjlcenVfpmJf\r4]#^+jlZ\m t jlmrqmJgº¢J^#jlZ\^4�¡h¯zV°H^�geg}^�¥FfAhkjqcimJnpr�¶Ocen Z\^�jq^�|qms�J^�n\^�mJf\r"]�^ t cihp±�Y�Zpcir�]#^�jlZpm t cir��Ahsrw^ tmJn4jlZp^2x�Z\mJcex�^2mk·*jlZ\^2gemVx�hsg=�Ahsrwcir!·¸fpn\x�jqcimJnpr�¶Ahsn t ¥FfAh t |qhkjlf\|w^2|qfpgi^�r�±¼�ymsjq^yjqZAhkj!jqZ\^·¸f\n\x�jqcimsn\r�cenajlZ\^rwoAhsx�^�ms· t cerqx�|w^�jqc���hkjlcemJn�hs|q^ t cerqx�msnFjqcinFf\msf\r�±}� n�mJ| t ^�|�jlm�¢s^�|qcº· v'jqZ\^jl|lhkn\rq]#cerqrqcemJn¨x�msn t cºjlcemJn\r.�=^�j °H^�^�n t cº¹¾^�|q^�nFju]#^ t c®hd¶¾°!^�fprq^ t h §.m t f\n\m�¢¡rwx�Z\^�]#^jlm�x�mJ]#o\fpjq^�jqZ\^unFf\]#^�|qcex�hkg À fVz¾±��¤^uZAh�¢s^'x�ms]�o\hs|q^ t jlZpcir)]#^�jqZ\m t °)cejqZ­h�ÂOcen\cejq^Á}mJgifp]�^umJnp^ujqZ\|qmsf\�JZ rq^+¢J^�|qhsg*jl^�rwjlr�±�����¾Ç��aÄ� ��X�s� ÍÌge^�x+jl|qms]�hk�Jn\^�jqcirw] ¬4��h¯zV°!^�gig"^�¥FfAhkjqcimJnpr ¬�§.m t fpn\m�¢ rqx�Z\^�]�^¨¬ª�cirwx�mJnUjqcinFf\mJfpr.§uhsgi^�|q©Fcen ¬HÂOcen\cºjl^u^�ge^�]#^�nFjqr�±

Page 6: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �

9 ��:L�������)� � �u���+8��X�)�

; <>= Æ ¿Ä ����ÉsÆ@??Ä = A

B C �ED ¿Ä � ÊGFd� � H �UÆ¿� ��? � IJ ±i� �hs|lhsx+jl¦�|qcerwjlce¥Ff\^�ry]�hkjlZ\¦�]�hkjlce¥Ff\^�r t ^�r)¦�¥FfAh¯jlcemJn\r t ^"�¡h¯zV°!^�gig ±�±"± �

K D�D ¯Ä�LM??� �pÆ@?¸Ä =N= ���¤� �?1O¾� � P�d±i� ª�cirwx�|w¦�jlcerlh¯jlcemJn­^�nL^�rwoAhsx�^ ±�±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �

�p±i�s±i� ²*^�r)·¸mJn\x+jlcemJn\r t ^u�Ahsrw^ ±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± ��p±i�s± J �hsgex�fpg t ^�r)cinUjq¦��J|qhsgi^�r ±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �J�

�d± J ��o\o\|wm�zpce]�hkjlcemJn�^�n jl^�]#o\r«±�±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± ����d± � bVj�hs�pcigecejq¦ t f�rwx�Z\¦�]�h;±"±�±"±�±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± ��_

Q R LSDÌ� T? � = É �V� = ���¤� �?1Oµ� �V� ;UA_p±i� �hsryZpmJ]#mJ�J[�np^­±"±�±�±"±�±"±�±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �¿�

_\±i�s±i� rwci]"f\g®h¯jlcemJn t fL]#m t ^ t ^�|w¦�rwmJnAhsn\x�^)V �J¶i�$W)±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �¿�_\±i�s± J �!mJfp|lhsnUjSrqf\|�·?hsx�ce¥Ff\^ ±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �@X_\±i�s± � ª�cº¹W|lhsx+jlcemJn t¾´ f\np^"mJn t ^uo\g®hkn\^urqf\|)f\n t cerq¥Ff\^ ±�±"±�±�±"±�±"± J �

_p± J �hsryZp¦�jl¦�|qmJ�s[�n\^ ±�±�±"±�±"±�±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± J �_\± J ±i� bdce]'fpg®hkjqcimsn tµ´ f\n\^uo\f\gerlh¯jlcemJn ±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± J �_\± J ± J ª�cº¹W|lhsx+jlcemJn t¾´ f\np^"mJn t ^uo\g®hkn\^urqf\|)f\nL]�hkjl¦�|qcihsf�|w^�¢�Y�jlfC±�±"± J _

A Z Ä=�[D � ��??��Ä = � ��Ê �4�¤�UÆ@\ Ä � �^]��AÊ � @_S? =4` ?P��ÉJÄ = Æ$? = � �)a �VÉ�� = ���¤�JÇÆ$\�Ä � � � � b�Ä=ÊP��� �V�dce? = ??� B*f�V±i� ª�^�rwx�|qceopjqcimJn t ^ug®h�]#¦�jqZ\m t ^uÁ}msgif\]#^�r�ÂOcen\cer6±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± J�g�V± J �!mJ]#oAhs|lhkcirwmJn t ^�r t ^�fdzL]#¦+jlZ\m t ^�r ±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± J �

�d± J ±i� bdci]"f\gihkjlcemJn tµ´ fpn�]#m t ^ t ^u|q¦�rwmJnAhsnpx�^ ±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± J ��d± J ± J Ë�¢Jmsgifpjqcimsn tµ´ f\nLo\f\gerq^ t hsn\r)f\nL]#cigeci^�f¡Z\¦+jl¦�|qmJ�J[�n\^ ±�±"±�±"± J ��d± J ± � ª�cº¹W|lhsx+jlcemJn tµ´ f\n\^HmJn t ^¼o\gihsn\^}rqfp|Xf\n t cerq¥Ff\^!|w^�¢�Y�jlfhV?]#cigece^�f

Z\¦+jl¦�|qmJ�J[�n\^$W ±"±�±"±�±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �J��V± � ² ^u�\cegihsn t¾´ ¦�n\^�|w�Jci^G±�±"±�±"±�±�±"±u±�±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± � J

�d± �d±i� i!cegihsn t¾´ ¦�n\^�|w�Jci^�o=mJf\|�gih�]#¦�jqZ\m t ^.Á}mJgifp]�^�rSÂOcinpcir±�±�±"±�±"± � J�d± �d± J i!cegihsn t¾´ ¦�n\^�|w�Jci^�o=mJf\|�gih�]#¦�jqZ\m t ^"§�hsge^�|w©Fcin�ª�cerqx�msnFjqcinFf ±"± �J��d± �d± � �!mJ]#oAhs|lhkcirwmJn t ^�rS¦�n\^�|q�Jce^�r ±"±�±"±�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �s_�d± �d± _ �!mJ]#oAhk|lhscerqmJn�rqf\| t ^�r�jl^�]#o\rSgemJn\�Jr�±�±"±�±"±u±�±"±�±�±"±�±"± �U�

j�jlk�mon�prq@s

Page 7: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

_ 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

f Z Ä = ÉUÊP���5?¸Ä = K*f

�d? � Ê1?¸Ä�� ��0D \�? � K P

���j ��

Page 8: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �

� � �#� ����� $L�¼�����"�� g)^Èzpcerwjq^­o\gef\rqce^�fp|qr�]#¦�jqZ\m t ^�r�nVfp]�¦�|qce¥Ff\^�r�o=mJf\|�gih�|q¦�rqmJgefpjqcimJn t ^�r�rwvVrwjq[�]#^�r

ZFvVo=^�|w�WmJgece¥Vfp^�r�¶=^�nLoAhs|�jlcex�f\gece^�|)oWmsf\|�gi^ur�vdr�jl[�]�^ t ^"�¡h¯zV°H^�gegP±�ymJf\r�x�cºjlmJn\r.cex�cXg®h�]�¦+jlZ\m t ^ t ^�r t cº¹¾¦�|q^�npx�^�r.½Anpci^�r�V?rqx�Zp¦�]�h t ^��¼^�^�� J ����Wȶ¾gih�]�¦È¬jlZ\m t ^ t ^�r.¢JmJgef\]#^�ru½An\cer�V�� _�P¶� g � ¶�� X��P¶� J ���P¶� J _�P¶�º� g �P±i±e± ^�jlx5W+¶*^+jugi^�r.]�¦+jlZ\m t ^�r t ^�r¦�ge¦�]#^�nUjlrS½An\cer�V?x�msnFjqcinFf\rS^�j t cerqx�mJnUjlcenFf\r%Wȱ�ymJf\r�op|q¦�rw^�nUjlmsn\r t hsn\r�x�^u|qhso\o=mJ|wj�fpn\^uh t hsodj�hkjqcimJn t ^.gih�]#¦�jlZpm t ^�§uhsge^�|w©VcenLª�cer�¬x�mJnUjlcenFf4hkf�r�vdr�jl[�]�^ t ^y�¡h¯zV°H^�geg�^�n�]�cegeci^�f4Z\¦+jl¦�|wmJ�J[�n\^s¶U^�gige^�h.¦+jl¦)x�mJnprwjl|wf\cºjl^)oWmsf\|g®h�|q¦�rqmJgefpjqcimJn t ^�ryo\|wmJ�\ge[�]#^�rSx�msn\rq^�|w¢khkjlcº·¸rS^�j)ZUvVoW^�|q�=mJgice¥Ff\^�r t ^ug®h�·¸mJ|w]�^�

������ � ����������� ���! #" $&%(')"+*-,/. V �@W

m10 $ ^�r�jSf\n�msfp¢J^�|wj t ^325476¿±�!^�jqjq^#]�¦+jlZ\m t ^�h�¦�jq¦�cenUjl|wm t fpcejq^�o\hs|u�S^�^ t ^�j�8ycegegÌ^�n:9�;�< " � J �=�Ìo=mJf\|.gih |q¦�rwmJgefd¬jlcemJn t ^"g ´ ¦�¥FfAhkjlcemJn t ^�jq|lhsnprqo=mJ|wj t ^�n\^�fdjl|qmsn\r�±?>ynp^'hsn\hsgevVrw^"]�hkjqZ\¦�]�hkjqci¥Ff\^'h�¦+jl¦]�^�n\¦�^�o\hs|a²*^�bdhscinUj#^+j#�yh�¢Vcihs|wj@�e����� ¶�AsmJZ\n\rwmJn ^�j#{Ìcºjl©¯hs|-BsnUj�hC�º�@X��P¶��)cix�ZUjq^�|�� J �D�P¶^�j�{�^�jq^�|qrwmJnE�e�����P¶O^�j'x�^�x�c t hsn\rage^�x�hkr t ^�ra¦�¥FfAhkjqcimsn\r�rqx�hsg®hkci|w^�raZUvVoW^�|q�=mJgeci¥Ff\^�r�^+jgicen\¦�hkci|w^�r�±i�± �!mVx�©F�\f\|wn ^�j4bW± �ű bVZVf mJnUj t ¦+¢J^�gimJopoW¦�^�j�¦�jl^�n t f x�^�jwjl^L]#¦�jlZpm t ^�hsfdz hkfpjl|w^�r·¸mJ|q]#^�r t¾´ ¦�¥Vf\hkjlcemJn\r ^�j r�vVrwjl[�]#^�rOnpmJn.gicen\¦�hsci|w^�r VPh t ¢J^�x�jlcemJnµ¶ t vdn\hs]#ci¥Ff\^ t ^�r �Uh �s±e±i± ^�jqx$W�F� �=�º¬G�e��_��F�P±² ´ c t ¦�^ t ^4�Ahkrq^4^�rwj t ^4x�ZpmJcirwci|"f\n6^�rqoAhsx�^ tµ´ ¦�ge¦�]#^�nUjqr'½An\cer t cerqx�mJnUjlcenFf:HJIK m0¤ge^�rrqmJgefpjlcemJn\r'hso\o\|wmdx�Zp¦�^�r"rqmJnUj t ^�r"oWmsgevVnMLJ]#^�r tµ´ mJ| t |q^4©&rwf\|'x�Z\hs¥Ff\^�¢smJgifp]�^ ,ON jl^�g¥Vfp^ $P RQ NTSVUNTSOW ,?N ±�²�h­rwmJgefpjlcemJnChso\op|qmVx�Z\¦�^�^�rwj#x�hkgix�f\gi¦�^L£­oAhs|wjqci| tµ´ fpn\^�·¸mJ|q]"f\gih¯¬jlcemJn­·?hsce�\gi^ t f&o\|qmJ�pgi[�]�^�£�|w¦�rqmsf t |q^k±*{Xmsf\|.rq^a·?hsce|q^k¶µmJn&]"f\gejqciopgice^#g ´ ¦�¥FfAhkjqcimsn V¸mJfgi^�rwvVrwjq[�]#^$W�o\hs|yfpn\^"·¸mJnpx�jlcemJnLjl^�r�j �O�YX �[Z H IK ¶=^�jymJn­cenFjq[��J|w^'rwf\|�x�ZAhk¥Vfp^"¢Jmsgif\]#^,ON ±Xª�hsn\r'ge^4x�hsr�]�msn\m t ci]#^�nprqcemJn\n\^�g V � 9@W+¶ m10 ,ON ^�r�jaf\n�rq^��s]�^�nUj�¶Omsn¤x�Z\mJcerqcºjx�mJ]#]#^a·¸mJn\x+jlcemJn­jl^�rwj�¶Wgi^�r.¦�ge¦�]#^�nUjqr t¾´ f\np^��Ahsrq^'gimVx�hsge^ V¸rqf\|.x�ZAhk¥Vfp^�rq^��s]�^�nUjrW+¶*^+jhk½An tµ´ mJ�pjl^�n\ce|�fpn\^ ]�h¯jl|qcex�^ t ^ ]�hsrwrq^ t c®hk�JmJnAhsge^s¶OmJn o=^�fdj#x�Z\mJcerqce|�x�mJ]#]�^ �Ahkrq^gi^�r�o=mJgºvVnMLJ]#^�r t ^�²*^��J^�n t |w^s±*� oAhs|�jlce| t f¨n\mJ]"�\|q^ t ^ t ^��J|q¦�r t ^�gice�W^�|wjq¦#½dzp¦k¶*mJnx�Z\mJcerqcºj'f\np^#·¸ms|q]'fpgi^ t ^#¥FfAh t |qhkjlf\|w^4hko\o\|qmso\|qce¦�^#o=mJf\|ux�hsgex�fpgi^�|"ge^�rucenFjq¦��J|qhsge^�r�±X²*^oAhsrqrqhs�J^�hsf¨x�hkr�]"f\gºjlc t ci]#^�n\rqcemJn\n\^�gHn ´ ^�rwj�oAhsr.jl|wce¢Vcihsg?¶*n\msj�hk]�]#^�nFj�o=mJf\|.ge^#x�Z\mJc³zt ^�r·¸mJnpx�jlcemJn\r t ^.�Ahsrw^.^�j t ^�r·¸mJ|q]"f\ge^�r t ^2¥FfAh t |lhkjqf\|q^k±�bdcµmsn�o\|q^�n t g ´ ^+zd^�]�opgi^ t fx�hsr.�\c t ce]#^�nUjlcemJn\n\^�gP¶ ceg�^�r�j�o\gifpr"hkcirw¦ t ^�jl|qmsfp¢J^�|�ge^�r2·¸ms|q]'fpgi^�r t ^�¥FfAh t |lhkjqf\|q^�rwf\|

