Unas notas de electromecánica

Electromecanica

Prof. Dr. Francisco Javier Gil Chica

octube de 2012revisado octubre 2013

ii

Virtutem motoris oportet esse suo mobili proportionatam:

non enim quaecumque virtus movet quodcumque mobile.

Sancti Thomæ Aquinatis

Contra Gentiles, lib. 2, cap. 83 n. 33

Manifestum est autem quod omne quod movetur,

necesse est proportionatum esse motori,

et haec est perfectio mobilis inquantum est mobile,

dispositio qua disponitur ad hoc quod bene moveatur a suo motore.

Sancti Thomæ Aquinatis

Summa Theologiæ, I-IIae, q. 68 a. 1

Indice general

1. Repaso de Calculo 1

1.1. Integrales de camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Formas de la integral de camino . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Independencia del camino . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Integrales dobles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. El teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Calculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2. Campos vectoriales irrotacionales . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.4. Flujo y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.5. Campos solenoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.6. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.7. Identidades de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.8. El rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.9. Campos vectoriales irrotacionales . . . . . . . . . . . . 221.4.10. El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.6. Resumen conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Leyes basicas del electromagnetismo 29

2.1. Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Propiedades del campo electrico . . . . . . . . . . . . . 312.2.2. Regiones que contienen cargas . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3. El campo electrico en la materia . . . . . . . . . . . . . 332.2.4. Propiedad del vector P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

iv INDICE GENERAL

2.2.5. El vector D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.6. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.7. Energıa del campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.8. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2. Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.3. Propiedades de la induccion magnetica . . . . . . . . . 482.3.4. Fuerza y pares sobre conductores . . . . . . . . . . . . 502.3.5. Magnetismo en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.6. Circulacion del vector J . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.7. Vector H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.8. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.9. Campo en un medio magnetico homogeneo . . . . . . . 542.3.10. Induccion magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.11. Autoinduccion e induccion mutua . . . . . . . . . . . . 56


3. Sistemas electromecanicos 59

3.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2. Hacia una teorıa unificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3. Mecanica de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.1. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.2. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.3. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.4. Procedimiento y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.5. Sistemas con funcion potencial . . . . . . . . . . . . . . 693.3.6. Fuerzas disipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.4. Sistemas electromecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.1. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.2. Energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.3. Energıa potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.4.4. Fuerzas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.5. Seleccion de ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.6. Un sistema mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6. El teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.7. Funcion de una matriz y matriz exponencial . . . . . . . . . . 843.8. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

INDICE GENERAL v

3.9. Resumen conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4. La maquina simple 91

4.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2. La maquina simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3. Hacia el motor real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4. Energıa del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4.1. El motor de reluctancia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.2. Corrientes en estator y rotor . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5. Motores rotatorios sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.6. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.7. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.8. Resumen conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5. La maquina generalizada 111

5.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. La maquina rotatoria generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2.1. La matriz de inductancias . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3. Planteamiento y solucion numerica del problema . . . . . . . . 116

5.3.1. Metodo de Runge-Kutta de cuarto orden . . . . . . . . 1195.4. Transformacion de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.5. Resumen conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6. La maquina de corriente continua 125

6.1. La maquina de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.2.1. Configuracion independiente . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2.2. Configuracion en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2.3. Configuracion en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.3. Resumen conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7. La maquina de induccion 133

7.1. La maquina n-fasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2. La maquina trifasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.2.1. Transformacion de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2.2. Utilidad de la transformacion de Park . . . . . . . . . . 1397.2.3. Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.2.4. Casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

vi INDICE GENERAL


Capıtulo 1

Repaso de Calculo

1.1. Integrales de camino

1.1.1. Formas de la integral de camino

Una integral de camino en dos dimensiones tiene la forma:

∫

P (x, y)dx+Q(x, y)dy (1.1)

y en tres dimensiones:

∫

P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz (1.2)

Sin perdida de generalidad y para aligerar notacion, restringimos la dis-cusion al caso bidimensional. En (1), x e y no son independientes, sino queexiste una relacion funcional entre ellas de la forma y(x). Si la curva y(x)esta dada en forma parametrica mediante un par de relaciones

x = ϕ(t)

y = ψ(t) (1.3)

entonces la integral de camino se reduce a una integral ordinaria

∫

[P (ϕ(t), ψ(t))ϕ′(t) +Q(ϕ(t), ψ(t))ψ′(t)]dt (1.4)

Ejemplo: calcular

α =∫ (2,0)

(0,2)xydx (1.5)

1

2 1. Repaso de Calculo

a lo largo de la lınea que une el punto (2, 0) con el punto (0, 2). Solucion:la ecuacion de la recta es y = 2− x, de manera que

α =∫ x=0

x=2x(2− x)dx = −4

3(1.6)

En forma parametrica:

x = t

y = 2− t (1.7)

y

α =∫ t=2

t=0t(2− t)dt = −4

3(1.8)

Parece que no hay ventaja alguna en la representacion parametrica, perosi elegimos para integrar el arco de circunferencia en el primer cuadrante queune el punto (2, 0) con el punto (0, 2), entonces la representacion parametricase vuelve ventajosa, porque el arco viene dado por

x = 2 cos t

y = 2 sin t (1.9)

donde t varıa entre 0 y π/2 y

α =∫ t=π/2

t=02 cos t× 2 sin t× (−2) sin tdt = −8

3(1.10)

Observese, de entrada, que la integral de camino depende de la trayectoriaelegida. Otra forma para las integrales de camino es

α =∫ B

Ag(x, y)ds (1.11)

donde ds es un diferencial del camino que une A y B. Del teorema dePitagoras:

ds =√

(dx)2 + (dy)2 = dx√

1 + (y′)2 (1.12)

con lo cual

1.1. Integrales de camino 3

α =∫ B

Ag(x, y)

√

1 + (y′)2dx (1.13)

Si el camino se da en forma parametrizada:

x = ϕ(t)

y = ψ(t) (1.14)

entonces

dx = ϕ′dt

dy = ψ′dt

ds =√

(ϕ′)2 + (ψ′)2 dt (1.15)

con lo que

α =∫ B

Ag(ϕ(t), ψ(t))

√

(ϕ′)2 + (ψ′)2 dt (1.16)

1.1.2. Trabajo

El trabajo que una fuerza desarrolla al mover un punto a lo largo de unatrayectoria viene dado por una integral de camino:

T =∫ B

AF .dr (1.17)

donde F = Fx(x, y, z)i+Fy(x, y, z)j+Fz(x, y, z)k y dr = dxi+dyj+dzk.Ejemplo: calcular el trabajo de una fuerza aplicada a un punto que se mueveen el arco de circunferencia que une los puntos (0, 2) y (2, 0), cuya direccionapunta siempre a (2, 0) y cuyo modulo es proporcional a la distancia a (2, 0),con constante de proporcionalidad k. Solucion: la fuerza se expresa comoF = ku, donde u es el vector (2− x)i− yj. Entonces

T = k∫ (2,0)

(0,2)(2− x)dx− ydy (1.18)

Usando la forma parametrica para la trayectoria

x = 2 sin t

y = 2 cos t (1.19)


tenemos

T = 4k

[

∫ t=π/2

t=0(1− sin t) cos tdt+

∫ t=π/2

t=0cos t sin tdt

]

= 4k (1.20)

1.1.3. Independencia del camino

Es importante el caso en que la integral de camino tiene el mismo valorindependientemente de la trayectoria elegida. Es lo que ocurre en los llamados”campos conservativos”. La integral de camino depende entonces solo de lospuntos inicial y final de la trayectoria. ¿En que condiciones ocurre esto?Demostraremos que la condicion necesaria y suficiente 1 para que la integralde camino

α =∫ B

AP (x, y)dx+Q(x, y)dy (1.21)

dependa unicamente de A y B es que

∂P

∂y=∂Q

∂x(1.22)

Necesidad: Si existiese una z(x, y) tal que

dz =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy = P (x, y)dx+Q(x, y)dy (1.23)

es decir:

∂z

∂x= P (x, y)

∂z

∂y= Q(x, y) (1.24)

entonces

α =∫ B

AP (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫ B

Adz = zB − zA (1.25)

1Que sea X necesario para Y quiere decir que, si no se da X, no se da Y , lo que es

logicamente equivalente a decir que si se da Y se da X: ∼ X →∼ Y ⇒ Y → X. Se dice

que X es condicion suficiente de Y si basta que se de X para que se de Y : X → Y .

1.1. Integrales de camino 5

En resumen, si α es independiente del camino, significa que el integrandoes un dz, lo que implica (24), lo que implica (22), ya que

∂2z

∂x∂y=

∂2z

∂y∂x(1.26)

Suficiencia: Llamamos

f(x, y) =∫

P (x, y)dx (1.27)

ası que, manteniendo y fija:

∂f

∂x= P (x, y) (1.28)

de donde

∂2f

∂x∂y=∂P

∂y=∂Q

∂x(1.29)

de donde

0 =∂Q

∂x− ∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(

Q− ∂f

∂y

)

(1.30)

y de aquı

Q− ∂f

∂y= φ(y) (1.31)

Llamamos ahora

z(x, y) = f(x, y) +∫

φ(y)dy (1.32)

y de (31) y (32):

∂z

∂y=∂f

∂y+ φ(y) = Q(x, y) (1.33)

y tambien, de (28)

∂z

∂x=∂f

∂x= P (x, y) (1.34)

es decir, que

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy = dz (1.35)

y por tanto α es independiente del camino elegido.


1.2. Integrales dobles

Para introducir el concepto de integral doble, consideremos el problemade calcular el volumen de un prisma recto cuya base es una curva cerrada Cen el plano xy. Las generatrices del prisma son paralelas al eje z. Para cadapunto (x, y) del interior de C, la altura del prisma es z(x, y). El volumen delprisma es entonces la suma de los volumenes de los prismas rectos de basecuadrangular, de lados dx y dy y alturas z(x, y), es decir:

V =∫

z(x, y)dxdy (1.36)

Esta es una forma simbolica de expresar el volumen, pero no nos indicacomo efectuar el calculo. Una forma es dividiendo el volumen en laminas deanchura dx. Entonces, para un x = constante, el area de la lamina es

∫ y=β

y=αz(x, y)dy (1.37)

donde los limites de integracion α y β son funciones de x. De hecho, sonlos puntos en que la lınea x = constante corta a C. El volumen de la laminaes

dx∫ y=β

y=αz(x, y)dy (1.38)

y el volumen total:

∫ x=η

x=ξdx∫ y=β

y=αz(x, y)dy (1.39)

donde x = ξ y x = η son las tangentes a C paralelas al eje y. Es obviotambien que obtenemos el mismo volumen si tomamos laminas paralelasdel al eje x en lugar de laminas paralelas al eje y. En ese caso, el area decada lamina se expresarıa como una integral en x, con lımites de integraciondependientes de y. Aunque hemos introducido la integral doble en relacioncon un problema particular, es claro que

∫

f(x, y)dxdy es un ente matematicoque no requiere de interpretacion fısica, como tampoco la requiere la integral∫

f(y)dy.

Ejemplo: Calcular∫

2xydxdy (1.40)

sobre el recinto limitado por las curvas y = x2, y =√x, x = 0 y x =

1/2. Los pasos a seguir son: a) hacerse una representacion del recinto de

1.2. Integrales dobles 7

integracion; b) obtener los lımites de la integral en y como funcion de x; c)integrar en y y d) integrar en x, que en este caso varıa entre 0 y 1/2. Ası,tenemos

∫ x=1/2

x=0dx

[

∫ y=√x

y=x2

2xydy

]

=∫ x=1/2

x=0dx(x2 − x5) =

5

128(1.41)

1.2.1. Cambio de variable

Consideremos el cambio de variables x = f(u, v) e y = g(u, v). En el plano(u, v), el punto (u, v) se corresponde en el plano (x, y) con (f(u, v), g(u, v)).Por su parte, el punto (u+ du, v) se transforma en

f(u+ du, v) = f(u, v) +∂f

∂udu = x+

∂f

∂udu

g(u+ du, v) = g(u, v) +∂g

∂udu = y +

∂g

∂udu (1.42)

De igual forma, (u, v + dv) se transforma en

f(u, v + dv) = f(u, v) +∂f

∂vdv = x+

∂f

∂vdv

g(u, v + dv) = g(u, v) +∂g

∂vdv = y +

∂g

∂vdv (1.43)

Ası, la region de area dudv en el plano (u, v) se transforma en un areaen el plano (x, y). Este area se puede calcular como el modulo del productovectorial de los vectores de origen (x, y) y extremos dados por las ecuaciones(42) y (43), a y b en la Figura 1, de tal manera que la relacion entre las areaselementales es

dxdy =

∣

∣

∣

∣

∣

∂(f, g)

∂(u, v)

∣

∣

∣

∣

∣

dudv (1.44)

Por consiguiente, si la transformacion lleva de la region S a la region D,tenemos que

∫

Sz(x, y)dxdy =

∫

DZ(u, v)

∣

∣

∣

∣

∣

∂(f, g)

∂(u, v)

∣

∣

∣

∣

∣

dudv (1.45)

donde Z(u, v) = z(x(u, v), y(u, v)).


Figura 1

1.2.2. El teorema de Green

El teorema de Green relaciona la integral de superficie con la circulacionsobre el contorno de esa superficie. Establece que

∫

S

(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dxdy =∫

C(Pdx+Qdy) (1.46)

Demostracion: Consideramos una curva γ convexa cerrada en el plano(x, y). Sea A el punto de la curva con la coordenada x = a mınima, B elpunto de la curva con la coordenada y = b mınima, C el de coordenada x = cmaxima y D el de coordenada y = d maxima. Ası, la curva esta incrita en unrectangulo de lados c − a y d − b. Llamamos θ1(x) a la curva ABC, y θ2(x)a la curva ADC. Tenemos que

∫

γP (x, y)dx =

∫ x=c

x=aP (x, θ1(x))dx+

∫ x=a

x=cP (x, θ2(x))dx

=∫ x=c

x=a[P (x, θ1(x))− P (x, θ2(x))]dx (1.47)

Por otro lado

∫

S

∂P

∂ydxdy =

∫ x=c

x=adx∫ y=θ2(x)

y=θ1(x)

∂P

∂ydy

=∫ x=c

x=a[P (x, θ2(x))− P (x, θ1(x))] (1.48)

1.2. Integrales dobles 9

de donde se sigue que

∫

γPdx = −

∫

S

∂P

∂ydxdy (1.49)

y por analogo razonamiento

∫

γQdy =

∫

S

∂Q

∂xdxdy (1.50)

lo que demuestra el teorema.

Figura 2

Ejemplo: Deseamos calcular∫

C(2y2 − x2)dx+ (3x2 − y2)dy (1.51)

sobre la circunferencia y2+(x− a)2 = a2, que tiene la forma parametrica

x = a(1 + cos t)

y = a sin t (1.52)

donde t varıa entre 0 y 2π. Esta integral puede sustituirse por una desuperficie, mas sencilla de calcular, usando el teorema de Green. En efecto:

∫

C(2y2 − x2)dx+ (3x2 − y2)dy =

∫

S(6x− 4y)dxdy (1.53)

La primera parte es


∫

S6xdxdy =

∫ a

−ady∫ x2(y)

x1(y)6xdx = 3

∫ a

−ady[

x2]x2(y)

x1(y)(1.54)

con x1(y) = a −√a2 − y2 y x2(y) = a +

√a2 − y2, resultando finalmen-

te 6πa3. La integral que contiene 4y se puede comprobar que es nula. Porconsiguiente,

∫

C(2y2 − x2)dx+ (3x2 − y2)dy =

∫

S(6x− 4y)dxdy = 6πa3 (1.55)

1.3. Integral de superficie

Se define

∫

F (x, y, z)dS (1.56)

sobre una region A de la superficie z(x, y) como

∫

AF (x, y, z(x, y))

√

1 + z2x + z2y dxdy (1.57)

Por tanto, la integral de superficie ası definida no es mas que una integraldoble, ya vista. Pero ilustremos el calculo de este tipo de integrales con unejemplo. Sea

∫

S(x2 + y2 − 3z2)dS (1.58)

sobre la superficie superior (z > 0) de la esfera x2 + y2 + z2 = 4. Elelemento de superficie es

dS =dxdy√

4− x2 − y2(1.59)

La integral que buscamos es entonces:

8∫ y=2

y=−2dy∫ x2(y)

x1(y)

x2 + y2 − 3√4− x2 − y2

dx (1.60)

Vemos que los lımites de integracion para x dependen de y. Serıa massencillo si los lımites de cada integral fuesen independientes, lo que se consiguecon el cambio a coordenadas polares (r, θ), que son ambas independientes.En polares:

1.4. Calculo vectorial 11

x = r cos θ

y = r sin θ (1.61)

y el cambio de variables exige el calculo del determinante del jacobiano,que es

∣

∣

∣

∣

∣

∂(x, y)

∂(r, θ)

∣

∣

∣

∣

∣

= r (1.62)

ası que, finalmente, calculamos

∫ θ=2π

θ=0dθ∫ r=2

r=0

8r(r2 − 3)√4− r2

= −32

3π (1.63)

1.4. Calculo vectorial

1.4.1. Gradiente

Dada una funcion f(x, y, z), se define el vector gradiente como

grad(f) =

(

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)

(1.64)

Su interpretacion es la siguiente: dada la familia de superficies f(x, y, z) =constante, el vector gradiente en el punto (x, y, z) es perpendicular a la su-perficie f(x, y, z) = constante a la que pertenece el punto y apunta haciavalores crecientes de c. En efecto, entre dos puntos proximos pertenecientesa la misma superficie:

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz = 0 (1.65)

es decir, que los vectores

grad(f) =∂f

∂xi+

∂f

∂yj +

∂f

∂zk (1.66)

y

dr = dxi+ dyj + dzk (1.67)

son perpendiculares, ya que su producto escalar es nulo. Pero como drse encuentra sobre la superficie, grad(f) es perpendicular a ella. Por otro


lado, si P (x, y, z) es un punto que se encuentra sobre la superficie c y R(x+dx, y + dy, z + dz) un punto que se encuentra sobre la superficie c′, en laperpendicular a c por P , entonces, si llamamos dr = PR, sera dr paralelo algradiente, dr = k×grad(f) (k constante), de donde

dx

fx=dy

fy=dz

fz=

√

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2√

f 2x + f 2

y + f 2z

=dn

√

f 2x + f 2

y + f 2z

(1.68)

donde dn es la distancia entre las superficies c y c′; entonces, al pasar dec a c′ por la perpendicular a P , sustituyendo dx = fxdn/

√

f 2x + f 2

y + f 2z y

analogamente para dy y dz:

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz =

√

f 2x + f 2

y + f 2z dn =

∂f

∂ndn (1.69)


|grad(f)| =√

f 2x + f 2

y + f 2z =

∂f

∂n(1.70)

Al pasar de c a c′ no a lo largo de la perpendicular, sino en una direccionque forma un angulo θ con la perpendicular y a lo largo de un ds, entonces

∂f

∂s=∂f

∂n

dn

ds=∂f

∂ncos θ (1.71)

Si s es la direccion de ds y n la normal,

∂f

∂s=∂f

∂n(s · n) = s · ∂f

∂nn = s · grad(f) (1.72)

Se introduce el operador vectorial ∇ como

∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj +

∂

∂zk (1.73)

de forma que se puede escribir

grad(f) = ∇f (1.74)

Ejemplo: Dada la funcion r2 = x2 + y2 + z2, calcular su gradiente. Se veque

∂r2

∂x= 2x (1.75)


y analogamente para las otras dos coordenadas, de donde

∇r2 = 2r (1.76)

Ejemplo: si f(r) es una funcion arbitraria de r =√x2 + y2 + z2, calcular

su gradiente. Se ve que

∂f(r)

∂x=∂f(r)

∂r

∂r

∂x= f ′(r)

x

r(1.77)

y analogamente para las otras coordenadas, de donde, finalmente

∇f(r) = f ′(r)

rr = f ′(r)r (1.78)

Si f1(x, y, z) y f2(x, y, z) son dos funciones escalares, continuas y deriva-bles, de las reglas elementales de derivacion se sigue que

∇(f1 + f2) = ∇f1 +∇f2∇(f1f2) = f2∇f1 + f1∇f2 (1.79)

1.4.2. Campos vectoriales irrotacionales

Un campo vectorial V (x, y, z) es una funcion que a cada punto (x, y, z) delespacio asigna un vector de componentes (V1(x, y, z), V2(x, y, z), V3(x, y, z)).La circulacion de un campo vectorial sobre una curva ya la definimos implıcita-mente en 1.2, ecuacion (17). El trabajo es entonces la circulacion de la fuerzaa lo largo de la trayectoria. Para un campo vectorial cualquiera V (x, y, z) alo largo de una trayectoria C, la circulacion es

∫

CV · dr (1.80)

y si la trayectoria viene dada en la forma parametrica (x(t), y(t), z(t)),entonces la circulacion es

∫ β

α

(

V1dx

dt+ V2

dy

dt+ V3

dz

dt

)

dt (1.81)

donde α y β son los valores de t en los extremos de la trayectoria. Si latrayectoria es cerrada, se suele usar el sımbolo

∮

(1.82)


En (1.3) demostramos la condicion que debe cumplir un campo vecto-rial para que su circulacion sea independiente del camino, aunque allı nohabıamos todavıa introducido el termino ”campo vectorial”. La extensionobvia al caso tridimensional de aquella condicion es que sea

∂V1∂y

=∂V2∂x

;∂V1∂z

=∂V3∂x

;∂V2∂z

=∂V3∂y

(1.83)

Un campo vectorial se llama irrotacional si su circulacion a lo largo decualquier trayectoria cerrada es nula. Ahora demostraremos dos resultadosimportantes: a) si un campo V es irrotacional, existe una funcion escalar ftal que V = ∇f . b) Si f es una funcion escalar, su gradiente es irrotacional.

Demostracion de a): Elegimos como trayectoria cerrada una que va desdeel punto A al punto B pasando por P y vuelve de B a A pasando por Q, deforma que

∮

V · dr =∫

APBV · dr +

∫

BQAV · dr = 0 (1.84)

lo que implica que

∫

APB= −

∫

BQA=∫

AQB(1.85)

y por tanto la integral es independiente de la trayectoria. Si fijamos A,

∫

AB(1.86)

es una funcion solo de B, pero como dicha integral es un escalar, entonces

∫

ABV · dr = f(B) (1.87)

Si B′ es un punto proximo de B:

∫

AB′

V · dr = f(B′) (1.88)

de manera que

f(B′)− f(B) = df = V · dr (1.89)

pero sabemos que el incremento df de una funcion escalar entre dos puntosseparados por dr es ∇f · dr, de donde

(V −∇f) · dr = 0 (1.90)


y finalmente V = ∇f , ya que dr es arbitrario.

Demostracion de b): Si f es una funcion escalar, la circulacion de sugradiente en un circuito cerrado es

∮

∇f · dr =∮

df = 0 (1.91)

Ejemplo: Dado el campo vectorial

V = (3x2y + zy2)i+ (x3 + 2xyz)j + y2xk (1.92)

a) demostrar que es irrotacional; b) encontrar la funcion escalar f dela cual deriva y c) calcular su circulacion entre los puntos A = (1, 2, 3) yB = (2, 4, 12) a lo largo de la curva

x(t) = t

y(t) = 2t

z(t) = 3t2 (1.93)

a) Para demostrar que es irrotacional, basta con derivar y comprobar quese cumplen las condiciones:

∂V1∂y

=∂V2∂x

;∂V1∂z

=∂V3∂x

;∂V2∂z

=∂V3∂y

(1.94)

b) de V1 = 3x2y + zy2 = fx se sigue que ha de ser

f(x, y, z) = x3y + zxy2 + g(y, z) (1.95)

Derivando respecto a y e igualando a V2:

x3 + 2xyz +∂g

∂y= x3 + 2xyz (1.96)


∂g

∂y= 0 (1.97)

og = h(z) salvo constante. Luego f(x, y, z) = x3y+zxy2+h(z). Derivando

respecto a z e igualando a V3 vemos que ha de ser h(z) = c, y como V seobtiene de f por derivacion, esa constante no tiene importancia, ası que,finalmente


f(x, y, z) = x3y + zxy2 (1.98)

c) En representacion parametrica, el punto A corresponde a t = 1 y elpunto B a t = 2. Entonces

∫

ABV · dr =

∫ t=2

t=1

(

V1dx

dt+ V2

dy

dt+ V3

dz

dt

)

dt (1.99)

Sustituyendo y efectuando las integrales, se obtiene el resultado

∫

ABV · dr = 402 (1.100)

1.4.3. Integral de superficie

Se puede reformular ligeramente y adaptar al formato vectorial el con-cepto de integral de superficie presentado en la seccion 3. Si un elemento desuperficie lo representamos no mediante un escalar sino mediante un vectorcuyo modulo es dS y cuya direccion es normal a la superficie (si la superficiees cerrada, la normal se tomara hacia afuera):

dS = ndS (1.101)

Entonces redefinimos la integral de superficie como

∫

SV · dS =

∫

SV · ndS =

∫

S(V · n)dS (1.102)

y como el producto escalar es un escalar, la integral anterior es del tipoescalar considerado antes, en (56)

1.4.4. Flujo y divergencia

Dado un elemento de superficie dS que contiene un punto P en el cualel campo vectorial toma un valor V , se define el flujo del campo a traves delelemento de superficie como

dφ = V · dS (1.103)

A partir de aquı, dada una superficie cerrada que encierra un cierto volu-men y un punto P interior a ese volumen, se define la divergencia del campovectorial en el punto P como el

lım∆v→0

∆φ

∆v(1.104)


es decir, la relacion entre el flujo que atraviesa la superficie y el volumencontenido en la misma, cuando este tiende a cero. Para dar con una formaoperativa de calcular la divergencia, consideramos un pequeno cubo de ladosdx, dy, dz paralelos a los ejes coordenados. Consideremos las caras perpendi-culares al eje x, una en x y otra en x + dx. La normal a la primera cara es(−1, 0, 0), y la normal a la segunda cara es (1, 0, 0). El modulo de la superficiede ambas caras en dydz. El campo en la primera cara es V , y el campo en lasegunda:

V +∂V

∂xdx (1.105)

El flujo total a traves de ambas caras (flujo a traves de la primera masflujo a traves de la segunda) es

dφx =∂V1∂x

dxdydz (1.106)

y analogamente para las caras paralelas a los ejes y y z, de tal forma queel flujo total a traves del cubo es

dφ = dφx + dφy + dφz =

(

∂V1∂x

+∂V2∂y

+∂V3∂z

)

dxdydz (1.107)

y de la definicion de divergencia, vemos que

div(V ) =∂V1∂x

+∂V2∂y

+∂V3∂z

(1.108)

que se puede escribir simbolicamente usando el operador nabla:

div(V ) = ∇ · V (1.109)

Ejemplo: si V = x3yi + y3zj + z2k, entonces ∇ · V = 3x2y + 3y2z + 2z.Observese que la divergencia es un escalar. Cuando el campo vectorial es de laforma fU , siendo f una funcion escalar, se comprueba por simple derivacionque

∇ · (fU) = ∇f · U + f∇ · U (1.110)

Ejemplo: Si V = f(r)r, calcular la divergencia. Sabemos que el gradientede la parte escalar es (segundo ejemplo, 4.1)

∇f = f ′(r)r (1.111)


y que

∇ · r = 3 (1.112)

ası que

∇ · (f(r)r) = rf ′(r) + 3f(r) (1.113)

Como caso particular de este caso particular: ∇ · (r2r) = 5r2.