j�jlk�mon�prq@s

Page 9: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

g 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

t ^�r!jq|qcihsn\�Jge^�rH¥Ff\^2rqfp|!n ´ ci]#o=mJ|wjq^�¥Ff\^�gµhsfpjq|q^yoWmJgºvV�JmJn\^k±d�ycinprqc?¶pge^�x�Z\mJc³z t f4¢Jmsgif\]#^tµ´ cenUjl¦��J|lhkjqcimsnGn ´ ^�rwj�oAhsr�hs|w�\cejq|lhsce|q^k±��2fAhsnUj�£&g ´ cenFjq¦��J|qhkjlcemJnC^�n jq^�]#o\r�¶}mJnCfpjqcigecerq^f\n�rqx�Z\¦�]�h t ^2�Sf\np�J^+¬��ufdjqj�h tµ´ ms| t |w^�V?©��a�@W+¶dg®ha]#¦�jqZ\m t ^2^�r�jShscen\rqc t¾´ mJ| t |q^dV?©��a�@WV?o=mJf\|�ge^�r t ¦�]#mJnprwjl|qhkjlcemJn\r)¢Jmsci|�� ��� ¶ �º�¿����Wȱ²�h"]�¦+jlZ\m t ^2op|q¦�rw^�nUjl^ t ^�ro\|wmJo\|wci¦+jl¦�r�¶\n\msjlhs]#]#^�nUj t ^2o\hs|lhsgege¦�gecirqhkjlcemJn�¦+jlf t ce¦�^.o\hs|o\gifprqce^�f\|wr2hsfpjq^�f\|wr t mJnUj i!cerw°!hsr�¶¾ª�^+¢Vcin\^k¶¾^+j�ÂXg®hsZp^�|wj v � �=�P¶�¥Vfpc�^�n¡mJnUjyoAhs|Shscegige^�fp|qrx�mJn\r�jl|wf\cej t ^�rÌ¢J^�|qrqcemJn\r¼Zd¬ ^+j}od¬ h t hsopjlhkjlcº¢J^�r�±F² h2]#¦�jlZpm t ^)h.¦+jl¦�¦�jq^�n t f\^Shsfdz#¦�¥Vf\h¯¬jlcemJn\r t ^¼��h�¢Vce^�|�¬ bVjlmVx�©s^�rXx�mJ]#o\|q^�rqrwci�\ge^�rX^�j�hsfVz.¦�¥FfAh¯jlcemJn\r t ^¼�!mJnU¢J^�x�jlcemJnd¬ ª�cº¹¾f\rwcimsn|q^�rwoW^�x�jqce¢s^�]#^�nUj.oAhk|�ihsrqrwc*^�jy�)^��Ah�v � J �P¶A^�j i�± �!mdx�©F�\f\|wn¡^+j2b=± �ű bdZFf �º�����P±² ^�x�ZpmJcºz t ^�g ´ ^�rwoAhsx�^ t ^ t cirwx�|w¦�jlcerlh¯jlcemJn |w^�o=mJrq^�rwf\|�x�^�gif\c t ^�r�·¸mJn\x+jlcemJn\r t ^��Ahkrq^gimVx�hsge^s±\�!^�jwjl^u]#¦�jlZpm t ^.^�rwj)�\ce^�nLh t hsopjl¦�^2o=mJf\|n\mkjl|q^.op|qmJ�\ge[�]#^.m10�ge^.]#cigece^�fLoW^�fpjY�jl|w^�Z\¦�jq¦�|wmJ�J[�np^s¶µx�^�o=^�n t hknFj�f\np^�|q^�r�jl|wcix+jlcemJn t f��Â�² t f\^#£�g®h�]#¦+jlZ\m t ^�fpjqcigecirw¦�^rq^ajl|qh t f\cºj.oAhk|.f\n&x�m��dju^�n��{ > |q^�gihkjqce¢s^�]#^�nUj"¦�ge^�¢J¦k±�»2n­¢J^�|w|lh�oAhs|.gih�rqfpcejq^�f\n\^x�mJ]#oAhs|qhscerqmJn t ^�x�^�jwjl^2]#¦+jlZ\m t ^.h�¢J^�x.f\n\^.]#¦�jqZ\m t ^ t ^�¢smJgef\]#^�r½An\cer t f�o=mJcenFj t ^¢dfp^�¥FfAhkgicºj�hkjqce·O^�jSx�m��pj�±�!^�|qhso\o=mJ|wj)^�rwjSmJ|w�Uhsn\cerq¦ux�ms]�]#^�rqf\cºj ²�h o\|w^�]#ci[�|q^�oAhs|wjqci^#x�mJn\rqcerwjq^�£ o\|q¦�rq^�nFjq^�|age^�o\|qmJ�pgi[�]�^�£ |q¦�rwmJf t |w^s¶�^�j"rq^�r"x�hs|lhsxȬjl¦�|wcir�jlce¥Ff\^�ra]�hkjqZ\¦�]�hkjqci¥Ff\^�r�±Ì�SmJf\r"o\|q¦�rq^�nUjqmJn\ra^�n\rqf\cºjl^ t hsn\r"g®h t ^�fdzdce[�]#^�oAhs|�jlce^gi^�r t ¦+j�hsceger t ^ugih�]#¦+jlZ\m t ^�nVfp]�¦�|qce¥Ff\^afpjqcigecirw¦�^�x�mJ]#o\|w^�nAhknFj�gi^�rS·¸msn\x�jqcimJnpr t ^"�Ahkrq^x�Z\mJcerqce^�r�¶Fge^�rÌ·¸mJ|w]'f\ge^�r t ^)¥FfAh t |qhkjlfp|q^s¶s^�j¼g®h t cirwx�|q¦+jlcerlhkjqcimsn4^�n#jl^�]#o\r�±Fª2hkn\r}g®h2jl|wmJc³¬rqce[�]#^�o\hs|wjqci^ t ^�r�|w¦�rwf\gejlhkjlr�nFf\]#¦�|wci¥Ff\^�r'rq^�|qmJnUj�o\|w¦�rq^�nUjl¦�r'hsf\rwrqc}�\ce^�n t hsn\ruge^�x�hsrZ\mJ]#mJ�J[�n\^�¥Ff\^ t hsn\r!ge^�x�hsrZ\¦+jl¦�|qmJ�J[�n\^s¶pÍ�j t hsnpr!gih"¥FfAhkjq|qce[�]#^2^�j t ^�|wn\ce[�|q^.o\hs|wjqci^k¶n\mJf\r�·¸^�|qmsn\r4f\np^¡¦�jqf t ^�x�mJ]#oAhs|qhkjlcº¢J^ t ^¡x�^�jqjq^¡]#¦�jqZ\m t ^­h�¢J^�x­f\n\^�]#¦�jlZpm t ^ t ^¢JmJgef\]#^�r)½An\cer�±

���j ��

Page 10: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� X

� � ��% ����:L��8)� ��� ���$ � �����

�SmJf\r�¦�jqf t cemJn\rOgihy|w¦�rwmJgifdjlcemJn t f"rwvVrwjq[�]#^ t ^!�¡h¯zV°H^�geg t hkn\rXge^¼x�hsrX�\c t ci]#^�nprqcemJnd¬n\^�g?±Aª2hsnpr�x�^2x�hsr�gi^�r�¦�¥FfAhkjqcimsn\r�rq^ t ¦�x�mJ]#o=mJrq^�nUjy^�n t ^�fdz�rwvVrwjq[�]#^�rScen t ¦�o=^�n t hsnUjlrhsrqrwmdx�ci¦�r�£�f\n\^uo=mJgihs|qcerlhkjqcimsnL¦�gi^�x�jq|qce¥Vfp^'^�jSf\np^�o=mJgihs|qcerlh¯jlcemJn ]�hk�Jn\¦�jqci¥Ff\^k±�ymJf\rÌ|qhso\o=^�gemJn\rÌjlmsfpj tµ´ hs�=mJ| t gih�·¸mJ|q]"f\g®h¯jlcemJn#�J¦�n\¦�|lhsge^ t ^�r}¦�¥Vf\hkjlcemJn\r t ^S�¡h¿zd°H^�geg �

����������������������

�� � ���� � ��� �! &"���� ��� �� � ��� � ��������O� � � �������O� � #"

V J W

m10 ^+j � rqmsnFj�|q^�rqo=^�x�jqce¢s^�]#^�nUj�g ´ cen t f\x+jlcemJn&]�hs�Jn\¦+jlce¥Ff\^'^+j2ge^ t ¦�o\g®hkx�^�]#^�nFj V¸mJfg ´ cin t f\x�jqcimsn-W¼¦�gi^�x�jl|wci¥Ff\^k¶\^�j � ^�j � rqmsnFj!|q^�rqo=^�x�jqce¢s^�]#^�nUjSge^�x�ZAhs]#o�]�hs�sn\¦�jqci¥Ff\^2^+jgi^ux�ZAhs]#oL¦�ge^�x+jl|qce¥Ff\^s±� ^�j � rqmsnFjS|w^�rqo=^�x+jlcº¢J^�]�^�nUj.g®h t ^�n\rqcºjl¦ t ^ux�ZAhs|w�J^u^�jSgi^ux�mJf\|lhknFj)¦�gi^�x�jq|qce¥Vfp^s±�ymJf\r)h�¢smJn\rSx�Z\mJcerqc tµ´ ¦�jqf t ce^�|)gi^ux�hsr��\c t ci]#^�n\rqcemJn\n\^�gOh�¢s^�x�f\n\^.o=mJg®hk|qcerlhkjqcimJn�jq|lhsn\r ¬¢J^�|wrq^�]�hs�Jn\¦+jlce¥Vfp^"m10 ge^�rS¦�¥FfAhkjqcimsn\ryr ´ ¦�x�|wce¢s^�nUj2x�mJ]#]�^urwf\cej �

����������������������

������ � �

��! ��" "����#

� � ����! � X "��$%

� � ��&'��(" �

��&)#� X �+*

V?�)W

�ymJf\r.npmJf\ruo\gih�,�mJnpr t hsn\rugi^�x�hsruoAhs|�jlcex�f\geci^�|�¶*m10¨ge^ t mJ]�hscen\^ t ^�o\|qmsoAhs�Uhkjqcimsn t ^�rmJn t ^�r2^�r�j.cirwmsjl|wmJo=^'^�j2gicen\¦�hkci|w^s±¾�ygims|qr�ge^�r�x�ZAhs]#o\r.^�j�cin t f\x�jqcimsn\r.rqmJnUj.gece¦�r2oAhk|�ge^�rgimJcer)x�mJnprwjlcºjlfdjlcº¢J^�ryrqf\cº¢khsnUjl^�r .- �� ./ �

V¸_ W

/3 ./ �YX * " � ^+j - �- � X * " � rwmJnUj t ^�r!oAhk|lhs]#[�jq|q^�r t f�]�cegeci^�fµ¶p¥Ff ´ mJn�hko\oW^�gige^�|w^�rwoW^�x+¬jlcº¢J^�]#^�nFjygih�o=^�|w]�cºjqjqce¢Vcºjl¦�¦�ge^�x+jl|qce¥Ff\^�^�jSg®h�o=^�|w]�¦�hs�\cegicºjl¦�]�hs�Jn\¦+jlce¥Ff\^s±

j�jlk�mon�prq@s

Page 11: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

� 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

����� ������ ������������������������������ ��������������"!����#�����������$&%��'!��)(*��+-,. � /0/

²*^urwvVr�jl[�]#^^VP�)W!o=^�fpjSrw^�]#^+jqjl|w^urqmJf\rSgih�·¸ms|q]#^ux�mJn\rw^�|�¢sh¯jlcº¢J^�rqf\cº¢khsnUjl^� 1#2 � �����������31 � 54 VP�7W

m10 1 76 � ��� * ��# * $% � ¶\^+j ��� �98 �31 � *;: �31 ��� t mJn\np¦�r)oAhs| �����8 �31 � <6 � " * � $% ;= / * � ��#>= - �: �31 � 6 � $% ?= / * " * ���@= - �4 6 � "+* "+* * �

V g W

²�h�]�hkjq|qcex�^~whsx�ms�\ci^�n\n\^ t fLrwvVrwjq[�]#^^V?�)W!^�r�j t mJn\n\¦�^ t hsn\r)x�ZAhs¥Ff\^ t ce|q^�x+jlcemJnA 76 � A W * ACB � Z 254 B �ED "�F oAhs| G

HIIJ

" " ACB = /" " � A W = /ACB = - � A � 9 � = - "

K�LLM N V1X7W

�!^�jqjq^!]�hkjq|qcex�^�h)jl|qmscir�¢shkgi^�f\|qr�op|qmJo\|w^�r)O W <P"Q-RSQJ* O B � P"QTRSQJ* OVU "�*tµ´ ms| t |w^ t ^.]'fpgejqcio\gecex�cºjl¦u¦��Uhkg*hsfdz t ce]�^�n\rqcemJn\r t ^�r�^�rqo\hsx�^�rSop|qmJo\|w^�r�^�n\�J^�n t |q¦�rSo\hs|x�^�r�¢khsge^�f\|wryop|qmJo\|w^�r�±² ^�r�vVrwjl[�]#^ V?�)W�^�r�jux�mJnprq^�|�¢khkjlcº·!^+juZUvdo=^�|w�Wmsgice¥Ff\^ t hsn\r.x�ZAhk¥Vfp^ t ce|q^�x�jqcimJn t ^ 2 4 B ¶x�^uoWmscinUjS^�r�jyx�|qf\x�c®hkg t hsn\r)ge^�x�ZpmJcºz t ^�gih�]#¦�jlZpm t ^ tµ´ hso\op|qm�zdci]�hkjqcimJn�nFf\]#¦�|qce¥Ff\^s±

W � % %L���S1���� �u���+�'� ��$ � ���X��-�$ �

�SmJf\r2x�mJn\rwc t ¦�|qmJnpr.f\n\^ t cerqx�|q¦+jlcerlhkjqcimJn t ^"j vdo=^a¦�gi¦�]�^�nUjlr.½An\cer t f t mJ]�hscinp^ t ^x�hsgex�f\g $ RQ NTSVUNTSOW ,?N ¶Am10 ,?N ^�rwjyf\n�jl|wc®hkn\�Jge^s±�ymJf\r t ¦�x�|qcº¢Jmsn\r�x�cº¬ t ^�rwrqmJf\rygi^�r�hko\o\|qm�zdce]�h¯jlcemJn\r�rwoAhkjqc®hsge^�rS^�jSjl^�]#oWmJ|w^�gegi^�r�¶=^�jS|lhkod¬oW^�gimJnprSge^�r)|w¦�rqfpgejlhkjlr t ^urwjlhs�\cegicºjl¦k±

���j ��

Page 12: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �

����� � ��� � ��� ����� � ���$&% � % �����7�� �bVmJcej Á � B � $ %R')"+*�� . � g ´ ^�rqoAhsx�^ t ^�rLrqmJgefpjlcemJn\r t f;o\|wmJ�\ge[�]#^ V?�)W+¶�^+jLrqmJcºj

g ´ ^�rwoAhsx�^"hso\op|qmVx�Z\¦�H IK�� H�¶ t ¦+½An\c oAhs|H IK � Z H = ��� �� Z�� I * � 9 * N N N���

m10 � I�^�rwjyg ´ ^�rwoAhsx�^ t ^�ryo=mJgºvdn+LJ]#^�r t ^ t ^��J|w¦�©4V?© 9 *��1� ±Aª2hsnpr)jqmJfpjq^�gih#rqf\cºjl^�mJn½pzd^�|lh�© 9J±p�y½An t ^.x�mJn\rwjq|qf\ce|q^uf\np^�rwmJgefpjlcemJn 1�� Z����� ¶\mJn ]"f\gejqciopgice^ugi^urwvVr�jl[�]#^VP�)W�oAhs|yf\n\^'·¸mJnpx�jlcemJn¡jq^�r�j �O��� �GZ HJIK ¶=^�j�mJn­cenUjl[��s|q^arwf\|�x�ZAhk¥Vfp^ajl|qcihsn\�sgi^ ,ON ±µ²*^rwvVrwjq[�]#^'mJ�djl^�nFfLr ´ ¦�x�|qcºj ������ � 1 ��� * � � �O��� � � ,ON �!� �� �����31 �"� * � ��� �O��� � � ,ONO &"

hso\|q[�r)cinUjl¦��J|lh¯jlcemJn�o\hs|�oAhs|�jlce^�r�¶Amsn�mJ�djlce^�nUj 66 6$# �� 1 �"� * � � � �"� � � ,?N �&%�'�(*),+ N.- #0/ N21 / 03 �����31 �"� * � ��� N54 N ' �O��� � �76� # � ���J� 1 ��� * � �-�98 �O��� � � ,ONO &"

V?�)W

� V?c�WX^�rwjÌg ´ cen t cex�^ t ^�r�¢JmJcerqcen\r t f�jq|qcihsn\�Jge^ ,?N ¶ 4 N ' ^�rwjÌgih2n\mJ|w]�hsgi^�^ÈzVjl¦�|wci^�f\|q^�fpn\cejlhsce|q^t ci|wci�s¦�^ t ^ ,ON ¢s^�|qr , ' ±K�:&;$:&; C �V��; Ä = ÉsÆ@?¸Ä = � � � � �A� �

»2nLx�mJnprwjl|wf\cºjyfpn\^u�Ahsrq^ � W gemVx�hsge^.rqf\|)x�ZAhk¥Vfp^"jl|wc®hkn\�Jge^.x�mJ]#]#^"rwf\cºj bdmJcºjf\n�jq|qcihsn\�Jge^ ,?N t ^2rwmJ]#]#^�jlr)hd�J¶ph J ^�jhJ�p±p».n4n\msjl^�]L�s¶p] J ¶V^�j�]��'ge^�ro=mJcenUjlr]�cegeci^�fdz t ^�ruhs|/Y+jl^�r�V ½A�Jf\|w^��@W+¶ �,ge^ajl|wc®hkn\�Jge^ t ^�rqms]�]#^+jlru] �J¶¾] J ¶W^�ju]��p¶¾^+jumJnn\msjl^� <