1.4.5. Campos solenoidales

Un campo es solenoidal si su divergencia es nula en todo punto. Porejemplo, el campo V = rnr es solenoidal solo para n = −3. En efecto:

∇ · V = nrn + 3rn = (n+ 3)rn (1.114)

que es cero solo para n = −3. ¿Que implica que un campo sea solenoidal?que el flujo a traves de cualquier superficie cerrada es nulo, lo que significa,a su vez, que las lıneas de campo no tienen ni fuentes ni sumideros. Esto secumple para el campo electrico en regiones libres de cargas, y para el campomagnetico siempre.

Ejemplo: el campo V = yzi+zxj+xyk es a la vez irrotacional y solenoidal.En efecto, por calculo directo se ve que es irrotacional; por ejemplo:

∂

∂y(yz) =

∂

∂x(zx) (1.115)

etc. Que es solenoidal se ve calculando la divergencia:

∇ · V =∂

∂x(yz) +

∂

∂y(zx) +

∂

∂z(xy) = 0 (1.116)

1.4.6. Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia afirma que si S es una superficie que encierraun volumen V en el que esta definido un campo vectorial U , entonces

∫

V∇ · UdV =

∫

SU · dS (1.117)

Se puede dar de este teorema una demostracion cualitativa. A tal efecto,divıdase mentalmente el volumen V en un numero muy grande de pequenosvolumenes adyacentes. El flujo a traves de un elemento de superficie que sepa-ra dos volumenes adyacentes es nulo, porque, sea cual sea en este elemento


el valor del campo, aparecera una vez U · dS y otra −U · dS al considerar lasnormales hacia el exterior de los dos pequenos volumenes que comparten lamisma frontera dS. Por tanto, el flujo total interior al volumen es nulo, yaque cualquier pequeno elemento es adyacente a otro, con el que comparte unasuperficie de separacion. Ası que solo quedan sin compensar los elementos devolumen limitados parcialmente por la superficie exterior S. De la definicionde la divergencia, vemos que la suma para el conjunto de todos los elementosde volumen ha de ser igual al flujo neto total que atraviesa S.

Ejemplo: Calcular

∫

Sr · dS (1.118)

sobre una superficie cerrada. Solucion: como

∫

Sr · dS =

∫

V∇ · rdV (1.119)

y ∇ · r = 3, se sigue que la integral buscada es 3V .

Ejemplo: calcular,

∫

SA · dS (1.120)

donde S es la esfera centrada en el origen de radio R y A = x3i+y3j+z3k.Solucion: como ∇ · A = 3(x2 + y2 + z2):

∫

SA · dS = 3

∫

V(x2 + y2 + z2)dxdydz (1.121)

Para calcular esta integral pasamos a coordenadas polares esfericas. Eljacobiano de la transformacion es r2 sin θ, ası que la integral es

3∫ 2π

0dφ∫ π

0dθ sin θ

∫ r

0r4dr =

12

5πR5 (1.122)

1.4.7. Identidades de Green

Hemos visto que, dado un campo vectorial de la forma V = fU , sudivergencia es

∇ · V = (∇f) · U + f∇ · U (1.123)

Cuando U es a su vez el gradiente de un campo escalar g:


∇ · V = (∇f) · (∇g) + f(∇ · ∇g) (1.124)

Se escribe abreviadamente ∇·∇ = ∇2, y se le llama operador laplaciano:

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(1.125)

ası que

∇ · V = (∇f) · (∇g) + f∇2g (1.126)

y aplicando el teorema de la divergencia:

∫

V∇ · V dV =

∫

V[(∇f) · (∇g) + f∇2g]dV =

∫

Sf(∇g) · dS (1.127)

que es la primera identidad de Green. Intercambiando f y g y restandose obtiene la segunda identidad de Green:

∫

V(f∇2g − g∇2f)dV =

∫

S[f(∇g)− g(∇f)] · dS (1.128)

1.4.8. El rotacional

De forma similar a la divergencia, que se define como el lımite entre el flujoque atraviesa una superficie cerrada y el volumen encerrado por la misma,cuando este tiende a cero, se define el rotacional en un punto P como unvector en la direccion normal a una superficie dS que contiene a P cuyomodulo es el lımite cuando dS → 0 entre la circulacion sobre el contorno γde dS y la misma dS:

rot(U) = lım∆S→0

∆C

∆S(1.129)

Y al igual que con la divergencia, necesitamos aquı un procedimientode calculo que no da la propia definicion. Para ver como se expresan lascomponentes del rotacional, vamos a considerar la componente k, para locual consideramos un pequeno circuito en el plano xy que contiene el puntoP de coordenadas (x, y, 0). Las coordenadas de un punto del contorno seexpresan como r = (x + x′, y + y′, 0). En cuanto al campo en los puntos delcontorno, se puede desarrollar sus componentes U1 y U2 en serie de Tayloralrededor del punto P , y escribir:

U1(x+ x′, y + y′, 0) = U1(x, y, 0) +∂U1

∂xx′ +

∂U1

∂yy′ (1.130)


y de la misma forma

U2(x+ x′, y + y′, 0) = U2(x, y, 0) +∂U2

∂xx′ +

∂U2

∂yy′ (1.131)

La circulacion que buscamos es

∫

γU · dr =

∫

γU1(x+ x′, y + y′, 0)dx′ + U2(x+ x′, y + y′, 0)dy′ (1.132)

Insertando los desarrollos en serie de Taylor, y como las componentes delcampo y las derivadas pueden salir de las integrales, ya que se evaluan en P ,quedan las integrales curvilıneas siguientes:

∫

γdx′ = 0 (1.133)

∫

γdy′ = 0 (1.134)

∫

γx′dx′ =

1

2x′2|γ = 0 (1.135)

∫

γy′dy′ =

1

2y′2|γ = 0 (1.136)

y usando (49) y (50) que fueron encontradas en la demostracion del teo-rema de Green,

∫

γx′dy′ = ∆S (1.137)

∫

γy′dx′ = −∆S (1.138)

Se tiene finalmente que

∆C

∆S=∂U1

∂y− ∂U2

∂x(1.139)

Como el segundo miembro es una funcion de solo las coordenadas delpunto P , al hacer el lımite ∆S → 0 se tiene el rotacional que es precisamenteese segundo miembro. Analogamente para el resto de componentes, lo quenos darıa:

rot(U) =

(

∂U2

∂z− ∂U3

∂y

)

i+

(

∂U3

∂x− ∂U1

∂z

)

j +

(

∂U1

∂y− ∂U2

∂x

)

k (1.140)


y recordando la definicion del operador ∇, vemos que se puede poner

rot(U) = ∇× U (1.141)

Se demuestran sin dificultad, de la definicion del rotacional y las propie-dades de la derivacion, los resultados siguientes:

a) Si U y V son dos campos vectoriales, entonces el rotacional de U + Ves la suma de los rotacionales.

b) Si U es un campo vectorial y f una funcion escalar, entonces

∇× (fU) = (∇f)× U + f∇× U (1.142)

c) Para cualquier funcion escalar f ,

∇× (∇f) = 0 (1.143)

d) Para cualquier funcion vectorial U

∇ · (∇× U) = 0 (1.144)

1.4.9. Campos vectoriales irrotacionales

Si la circulacion de un campo a lo largo de una trayectoria entre dospuntos depende solo de los extremos, entonces la circulacion en cualquiertrayectoria cerrada es nula, y por la definicion, el rotacional de ese camposera nulo. Falta la demostracion en el otro sentido: que cuando ∇× U = 0,entonces la circulacion a lo largo de cualquier camino cerrado es cero. Enefecto, si ∇× U = 0, entonces

∂U1

∂y=∂U2

∂x;

∂U1

∂z=∂U3

∂x;

∂U2

∂z=∂U3

∂y(1.145)

La trayectoria desde un punto (x0, y0, z0) a un punto (x, y, z) se puedeimplementar de una infinidad de formas mediante segmentos paralelos a losejes de coordenadas. Sea una de estas trayectorias que transcurre en trestramos, el primero paralelo al eje x, desde (x0, y0, z0) hasta (x, y0, z0). Elsiguiente tramo sera paralelo al eje y, desde (x, y0, z0) a (x, y, z0). El ultimoparalelo al eje z, desde (x, y, z0) a (x, y, z). La circulacion es entonces

∫

CU · dr =

∫ x

x0

U1(x, y0, z0)dx+∫ y

y0U2(x, y, z0)dy +

∫ z

z0U3(x, y, z)dz (1.146)

Esta integral sera una funcion de (x, y, z), que llamaremos f(x, y, z):


∫

CU · dr = f(x, y, z) (1.147)

De aquı:

∂f

∂z= U3(x, y, z) (1.148)

Como z0 es constante en las otras dos integrales, tenemos:

∂f

∂y= U2(x, y, z0) +

∫ z

z0

∂U3

∂ydz = U2(x, y, z0) +

∫ z

z0

∂U2

∂zdz

= U2(x, y, z0) + U2(x, y, z)|zz0 = U2(x, y, z) (1.149)

Y de la misma forma

∂f

∂x= U1(x, y0, z0) +

∫ y

y0

∂U2

∂xdy +

∫ z

z0

∂U3

∂xdz

= U1(x, y0, z0) +∫ y

y0

∂U1

∂ydy +

∫ z

z0

∂U1

∂zdz

= U1(x, y, z) (1.150)

En definitiva,

∂f

∂x= U1(x, y, z);

∂f

∂y= U2(x, y, z);

∂f

∂z= U3(x, y, z) (1.151)

y por tanto U = ∇f .

Resumiendo: definimos anteriormente los campos irrotacionales como aque-llos en que la circulacion a lo largo de una trayectoria depende solo de losextremos. Demostramos que si un campo U es irrotacional, existe una fun-cion escalar f tal que U = ∇f , y tambien que dada una funcion escalar f ,la circulacion de su gradiente a lo largo de una trayectoria cerrada es nula.A continuacion hemos definido el rotacional de un campo vectorial, y hemosencontrado la forma de calcularlo haciendo ∇× U . Lo que acabamos ahorade demostrar es que si ∇ × U = 0, entonces existe una funcion escalar talque U = ∇f , luego su circulacion por cualquier trayectoria cerrada es nula,luego U es irrotacional.

Ejemplo: Dado U = rαr, demostrar que es irrotacional. Sera irrotacionalsi su circulacion a lo largo de una trayectoria depende solo de los extremos,y eso sucedera si existe un f tal que U = ∇f . Busquemos esa f . De entrada


∂f

∂x= rαx;

∂f

∂y= rαy;

∂f

∂z= rαz (1.152)

Por otro lado

∂r

∂x=x

r;

∂r

∂y=y

r;

∂r

∂z=z

r(1.153)

y sustituyendo la ultima en la anterior:

∂f

∂x= rα+1 ∂r

∂x;

∂f

∂y= rα+1 ∂r

∂y;

∂f

∂z= rα+1 ∂r

∂z(1.154)

A la vista de las ecuaciones anteriores, esta claro que puede tomarse

f =1

α + 2rα+2 (1.155)

siempre que sea α 6= −2. Pero si α = −2

∂f

∂x=

x

x2 + y2 + z2(1.156)

y analogamente para las otras coordenadas. Se ve entonces que puedetomarse

f = log√

x2 + y2 + z2 (1.157)

Observese lo siguiente: si hubiesemos fallado en la busqueda de la funcionf , eso no demostrarıa que el campo no es irrotacional. Por eso, desde elpunto de vista logico, parece mejor demostrar la irrotacionalidad simplementecalculando el rotacional y comprobando que es nulo, ya que, como hemosdemostrado, el rotacional nulo implica campo irrotacional.

1.4.10. El teorema de Stokes

Daremos aquı una demostracion cualitativa. Sea una superficie cualquie-ra S que se apoya sobre una curva C. Si dividimos la superficie S en unamultitud de pequenos circuitos adyacentes, veremos que cada segmento decircuito compartido aparece dos veces, una con un signo y otra con otro, yque por tanto la circulacion total sobre todos los circuitos se reduce a la cir-culacion sobre C. Ahora, de la definicion de rotacional, la circulacion sobrecada pequeno circuito es el producto del rotacional de U en cada circuito(suponemos que los circuitos son muy pequenos y que podemos tomar el ro-tacional como el rotacional en un punto interior al circuito) por el area del

1.5. Bibliografıa 25

circuito. Al sumar para todos los circuitos, tenemos la integral de superficiedel rotacional. Y esto es lo que afirma el teorema de Stokes:

∫

CU · dr =

∫

S(∇× U)dS (1.158)

1.5. Bibliografıa

Estas notas han seguido grosso modo el excelente texto de Kathleen M.Urwin, ”Calculo Superior y Teorıa del Vector Campo”, en traduccion de Ele-na Martın Peinador. Tambien recomendamos ”Calculo diferencial e integral”,de N. Piskunov, ed. Montaner y Simon. Ambos contienen multitud de ejem-plos ilustrativos, de los que hemos tomado unos pocos.

1.6. Resumen conceptual

1. Integrales de camino. La integral de camino en forma parametrica. Tra-bajo

2. Condicion para que la integral de camino sea independiente de la tra-yectoria elegida.

3. Integrales dobles y cambio de variable.

4. El teorema de Green.

5. Campo escalar. Gradiente.

6. Campo vectorial. Definicion de campo irrotacional. Si un campo U esirrotacional, entonces existe una funcion escalar f tal que U = ∇ · f .Si f es una funcion escalar, entonces ∇ · f es irrotacional.

7. Flujo y divergencia. Campos solenoidales.

8. Teorema de la divergencia e identidades de Green.

9. El rotacional. Si ∇× U = 0, entonces el campo es irrotacional, y a lainversa.

10. Teorema de Stokes.


1.7. Ejercicios

1. Calcular

∫

(x2 + y)dx+ xydy (1.159)

a lo largo del camino AD formado por las rectas AB, BC y CD, conA = (0, 0), B = (2, 2), C = (2, 6), D = (3, 9). (Solucion: 661/6)

2. Encontrar

∫

xdy − ydx (1.160)

a lo largo del arco de hipocicloide x = a cos3 t, y = a sin3 t. (Resp.3a2/2)

3. Demostrar que la integral

∫

(y2 + 4)dx+ (2xy + 3)dy (1.161)

es independiente del camino de integracion, y calcular su valor entreA = (1, 2) y B = (3, 4). (Solucion: 58)

4. Calcular el area de la figura limitada por las curvas y2 = 4ax, x+y = 3ae y = 0. (Resp. 10a2/3)

5. Calcular

∫ dxdydz

(x+ y + z + 1)(1.162)

si el dominio de integracion esta limitado por los planos coordenados yel plano x+ y + z = 1.

6. Calcular

∇ · (f(r) + g(1/r)) (1.163)

donde f y g son funciones arbitrarias y r2 = x2 + y2 + z2.

1.7. Ejercicios 27

7. Calcular la divergencia del campo vectorial

f = rng(1/r)r (1.164)

8. Si a es un vector constante, demostrar que

∇× (a× r) = 2a (1.165)


Capıtulo 2

Leyes basicas del

electromagnetismo

2.1. Campos

Es un hecho experimental que la materia puede modificar el espacio cir-cundante, incluso a largas distancias, confiriendole alguna propiedad que semanifiesta por la aparicion de fuerzas. Por ejemplo, una masa crea unas con-diciones tales que aparecen fuerzas sobre otras masas, se encuentren cerca ose encuentren lejos. Como la forma de manifiestarse esta propiedad que lamateria confiere al espacio es mediante fuerzas, que son vectoriales, podemosrepresentar la alteracion introducida mediante un campo vectorial E(x, y, z).Es tambien un hecho experimental que hay campos de distintas clases. Tene-mos la gravedad, el campo electrico y el magnetico, y otros campos que semanifiestan a cortas distancias. Cada campo esta asociado a una propiedaddistinta de la materia. Ası, el campo de gravedad a la masa y el campo elec-trico a la carga. Nos centraremos desde este momento en el campo electrico.

2.2. Campo electrico

Una carga q, que colocamos en el origen de un sistema de referencia,crea en la posicion r un campo, de forma que una carga q′ influida por esecampo experimenta una fuerza F = q′E. Se comprueba experimentalmenteque el campo creado por la carga q es proporcional a la misma, inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia al punto considerado y dirigido segunla recta que la une con el punto. Cuantitativamente:

29

30 2. Leyes basicas del electromagnetismo

E =q

4πε0

r

r3(2.1)

En el S.I. de unidades:

1

4πε0= 9× 109

Nm2

C2(2.2)

La fuerza que experimenta una carga q′ situada en r respecto a q es

F =qq′

4πε0

r

r3(2.3)

Vemos que cuando qq′ > 0 la fuerza es repulsiva, y que cuando qq′ < 0 esatractiva.

Otro hecho experimental es que los campos debidos a varias cargas sesuman vectorialmente, de modo que, dada una serie de cargas qi en posicionesri, el campo creado en un punto r viene dado por

E(r) =∑

i

qi4πε0

(r − ri)

|r − ri|3(2.4)

Si en lugar de un conjunto de cargas puntuales tenemos una distribucioncontinua, entonces calcularemos el campo como una integral sobre la distri-bucion continua, descrita por la densidad lineal, superficial o volumica decarga.

Ejemplo: Dada una distribucion lineal continua de longitud infinita a lolargo del eje z y densidad lineal λ, calcular el campo en un punto del eje x adistancia d del eje z.

Solucion: un elemento de carga situado en la coordenada z y de longituddz contiene una carga λdz, y crea un campo

dE =λdzr

4πε0r3(2.5)

con r3 = (d2 + z2)3/2 y r = (d, 0,−z). Por tanto, no hay campo en ladireccion y. En la direccion x:

dEx =λd

4πε0

dz

(d2 + z2)3/2(2.6)

y

Ex =λd

4πε0

∫ ∞

−∞

dz

(d2 + z2)3/2=

λ

2πε0d(2.7)

2.2. Campo electrico 31

Por simetrıa, ya se ve que Ez = 0, pero se puede comprobar por integra-cion.

2.2.1. Propiedades del campo electrico

El campo creado por una carga q en r (tomandola como origen) es:

E =q

4πε0

r

r3(2.8)

Este campo es irrotacional. Para verlo podemos remitirnos a la demos-tracion que ofrecimos en el capıtulo anterior sobre la irrotacionalidad de uncampo de la forma U = rαr, o bien calcular directamente:

∇× E =1

4πε0

(

∇(r−3)× r + r−3∇× r)

(2.9)

Pero ∇ × r = 0 y ∇r−3 = −3r−5r, de donde se sigue ∇ × E = 0.Demostramos tambien en el capıtulo anterior que si ∇× U = 0 entonces Ues irrotacional, es decir, existe una funcion escalar f tal que U = ∇f . Ennuestro caso (α = −3):

f = − q

4πε0

1

r(2.10)

Por otra parte, vimos que para U = f(r)r, la divergencia es

∇ · U = rf ′(r) + 3f(r) (2.11)

que en nuestro caso da ∇ · E = 0. Pero como E = ∇f , se sigue que elpotencial satisface la ecuacion de Laplace:

∇2f = 0 (2.12)

Nota: aunque no hay razon matematica para ello, en Fısica se suele tomarel potencial de forma que el campo sea no el gradiente del potencial, sinomenos dicho gradiente: U = −∇f . De acuerdo con ello, y para no introducirdiferencias que hagan molesta la comparacion de estas notas con los textoshabituales, adoptamos aquı tambien esa convencion, y en consecuencia elpotencial lo tomamos no como fue definido en (10), sino como

f =1

4πε0

q

r(2.13)


2.2.2. Regiones que contienen cargas

Los razonamientos anteriores presuponen que el campo se puede calcularen todo punto, pero precisamente en r = 0 existe una singularidad, de maneraque los resultados anteriores seran validos para regiones libres de cargas, enque el campo se puede calcular y por tanto su divergencia y rotacional, perono para regiones que contienen cargas, pues en los puntos ocupados por esascargas el campo es singular.

Consideremos una carga q situada en el origen, y una esfera de radio acentrada en el mismo. Calculamos el flujo a traves de la esfera:

∫

S

1

4πε0

q

a3a · dS =

q

4πε0a2

∫

Sr · rdS =

q

ε0(2.14)

Esto significa que una carga positiva se comporta como una fuente delıneas de campo, y una carga negativa como un sumidero. Si ahora conside-ramos que tenemos no una carga puntual sino una distribucion continua dedensidad ρ en un pequeno volumen ∆v, entonces

1

∆v

∫

SE · dS =

ρ

ε0(2.15)

pero la parte de la izquierda es precisamente la definicion de la divergen-cia, luego

∇ · E =ρ

ε0(2.16)

Ademas, como E = ∇f ,

∇2f =ρ

ε0(2.17)

que es conocida como ecuacion de Poisson. La expresion∫

SE · dS (2.18)

es util en algunos casos en que se dan simetrıas evidentes. Por ejemplo,calculamos el campo a una distancia d de un hilo infinito de densidad linealde carga λ. Por simetrıa, el campo ha de ser radial y valer lo mismo en todopunto de un cilindro de radio d cuyo eje coincida con la distribucion de carga.Tomando la superficie de un cilindro de altura h y radio d cuyo eje coincidacon el de la distribucion, al ser el campo radial no existe flujo mas que atraves de la superficie curva del cilindro, de manera que

∫

SE · dS = 2πdhE =

λh

ε0(2.19)


y de aquı

E =λ

2πε0d(2.20)

que coincide con (7), pero que hemos obtenido de forma mucho mas di-recta.

2.2.3. El campo electrico en la materia

Es un hecho experimental que la materia esta constituida por partıculascargadas, de carga positiva y negativa (y tambien de partıculas sin carga,que no juegan papel en nuestra discusion). Cuando una substancia se exponea un campo, las partıculas cargadas de la substancia experimentan fuerzasque son de un sentido u otro segun la carga positiva o negativa, y comoconsecuencia aparece una cierta separacion de carga: las cargas positivastienden a desplazarse en un sentido y las negativas en otro opuesto. Apareceentonces un campo interno debido a esta separacion que se superpone con elcampo exterior aplicado, dando lugar a un campo neto:

E = Eext + Eint (2.21)

La magnitud y direccion del campo interno depende de cada substanciaen particular, ası como de su forma geometrica. Hay dos situaciones quepueden presentarse, segun que las partıculas cargadas en el interior de lasubstancia se encuentren libres o no. A las substancias del primer tipo se lasllama ”conductores”; a las del segundo, ”dielectricos”.

A) Conductores. Puesto que en los conductores las cargas se pueden moverlibremente, una situacion de equilibrio implica la no existencia de corrientes,luego el campo en el interior es nulo, luego, aplicado un campo externo, lascargas libres se reorganizan sobre la superficie del conductor, dando lugar aun campo Eint que superpuesto al campo aplicado dan un campo total nulo.Otra forma de expresar esto es diciendo que en el interior del conductor elpotencial es constante.

Es posible usar el mismo razonamiento que conduce a (20) para encontrarel campo en puntos proximos a la superficie del conductor. Para ello conside-ramos un cilindro cerrado cuya base es paralela a la superficie y se encuentranjusto bajo la misma. El otro extremo del cilindro se encuentra justo sobre lasuperficie. La altura del cilindro es muy pequena. Ahora bien, el campo hade ser perpendicular a la superficie. Si no lo fuera, existirıa una componentetangencial y habrıa corrientes superficiales, en contra de la hipotesis de equi-librio. Por tanto, el flujo que atraviese el cilindro ha de pasar a traves de las


dos circunferencias. Pero el flujo a traves de la base es nulo, porque el campoen el interior el conductor es nulo, ası que solo queda el flujo a traves de laparte superior. Por tanto:

E∆S =σ∆S

ε0(2.22)

es decir:

E =σ

ε0n (2.23)

Puede dar la impresion de que E es debido solo a la densidad σ, pero estono es ası: E es debido al sistema total de cargas, a consecuencia del cual hayen el punto considerado una densidad superficial; de hecho, en nuestro razo-namiento hemos considerado que el flujo en la cara inferior es nulo, aunqueel debido solo a la carga superficial no lo es. Entonces, hemos considerado elcampo total. Y sin embargo, este campo total se expresa en funcion solo dela carga superficial. Esta es una propiedad muy notable.

Al considerar ahora el campo externo Eext, un elemento ∆S de superficiese vera sometido a una fuerza

FS = σ∆SEext (2.24)

¿Cuanto vale Eext? En el razonamiento anterior calculamos el campo to-tal. Pero si calculamos el campo debido solo a la densidad superficial σ,entonces hemos de considerar el flujo a traves de las dos caras del cilindro, yobtenemos un campo que es exactamente la mitad. Por tanto, si conocemosel campo debido a la carga superficial y el campo total, y el primero es lamitad del segundo, esta claro que el campo exterior serıa la otra mitad delcampo total:

Eext =1

2

σ

ε0n (2.25)

y la fuerza sobre la unidad de superficie se calcula entonces facilmentecomo

fS =FS

∆S=

1

2

σ2

ε0n =

1

2ε0E

2n (2.26)

B) Dielectricos. En los dielectricos, la movilidad de las cargas es limita-da, y por tanto la separacion inducida por un campo externo tambien lo es.Aunque en lo posible queremos mantenernos en razonamientos macroscopi-cos, consideraremos en relacion con los dielectricos en primer lugar un modelo


de dipolo. Un dipolo es un conjunto de dos cargas de signo opuesto y valorq separadas por una distancia l. Colocamos la carga negativa en el origendel sistema de referencia, y la carga positiva sobre el eje y, a distancia l delorigen. Como el problema tiene simetrıa axial nos podemos limitar a calcularel campo creado por el dipolo en un punto P = (x, y) del plano. El potencialcreado por el conjunto de las dos cargas es

f =1

4πε0

q(r− − r+)

r−r+(2.27)

donde r− = (x, y) y r+ = (x, y − l). Es una pura cuestion algebraicaescribir los modulo de ambos vectores, sustituirlos en la ecuacion del potencialy obtener ası f(x, y), y a partir de ahı el campo electrico creado por el dipoloE(x, y). En el proceso, que vamos a omitir aquı, se puede suponer que P esun punto muy alejado del dipolo, de tal forma que r+, r− >> l. Tambien,dada la simetrıa del problema, se puede introducir el angulo θ que forma ladireccion desde el origen del punto P con el eje y. El resultado de los calculoses que

f =1

4πε0

p cos θ

r2=

1

4πε0

p · rr3

(2.28)

donde p es un vector de modulo ql y que va desde la carga negativa a lapositiva. Las proyecciones del campo electrico E = −∇f sobre la direccionradial y la direccion perpendicular a la misma son

Er =1

4πε0

2p cos θ

r3

Eθ =1

4πε0

p sin θ

r3(2.29)

Se ve que cuando un dipolo se introduce en un campo uniforme, la fuerzaque actua sobre el es

F = qE − qE = 0 (2.30)

Solo cuando el dipolo esta sometido a un campo no uniforme, de maneraque la fuerza sobre cada carga es distinta, existe una fuerza neta sobre eldipolo:

F = q(E+ − E−) (2.31)

Por otro lado, el trabajo realizado por el campo para llevar a una cargaq desde la posicion 1 a la posicion 2 es


∫ 2

1qE · dr = −q

∫ 2

1(∇f) · dr = q(f1 − f2) (2.32)

Si se toma convencionalmente el punto final como ∞, al trabajo realizadose le llama ”energıa potencial”. Vease que f(r = ∞) = 0, ası que la energıapotencial de una carga en un punto r es W = qf(r). La energıa potencial deldipolo es entonces

W = q(f+ − f−) (2.33)

pero f+ − f− es la variacion de f al movernos en la direccion del vectorp una distancia l. El cambio en una funcion escalar al movernos en unadireccion dada quedo establecido en la formula 72 de la sub-seccion 4.1 delcapıtulo anterior, de forma que:

W = q(∇f)l · l = −qll · E = −p · E (2.34)

La idea subyacente a la discusion anterior es que en un dielectrico some-tido a un campo, las cargas positivas y negativas de las moleculas se separanun poco (no mucho, porque las cargas no son libres y porque el campo in-terno de las moleculas es mucho mas intenso que el campo externo) y secomportan como dipolos. Si las distribuciones de densidad de cargas positi-vas y negativas, ρ+ y ρ− son constantes, la separacion conducira a cargas sincompensar solo en la superficie del dielectrico. Si las densidades no son cons-tantes, entonces apareceran cargas sin compensar en todo el volumen. Estasseparaciones microscopicas nos permiten definir un vector polarizacion porunidad de volumen de la siguiente forma: aislamos mentalmente un pequenovolumen ∆v, calculamos la suma vectorial de todos los momentos dipolarespi de cada molecula y dividimos por el volumen. Ası, se define el momentodipolar por unidad de volumen como

P =1

∆v

∑

i

pi (2.35)

Se ha comprobado experimentalmente para un gran numero de dielectri-cos que la polarizacion varıa linealmente con el campo aplicado. Se escribe:

P = χε0E (2.36)

donde a χ se le llama ”susceptibilidad dielectrica”, y es siempre mayorque cero.


2.2.4. Propiedad del vector P

Como hemos dicho, en un dielectrico existen densidades de cargas posi-tivas y negativas, ρ+ y ρ−, y cuando se aplica un campo externo, se produceuna separacion entre ambas. Si estas densidades no son constantes, en cadapunto resultara un exceso de densidad de carga ρ′ = ρ+ − ρ−. Pues bien, elvector P cumple la siguiente importante propiedad:

∇ · P = −ρ′ (2.37)

Demostracion: Sea un elemento de volumen del dielectrico limitado poruna superficie S, y sea dS un elemento de dicha superficie. Al aplicar elcampo, que suponemos dirigido en una direccion cualquiera hacia el exteriordel volumen, la carga positiva experimenta un desplazamiento l+ y la negativaun desplazamiento l−. Si α es el angulo que forma el campo aplicado y portanto el desplazamiento con la normal a la superficie, en direccion salienteatraviesa esta una cantidad de carga ρ′+l+ cosαdS, y en direccion entranteρ′−l− cosαdS. Pero el movimiento de una cantidad de carga negativa hacia elinterior del volumen equivale a un desplazamiento de una igual cantidad decarga positiva en sentido contrario, ası que se puede poner como flujo total:ρ′+(l+ + l−) cosαdS y esto se puede poner como P · dS. La cantidad de cargaque abandona S se obtiene integrando a todo el volumen, y debe ser igualal exceso de carga en el interior del volumen, con signo contrario, de maneraque

∫

SP · dS = −

∫

Vρ′dV = −q′ (2.38)

y aplicando el teorema de la divergencia, se tiene en forma diferencial

∇ · P = −ρ′ (2.39)

Todavıa hay una relacion entre el exceso de carga ρ′ inducida por el campoaplicado y la densidad de carga ρ de otro tipo que pueda estar presente. Enefecto, para dielectricos homogeneos se cumple (36), es decir

χ∫

Sε0E · dS = −q′ (2.40)

pero la integral es justamente la carga total contenida en el volumenencerrado por S, como muestra (16), luego

χ(q + q′) = −q′; q′ = − χ

1 + χq (2.41)


2.2.5. El vector D

De vuelta a (16), pero distinguiendo la carga total entre carga de excesopor polarizacion y ”otras cargas”, escribimos:

∫

Sε0E · dS = q + q′ (2.42)

El problema con esta expresion es que q′ depende de E pero a su vez Edepende de q′. Sin embargo, como q′ se puede escribir en funcion de P :

∫

S(ε0E + P )dS = q (2.43)

Introducimos el vector auxiliar D y escribimos, en forma diferencial,

∇ · D = ρ (2.44)

Para un dielectrico homogeneo:

D = ε0E + P = ε0E + χε0E = ε0εE (2.45)

con ε = 1+χ. Un comentario pertinente a proposito de (44) es que dichaecuacion nos indica que las fuentes de D son solo las cargas distintas de las depolarizacion. Luego las lıneas del campo D tienen sus fuentes y sumideros enlas cargas distintas de las de polarizacion. Ahora bien, esto no significa queel campo D este determinado solo por este tipo de cargas: esta determinadopor todas las cargas, al igual que E, con el que esta relacionado por (45).(44) expresa una propiedad de D, pero no dice como calcularlo.

2.2.6. Condiciones de contorno

Supongamos dos dielectricos 1 y 2 separados por una interfaz donde, paramayor generalidad, admitimos la existencia de una densidad de cargas libresσ. Las propiedades de E y D:

∫

CE · dl = 0 (2.46)

∫

SD · dS = q (2.47)

nos permiten encontrar condiciones que cumplen ambos al pasar del medio1 al 2. Apliquemos la primera considerando un pequeno circuito rectangularque comienza con un primer tramo dl1 en el medio 1, paralelo a la superfi-cie; despues, cruza la superficie y hace el camino de vuelta por el otro lado,


recorriendo un dl2 = −dl1. Finalmente, cruza de nuevo la superficie de sepa-racion y vuelve al punto de partida. Si los tramos donde se cruza la interfazson despreciables frente a los que van paralelos a ella, y si estos son a suvez tan pequenos que a lo largo de los mismos el campo se puede considerarconstante, es claro que la circulacion de E en ese circuito se puede escribir:

E1 · dl1 + E2 · dl2 = 0 (2.48)

o

(E1 − E2) · dl1 = 0 (2.49)

Es decir, que las proyecciones de E tangenciales a la superficie de sepa-racion son iguales a ambos lados:

E1t = E2t (2.50)

En general, las componentes normales no seran iguales, ya que el mismocampo aplicado crea polarizaciones distintas en 1 y 2 y por tanto campos depolarizacion distintos que se superponen al campo aplicado para dar campostotales distintos. En cuanto a D, tomando un cilindro de altura despreciabley caras paralelas a la interfaz, con una a cada lado, la ecuacion (47) nos diceque

D1 · ∆S1 + D2 · ∆S2 = σ∆S (2.51)

o, como ∆S2 = −∆S1:

(D1 − D2) · n∆S = σ∆S (2.52)

y se sigue que las componentes normales de D cumplen:

D1n −D2n = σ (2.53)

Una consecuencia de esto es que las lıneas del campo electrico E sufrenuna refraccion al pasar de un dielectrico a otro. En efecto, si α1 es el anguloque forma E con la normal a la superficie por el lado del dielectrico 1 y α2

el angulo por el lado del dielectrico 2, teniendo en cuenta que D = ε0εE,poniendo D1 = ε1E1 y D2 = ε2E2, y teniendo en cuenta tambien que enausencia de cargas libres D1n = D2n:

tanα1 =E1t

E1n

(2.54)

con expresion similar para α2, de donde


tanα1

tanα2

=ε1ε2

(2.55)

Por otro lado, si la interfaz separa un conductor de un dielectrico, sabemosque el campo E en el interior del conductor es nulo, y por tanto tambien loes D. Si el medio 2 es el conductor, la ecuacion (53) nos dice que Dn = σ.

Finalmente, consideremos el caso en que se ponen en contacto un conduc-tor cargado con una carga superficial σ con un dielectrico. Si el dielectrico eshomogeneo, aparecera una carga de polarizacion superficial σ′. De

∫

SE · dS =

q

ε0(2.56)

tomando un pequeno cilindro de altura despreciable y caras paralelas ala interfaz, una a cada lado, se sigue:

En =σ + σ′

ε0(2.57)

y como al mismo tiempo

En =Dn

εε0(2.58)

combinando ambas:

σ′ = −ε− 1

εσ (2.59)

y esto nos dice que hay una relacion definida entre la densidad de car-gas de polarizacion y la densidad de cargas libres. Este resultado tiene masimportancia de la que parece. Veamos por que.

Hemos dicho que el campo total E en el interior de un dielectrico esdifıcil de calcular, porque depende de las cargas de polarizacion, que a su vezdependen del campo que hay que calcular. Tambien hemos dicho que cuandolas densidades de carga ρ+ y ρ− en un dielectrico son constantes, entonces elexceso de carga de polarizacion aparece solo en la superficie del dielectrico.Pues bien: consideremos la situacion en que tenemos una serie de conductorescargados en el espacio vacıo que crean un campo E0. Cuando ese espacio serellena completamente con un dielectrico homogeneo, en las superficies decontacto entre conductores y dielectrico aparecen cargas superficiales σ′, detal forma que la densidad superficial en cada punto pasa de σ a σ+σ′ = σ/ε.Como esta relacion es valida en cada punto de cada superficie, quiere decirque no se altera la configuracion de E0, sino solo su magnitud:


E =1

εE0 (2.60)

Multiplicando por εε0 ambos lados, se sigue que D = D0. Ademas, po-demos calcular el campo de polarizacion. Combinando E = E ′ + E0, queP = χε0E y que E0 = εE, se sigue que

E ′ =1− ε

χε0P = − 1

ε0P (2.61)

Ademas, como el campo se reduce por la introduccion del dielectrico(E = E0/ε), y dicho campo deriva de un potencial f , se sigue tambien quef = f0/ε, e igualmente para las diferencias de potencial.

2.2.7. Energıa del campo electrico

Consideremos dos cargas iguales aisladas interaccionando solo entre ellas.Como consecuencia de las fuerzas mutuas que ejercen la una sobre la otrasufren desplazamientos dr1 y dr2, luego se realiza un trabajo

δA = F1 ·dr1+ F2 ·dr2 = F2 ·(dr2−dr1) = F2 ·dr = −(∇f) ·dr = −df (2.62)

donde r = r2− r1 es la posicion relativa de la carga 2 en un sistema fijo enla carga 1. Por tanto: el trabajo realizado por las dos fuerzas de interaccionentre dos cargas es igual al realizado por la fuerza que actua sobre una delas cargas en un sistema de referencia fijo en la otra. Si el desplazamiento esfinito, entonces, por el ultimo miembro de la ecuacion anterior, se tiene queel trabajo realizado es −∆f , que llamaremos W12:

−∆f = W12 (2.63)

donde W12 depende solo de la distancia entre las cargas 1 y 2. Este resul-tado se puede generalizar a un conjunto arbitrario de cargas. Por ejemplo,para tres cargas:

W = W12 +W13 +W23 (2.64)

que se puede poner como

W =1

2(W12 +W21) +

1

2(W13 +W31) +

1

2(W23 +W32) (2.65)

que se puede reorganizar ası:


W =1

2(W12 +W13) +

1

2(W21 +W23) +

1

2(W31 +W32) (2.66)

y finalmente escribir como

W =1

2

∑

i

Wi (2.67)

donde Wi es la energıa de interaccion de la carga i con el resto de cargas.Es obvio que este razonamiento no depende de que sea i = 3 y por tanto esvalido para cualquier numero de cargas. Como, ademas, Wi = qifi, ecuacion(32), queda finalmente

W =1

2

∑

i

qifi (2.68)

donde fi es el potencial creado en la posicion de qi por el resto de cargas.

Ejemplo: encontrar la energıa de interaccion de un sistema de cuatrocargas iguales q situadas en los vertices de un tetraedro regular de ladoa. Solucion: sobre cada carga actuan las otras tres, creando un potencialconjunto que es tres veces el que crearıa una sola, ya que estan las tres a lamisma distancia de la cuarta. Este potencial conjunto es

1

4πε0

3q

a(2.69)

La energıa total de interaccion sera

1

2× 4× 3q2

4πε0a=

1

4πε0

6q2

a(2.70)

En el caso de una distribucion continua de carga, la energıa es

W =1

2

∫

VρfdV (2.71)

Sin embargo, se ha de tener presente que esta expresion difiere cualitati-vamente de la expresion para el caso discreto. Y es que, dados dos cuerposcontinuos cargados,W no es simplemente la energıa de interaccion entre ellos,porque para cada carga elemental ρdV de un cuerpo es preciso considerar elpotencial de todos los elementos del otro cuerpo, pero tambien el potencial detodos los elementos del mismo cuerpo. Es decir, que para un cuerpo cargadoaislado, todavıa sera W 6= 0 debido a la interaccion entre sus propias partes.La ecuacion (71) puede ponerse en una forma interesante. En efecto


W =1

2

∫

VρfdV =

1

2

∫

V(∇ · D)fdV (2.72)

pero (∇ · D)f = ∇ · (fD) + E · D. Transformamos ahora la integral devolumen del primer termino del segundo miembro:

∫

V∇ · (fD)dV =

∫

SfD · dS (2.73)

S puede ser cualquier superficie arbitraria con tal de que encierre al sis-tema de cargas. Si hacemos esa superficie mas y mas grande, ella crece comor2, pero fD decrece como r−3, ası que la primera integral tiende a cero y soloqueda la segunda, pudiendo escribirse

W =1

2

∫

V(E · D) dV (2.74)

que es una expresion que contiene solo los campos, no las cargas.

2.2.8. Corriente

Cuando se aplica un campo a un conductor, se produce movimiento enlas cargas. La carga puede ser transportada por electrones o iones, en con-ductores metalicos, electrolitos, etc. Aquı nos restringimos al movimiento deelectrones en conductores metalicos. Si S es una superficie cualquiera en elinterior de un conductor al que se aplica un campo, se define la intensidad atraves de esa superficie como la carga que la atraviesa por unidad de tiempo:

i =dq

dt(2.75)

Esta carga que atraviesa S en la unidad de tiempo depende de dos facto-res: de la densidad de carga ρ y de la velocidad media u a la que se muevanlas cargas. Se define entonces el vector densidad de corriente como

j = ρu (2.76)

El flujo a traves de S en terminos de j se puede poner entonces como

i =∫

Sj · dS = −dq

dt(2.77)

donde el signo ’-’ proviene de que la normal a S, si es una superficiecerrada, se toma convencionalmente hacia afuera. Entonces, el flujo de j es lacarga que abandona el volumen encerrado por S. Aplicando el teorema de ladivergencia podemos escribir la ley diferencial para la densidad de corriente:


∇ · j = −∂ρ∂t

(2.78)

que se conoce como ”ecuacion de continuidad”.La ley de Ohm es un resultado experimental que afirma que, cuando se

establece una diferencia de potencial U entre los extremos de un conductor,la intensidad que circula es

i = U/R (2.79)

donde R es una constante que depende tanto del material conductor comode su geometrıa. Por ejemplo, cuando el conductor tiene forma de cable delongitud l y seccion s:

R = ρl

s(2.80)

A la constante ρ se le llama resistividad, y depende del material conductory de su temperatura 1.

Si aislamos mentalmente un cilindro de seccion dS y longitud dl cuyoeje es paralelo a j y a E, podemos expresar la intensidad de dos formasdiferentes:

jdS = i =U

R=

Edl

ρdl/dS=

1

ρEdS = σEdS (2.81)

e identificando los dos extremos: j = σE, donde a σ = 1/ρ se le llama”conductividad” 2. Y ya que las cargas se mueven en la direccion del campo,se puede escribir la relacion escalar anterior en forma vectorial:

j = σE (2.82)

Esta es conocida como ”forma diferencial” de la ley de Ohm, no por-que contenga diferenciales, sino porque es local: valida para cada punto delconductor. Ahora bien, es evidente que las fuerzas electrostaticas por sı mis-mas solo pueden dar lugar a una corriente transitoria, ya que la energıa decualquier sistema de cargas es una cantidad limitada al valor dado por (68).Por tanto, es preciso que existan otras fuerzas de naturaleza distinta quellamaremos E⋆. Entonces, reescribimos (82) como

1Usamos la misma letra, ρ con la que nos hemos referido a la densidad de carga, primero

porque la resistividad se ha designado tradicionalmente con esta letra, y segundo porque

con este significado solo la empleamos en esta parte y en un contexto en que no hay peligro

de confusion con otras partes del texto en que representa una densidad de carga.2Vale la misma observacion para σ que hemos hecho en la nota anterior para ρ.

2.3. Campo magnetico 45

j = σ(E + E⋆) (2.83)

Podemos integrar esta expresion entre dos puntos de un conductor rec-tilıneo. Si el conductor es delgado, podemos considerar a j paralelo a dl:

∫ 2

1

j

σ· dl =

∫ 2

1E · dl +

∫ 2

1E⋆ · dl (2.84)

Pero la primera integral es Ri mientras que el primer termino del segundomiembro es f2 − f1. Al segundo termino del segundo miembro le llamamos”fuerza electro-motriz”, o abreviadamente ”fem”, designandola mediante E :

E12 =∫ 2

1E⋆ · dl (2.85)

Ası que tenemos la generalizacion de la ley de Ohm:

Ri = f1 − f2 + E12 (2.86)

Esta es la ecuacion basica que permite resolver circuitos de corriente con-tinua. En particular, las reglas de Kirchoff permiten plantear un sistema deecuaciones en las intensidades que circulan por las diferentes ramas de uncircuito. No entraremos en esta materia.

Para terminar con esta seccion, haremos notar una relacion que sera utilen las paginas siguientes. En un hilo delgado, dl||v, y si se establece entresus extremos una diferencia de potencial, el campo es tambien paralelo adl: E||dl. Se demuestra entonces que jdV = idl. En efecto, existe la relacionescalar jdV = jdSdl = idl, y dado el paralelismo entre j y dl, se puede ponerjdV = idl.

2.3. Campo magnetico

Desde antiguo son conocidos los imanes y las substancias magneticas, yel hecho de que aparecen fuerzas entre ellas o entre ellas y algunos metales.Mas recientemente se descubrio la interaccion entre los imanes y las corrienteselectricas, o entre corrientes electricas. Todos estos experimentos permitieronformular la existencia de un tipo de interaccion distinta a la electrostatica yque actua tambien sobre las cargas. Aunque la razon profunda de estas inter-acciones es relativista, las propiedades del campo magnetico son conocidascon anterioridad a la formulacion de la teorıa de la relatividad, a partir deexperimentos, ası que podemos partir de estos experimentos en la exposicionque sigue.


2.3.1. Fuerza de Lorentz

Se comprueba que existe una fuerza que afecta a las cargas en movimiento,de forma que la fuerza total sobre una carga podra descomponerse en unaparte electrica y una parte magnetica. Esta ley de fuerza es

F = q[E + v × B] (2.87)

y como puede verse: a) depende de la velocidad y b) es perpendicular a lamisma, lo cual significa que el campo magnetico, que representaremos por B,no realiza trabajo sobre la carga. Pero la velocidad v dependera del sistemade referencia en que se mida, ası que distintos sistemas de referencia medirandistintos valores de la fuerza magnetica.

La otra parte de la cuestion es que cargas en movimiento crean camposmagneticos. Es decir: una carga en movimiento crea un campo magnetico,que ella misma no experimenta, y a su vez una carga que se mueve en uncampo magnetico, creado por otras cargas en movimiento, experimenta unafuerza. El campo magnetico creado por una carga en un punto r es

B =µ0q

4π

v × r

r3(2.88)

Esto significa que el campo magnetico decrece con el cuadrado de ladistancia, y que es siempre perpendicular al plano en que se mueve la carga.En el S.I. de unidades:

µ0

4π= 10−7H/m (2.89)

A B se le llama ”induccion magnetica” y se mide en Teslas. Recordandola ley de Coulomb (1):

B = µ0ε0[v × E] (2.90)

y como µ0ε0 es una cantidad muy pequena, se ve que a velocidades ordi-narias B << E. La razon por la cual el campo magnetico se hace evidente esporque en general la materia es electricamente neutra, de forma que, aunquepequena, la fuerza magnetica es la unica relevante en muchas situaciones.

2.3.2. Ley de Biot-Savart

Al igual que el campo electrico, el campo magnetico obedece al principiode superposicion: la induccion magnetica B creada por un conjunto de cargasen un punto es igual a la suma vectorial de las inducciones creadas por cadauna de ellas:


B =∑

i

Bi (2.91)

y como una corriente es un conjunto de cargas que se pueden suponermoviendose a la misma velocidad y en la misma direccion 3, esto permiteencontrar el campo creado por elementos de corriente, y, por integracion, lainduccion creada por corrientes finitas. A partir de la ley fundamental (88), siconsideramos un elemento de volumen dV que contiene una carga dq = ρdV ,la cual se mueve a velocidad v:

B =µ0

4π

j × r

r3dV (2.92)

donde j es la densidad de corriente. Particularizando a un hilo delgado deseccion dS cuyo vector tangente dl tiene la misma direccion que la velocidadde las cargas, tenemos que jdV = idl, de manera que tambien:

B =µ0i

4π

dl × r

r3(2.93)

Ejemplo: un hilo de longitud infinita que coincide con el eje z transportauna intensidad i. Calcular la induccion magnetica a una distancia b sobre eleje x. Solucion: el vector de posicion que va desde un elemento de corrientesituado en z al punto del eje x de coordenada b es r = (b, 0,−z), con r3 =(b2+ z2)3/2. El elemento de corriente es dl = (0, 0, dz), de forma que dl× r =(0, bdz, 0). Quiere decir que la induccion magnetica tiene la direccion del ejey, y valor:

dBy =µ0i

4π

bdz

(b2 + z2)3/2(2.94)

El campo total se encuentra integrando para z desde −∞ a ∞:

By =µ0i

2πb(2.95)

Ejemplo: una espira circular de radio a se encuentra sobre el plano xy, consu centro en el origen de coordenadas. Encontrar la induccion magnetica enun punto del eje z situado a distancia b. Solucion: sea un pequeno elementogenerico de la espira, y sea θ el angulo que forma su vector posicion con el ejex. Entonces, el vector que va desde este elemento de corriente al punto b deleje z es r = (−a cos θ,−a sin θ, b). Por otro lado, dl = adθ(− sin θ, cos θ, 0),de forma que dl× r = adθ(b cos θ, b sin θ, a). Al integrar para z desde 0 a 2π,

3Mas bien, a las que se puede atribuir una velocidad media, pero no queremos entrar

en estos detalles del transporte.


las componentes en x e y se anulan, y solo queda componente z. La inducciontotal se encuentra integrando en θ, y resulta:

Bz =µ0i

2

a2

(a2 + b2)3/2(2.96)

2.3.3. Propiedades de la induccion magnetica

Al calcular la divergencia de B, tenemos

∇ ·(

v × r

r3

)

= ∇(

1

r3

)

· (v × r) +1

r3∇ · (v × r) (2.97)

pero por calculo directo se ve que el resultado es nulo, de manera que

∇ · B = 0 (2.98)

Integrando esta expresion para un volumen V limitado por una superficiecerrada S y aplicando el teorema de la divergencia:

∫

SB · dS = 0 (2.99)

Esto quiere decir que el flujo que atraviesa cualquier superficie cerrada esnulo, lo cual quiere decir que el flujo entrante es igual siempre al flujo saliente,lo cual quiere decir que no existen ni sumideros ni fuentes de lıneas de campomagnetico; finalmente, eso quiere decir que no existen cargas magneticas.

La otra propiedad importante de la induccion magnetica es conocida comoLey de Ampere, y establece que la circulacion de B en un circuito sobre elque se apoya una superficie a traves de la que existe un flujo de corriente, es:

∫

CB · dl = µ0

∑

i

Ii (2.100)

donde las Ii son las intensidades que atraviesan la superficie, tomadascomo cantidades algebraicas, es decir, positivas si la direccion de la corrientees congruente con la regla de la mano derecha (el sentido de giro es el de lacirculacion) y negativas en caso contrario. Para la deduccion, algo farrago-sa, de esta ley, remitimos a la bibliografıa, y aquı la podemos tomar comola generalizacion de resultados experimentales. En la Figura 1, el circuitoesta dibujado en verde, con el sentido de circulacion que senala la flecha. Lascorrientes dibujadas en rojo son congruentes con la regla de la mano derecha,y por eso se toman como positivas, mientras que las dibujadas en azul sonnegativas.


Figura 1

Este resultado es especialmente util en algunos casos en que se presentanfuertes simetrıas.

Ejemplo: induccion magnetica a una distancia b de un hilo infinito. Solu-cion: por simetrıa, sabemos que las lıneas de campo son tangentes a circun-ferencias centradas en el hilo. Tomando como circuito una circunferencia deradio b:

2πbB = µ0i (2.101)

de donde

B =µ0i

2πb(2.102)

de acuerdo con (95).

Ejemplo: induccion magnetica en el eje de una bobina. Solucion: la si-metrıa del problema nos indica que B sera paralelo al eje. Tomando un cir-cuito rectangular uno de cuyos lados de longitud l se encuentre sobre el eje,y tomando el paralelo a este fuera de la bobina y muy alejado, para que


allı el campo se pueda considerar nulo, como la circulacion en los tramosperpendiculares es nula:

Bl = µ0Ni (2.103)

donde N es el numero de vueltas de espira en la longitud l. Por tanto

B = µ0N

li = µ0ni (2.104)

donde n es el numero de vueltas por unidad de longitud. No obstante serutil, la aplicacion de este resultado esta limitada a unos pocos casos, aunqueestos sean de interes. Vease como no es util en un caso tan simetrico comoel de la espira simple.