9 �����

<W5W

<B W>= ���? < �� �

����<W B<B3B = ���? <A@

�����

<W U<B U = ���?

rqmJce^�nUjCB N V?cEDa�J¶i±e± �)W!gi^�r�·¸mJn\x�jqcimsn\r t ^"�\hsrq^ V?gecen\¦�hsce|q^�r%Wȶ�jq^�gegi^u¥Ff\^FB N � < * � HG N ' ±\m10G N ' JI 9 K � � *" K � �ML *

j�jlk�mon�prq@s

Page 13: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

��� 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

a2 a3

a1

m3 m2

m1

K

�������*���4���%"����7���%"������+�����r � � W� � B N � N rqmsnFjyrqmsgifpjqcimsn\r t f�r�vVrwjl[�]#^'gecin\¦�hsce|q^:

I % NTS UNTSOW B N ��� � %<N �% NTS UNTSOW B N ��� � 9

hsgims|qr �������

B W WB�� ��� D �<B3B �

<B U � X � �

<W U �

<W B � " �

<W B<B U �

<B3B<W U FB B WB�� ��� D �

<B U �

<B W-� X � �

<W5W �

<W U � " �

<W U<B W �

<B U<W5W?FB U WB�� ��� D �

<B W �

<B3B � X � �

<W B �

<W5W-� " �

<W5W<B3B �

<B W<W B F

>yn\^4·¸msn\x�jqcimJn 1 K t ^�H IK oW^�fpj�r ´ ¦�x�|qce|q^�o=mJf\| � � X * " �!Z&,?N ¶�^�n6·¸msn\x�jqcimJn t ^�r¦�ge¦�]#^�nUjlr t ^ug®h��Ahkrq^ugimVx�hkgi^ � B NY� N

1 K �YX * " * � �� NTS U�NTSOW

1 K �<N5* � � B N � X * " �

m10 1 K �<N5* � � |q^�op|q¦�rw^�nUjl^�nUj2ge^�r t ^��J|w¦�r t ^ugeci�=^�|�jl¦ t ^ug®h#rqmsgifpjqcimsn¡hsopo\|qmVx�Z\¦�^k±

� �� �� .h���%"��5 ���#&�2 ��0"! �%"�"��»2n�x�Z\mJcerqcºj t hkn\rXg ´ ¦�¥FfAhkjqcimJn^VP�)Wµx�mJ]#]�^¼·¸mJn\x+jlcemJn�jq^�r�j �O��� � B�� ��� � *�� 9 * N N

».n¤mJ�pjlce^�nUjahscinprqc}jl|qmscir"¦�¥FfAhkjqcimJnpr�£¡|q¦�rqmJf t |q^�o=mJf\|�x�ZAhs¥Ff\^�x�Z\hs]#o 1 K ¶�^�janpmJf\rhso\o\|wmdx�Z\msn\r)x�ZAhs¥Ff\^�cinUjl¦��J|lhkgi^uoAhs| t ^�r�·¸mJ|q]"f\gi^�r t ^�¥FfAh t |lhkjqf\|q^ t ^"§uhsf\rwr�±

���j ��

Page 14: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �J�

K�:&;$: B Z �AÊ?ÉU�XÊ � �V��? = Æ�� � �AÊ �V��SmJf\rSh�¢JmJnprycex�c t ^�fdz j vVoW^�r tµ´ cenUjl¦��J|lhsge^�ry£#x�hsgex�f\ge^�|

C �V��? = Æ�� �� �AÊ �V����� 4Ê �LÆ �? � = �=Ê �

����,� �� 1 �"� * � � B�� ��� � � ,?N *�� �

� � �����31 �"� * � ��� B�� ��� � � ,ON N^�j

C�� ? = Æ�� �� ��\Ê ����� �Ê � � Ä� ��

� / N21 / 93 �����31 �"� * � ��� N54 N ' B�� ��� � ��6{XmJf\|Shsopo\|qmVx�Z\^�| �

����� � 1 ��� * � � B�� �"� � � ,?NmJn ¦�x�|wcej tµ´ hs�Wms| tS1 K ^�nG·¸mJn\x+jlcemJn t ^�r4¦�gi¦�]#^�nUjlr t ^�gih �\hsrq^k¶¼^+j4msn hsopo\gice¥Ff\^¡gih·¸mJ|q]"f\gi^ t ^u¥FfAh t |lhkjqf\|q^ t ^"§uhsf\rqrS£ajl|wmJcerSo=mJcenUjlr t mJn\np¦�^�oAhs|

� � 8 �YX * " � � ,?N�� � ,?N �@ ' S U�' SOW 8 �< ' � V?�)W

¥Vfpc*^�rwjS^Èz\hkx�jl^�o=mJf\|�ge^�rSoWmJgºvVnMLJ]#^�r t ^ t ^��J|q¦ � ±�»2n mJ�pjqci^�nUj2hscen\rwc ���� � � 1 ��� * � � B � �"� � � ,?N��

���� �

����������1 � < 9 * � �1 � < � * � �1 � <A@

* � �= ��������?

m10�

� ,?N �@ ����������9 " "" 9 "" " 9 = ��������?

j�jlk�mon�prq@s

Page 15: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

� J 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

^�jSoWmsf\| � �� �����31 �"� * � ��� B�� �"� � � ,?NmJn fpjlcegicerq^�gih�·¸ms|q]'fpgi^ t ^�¥FfAh t |qhkjlf\|w^ VP�)W

�.f\hsnUjS£�g ´ cenUjl¦��J|lhsge^ t ^u�Wms| t

� / N21 / 93 �����31 �"� * � ��� N54 N ' B�� ��� � ��6g ´ hso\o\|wm�zpce]�hkjlcemJn rq^#·?hscºju^�n t ^�fdz ¦+j�hso=^�r�� t hsn\ruf\n o\|q^�]#ci^�|�jq^�]#o\r�¶ mJn hsopo\|qmVx�Z\^�����31 �"� * � ��� N54 N ' oAhs|¼f\n À fVz4¦�x�ZAhsn\�s¦�^�nUjq|q^ ,?N ^+j , ' ±d�!^ À fdz�oW^�fpj Y+jl|w^�x�hkgix�f\gi¦ t ^t ce¹W¦�|w^�nUjl^�r�·?h�,�msn\r�±J�S½An t ^op|q¦�rw^�|�¢J^�|}gih2x�mJnUjqcinFf\cºjl¦ t ^!g®h2x�mJ]#oWmJrqhsnUjl^jlhsn\�J^�nFjqci^�gige^t f¨x�ZAhs]#o¨¦�ge^�x�jq|qce¥Ff\^ t mJn\n\¦�^�o\hs| 4 � ' � .� " ¶µ^�jugih�x�msn t cºjlcemJn t ^ajl|qhsn\rq]#cerqrwcimJnt mJn\n\¦�^aoAhs| 4 � ' � . 4 ¶Wn\msf\ruh�¢JmJn\r�x�Z\mJcerqc tµ´ fpjqcigecirw^�|.f\n&rwx�Z\¦�]�h t ^#§.m t f\n\m�¢=±�!^yrwx�Z\¦�]�h'^�rwjH�Ahsrq¦Srqfp|Hgih�|w¦�rwmJgifdjlcemJn4gemdx�hsge^ t¾´ f\n�o\|qms�\gi[�]#^ t ^S�)ci^�]�hkn\nµ±V²*^ À fVz^�rwj t msn\n\¦uoAhs|

��� � G�� � �m10 � � �H^�rwjSf\n ¢J^�x�jq^�f\|yx�mJn\r�j�hsnUjSge^�gemJn\� t ^ug ´ cenUjl^�|w·?hsx�^ � ,?N � , ' ±A».n�h#hsgemJ|qr

��� � � 1 � * 1 � * � � � �����31 * � � N54 N 'm10 1 N ^+j 1 ' rqmJnUj�gi^�r�rwmJgefpjlcemJn\r�hso\o\|wmdx�Zp¦�^�r t ^ oAhs|�j�^+j tµ´ hkfpjl|w^ t ^Lg ´ cenUjl^�|�·?hsx�^k±ª2hsn\r�gi^#x�hsr"m0 g ´ cinUjl^�|w·?hsx�^4x�m�� npx�c t ^4h�¢s^�x4ge^#�Wms| t t f t mJ]�hscinp^s¶ 1 ' rw^�|lh t mJn\np¦�^oAhs|�gih�x�mJn t cºjlcemJn�hsfdz�gece]�cºjl^�r V 1 ' 1� K W+±�ymJf\r t cerwjqcinp�Jf\mJn\r¼cex�c t ^�fdz#j vVoW^�r t ^)x�mJn t cºjlcemJn\rHhsfdz#gece]�cºjl^�r�¶F]#¦�jlhsgigece¥Vfp^y^+j!hk�\rqmJ| ¬�AhsnUjl^k±¾² h4o\|w^�]#ce[�|q^'^�rwj t mJn\n\¦�^aoAhs|yg®h�x�mJn t cejqcimsn 4 � ' � . " ¶=^�j2gih4rw^�x�msn t ^a^�rwjf\n\^#x�mJn t cejqcimsn�¥Ff ´ mJn ci]#o=mJrq^#rqfp|�ge^#�Wms| t jl|qmsn\¥Ff\¦#nVfp]�¦�|qce¥Ff\^�]#^�nUj�o=mJf\|2jq|lhscºjl^�|gi^�r�o\|wmJ�\ge[�]#^�r t ^ t cº¹¾|qhsx�jqcimJn¾±Hª�hsn\r�x�^Lx�hsr�gi^ t ms]�hkcin\^ t ^Lx�hsgex�fpgS^�rwj�cind½An\c?¶¼^+jhk½An tµ´ ¦�¢Vcºjl^�|!g ´ ^+¹¾^+j t ^�rHmJn t ^�roAhs|qhsrqcºjl^�r t fp^�r�£'gih�jq|qmJnpx�hkjqf\|q^k¶dn\msf\r!fpjqcigecerqmJn\r!f\n\^x�mJn t cejqcimJn�hs�\rwmJ|q�\hsnUjl^s±�ymJf\r�h�¢Jmsn\r"jq|lhscºjl¦#nFf\]#¦�|wci¥Ff\^�]�^�nUj�x�^�r"x�mJn t cºjlcemJn\r"hsfdz geci]#cºjl^�r t ^�gih ·?h�,�mJn rqf\c³¬¢shknFjq^� {XmJf\|Xg®hSx�mJn t cejqcimsn�]�¦+j�hsgegeci¥Ff\^k¶sn\mJfpr�h�¢JmJnpr�|q¦�rqmJgef�f\n t ^�]#cdo\|wmJ�\ge[�]#^ t ^!�Sce^�]�hsnpnµ¶h�¢s^�xuf\n\^.x�mJn t cºjlcemJn cen\cejqc®hkgi^k¶\^�j)gihax�mJn t cejqcimsn�hkfdz�geci]#cºjl^�r 4 � ' � . #" ± �2fAhknFjS£agihx�mJn t cejqcimJn¤hs�\rwmJ|q�AhknFjq^s¶�n\mJf\r'h�¢JmJn\r"fpjlcegecirw¦4gih�x�msn t cºjlcemJn t ^�bdcege¢s^�|�¬ ���\ge^�|"¥VfpcH^�rwj

���j ��

Page 16: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� ���

tµ´ ms| t |w^.f\nµ¶\x�^�r)o\|qmVx�¦ t ¦�r)mJnUjS¦�jq¦.ci]#o\ge¦�]#^�nFjq¦�r t hsn\r tµ´ hsfpjq|q^�rS]#¦+jlZ\m t ^�r�¶ t hsn\r�ge^x�hsr t ^�r�]#¦�jqZ\m t ^�rOÁ}msgi]#^�r�ÂOcinpcir�¶�V?msnaoWmsf\|q|qh�rq^|w¦�·¸¦�|q^�|O£ � X�� ¶¯^�j � J ����W�oAhs|O^Èzd^�]#o\ge^s±Í}nprqf\cºjl^k¶sn\mJfprÌhso\o\gece¥VfpmJn\r�f\np^!·¸mJ|q]"f\ge^ t ^¥FfAh t |lhkjqf\|q^ t ^)§uhsf\rwrOo=mJf\|�hko\o\|qmVx�Z\^�|

� / N21 / 93 � N ' � 1 N5* 1 ' * � � N 4 N ' B�� �76 � 9 * N N@

».n�rw^.|lhs]#[�n\^ tµ´ hs�Wms| t £af\n\^�cinUjl¦��J|lhkgi^.rwf\|3� ¬l�J¶e�D�¾o\hs|ge^.x�ZAhsn\�J^�]#^�nUj t ^2¢khs|qcihs�\ge^rqf\cº¢khsnUj ��� ' ���=* � .�� ��� ' � 9 * 9 .� ��� � B����� ����������� m10 ' ����* � . ^�rwjSf\nLrq^��J]#^�nUjy¥Vfp^�gex�mJn\¥Ff\^k±g®ha·¸mJ|w]'f\ge^ t ^u¥Vf\h t |lh¯jlf\|w^"rwf\| ' � 9 * 9 . ^�rwj t msn\n\¦�^�oAhs| � W W � � X � ��X � � � 9�

@� � � � 9�

@� *

¥Vfpc*^�rwjS^Èz\hkx�jl^�o=mJf\|�ge^�rSoWmJgºvVnMLJ]#^�r t ^ t ^��J|q¦ujl|wmJcer�±���V� � �Oµ� �²�h��Ahsrw^�gemdx�hsgi^S¦�jlhsnUj!ms|wjlms�JmJnAhsge^s¶Fgih"]�hkjq|qcex�^ t ^�]�hsrqrw^�^�rwjo\hs|Hx�mJn\rw¦�¥Ff\^�nUj t cihs�Jm¯¬nAhsge^s±��o\|w[�rSg ´ hso\o\|wm�zpce]�hkjlcemJn�^�n¡^�rqoAhkx�^'^+j�g ´ cinU¢J^�|qrwcimJn t ^"gih#]�h¯jl|qcex�^ t ^�]�hsrqrw^s¶=mJn�ms�d¬jlce^�nUjSf\n\^�Í�± ª'± » t ^ugih�·¸ms|q]#^�

���� 1 K � K �31 K �

m10 � K ^�r�jyg ´ mJoW¦�|lhkjq^�f\|Shsopo\|qmVx�Z\¦ t ^ �����������31 � ±��� � � �C���$�+���� �����$ % � % ��� � �7�

{�mJf\|�hko\o\|qmVx�Z\^�|�g ´ cinUjq¦��J|qhsgi^4^�n jl^�]�opr#£¡g ´ mJ| t |q^ J ¶OmJn fpjqcigecerq^�f\n rwx�Z\¦�]�h t ^�Sf\np�J^+¬��ufdjqj�h#£ t ^�fdzLoAhsr �

����1�� K 1�� *1 � K % � W� S ��� � � 1 � K ��� � � � � � K �31 � K * 1 K �Y� � � ��� � �-� � 9 * � * N N ! *1 �#" WK 1%$ K N

j�jlk�mon�prq@s

Page 17: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

��_ 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

m10 1 K ^�rwj4g®h x�mJn t cejqcimJn hsfdz gice]#cejq^�r t mJn\n\¦�^­oAhs|�gi^�o\|qms�\gi[�]#^­£¤|w¦�rqmsf t |q^k¶ V¸cix�c

! H� W+±² ^�r�oAhk|lhs]#[�jq|q^�r t f­rwx�Z\¦�]�h4rwmJnUj t msn\n\¦�r t hsn\rSgi^�j�hs�pgi^�hsf­rqfpce¢khsnUj ¾�!^'rwx�Z\¦�]�h�h

� W � 9 � B � WB � B W WB� W � #" � B � &" � B W WB� � #" � W 9

����� ������(0��� �����1���%"���'h"$#%������ ��4 �� (�"¦�jl¦�fdjlcegicerq¦�oAhk|#�!mdx�©F�\fp|qnGoWmJfp|a|q¦�rqmJf t |q^�ge^�rwvVrwjq[�]#^ t ^�g®h t vVnAhk]�ce¥Ff\^ t ^�r��Jh �V¸¢Jmsci|D�e��_=��Wȱ��� � �-���� ��/0� ��� !7� � �V��� � �

�yo\|q[�rage^�r t cirwx�|q¦+jlcerlhkjqcimsn rqoAhkjqc®hkgi^�^�j'jq^�]#o=mJ|q^�gige^ t ¦�x�|wcejq^�rao\|w¦�x�¦ t ^�]�]#^�nFj�¶ÌmJnmJ�pjlce^�nUj�f\n\^ rqmJgefpjqcimJn hso\o\|wmdx�Zp¦�^ 1 K Z H�IK ±SÍÌgegi^�hso\o\|wmdx�Zp^�gihGrwmJgefpjlcemJn 1 t fo\|qmJ�pgi[�]�^�V?�)WO£.g ´ mJ| t |q^ t ^�fdz V?o=mJf\|�gih.o\|q^�fp¢J^k¶J¢JmJce|/� ���\^�j[�º�¿���P±J² h.rwjlhs�\cegicºjl¦�ce]#oWmsrq^f\n6x À� WU V¸¢smJci|@� ���P¶ �e�¿����Wȱ��!^+jqjl^4x�mJn t cejqcimJn ^�rwj#hkrqrq^ ��|q^�rwjq|qcex�jlcº¢J^�x�mJ]#oAhs|w¦�^�hsfVzhsfpjl|w^�r ]#¦�jqZ\m t ^�r�¶S^+zd^�]�opgi^ t ^�gihC]�¦+jlZ\m t ^ t ^�r­ª�cº¹¾¦�|q^�n\x�^�r­ÂOcen\cer V¸rqx�Z\¦�]�h t ^�¼^�^$W�¥Ff\c.^�rwj tµ´ mJ| t |w^ t ^�fdz;o=mJf\|�fpn x À� BB ¶�^�j t ^�r Á}msgif\]#^�r¡ÂOcen\cer�¶�¥Ff\c.^�rwjtµ´ ms| t |w^ t ^�fdz­o=mJf\|Sf\n­x À� " N <��d±W�!^+jqjl^'x�mJn t cejqcimJn t ^'r�j�hs�\cegecejq¦'o=mJf\|�gih�]#¦+jlZ\m t ^§�hsge^�|w©Fcin4ª�cirwx�mJnUjqcinFf rq^Sjl|lh t f\cºj!oAhk|Hf\n�rqf\|wx�m��dj^�n�jl^�]#o\r t ^�x�hsgex�f\g=|q^�g®hkjqce¢s^�]#^�nUjci]#o=mJ|wjlhsnUj�±

���j ��

Page 18: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �¿�

� � 1�%&���X���)� �!�)� ��$ � ���X��-�$��)�

�SmJf\r�o\|w¦�rw^�nUjlmJnprycex�cµ¥Ff\^�gi¥Ff\^�ry^ÈzdoW¦�|qce^�n\x�^�rSnVfp]�¦�|qce¥Ff\^�ryhk½An t ^2jq^�rwjq^�|)giha¥Vf\h¯¬gicºjl¦ t ^.g®ha]#¦�jqZ\m t ^�§�hkgi^�|q©Fcin t cerqx�mJnUjlcenFf�o=mJf\|giha|q¦�rqmJgefpjqcimJn tµ´ f\n rwvVr�jl[�]#^uZUvVoW^�|�¬�WmJgece¥Vfp^�gecen\¦�hsce|q^�£#x�mV^���x�ce^�nUjqryn\msn�x�mJn\rwjlhsnUjlr V?ge^urwvVrwjq[�]#^ t ^a�¡h¿zd°H^�geg�W+±

� ��� ���� ��$&� $���� %��ª�hsn\r'fpn6o\|q^�]#ci^�|'jl^�]�opr�¶OnpmJf\rahkgigemJn\r"^�¹W^�x�jqf\^�|'¥Vfp^�ge¥Vfp^�r�x�hkr"jl^�rwjqr t hsnpr'f\n

]�cegeci^�f ZpmJ]#mJ�J[�np^s¶µm10&ge^�r.cen t cex�^�r t f&]#cige^�f / ^�j - rqmsnFj t ^�rux�msn\rwjlhsnUjl^�r.rwf\|2jlmsfpjgi^ t mJ]�hscen\^k±H�SmJf\r�x�mJnprqc t ¦�|wmJn\r4cex�c�ge^Lx�hsr t fC¢dc t ^[V / / � ¶¼^+j -R - � W+±}�SmJf\ro\|q¦�rq^�nUjqmJn\r�jl|wmJcir'x�hsr'jq^�r�jlr�¶Ogi^�o\|w^�]#ce^�|�x�msn\rqcerwjq^ £­x�hsgex�f\ge^�|�ge^�o\|w^�]#ce^�|�]#m t ^ t ^|q¦�rwmJnAhsnpx�^ t hkn\rf\n\^yx�h�¢Vcejq¦.]#¦�j�hkgigeci¥Ff\^�x�hs|w|q¦�^k¶pge^ t ^�fdzdci[�]�^.x�mJn\rwcir�jl^u£"x�hsgex�f\ge^�|ge^x�ZAhs]#o6¦�ge^�x+jl|wmJ]�hs�Jn\¦+jlce¥Vfp^��J¦�np¦�|q¦�oAhs|�f\n6x�mJf\|lhknFj"gecin\¦�ci¥Ff\^k¶O^+j'ge^�jq|qmJcerqce[�]#^4x�hsrrqce]'f\ge^"gih t cº¹¾|qhsx�jqcimJn tµ´ f\n\^�mJn t ^uo\gihsn\^urwf\|)f\n t cirw¥Vfp^s±

Q :&;$:&; �5??�¨�XÊ �pÆ@?¸Ä = ���«�¤Ä � � � � ¿�V��Ä = � = É ��� ;&;��»2n t cerqo=mJrw^ tµ´ f\n\^&x�h�¢Vcºjl¦­]#¦�jlhsgegice¥Ff\^&x�hs|w|q¦�^ t ^­xDLkjl¦� 9

<¶Hn\mJf\r�h�¢smJn\r

cin\cºjlcihsgecirw¦!ge^!x�ZAhk]�o'¦�ge^�x�jq|qmJ]�hs�sn\¦�jqci¥Ff\^o\hs|XgihyrwmJgefpjlcemJnahknAhsgºvVjqci¥Ff\^£ � #" ¶ t mJn\np¦�^oAhs|�g ´ ^Èzpop|q^�rwrqcemJn­rwf\ce¢khsnUjq^� �����&'� #"&'# #"�! K � 4�� X % K � 4�� " V����)W

� � � · ¶Ah�¢J^�x�· &" N � 9 � 9¿§38��O±²�h�rwmJgifdjlcemJn�^Èzphsx�jq^"^�rwj t mJn\np¦�^uoAhs| �����&'� ���� % K � 4�� X %)P K � " % K � 4 � �&'# �� % P K � X % K � 4�� " % K � 4 � ��� K � 4�� X % K � 4�� " % P K � � V��s�@W

�ymJf\r)x�mJ]#oAhs|qmsn\r)gi^�rSrwmJgefpjlcemJn\rSmJ�pjq^�nFf\^�rSnFf\]#¦�|wci¥Ff\^�]�^�nUjuhsfdz rwmJgefpjlcemJn\r)^+zphsx+jl^�r�±² ^�r�½\�Jf\|q^�rhV J W2^�j^VP�)W.|q^�o\|q¦�rq^�nUjq^�nUj�|q^�rqo=^�x+jlcº¢J^�]#^�nFj#g ´ ¦�¢Jmsgifpjqcimsn6^�n jl^�]#o\r"^�j"^�n^�rqo\hsx�^ t f4x�Z\hs]#o4¦�ge^�x+jl|wci¥Ff\^k±\�!mJ]#]#^Sx�^�r}½A�Jfp|q^�r¼ge^y]#mJnUjl|w^�nUj�¶Fgih�rwmJgefpjlcemJn�hko\o\|qm¯¬x�Z\¦�^�^�r�j t ^��=mJn\np^�¥FfAhkgicºjl¦k±X�SmJf\r�h�¢JmJnpr"oAhk|"hkcigegi^�f\|qrux�hsgix�f\ge¦�gih t ce¹Wf\rqcemJn nFf\]#¦+¬|qce¥Vfp^s¶=^�j2npmJf\r2h�¢smJn\r2x�mJn\rwjlhkjl¦'f\n\^ t ce¹Wf\rqcemJn t ^'g ´ mJ| t |q^ t ^ 9 "

U rqfp|�gih�o\|w^�]#ci[�|q^

j�jlk�mon�prq@s

Page 19: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

� g 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

oW¦�|qcem t ^k¶U^�j t ^)g ´ mJ| t |q^ t ^39 " �B hsop|q[�r}f\np^ t c���hscinp^ t ^)o=¦�|wcim t ^�r�±V² ^)]�hscegigihs�J^)fpjqcigecerq¦x�mJ|w|q^�rwoWmsn t £ 9 " o=mJcenFjqryo\hs|�gimsn\�Jf\^�f\| tµ´ msn t ^s±

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

EXACTEAPPROCHEE

������� J � ���� ��+'U&�2 ��[��E �� (�" ��'E#%�0��� ( ����%#1�r�&,�'��

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

EXACTEAPPROCHEE

��������� � #% �'$(�� ���� #" N � ��'4#%�0��� ( ����%#&��&,�'��

���j ��

Page 20: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �@X

Q :&;$: B Z Ä=� � = Æ���� ; �AÉ)?&Oµ� �ª�hsn\r!x�^�x�hsrHjq^�rwj�¶dmsn4rqce]'fpgi^2ge^�x�Z\hs]#o�¦�ge^�x+jl|qms]�hk�Jn\¦�jqci¥Ff\^��J¦�n\¦�|q¦yoAhs|¼f\n�x�msfd¬

|lhsnUj)gecin\¦�ci¥Ff\^ A��!gemdx�hsgicerq¦u^�n z #" ±��� � � K � 4 � � "� �0P K � � � � V�� J W

�!^ax�mJfp|lhsnUj.^�rwj.o\gihsx�¦#hsf­]#cigece^�f tµ´ f\n&�Jf\c t ^ tµ´ mJn t ^s¶¾x�mJ]#]#^�gi^a]#mJnUjq|q^agih�½A�Jfp|q^V?_ Wȱµª2hsnpr2gi^�x�hsr2jl^�rwj�¶¾n\mJfpruh�¢smJn\r.o\|wcir t 9�] ¶¾^�j2n\mJf\ruh�¢Jmsn\r2½pzd¦�g®h4·¸|w¦�¥Ff\^�n\x�^

d

métal

0

j

��������_ � � �'�� ���� "'����>��#�&,�'-���)���0"�'U� 7'��&��� ��� ��*���!���%#2��� 7'U� �������t ^�o\|wmJoAhs�Uh¯jlcemJn6£ " N

@§38��O±�² h�½A�sf\|q^ VP�7W�|w^�o\|w¦�rw^�nUjl^�ge^�r�cerqm�¢khsge^�f\|wr t f x�ZAhs]#o

¦�ge^�x�jq|qce¥Ff\^s¶J^+jÌgihy½A�Jf\|w^!V g W�x�^�gige^�r t fax�ZAhs]#o#]�hs�Jn\¦+jlce¥Vfp^s±J² h�x�mJnUjlcenFf\cejq¦ t f�x�ZAhs]#o¦�ge^�x�jq|qce¥Ff\^2^�jHgih t cerqx�mJnUjlcenVfpcejq¦ t f4x�ZAhk]�o4]�hk�Jn\¦�jqci¥Ff\^yrqmJnUj!�\ci^�n�o\|wcirw^�r!^�n�x�ms]�odjl^x�mJ]#]#^�gi^']�msnFjq|q^�gih�x�mJfpoW^a^�n&v 6 B t ^�gih�rqmJgefpjqcimJn¨hko\o\|qmVx�Z\¦�^ V¸½A�Jfp|q^�r�X4^+ju�)Wȱ² ´ ¦�¢smJgefpjlcemJnL^�n jl^�]#o\rS^�r�j t mJn\n\¦�^"o\hs|�g®h�½A�Jfp|q^ VP�)WȱVP{Xmsf\|)g ´ ^+zdo\|w^�rqrwcimsn­^+zdo\gecix�cejq^ t ^�gih�rqmJgefpjqcimJnL^+zphsx+jl^u¢JmJce|��e� ��Wȱ

j�jlk�mon�prq@s

Page 21: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

��� 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

�������=� � � �0��� ([����%#&�r�&,�'-� �!

������� g � � �0��� ( ��� 7���&�&,�'-� &)#���j ��

Page 22: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� ���

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100 120

EXACTEAPPROCHEE

� ����� X � � �'@(�� ������ 6 B ��' #%�0��� ( ����%#1�r�&,�'�� ��

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 20 40 60 80 100 120

EXACTEAPPROCHEE

� �����W� � � �'@(��d�� ��� 6 B ��' #%�0��� (4��� 7���1�&,�'�� &'#

j�jlk�mon�prq@s

Page 23: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

J � 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

EXACTEAPPROCHEE

�������=� ��� �� ��+'U&�2 ��[��E �� (�"���' #%�0��� ([����%#1�r�&,�'�� �� Q :&;$: K ` ?�� ��\ÉsÆ@??Ä = � � � = �­Ä = � � DOÊ � = �&��� �� = � ??�5Oµ� �

»2n t cerqo=mJrq^ tµ´ f\n t cirw¥Vfp^ t ^u|lh�vsmJn�4 � N � < ¶Arqfp|Sge^�¥Ff\^�gXmsnL^�nU¢JmJce^'f\np^�msn t ^o\g®hkn\^�]#mJn\mVx�Z\|qmJ]�hkjqci¥Ff\^ t ^#gemJn\�Jfp^�f\| tµ´ mJn t ^ O

@ <±*²*^�]�hscegigihs�J^�fpjqcigecerq¦#x�mJ| ¬

|q^�rwoWmsn t £¤^�nU¢Vce|qmJn 9��¤oWmJcenUjlr�oAhs|4gemJn\�sf\^�f\| tµ´ msn t ^s±!²*^�r4½A�sf\|q^�r­���p¶)�J�J¶¼^�j¡� J|q^�op|q¦�rw^�nUjl^�nUj"ge^�r.x�Z\hs]#o\r t cº¹¾|qhsx�jq¦�r�±µÍ}nprqf\cºjl^k¶µmJn&^�nU¢smJci^�rwf\|2x�^ t cirw¥Ff\^�f\n\^amsn t ^t ^#rqf\o\o=mJ|�j ' � 4 * 4 � 4�� O . V¸o\f\gerq^$Wȶ�h�¢s^�x O

@] ± ² h�½A�Jf\|w^L���L|w^�o\|w¦�rq^�nUjl^4ge^

x�ZAhs]#o¡¦�gi^�x�jl|wci¥Ff\^"jlmsjlhsgP±=�!^�ry½A�sf\|q^�ry]#mJnUjl|w^�nUj2fpn¡�=mJn�x�mJ]#oWms|wjl^�]#^�nUj2¥FfAhsgecºj�hkjqce·t ^ug®h�]#¦�jqZ\m t ^s±

���j ��

Page 24: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� J �

� ����� ��� � #%�0��� ([����%#&�r�&,�'-� ��� ��� ��# � ��

���������J��� #%�0��� ( ��� 7���&�&,�'-����� ���/��# � &'�j�jlk�mon�prq@s

Page 25: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

J7J 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

� ������� J � #%�0��� ( ��� 7���&�&,�'-����� ��� ��# � &'#

������� ��� � #%�0��� ([����%#&�r�&,�'-�� �2��� ��

���j ��

Page 26: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� J �

Z Ä = ÉUÊP���5?¸Ä =ª�hsn\r�ge^!oAhk|lhs�J|qhso\Z\^ V?_\±e�@Wȶ¯npmJf\rÌh�¢Jmsn\rO¢Vf t ^�r�x�hsrXjl^�r�jlr t hsn\rOge^x�hsrOZ\ms]�ms�J[�n\^k¶

V?m10 oAhs|�·¸mJcerSge^�rSrqmsgifpjqcimsn\r)^+zphsx�jq^�rSrqmJnUjyx�mJnpnVfp^�r ��oAhk|lhs�J|qhso\Z\^u_\±e�J±e�J¶\^+jy_p±i�J± J WȱA²*^�r|q¦�rwf\gºj�hkjqrahscen\rqcHmJ�pjq^�nFf\r']#mJnUjq|q^�nUj�gih��=mJn\np^4¥FfAhsgecejq¦ t ^�g®hL]�¦+jlZ\m t ^�nVfp]�¦�|qce¥Ff\^s±² ^�r)rqmJgefpjlcemJn\rSrqmsnFjS�\ce^�n¡hso\o\|wmdx�Zp¦�^�r�¶�^�jSn\mJf\r)o=mJfp¢smJn\rS|q^�]�hs|w¥Ff\^�|S¥Ff ´ hkf\x�f\np^"mJr ¬x�cegigihkjlcemJn�n ´ ^�rwj!hso\o\hs|qf\^ t hkn\rHge^)x�hsr t ^)o\|w¦�rq^�n\x�^ t ^)x�mJfp|lhsnUj�¶Fm10�ge^Sx�Z\hs]#o4]�hs�Jn\¦È¬jlce¥Vfp^�^�rwj t cerqx�msnFjqcinFfµ¶�^+jyx�^�x�c��s|��sx�^"hkfLrwmJgº¢J^�fp| t ^"�)ci^�]�]�hsnL^+zphsx+jS¥Vfpc ¢s¦�|wce½A^�ge^�rx�mJn t cejqcimJnpr t ^�rqhsfpjqr�hsfVz cinUjq^�|w·?hkx�^�r t ^�rS]#cegice^�fVz¾±