La ley de Ampere puede ponerse en forma diferencial recordando que

∫

B · dl =∫

S(∇× B) · dS = µ0

∫

Sj · dS (2.105)

de donde

∇× B = µ0j (2.106)

2.3.4. Fuerza y pares sobre conductores

A partir de la fuerza de Lorentz, podemos encontrar la fuerza sobre unelemento de corriente, y a partir de ahı, por integracion, la fuerza y el parsobre un elemento finito. En efecto, aislando un elemento de volumen dV quecontiene una densidad de carga ρ que se mueve con velocidad v:

dF = ρ(v × B)dV = (j × B)dV (2.107)

Pero para un elemento lineal de corriente, jdV = idl, de manera que

dF = i(dl × B) (2.108)

Ejemplo: fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos separadosuna distancia b, por los que circulan intensidades i1 e i2. Solucion: calculamosla fuerza sobre el hilo que conduce i2. El campo creado por i1 sobre unelemento en el hilo 2 situado a distancia b es el que da (95):

B =µ0i12πb

(2.109)

Entonces


dF

dl=µ0i1i22πb

(2.110)

donde hemos tenido en cuenta que B es perpendicular al hilo. En cuantoal momento ejercido sobre un pequeno circuito C de area S, es:

M =∫

C(r × dF ) (2.111)

El desarrollo de esta expresion es algo farragoso, y lo omitimos, perodamos el resultado:

M = pm × B (2.112)

donde pm es el momento magnetico del elemento, definido como

pm = i∫

dS (2.113)

2.3.5. Magnetismo en la materia

Al igual que las moleculas tienen momento dipolar electrico intrınseco,tambien tienen momento magnetico intrınseco (se puede pensar en los elec-trones como pequenas espiras de corriente alrededor del nucleo). En cadapunto del material, se define un vector magnetizacion J como el momentomagnetico por unidad de volumen:

J =1

∆V

∑

i

pm,i (2.114)

Si no existe una direccion preferente, los momentos individuales se com-pensan unos con otros. Cuando existe una direccion preferente, el materialmuestra magnetizacion. Esta magnetizacion es la misma que producirıa unadistribucion de corrientes. En un material homogeneo, perfectamente mag-netizado en una direccion, el sistema de corrientes forma circuitos, todosgirando en el mismo sentido, de forma que, en cualquier punto interior almaterial, cada circuito se compensa con los circuitos adyacentes. Queda sincompensar solamente una corriente superficial. En un material no homogeneoquedan sin compensar corrientes en el interior del material. Si implementase-mos en el vacıo estas corrientes, el resultado serıa equivalente al producidopor el momento magnetico intrınseco. Lo que ocurre es que a su vez estascorrientes dependen del vector B, ası que el calculo de B en el interior delvolumen no es directo: para conocer el campo necesitamos las corrientes,pero estas dependen del campo, que es desconocido. Llamaremos j′ a estascorrientes equivalentes.


2.3.6. Circulacion del vector J

Consideremos una superficie cualquiera S y su contorno C en el senode un material magnetico. Acudiremos a un razonamiento microscopico, yconsideraremos a cada atomo o molecula del material como una pequenaespira de superficie sm por la que circula una corriente im, dando un momentomagnetico pm. Calculemos el flujo de las corrientes equivalentes a traves deS. Cualquier circuito que corte la superficie sin incluir al contorno, lo hara endos puntos, una vez en sentido entrante y otra en sentido saliente, y por tantodara como resultado un flujo nulo. Solo quedan sin compensar las corrientesque atraviesan S una sola vez, y esas son las que abrazan al contorno C. Sea dlun segmento pequeno de ese contorno. Si en el material hay n moleculas porunidad de volumen, la corriente que atraviesa S en la longitud dl del contornoes di′ = nimdV , con dV = smdl cosα y siendo α el angulo que forma la normala los pequenos circuitos con dl. Entonces: di′ = nimsmdl cosα = npmdl cosα,pero esto es justamente J · dl. Finalmente, si integramos a todo el contorno:

∫

CJ · dl =

∫

Sj′ · dS (2.115)

pero la integral de circulacion sabemos que es la integral de superficie delrotacional, luego:

∫

CJ · dl =

∫

S(∇× J) · dS =

∫

Sj′ · dS = i′ (2.116)

y ası encontramos que

∇× J = j′ (2.117)

2.3.7. Vector H

Ası pues, la ley de Ampere aplicada a un material magnetico ha de in-corporar las corrientes equivalentes, y escribirse como

∫

CB · dl = µ0(i+ i′) (2.118)

Pero esta expresion no es util, porque las i′ dependen de B, que a su vezdepende de i′. Por eso escribimos:

∫

C

(

B

µ0

− J

)

dl = i (2.119)

Introducimos el vector auxiliar H = B/µ0 − J y tenemos la version paramedios magneticos de la ley de Ampere:


∫

CH · dl = i (2.120)

o en formato diferencial:

∇× H = j (2.121)

Si suponemos una dependencia lineal de J con H, de la forma J = χmH,entonces

H =B

µ0

− χmH (2.122)

de donde

B = µµ0H (2.123)

con µ = 1+ χm. A χm se le llama ”susceptibilidad magnetica”. Se puedever ahora que en un medio homogeneo, si no hay corrientes de conduccion jtampoco hay corrientes equivalentes j′. En efecto:

i′ =∫

Sj′ · dS =

∫

CJ · dl = χm

∫

CH · dl = i (2.124)

de manera que i′ = χmi y j′ = χmj. De aquı se ve que j′ = 0 si j = 0.

2.3.8. Condiciones de contorno

De manera similar a como hicimos con el campo electrico, ahora partire-mos de:

∫

CB · dS = 0 (2.125)

y∫

CH · dl = i (2.126)

para deducir condiciones de contorno. De la primera, tomando un pequenocilindro de altura despreciable y caras paralelas a la superficie de separacionde dos medios magneticos, despreciando el flujo en la superficie lateral:

B1n∆S −B2n∆S = 0 (2.127)

de donde B1n = B2n. De la segunda, tomando un pequeno circuito rec-tangular de lados dl paralelos a la interfaz y lados perpendiculares a la mismade longitud despreciable, se sigue


H1t −H2t = jn (2.128)

donde jn es la componente de la corriente de conduccion perpendicularal circuito considerado. Si esta densidad es nula, entonces H1t = H2t. Igualque en el caso de las lıneas de campo electrico, se puede ver aquı que existeuna refraccion.

2.3.9. Campo en un medio magnetico homogeneo

Hemos dicho que el campo B es debido tanto a las corrientes de conduc-cion como a las corrientes equivalentes originadas en el momento intrınsecomagnetico de los materiales. El problema es que esas corrientes son a su vezfuncion del campo. Hay un caso sin embargo en que se puede razonar sobrela configuracion total del campo, y es cuando el medio esta completamenteocupado por un material magnetico homogeneo.

Supongamos una zona del espacio que contiene solo corrientes de conduc-cion, que dan lugar a un campo B0. Si rellenamos el espacio circundante a losconductores con un material magnetico, no conductor, homogeneo e isotropo,aparecera una magnetizacion en su superficie, inducida por B0, que podemosatribuir a corrientes superficiales. Considerando un circuito que rodea a unconductor, que consideramos fino:

∫

CJ · dl = χm

∫

CH · dl = i′ = χmi (2.129)

Quiere decir que el campo de magnetizacion creado por i′ no difiere delcampo B0 mas que en una constante en cada punto. El campo total es en-tonces

B = B0 + B′ = (1 + χm)B0 = µB0 (2.130)

y ademas hay una relacion simple entre el campo de magnetizacion y J ,ya que

B′ = B − B0 = (1− 1

µ)B (2.131)

y como B = µµ0H y H = J/χm, se sigue B′ = µ0J .

2.3.10. Induccion magnetica

El fenomeno de la induccion, descubierto por Faraday en 1831, consisteen la aparicion de una corriente en una espira cerrada cuando varıa el flujo


de campo magnetico que la atraviesa. Esto delata la aparicion de una fuerzaelectro-motriz. Esta fem no depende de la forma como se consiguio el cambiode flujo, sino solo de la derivada:

E = −dΦdt

(2.132)

Es decir, el resultado es el mismo cuando el cambio se consigue moviendola espira, o alterando el campo B que la atraviesa, o ambas cosas a la vez.Ademas, se cumple la ley de Lenz: la corriente inducida es tal que crea uncampo cuyo flujo se opone al flujo que la causo. Esto explica el signo menosen la ecuacion anterior. La unidad de flujo es el Weber. Si la variacion en elflujo es 1Wb/s, entonces E = 1V . Si la espira no es simple, sino que contienen vueltas, entonces el flujo es n veces el flujo que atraviesa una espira simple.

El origen de E ası como su sentido se puede ver considerando un experi-mento en que un circuito rectangular tiene un lado deslizante. Cuando estese mueve con velocidad v aparece una fuerza de Lorentz sobre los electro-nes del conductor, que se ponen en circulacion. Esta corriente crea a su vezun campo magnetico, y se ve que el sentido de este es contrario al del queorigino el movimiento de los electrones. Aquı, el E⋆ de la ecuacion (85) esv × B, y se ve tambien que tiene sentido contrario al de la circulacion quedetermina la normal a la superficie de la espira. Se ve que

E =∫

CE⋆ · dl = −vBl = −dΦ

dt(2.133)

Un caso distinto ocurre cuando el area es fija y el cambio en el flujo vienepor el cambio en B. Como las dos unicas fuerzas posibles son qE y q[v × B]y la segunda no puede ser 4 , se concluye con que hay una fuerza electricatal que

∫

CE · dl = − d

dt

∫

SB · dS = −

∫

S

∂B

∂t· dS (2.134)

de donde

∇× E = −∂B∂t

(2.135)

que esta en aparente contradiccion con (9), que nos indica que ∇×E = 0.La contradiccion es solo aparente, porque allı considerabamos un campo elec-trostatico, y aquı no. El campo electrico total sera la suma del electrostaticoy del variable. Como el rotacional del electrostatico es nulo, la ecuacion an-terior es valida para el campo total.

4En el ejemplo del circuito con un lado deslizante, se ve que v = 0.


2.3.11. Autoinduccion e induccion mutua

Como el origen del cambio en el flujo es irrelevante, puede darse y se dade hecho el fenomeno en una espira aislada por la que circula una corrientevariable. Entonces, la variacion de la corriente crea una variacion en el flujo,que crea una E que se opone a la que crea la variacion del flujo. Entonces,al cerrar una espira abierta se induce una E que se opone al establecimientode la corriente. Al abrir el circuito, se induce una fem que tiende a hacer quecontinue la corriente.

Por otro lado, cuando se tienen dos espiras, el flujo que atraviesa una deellas depende de la corriente que atraviesa a la otra, y viceversa:

Φ1 = L12i2

Φ2 = L21i1 (2.136)

Es un hecho experimental, y calculos detallados lo pueden confirmar, queL12 = L21.

2.4. Bibliografıa

De entre la gran cantidad de bibliografıa, recomendamos aquı el excelente”Basic laws of electromagnetism”, de I. E. Irodov. La virtud de este libroes que tiene una coherencia logica perfecta y que no contiene innecesariasdistracciones. De un nivel algo superior, puede consultarse ”Campos y ondas

electromagneticos”, de P. Lorrain y Dale R. Corson.


1. Concepto de campo.

2. Campo electrico: de una carga y de una distribucion, discreta y conti-nua.

3. Rotacional y divergencia en una region libre de cargas. Ecuacion deLaplace.

4. Divergencia en una region que contiene cargas. Ecuacion de Poisson.

5. El campo electrico en la materia. Conductores y dielectricos.

6. Campo y fuerza superficial en un conductor.

2.6. Ejercicios 57

7. Dielectricos. Dipolo y momento dipolar.

8. Vector P . Propiedades. Vector D, propiedades.

9. Condiciones de contorno.

10. Energıa del campo electrico.

11. Corriente.

12. Campo magnetico. Fuerza de Lorentz. Ley de Biot-Savart. Campo crea-do por una distribucion de corriente.

13. Divergencia de B. Circulacion de B. Ley de Ampere.

14. Fuerzas y pares sobre conductores.

15. Magnetismo en la materia. Vector J . Circulacion de J .

16. Vector H. Condiciones de contorno.

17. Induccion magnetica y rotacional de E. Autoinduccion e induccion mu-tua.

2.6. Ejercicios

1. Dada una distribucion superficial uniforme de carga de densidad σ sobreel plano (x, y), calcular el campo electrico en el punto (0, 0, z).

2. Encontrar la energıa de interaccion de cinco cargas electricas q situadasen los vertices de un pentangono regular de lado a.

3. Encontrar el campo magnetico creado por un hilo de longitud l a unadistancia l medida por la perpendicular al hilo desde uno de sus extre-mos. Por el hilo circula una intensidad i. Usar el resultado para calcularel campo en el centro de una espira cuadrada de lado l.

4. Sean dos hilos paralelos y una espira rectangular, dos de cuyos lados, delongitud h, son paralelos a los hilos. Los otros dos lados tienen longitudw. ra es la distancia del hilo mas cercano a la espira al lado de estamas cercano a el. rb es la distancia del hilo mas alejado al lado de laespira mas cercano a el. Por los hilos circulan intensidades i, de sentidoscontrarios. Calcular la fuerza electro-motriz inducida en la espira.


Capıtulo 3

Sistemas electromecanicos

3.1. Motivacion

Consideremos una masa m sometida a una fuerza u moviendose en unadimension. Llamemos q a su coordenada. Ademas de u, sobre la masa actuaun resorte elastico de constante k y un amortiguador de friccion de constanteβ. Aplicando la ecuacion de Newton a esta masa tenemos que

mq = u− kq − βq (3.1)

o

u−mq − βq − kq = 0 (3.2)

Sea ahora un circuito RLC sencillo, de una sola malla, con una fuente dealimentacion que establece una ddp de u. Por el circuito circula una carga q.La ecuacion de este circuito es

u = Ldi

dt+Ri+

q

C(3.3)

reordenando y teniendo en cuenta que i = dq/dt:

u− Lq −Rq − q/C = 0 (3.4)

La semejanza es evidente: la bobina de autoinduccion L se correspondecon la inercia de la masa m. La resistencia se corresponde con el amortigua-dor, y el condensador con el resorte. Estas semajanzas permiten plantear lacuestion de si serıa posible tener una teorıa general que pudiese acomodarsistemas con partes mecanicas y electricas, de forma que pudiesen resolversesimultaneamente las partes electricas y mecanicas, mas la interaccion entre

59

60 3. Sistemas electromecanicos

ellas. Para ilustrar con un ejemplo lo que queremos decir, imagınese una cir-cuito RLC sencillo de una sola malla, alimentado mediante una ddp u, dondeel condensador de placas paralelas esta construido de la siguiente forma: ladistancia entre las placas no es fija, sino que una placa esta fija y la otrapuede acercarse o alejarse de la otra, mediante un muelle de constante k. Alcircular la corriente, se polariza el condensador, y la fuerza entre las placashace que estas se acerquen. Esta variacion en la capacidad influye en la co-rriente circulante y por tanto en la fuerza entre las placas del condensador,por lo que se altera su movimiento, lo cual altera a su vez su capacidad, quemodifica la corriente circulante, etc.

3.2. Hacia una teorıa unificada

En principio, la unificacion de la Mecanica con la Electricidad no pareceposible, a pesar de las evidentes semejanzas que se ven en las ecuaciones(1) y (2). El problema es que la Mecanica newtoniana es una teorıa vecto-rial, mientras que la teorıa de circuitos es una teorıa escalar. Ahora bien:la mecanica newtoniana tiene algunos serios inconvenientes, y debido a esoya en el siglo XVIII se buscaron formulaciones alternativas. Una de estasalternativas es la formulacion de Lagrange. La formulacion de Lagrange esya una formulacion escalar, igual que la de circuitos. Una vez situados enuna teorıa mecanica escalar, es facil sacar provecho de las semejanzas entresistemas mecanicos y electricos, y extenderla para incluir a los ultimos. Pero,¿cuales son los inconvenientes de la teorıa de Newton?

1) En primer lugar, es una teorıa vectorial, y esto implica que los pro-blemas se plantean en sistemas de referencia cartesianos, lo cual puede noser adecuado. Por ejemplo, la posicion de un pendulo simple viene dada deforma unıvoca por el angulo que forma con la vertical. Pero en la formulacionde Newton es imprescindible usar coordenadas cartesianas, que son dos si elmovimiento es en el plano.

2) En segundo lugar, es una teorıa que es solo valida en un tipo particularde sistemas llamados ”inerciales”. Cuando los sistemas no son inerciales, espreciso incluir fuerzas ficticias que hacen artificiosa la solucion.

3) En tercer lugar, en la ecuacion de Newton, F = ma, F es la resultantede todas las fuerzas que actuan sobre la masam. Algunas de esas fuerzas pue-den ser desconocidas, y entran en el problema como incognitas, complicandola solucion. Por ejemplo, sobre la masa de un pendulo actua la gravedad,pero tambien la tension del hilo, que a su vez depende del movimiento de lamasa.

4) Es una formulacion adecuada para sistemas de partıculas, pero poco

3.3. Mecanica de Lagrange 61

adecuada para solidos y sistemas continuos. En la formulacion de Newton,cada uno de los cuerpos se aisla mentalmente, se hace recuento de todaslas fuerzas que actuan sobre el y se escribe su ecuacion del movimiento. Sihay n cuerpos este proceso se repite n veces para obtener un sistema de necuaciones. Pero un solido continuo contiene una infinidad de partıculas, y esevidente entonces que la solucion no es factible a menos que se introduzcanhipotesis adicionales. Estas hipotesis fueron introducidas por Newton, y sonel principio de accion y reaccion y el que las fuerzas entre partıculas seancentrales.

La mecanica de Lagrange resuelve todos estos inconvenientes:1) Pueden usarse aquellas coordenadas que mejor describan la confi-

guracion del sistema. En el caso del pendulo, basta usar el angulo θ: elprocedimiento de Lagrange da entonces una sola ecuacion en θ.

2) Es valida en cualquier sistema de referencia, inercial o no. No es precisopor tanto inventar fuerzas ficticias.

3) Las fuerzas desconocidas, como tensiones y, en general, las fuerzasque limitan el movimiento, quedan excluidas de la formulacion del problema.No es preciso preocuparse por ellas. Al mismo tiempo, si se desea, puedencalcularse despues.

4) El metodo de Lagrange se aplica a sistemas completos: no es precisoindividualizar cada parte y razonar sobre ella. De hecho, las ecuaciones delmovimiento se obtienen a partir de una cantidad escalar T que es funcionsolo de las coordenadas elegidas para representar la posicion del sistema. Enel caso del pendulo, no es preciso conocer la tension de la cuerda y T es unafuncion solo de θ.

3.3. Mecanica de Lagrange

3.3.1. Principio de D’Alembert

La Mecanica lagrangiana es una formulacion radicalmente diferente de lamecanica, y muy distinta de la Mecanica de Newton. No es entonces extranoque parta de un principio radicalmente diferente. Este principio es el de lostrabajos virtuales de D’Alembert, que establece que, para un sistema demasas mi sometidas cada una de ellas a fuerzas resultantes Fi, se cumple que

∑

i

(Fi −miai) · δri = 0 (3.5)

A primera vista, este principio no difiere de la ecuacion de Newton, eincluso parece que se deduce de el, porque, si la ecuacion de Newton nos


dice que Fi − miai = 0, sea lo que sea que signifique δri, es claro que dela ecuacion de Newton se deduce el principio de D’Alembert. Pero no es

ası. El motivo principal es que en la ecuacion de Newton la fuerza Fi esla resultante de todas las fuerza que actuan sobre mi, incluidas las fuerzasque, de alguna manera, restringen el movimiento de mi. Por ejemplo, laecuacion de Newton, en el caso del pendulo, incluye la tension de la cuerda,responsable de que el movimiento transcurra de tal forma que la distancia dela masa del pendulo al punto de suspension permanezca constante. O, porejemplo, cuando una masa se mueve sobre una superficie plana, existe unafuerza que el plano ejerce sobre la masa, de manera que el movimiento deesta queda restringido al plano. A estas fuerzas que restringen el movimientose las llama ”fuerzas de ligadura”. Pero en el principio de D’Alembert Fi esla resultante de las fuerzas que actuan sobre mi, excluidas las fuerzas deligadura. Por tanto, de la ecuacion de Newton no puede deducirse el principiode D’Alembert o ”principio de los trabajos virtuales”, y debe considerarseun principio independiente.

Una vez establecido que es Fi, es preciso ver que es δri. Son ”despla-zamientos virtuales”. Un desplazamiento virtual es la diferencia entre dosmovimientos reales posibles. Veamoslo con un ejemplo. Una masa m se mue-ve sobre una superficie. Desde un punto de esa superficie,m puede moverse enun plano tangente a la misma. La diferencia de dos vectores desplazamientoen el plano tangente es otro vector en el plano tangente. Por tanto, en es-te caso, los desplazamientos virtuales coinciden con desplazamientos reales.Imaginemos ahora que la superficie se mueve con una velocidad u. El des-plazamiento d1 de la masa es la composicion de su desplazamiento sobre lasuperficie, dr1 mas el desplazamiento de la superficie en el intervalo de tiem-po dt que haya llevado dr1, y vale udt, ası que d1 = dr1 + udt. De la mismaforma, otro movimiento posible es d2 = dr2 + udt. El desplazamiento virtuales en este caso d1 − d2 = dr1 − dr2. Coincide con el caso anterior, solo queahora la superficie estaba en movimiento. Es como si el tiempo hubiese sido”congelado”; como si el movimiento virtual se produjese a t = constante.

3.3.2. Coordenadas generalizadas

El concepto de coordenada generalizada no entra directamente en la for-mulacion vectorial de la Mecanica. Por contra, ocupa un lugar central en laMecanica Analıtica, que es una ciencia que reduce los problemas del movi-miento de los cuerpos a la aplicacion ordenada de procedimientos algebraicos.Lagrange (1736-1813) lo expreso ası en su Mechanique Analitique de 1788:


Ya existen diversos tratados de Mecanica, pero el programa de

este es completamente nuevo. Me he planteado la tarea de reducir

tanto la teorıa como el arte de resolver los problemas concernien-

tes a esta Ciencia a formulas generales cuya simple aplicacion

de todas las ecuaciones necesarias para obtener la solucion de

cada problema.

Mas aun:

No se encontraran figuras en esta obra. Los metodos que aquı ex-

pongo no requieren ni imagenes ni razonamientos geometricos o

mecanicos, sino tan solo operaciones algebraicas sujetas a un pro-

ceso regular y uniforme.

Consideremos un sistema de N partıculas, cada una de las cuales tiene, enel espacio euclıdeo tridimensional, coordenadas ri. Nuestro problema consisteen encontrar ri(t), es decir, encontrar 3N funciones del tiempo. Definiremoslas coordenadas generalizadas qi como el mınimo conjunto de n variables enfuncion de las cuales pueden escribirse los ri:

ri = fi(q1, · · · , qn, t) (3.6)

A este numero mınimo le llamaremos grados de libertad del sistema. Porejemplo, la posicion de un pendulo ideal puede darse en funcion del anguloque forma con la vertical: n = 1, q1 = θ. La posicion de un punto materialsobre una superficie f(x, y, z) puede especificarse mediante el par q1 = x,q2 = y, y en este caso n = 2. Ocasionalmente, el conjunto de coordenadasgeneralizadas adecuadas para un problema en concreto puede coincidir conlas coordenadas cartesianas de una o varias de las partıculas que constituyenel sistema, aunque esto no es lo habitual. En el movimiento de un plane-ta alrededor del Sol, pueden usarse coordenadas cartesianas, pero son masadecuadas las coordenadas polares. Como ultimo ejemplo, consideremos unsolido rıgido. Su posicion en el espacio puede darse mediante las coordenadasde su centro de masas y tres angulos que especifican su orientacion: es unsistema con seis grados de libertad.

Aplicando los principios de la Mecanica Analıtica encontraremos el con-junto de ecuaciones diferenciales ordinarias:

qi = fi(q1, · · · , qn, q1, · · · , qn, t) (3.7)

La solucion de este conjunto de ecuaciones se considera como la soluciondel problema y normalmente no se requiere la obtencion de las coordenadascartesianas.


3.3.3. Ecuaciones de Lagrange

Escribiremos el principio de D’Alembert en funcion de las coordenadasgeneralizadas qi. Veamos para ello que:

δri =∑

j

∂ri∂qj

δqj (3.8)

y transformemos cada uno de los terminos en la formulacion original. Enprimer lugar:

∑

i

Fiδri =∑

i

Fi

∑

j

∂ri∂qj

δqj =∑

j

(

∑

i

Fi∂ri∂qj

)

δqj =∑

j

Qjδqj (3.9)

donde hemos introducido las fuerzas generalizadas Qj. Por otro lado:

∑

i

miaiδri =∑

i

mid ˙ridtδri =

∑

i

d

dt(mi ˙riδri)−

∑

i

mi ˙rid

dtδri (3.10)

Para el primer termino:

d

dt

∑

i

mi ˙riδri =d

dt

∑

i

mi ˙ri∑

j

∂ri∂qj

δqj (3.11)

Ahora bien:

∂ri∂qj

=∂ ˙ri∂qj

(3.12)

En efecto:

dridt

=∑

j

∂ri∂qj

qj +∂ri∂t

(3.13)

y de esta ultima se sigue la anterior. Por tanto, el primer termino queda:

d

dt

∑

j

(

∑

i

mi ˙ri∂ ˙ri∂qj

)

δqj =d

dt

∑

j

∂

∂qj

(

∑

i

1

2mi ˙ri

2

)

δqj (3.14)

Para el segundo:


∑

i

mi ˙rid

dtδri =

∑

i

mi ˙rid

dt

∑

j

∂ri∂qj

δqj

=∑

i

mi ˙ri∑

j

d

dt

(

∂ri∂qj

)

δqj

=∑

i

mi ˙ri∑

j

(

∑

k

∂2ri∂qj∂qk

qk +∂2ri∂qj∂t

)

δqj

=∑

i

mi ˙ri∑

j

∂

∂qj

(

∑

k

∂ri∂qk

qk +∂ri∂t

)

δqj

=∑

i

mi ˙ri∑

j

∂ ˙ri∂qj

δqj

=∑

j

∑

i

mi ˙ri∂ ˙ri∂qj

δqj

=∑

j

∂

∂qj

(

∑

i

1

2mi ˙ri

2

)

δqj (3.15)

Definamos el escalar T como

T =∑

i

1

2mi ˙ri

2(3.16)

al que llamaremos Energıa Cinetica. Si ahora reunimos todas las piezas,podemos escribir el principio de D’Alembert en funcion de las coordenadasgeneralizadas:

∑

j

[

d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj−Qj

]

δqj = 0 (3.17)

En esta version del principio de D’Alembert, toda la informacion sobre elsistema se encuentra sintetizada en el escalar T , y todas las fuerzas aplicadas,en las fuerzas generalizadas Qj. Si las coordenadas qj son realmente coorde-nadas generalizadas, es decir, el mınimo numero de parametros en funcionde los cuales puede expresarse la posicion de cualquier punto del sistema, noexistiran relaciones funcionales entre ellas, y las δqj seran independientes, loque conduce a las n ecuaciones del movimiento

d

dt

∂T

∂qj− ∂T

∂qj−Qj = 0 (3.18)

para j = 1, · · · , n.


3.3.4. Procedimiento y ejemplos

El procedimiento para encontrar las ecuaciones del movimiento (18) sepuede entonces resumir en los siguientes puntos:

1. Escribir T en funcion de las coordenadas cartesianas.

2. Transformar la expresion, escribiendo las coordenas cartesianas y susderivadas en funcion de las coordenadas generalizadas elegidas.