� � � ���� ��� �����$���� %��²*^H�\fpj t ^x�^¼jl|lh�¢khscegd¦+j�hscºj t ^!|q^�x�Z\^�|wx�Z\^�| t ^�rOrwmJgifdjlcemJn\r t f'rwvVrwjq[�]#^ t ^��¡h¿zd°H^�geg

t hsn\r"gi^�x�hsr"m10¤ge^�r"]�h¯jl¦�|wc®hkfdz6rwmJnUjaZ\¦+jl¦�|qmJ�J[�n\^�r�±��SmJf\rah�¢smJn\r'^+¹¾^�x�jqf\¦�¥Ff\^�ge¥Ff\^�rx�hsr.jl^�rwjqr'h�¢J^�x t ^�ru]�h¯jl¦�|wc®hkfdz t ce¦�ge^�x�jq|qce¥Ff\^�r V - x�mJn\r�j�hsnUj t hsn\r.jqmJfpj�gi^ t ms]�hkcin\^k¶^�j / ¢khs|wc®hs�pgi^5W Q : B :&; � ?P�¨��Ê �dÆ@??Ä = � � � = � DO��ÊP� �pÆ@?¸Ä =

�!^�x�hsr"jl^�r�jax�mJn\rqcerwjq^�£�^�nU¢Jm�vJ^�|�fpn\^4mJn t ^�£Lrqf\o\o=mJ|�jax�ms]�o\hsx�j�� � t hsn\r"f\n\^�WmJcºjl^ ]#¦�jlhsgegice¥Ff\^¡rw^�]#c)mJfp¢J^�|wjq^s±H² ^Lrqfpo\oWms|wj t ^Lg ´ mJn t ^L^�r�j4¦��Uhsg)£ ' ���� * � � . h�¢s^�xO

@ <¶Fn\mJfprh�¢JmJnprfpjlcegecirw¦�f\n�]�hscegeg®hs�s^y¥Ff\cWx�mJ|w|q^�rwoWmsn t £"^�nU¢dce|qmsn 9 " o=mJcenUjlr!o\hs|gimJnp�Jf\^�fp| t¾´ mJn t ^ t hsn\r�gi^�]�hkjl¦�|qcihsfµ±��!^�jwjl^��Wmscejq^�^�rwj"x�mJ]#o=mJrq¦�^ t f¨¢Vc t ^4^�j tµ´ f\n

]�h¯jl¦�|wc®hkf tµ´ cin t cix�^�r - D - � ^�j / D _ % / � ¶ m10 - � ^�j / � rqmJnUj'gi^�racin t cix�^�r t f¤¢Vc t ^k±�!^�]�hkjq¦�|qcihsf�|q^�op|q¦�rw^�nUjl^4f\n\^�x�mJf\x�Zp^ t ^�¢J^�|w|q^k±X�yo\|q[�r"f\n jl^�]�opr t ^�x�hsgex�fpgHYMD!Xn\r�¶=g®h�rqmJgefpjqcimJn�^�r�j2x�ms]�o\hs|q¦�^�£�gih4rwmJgifdjlcemJn¡^Èz\hkx�jl^k¶¾^+j�mJn�oW^�fpj2|w^�]�hs|w¥Vfp^�|�rwf\|�gih½A�Jf\|w^ V���_)W+¶V¥Vfp^2g®harwmJgefpjlcemJn�nFf\]#¦�|wci¥Ff\^ V�cex�c¾gi^2x�Z\hs]#o�¦�ge^�x�jq|qce¥Ff\^$W�hso\op|qmVx�Z\^2�\ce^�ng®h�rqmsgifpjqcimsn�^Èz\hkx�jl^k±

j�jlk�mon�prq@s

Page 27: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

J _ 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-3 -2 -1 0 1 2 3

EXACTEAPPROCHEE

� ��������_ � � �'@(��d�� �^��'4#%�0��� ( ����%#&��&,�'��

Q : B : B ` ?�� ��\ÉsÆ@??Ä = � � � = �­Ä = � � DOÊ � = �&��� �� = � �pÆ�� �? �\� � a��UÆ¿�� x�cP¶Wn\mJf\rSjl|qhscejqmJn\ryf\n&x�hsryo\gef\r2x�ms]�opgi^Èzp^k¶µ¥Ff\cO^�rwj t ^ax�hkgix�f\gi^�|2ge^'x�ZAhs]#o&¦�gi^�x+¬

jl|qce¥Ff\^ t ce¹W|lhkx�jl¦¨rwf\| f\n ]�hkjq¦�|wc®hsf x�mJfd¢J^�|�j t¾´ f\np^ x�mJf\x�Z\^ t ^ t ce¦�ge^�x�jq|qce¥Ff\^ V¸f\n\^x�mJf\x�Zp^ t ^4|w¦�rwcin\^5W+¶Xrqf\|"gi^�¥Vfp^�g!msn¤^�nU¢smJci^4f\n\^�mJn t ^4o\gihsn\^�]#mJn\mVx�Z\|qmJ]�hkjqci¥Ff\^ t ^gimJ�sf\^�f\| O � ] ±�² ^#]�hkjq¦�|qcihsf |q^�o\|q¦�rq^�nUjq^�f\n t cirw¥Ff\^ t ^�|lh�vsmJn¤� " N � �=;

<¶*m10

g®h�x�mJf\x�Zp^a^�r�j tµ´ ^�oAhscerqrw^�f\|.o " N 9<±¾�!^�jwjl^'x�mJf\x�Z\^�cen\x�gifpj�f\n\^a|w¦�oAhk|wjlcºjlcemJn�oW¦�|qcemk¬

t ci¥Ff\^ t ^�o=^�jqcejqr t cerq¥Ff\^�r|q¦ À ¦�x�Z\cerqrqhsnUjlr t ^y|lh�vJmJnpr| E" N " � � < ±d² ´ mJn t ^�^�r�j^�nF¢sm�vJ¦�^Z\mJ|qc ��msnFjlhsge^�]#^�nUj!V?h�¢J^�xyf\n�hkn\�Jge^��FD.�)W+±V² hu½\�Jf\|q^ V����)W�|q^�op|q¦�rw^�nUjl^�gi^Sx�ZAhs]#o�¦�gi^�x+¬jl|qce¥Ff\^yhso\|q[�rHfpn\^yo=¦�|wcim t ^ t ^Sx�hsgex�fpgP±V² h�rwmJgefpjlcemJn4^�rwjHrqce]#cigihsce|q^y£�x�^�gegi^ymJ�pjl^�nFf\^yo\hs|g®h¨]#¦�jlZpm t ^¡§��¡�yͼb V §.^�n\^�|lhsgec���^ t �Lcin\ce]�hsgS�S^�rqf t fAhsgS]�^+jlZ\m t W�oAhs|#��n\hs�W^�gige^�¾¦��\cexdV � J�g ��Wȶdm0�gi^y]�hscigegihs�J^�fdjlcegicerq¦yx�mJ|w|q^�rwoWmsn t £ �" oWmscinUjlr!oAhs|¼gimJnp�Jf\^�fp| tµ´ mJn t ^k±

���j ��

Page 28: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� J �

� ����� �¿� � #%�0��� ([����%#&�r�&,�'-� ��� ��� ��# � ��

Z Ä = ÉUÊP���5?¸Ä = ��ymJf\rHoWmsfp¢JmJnpr!x�msn\rwjlhkjl^�|¥Ff\^�ge^�r|w¦�rwf\gejlhkjlrHnFf\]#¦�|qce¥Ff\^�r)mJ�djl^�nFf\rh�¢s^�x2gih"]#¦+jlZ\m t ^§�hsge^�|w©Fcin ªycirwx�mJnUjlcenFfCrqmJnUj t ^4�=mJn\n\^�¥Vf\hsgicºjl¦k¶�hsfprqrqc¼�\ce^�n t hkn\r'ge^4x�hsr t ^�ra]�hkjl¦È¬|qcihsfdz�ZpmJ]#mJ�J[�np^�r�¶U¥Ff\^ t hsn\rÌge^�x�hsr t ^�r}]�h¯jl¦�|wc®hkfdz�Z\¦+jl¦�|qmJ�J[�n\^�r�±F²*^�r}x�mJn t cejqcimsn\r t ^jl|lhkn\rq]#cerqrqcemJn\r)rwmJnUj)o\|qcerq^�rS^�n x�mJ]#opjq^.�J|��sx�^.£af\n rqmsge¢s^�f\| t ^u�)ci^�]�hsn\n ^+zphsx+j�±�»2noW^�fpj t ¦ t fpci|w^4£�jl|qh�¢s^�|wr'x�^�r"^ÈzdoW¦�|qce^�n\x�^�ranFf\]#¦�|wci¥Ff\^�r�¶�g®h |qms�\f\rwjq^�rwrq^4^+j'gih��Wmsn\n\^o\|q¦�x�cerqcemJn t ^ugih�]�¦+jlZ\m t ^k±

j�jlk�mon�prq@s

Page 29: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

J�g 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

� � �'� %��u�X�"��� �"� ��������� ��������� � �"�+���X����� ����� �!�"���������$ � �'�)� $L����� ������� � ����� �"��$ � �)� � ��� ���

�!^¼x�ZAhsopcejq|q^¼^�rwjXx�msn\rlhsx�|q¦H£Sfpn\^Hx�mJ]#oAhs|qhscirwmJn�¥Vf\hsgicºj�h¯jlcº¢J^!^+j�¥Vf\hsnUjlcºj�hkjqce¢s^!^�nUjq|q^g®hL]�¦+jlZ\m t ^4§�hkgi^�|q©Fcin6ª�cirwx�mJnUjqcinFf t ¦�x�|qcºjl^ t hsn\r"gi^�r'x�ZAhko\cejq|q^�r'o\|w¦�x�¦ t ^�nUjqr�^�j"f\n\^]�¦+jlZ\m t ^ t ^¨Á}mJgifp]�^�r­ÂOcen\cer�±S�ymsf\r¡hkgigemJn\r tµ´ hs�Wms| t |qhso\o=^�ge^�|L�\|qce[�¢s^�]#^�nUj&x�^�jwjl^t ^�|wn\ci[�|q^�]#¦�jlZpm t ^ V¸oWmJfp|�o\gifpr t ^ t ¦+j�hsceger)¢smJce|�� X��P¶A^�j�� J �=� W+±

����� �5����� ��� �����$&% !7� /������ ���$�!���� $&/0��� ��� ��%7���»2n�x�mJnprqc t [�|w^¼jqmJfk~�mJf\|wr*gi^}r�vdr�jl[�]�^ t ^H�¡h¯zV°H^�geg V?�)W t f�x�ZAhso\cºjl|w^ J ±¿»2n"x�mJn\rwjq|qf\cºj

f\n\^!rwmJgefpjlcemJn�hsopo\|qmVx�Z\¦�^k¶s^�nacinUjq¦��J|qhsnUjÌg®h)·¸mJ|q]"f\gihkjlcemJnax�mJn\rq^�|w¢khkjqce¢s^�V �7W*rqf\|Xx�ZAhs¥Ff\^jl|qcihsn\�sgi^ ,ON ±W».n�mJ�pjqci^�nFj2hso\|w[�rScinUjl¦��J|lh¯jlcemJn¡oAhk|yoAhk|wjlce^�ryg®h�·¸mJ|w]'f\gihkjlcemJnL·?hsci�pgi^"rqf\c³¬¢shknFjq^�

� � � � � ,ONY� �31 � N �U�' SOW � N ' � jq^�|q]#^�r t ^u�=mJ| t � 4ON�* V����)W

m10� N ' �31 N5* 1 ' � � # / � 1 / 93 ����� 1 �YX * � ��� N54 N ' ��6

�������31 � X * � � N # / � 1 / 93 4 N ' ��6{XmJf\|�x�hkgix�f\gi^�| � N ' ¶¿n\mJf\r�fpjlcegecirwmJn\rOfpn'rqx�Zp¦�]�h t ^!§um t f\n\m�¢=±k»2n'mJ�pjqci^�nUj�f\n"rqx�Z\¦�]�h¥VfpcX¢J¦�|qcº½A^#gi^�r.x�mJn t cejqcimsn\r t ^'jq|lhsn\rw]#cirwrqcemJnNV� � ' � . " ¶=^�j� � ' � . � W+¶Wx�^rqx�Z\¦�]�h�^�rwj"o\|w¦�x�cera£Lg ´ mJ| t |q^#f\nµ± �S½An tµ´ mJ�pjq^�n\ce|'fpn¤rqx�Zp¦�]�h tµ´ mJ| t |q^�¦�ge^�¢J¦k¶XnpmJf\rfpjlcegicerqmsn\r�g®h�]�¦+jlZ\m t ^L��>�b\�²Ì¶O¥Ff\cx�mJn\rwcir�jl^ £¡|w^�]#o\gihsx�^�|�gi^�ra¢shkgi^�f\|qr 1 N ^�j 1 't hsn\r)gih�·¸msn\x�jqcimJn À fdz � N ' � 1 N * 1 ' � ¶AoAhs| t ^�rS¢khsge^�fp|qr)cinUjq^�|qo=mJge¦�^�r 1 N ' ^�j 1 ' N ±Am10

1 N ' 1 N � � 9 � � � ��31 ' � 1 N �� �&� � 8 1 � N�� N '

m10 � N ' ^�rwj�g®h t cerwjlhsn\x�^¼^�nUjq|q^¼gi^¼x�^�nFjq|q^ t ^}�J|lh�¢Vcºjl¦ t f�jq|qcihsn\�Jge^ ,ON ^�j�g ´ hk|/Y�jq^ � ,?N � , ' ±{XmJf\|.x�hsgex�f\ge^�|.ge^��J|lh t ci^�nUj 8 1 � ¶µn\mJfpr.fpjlcegicerqmsn\ruf\n¨o\|qmVx�¦ t ¦�rqce]#cigihsce|q^�hsf&x�hkgix�f\gt ^�r À fdz

��ce|q^ � ,ON �08 1 �� �/ �� 8 1

U�' SOW �/ � 1 / 93 1 N54 N ' �

U�' SOW N ' A N ' V���_ W

���j ��

Page 30: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� J X

m0 N ' ^�rwj�fpn\^�¢khsge^�f\|�hko\o\|qmVx�Z\¦�^ t ^ 1 £ag ´ cenUjl^�|�·?hsx�^ � ,?N � , ' ±d�ymJfpr�x�Z\mJcerqcer�¬rqmJn\r)cex�c N ' ��� " � 3B ¶A^+j)mJn�ms�pjlce^�nUjyhscen\rqc=

8 1 � WB�� N � � + � - U%' SOW 1 ' A N '�.f\hsnUj2hsfVz jl^�|w]#^�r t ^'�=mJ| t ¶AnpmJf\r2h�¢smJn\r�fdjlcegicerq¦"oWmJfp|Sgih�x�mJn t cºjlcemJn­]#¦+j�hsgegice¥Ff\^'gih]�Y�]#^�jl^�x�Z\n\ce¥Ff\^�¥Ff\^�o=mJf\|�gi^ À fdz�cinUjq^�|qnp^s¶O^�n6|q¦�rqmJgº¢khsnUjaf\n t ^�]#c¼o\|qmJ�pgi[�]�^ t ^�Sce^�]�hsn\n¾± bd^�|lh¿~�mJfpjl^#£�gih�x�msn t cºjlcemJn¨cin\cºjlcihsge^�f\n\^�x�mJn t cºjlcemJn hsfdz­gice]#cejq^�r t mJn\np¦�^oAhs| � � " ¶\¥Ff\c*rq^ujl|qh t f\cºj)oAhs|�� � W� + � � # - � N ����¶\m10 � N ���¼^�rwj)ge^ux�ZAhs]#oLcin\x�c t ^�nUjSrqf\|)ge^.�WmJ| t ±A{�mJf\|)g®hax�mJn t cºjlcemJnhs�\rqms|q�AhsnUjq^s¶ n\mJf\r"h�¢JmJnpr"fpjqcigecerq¦4x�mJ]#]#^�o=mJf\|ugihL]#¦�jqZ\m t ^�§uhsge^�|w©Vcen�ª�cirwx�mJnUjqcinFfµ¶g®h�x�msn t cºjlcemJn t ^'bVcigº¢J^�|�¬�� �\gige^�|�±

D D ¿ÄULM??� �pÆ@?¸Ä = � = Æ �V�[DX��yo\|q[�rygih t cerqx�|w¦�jqcirqhkjlcemJn¡rwoAhkjqc®hsge^s¶Amsn¡hs�=mJfpjqcejShkfLr�vVrwjl[�]#^