3. Calcular las Qj.

4. Aplicar (18) para cada coordenada generalizada.

Ejemplo: ecuaciones del movimiento de una partıcula de masa m que semueve en el plano xz bajo la accion de la gravedad. Solucion: la energıacinetica es

T =1

2m(x2 + z2) (3.19)

Como hay dos grados de libertad, necesitamos dos coordenadas generali-zadas. Estas pueden ser las mismas coordenadas cartesianas, con lo cualnos ahorramos el paso 2). En cuanto a las fuerzas generalizadas, la unicafuerza activa es la de la gravedad, de componentes g = (0,−g). Las fuerzasgeneralizadas son entonces:

Qx = g · ∂r∂x

(3.20)

y

Qy = g · ∂r∂y

(3.21)

siendo r = (x, y). Entonces ∂r/∂x = (1, 0) y ∂r/∂z = (0, 1). De aquı Qx =0 y Qz = −g. Las dos ecuaciones del movimiento son:

d

dt

∂T

∂x− ∂T

∂x−Qx = 0 (3.22)

y

d

dt

∂T

∂z− ∂T

∂z−Qz = 0 (3.23)

que se reducen a:


mx = 0

mz = −g (3.24)

Ejemplo: movimiento de un pendulo simple de longitud l y masa m so-metido a la gravedad. Lo suponemos contenido en el plano xz, con el eje zdirigido verticalmente hacia abajo. Solucion: es evidente que basta saber elangulo θ que forma el hilo con el eje vertical para determinar la posicion delpendulo, luego usaremos θ como unica coordenada generalizada. La energıacinetica es

T =1

2m(x2 + z2) (3.25)

y en funcion de θ:

x = l sin θ

z = l cos θ (3.26)

de donde

x = lθ cos θ

z = −lθ sin θ (3.27)

con lo cual queda:

T =1

2ml2θ2 (3.28)

Como solo hay una coordenada generalizada, solo hay una ecuacion, ysolo una fuerza generalizada Qθ, que es

Qθ = g · ∂r∂θ

(3.29)

con g = (0,mg) y r = (l sin θ, l cos θ). Derivando:

∂r

∂θ= (l cos θ,−l sin θ) (3.30)

Finalmente

Qθ = −mlg sin θ (3.31)


La unica ecuacion del movimiento es

d

dt

∂T

∂θ− ∂T

∂θ−Qθ = 0 (3.32)

es decir:

ml2θ +mgl sin θ = 0 (3.33)

Ejemplo: una barra rıgida de longitud l y masam se encuentra en el planovertical, apoyada en el suelo y en una pared que forma angulo recto con elsuelo; se supone que no hay rozamiento. Si se abandona desde una posicioncualquiera, la barra se desliza y cae. Encontrar la ecuacion del movimiento.Solucion: hay una sola ecuacion del movimiento porque hay solo una coorde-nada generalizada, que puede ser el angulo θ que forma la barra con el suelo.Pero hay una infinidad de elementos de masa, ası que la energıa cinetica totalse encuentra sumando las energıas de todos los elementos. Sea uno de estoselementos, situado a una distancia s del extremo inferior de la barra. Lascoordenadas de este elemento son

xs = (l − s) cos θ

zs = s sin θ (3.34)

Si la longitud del elemento es ds, su masa es λds, y su energıa cinetica

dTs =1

2λds(x2s + z2s) (3.35)

Derivando (34), sustituyendo en (35) e integrando desde s = 0 a s = l,tenemos la energıa total:

T =1

6ml2θ2 (3.36)

La fuerza sobre el elemento λds es g = (0,−λgds) y ∂r/∂θ = (−(l −s) sin θ, s cos θ). De aquı, dQθ = −λg cos θsds. Integrando desde s = 0 as = l, se tiene que Qθ = −1

2mgl cos θ. Aplicando (18) y tras simplificar un

poco se encuentra la ecuacion del movimiento de la barra:

θ +3g

2lcos θ = 0 (3.37)


3.3.5. Sistemas con funcion potencial

Puede suceder que las fuerzas aplicadas al sistema deriven de una funcionpotencial, es decir, que exista una funcion U(q1, · · · , qn) tal que:

Fi = −∂U∂ri

(3.38)

En este caso, las fuerzas generalizadas adoptan la forma sencilla:

Qj =∑

i

Fi∂ri∂qj

= −∑

i

∂U

∂ri

∂ri∂qj

= −∂U∂qj

(3.39)

Las ecuaciones (18) pueden escribirse entonces en la forma:

d

dt

∂L

∂qj− ∂L

∂qj= 0 (3.40)

donde hemos introducido la funcion L = T − U , conocida como funcion

de Lagrange, o simplemente Lagrangiana. Esta funcion dependera en generalde las coordenadas y velocidades generalizadas, y posiblemente del tiempo:bien porque la energıa potencial dependa del tiempo, bien porque las rela-ciones ri(q1, · · · , qn, t) lo contengan, bien por ambas causas a la vez. Cuandolas ecuaciones del movimiento pueden escribirse en esta ultima forma, querecordemos son ecuaciones diferenciales de segundo orden en las coordenadasgeneralizadas, es posible averiguar las circunstancias en que existen integralesprimeras, que pueden usarse para resolver las ecuaciones del movimiento.

En primer lugar, veamos que cuando una coordenada qj no aparece explıci-tamente en la Lagrangiana:

d

dt

∂L

∂qj= 0 (3.41)

lo que implica que la cantidad

pj =∂L

∂qj(3.42)

es una constante. A pj se le llama momento generalizado.En segundo lugar, procedamos a calcular la derivada respecto al tiempo

de la Lagrangiana:

dL

dt=∑

j

(

∂L

∂qjqj +

∂L

∂qjqj

)

+∂L

∂t(3.43)

Pero usando (41),


dL

dt=∑

j

d

dt

(

qj∂L

∂qj

)

+∂L

∂t(3.44)

Intercambiando en el segundo miembro derivada y sumatoria:

d

dt

L−∑

j

pj qj

=∂L

∂t(3.45)

De manera que cuando L no es funcion explıcita del tiempo, resulta quela cantidad

h = L−∑

j

pj qj (3.46)

es constante. De esta forma, una de las velocidades puede expresarse enfuncion de las coordenadas y velocidades restantes.

3.3.6. Fuerzas disipativas

En general, actuaran sobre los sistemas fuerzas que deriven de un potencialy fuerzas que no deriven de un potencial. Designando estas ultimas por Q∗

j ,es evidente que:

d

dt

∂L

∂qj− ∂L

∂qj= Q∗

j (3.47)

Por otro lado, pueden existir fuerzas de rozamiento dependientes de lavelocidad, de la forma

Fi = −k ˙ri (3.48)

Las fuerzas generalizadas se escriben entonces como:

Qj =∑

i

Fi∂ri∂qj

= −∑

i

k ˙ri∂ri∂qj

= −∑

i

k ˙ri∂ ˙ri∂qj

= −∂F∂qj

(3.49)

donde hemos introducido la funcion de disipacion de Rayleigh F :

F =∑

i

1

2k ˙ri

2(3.50)

3.4. Sistemas electromecanicos 71

Para tales sistemas, donde parte de las fuerzas derivan de un potencial yotra parte son fuerzas disipativas, las ecuaciones del movimiento son:

d

dt

∂L

∂qj− ∂L

∂qj+∂F∂qj

= 0 (3.51)

3.4. Sistemas electromecanicos

A continuacion trazaremos el paralelismo entre los sistemas electricos ylos sistemas mecanicos, veremos la forma de escribir la ”energıa cinetica”para los sistemas electricos, como calcular las ”fuerzas generalizadas” y con-secuentemente como calcular las ”ecuaciones del movimiento”. Finalmente,ilustraremos el procedimiento con algunos ejemplos.

3.4.1. Coordenadas generalizadas

En un circuito formado por una serie de ramas, las coordenadas gene-ralizadas son las cargas qj que circulan por cada rama. Ahora bien, en elpaso de (17) a (18) hemos supuesto que todas las coordenadas generalizadasson independientes. Usualmente, en los circuitos electricos esto no sucede ası,porque en cada nudo, que son los puntos en que confluyen tres o mas ramas,ha de suceder que la suma de las intensidades entrantes iguale a la suma delas intensidades salientes. Esta condicion constituye una ecuacion, que pue-de usarse para escribir una de las qj en funcion de las demas. Aplicando elmismo procedimiento a todos los nudos, se pueden eliminar las coordenadassuperfluas.

3.4.2. Energıa cinetica

La energıa cinetica de una masa que se mueve en una dimension es

T =1

2mq2 (3.52)

La energıa cinetica de una serie de masas mi con coordenadas ri es

T =1

2

∑

i

mi ˙r2i (3.53)

Cuando las ri son funciones de las coordenadas generalizadas (no consi-deramos el caso en que son funciones tambien del tiempo) tenemos que


˙ri =∑

j

∂ri∂qj

qj (3.54)

y

˙r2i =

∑

j,k

(

∂ri∂qj

)(

∂ri∂qk

)

qj qk =∑

j,k

Aij,kqj qk (3.55)

de forma que la energıa cinetica es

T =∑

j,k

∑

i

1

2miA

ij,kqj qk =

1

2

∑

j,k

Mj,kqj qk (3.56)

Ahora, el paralelo electrico: La energıa magnetica en una bobina de au-toinduccion L por la que circula una intensidad i = q es

T =1

2Lq2 (3.57)

(57) es el equivalente de (52). La energıa magnetica de una serie de bobi-nas con coeficientes de induccion Lj y de induccion mutua Mj,k (Mj,j = Lj)por las que circulan intensidades ij = qj es

T =1

2

∑

j,k

Mj,kqj qk (3.58)

(58) y (56) tienen exactamente la misma forma.

3.4.3. Energıa potencial

En un circuito electrico, la ”energıa potencial” se encuentra en dos sitios:en las fuentes de voltaje y en los condensadores. En el campo de la gravedad,la energıa potencial de un cuerpo situado a altura q (el eje q esta dirigidohacia arriba) es u = mgq. La energıa suministrada por una fuente de voltajeu es uq. Por otro lado, la energıa almacenada en un resorte de constante k es

1

2kq2 (3.59)

y la energıa almacenada en un condensador de capacidad C es

1

2

q2

C(3.60)

(59) y (60) tienen exactamente la misma forma. En general, la ”energıapotencial” de una malla que contiene r condensadores y s fuentes de voltajees


U =∑

r

1

2

q2rC

−∑

s

usqs (3.61)

3.4.4. Fuerzas generalizadas

Comparando (18) y (51), se ve que las fuerzas generalizadas Qj, cuandohay fuerzas aplicadas que derivan de un potencial y fuerzas disipativas, sepueden poner como

Qj = −∂U∂qj

− ∂F∂qj

(3.62)

En los sistemas electricos, U viene dada por (61) y se toma

F =1

2

∑

p

Rpq2p (3.63)

cuando se tiene un sistema de p resistencias Rp por las que circulan cargasqp.

3.4.5. Seleccion de ejemplos

Mostramos a continuacion una serie de ejemplos. Para hacerlos mas ilus-trativos, algunos los resolveremos por duplicado: una vez por los mediosconvencionales y otra usando el formalismo lagrangiano. Se vera que esteformalismo no parece muy ventajoso: esto se debe a que los ejemplos queelegimos son sencillos: no son difıciles de resolver ni por un medio ni porotro. Posteriormente, consideraremos algun ejemplo mas complejo, y algunoen que el sistema contiene partes electricas y partes mecanicas.

Ejemplo 1: Resolver el circuito de la Figura 1.a) Metodo convencional. Solo hay una malla, por tanto una corriente.

Recorriendo la malla u− iR = 0, de donde obtenemos la intensidad i = u/R.b) Metodo lagrangiano. La ”energıa cinetica” es nula, porque no hay

autoinducciones. La ”energıa potencial” es U = −uq y la funcion de RayleighF = (1/2)Rq2. La unica ecuacion de Lagrange es

0 = −∂U∂q

− ∂F∂q

(3.64)

de donde u = Rq = Ri.

Ejemplo 2: Resolver el circuito de la Figura 2.


Figura 1

a) Metodo convencional. Igualando las subidas y bajadas de potencial alo largo de la malla:

u = Ri+ Ldi

dt= Rq + Lq (3.65)

b) Metodo lagrangiano. La energıa cinetica esta asociada a la bobina, yes

T =1

2Lq2 (3.66)

La ”energıa potencial” a la fuente, y es

U = −uq (3.67)

y la funcion de Rayleigh es

F =1

2Rq2 (3.68)

La unica ecuacion de Lagrange es

d

dt

∂T

∂q− ∂T

∂q= −∂U

∂q− ∂F

∂q(3.69)

Efectuando las operaciones, encontramos u = Rq+Lq, de acuerdo con elmetodo convencional.

Ejemplo 3: Resolver el circuito de la Figura 3.


Figura 2

Figura 3

a) Metodo convencional. Igualando ganancias y perdidas de potencial enun recorrido de la malla:

u = Lq + q/C (3.70)

b) Metodo lagrangiano: T = (1/2)Lq2, F = 0 y U = −uq + (1/2)q2/C.Hay una unica ecuacion. Efectuando las operaciones: u = Lq + q/C.

Ejemplo 4: Resolver el circuito de la Figura 4.La ”energıa cinetica” esta asociada tanto a las autoinducciones como a la

induccion mutua entre ambas bobinas:

T =1

2L1q

21 +

1

2L2q

22 + L12q1q2 (3.71)


Figura 4

La ”energıa potencial” es

U = −uq1 (3.72)

y la funcion de Rayleigh

F =1

2Rq22 (3.73)

Las dos ecuaciones son

d

dt

∂T

∂q1= −∂U

∂q1− ∂F∂q1

(3.74)

y

d

dt

∂T

∂q2= −∂U

∂q2− ∂F∂q2

(3.75)

Efectuando las operaciones:

u = L1q1 + L12q2

0 = Rq2 + L2q2 + L12q1 (3.76)

Ejemplo 5: Resolver el circuito de la Figura 5.La ”energıa cinetica”, ”energıa potencial” y funcion de Rayleigh son

T = 0 (3.77)


Figura 5

U = −u1q1 + u2q2 +1

2

q23C

(3.78)

y

F =1

2R1(i1 − i2)

2 +1

2R2(i3 − i2)

2 (3.79)

Ahora hay dos ecuaciones como (74) y (75) y otra adicional para la terceracarga. Efectuando las operaciones:

u1 = R1(q1 − q2)

u2 = R1(q1 − q2) +R2(q3 − q2)

0 = −q3/C −R2(q3 − q2) (3.80)

3.4.6. Un sistema mixto

El sistema de la Figura 6 contiene una parte mecanica y una electrica.El circuito esta excitado por una senal senoidal u = u0 sinωt y del mismo

forma parte un condensador, una de cuyas placas esta sostenida por un re-sorte de constante k. En la posicion de equilibrio, la separacion entre placases s. La capacidad es una funcion de x, separacion de la placa superior de laposicion de equilibrio, de la forma:

C =A

s− x(3.81)


Figura 6

La masa de la placa superior del condensador es m. Ahora, la energıacinetica contiene dos terminos, uno correspondiente a la bobina y otro almovimiento de m:

T =1

2Lq2 +

1

2mx2 (3.82)

La energıa potencial contiene tambien dos terminos. Una parte electrica,que incluye a la fuente y al condensador, y una parte mecanica, que incluyeal resorte k:

U = −u0q sinωt+1

2

q2(s− x)

A+

1

2kx2 (3.83)

La funcion de disipacion es debida a la resistencia:

F =1

2Rq2 (3.84)

Hay dos ecuaciones, una para la carga circulante y otra para la coor-denada x de la parte mecanica. La obtencion de las ecuaciones del sistemaes inmediata y ya pone de manifiesto la potencia del metodo que hemospresentado:

Lq +Rq + q(s− x)/A = u0 sinωt

mx+ kx− q2/(2A) = 0 (3.85)

3.5. Sistemas lineales 79

3.5. Sistemas lineales

La mayorıa de los ejemplos que hemos ido encontrando dan como re-sultado ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales, donde aparecen ciertasincognitas y sus derivadas respecto al tiempo, multiplicadas por constantes.Ademas, pueden aparecer funciones del tiempo en terminos adicionales (nomultiplicando a las incognitas). Todos estos sistemas se pueden escribir de lamisma forma:

˙x = Ax+Bu (3.86)

Por ejemplo, si consideramos la ecuacion (1):

q +β

mq +

k

mq = u (3.87)

e introducimos las variables de estado

x1 = q

x2 = q (3.88)

es claro que

x1 = x2

x2 = u− k

mx1 −

β

mx2 (3.89)

que en formato matricial se puede escribir:

[

x1x2

]

=

[

0 1−k/m −β/m

] [

x1x2

]

+

[

01

]

u (3.90)

La tecnica es general: una ecuacion diferencial ordinaria lineal en coefi-cientes constantes de orden n puede sustituirse por un sistema de n ecuacionesde primer orden, introduciendo n variables de estado. Por ejemplo:

d3y

dt3+ 6

d2y

dt2− 8

dy

dt+ 2y = u(t) (3.91)

se puede transformar introduciendo las tres variables de estado


x1 = y

x2 = y

x3 = y (3.92)

con lo cual:

x1x2x3

=

0 1 00 0 1−2 8 −6

x1x2x3

+

001

u(t) (3.93)

Pues bien, encontraremos la solucion general para este tipo de sistemas.Ciertamente, hay muchos sistemas que no son lineales, pero tambien es cier-to que en muchos sistemas no lineales interesa el comportamiento en lascercanıas de ciertos valores, y eso permite hacer aproximaciones lineales. Latecnica que emplearemos para resolver estos sistemas consta de dos pasos:primero buscaremos la solucion del sistema cuando u = 0 y despues modifi-caremos la solucion encontrada para que sea valida para el caso general.

a) Paso 1. Consideramos ˙x = Ax. Si en el segundo miembro tomamosaproximadamente x(t) ≈ x(0) podremos integrar facilmente, y obtener x(t) =(I+At)x(0). Ahora, podemos usar esta aproximacion para buscar una mejor,poniendo ˙x = (I + At)x(0), que se integra facilmente de nuevo para darx(t) = (I + At + (1/2)A2t2)x(0) El procedimiento se puede iterar, dado laserie:

x(t) = (I+At+(1/2)A2t2+(1/3!)A3t3+ · · ·+(1/n!)Antn+ · · ·)x(0) (3.94)

La serie entre parentesis es formalmente identica a la de la exponencialde numeros reales, ex = 1 + x + x2/2 + x3/3! + · · · + xn/n! + · · ·, ası queescribimos en forma abreviada

x(t) = eAtx(0) (3.95)

b) Paso 2. Ahora vamos a la ecuacion no homogenea: ˙x = Ax + Bu ytratamos de adaptarle la solucion encontrada. Para ello, la idea consiste entomar no x(t) = eAtx(0), sino x = eAtc(t), y elegir c(t) de forma adecuadapara que se satisfaga la ecuacion no homogenea. En efecto, derivando estasolucion de prueba, y sustituyendo en la ecuacion diferencial original:

˙x = AeAtc(t) + eAt ˙c (3.96)

3.6. El teorema de Cayley-Hamilton 81

y

eAt ˙c(t) = Bu(t) (3.97)

Ahora, es facil convencerse de que

(

eAt)−1

= e−At (3.98)

por ejemplo, escribiendo las series correspondientes, efectuando las mul-tiplicaciones y comprobando que en efecto el producto de ambas matrices esla identidad. Entonces, de (97)

˙c(t) = e−AtBu(t) (3.99)

que se integra facilmente:

c(t) = c(0)(

I+∫ t

0e−AτBu(τ)dτ

)

(3.100)

de donde ya, sin mas

x(t) = eAtc(0) +∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ)dτ (3.101)

a la vista de la cual, es obvio que c(0) = x(0), ası que

x(t) = eAtx(0) +∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ)dτ (3.102)

Esta es una solucion formal, que se basa en que sepamos calcular la matrizexponencial, que a su vez es una serie infinita. En realidad, no es precisocalcular la serie infinita. Si la matrizA tiene dimensiones de n×n, entonces laexponencial, o en general cualquier polinomio en A, del grado que sea, tienecomo mucho n terminos. Para demostrar este resultado, nos apoyaremosen un teorema trascendental, que es el teorema de Cayley-Hamilton, quepasamos a demostrar.

3.6. El teorema de Cayley-Hamilton

Demostraremos el teorema de Cayley-Hamilton, a partir del cual veremoscomo es posible calcular una funcion analıtica arbitraria f(A) de una matrizcuadrada, como por ejemplo la matriz exponencial. Dada una matriz cuadra-da A, la ecuacion caracterıstica |A − λI| = 0 es un polinomio p(λ); si A esuna matriz n× n, entonces p(λ) es un polinomio de grado n en λ. El teore-ma de Cayley-Hamilton afirma que si p(λ) = 0 es la ecuacion caracterıstica


de una matriz A, entonces A satisface su propia ecuacion caracterıstica, esdecir, que p(A) = 0.

Por ejemplo, si

A =

1 2 35 7 1113 17 19

(3.103)

entonces

p(λ) = −λ3 + 27λ2 + 77λ+ 24 (3.104)

y se comprueba que

−A3 + 27A2 + 77A+ 24I = 0 (3.105)

Para demostrar el teorema, comenzamos con un resultado del algebra:

(A− λI)−1 =(m(A− λI))T

|A− λI| (3.106)

donde m(A − λI) es una matriz cuyo elemento mij es (−1)i+jκij(A),siendo κij(A) el determinante de la matriz resultante de eliminar de A la filai y la columna j. Como |A− λI| = 0:

p(λ)I = (m(A− λI))T (A− λI) (3.107)

Ahora bien, (m(A−λI))T es una matriz polinomica en λ de grando n−1,es decir, existen matrices Bi tales que

(m(A− λI))T = Bn−1λn−1 +Bn−2λ

n−2 + · · ·+B1λ+B0 (3.108)

En efecto, cada elemento de (m(A−λI))T es un polinomio en λ de gradon− 1, y es posible recolectar en una matriz todos los coeficientes correspon-dientes a una misma potencia de λ. Por ejemplo, si

E(λ) =

λ2 − 26λ− 54 2λ+ 13 3λ+ 15λ+ 48 λ2 − 20λ− 20 11λ+ 413λ− 6 17λ+ 9 λ2 − 8λ− 3

(3.109)

es posible escribir

3.6. El teorema de Cayley-Hamilton 83

E(λ) =

−54 13 148 −20 4−6 9 −3

+

−26 2 35 −20 1113 17 −8

λ+

1 0 00 1 00 0 1

λ2

(3.110)Ası pues:

(m(A− λI))T (A− λI) =

(Bn−1λn−1 +Bn−2λ

n−2 + · · ·+B1λ+B0)(A− λI)

= −Bn−1λn + (Bn−1A−Bn−2)λ

n−1 + (Bn−2A−Bn−3)λn−2 + · · ·

· · ·+ (B2A−B1)λ2 + (B1A−B0)λ+B0A (3.111)

Pero al mismo tiempo sucede que

p(λ) = (−1)nλn + cn−1λn−1 + · · ·+ c1λ+ c0 (3.112)

o

p(λ)I = (−1)nIλn + cn−1Iλn−1 + · · ·+ c1Iλ+ c0I (3.113)

Si ahora igualamos coeficientes:

−Bn−1 = (−1)nI

Bn−1A−Bn−2 = cn−1I

Bn−2A−Bn−3 = cn−2I

· · · = · · ·B2A−B1 = c2I

B1A−B0 = c1I

B0A = c0I (3.114)

Sustituyamos Bn−1 de la primera en la segunda, Bn−2 de la segunda enla tercera, y ası sucesivamente, y obtenemos:

−Bn−1 = (−1)nI

−Bn−2 = cn−1I+ (−1)nA

−Bn−3 = cn−2I+ cn−1A+ (−1)nA2

−Bn−4 = cn−3I+ cn−2A+ cn−1A2 + (−1)nA3


· · · = · · ·−B2 = c3I+ c4A+ c5A

2 + · · ·+ (−1)nAn−3

−B1 = c2I+ c3A+ c4A2 + · · ·+ (−1)nAn−2

(3.115)

y finalmente

−B0 = c1I+ c2A+ c3A2 + · · ·+ (−1)nAn−1 (3.116)

que se obtiene de sustituir B1 en la penultima ecuacion. Entonces, susti-tuyendo B0 en la ultima:

−(c1A+ c2A2 + c3A

3 + · · ·+ (−1)nAn) = c0I (3.117)

o

c0I+ c1A+ c2A2 + · · ·+ (−1)nAn = 0 (3.118)

es decir:

p(A) = 0 (3.119)

como querıamos demostrar.

3.7. Funcion de una matriz y matriz expo-

nencial

En primer lugar, vemos que cualquier potencia de una matriz n × n sepuede escribir como una suma de potencias de, a lo sumo, grado n− 1. Porejemplo, si

A =

[

1 23 4

]

(3.120)

tenemos que p(λ) = λ2 − 5λ − 2, luego, segun el teorema de Cayley-Hamilton, A2 = 5A + 2I; a partir de aquı, A3 = 27A + 10I, A4 = 145A +54I, y ası sucesivamente. Cualquier polinomio f(A) puede escribirse entoncescomo un polinomio de grado n− 1.

Pero hay un procedimiento mejor. En efecto, considerese una matriz cua-drada A y un polinomio s(λ), y sea p(λ) el polinomio caracterıstico de A.Escribimos s(λ) en la forma

3.7. Funcion de una matriz y matriz exponencial 85

s(λ) = q(λ)p(λ) + r(λ) (3.121)

donde q(λ) lo encontramos por division polinomica y r(λ) es a lo sumode grado n− 1 si p(λ) es de grado n. Ahora bien, cuando λj es precisamenteun valor propio, p(λj) = 0 y queda

s(λj) = r(λj) (3.122)

De la misma manera

s(A) = q(A)p(A) + r(A) (3.123)

Pero por el teorema de Cayley-Hamilton p(A) = 0 y por tanto

s(A) = r(A) (3.124)

Como ejemplo, sea

A =

[

1 23 4

]

(3.125)

y supongamos que deseamos calcular s(A) = A4 + 3A3 + 2A2 + I. Laecuacion caracterıstica es

λ2 − 5λ+ 5 = 0 (3.126)

Dividiendo:

λ4 + 3λ3 + 2λ2 + 1

λ2 − 5λ+ 5= λ2 + 8λ+ 37 +

146λ− 184

λ2 − 5λ+ 5(3.127)

El resto es por consiguiente r(λ) = 146λ− 184, ası que

s(A) = 146A− 184I (3.128)

Pero, ¿que ocurre si el grado del polinomio s(A) es muy grande? En esecaso, puede ser sumamente tedioso, e incluso impracticable, efectuar la divi-sion polinomica. De nuevo, hay un camino rapido. Supongamos que deseamoscalcular un polinomio de grado muy elevado, o incluso una serie infinita depotencias

f(λ) =∞∑

k=0

αkλk (3.129)

Sabemos que podemos escribir


f(λ) = q(λ)p(λ) + r(λ) (3.130)

Lo que hemos de ver aquı es que, para cada λ que sea valor propio, esirrelevante cual sea q(λ), ya que viene multiplicado por un p(λ) = 0. Y de lamisma forma, es irrelevante cual sea r(λ), desde el momento en que sabemosque tiene grado, a lo sumo, n− 1; luego se podra escribir

f(λj) = r(λj) =n−1∑

k=0

βkλkj (3.131)

que constituye un sistema de n ecuaciones que nos permite encontrarlos n coeficientes de r(λ). Y si f(A) se define por la misma serie de f(λ),entonces, aplicando nuevamente el teorema de Cayley-Hamilton, f(A) =q(A)p(A)+ r(A) = r(A) =

∑n−1k=0 βkA

k, donde los βk se obtienen del sistema(131). Como ejemplo, calculemos sin(A), con

A =

[

−3 10 −2

]

(3.132)

La ecuacion caracterıstica es p(λ) = (3 + λ)(2 + λ) = 0, y los valorespropios λ1 = −3 y λ2 = −2. Como n = 2, a lo sumo r sera un polinomio deprimer grado. De aquı:

sin(λ1) = β0 + β1λ1

sin(λ2) = β0 + β1λ2 (3.133)

Se sigue que β0 = 3 sin(−2)− 2 sin(−3) y β1 = sin(−2)− sin(−3). Enton-ces, simplemente,

sin(A) = β0 + β1A (3.134)

Por consiguiente, el calculo de la funcion matriz exponencial es un casoparticular a igual que lo es el calculo de la funcion seno de una matriz. Porejemplo, para la matriz

A =

[

0 1−2 −3

]

(3.135)

la ecuacion caracterıstica es p(λ) = λ2 + 3λ+ 2 = 0 y los valores propiosλ1 = −1 y λ2 = −2. Sabemos que

eAt = β0I+ β1A (3.136)

3.7. Funcion de una matriz y matriz exponencial 87

y obtenemos los coeficientes del sistema

e−t = β0 − β1

e−2t = β0 − 2β1 (3.137)

de donde

β0 = e−t

β1 = e−t − e−2t (3.138)

con lo cual

eAt = e−tI+ (e−t − e−2t)A (3.139)

Queda por discutir el caso en que dos o mas valores propios son iguales.En ese caso, algunas de las ecuaciones (131) seran iguales, y el sistema nosera suficiente para determinar todos los coeficientes. Supongamos que unvalor propio λi esta repetido m veces. Eso significa que el polinomio carac-terıstico contendra un factor (λ− λi)

m. Si volvemos a

f(λ) = q(λ)p(λ) + r(λ) (3.140)

y como las m− 1 derivadas primeras de (λ− λi)m son cero en λ = λi, se

anaden a la ecuacion anterior las m− 1 ecuaciones

f ′(λ) = r′(λ)

f ′′(λ) = r′′(λ)

· · · = · · ·fm−1(λ) = rm−1(λ) (3.141)

(evaluadas en λ = λi). Estas ecuaciones, combinadas con el resto def(λj) = r(λj) para j 6= i forman el conjunto requerido de n ecuaciones paralas n incognitas βk. Como ejemplo trivial, considerese la matriz

A =

[

2 30 2

]

(3.142)

de ecuacion caracterıstica p(λ) = (2 − λ)2 = 0. Los dos valores propiosvalen 2. La matriz exponencial es


eAt = β0I+ β1A (3.143)

donde los coeficientes se siguen del sistema

e2t = β0 + 2β1

te2t = β1 (3.144)

3.8. Bibliografıa

Practicamente, la unica fuente en espanol para el estudio de los sistemaselectro-mecanicos bajo el punto de vista de la mecanica de Lagrange es elexcelente y en muchos aspectos no superado ”Dinamica de Lagrange”, deDare A. Wells.


1. Analogıa entre sistemas mecanicos y electricos.

2. Necesidad de una formulacion escalar de la mecanica.

3. Principio de D’Alembert y ecuaciones de Lagrange.

4. Energıa cinetica, potencial y funcion de Rayleigh para sistemas electri-cos.

5. Sistemas lineales. Teorema de Cayley-Hamilton y calculo de la matrizexponencial.

3.10. Ejercicios

1. Escribir la energıa cinetica de una masa m que se mueve en el espaciotomando como coordenadas generalizadas las coordenadas polares desu posicion.

2. Encontrar la energıa cinetica de una barra uniforme de longitud l ymasa m que es lanzada al aire de forma arbitraria.

3. Escribir las funciones de Lagrange para los dos sistemas de la Figura7.

3.10. Ejercicios 89

Figura 7

4. Un solenoide muy largo de seccion circular, con N1 espiras por uni-dad de longitud, contiene en su interior otro solenoide circular, con N2

espiras por unidad de longitud, montado sobre apoyos lisos (sin roza-miento) que puede girar como se muestra en la Figura 8a. Al giro seopone un resorte espiral de constante k. Las bobinas se conectan a cir-cuitos independientes, como se muestra en 8b. Si la induccion mutuaentre bobinas es

Figura 8

M12 = bπr2N1N2 sin θ = a sin θ (3.145)


siendo b y a ciertas constantes, demostrar que la Lagrangiana es

L =1

2M11q

21 +

1

2M22q

22 +

1

2Iθ2

+aq1q2 sin θ + u1q1 + u0q2 sinωt−1

2kθ2 (3.146)

y escribir las ecuaciones del movimiento. I es el momento de inercia delsolenoide interior, y su energıa cinetica es (1/2)Iθ2.

5. Encontrar las ecuaciones del movimiento del sistema de la Figura 9,sabiendo que

L(x) = N2µ0A

x2(3.147)

siendo A el area transversal del nucleo.

Figura 9

Capıtulo 4

La maquina simple

4.1. Motivacion

La maquina electrica mas sencilla concebible consiste en un simple con-ductor en movimiento en un campo magnetico. A pesar de su simplicidad,se muestran los elementos basicos que rigen el comportamiento de cualquierotra maquina, y de ahı el interes en estudiarla.

4.2. La maquina simple

La maquina simple consiste en dos conductores paralelos entre los quepuede establecerse una diferencia de potencial V . Un segmento conductor,que desliza sobre los anteriores y se dispone perpendicular a los mismos,cierra el circuito. El conjunto se considera sometido a la influencia de uncampo magnetico que en la Figura 1 hemos establecido como entrante alplano del dibujo.

Veamos que ocurre al establecer la diferencia de potencial V con el cir-cuito cerrado, y para ello aislamos mentalmente un electron. Al iniciarse lacorriente, los electrones se mueve en sentido contrario al convencional de laintensidad, en nuestro caso de P a Q. Al hacerlo, el electron experimentauna fuerza F1 = −e(u × B). Como consecuencia, el segmento PQ inicia unmovimiento hacia la derecha. Al moverse, adquire una velocidad v, y aparecela fuerza de Lorentz F2 = −e(v × B) que esta dirigida en sentido QP . Parael electron del conductor, este esta en reposo, ası que interpreta la fuerza F2

como procedente de un campo Ec en sentido PQ. Aparece en el conductor, deacuerdo con la ecuacion (85) del segundo capıtulo, una fuerza electro-motriz

E =∫ Q

PEC · dl (4.1)

91

92 4. La maquina simple

Figura 1

que se opone a V . Esta fuerza electro-motriz, que depende de Ec, quedepende de v, aumenta con v, hasta un punto en que ya no circulara corrienteen el segmento PQ, al ser E = V e

i =V − ER

(4.2)

Esta es una descripcion semicualitativa, porque descansa en u, que es lavelocidad con que se mueve el electron en el conductor al establecer V . Peroesa velocidad no se puede medir. Tambien, porque el razonamiento se refierea un unico electron, que puede aislarse mentalmente, pero no fısicamente. Loque procede por tanto es pasar el razonamiento a un contexto macroscopico,con cantidades medibles. En primer lugar, para un pequeno segmento dl delconductor PQ, la fuerza que aparece al conectar V es

dF1 = −ρdV (u× B) (4.3)

donde ρ es la densidad volumica de electrones y el signo ’–’ indica carganegativa. Esto se puede poner

dF1 = −dV (ρu× B) = −dSdl(j × B) (4.4)

y como j y dl son paralelos:

4.2. La maquina simple 93

dF1 = −jdS(dl × B) = −i(dl × B) (4.5)

e integrando desde P a Q,

F1 = −il × B (4.6)

Para nuestra geometrıa, F1 = −ilB. Por otro lado Ec, que es fuerza porunidad de carga, es una constante para toda la longitud del segmento PQ,ya que su valor es v × B, ası que

E =∫ Q

PEc · dl = lv × B (4.7)

que para nuestra geometrıa da E = lvB.Si al movimiento de PQ se opone una fuerza de naturaleza mecanica, Fm,

se alcanzara un cierto equilibrio cuando |F1| = |Fm|:

|F1| = |Fm| = ilB =V − ER

lB (4.8)

y siendo E = lvB:

|F1| = |Fm| =VlBR

− l2B2

Rv (4.9)

La velocidad a la que se alcanza este equilibrio es

v0 =VlB

− R|Fm|l2B2

(4.10)

A la velocidad de equilibrio ”en vacıo”, es decir, cuando la maquina fun-ciona sin resistencia mecanica, se le llama ”velocidad sincronica”, y es

vs =VlB

(4.11)

En resumen: al suministrar corriente a la maquina mediante V , PQ co-mienza a moverse. El sistema funciona entonces como motor. El motor acelerasu velocidad, y al hacerlo aumenta E . Si no hay resistencia, lo hace hasta elpunto en que se compensa totalmente con V , y deja de circular corriente,puesto que

i =V − ER

(4.12)

Se ha alcanzado entonces vs. Si hay fuerzas mecanicas que vencer, lavelocidad que se alcanza es la dada por (10). Al representar F1 en funcion de


la velocidad se obtiene una recta de ordenada en el origen VlB/R y pendiente−l2B2/R, que sera cortada en algun punto por la curva que represente aFm. El punto de corte se produce precisamente a v0. Como o bien Fm esuna constante, o bien una funcion creciente de la velocidad, al aumentar V ,que solo afecta a la ordenada en el origen, se tiene una recta paralela a laoriginal, pero desplazada hacia arriba. Entonces, el punto de corte con Fm sedesplazara a la derecha, es decir, se incrementara la velocidad v0.

Por otro lado, cuando V = 0 y se usa una fuerza mecanica para desplazaral segmento PQ a una velocidad v, aparece una fuerza electromotriz inducidaE y por tanto una corriente

i =ER

(4.13)

El sistema funciona entonces como generador.

4.3. Hacia el motor real

En la seccion anterior hemos tratado con el motor mas sencillo que nos hapermitido ver la interrelacion electro-magneto-mecanica. En esta nos acer-camos mas al funcionamiento de los motores reales, e introducimos nuevosconceptos. Sin embargo, seguiremos tratando con sistemas muy simples. El”motor” mas simple que puede concebirse es aun mas simple que el de laseccion anterior. Consiste en un iman que se mueve manualmente bajo lasuperficie de una mesa de madera o cristal. Sobre la misma se coloca otroiman. Se ve que al mover el iman bajo la mesa, este arrastra al que esta sobreella. En terminologıa de motores, la pieza que arrastra se llama estator, y lapieza arrastrada rotor. El estator se mueve algo por delante del rotor, peroambos a la misma velocidad. A los motores en que ambas partes se muevena la misma velocidad se les llama motores sıncronos.

Es evidente tambien que se obtiene el mismo resultado si en el ejemploanterior los imanes permanentes se sustituyen por electroimanes. Un sistemaası, en el cual el estator se mueve linealmente se denomina motor sıncrono

lineal, y se muestra en la Figura 2. Es importante el espacio de separacionentre las dos piezas. A esta separacion g se le llama con su nombre anglosajon,gap (Mind the gap!) y es un importante factor porque, como veremos, lamayor densidad de energıa magnetica se encuentra ahı. La version rotativase muestra en la Figura 3. Los detalles constructivos de como se alimentanestator y rotor cuando no estan fijos, sino girando, podemos omitirlos. Aquı,la fuerza de arrastre del estator sobre el rotor depende del angulo δ, en laforma

4.3. Hacia el motor real 95

Fm = Fmax sin δ (4.14)

y es nula cuando δ = 0. En efecto, cuando ambas piezas estan alineadas,la fuerza se dirige a lo largo del eje principal y el momento de giro que seejerce sobre el rotor es nulo. Es maximo cuando δ = π/2.

Figura 2

Figura 3

Desde un punto de vista general, entre la energıa electrica que se sumi-nistra al motor y la energıa mecanica que se obtiene, o al reves cuando se tratade un generador, lo que tenemos es el campo magnetico. El campo magneticoes el intermediario en la conversion energıa mecanica ↔ energıa electrica.


Figura 4

4.4. Energıa del campo magnetico

Consideremos un sistema de dos partes, tal y como se muestra en laFigura 4. La parte que llamamos ”primaria” se alimenta con una corrientei1, y permanece fija. La parte que llamamos ”secundaria” es movil, y seencuentra separada por una distancia g de la primaria. Supongamos queincrementamos en el primario la intensidad desde 0 a un valor i1. Comoconsecuencia, el flujo magnetico en el interior del primario aumenta desde0 a Φ1. Como Φ1 depende del numero de vueltas del cable alrededor delprimario, n, pongamos Φ1 = nΦ = λ. En un caso ideal λ es proporcional a i,con constante de proporcionalidad L. En un caso real la relacion no es lineal,sino que se parece a la de la Figura 5. En el circuito del primario sabemosque (omitimos subındices):

u = Ri+ Ldi

dt(4.15)

La potencia electrica suministrada es

Pelec =dWelec

dt= u1i = Ri2 + Li

di

dt(4.16)

El incremento de energıa electrica suministrada a la bobina que rodea alprimario es

dWelec = Lidi

dtdt = Lidi = idλ (4.17)

Este incremento se transforma en energıa magnetica, Wmag, de forma quedWelec = dWmag. Volviendo a la Figura 5, dWelec es la banda rayada en negro.La zona rayada en amarillo representa la energıa suministrada a la bobina,que es

4.4. Energıa del campo magnetico 97

Figura 5

Figura 6

Wmag = Welec =∫ λ1

0idλ (4.18)

Es util visualizar el flujo magnetico como una ”corriente” que circula en-lazando primario y secundario. Y es evidente que esta corriente se interrumpesi g se hace muy grande. Si se incrementa un poco, habra que incrementar ien el primario para mantener el mismo flujo, lo cual significa que la curva λ(i)se hace mas plana, aproximandose a la lınea recta, como se muestra en la Fi-gura 6. El gap es una especie de resistencia al flujo, que se vence aumentandola intensidad, de la misma forma que en un circuito electrico una resistenciaR limita la corriente electrica, y esta se puede mantener aumentando el vol-taje. Ası que, llegados a este punto, se puede hacer un paralelismo entre loscircuitos electricos y los circuitos magneticos:


Figura 7

Circuito electrico Circuito magneticoCorriente i Flujo ΦVoltaje u Fuerza magneto-motriz niResistencia R Reluctancia Rm

Ley de Ohm: i = u/R Ley de Ohm: Φ = in/Rm

El paralelismo se puede llevar mas lejos aun, pues sabemos que la resis-tencia electrica tiene la forma

R =l

σA(4.19)

donde A es la seccion del conductor, l su longitud y σ la inversa de laresistividad. En un circuito magnetico,

Rm =l

µA(4.20)

donde l es su longitud, A su seccion y µ la permeabilidad magnetica. Esteplanteamiento se puede considerar fenomenologico: se observa un efecto, quese relaciona con una causa, y, como es costumbre, se supone la relacion massencilla posible util para explicar las observaciones. En nuestro caso, el efectoes el flujo magnetico, y la causa es la intensidad que circula por el primario.La relacion mas sencilla es lineal, y la hemos escrito como Φ = ni/Rm.

Con esto, el sistema de la Figura 4 lo podemos representar como uncircuito magnetico, tal como el de la Figura 7, donde Fb es la fuerza magneto-motriz, Rc y Rg las reluctancias del nucleo y del gap y Φ el flujo magnetico.Sabemos que Φ = BA, donde A es la seccion transversal del circuito y que


Figura 8

ni = RmΦ = Hl (4.21)

donde hemos puesto H = B/µ; ası que, en relacion con el circuito de laFigura 7, escribimos

ni = Hclc +Hglg (4.22)

y como λ = nΦ = nBA, dλ = nAdB, tenemos

Wmag =∫

idλ =∫ (Hclc +Hglg)

nnAdB (4.23)

en el gap, Hg = B/µ0, y efectuando la integracion

Wmag = VcB2

2µ+ Vg

B2

2µ0

= wbcVc + wbgVg (4.24)

donde Vc y Vg son los volumenes del nucleo y del gap y wbc y wbg son lasdensidades de energıa respectivas. En los aceros modernos empleados en lasmaquinas electricas, µ/µ0 ∼ 5000, y eso explica que, a pesar de ser Vc > Vg,la mayor parte de la energıa magnetica se acumule en el gap.

Volvamos a la Figura 4. Si el secundario se encuentra en la posicion x1 ypasa a la posicion x2, reduciendo el gap, en igualdad de las demas condicionesla curva caracterıstica pasa de λ(x1) a λ(x2). En el proceso, el incremento enla energıa electrica ha sido

dWelec = i(λ2 − λ1) (4.25)

que se corresponde con el area abcd de la Figura 8. El incremento en laenergıa del campo magnetico es la diferencia entre las areas obc y oad. Como


ha sido preciso ejercer una cierta fuerza para mover el secundario desde x1 ax2, se ha realizado un trabajo mecanico tambien, ası que el incremento dWelec

se ha invertido en dWmag + dWmec, donde Wmec es el trabajo mecanico. Enla Figura 8, llamemos a1 al area cbed, a2 a bae, a3 a deo y a4 a eao. ComodWelec = a1 + a2 y dWmag = a1 + a3 − a4 − a3 = a1 − a4, se sigue dedWelec = dWmag + dWmec que dWmec = a2 + a4, que es la zona rayada en laFigura 8.

Es util introducir aquı el concepto de co-energıa. En la Figura 5, la co-energıa es el area bajo la curva λ(i). La llamamosW ′

mag, de forma queWmag+W ′

mag = iλ. En terminos de co-energıa, vemos que dWmec = dW ′mag, y si

dWmec se ha producido por la accion de una fuerza f en el incremento dx,entonces fdx = dW ′

mag, lo cual quiere decir que

f =∂W ′

mag

∂x(4.26)

y este es el enlace entre la fuerza mecanica y el campo electrico, ya queW ′

mag depende a traves de la curva λ(i) de la energıa electrica suministradamediante i. Aquı se ve cuantitativamente lo que afirmabamos antes: que elcampo magnetico es el intermediario en la conversion de energıa mecanica enelectrica y viceversa.

Una vez introducidos todos los elementos necesarios, volvemos al sistemalineal de la Figura 2. Despreciamos la reluctancia del nucleo y asumimoscomportamiento lineal, con λ = Li; como ademas

λ = nΦ = nni

Rm

=n2Aµ0

gi (4.27)

se sigue que

L =n2Aµ0

g(4.28)

es decir, que L depende del gap y es por tanto una funcion de x: λ = L(x)i,de donde calculamos la co-energıa:

W ′mag =

∫ i

0λdi =

1

2L(x)i2 (4.29)

Ahora podemos calcular la fuerza magnetica sobre el secundario:

fmag =∂

∂x

(

1

2L(x)i2

)

=1

2i2dL(x)

dx(4.30)

Notese que, si el sistema es lineal, entonces Wmag = W ′mag: energıa y

co-energıa son iguales.


4.4.1. El motor de reluctancia

Podemos usar los resultados anteriores para calcular la fuerza de arrastredel estator sobre el rotor en el motor sıncrono lineal. En efecto, si estator yrotor se encuentran alineados, el gap es g(0), pero si el estator se desplazauna cantidad x, entonces el gap es g2(x) = g2(0) + x2. Entonces la fuerzamagnetica es

fmag =∂W ′

mag

∂x=

1

2i2dL

dg

dg

dx=

−n2µ0Ai2x

(g(0) + x2)3/2(4.31)

Se comprende entonces que si el ”rotor” es infinitamente largo, no importalo intenso que sea el campo del estator que no se generara ningun arrastre,al ser dL/dx = 0.

4.4.2. Corrientes en estator y rotor

Ampliemos los razonamientos anteriores al caso en que circula corrientetambien por el secundario. Suponemos que ambas partes estan en reposo yque la energıa electrica suministrada se almacena en el campo magnetico.Entonces

dWmag = dWelec = i1dλ1 + i2dλ2 (4.32)

Si el sistema es lineal:

λ1 = L1i1 + L12i2

λ2 = L12i1 + L2i2 (4.33)

y en estos sabemos que la energıa es igual a la co-energıa, luego

Wmag = W ′mag =

∫ i1,i2

0,0λ1di

′1 + λ2di

′2 (4.34)

Se cumple que

∂λ1∂i2

=∂λ2∂i1

= L12 (4.35)

y por tanto el resultado de la integral es independiente de la trayectoriaelegida entre los puntos (0, 0) e (i1, i2). Puesto que podemos elegir la trayecto-ria mas conveniente, elegimos la lınea recta que une el origen con el destino.Esta recta tiene ordenada en el origen 0 y pendiente i2/i1: i

′2 = (i2/i1)i

′1.

Sustituyendo y efectuando la integracion, tenemos


Wmag = W ′mag =

1

2L1i

21 +

1

2L2i

22 + L12i1i2 (4.36)

De aquı

fmag =∂W ′

mag

∂x=

1

2i21dL1

dx+

1

2i22dL2

dx+ i1i2

dL12

dx(4.37)

Si reunimos las ecuaciones para la parte electrica y para la parte mecanica,teniendo en cuenta la presencia de las dos corrientes y la induccion mutua,tenemos, para la parte electrica:

u1 = i1R1 +dλ1dt

u2 = i2R2 +dλ2dt

(4.38)

donde dλ1,2/dt son las fuerzas electromotrices inducidas. Para la partemecanica, si m es la masa que ha de moverse:

md2x

dt2= fmag − β

dx

dt− fr (4.39)

donde fmag es la fuerza magnetica, fr una resistencia a vencer (la maquinase construye precisamente para vencer la resistencia fr) y el termino βdx/dtla friccion que se opone al movimiento. En cuanto a las derivadas, si el sistemaes lineal:

dλ1dt

=d

dt(L1(x)i1) +

d

dt(L12(x)i2)

= L1(x)di1dt

+ i1dL1

dx

dx

dt+ L12

di2dt

+ i2dL12

dx

dx

dt(4.40)

con una expresion similar para λ2. Y en cuanto a fmag, es la derivada dela co-energıa, que es igual a la energıa si el sistema es lineal.

4.5. Motores rotatorios sencillos

Si vamos a la definicion de fuerza generalizada:

Qj =∑

j

Fi ·∂ri∂qj

(4.41)

4.5. Motores rotatorios sencillos 103

Figura 9

vemos que la fuerza generalizada que corresponde a una coordenada ge-neralizada angular tiene dimensiones de fuerza por distancia, es decir, de par.Pero vemos que Qj tiene a su vez las mismas dimensiones que ∂T/∂qj. Luegola derivada de una energıa respecto a una variable angular es un par. Comola energıa y la co-energıa tienen las mismas dimensiones, se concluye que elpar entregado por una maquina rotatoria es

Π =∂W ′

mag

∂θ(4.42)

En general, sera

Π =1

2i21dL1

dθ+

1

2i22dL2

dθ+ i1i2

dL12

dθ(4.43)

En un motor en el que el estator y el rotor son cilındricos y por cons-truccion las autoinducciones son independientes del angulo θ del rotor res-pecto a una direccion de referencia, no hay mas que termino de induccionmutua, y el par es

Π = i1i2dL12

dθ(4.44)

con L12 = M cos θ si M es el pico de induccion mutua, que se alcanzacuando estan alineados los ejes magneticos del estator y del rotor y θ es elangulo que forman ambos ejes. Se entiende entonces que como direccion dereferencia se toma el eje magnetico del estator. Si las corrientes son

i1 = I1 cosω1t

i2 = I2 cos(ω2t+ α) (4.45)


y

θ = ωmt+ δ (4.46)

donde ωm es la velocidad angular del rotor y δ es la posicion del rotor ent = 0, entonces

Π = −I1I2M cosω1t cos(ω2t+ α) sin(ωmt+ δ) (4.47)

Hay dos casos practicos:

a) ω2 = 0, α = 0, ω1 = ωm. El estator se alimenta con corriente alterna yel rotor con corriente continua. El rotor gira a la misma frecuencia angular ala que se excita el primario. Estos son los motores monofasicos sincronicos.Particularizando:

Π = −I1I2M cosω1t sin(ω1t+ δ) (4.48)

Aplicando la identidad trigonometrica

sin x cos y =1

2sin(x+ y) +

1

2sin(x− y) (4.49)

tenemos

Π = −I1I2M2

[sin(2ω1t+ δ) + sin δ] (4.50)

El promedio del primer termino es nulo, y queda solo el segundo:

Πm = −I1I2M2

sin δ (4.51)

Se ve que el promedio es maximo cuando δ = π/2.

b) ωm = ω1 − ω2. La frecuencia angular del rotor no coincide ni con la deexcitacion del estator ni con la del rotor. Por esta razon estos motores se lla-man monofasicos asincronicos. Aplicando la misma identidad trigonometricaque hemos usado antes dos veces podemos poner la expresion general parael par como la suma de cuatro terminos sinusoidales. En efecto:

sin(ωmt+ δ) cos(ω2t+ α) =1

2sin[(ωm + ω2)t+ α + δ]

+1

2sin[(ωm − ω2)t+ δ − α] (4.52)

4.6. Ecuaciones generales 105

y ahora desarrollamos el producto de cada uno de ellos por cosω1t yobtenemos los cuatro terminos:

1

4sin[(ωm + ω1 + ω2)t+ α + δ] +

1

4sin[(ωm − ω1 + ω2)t+ α + δ] +

1

4sin[(ωm + ω1 − ω2)t− α + δ] +

1

4sin[(ωm − ω1 − ω2)t− α + δ] (4.53)

de los cuales, el unico cuyo promedio temporal es distinto de cero es elsegundo, resultando

Πm = −I1I2M4

sin(α + δ) (4.54)

Se observa tambien que cuando ωm = 0 el par medio es cero: el motornecesita ser llevado en un proceso de arranque a una ωm 6= 0 para que puedadar par.

4.6. Ecuaciones generales

Recapitulamos los resultados mas importantes y agrupamos las ecuacio-nes relevantes. Consideramos la parte electrica y la parte mecanica.