���� 1 � � 1 �

m10 � �31 � ¦+j�hsnUj�g®h t cerqx�|w¦�jqcirqhkjlcemJn ^�n ^�rwoAhsx�^s¶¼n\mJf\r�h�¢JmJn\r�fpjlcegecirw¦�f\n rqx�Z\¦�]�h t ^�Sf\np�J^+¬��ufdjqj�h#£ajl|wmJcerSo\hsr t mJn\n\¦uoAhk|�gi^urqx�Zp¦�]�h�rwf\ce¢khsnUj �

����1 � 1 � *1 �

1 � � 6+� " U � - � �31 � W � � 9 *�� * N N <1 ��" W 1 NV����7W

h�¢s^�x"] @±��ymJf\ryh�¢JmJnpryoAhk|�hscegegi^�f\|qr)½pzd¦"ge^�oAhs|lhk]�[+jl|w^ t ^ t ¦�x�^�nFjq|lhs�s^ � t hkn\rygih

t cirwx�|w¦�jlcerlh¯jlcemJn�^�n�^�rqoAhkx�^�£ WU ±*�ymsjqmJn\r.¥Ff\^#ge^�r.oAhs|qhs]#[�jq|q^�r t ^��)f\n\�J^Ȭ �.fpjwj�h�¥Ff\^n\mJf\r#h�¢Jmsn\r#fpjlcegicerq¦�r t hsn\r�ge^L]#¦+jlZ\m t ^L§uhsgi^�|q©Fcen ª�cerqx�mJnUjlcenFf t cº¹¾[�|q^�nFj t ^�r#oAhs|lh¿¬]�[+jl|w^�r�fdjlcegicerq¦�r�cex�c oWmsf\|)g®h#]#¦�jlZpm t ^uÁ}mJgef\]#^�r�ÂOcinpcir�¶=^+j�x�^�x�c�o=mJf\| t ^�ry|qhscirwmJn\r t ^rwj�hk�\cigecºjl¦ t ^�rSrqx�Zp¦�]�hsr�±�ymJf\r�hsgegemJn\r�o\|q¦�rq^�nUjq^�| t hsn\rugi^�oAhs|qhs�J|qhso\Z\^#rqfpce¢khsnUj�¶ f\np^�x�mJ]#oAhs|qhscirwmJn¤^�nUjl|q^�ge^�rt ^�fdz�]�¦+jlZ\m t ^�rynFf\]#¦�|wci¥Ff\^�r�x�cejq¦�^�rSo\|w¦�x�¦ t ^�]#]#^�nUj�±

j�jlk�mon�prq@s

Page 31: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

J � 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

��� � ��$&� �����&��� $&% !7��� !�� � + ��� ���$�!�����SmJf\ruhsgegemJn\r.^�¹W^�x+jlf\^�|u¥Vfp^�ge¥Vfp^�r�x�hsr2jq^�rwjqr�¶ hk½\n t¾´ ¦+¢shkgif\^�|.^�j t ^�x�mJ]#oAhs|w^�|.ge^�r

|q¦�rwf\gºj�hkjqr2nFf\]#¦�|qce¥Ff\^�r.ms�pjl^�nVfpr2oAhs|ygi^�r t ^�fVz­]#¦�jqZ\m t ^�r�¶¾^�n�jl^�|w]#^�r t ^'¥Vf\hsgicºjl¦ t ^g®h�rqmsgifpjqcimsn�^+j t ^ujq^�]#o\r t ^ux�hsgex�fpgP±

A�: B :&; � ??�¨�XÊ �pÆ@?¸Ä = � � � = �¤Ä�� � � � ¿�V��Ä = � = É �»2n#|q^�o\|q^�n t cix�c\g®h2] Y�]�^)^Èzpo=¦�|wci^�n\x�^S¥Ff ´ hsf�o\hs|lhs�s|lhso\Zp^!V?_\±e�J±e�@W+¶k^�j}n\msf\r�¢VcirwfAh¯¬

gicerqmJnpr�g ´ ¦�¢smJgefpjlcemJn�^�n"jl^�]#o\r t fax�ZAhs]#o�¦�gi^�x�jl|wci¥Ff\^k±U�ymsf\r�h�¢Jmsn\r�x�Z\mJcerqc t ^!x�mJ]#oAhs|w^�|gi^�rOx�m��pj}�{ > £So\|q¦�x�cerqcemJna½pzd¦�^k±J{�mJf\|Orw^H·?hsce|q^k¶knpmJf\r�h�¢smJn\r�x�Z\mscirwcdf\n']�hkcigeg®hk�J^Hjq|qmJcer·¸mJcir�o\gef\r'½An¤oWmJfp|"gih�]#¦�jqZ\m t ^�Á}mJgef\]#^�raÂOcinpcir�±��!^�x�c!^�rwjS~�f\rwjqce½A¦4oAhs|�gi^�·?hscej"¥Ff\^t hsn\r#gih¨]#¦+jlZ\m t ^ t ^�§�hkgi^�|q©FcinGª�cerqx�mJnUjlcenFfµ¶HnpmJf\r�h�¢JmJn\r#jl|wmJcer t ^��J|w¦�r t ^ geci�=^�|�jl¦oAhs|2jl|wc®hkn\�Jge^�^�j�oAhs|.cen\x�msn\nFf\^s¶�hsgemJ|qr.¥Ff ´ ^�n Á}mJgef\]#^�r�ÂOcen\cirun\msf\r�h�¢smJn\r�f\n t ^��s|q¦t ^4geci�=^�|�jl¦�oAhs|ujl|wc®hsnp�Jgi^k±O² h ½A�Jf\|w^EV � g W.|q^�op|q¦�rw^�nUjl^4gi^�r t ^�fVz¤rwmJgefpjlcemJn\r"mJ�pjl^�nFf\^�rh�¢s^�x2ge^�r t ^�fdz�]#¦�jqZ\m t ^�r�¶px�ms]�o\hs|q¦�^�r)£"gih'rwmJgifdjlcemJn�^+zphsx+jl^k±\�ymsf\r!|w^�]�hs|q¥Ff\msn\r¥Ff\^gi^�rSrwmJgefpjlcemJn\rSrqmJnUj t ^u] Y�]#^�¥Vf\hsgicºjl¦k±

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10

EXACTEVOLUMES FINIS

GALERKIN DISCONTINU

� ����� � g � ���� ��+'U&�2 �� ��4 �� (�"���'4#%�0��� ( ����%#1�r�&,�'��

���j ��

Page 32: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� J �

�SmJf\r |q^�o\|q¦�rq^�nFjqmJn\r t hsn\r�gi^Ìjlhs�\ge^�hsf J ¶�ge^�r jl^�]�opr��{ >CoWmJfp|*gi^�r t ^�fdz�]#¦�jqZ\m t ^�rVP£y^�|q|w^�f\|�½pzd¦�^ tµ´ mJ| t |q^G9 " �� Wȱs² h t ce¹Wf\rwcimJn'nVfp]�¦�|qce¥Ff\^�^�r�j t ^Hg ´ mJ| t |q^ t ^ 9 " �B oWmsf\|gi^�r t ^�fdzL]#¦�jqZ\m t ^�ryhso\|w[�r)f\n\^ t c ��hscen\^ t ^uoW¦�|qcem t ^�r�±

]#¦�jlZpm t ^ Á}mJgifp]�^�rSÂOcinpcir §uhsge^�|w©Vcen�ª�cirwx�mJnUjqcinFf�Â�² " N < " N �jl^�]#o\r��kcºjl¦�|qhkjlcemJn V?r%W 9 � N ;��jl^�]#o\r)�Jgims�Ahsg V¸r%W < " � �"t cº¹¾fprqcemJn¡nFf\]#¦�|wci¥Ff\^ � N 9��+9 " �B � N ;+9 " �B

����� � J � � ���"d��E �� (�" �� � ».n�|w^�]�hs|w¥Vfp^.¥Vfp^.g®ha]#¦�jqZ\m t ^u§uhsgi^�|q©Fcen�ªycirwx�mJnUjlcenFf�^�rwjjq|qmJcer·¸mJcero\gef\rx�Z\[�|q^u¥Ff\^g®h�]#¦�jqZ\m t ^'Á}mJgef\]#^�r2½Anpcir�¶µoWmsf\|2f\n\^'o\|q¦�x�cerqcemJn t mJn\n\¦�^s±*�SmJf\r2x�hsgix�f\gemJn\r.^�nprqf\cºjl^gi^�jl^�]#o\r"�{ > o=mJf\|umJ�pjq^�n\ce|.f\n\^#^�|q|q^�f\|u^�n n\mJ|w]�^ � � N � � B t ^�g ´ mJ| t |q^ t ^ � 9 " �� � ¶oWmJfp|�gi^�r t ^�fdzL]#¦�jqZ\m t ^�r�¶=^+jSn\mJf\r)mJ�pjq^�n\msn\r)gi^�ry|w¦�rqfpgejlhkjlr)rqfpce¢khsnUjlr

]#¦�jlZpm t ^ Á}mJgifp]�^�r�ÂXcin\cer §uhsge^�|q©Fcen¡ªycirwx�mJnUjlcenFf^�|q|w^�f\|

@N ;+9 " �� � N 9 " ��jl^�]#o\r)�Jgims�Ahsg V¸r%W 9�� � �

����� ��� � � ���"d��E �� (�" �� � � x�cP¶XmJn¤|w^�]�hs|w¥Vfp^�¥Ff\^�o=mJf\|'ms�pjl^�n\ci|"f\n\^�^�|q|w^�f\| tµ´ hko\o\|qm�zdce]�h¯jlcemJn t ^�g ´ mJ| t |w^

t ^ 9 " �� ¶}cig�·?hsfdj4^�nF¢Vce|qmJn t ^�fdzG·¸mJcer4opgif\r t ^Ljl^�]#o\r�oWmsf\|�gih�]#¦+jlZ\m t ^¡§�hsge^�|w©Fcinª�cirwx�mJnUjqcinFf­oAhk|�|lhso\o=mJ|�jS£#gih�]#¦�jlZpm t ^uÁ}mJgef\]#^�rSÂOcen\cer�±

A�: B : B a=Ä=Ê?� Æ@?¸Ä = � � � = DX�XÊ?� � � � = �4� = � ??Ê&? �V� \��UÆ�� ¿Ä�*F = �»2n |q^+·?hscej"g ´ ^Èzpo=¦�|wci^�n\x�^ t f¤o\hs|lhs�s|lhso\Zp^ V¸_\± J ±i�$W.o=mJf\|ux�mJ]#oAhs|q^�|"ge^�r t ^�fdz�]�¦È¬

jlZ\m t ^�r t hsn\rXf\n�x�hsrOZ\¦�jq¦�|qms�J[�n\^k±J²*^�rO|q¦�rwf\gºj�hkjqr�rqmJnUjÌx�mJ]#oAhs|w¦�rÌ£�gih�rwmJgifdjlcemJn�^+zphsx+jl^x�mJ]#]#^ugi^u]#mJnUjl|w^�gih�½A�Jf\|w^�V �@X7WȱA²*^�r)rqmJgefpjqcimJnprSrwmJnUj�¥FfAhkgicºj�hkjqce¢s^�]#^�nUjyrqce]#cigihsce|q^�r�±

j�jlk�mon�prq@s

Page 33: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

�J� 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-3 -2 -1 0 1 2 3

EXACTEVOLUMES FINIS

GALERKIN DISCONTINU

���������@X � � ����#'��!��� '����^(*'�� "���1�2 �� �)���0"E'U� �d���+�2�' ��� ��� �����(� �'�� ���%" ���'�.���G�� ����%"

A�: B : K ` ?�� ��\ÉsÆ@??Ä = � � � = � Ä = � � DXÊ � = � ��� ;� = � ??�5Oµ� � � a��UÆ¿� ��� ??Ê&? �V�\ �UÆ�� ¯Ä�-F = � �

»2n |q^�o\|q^�n t ge^&x�hkr t ^ gih t cº¹¾|qhsx�jqcimJn tµ´ f\n\^¨mJn t ^ opg®hsnp^ ]#mJnpmdx�Z\|wmJ]�hkjlce¥Ff\^rqf\|#f\n t cerq¥Ff\^L|q^+¢7Y�jqf tµ´ f\n\^ x�mJf\x�Z\^ t ^ t ce¦�ge^�x+jl|qce¥Ff\^ V¸oAhs|qhs�J|lhko\Z\^�_\± J ± J W+¶X^�j�mJnx�hsgex�f\ge^#g®h�rwmJgifdjlcemJn¨nVfp]�¦�|qce¥Ff\^�h�¢J^�x#gi^�r t ^�fdz¨]#¦+jlZ\m t ^�r tµ´ hso\op|qm�zdci]�hkjqcimJn x�cºjl¦�^�ro\|q¦�x�¦ t ^�]#]#^�nUj�±y²*^�rLrqmJgefpjlcemJn\r rwmJnUj�|w^�o\|w¦�rw^�nUjl¦�^�r­oAhk|Lge^�r�½A�sf\|q^�r V ���)W+¶!^�j V����)WmJ�pjl^�nFf\^�r�|q^�rwoW^�x�jqce¢s^�]#^�nUj¨oAhs| ge^�rL]#¦�jlZpm t ^�r&§uhsge^�|q©Fcen ªycirwx�mJnUjlcenFf ^�jLÁ}mJgef\]#^�rÂOcinpcir�±

���j ��

Page 34: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �p�

������� ��� � #%�0��� ( ����%#1�r�&,�'������ ��� ��# � �! �� ������ ���� �������������� �!��"$#% ���&����'�� Valeur03 From -1.001 To .890 In 50 steps.

� ��������� � #%�0��� ( ����%#&��&,�'�� ��� ��� ��# � �� �� ������ ������* ��+'����%" � ������"��

j�jlk�mon�prq@s

Page 35: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

� J 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

��� � � � �7�0/��&% !�� � %������&���»2n�rq^'op|qmJo=mJrq^ t ^�x�hsgex�fpgi^�|�ge^"�\cegihsn tµ´ ¦�n\^�|q�Jce^'o=mJf\|)ge^�r t ^�fdz�]#¦�jqZ\m t ^�r tµ´ hkod¬

o\|qm�zdci]�hkjqcimsn¤nFf\]#¦�|wci¥Ff\^ ��§uhsge^�|q©Fcen6ª�cerqx�mJnUjlcenFf6^�j�Á}mJgef\]#^�r"ÂOcinpcir"hso\o\gece¥Vfp¦�^�r'hsfrwvVrwjq[�]#^ t ^��¡h¿zd°H^�geg?±O{�mJf\|urqce]#o\gicº½A^�|"ge^�r�x�hsgex�fpgir�¶�msn jq|lhscºjl^�ge^#x�hsr�]#mJn\m t ci]#^�nd¬rqcemJn\n\^�g*m10�ge^urwvVrwjq[�]#^'rw^u|lhs]#[�np^"hkfdz ¦�¥FfAh¯jlcemJn\rSrqf\cº¢khsnUjl^�r �

��������

��&'�� � �

9/���� �(" "����

� � �9-��&)���" "

V�� g W

A�: K :&; �d??Ê � = � � � = � �*? � DÌÄ=� �Ê � �¤�UÆ@\ Ä � � b�Ä=ÊP��� �V�dce? = ??�²*^urqx�Zp¦�]�h�nFf\]#¦�|wci¥Ff\^ tµ´ mJ| t |w^uf\n�^�rwj t mJnpn\¦uoAhs|

$ ��" W' "��� $ �' "��� � 6 # %(' � �' " W � � �' .� ��" W' "��� � �' " �� � 6 # % ' & �' " W � & �' . V��$X7W

��¢s^�x� � �' " W ���3��

� " ���3� ��B � P ��3���� ��3 ��B& �' " W � �3��

� " � �3� ��B � P � �3��� � �3 ��B» 0 x W� + �� - ±».n o=mJrq^�� 6 # ±² ^��pcigihsn tµ´ ¦�n\^�|q�Jce^ t hsn\ruge^a¢dc t ^#o=mJf\|.f\n\^#mJn t ^�o\gihsn\^#^�n hs�\rw^�n\x�^ t ^�x�ZAhs|q�s^�^+jt ^ux�mJf\|qhsnUjS^�rwj t msn\n\¦�^uoAhk|

������

���� ��� � 9� / � B � 9� - � B � #"

».n�x�hsgex�f\ge^�g®h2¢khs|wc®hkjqcimsn t ^�g ´ ¦�n\^�|w�Jci^�� �&t ^gih2rqmsgifpjqcimsn�nFf\]#¦�|qce¥Vfp^y^�nFjq|q^�g ´ cen\r�j�hsnUj4 � � ^�j � 4 � 9 � � � ±k».n"x�mJnprqc t [�|w^!cex�c t ^�rXx�mJn t cejqcimJnpr�hsfdz�gece]�cºjl^�r t ^}j vVoW^H]�¦+j�hsgegeci¥Ff\^V 4 � � &" W+±

� � ' S ) W�' S � 9� /+' � � ��" W' " �� � B � � � �' "��� � B .�� ' S ) W�' S � 9� - ' � � ��" W' " �� � B � � � �' "��� � B .

���j ��

Page 36: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �J�

».n mJ�djlce^�nUj � � % ' S ) W' S � � �B � � � P � 9 � � $ �' "��� � $ �' �� � B � �B � � � P � 9 � � � �' "��� � � �' �� � B

{XmJf\|�� P 9s¶ � � " ±���cen\rwc�g ´ ¦�n\^�|q�Jce^ t ^�gih�rqmsgifpjqcimsn­hso\op|qmVx�Z\¦�^ t ¦�x�|qm��ij2h�¢s^�x'ge^jl^�]#o\r�±

A�: K : B �d??Ê � = � � � = � �*? � DÌÄ=� �Ê � �¤�UÆ@\ Ä � � ]��AÊ � @_S? = ` ?P��ÉJÄ = Æ@? = �»2n t mJn\np^�cex�c*ge^urqx�Z\¦�]�h tµ´ mJ| t |q^ t ^�fVzLoWmJfp|�gi^urwvVr�jl[�]#^ t ^"�¡h¯zV°!^�gig ]#mJn\m t c³¬

]�^�n\rqcemJn\np^�g rqmJce^�nUj8VPª � ¶¿ª W W+¶�^�j V&i � ¶$i W Wµge^�r x�ms]�o=mJrqhsnUjl^�r t f�x�ZAhs]#o'¦�gi^�x�jq|qmJ]�hs�Jnp¦�jlce¥Ff\^ VPª'¶ ieWt hsn\ryg®h4�\hsrq^"gimVx�hsge^� �� � 9s¶=^+j�� W � + # # 3 - # rwf\|�f\n¡rq^��s]�^�nUj32 ' ' " ' �� * " ' " �� . ¶hsgims|qr�mJnLmJ�pjqci^�nFj

$ � � �#" W'

�������$ � � �' � � '

� �� � � �3�� �B � �B � $ �' " W � � $ �' � $ �' W .� � � �� ' $ �' " B � � $ �' " W �&� $ �' � � $ �' W � $ �' �B .� � � �� ' & �' " B � � & �' " W �&� & �' W � & �' �B .

� � � �#" W'

�������� � � �' � � '

���� � ���3�� �B � �B � � �' " W � � � �' � � �' W .� � � �� ' � �' " B � � � �' " W �&� � �' � � � �' W � � �' �B .� � � �� ' � �' " B � � � �' " W �&� � �' W � � �' �B .

$ W � �#" W'

�����������

$ W � �' � ��� ' & � � �' � U�B '5� & �' � & �' W � P � $ �' " W � $ �' W � .

�@� B ' � P B $ � � �' �

U B � & � � �' " W � & � � �' W � � U B P B � � $ � � �' � $ � � �' W � $ � � �' " W � .� U� � B P B ' 9 � $ � � �' � � $ � � �' W � � $ � � �' " W � � $ �' � � $ �' W � @$ �' �B � � $ �' " W � @

$ �' " B .� U� P � B ' � � & � � �' " W � � & � � �' W � � & �' W � @& �' �B � @

& �' " B � � & �' " W .� W � �#" W'

�����������

� W � �' � ��� ' � � � �' � U�B '5� � �' � � �' W � P � � �' " W � � �' W �5.

�@� B ' � P B � � � �' �

U B � � � � �' " W � � � � �' W � � U B P B � � � � � �' � � � � �' W � � � � �' " W � .� U� � B P B ' 9 � � � � �' � � � � � �' W � � � � � �' " W � � � �' � � � �' W � @� �' �B � � � �' " W � @

� �' " B .� U� P � B ' � � � � � �' " W � � � � � �' W � � � �' W � @� �' �B � @

� �' " B � � � �' " W .j�jlk�mon�prq@s

Page 37: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

�s_ 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

�ymJf\r)x�hsgix�f\gemJn\rSg®ha¢khs|qcihkjqcimJn t ^ug ´ ¦�n\^�|w�Jce^ t cerqx�|q[+jl^

� �

�������� % ' S )' SOW WB /+' � � � � �#" W' � B � � � � � �' � B . � WB � ' � � � � �#" W � B � � � � � �' � B .� � U % ' S )' SOW WB /+' � � W � ��" W' � B � � � W � �' � B . � WB � ' � � W � ��" W � B � � � W � �' � B .

^�jSmJn mJ�pjqci^�nFj � � � % ' S )' SOW �

� � �� � �

@� P � 9 � � $ � � �' � $ � � �' W � B � �

� � �� � �

@� P � 9 � � $ � � �' � $ � � �' �B � B

� � � � �� � � P � 9 � � $ � � �' � $ � � �' W � B � � � � �� � � P � 9 � � $ � � �' � $ � � �' �B � B � � �B � � � P � 9 � � $ � � �' � $ � � �' W � B�� � �

� � �@� P � 9 � � � � � �' � � � � �' W � B � �

� � �� � �

@� P � 9 � � � � � �' � � � � �' �B � B � � � � �� � � P � 9 � � � � � �' � � � � �' W � B

� � � � �� � � P � 9 � � � � � �' � � � � �' �B � B � � �B � � � P � 9 � � � � � �' � � � � �' W � B� �B � �

@� P � 9 �D' � $ W � �' � � � � �' W � B � � $ W � �' � � � � �' " W � B � � $ W � �' � � � � �' �B � B � � $ W � �' � � � � �' " B � B .

� �B � �@� P � 9 �D' � $ W � �' � $ � � �' W � B � � $ W � �' � $ � � �' " W � B � � $ W � �' � $ � � �' �B � B � � $ W � �' � $ � � �' " B � B .

� �B � �@� P � 9 �D' � � W � �' � $ � � �' W � B � � � W � �' � $ � � �' " W � B � � � W � �' � $ � � �' �B � B � � � W � �' � $ � � �' " B � B .

� �B � �@� P � 9 �D' � � W � �' � � � � �' W � B � � � W � �' � � � � �' " W � B � � � W � �' � � � � �' �B � B � � � W � �' � $ � � �' " B � B .

{XmJf\| � P WU ¶ � � " ¶�hscen\rwc*g ´ ¦�n\^�|q�Jce^ t ¦�x�|qm��ijyh�¢s^�x�gi^.jq^�]#o\r�±A�: K : K Z Ä=�[D � ��??��Ä = � �d�#� = � �*? �V�

»2n |q^+¢Vci^�nFj�hsf x�hkrS�pc t ce]#^�n\rwcimsn\n\^�g?¶=^�jSmJn x�mJ]#oAhk|q^unFf\]#¦�|qce¥Ff\^�]#^�nFj�gi^�ry¦�n\^�| ¬�Jci^�r t msn\n\¦�^�raoAhs|�ge^�r t ^�fdz¤]#¦�jlZpm t ^�r�±O»2n6|q^�o\|q^�n t g ´ ^Èzpo=¦�|wci^�n\x�^ t f6x�hsgex�fpg tµ´ f\n]�m t ^ t ^S|q¦�rqmJnAhkn\x�^ t hsn\r¼f\n\^Sx�h�¢Vcºjl¦S]�¦+j�hsgegeci¥Ff\^yx�hs|w|q¦�^ V?o\hs|lhs�s|lhso\Zp^��V± J ±e�@WȶJ^�jHmJnx�mJ]#oAhs|w^.g ´ ¦�np^�|q�sci^2jqmsj�hsge^s±p² h'½A�Jf\|w^ V J �7WH|q^�o\|q¦�rq^�nUjq^�g ´ ¦�n\^�|q�Jce^u¦�ge^�x�jq|qmJ]�hs�sn\¦�jqci¥Ff\^^�n#·¸mJn\x�jqcimsn t f�jq^�]#o\r V?^�n�jq^�|q]#^ t ^�n\mJ]"�\|q^ t ^)gemJn\�Jf\^�f\|qr tµ´ mJn t ^$W+±V»2n�|q^�]�hk|q¥Ff\^¥Vfp^�g ´ ¦�n\^�|w�Jce^ t ¦�x�|wm��®j'h�¢J^�x�ge^�jq^�]#o\r t hsn\r�ge^�r t ^�fdz x�hsr�¶ n\¦�hsn\]#mJcen\r�^�gegi^ t ¦�x�|qm��ij]�mscin\r�¢Vcºjl^ t hsn\rSge^.x�hsr t ^ug®h�]#¦�jqZ\m t ^"§�hsge^�|w©Fcin�ª�cerqx�msnFjqcinFfµ±

���j ��

Page 38: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �U�

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 20 40 60 80 100 120

EN

ER

GIE

nombre de longueur d‘onde

ENERGIE EXACTEENERGIE"GALERKIN DISCONTINU"

ENERGIE"VOLUMES FINIS"

������� J � ������� ���4��� ������7�2� (� �'��!���%"����'�.^������ ����%"

A�: K : Q Z Ä=�[D � ��?P��Ä = ��� �� �V��Æ �V�[DO�#Ê¸Ä = �=�»2narw^!o\|wmJo=mJrq^Hcix�c t ^¼·?hsce|q^¼f\n\^!x�mJ]#oAhs|qhscirwmJn t ^�r t ^�fdz"]�¦+jlZ\m t ^�r�rqf\|Xf\n'jq^�]#o\r

gimJnp�'¥Ff\c=x�mJ|w|q^�rwoWmsn t £ J �s��o=¦�|wcim t ^�r!o=mJf\|¼g®h�]�Y�]#^2^+zdo=¦�|qce^�npx�^2¥Ff\^ t hsn\rHgi^yoAhs|lh¿¬�J|lhsopZ\^!V �V± �p± �)WȱJ² ´ ¦�n\^�|w�Jce^ t ¦�x�|qm��ijµ~�f\rq¥Ff ´ £uhkjqjq^�cen t |w^ ��¦�|wm.oWmsf\|�ge^�r t ^�fdz#]#¦�jqZ\m t ^�rV¸½A�Jfp|q^ J �@Wȶµrq^�f\ge^�]#^�nUj�¶�^�gege^ t ¦�x�|wm��ij"]#mJcen\r.¢Vcejq^ t hsn\ruge^�x�hsr t ^#gih ]#¦+jlZ\m t ^�§�h¿¬gi^�|q©Fcin�ª�cerqx�mJnUjlcenVf¾±

j�jlk�mon�prq@s

Page 39: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

� g 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 50 100 150 200 250 300

ENERGIE EXACTEENERGIE"GALERKIN DISCONTINU"

ENERGIE"VOLUMES FINIS"

������� J � � ����� ���4��� �����7�2�

� � �'� ���$ ���+�'�

ª�hsn\r!x�^�|qhso\o=mJ|wj�¶Un\mJf\r!h�¢smJn\rop|q¦�rw^�nUjl¦�f\n\^�]#¦+jlZ\m t ^ t ^.§uhsge^�|q©Fcen�ª�cerqx�mJnUjlcenVfhso\o\geci¥Ff\¦�^�hsfdz ¦�¥Vf\hkjlcemJn\r t ^"�¡h¯zV°H^�gegP±=²*^�r�rwmJgefpjlcemJn\r)mJ�pjq^�nFf\^�ryrwmJnUj�{ W oAhs|�]#mJ| ¬x�^�hkfdzW¶Ì^�j�hso\op|qmVx�Z\^�nUj�g®h&rwmJgifdjlcemJnC^+zphsx�jq^L£¨g ´ mJ| t |w^ t ^�fVz¾±}�SmJf\r#o=mJfp¢Jmsn\r#n\msjl^�|£�jl|qh�¢s^�|wr�gi^�r t ce¹W¦�|w^�nUjlr�x�hsr'jq^�rwjqr�¶�gih¡�=mJn\n\^4¥Vf\hsgicºjl¦ t ^�gih t cirwx�|w¦�jlcerlh¯jlcemJnµ±Ì² ´ fpjlc³¬gicerlhkjqcimsn tµ´ f\n6rwmJge¢s^�f\| t ^��)ce^�]�hsn\n�^+zphsx�j'oWmsf\|"ge^�x�hsgex�f\g t ^�r À fdz nFf\]#¦�|qce¥Vfp^�r#hoW^�|q]#cirOf\n\^�=mJn\n\^!o\|qcerq^^�n�x�mJ]#opjq^ t ^�r t cerqx�msnFjqcinFf\cºjl¦�r¼£yjl|qh�¢s^�|wrÌgi^�r�cinUjq^�|w·?hkx�^�r t ^�r]�cegeci^�fdz tµ´ cen t cex�^�r t cº¹¾¦�|q^�nFjqr�±¾�ymJf\ry|q^�]�hk|q¥Ff\mJn\r�hsf\rwrqc�¥Vfp^'ge^�r�x�mJf\|qhsnUjlr�gecen\¦�ce¥Ff\^�rrqmJnUj)�\ce^�n�jl|qhscºjl¦�r�¶\^�j)ge^�r�rwmJgefpjlcemJn\r)n\^.o\|w¦�rw^�nUjl^�nFj�hsf\x�f\n\^.mJrwx�cegigihkjqcimJn¾±��ymJf\r)h�¢smJn\rjl|lhkcejq¦ t ^�rao\|wmJ�\ge[�]#^�r t ^4|q¦�rqmJn\hsn\x�^k¶Om10¤gi^�r'x�msn t cºjlcemJn\r�hsfVz¤�=mJ| t r'rwmJnUj t ^�j vdo=^]�¦+j�hsgegeci¥Ff\^k¶A^�j t ^�r�o\|qmJ�pgi[�]�^�r t ^ t cº¹¾|qhsx�jqcimJn ^�nL]#cegice^�fLZ\mJ]#mJ�s[�n\^.^+j)Z\¦�jq¦�|qms�J[�n\^k¶m10 gi^�r#x�mJn t cejqcimJnpr�hkfdz �=mJ| t r�rqmJnUj#]#cºzVjq^�r�¶}n\msf\r#h�¢JmJn\r t ^�r#x�mJn t cejqcimJnpr t ^�j vdo=^]�¦+j�hsgegeci¥Ff\^�rqf\|"g ´ mJ�d~�^+j t cº¹W|lhsx+j�hsnUj�¶ ^+j t ^�r'x�mJn t cºjlcemJn\r t ^�j vVo=^4hs�prqmJ|w�AhsnUjarwf\|"gih·¸|qmJnUjlce[�|w^)hs|wjqce½\x�ce^�gegi^ t f t mJ]�hscen\^�nFf\]#¦�|wci¥Ff\^k±p²*^�rÌ|w¦�rwf\gejlhkjlr}rwmJnUj¼jq|q[�rÌrlhkjqcir�·?hscirqhsnUjlr