Para la parte electrica, el voltaje suministrado a estator y rotor se igualacon la caıda de potencial en las resistencias y la fuerza electro-motriz indu-cida. Esta ultima viene dada por la derivada temporal del flujo λ, que esesencialmente el flujo debido a una espira por el numero de espiras: λ = nΦ.En los modelos lineales λ es una funcion lineal de la intensidad i. Esta rela-cion funcional λ(i), sea lineal o no, permite encontrar la co-energıa W ′

mag, dedonde por derivacion encontramos las fuerzas y pares magneticos:

W ′mag =

∫

λ(i)di; fmag =

(

∂W ′mag

∂q

)

(4.55)

donde q puede representar una coordenada lineal, o angular. El procedi-miento es mas sencillo cuando λ(i) es lineal. Si escribimos:

λ1 = L1i1 + L12i2

λ2 = L12i1 + L2i2 (4.56)


tenemos, cuando los coeficientes de induccion dependen del giro θ delrotor:

dλ1dt

= L1di1dt

+ i1dL1

dθωm

+L12di2dt

+ i2dL12

dθωm

dλ2dt

= L12di1dt

+ iidL12

dθωm

+L2di2dt

+ i2dL2

dθωm (4.57)

En cuanto a la parte mecanica, dado que la unica parte movil es el rotor:

Π = Jd2θ

dt2+ β

dθ

dt+Πl (4.58)

donde Π es el par aplicado, y depende del tipo de motor y la forma dealimentarlo, como hemos visto en la seccion anterior, J el momento de inerciadel rotor, β el coeficiente de rozamiento y Πl la carga que el motor ha devencer.

4.7. Bibliografıa

Hemos seguido aquı mas o menos ”Electromechanical energy conversion”,de Ernest Mendrela. Como se ve, todo depende de dos puntos: a) la exis-tencia de una relacion λ(i), que si es lineal facilita mucho el analisis, y b) laposibilidad de calcular los coeficientes de autoinduccion e induccion mutuaLij. Este punto se puede estudiar, por ejemplo, en ”Campos y ondas elec-

tromagneticos” de P. Lorrain y D.R. Corson. En la pagina 368 y siguientesde la edicion espanola se pueden encontrar algunos ejemplos para geometrıassencillas.


1. Se plantea y discute la maquina simple, y se introducen la velocidad deequilibrio y la velocidad sincronica, ası como los regımenes de generadory motor.

2. Motores sincronicos con diseno lineal y rotatorio.

4.9. Ejercicios 107

3. Se introduce un modelo sencillo de primario-secundario y se analiza elbalance energetico. Se introduce la relacion λ(i) y se estudia la influen-cia del ”gap”. Se introducen los circuitos magneticos.

4. Energıa y co-energıa.

5. Ecuaciones generales para el modelo primario-secundario anterior cuan-do circula intensidad por las dos partes. Ecuaciones de la parte electricay de la parte mecanica.

6. Obtencion del par como derivada de la co-energıa.

7. El motor rotatorio monofasico sincronico y asincronico.

8. Ecuaciones generales.

4.9. Ejercicios

Los siguientes ejercicios estan tomados de Fitzgerald, ”Electromechanical

energy conversion principles”, capıtulo 3 de ”Electric machinery”.

1. Sea un rotor cilındrico de 30 cm de longitud y 5 cm de radio (Figura10). Este rotor se encuentra en un campo magnetico uniforme B de0.02T que es perpendicular al eje del rotor. En la superficie del mismo,siguiendo lıneas paralelas al eje diametralmente opuestas, hay dos con-ductores por los que circulan corrientes de sentidos opuestos de 10A.Si α es el angulo que forma la lınea AB con el eje x, demostrar que elpar que experimenta el rotor es

Π = −0,006 sinα N ·m (4.59)

2. En el dispositivo de la Figura 11, calcular la energıa magnetica almace-nada en el ”gap” suponiendo que N = 1000 vueltas, i = 10 A, g = 2,0mm d = 0,15 m y l = 0,1 m. Se supone que la permeabilidad magneticadel nucleo tiende a ∞. Solucion: de (27) y (29) W ′

b = 236(1− x/d) J.

3. La inductancia de un solenoide fue medida en varias posiciones a lolargo del eje x, resultando la tabla siguiente:


Figura 10

Figura 11

4.9. Ejercicios 109

Figura 12

x cm L(x)0.0 2.800.2 2.260.4 1.780.6 1.520.8 1.341.0 1.261.2 1.201.4 1.161.6 1.131.8 1.112.0 1.10

Para i = 0,75 A, encontrar la fuerza que experimenta el solenoide.Sugerencia: usando polyfit de Matlab ajustar un polinomio (de cuartoorden es suficiente), de forma que se pueda expresar L(x) = a0+ a1x+a2x

2 + a3x3 + a4x

4 y luego calcular la fuerza usando (30).

4. En el sistema de la Figura 12, el rotor es ovalado, lo que hace que el”gap” sea variable. Cuando el eje del rotor forma un angulo θ con eleje del estator, L(θ) = L0 + L1 cos(2θ), con L0 = 10,6 mH y L1 = 2,7mH. Demostrar que para una corriente de 2 A, el par que experimentael rotor es

Π(θ) =1

2i2(−2L1 sin θ) = −1,08× 10−2 sin(2θ) N ·m (4.60)

5. En el segundo problema, si i(x) = i0 (x/d) A, demostrar que la fuerzaactuante sobre la pieza movil es


Figura 13

f = − i0µ0N2l

4g

(

x

d

)2

N (4.61)

Encontrar la co-energıa y comprobar que si calculamos la fuerza a partirde ella como

f =∂W ′

b

∂x(4.62)

no obtenemos el resultado (59), que proviene de (30). ¿Por que?

6. En el sistema de la Figura 13, calcular el par sobre el rotor como unafuncion de θ. La longitud del rotor es h = 1,8 cm, con r1 = 2,5 cm yg = 3 mm. Se supone que la reluctancia del nucleo y del propio rotores nula, con lo que la energıa magnetica se encuentra en el ”gap”, cuyovolumen depende del angulo θ. El flujo maximo a traves del ”gap”esta limitado a 1.65 T, para evitar saturacion. Sugerencia: obtener unaexpresion para el volumen del ”gap” y tomar de (24) la densidad deenergıa magnetica. Luego obtener el par derivando respecto a θ.

Capıtulo 5

La maquina generalizada

5.1. Motivacion

El objeto de este capıtulo es generalizar los resultados del anterior, pre-sentando un modelo generalizado de maquina rotatoria, del cual los distintostipos de maquinas son casos particulares. Al hacerlo, plantearemos un sis-tema de seis ecuaciones diferenciales no lineales cuya resolucion nos da laevolucion temporal de las variables electricas y mecanicas.

5.2. La maquina rotatoria generalizada

En general, las maquinas electricas tienen disenos rotatorios. El estatores una carcasa cilındrica, fija, y en su interior y concentrico con el gira elrotor, sujeto a un eje que se apoya en rodamientos. Hay varias razones paraeste tipo de diseno, unas teoricas y otras practicas. Si vamos a la Figura 1del capıtulo anterior, vemos que la fuerza magnetica sobre un conductor yel campo inducido son maximos cuando la velocidad v del movimiento delconductor, el campo magnetico y el elemento de corriente son mutuamen-te perpendiculares. En el diseno cilındrico por tanto es preciso hacer que elcampo magnetico sea perpendicular al movimiento del rotor, y como el mo-vimiento del rotor es circular, se sigue que el campo ha de ser radial, o lomas cercano a eso que se pueda conseguir. Por otro lado, como ∇ · B = 0,si aplicamos el teorema de la divergencia al cilindro del rotor, la integral desuperficie B · dS sera nula. Esto significa que habra tantas lıneas entrantescomo salientes en el cilindro. Esto significa a su vez que si hacemos un reco-rrido que de la vuelta al cilindro, desde ϕ = 0 hasta ϕ = 2π y registramos Bcomo funcion de ϕ, ha de ocurrir: 1) que en la grafica correspondiente el areabajo el eje ϕ sea igual al area sobre el mismo; 2) que B sea funcion periodica

111

112 5. La maquina generalizada

de ϕ. Una representacion de las lıneas de campo es la de la Figura 1.

Figura 1

Figura 2

El punto en que B entra perpendicularmente a la seccion normal al ci-lindro se denomina ”polo sur”, y el punto en que B sale perpendicularmente”polo norte”. Al ser B periodico, lo sera cualquiera de sus componentes, lue-go se podra escribir como un desarrollo en serie de Fourier, luego podemoshacer el analisis para la frecuencia fundamental. Si la componente principalde B es sinusoidal, esto significa que existen dos ejes, que llamaremos α yβ, perpendiculares entre sı, de forma que B = Bα + Bβ, como muestra laFigura 2. Es decir, que B se puede conseguir como superposicion o sumavectorial de dos campos perpendiculares. Entonces, el campo creado por elestator se puede representar por dos bobinas mutuamente perpendiculares,cuyos campos, al variar en el tiempo, hacen rotar a B en el plano (α, β).

5.2. La maquina rotatoria generalizada 113

Con un razonamiento similar para el campo del rotor, podemos modelar lamaquina rotatoria como un sistema de dos pares de campos creados por dospares de bobinas, como se muestra en la Figura 3, alimentadas por intensi-dades (ieα, i

eβ, i

rα, i

rβ) donde los subındices ’e’ y ’r’ significan respectivamente

”estator” y ”rotor”.

Figura 3

Colineal con el eje comun a ambos cilindros esta el eje mecanico, que semueve con velocidad angular θ (la del rotor). Si escribimos en forma vectoriallas relaciones entre λ e i, poniendo λ = Li, donde

λ =

λeαλeβλrαλrβ

(5.1)

e

i =

ieαieβirαirβ

(5.2)

y L es la matriz de inducciones, tenemos para la parte electrica


u = Ri+dλ

dt= Ri+

d

dt(Li) (5.3)

donde R es la matriz de resistencias. Como la resistencia en el circuitoque alimenta a la bobina j depende solo de la intensidad que circula por esecircuito, la matriz R es diagonal. Por otro lado

d

dt(Li) = L

di

dt+ θ

dL

dti (5.4)

Ahora, calculamos la co-energıa

W ′mag =

∫

Cλ · di =

∫ i

0Li′di′ (5.5)

donde el camino de integracion lleva desde i′ = 0 hasta i′ = i. Como L

no depende de las intensidades,

W ′mag =

1

2iTLi (5.6)

Y, finalmente, el par entregado por el motor es

Π =∂W ′

mag

∂θ=

1

2iT · dL

dθ· i (5.7)

5.2.1. La matriz de inductancias

Falta darle forma a la matriz L. Los coeficientes no dependen de lasintensidades, sino de la geometrıa. Se puede ver esto considerando dos casosextremos. En el primero tenemos dos bobinas situadas en planos paralelos.El flujo que atraviesa una de ellas debido a la corriente que circula por laotra, es maximo. Pero si las bobinas estan en planos perpendiculares, el flujoque atraviesa una de ellas es debido a la corriente que circula por la otra esmınimo, como se ve en la Figura 4.

Con esto en mente, se ve que en la matriz L: 1) los elementos diagonalesson constantes, ya que la autoinduccion de una bobina no depende de suorientacion respecto a otros cuerpos; 2) la influencia entre las bobinas delrotor es mınima, ya que son perpendiculares. En nuestro modelo, damos aestos elementos el valor 0; 3) Las inducciones mutuas de una bobina delestator (rotor) con las otras dos del rotor (estator) dependen del coseno delangulo que forman (para que sea maxima si este angulo es cero y mınima sies de π/2). En definitiva:

5.2. La maquina rotatoria generalizada 115

Figura 4

L =

Lee 0 Ler cos θ −Ler sin θ0 Lee Ler sin θ Ler cos θ

Ler cos θ Ler sin θ Lrr 0−Ler sin θ Ler cos θ 0 Lrr

(5.8)

donde hemos supuesto ademas que las dos bobinas del estator son igualesy que las dos bobinas del rotor tambien son iguales (L11 = L22 y L33 = L44).

A partir de aquı calculamos:

dL

dθ=

0 0 −Ler sin θ −Ler cos θ0 0 Ler cos θ −Ler sin θ

−Ler sin θ Ler cos θ 0 0−Ler cos θ −Ler sin θ 0 0

(5.9)

y el par es entonces

Π =∂W ′

mag

∂θ=

1

2iT · dL

dθ· i

= [ieαieβi

rαi

rβ]

0 0 −Ler sin θ −Ler cos θ0 0 Ler cos θ −Ler sin θ

−Ler sin θ Ler cos θ 0 0−Ler cos θ −Ler sin θ 0 0

ieαieβirαirβ


= Ler sin θ(−ieαirα − ieβirβ) + Ler cos θ(−ieαirβ + ieβi

rα) (5.10)

Debido a los productos cruzados, si las corrientes del estator son nulas, olas corrientes del rotor son nulas, entonces Π = 0. Ademas, si las corrientesson todas constantes, el par serıa

Π = Ler(p sin θ + q cos θ) (5.11)

con p y q constantes, cuya media en una revolucion completa es nula. Portanto, un motor no puede funcionar si por sus bobinas circula solo corrientecontinua. En general, calculamos el par promedio en una vuelta como

Π =1

2π

∫ 2π

0Ler(j1 sin θ + j2 cos θ)dθ (5.12)

donde j1 = −ieαirα − ieβirβ y j2 = −ieαirβ + ieβi

rα. Considerado el integrando

como funcion de θ, el par medio aparentemente es nulo. Pero si lo considera-mos como funcion del tiempo, con θ = ωmt+ δ y tenemos en cuenta que j1 yj2 son tambien funciones del tiempo, introduciendo los desfases entre las cua-tro corrientes y el angulo mecanico, el par medio depende de las amplitudes,desfases y frecuencias entre las variables electricas y mecanicas.

5.3. Planteamiento y solucion numerica del

problema

Las ecuaciones que determinan el movimiento del sistema son entonces:

u = Ri+ Ldi

dt+ θ

dL

dθi

Jd2θ

dt2= Π− Πr − β

dθ

dt(5.13)

siendo Πr el par resistente que se ha de vencer mediante Π y β el coefi-ciente de friccion. La primera ecuacion es una ecuacion vectorial con cuatrocomponente escalares. La segunda ecuacion, por ser de segundo orden, sepuede desdoblar en dos ecuaciones de primer orden. El acoplamiento entre laparte electrica y la parte mecanica viene a) por el hecho de que L es funcionde θ y b) en la parte mecanica, el par Π es funcion de las corrientes. Juntas laspartes electrica y mecanica forman un sistema de seis ecuaciones diferencialesno lineales de primer orden. Introduzcamos las variables de estado:

5.3. Planteamiento y solucion numerica del problema 117

x =

x1 = ieαx2 = ieβx3 = irαx4 = irβx5 = θ

x6 = θ

(5.14)

y en funcion de ellas, nuestro sistema:

ueα = Reαx1 + Leex1 + Lerx3 cos x5 − Lerx4 sin x5

−Lerx3x6 sin x5 − Lerx4x6 cosx5

ueβ = Reβx2 + Leex2 + Lerx3 sin x5 + Lerx4 cos x5

Lerx3x6 cos x5 − Lerx4x6 sin x5

urα = Rrαx3 + Lerx1 cosx5 + Lerx2 sin x5 + Lrrx3

−Lerx1x6 sin x5 + Lerx2x6 cos x5

urβ = Rrβx4 − Lerx1 sin x5 + Lerx2 cos x5 + Lrrx4

−Lerx1x6 cos x5 − Lerx2x6 sin x5

x5 = x6

x6 =Ler

J(−x1x3 − x2x4) sin x5 +

Ler

J(−x1x4 + x2x3) cos x5

−Πr

J− βx6 (5.15)

El problema con este sistema, escrito tal como esta, es que los metodosnumericos habituales, por ejemplo los metodos de Runge-Kutta, tratan consistemas de ecuaciones donde cada ecuacion es de la forma xi = fi(x1, x2, · · ·).A esta forma se ajustan las dos ultimas ecuaciones, pero no las cuatro pri-meras, donde aparecen combinaciones de las derivadas. Para reescribir lascuatro primeras ecuaciones en forma adecuada, vemos que, tal y como estan,se pueden reordenar en la forma

Lee 0 Ler cos x5 −Ler sin x50 Lee Ler sin x5 Ler cos x5

Ler cos x5 Ler sin x5 Lrr 0−Ler sin x5 Ler cos x5 0 Lrr

x1x2x3x4

=

f1f2f3f4

(5.16)

donde


f1 = ueα −Reαx1 + Lerx3x6 sin x5 + Lerx4x6 cos x5

f2 = ueβ −Reβx2 − Lerx3x6 cos x5 + Lerx4x6 sin x5

f3 = urα −Rrαx3 + Lerx1x6 sin x5 − Lerx2x6 cos x5

f4 = urβ −Rrβx4 + Lerx1x6 cos x5 + Lerx2x6 sin x5 (5.17)

Entonces, las cuatro primeras ecuaciones, escritas en la forma adecuadapara su resolucion numerica aparecen como

x1x2x3x4

=

Lee 0 Ler cosx5 −Ler sin x50 Lee Ler sin x5 Ler cosx5

Ler cos x5 Ler sin x5 Lrr 0−Ler sin x5 Ler cos x5 0 Lrr

−1

f1f2f3f4

(5.18)

La inversa de la matriz existe siempre que se cumpla la condicion de queLerLer 6= LeeLrr, y viene dada por

1

LerLer − LeeLrr

−Lrr 0 Ler cosx5 −Ler sin x50 −Lrr Ler sin x5 Ler cosx5

Ler cos x5 Ler sin x5 −Lee 0−Ler sin x5 Ler cos x5 0 −Lee

(5.19)

Ahora ya podemos escribir un sistema adecuado para su resolucion numeri-ca:

x1 = −Lrr

∆f1 +

Ler

∆f3 cosx5 −

Ler

∆f4 sin x5

x2 = −Lrr

∆f2 +

Ler

∆f3 sin x5 +

Ler

∆f4 cos x5

x3 =Ler

∆f1 cos x5 +

Ler

∆f2 sin x5 −

Lee

∆f3

x4 = −Ler

∆f1 sin x5 +

Ler

∆f2 cos x5 −

Lee

∆f4

x5 = f5

x6 = f6 (5.20)

donde hemos introducido

5.3. Planteamiento y solucion numerica del problema 119

∆ = LerLer − LeeLrr

f5 = x6

f6 =Ler

J(−x1x2 − x2x4) sin x5 +

Ler

J(−x1x4 + x2x3) cos x5

−Πr

J− βx6 (5.21)

5.3.1. Metodo de Runge-Kutta de cuarto orden

Existen muchos tratados de calculo numerico donde se explican los meto-dos de integracion de sistemas de ecuaciones diferenciales. Aquı damos laexplicacion de uno de estos metodos, probablemente el mas popular, no poranadir nada a lo ya escrito en otros lugares, sino por hacer estas notas en loposible auto-contenidas y facilitar el camino al estudiante.

El metodo de Runge-Kutta de cuarto orden es un metodo popular, sencillode programar, relativamente rapido y en la mayor parte de las ocasiones desuficiente precision, que permite resolver sistemas de ecuaciones diferencialesde primer orden de la forma:

x1 = f1(x1, x2, · · ·)x2 = f2(x1, x2, · · ·)x3 = f3(x1, x2, · · ·)... =

... (5.22)

No vamos a discutir la forma en que se obtiene dicho metodo, sino sim-plemente describir el algoritmo. Antes de eso, conviene aclarar la naturalezade todos estos metodos. Una integracion numerica no nos proporciona lafuncion x(t), sino una serie de valores de x para instantes t1, t2, t3...tn. Aun-que existen metodos de paso variable donde los intervalos ti+1 − ti dependende i, en la mayorıa de las ocasiones, para todos los i, la diferencia ti+1 − ties una constante h, de manera que si partimos desde un instante inicial t0,ti = t0 + ih. Todos estos metodos requieren el conocimiento de un estadoinicial a partir del cual calcular estados sucesivos.

En primer lugar, para ecuaciones simples de la forma x = f(x, t). Elmetodo de Runge-Kutta parte de un valor xk (indicamos ası x(tk)) y calculael valor xk+1. Si fijamos h (por ejemplo, h = 0,1 cuando deseamos conocer xde decima en decima de segundo) el algoritmo sigue los siguientes pasos:

1. Calcular k1 = hf(xk, tk)


2. Calcular k2 = hf(xk + k1/2, tk + h/2)

3. Calcular k3 = hf(xk + k2/2, tk + h/2)

4. Calcular k4 = hf(xk + k3, tk + h)

5. Calcular xk+1 = xk +16[k1 + 2k2 + 2k3 + k4]

En general, los sistemas dinamicos vienen descritos no por una sola varia-ble, sino por varias. Por consiguiente, necesitamos generalizar el algoritmopara el caso en que queremos integrar no una ecuacion sino un conjuntode ellas. Daremos el algoritmo explıcito para un sistema de dos ecuaciones.La generalizacion para un numero cualquiera es inmediata y se deja comoejercicio al lector. Sea el sistema:

x = f(x, y, t)

y = g(x, y, t) (5.23)

Dados unos valores xk e yk, el algoritmo sigue los siguientes pasos:

1. Calcular k1 = hf(xk, yk, tk)

2. Calcular n1 = hg(xk, yk, tk)

3. Calcular k2 = hf(xk + k1/2, yk + n1/2, tk + h/2)

4. Calcular n2 = hg(xk + k1/2, yk + n1/2, tk + h/2)

5. Calcular k3 = hf(xk + k2/2, yk + n2/2, tk + h/2)

6. Calcular n3 = hg(xk + k2/2, yk + n2/2, tk + h/2)

7. Calcular k4 = hf(xk + k3, yk + n3, tk + h)

8. Calcular n4 = hg(xk + k3, yk + n3, tk + h)

9. Calcular xk+1 = xk +16[k1 + 2k2 + 2k3 + k4]

10. Calcular yk+1 = yk +16[n1 + 2n2 + 2n3 + n4]

5.4. Transformacion de coordenadas 121

5.4. Transformacion de coordenadas

Es evidente la complejidad del sistema de ecuaciones anterior, lo quemotiva a la busqueda de una transformacion que conduzca a un sistema massencillo. En general, buscamos una transformacion lineal definida por unamatriz A, de forma que, en funcion de nuevas corrientes j y tensiones v,las originales se puedan escribir como i = Aj y u = Av. Impondremos lacondicion de que la potencia electrica suministrada al sistema no dependa dela transformacion, es decir

P = iT u = jTATAv = jT v (5.24)

lo que implica que ha de ser ATA = I, es decir, que la matriz traspuestade A coincida con la inversa, lo cual sabemos que es cierto, en particular,para las matrices de rotacion. Procedemos a escribir en funcion de las nuevasvariables las ecuaciones para la parte electrica:

Av = RAj + θdL

dθAj + L

dA

dθθj + LA

dj

dt(5.25)

o

v = A−1RAj + θA−1dL

dθAj + θA−1L

dA

dθj +A−1LA

dj

dt(5.26)

Introduciendo las nuevas matrices

R′ = A−1RA

L′ = A−1LA

H = A−1LdA

dθ

T = A−1dL

dθA (5.27)

la parte electrica se escribe como

v = R′j + L′dj

dt+ θ (H+T) j (5.28)

En cuanto a la parte mecanica, la unica parte afectada es el par Π, quese escribe en funcion de las nuevas variables como

Π =1

2iTdL

dθi =

1

2jTAT dL

dθAj =

1

2jTTj (5.29)


Como se ve, todo depende de la eleccion de la matriz A. ¿De dondeproviene la complejidad de la maquina? Proviene de la dependencia de L

con θ, y en ultima instancia del giro del rotor. Es obvio que un ”motor” enque el rotor estuviese en reposo, al igual que el estator, serıa mucho massencillo. Con esta guıa, elegiremos la matriz A como una matriz de giro quecompense el giro del rotor, de tal forma que, en el nuevo sistema, el rotorse encuentre fijo y sus ejes sean colineales con los del estator. La matriz detransformacion, de dimensiones 4× 4, ha de dejar inalterados los valores decorrientes y tensiones del estator. Como habıamos tomado

i =

ieαieβirαirβ

(5.30)

la matriz A se puede particionar como

A =

[

I 0

0 Ar

]

(5.31)

donde Ar es un giro en sentido inverso al del rotor:

Ar =

[

cos θ sin θ− sin θ cos θ

]

(5.32)

Ahora se pueden calcular las nuevas matrices introducidas en (27). Enprimer lugar,

R′ = ATRA = R (5.33)

siempre que sea Rrα = Rr

β. En general, por simetrıa, consideraremos que

se cumple esta condicion, Rrα = Rr

β = Rr, ası como la condicion Reα = Re

β =Re.

La nueva matriz de inductancias es

L′ =

Lee 0 Ler 00 Lee 0 Ler

Ler 0 Lrr 00 Ler 0 Lrr

(5.34)

Ademas

5.4. Transformacion de coordenadas 123

T = A−1dL

dθA =

0 0 0 −Ler

0 0 Ler 00 Ler 0 0

−Ler 0 0 0

(5.35)

y

H = A−1LdA

dθ=

0 0 0 Ler

0 0 −Ler 00 0 0 Lrr

0 0 −Lrr 0

(5.36)

Y ahora se puede escribir la parte electrica en las nuevas coordenadas:

v =

Re 0 0 00 Re 0 0

0 θLer Rr θLrr

−θLer 0 −θLrr Rr

j +

Lee 0 Ler 00 Lee 0 Ler

Ler 0 Lrr 00 Ler 0 Lrr

dj

dt(5.37)

Falta calcular el par:

Π =1

2iTdL

dθi =

1

2jTTj (5.38)

Hemos dicho antes que elegıamos A de forma que las variables ligadasal estator quedasen inalteradas. Escribimos ahora explıcitamente el nuevovector de corrientes:

j =

ieαieβirdirq

(5.39)

Las intensidades ligadas al nuevo sistema se denominan habitualmentecon los subındices ’d’ (de ”directo”) y ’q’ (de ”quadrature”), y al nuevosistema se le suele llamar (αβdq). Pues bien, en las nuevas variables el parviene dado por

Π = Ler(ieβird − ieαi

rq) (5.40)

y la ecuacion para la parte mecanica se escribe entonces:

Jd2θ

dt2= Ler(ieβi

rd − ieαi

rq)− β

dθ

dt− Πm (5.41)



1. Se razona a partir del teorema de Gauss que el campo en el que seencuentra el rotor es una funcion periodica del angulo, en un instantedado. De ahı que se pueda hacer el analisis de la frecuencia fundamentaly que el campo B se pueda considerar como la composicion de doscampos perpendiculares, Bα y Bβ, lo que motiva el modelo de maquinageneralizada.

2. Se escriben las ecuaciones para la parte electrica y se calcula el par apartir de la co-energıa y en la hipotesis lineal λ = Li.

3. Al hacer explıcita una forma de L es posible escribir un conjunto deseis ecuaciones que incluyen la parte electrica y la parte mecanica. Semanipulan ligeramente para ponerlas en una forma apta para la resolu-cion numerica y se presenta uno de los muchos algoritmos disponiblespara integrar este tipo de sistemas.

4. A la vista de la complejidad del sistema anterior, se introduce unatransformacion de coordenadas que simplica notablemente el sistema,y se re-escribe en las nuevas coordenadas.

5.6. Ejercicios

No se proponen ejercicios para este tema, dada su orientacion. Sin embar-go, y con vistas al trabajo computacional, se recomienda la implementaciondel algoritmo de Runge-Kutta.

Capıtulo 6

La maquina de corriente

continua

6.1. La maquina de corriente continua

Al comentar la ecuacion (5.11), decıamos que la maquina no puede entre-gar par si por las bobinas del rotor y del estator circula corriente continua.Pero una maquina puede ser alimentada con corriente continua y, sin em-bargo, circular corriente no continua internamente. Ademas, eso es algo quese puede conseguir con facilidad. En la Figura 1 la bobina se encuentra in-tegrada en una pieza circular, discontinua, cuyas partes p y q se ponen encontacto con la fuente de alimentacion a traves de dos escobillas, A y B. Enla posicion de la Figura 1, la corriente circula por la bobina de derecha aizquierda. Pero con un pequeno giro adicional la escobilla B pasa a estar encontacto con la parte p y la escobilla A con la parte q, y la corriente en labobina se invierte.

De esta forma, desde una posicion inicial, el rotor gira buscando alinearsecon el estator. Si cuando se produce este alineamiento se conmuta la corrienteen el rotor, cambia la polaridad de su campo y eso fuerza el giro de mediavuelta buscando la nueva alineacion. Al completarse esta media vuelta vuelvea cambiar la polaridad, y ası sucesivamente.

En la Figura 1, donde hay una sola bobina, aparece dos escobillas. Si tu-viesemos mas bobinas, necesitarıamos, en principio, una pareja de escobillaspor cada bobina. Pero hay disposiciones ingeniosas de las bobinas, de formaque solo se necesita un par de escobillas. Omitiremos aquı estos detalles cons-tructivos. Sin embargo, el flujo de la corriente es relevante para la operacionde la maquina, y es preciso tenerlo en cuenta. Por ejemplo, si el rotor y elestator se alimentan de forma independiente tenemos una configuracion. Si

125

126 6. La maquina de corriente continua

Figura 1

estator y rotor se encuentran en serie alimentados por una misma fuente,tenemos otra. Si se encuentran en paralelo, otra. Incluso puede haber unaparte en serie y otra en paralelo. Las Figuras 2a, b, c y d muestran estasposibilidades.

6.2. Modelo

6.2.1. Configuracion independiente

La maquina de continua conmutada mecanicamente se puede modelarmediante un par de bobinas, una para el estator y otra para el rotor. Si enla maquina generalizada nos quedamos solo con la bobina β del estator y labobina ’d’ del rotor, las ecuaciones para la parte electrica quedan como

[

veβvrd

]

=

[

Re + Leed/dt 0

θLer Rr + Lrrd/dt

] [

jeβjrd

]

(6.1)

y para la parte mecanica

Jd2θ

dt2= Lerjeβj

rd − β

dθ

dt− Πm (6.2)

Estamos asumiendo implıcitamente la configuracion independiente de laFigura 2a. Este sigue siendo un sistema no lineal, aunque muy simple. Sepuede simplificar todavıa mas si se considera el regimen permanente, en cuyocaso las derivadas respecto al tiempo se anulan. La parte electrica se reduceentonces a

6.2. Modelo 127

Figura 2

veβ = Rejeβ

vrd = θLerjeβ +Rrjrd (6.3)

donde ahora las tensiones e intensidades son constantes, ası como θ, lavelocidad de giro de la maquina. Para la parte mecanica:

Lerjeβjrd = Πm + βθ (6.4)

Si usamos las ecuaciones de la parte electrica para obtener las corrientesy sustituimos en la parte mecanica:

jeβ =veβRe

jrd =vrdRr

− θLer

Rr

veβRe


Πm = Ler veβ

Re

(

vrdRr

− θLer

Rr

veβRe

)

− βθ (6.5)

Ası, Πm es una funcion lineal de θ, de ordenada en el origen

Ler veβv

rd

ReRr(6.6)

y pendiente

−β −(

LerveβRe

)21

Rr(6.7)

mientras que el par electrico es

Π = Lerjeβjrd = Ler v

eβ

Re

(

vrdRr

− θLer

Rr

veβRe

)

(6.8)

que es tambien una funcion lineal de θ, de ordenada en el origen

Ler veβv

rd

ReRr(6.9)

y pendiente

− 1

Rr

(

LerveβRe

)2

(6.10)

Se ve que el par se puede modificar de dos formas: o bien modificandovrd, y entonces tenemos una familia de lıneas caracterısticas paralelas, comose muestra en la Figura 3, o bien modificando veβ, en cuyo caso al aumentarveβ aumenta la pendiente, como se muestra en la Figura 4. Aquı se ve unadiferencia esencial entre el motor de explosion interna y este tipo de motorelectrico, en el cual el par es una funcion monotona decreciente de θ, mientrasque en el primero es creciente hasta alcanzar un maximo y luego decrece.

6.2.2. Configuracion en paralelo

Cuando el rotor y el estator se alimentan en paralelo con la misma fuente,entonces veβ = vrd = v, y seguimos teniendo una dependencia lineal del parelectrico con la velocidad angular, con ordenada en el origen

Lerv2

ReRr(6.11)

y pendiente

6.2. Modelo 129

Figura 3

Figura 4

− 1

Rr

(

Lerv

Re

)2

(6.12)

En la configuracion independiente, cuando la fuerza electromotriz indu-cida iguala a vrd, cesa el par, y esto ocurre para

θ =vrdR

e

Lerveβ(6.13)

En la disposicion en paralelo, ocurre para

θ =Re

Ler(6.14)


6.2.3. Configuracion en serie

La situacion es distinta cuando la configuracion es en serie, porque en esecaso

jeβ = jrd = j (6.15)

y

veβ + vrd = v (6.16)

Para la parte electrica tenemos:

veβ = (Re + Lee d

dt)j

vrd = (θLer +Rr + Lrr d

dt)j (6.17)

Ası que

v = veβ + vrd = (Re +Rr)j + θLerj + (Lee + Lrr)dj

dt(6.18)

y para la parte mecanica

Jd2θ

dt2= Lerj2 − βθ − Πm (6.19)

En regimen estacionario, las derivadas respecto al tiempo se anulan, yqueda

v = (Re +Rr)j + θLerj

0 = Lerj2 − βθ − Πm (6.20)

Despejando j de la primera y sustituyendo en la segunda, tenemos parael par:

Π = Ler v2

(Re +Rr + θLer)2(6.21)

La caracterıstica de estos motores es que tienen un par de arranque ele-vado. En efecto, si θ = 0:

Π(0) =Lerv2

(Re +Rr)2(6.22)

6.3. Resumen conceptual 131

y vemos como el par de arranque crece con el cuadrado de la tensionaplicada. Es por eso que esta configuracion se usa en motores de traccion.Por ejemplo, se necesita un par muy elevado para poner en marcha a unvehıculo, o para poner en movimiento un montacargas.

Muchos otros aspectos del funcionamiento de la maquina alimentada porcorriente continua no seran tratados aquı, donde nos hemos limitado a ex-traer las caracterısticas basicas del modelo de maquina generalizada que fuepropuesto en el capıtulo anterior.


1. Se presenta un modelo constructivo sencillo que muestra como unamaquina puede ser alimentada por corriente continua. Se presentancuatro configuraciones posibles.

2. Se analiza la maquina de corriente continua particularizando la maqui-na generalizada al caso en que se consideran solo jeβ y jrd.

3. Para las configuraciones independiente, serie y paralelo, se estudia elregimen estacionario, y en particular las curvas de par.


Capıtulo 7

La maquina de induccion

El principio de la maquina de induccion fue establecido en el capıtulocuarto. La caracterıstica que distingue a este tipo de motores es que no exis-te corriente conducida a uno de los arrollamientos, generalmente el rotor, sinoque la corriente que circula por el es inducida por la corriente variable delotro. En este tipo de maquinas la frecuencia de rotacion del rotor no es iguala la frecuencia de la corriente con que se alimenta el estator. Cuando calcule-mos el par entregado por este tipo de maquinas, veremos que depende de lainduccion mutua entre estator y rotor, y que es cero cuando esta induccionmutua es cero, lo que justifica la denominacion de maquina de induccion.

7.1. La maquina n-fasica

En primer lugar, veamos que la maquina generalizada que presentamosen el capıtulo quinto se basa en que el campo B se puede descomponer endos campos perpendiculares. Esto no quiere decir que si B es la resultantede un numero arbitrario de polos, no podamos considerarlos a cada uno enparticular. Si tenemos n bobinas en el estator y otras tantas en el rotor,tenemos un vector de n corrientes iel y un vector de n corrientes irl , conl = 1, · · · , n. En total, 2n componentes de corriente y 2n componentes detension, vel y vrl . En cuanto a la matriz de resistencias, tendra la forma

[

Re 0

0 Rr

]

(7.1)

donde Re y Rr son matrices diagonales. Falta la matriz de inducciones,de dimensiones 2n× 2n, que se puede considerar subdividida en cuatro sub-matrices:

133

134 7. La maquina de induccion

L =

[

Le Ler

Lre Lr

]

(7.2)

Le contendra en su diagonal las autoinducciones de las bobinas del estator,y fuera de la diagonal la inducciones mutuas entre las bobinas del estator, quedependen del coseno del angulo que forman entre sı. Como hay n bobinas,se encuentran separadas por un angulo 2π/n, de manera que la induccionmutua entre la bobina i y la bobina j sera de la forma

Le(i, j) =M e cos(2π(i− j)/n) (7.3)

Por el mismo razonamiento, Lr contendra en su diagonal las autoinduc-ciones de las bobinas del rotor, y fuera de la diagonal

Lr(i, j) =M r cos(2π(i− j)/n) (7.4)

Faltan las submatrices Ler y Lre. Supondremos que Ler(i, j) = Lre(j, i),por simetrıa. Si θ es el angulo del rotor respecto al estator:

Ler(i, j) =M er cos(θ + 2π(i− j)/n) (7.5)

Siguen siendo validas las ecuaciones V.13, en las cuales el par electrico seobtiene de V.7.

Como se ve, no hay nada nuevo, y una rutina de integracion numerica queresuelva el problema puede parametrizarse en funcion del numero de fases n.

7.2. La maquina trifasica

Por su relevancia en la industria, vamos a tratar con una maquina trifasi-ca, que es una particularizacion de lo dicho hasta ahora, con n = 3. Otraparticularidad es que las tensiones no son cualesquiera, sino tensiones alter-nas desfasadas entre sı. La idea es que si excitamos los polos del estator conun cierto desfase entre sı, es como si tuviesemos un solo polo giratorio queen su movimiento arrastra al rotor tras de sı. En el caso mas simple posible,tendrıamos una bobina de rotor y una bobina de estator, excitada con unafrecuencia angular igual a la de rotacion del rotor, de forma que en el reco-rrido ABC en la Figura 1 las bobinas se repelen, y en el recorrida CDA seatraen. Es evidente que podemos seguir anadiendo bobinas, pero tambien quees preciso encontrar un equilibrio entre las caracterısticas electro-mecanicasy la complejidad constructiva y robustez de la maquina. Parece que, para laindustria de las maquinas electrica, este equilibrio se encuentra en n = 3.

7.2. La maquina trifasica 135

Figura 1

En lo que sigue, usaremos un modelo como el de la Figura 2, donde elestator y el rotor estan compuestos por tres bobinados de dos polos, en dispo-sicion simetrica. Nos referiremos con los subındices (a, b, c) a cada bobinadoy con los superındices (e, r) al estator y al rotor. Supondremos que el cam-po es radial en el ”gap”. Supondremos relaciones lineales entre el flujo y lasintensidades, escribiendo λ = Li y partiremos de las ecuaciones basicas V.13.

Figura 2

Como la resistencia de cada bobina depende solo de la intensidad queatraviesa esa bobina, la matriz de resistencias sera diagonal:


R =

[

Re 0

0 Rr

]

=

Re 0 0 0 0 00 Re 0 0 0 00 0 Re 0 0 00 0 0 Rr 0 00 0 0 0 Rr 00 0 0 0 0 Rr

(7.6)

En cuanto a la matriz de inductancias:

L =

[

Le LerLre Lr

]

(7.7)

Le da cuenta de las inducciones mutuas y autoinducciones en las bobinasdel estator:

Le =

Leaa Le

ab Leac

Leba Le

bb Lebc

Leca Le

cb Lecc

(7.8)

Si suponemos que las autoinducciones son iguales entre las tres bobinas,Leaa = Le

bb = Lecc = Le. En cuanto a las inducciones mutuas, llamaremos M e

al valor maximo de la induccion mutua entre las bobinas del estator, queocurrira cuando el flujo que atraviesa a una de ellas producido por otra esmaximo, y dependera de la orientacion relativa de ambas, como se discutio enV.2.1. Entonces

Le =

Le M e cos 2π/3 M e cos 2π/3M e cos 2π/3 Le M e cos 2π/3M e cos 2π/3 M e cos 2π/3 Le

=

Le −12M e −1

2M e

−12M e Le −1

2M e

−12M e −1

2M e Le

(7.9)y por el mismo razonamiento

Lr =

Lr −12M r −1

2M r

−12M r Lr −1

2M r

−12M r −1

2M r Lr

(7.10)

Pasamos a Ler y Lre. Por simetrıa, estas matrices han de ser la unatraspuesta de la otra. Si θ es el angulo que forman el estator y el rotor:

Ler =

M er cos θ M er cos(θ − 4π/3) M er cos(θ − 2π/3)M er cos(θ − 2π/3) M er cos θ M er cos(θ − 4π/3)M er cos(θ − 4π/3) M er cos(θ − 2π/3) M er cos θ

=M erR(θ)

(7.11)


con

R(θ) =

cos θ cos(θ − 4π/3) cos(θ − 2π/3)cos(θ − 2π/3) cos θ cos(θ − 4π/3)cos(θ − 4π/3) cos(θ − 2π/3) cos θ

(7.12)

Las ecuaciones para la parte electrica son entonces:

u =

[

Re 0

0 Rr

]

i+d

dt

([

Le M erR(θ)M erRT (θ) Lr

]

i

)

(7.13)

y el par, como sabemos, viene dado por

Π =1

2iTdL

dθi (7.14)

Como solo las submatrices superior derecha e inferior izquierda de L de-penden de θ, se produce el siguiente desacoplo:

Π =1

2[(ie)T , (ir)T ]

0 M erdR/dθ

M erdRT/dθ 0

[

ie

ir

]

(7.15)

Es decir

Π =1

2M er

[

(ie)TdR

dθir + (ir)T

dRT

dθie]

(7.16)

y es facil comprobar que

Π =M er (ie)TdR

dθir =M er (ir)T

dRT

dθie (7.17)

con

dR

dθ= −

sin θ sin(θ − 4π/3) sin(θ − 2π/3)sin(θ − 2π/3) sin θ sin(θ − 4π/3)sin(θ − 4π/3) sin(θ − 2π/3) sin θ

(7.18)

7.2.1. Transformacion de Park

En IV.5 discutimos los motores monofasicos y vimos que habıa dos casospracticos importantes, el de los motores sıncronos y el de los asıncronos. Enlos primeros, la frecuencia angular mecanica coincide con la electrica, y en lossegundos no. Esto motiva la busqueda de una transformacion generica a unos


ejes rotatorios (d, q), cuya frecuencia angular despues se pueda particularizarpara diversos casos. En la Figura 3 se representan tres ejes electricos desfasa-dos en 2π/3, que llamaremos (a, b, c), y dos ejes rotatorios (d, q). Proyectandocada uno de los ejes electricos sobre d y sobre q, vemos que la relacion entrelas coordenadas de un vector x en (a, b, c) y las coordenadas en (d, q) es lasiguiente:

Figura 3

xdq =

[

cos θ cos(θ − 2π/3) cos(θ − 4π/3)− sin θ − sin(θ − 2π/3) − sin(θ − 4π/3)

]

xabc (7.19)

Si vamos a V.4, donde presentamos la teorıa general de las transformacio-nes de coordenadas, vemos que allı se precisa la matriz inversa de la matrizde transformacion, cosa que es imposible en nuestro razonamiento actualporque tenemos una matriz que no es cuadrada. Para solucionar este pro-blema formal, introducimos una tercera componente en el sistema (d, q), que,de acuerdo con la costumbre, llamaremos ’0’. Ası, en el sistema (d, q, 0), latransformacion que deseamos es

xdq0 =


? ? ?

xabc (7.20)

La idea es que la transformacion, representada por la matriz A, ha de sertal que la potencia suministrada a la maquina sea la misma en un sistema yen otro, es decir


P = iTdq0vdq0 = (Aiabc)T (Avabc) = iTabcA

TAvabc (7.21)

y eso implica que ha de ser ATA = I. Como la matriz I se caracterizapor dos condiciones: a) que los elementos de la diagonal sea iguales a 1 y b)que los elementos de fuera de la diagonal sean nulos, vamos a intentar comomatriz de transformacion una que dependa de dos parametros, k1 y k2, ydespues ajustaremos esos parametros para tratar de que se cumplan a) y b).Ası pues, intentamos con

A = k1

cos θ cos(θ − 2π/3) cos(θ − 4π/3)− sin θ − sin(θ − 2π/3) − sin(θ − 4π/3)k2 k2 k2

(7.22)

de donde

ATA = k21

k22 + 1 k22 − 1/2 k22 − 1/2k22 − 1/2 k22 + 1 k22 − 1/2k22 − 1/2 k22 − 1/2 k22 + 1

(7.23)

y como esta matriz debe ser igual a la identidad, k2 = 1/√2 y k1 =

√

2/3.En definitiva:

A =√

2/3


1/√2 1/

√2 1/

√2

(7.24)

Las intensidades, flujos y voltajes en ambos sistemas se relacionan entresı a traves de esta matriz. A esta transformacion se la conoce como ”trans-formacion de Park” (Park, 1929). En lo sucesivo, y como esta transformaciontiene nombre propio, a su matriz la llamaremos P en lugar de A.

7.2.2. Utilidad de la transformacion de Park

Si volvemos a (13), aquellas son, obviamente, las ecuaciones en el sistema(a, b, c), aunque no las distinguiesemos ası explıcitamente. Ahora necesita-mos hacerlo. A las cantidades en el sistema (a, b, c) las distinguiremos con elsubındice ’a’, y a las cantidades en el sistema (d, q, 0) con el subındice ’0’.

d

dtλa = ua −Raia (7.25)

Para pasar al sistema (d, q, 0), tengamos en cuenta que para el rotor latransformacion es P(θr), y para el estator, P(θe). Ademas, en la Figura 4 se


Figura 4

ve que, si θ es el angulo relativo entre estator y rotor, θ = θe − θr. Ası quedesdoblamos la ecuacion anterior en dos: una para el estator y otra para elrotor:

d

dtλea = uea −Re

aiea

d

dtλra = ura −Rr

aira (7.26)

y escribiendo las cantidades (a, b, c) en funcion de las cantidades (d, q, 0):

d

dt(P−1(θe)λ

e0) = P−1(θe)u

e0 −Re

aP−1(θe)i

e0

d

dt(P−1(θr)λ

r0) = P−1(θr)u

r0 −Rr

aP−1(θr )i

r0 (7.27)

Efectuando las derivadas de la izquierda y premultiplicando por P:

dλe0dt

+P(θe)dP−1(θe)

dt= ue0 −Re

aie0

dλr0dt

+P(θr)dP−1(θr)

dt= ur0 −Rr

air0 (7.28)

Ahora, se comprueba sin dificultad que


P(θ)dP−1(θ)

dt= θ

0 −1 01 0 00 0 0

(7.29)

con lo cual, podemos escribir explıcitamente las componentes de (28):

dλed/dt− θeλeq = ued −Reied

dλeq/dt+ θeλed = ueq −Reieq

dλe0/dt = ue0 −Reie0dλrd/dt− θrλ

rq = urd −Rrird

dλrq/dt+ θrλrd = urq −Rrirq

dλr0/dt = ur0 −Rrir0 (7.30)

Consideremos ahora los flujos:

λea = Leiea + Ler iraλra = (Ler)T iea + Lr ira (7.31)

al pasar a (d, q, 0):

P−1(θe)λe0 = LeP−1(θe)i

e0 +M erR(θ)P−1(θr )i

r0

P−1(θr)λr0 = M erRT (θ)P−1(θe)i

e0 + LrP−1(θr )i

r0 (7.32)

Premultiplicando la primera por P(θe) y la segunda por P(θr), tenemos:

[

λe0λr0

]

=

[

P(θ)LeP−1(θe) M erP(θe)R(θ)P−1(θr)M erP(θr)R

T (θ)P−1(θe) P(θr)LrP−1(θr)

] [

ie0ir0

]

(7.33)Y ahora pasamos a calcular las submatrices. En primer lugar

P(θe)LeP−1(θe) =

Le + 12M e 0 0

0 Le + 12M e 0

0 0 Le −M e

(7.34)

y analogamente:


P(θr)LrP−1(θr) =

Lr + 12M r 0 0

0 Lr + 12M r 0

0 0 Lr −M r

(7.35)

En cuanto a las otras dos submatrices, veamos que

M erP(θe)R(θ)P−1(θr) =3

2M er

1 0 00 1 00 0 0

(7.36)

simplificacion que se alcanza teniendo en cuenta que θ = θe − θr. Comoesta es una matriz diagonal, coincide con su traspuesta, pero vemos que

[P(θe)R(θ)PT (θr)]T = P(θr)R

T (θ)PT (θe) (7.37)

y si tenemos en cuenta que PT = P−1:

M erP(θr)RT (θ)P−1(θe) =

3

2M er

1 0 00 1 00 0 0

(7.38)

Por fin es posible apreciar que extraordinaria simplificacion produce latransformacion de Park. En primer lugar, los coeficientes de la matriz deinducciones son constantes. En segundo lugar, las intensidades estan des-acopladas.

7.2.3. Par

El par se calcula a partir de (17). Aplicando la transformacion de Park:

Π =M er (iea)T dR

dθira =M er (ie0)

TP(θe)dR

dθPT (θr )i

r0 (7.39)

pero

P(θe)dR

dθPT (θr) =

3

2

0 −1 01 0 00 0 0

(7.40)

ası que, finalmente

Π =3

2M er(ieqi

rd − iedi

rq) (7.41)


7.2.4. Casos particulares

Como el sistema (d, q, 0) es arbitrario, hemos obtenido unas ecuacionesgenerales que ahora es posible particularizar. Teniendo en cuenta que θ =θr − θe, tenemos tres casos de interes:

a) Cuando el sistema (d, q, 0) se hace coincidir con el estator, es θe = 0 ypor tanto θr = θ, y las ecuaciones (30), teniendo en cuenta (34), (35), (36) y(37), se pueden escribir como

u =

Re + pl1 0 0 pm 0 00 Re + pl1 0 0 pm 00 0 Re + pl2 0 0 0

pm −θm 0 Rr + pl3 −θl3 0

θm pm 0 θl3 Rr + pl3 00 0 0 0 0 Rr + pl4

i

(7.42)donde

u =

uedueque0urdurqur0

; i =

iedieqie0irdirqir0

(7.43)

p es el operador derivada temporal (p = d/dt) y l1 = Le + 12M e, l2 =

Le −M e, l3 = Lr + 12M r, l4 = Lr −M r, m = 3

2M er.

b) Cuando el sistema se hace coincidir con el rotor, es θr = 0 y por tantoθe = −θ. Se tiene:

u =

Re + pl1 θl1 0 pm θm 0

−θl1 Re + pl1 0 −θm pm 00 0 Re + pl2 0 0 0pm 0 0 Rr + pl3 0 00 pm 0 0 Rr + pl3 00 0 0 0 0 Rr + pl4

i

(7.44)

c) Cuando el sistema (d, q, 0) se hace girar con la velocidad sincronica,θe = θr


u =

Re + pl1 −θel1 0 pm −θem 0

θel1 Re + pl1 0 θem pm 00 0 Re + pl2 0 0 0

pm −θem 0 Rr + pl3 −θel3 0

θem pm 0 θel3 Rr + pl3 00 0 0 0 0 Rr + pl4

i

(7.45)

7.3. Bibliografıa

Parte del material contenido en este capıtulo proviene del capıtulo 2,”Dynamic modeling of Induction machines”, de ”Vector control of inductionmachines”, B. Robyns et al. Puede consultarse tambien ”Matrix analysis of

electric machinery”, de N. N. Hancock. Gran parte de la bibliografıa dispo-nible basa la discusion en el formalismo de fasores en el plano complejo, quehemos omitido aquı completamente. Otras referencias que pueden ser utiles:”d, q reference frames for the simulation of induction motors”, de R.J. Lee,P. Pillay y R.G. Harley; En ”High performance drives”, de E. Levi, el capıtu-lo ”Mathematical modelling of an induction machine and the supply”. Raravez se considera la parte mecanica, por eso puede ser interesante ”Analysis

and modelling of an induction machine with a pulsating load torque used for

a washing machine application”, de Magnus Hedin y Linda Lundstrom. Parauna ilustracion del uso de los distintos sistemas de referencia, con simulacio-nes numericas, vease ”Transient analysis of three-phase induction machine

using different reference frames”, de Vivek Pahwa y K. S. Sandhu.


1. Se razona sobre una maquina hipotetica de un numero arbitrario defases, y se ve cual serıa la forma de la matriz L. Al considerar unamaquina de tres fases, se escriben las matrices R y L.

2. A partir de las formas especıficas para las matrices, se obtienen lasecuaciones de la parte electrica y el par.

3. Al poner en relacion las variables en el sistema (a, b, c) con las variables(d, q) que usamos en la maquina generalizada, vemos que la matriz detransformacion es de 2× 3, lo que es un inconveniente formal ya que al

7.5. Ejercicios 145

poner en relacion a ambos sistemas necesitamos la matriz inversa de latransformacion, que en este caso no existe. Por eso, se amplia el sistema(d, q) introduciendo un eje adicional (d, q, 0) y se especula sobre comola matriz de transformacion original deberıa ampliarse.

4. Se obtiene finalmente la relacion entre los sistemas (a, b, c) y (d, q, 0).Se trata de la transformacion de Park.

5. Se usa la transformacion de Park para encontrar las ecuaciones gene-rales de la maquina en el sistema (d, q, 0), y se muestra la gran simpli-ficacion conseguida, que puede ser aun mas si se consideran, lo que sehace en la ultima seccion, velocidades angulares particulares.

7.5. Ejercicios

Dado el caracter algebraico de este capıtulo, recomendamos al estudianteque se ayude de un programa de calculo simbolico para verificar algunas delas relaciones que hemos usado. Los ejercicios propuestos van en este sentido.

1. Verificar la ecuacion (29).

2. Verificar (34).

3. Verificar (36).

4. Verificar (40).

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Unas notas de electromecánica