���j ��

Page 40: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �)X

t f�o=mJcenUj t ^�¢dfp^�o\|w¦�x�cirwcimJn t ^#g®h�]#¦�jqZ\m t ^s± �Shso\o=^�gemJn\ru¥Ff\^�gi^#�\fpj t ^#x�^#jq|lh�¢khsceg¦�j�hkcej t ^Sx�mJn\r�jl|wf\ci|w^2f\n�rqx�Z\¦�]�hanFf\]#¦�|qce¥Vfp^2oWmsf\|H|w¦�rwmJf t |w^�ge^yr�vdr�jl[�]�^ t ^.�¡h¿zd°H^�gegt hsn\r t ^�r"]#cigeci^�fdz�Z\¦�jq¦�|wmJ�J[�np^�r�¶X^�j"n\mJf\r�o=mJfp¢Jmsn\r'|w^�]�hs|q¥Ff\^�|'¥Ff\^�gi^�r t cº¹¾¦�|q^�nFjq^�r^+zdoW¦�|qce^�n\x�^�r�nVfp]�¦�|qce¥Ff\^�r�mJnUj#¦�jl¦ |w¦�hsgecirw¦�^�r4h�¢J^�x�rwf\x�x�[�r�¶Hhkcin\rwc�n\mJf\r#o=mJfp¢smJn\r#^�nx�mJn\x�gifp|q^.¥Ff\^2giha]#¦�jlZpm t ^�^�rwj�\ci^�nLh t hsopjq¦�^.£"g®ha|w¦�rqmsgifpjqcimsn t ^�r�r�vdr�jl[�]�^�r)]�m t ¦�gic³¬rlhsnUjlrygi^�ryopZ\¦�n\ms]�[�n\^�r�¦�ge^�x�jq|qmJ]�hs�sn\¦�jqci¥Ff\^�r�¶ t hkn\ryge^�x�hsrym10�ge^']#cegice^�f¡^�rwjygecin\¦�hsce|q^^�j cerqmsjq|qmJo=^s¶]�hscer�oAhsr�np¦�x�¦�rqrqhsci|w^�]#^�nUj¡Z\mJ]#mJ�J[�n\^s±�²*^&x�hs|lhsx+jl[�|q^ t cerqx�msnFjqcinFf t ^g®h ]#¦�jlZpm t ^�^�j"g ´ fpjqcigecerlhkjqcimJn t ^�r�jl|wc®hsnp�Jgi^�r"x�mJ]#]#^�¢smJgifp]�^ tµ´ cinUjl¦��J|lh¯jlcemJnµ¶ n\mJf\r"hoW^�|q]#cir t ^�jq|lhscºjl^�| t ^�r'op|qmJ�\ge[�]#^�r�h�¢J^�x t ^�r"�J¦�mJ]#¦+jl|qce^�r'¥Vfp^�gex�mJn\¥Ff\^�r�±�� g}·?hsfpj"x�^ȬoW^�n t hsnUj2|w^�]�hs|w¥Vfp^�|�¥Ff\^"x�^+jqjl^"]#¦�jlZpm t ^"^�r�j2|q^�g®h¯jlcº¢J^�]#^�nFj2x�Z\[�|w^a^�n�x�mJ]#oAhs|qhscerqmJnh�¢s^�xSf\n\^S]#¦�jlZpm t ^)Á}mJgef\]#^�rHÂOcen\cir V?x�Z\hso\cºjl|q^��7WOm10�n\mJfpr!h�¢Jmsn\rHx�mJn\r�j�hkjq¦y¥Ff\^SoWmsf\|f\n\^.¥FfAhsgecejq¦ t ^.|q¦�rqf\gºj�hkj)¦��Uhsge^s¶\gih�]#¦�jlZpm t ^�§uhsge^�|w©VcenLª�cerqx�msnFjqcinFf�^�rwj t ^�fdzL£ajq|qmJcer·¸mJcir�opgif\rSx�Z\[�|q^�¥Vfp^�gih#]�¦+jlZ\m t ^.Á}mJgef\]#^�ryÂOcen\cir�±�ymsjqmJn\rhkf\rqrwcP¶d¥Vfp^�gih']#cirw^2^�n�mV^�fd¢d|w^2cenp·¸mJ|q]�hkjqci¥Ff\^ t ^�gih']#¦�jqZ\m t ^.§uhsgi^�|q©Fcen�ª�cer�¬x�mJnUjlcenFf¤|w^�¥Ff\ce^�|wj t ^�rujq^�x�Z\npci¥Ff\^�ra�W^�hsf\x�mJf\o o\gifpr"¦�g®hs�=mJ|w¦�^�ru¥Ff\^�g®h�]#¦�jqZ\m t ^�Á}m¯¬gif\]#^�r)ÂOcinpcir�¶px�^�¥Vfpcµ|q^�n t |lhkcej�rwmJn�^+zVjq^�n\rwcimJnLhsf�x�hsr!jq|qc t ci]#^�n\rqcemJn\n\^�g*|q^�g®hkjqce¢s^�]#^�nUjx�mJ]#o\geci¥Ff\¦�^s¶�n\msjlhs]#]#^�nUj�o=mJf\|�ge^ux�hsgex�fpg t ^�rSoWmscinUjlr t ^"§uhsf\rwr�±

j�jlk�mon�prq@s

Page 41: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

�J� 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

�/� �k�����)� �!�)�

�e� ���SmJ�s^�|)Â!± 8yhs|q|wcin\�kjlmJnµ¶��M���������!���r�� ����2# ����%#&�� ���� 7���1�2#�� � ��"+¶MV���� g �@Wȱ� J ��Â!± i!hsrqrwcP¶\bW±\�)^��Ah�vs¶ ��� 7��/ ��/���� ��#%#'U� �� �!����"$#% ���&����'� �' "�� ���� ����������� �����G�� �� �5 ��8���� ��'U����r�2#/���7"$ ��+'U&�2 ��h � ���� #% �� (*�%�%"%"�������� � �

� � ��� � P�� � K��/,�'o���1�2 ��0" ¶ Ap± �!mJ]#o\fpj�± {ÌZUvVr�±e¶�9@9J¶ � ��<V¶MV 9�;;�<7W+±

� ������± i!cerw°!hsr�¶ �#± ª'± ª�^�¢Vcen\^s¶VAp± ÂOgihsZ\^�|wj vs¶ ��� ���������� �)�)�(* ��&� ����� ���� �!��������� �����G�� �� �5 �� #% ��0"$�� ����1�2 �� � ��6 " ¶���o\o\gece^ t �yfp]�^�|qcex�hsg'�¡hkjqZ\^�]�hkjqcix�r�¶�9��\¶ � ���V¶V 9�;1; � W

� _=�"bW± �!Z\hs]#o\ci^�|�¶ � �� ����U���#%� ����"$#%�������" ��'������&,�'��%" �%(�� �� ��+'U���%"�� ����" (� �'U�� � ���%"$ ��+'U&�2 �� ��� �/,�'0��&�2 ��0" � �%(����� ��+�&,�'��%"+¶!Y�Zp[�rq^ t ^¨g ´ >Sn\ce¢s^�|wrqcºjl¦ t ^�bphscenFj�¬ÍÌjqci^�n\n\^k¶ V ���J� J W+±

� ���"§#± �!ZAh�¢J^�nFj�¶li�± �!mdx�©F�\fp|qnµ¶ � ��� �� $#/��� (*�% ��$�%#&�2 �� � � � W � ����"$#% ���&����'- �')"����������%������� ���� � ��������� ���G�� �� �5 �� "$#/��� ���e#% ��0"$�� ����1�2 �� � ��6 "+¶¿����� {Ì|w^�o\|wcinUjbd^�|wci^�r

@�+9J¶V>ynpce¢s^�|qrwcej vLms·X]#cinpn\^�rwmsj�hp¶Wbd^�opjl^�]'�=^�|�9�;���<V±

� g ��Ap± {�± �!cemJn\c?¶}²Ì± ÂO¦ ��mJfpcP¶Ìª"± � rwrlhsfpjqci^�|�¶�� � T���/ �� �����'$(*6 ���*�4"$#%������%" �5 �� "$ �� �$��� 1������� �� �������� 3E�5.768���� �/,�'o��&�2 ��0"+¶¼² h6�S^�x�Z\^�|wx�Z\^&��¦�|wmJrqo\hkjlcihsge^s¶}Á}mJg2�V¶¼opoµ±�p���¯¬ � J �p¶ V����J�k_ W+±

� X���Ap± {�± �!cemJn\c?¶A��± �)^�]�hs©FcP¶ � �� (0��� ����"$ �� ��� ���'T.������� ����%" ��� �� ��+'����%"�� ����"!������%#1�� ���� 7���&��"���+¶p|lhko\oWms|wj t ^u|q^�x�Z\^�|wx�Z\^'� �y�S� �Ån\m��p� g7g ¶\]�hscÌ���s�)Xd±

� ����i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶)��± �ű bdZFfµ¶�� ��� ��'U� U������'�& � �� $#/��� (*�� ��$�%#1�2 �� ����"$#% ���&����'- �')"� W � ����"$#% ���&����'� �' " ��������������N������ �� �5 ���"$#/��� ���h#% ��0"$�� ����1�2 �� � ��6 "+¶ � B �2��¶� �d¶ @ @ <d¶MV 9 ;1;+9@Wȱ� ����i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶X��± �ű bdZFfµ¶�� � � ��'�� U������'�12� �� $#/���*(*�� ��$�%#&�2 �� ����"$#% ���&����'- �')"��������%������� ���� �[�����d�� ������ �� �5 �� "$#/��� ��� #% ��0"$�� ����&�2 �� � ��6 " �!� � � ����� ����r�/�����68 ����¯¶���hkjlZµ± �!mJ]#oµ¶ � � ¶ �M919J¶SV 9�;��;)W+±

�e������i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶HbW±)�a± ²*cenµ¶}��± �ű bVZVf¾¶"� � � ��'�� U������'U& � �� $#/���M(*�� ��$�%#&�2 �� ����"��#% ���1����'� �' " ��������������#� ���� � ��������� ���G�� ����5 ���#% ��0"$�� ����&�2 �� � ��6 "$�!�%� �'& �����������0"�2 ��*���*"��$" �� " ¶ Ap± �!mJ]#oµ± {ÌZFvVr�¶ � �\¶M; " ¶MV 9�;��1;)Wȱ

���j ��

Page 42: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

������������ ����������������������� �!��"$#% ���&����' �()(*�+�&,�'-�%����'�. �/,�'0��1�2 ��0"����!34�5.768���� �J�

�e�J� ��i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶�bW± 8ymJf¾¶\��± �ű bVZVf¾¶�� � � ��'�� U������'�12���� $#/���7(*�� ��$�%#1�2 �� ����"$#% ���1����'� �' "!��������%�����$� ���� � ���������S���G�� ����5 �� #% ��0"$�� ����1�2 ���� ��6 "�� ���%� ��� �d'U� �1�&��������0"�2 ��*���M#/��"$�+¶��¡hkjqZµ± �!ms]�o¾¶ � �\¶ � � �V¶MV 9�;; " W+±

�e� J ��i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶W��± �ű bdZFfµ¶ � ��� � W � ��� ��� 3 �G�� �� �5 �� �M68 � ��������0"�2 ��*����� ' ������� ,�'0��1�2 ��0" ������" � �T�*���d�2#%"+¶d���!�.bpÍ«�)^�o=mJ|�j[;+9�¬@ � ¶SV 9�;1;+9 � ±

�e������i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶µ��± �ű bdZFfµ¶ � ������ $#/���M����"$#% ���1���� �')"���������������4������ �� �5 ��!1���������� (���*����� #% �� ���%#&�2 �� ��� ��')"�2 �� "��$" �� "+¶Vbd� �2��± Ap± �Sf\]#^�|�± ��n\hsgP±�V¸jqmahsopoW^�hs|%Wȱ

�e��_=��i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶X��± �ű bdZFfµ¶ � ��� ��'�� U������'�12� �!��"$#% ���&���� �' "^��������������[3 �G�� ���5 �� � ��0"$�� ����&�2 �� � ��6 " �*¶O��f\gºjlc t ci]#^�n\rqcemJnAhsgHrwvVrwjq^�]#r�±Ap± �!mJ]#oµ± {ÌZUvdr�¶ 9��M9s¶9�;1; � � � �p¶MV 9�;;��)W+±

�e�¿����i�± �!mVx�©F�\f\|wnµ¶ ��± �ű bdZFfµ¶ � ��� ��'�� U������'U&2� �� $#/��� (*�� ��$�%#1�2 �� � W �����"$#% ���1����'� �' "��r�������������� � ���� � ��������� ������ �� �5 �� "$#/��� ��� #% ��0"$�������&�2 ��� ��6 "+¶\����� {Ì|q^�op|qcenFj2bd^�|qce^�r

@���p¶V>Sn\cº¢J^�|wrqcºj vLms·Ì�Lcin\np^�rqmkj�hp¶ 9�;�� �p±

�e� g ��ª'± �.|��Jn\^�|�¶)��± �Sms©FvFjlhp¶)��± � ci^�|qrw^s¶ � �5.�����*���� � �%(��E����% ����� �5 �� '@( �6 ���*� � ���� � �� ��+'�����"$#%������%"����� �2�u¶O�¡hkjlZp^�]�hkjlcerqx�Zp^ ·?hk©Vfpgej Bkj�±�>yn\cº¢J^�|qrqcºj vÂ�|w^�ce�\f\|w�\¶�V����s� g W+±

�e�@X��"��± AsmJZpn\rqmJn¾¶ Ap± {}cºjl©�Bs|qhsnUj�p¶ �[���*��� �@"��" ��G���d����"$#% ��� ���'- �')"���������%����� �����G�� �� �5 ���� "$#/��� ��� � �%(����� ��+�2# �/,�'o��&�2 ��A¶��¡h¯jlZµ± �!mJ]#oµ¶ � �p¶ 9s¶�V 9�;�� �)W+±

�e������{X± ² ^�bphscenUj�¶�{X± �'± �yh�¢Vcihs|wj�¶�& � �#� ���� �^�������������G�� �� �5 �� "$ �� �$��� G���d���' �1�� �� 1� ���0" (� ��r �/,�'0��1�2 �� � 3E��G�������&�2#/��� ��" (��%#G"d � � ���� ����������� ���^(0���r1�&������ � ����&�&��� �/,�'0��1�2 ��0"+¶SV ��± t ^ iHmdmJ|�¶AÍ t ± W+¶A��x�h t ^�]#cex'{Ì|q^�rqr�¶ �;p¶MV 9 ;�< �\±

�e�����uY.± {�^�jl^�|qrwmJnµ¶� �� � � �� G��� #% �� �����U���#%� � ����N����"$#% ���&����'- �')" �����������������G�� �� �5 ��h�E"$#/��� ����� �%(����� ��+�2# �/,�'0��1�2 ��A¶�bd� �.� Ap¶O�yf\]#^�|�± �ynAhsg?¶ � �p¶ 9 @ @ ¶V 9�;1; 9@W+±

� J ��� �ű 8�± �)^�^ t ¶Y.± ��± 8ycegig?¶ �0�r�&��� 7'U� ��� 3 �%"%�N3 �G�� ���" �5 �� ���� ���'�1�� �� �o� ���0"��(� ���� ,�'o��&�2 ��A¶F²*mJrH�ygi]#mJr�j�bVx�ce^�nUjlcº½Ax2² hs�=mJ|qhkjlmJ|�v#�)^�o=mJ|wj¼²*�S¬5>��¬ <

@� ��<;p¶V 9�;�<

@W+±

j�jlk�mon�prq@s

Page 43: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

_U� 34���+���������������� ���M �'U� ��� ���� �'��

� J � �"§#± ��± �)cix�Z\^�|�¶ �E %(*1������� �/ �� ���� ��r�� ��!�%"&������ � �5 �� ���� ����"$#% ���1����'� �' "��������� ������4���G�� ��s¶\�¡hkjlZ¾± �!mJ]#oµ¶ � " ¶ <��d¶MV 9�;����7W+±

� J7J �"��± �)^�]�hs©Fc?¶U²Ì± ÂX¦ ��msf\cP¶�� #%���������� � ���'U�� � (� �'U�8� �����%"$ ��+'U&�2 ��h���%" �/,�'0��1�2 ��0"��� 34�5.768��������0" ��&�2 ����*�������%" ��E�d���+�2�'^��� ��� ����+¶ � ; � � �!mJnp�J|q[�ry�yhkjlcemJnAhkgª ´ hknAhsgºvdrw^'�Sf\]#¦�|wci¥Ff\^k¶µ�!���yf\] ´ �)Xd±

� J ���"��± �)^�]�hs©Fc?¶�²Ì± ÂX¦ ��msf\cP¶HÂ!± {XmJfpoAhsf t ¶���� �� �' ���/��' "$#%������ ��� �%(�� �� ��+'����%"� ����" �()(*�+�&,�'-� ��'T. �/,�'o��&�2 ��0" ���!3E�5.768���� ��4�d���+�2�' ��� ��� ����+¶\|lhsopoWmJ|�j t ^|q^�x�Zp^�|qx�Zp^'� ���)� �Ån\m��J�U�d�J¶¿~whsnU¢Vci^�|"���s�J�p±

� J _=� � � ͼ�ybpÍ ��¶ � � T���� �� �����'$(*6 ���*� "$#%������%"d �� '��0"&�'�#&'U���/� 7�r�&��" �5 ���G���#% �� (*�%�%"%"������� �'����� �/,�'o��&�2 ��0"e��� 1�����/��� (���*����� U�% ����1�r�2�%" �����T�u¶k{ÌZAª jlZ\^Ȭrqcer�¶�f\n\cº¢J^�|qrqcºj v�ÂA|q^�ce�\f\|w�\¶e���J�s_\±

� J ��� �#± bW± �¼^�^k¶ � '�����r�2#/���0"$ ��+'U&�2 �� ��������&�&��� � �'U�*�)��� � �����+'-� (*�% ������ ���h��"$ �1�� %(*�2#���/���&�s¶�� ͼÍ}ͨYX|qhsn\r�± �ynFjq^�n\n\h.{}|wmJoAhs�Jhkj�¶�¢smJgP± �2{O¬ 9��\¶¯n\m\±¯�p¶¿o\oµ±

@" � ¬ @ " <d¶��¡h�vV 9�;�� �)W+±

� J�g � �µÍ iH���;�'¶ � ����#'U� ��� ��*���%"���� ��� ��# �$�%" (0�������%" �"2��#���%" �������1')"���� #% �'�#%���%"�d����#%�%" ��� ���� ��r�&��'T. � �"$ ����%�����"+¶!�Shso\o=mJ|�j t ^&|w^�x�Z\^�|qx�Z\^ � ���)� � 4�� �" ;+9J¶V����J�s�)W+±

���j ��

Page 44: Une méthode de Galerkin Discontinu pour la résolution des ......de Maxwell en milieu hétérogène. RR-3501, INRIA. 1998. inria-00073184 ISSN 0249-6399 apport de recherche THÈME

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis2004, route des Lucioles - B.P. 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - B.P. 101 - 54602 Villers lès Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot St Martin (France)

Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, B.P. 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399